A conexidade sintática

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1 A coexidade itática Kazimierz Ajdukiewicz I 1. Com a decoberta da atiomia e do modo de reolvê-la, o problema da itaxe da lígua aumiram uma importâcia cetral para a lógica (compreededo ete termo uma acepção ampla o uciete para icluir também a quetõe metateórica). Etre ete problema, cotudo, o mai relevate em relação à lógica é o da coexidade itática. Ele etá relacioado à epecicação da codiçõe ob a quai uma eqüêcia de palavra provida de etido forma uma expreão que poui, por ua vez, um etido uitário, aida que compoto a partir do etido da palavra que pertecem a ela. Uma eqüêcia de palavra dete tipo é itaticamete coexa. Por exemplo, a eqüêcia de palavra João ama Aa é cotruída de modo itaticamete coexo com palavra da lígua portuguea provida de etido, e pertece ao cojuto de expreõe provida de etido deta lígua. Ao cotrário, talvez cavalo e cotudo aparecerei compõe-e certamete de palavra da lígua portuguea provida de etido, ma é deprovida de coexão itática e ão pertece ao cojuto da expreõe da lígua portuguea provida de etido. Exitem vária oluçõe para o problema da coexão itática. Uma dela é, por exemplo, a teoria ruelliaa do tipo. Cotudo a oção de coexidade itática pode er formulada de modo particularmete imple e elegate com Ete texto apareceu origialmete com o título Die ytaktiche Koexität, em Studia Philoophica, 1, 1935, pp. 127; e recebeu uma tradução para o iglê de H. Weber, Sytactic Coexio, i McCall, S. (ed.), Polih Logic: , Oxford: Oxford Uiverity Pre, 1967, pp , e outra para o italiao de Giovai Piaa, La Coeità Sitattica, i Boomi, A. (org.), La Struttura Logica del Liguaggio. Milao: Bompiai, 1973, pp A preete tradução para o portuguê erviu-e baicamete da tradução italiaa, com poterior cotejameto com a tradução iglea. O termo origial Koexität tem como tradução literal coexidade, ito é, `a propriedade de er coexo'. Outro termo da lígua portuguea que poderiam er utilizado eriam coeão e coexão. Evitamo o termo coexão porque ete, a rigor, deota o reultado de um proceo; evitamo o termo coeão em virtude de eu igicado já bem etabelecido o iterior da teoria ligüítica. (Nota do tradutore) Tradução de Lígia Negri e Joé Borge Neto julho de

2 o auxílio da teoria da categoria do igicado, elaborada por Stailaw Le±iewki. Baear-o-emo, aqui, jutamete obre o reultado de Le±iewki 1 e proporemo de oa parte um imbolimo que pode er aplicado, em pricípio, a quae toda a lígua e com cujo auxílio a coexidade itática de uma eqüêcia de palavra pode er examiada e deida atravé de um cálculo. 2. E. Huerl foi o primeiro a itroduzir a oção e o termo categoria do igicado (Bedeutugkategorie). Na ua Logiche Uteruchuge, 2 ele oberva que a palavra iolada e a expreõe compota, de uma lígua, podem er ubdividida em clae de modo tal que dua palavra ou expreõe pertecete a uma mema clae poam er ubtituída uma pela outra em um cotexto que poua um etido uitário, em que para io o cotexto modi- cado e traforme em um agregado de palavra privado de coeão, e perca aim eu etido uitário. Ao cotrário, dua palavra ou expreõe pertecete a clae diferete ão pouem eta propriedade. Tomemo o euciado O ol brilha como exemplo de um cotexto que poui um etido uitário. Se operamo ele a ubtituição de brilha por queima ou aida por aobia ou daça, obteremo do euciado O ol brilha outro euciado, verdadeiro ou falo, que pouem um etido uitário. Ma e ubtituímo brilha por, por exemplo, e ou verde ou aida talvez, obteremo uma eqüêcia de palavra em coeão. Huerl deomia categoria do igicado jutamete tai clae de palavra e de expreõe. Queremo deir um pouco mai preciamete eta oção. A palavra ou expreão A, etedida o etido x, e a palavra ou expreão B, etedida o etido y, pertecem à mema categoria do igicado e e omete e exite uma eteça (ou memo uma fução etecial) S A a qual A ocorre com o etido x e que poui a eguite propriedade: e ela e ubtitui A por B com o etido y, matedo rigoroamete ialterado o etido da outra palavra e da articulação de S A, obtém-e uma expreão S B que é também uma eteça (ou uma fução etecial). A hierarquia da categoria do igicado etá itimamete ligada à hierarquia implicada do tipo lógico aida que eja muito mai articulada e repreeta, em última aálie, a ua cotraparte emâtico-gramatical. 3 Etre a categoria do igicado podem-e ditiguir dua epécie, que de- 1 S. Le±iewki Grudzüge eie eue Sytem der Grudlage der Mathematik. (Reimpreo de Fudameta Mathematica 14(Waraw, 1929) pp. 13 e., 67 e.). Matemo de Le±iewki apea a idéia de bae da categoria do igicado e de ua epécie. Etretato, para a formulação literal da explicaçõe e da deiçõe correpodete de oa propota, como também para o detalhe de coteúdo que atribuímo a eta oção, Le±iewki ão pode er coiderado repoável, uma vez que ua deiçõe ão ão gerai e e aplicam apea a eu imbolimo particular, um etido batate ditito, altamete precio e puramete etrutural. 2 Edmud Huerl, Logiche Uteruchuge, vol. II, parte 1 (eguda edição revita, Halle/S., 1913), pp. 294, 295, , , R. Carap, Abri der Logitik (Viea, 1929), p. 30); A. Tarki, Pojecie prawdy w jezykach auk dedukcyjych (O coceito de verdade a ciêcia dedutiva formalizada) (Varóvia, 1933), p

3 ejamo chamar de categoria fudametai e categoria futora (a deigação futor deriva de Kotarbiki, ão meu cotudo o termo, e a oção, de categoria fudametal). Ifelizmete, ão etamo em codição de deir eta oçõe de maeira razoavelmete precia. Não é difícil etretato ilutrar do que e trata. Futor tem o memo igicado de igo de fução. O que etá em quetão, portato, é o igo ão-aturado, que comporta parêtee. A categoria futora ão de fato a categoria do igicado à quai pertecem o futore. Chamo, etão, de categoria fudametal toda categoria do igicado que ão é uma categoria futora. Da deição de categoria do igicado egue imediatamete que dua eteça quaiquer pertecem à mema categoria do igicado. A eteça ão ão obviamete futore, portato a categoria do igicado da eteça é icluída etre a categoria fudametai. Além da categoria-eteça pode haver também outra categoria fudametai. Em Le±iewki, ao lado da categoriaeteça há apea uma outra categoria fudametal, a do ome, e a ela pertecem ão apea ome igulare, ma também ome gerai. Queredo comparar a teoria implicada do tipo e a teoria da categoria do igicado, dever-e-ia icluir etre a categoria fudametai o tipo da eteça e o tipo do ome próprio. O outro tipo pertecerão à categoria futora. Parece que a liguagem ordiária em todo o ome formam uma úica categoria do igicado. Segudo oo poto de vita, a liguagem ordiária pode-e ditiguir em relação ao ome pelo meo dua categoria do igicado: em primeiro lugar a categoria do igicado à qual pertecem o ome igulare do idivíduo e o ome gerai do idivíduo, equato aumido i uppoitioe peroali; em egudo lugar, a categoria do igicado do ome gerai equato ocorrem i uppoitioe implici (ito é, como ome de uiverai). Se e quiee formular a oção de coexidade itática de modo iteiramete geral, ão e poderia decidir ada obre o úmero e a epécie da categoria fudametai do igicado e da categoria futora, a medida em que ela podem variar de lígua para lígua. Para implicar, gotaríamo etretato de limitarmo-o a lígua a quai (como ocorre com Le±iewki) e apreetam apea dua categoria fudametai, preciamete a da eteça e a do ome. Além deta dua categoria fudametai do igicado gotaríamo, eguido Le±iewki, de aumir uma hierarquia ramicada, e em pricípio ilimitada com relação ao ível uperior, da categoria futora; eta última erão caracterizada, em primeiro lugar, pelo úmero e pela categoria do igicado de eu argumeto jutamete com ua ordem, e em egudo lugar pela categoria do igicado da expreão compota iteira que ela formam com o eu argumeto. Por exemplo, o futore que formam uma eteça com um úico ome como argumeto repreetam uma categoria do igicado epecíca; o futore que formam uma eteça com doi ome como argumeto cotituem uma outra categoria, e aim por diate. O futore que formam um ome com um úico ome como argumeto reuir-e-ão por ua vez em uma outra categoria. Também o futore que formam eteça aumido uma úica eteça como eu argumeto (por ex., o ial a lógica) erão 3

4 idicado como uma categoria do igicado particular, e aim por diate. 3. Nó aumimo que a categoria do igicado de uma palavra eja determiada pelo etido que ela poui. Atribuamo, agora, um ídice à palavra egudo a categoria do igicado à qual pertecem: à palavra pertecete à categoria-eteça, o ídice imple ; à palavra pertecete à categoriaome, o ídice imple. À palavra que ão pertecem a uma categoria fudametal, ma à categoria-futora, atribuiremo um ídice em forma fracioária cotituído de um umerador e de um deomiador: o umerador e ecotrará o ídice da categoria do igicado à qual pertece a expreão compota do igo de fução jutamete com o eu argumeto, equato que o deomiador etarão o ídice, dipoto em ordem, da categoria do igicado à quai pertecem o argumeto com o quai o futore podem combiar-e em um todo provido de etido. Por exemplo, uma palavra que forma uma eteça com doi ome como argumeto receberá o ídice fracioário. Cada categoria do igicado teria dete modo um ídice que a caracterizaria. A hierarquia da categoria do igicado e epelharia em uma érie de ídice do eguite tipo:,,,,,...,,,...,,,...,,,...,,,,,...,, etc. Se, para ilutrar eta otação, tomamo um euciado da lógica como, por exemplo, p p.. p e atribuímo à palavra iolada eu ídice, obteremo etão: p p.. p Queredo aplicar ete método à liguagem ordiária, a categoria do igi- cado que aumimo (coforme Le±iewki) erão iuciete, a medida em que, ao que parece, a liguagem ordiária tem uma riqueza maior de categoria do igicado. Além dio, por cota da utuação do etido da palavra, tora-e batate difícil decidir em qual categoria do igicado deva er icluída uma dada palavra. À veze exite icerteza também obre o que deve 4

5 er tratado como uma úica palavra. Cotudo em cao imple e favorávei o aparato de ídice acima idicado e adequa batate bem ao uo ligüítico, como e pode ver pelo eguite exemplo: a madeira queima muito letamete e a lua deaparece. 4. Em toda expreão compota provida de etido, vem idicado, de algum modo, que expreõe itervêm como argumeto e a que expreõe, que itervêm como futore, eta pertecem. Se o futor poui mai argumeto, deve-e idicar também qual detre ele é o primeiro, qual o egudo, e aim por diate. A ordem de uceão do argumeto cumpre, aim, um papel eecial; a difereça etre ujeito e predicado ou memo etre atecedete e coeqüete de uma propoição hipotética ão cao epeciai da difereça importate que é produzida pela ordem de uceão do argumeto. Eta ordem ão é portato em termo gerai idêtica à ordem extera em que o argumeto e apreetam a expreão correpodete. Não e trata, em geral, de uma quetão puramete etrutural, ito é, puramete extera, ma ela etá fudametada a propriedade da expreão completa que ão determiada pelo eu etido. Só a liguage imbólica e em alguma liguage ordiária é que a ordem extera do argumeto correpode à ua eqüêcia ordeada. A m de idicar o vário modo em que a parte de uma expreão e relacioam reciprocamete ela, a liguage imbólica recorrem a coveçõe que dizem repeito à força aglutiadora do diferete futore, ao uo de parêtee e à ordem da palavra. Na liguagem ordiária, eta relação recíproca vem idicada atravé da ordem da palavra, de exõe, de prepoiçõe e de iai de potuação. Uma eqüêcia de palavra em que eta relação ão eja idicada de forma completa, ou ão eja idicada de fato, é deprovida de etido uitário. Em cada expreão compota provida de etido, a relaçõe etre o futore e eu argumeto devem ter uma forma tal que permita uma aálie em parte da expreão iteira, de maeira que uma da parte eja o futor (que pode er por ua vez uma expreão compota) e a demai, eu argumeto. A ete futor chamamo de futor pricipal da expreão. (A oção de futor pricipal e a idéia de bae para ua deição devem-e a Le±iewki.) No exemplo lógico idicado acima, o futor pricipal da expreão como um todo é o egudo ial de implicação; já o exemplo da liguagem ordiária, o futor pricipal é a 5

6 palavra e. Se uma expreão compota pode er aaliada em um futor pricipal e eu argumeto, dizemo que tal expreão é bem articulada. Queremo idicar o futor pricipal de uma expreão e eu argumeto como compoete de primeiro grau deta expreão. Se o compoete de primeiro grau de uma expreão A já ão palavra, ou memo, e ão ela mema expreõe compota, que ão por ua vez bem articulada, e e regredido do compoete do compoete ao compoete do compoete do compoete e aim por diate, logo ao compoete de -éimo grau, chegarmo empre a palavra ou memo a expreõe bem articulada, dizemo que a expreão A é completamete bem articulada. Note-e que a liguagem ordiária admite freqüetemete expreõe elíptica, aim uma expreão compota provida de etido ão pode er coiderada completa, em relação à ua boa articulação, equato o limitarmo à palavra explicitamete maifetada ela. Cotudo, é fácil apreetar uma boa articulação completa e e itroduzem a palavra que, embora etado omitida, ão etedida implicitamete. Diculdade maiore urgem e uma lígua, como por exemplo o alemão, admite palavra que podem er decotíua. Nete cao ão é mai poível idicar um critério puramete etrutural da uicidade da palavra. 5. A boa articulação completa de uma expreão compota é certamete uma codição eceária, ma ão uciete, para que a expreão poua um etido uitário, e eja portato uma expreão provida de etido. A eta codição deve-e acrecetar uma outra. De fato, para que uma expreão bem articulada teha etido, eu compoete de memo grau que e ecotram a relação futor-argumeto devem er adequado u ao outro. Ito é, para cada compoete de -éimo grau que e apreete como um futor pricipal ou da expreão completa ou de um eu compoete de grau ( 1), e que requeira coforme a ua categoria do igicado ete ou aquele argumeto pertecete a determiada categoria do igicado para formar juto com ele uma expreão provida de igicado, devem etar aociado como argumeto outro tato compoete de -éimo grau pertecete à categoria do igicado correpodete. Por exemplo, a um compoete que pertece à categoria do igicado deigada pelo ídice (para o cao em que ele ocorre como futor pricipal) correpodem, em primeiro lugar, doi argumeto e, em egudo lugar, o primeiro argumeto deve pertecer à categoria do igicado do ome e o egudo à da propoiçõe. Queremo chamar itaticamete coexa uma expreão completamete bem articulada que atifaça amba a codiçõe acima idicada. Podemo agora formular eta codiçõe de outro modo, e de forma mai precia, com o auxílio da oa repreetação em ídice. Para io, devemo itroduzir a oção de expoete de uma expreão, que ilutramo ate de mai ada com bae em um exemplo. Tomemo a expreão p p.. p 6

7 e acrecetemo o ídice à palavra. Obteremo etão p p.. p (A) Ordeemo agora o compoete deta expreão egudo o eguite pricípio. Ecrevamo em primeiro lugar o futor pricipal da expreão completa e em eguida, pela ordem, o eu primeiro argumeto, o egudo (o terceiro, o quarto, etc.). Obteremo portato, p p, p (B) Se qualquer do compoete deta eqüêcia é aida uma expreão compota de um futor pricipal e de eu argumeto, aaliamo ete compoete o compoete do grau imediatamete uperior e o ordeamo egudo o memo pricípio, colocado ate de tudo o futor pricipal, depoi eu primeiro argumeto, o egudo, etc.,, p, p, p (C) Se eta eqüêcia houvee aida um compoete compoto, faríamo a aálie egudo o memo pricípio, repetido o procedimeto até o poto em que apareçam a eqüêcia apea palavra. Uma eqüêcia aim ordeada, que cota apea de palavra de uma expreão, chamamo eqüêcia própria de palavra deta expreão. No oo exemplo a eqüêcia própria de palavra já aparece a eguda etapa, vale dizer que C é a eqüêcia própria de palavra de A. Se agora eparamo da palavra, que etão ordeada egudo a eqüêcia própria de palavra de uma expreão, o eu ídice, e e ecrevemo o ídice deta palavra egudo a mema ordem, obteremo aquilo que chamamo eqüêcia própria de ídice da expreão em quetão. A eqüêcia própria de ídice da expreão A tem portato a eguite forma: (1) Examiemo agora e eta eqüêcia de ídice, da equerda para a direita, ecotramo uma combiação de ídice tal que o primeiro lugar eja o de um 7

8 ídice fracioário eguido imediatamete pelo memo ídice que e apreetam o eu deomiador. Se ecotramo uma ou mai deta combiaçõe de ídice, cacelamo a primeira dela (da equerda para a direita) da eqüêcia de ídice e ubtituímo-la pelo umerador do ídice fracioário. Chamamo a ova eqüêcia obtida dete modo de primeira derivação da eqüêcia do ídice própria da expreão A. Ela e apreeta como e egue: (2) A primeira derivação coite de um ídice fracioário ao qual egue imediatamete uma combiação de ídice idêtico ao ídice que forma o umerador dete ídice fracioário. Podemo, portato, traformá-la da forma acima idicada, obtedo dela a eguda derivação que forma o ídice imple (3) e que chamamo, ão havedo poibilidade de outra derivaçõe, de última derivação. A última derivação da eqüêcia própria de ídice de uma expreão dada recebe o ome de expoete deta expreão. Queremo aida determiar o expoete da eteça, formulada a liguagem ordiária, mecioado a p. 5. A ua eqüêcia própria de ídice e a ua derivaçõe uceiva apreetam-e da eguite maeira: (Seqüêcia própria de ídice) (Derivação I) (Derivação II) 8

9 (Derivação III) (Derivação IV) (Derivação V) (Derivação VI) (Derivação VII e última) Agora podemo deir: uma expreão é itaticamete coexa e e omete e (1) ela é completamete bem articulada, (2) para cada futor que ocorra como futor pricipal eta expreão, etão coordeado tato argumeto quata ão a letra cotida o deomiador do eu ídice; e (3) a expreão poua um expoete que coite em um úico ídice. 4 Ete ídice pode ter a forma de uma úica letra, ma pode também apreetar-e de forma fracioária. Aim a expreão 4 A atifação da primeira e da terceira codiçõe ão aegura aida a coexidade itática. De fato, o exemplo ( φ, x ) ão é itaticamete coexa, embora eta expreão teha um boa articulação completa, e eu expoete, que é obtido do modo eguite eja um ídice imple. 9

10 cuja eqüêcia própria de ídice é queima muito letamete tem como expoete o ídice fracioário. Como exemplo de uma expreão itaticamete ão coexa coideremo a eguite eqüêcia de palavra: F (φ) : : φ (φ) A ua eqüêcia própria de ídice e ua derivaçõe ão: A primeira derivação que, ete cao, é também a última, forma um expoete que é cotituído de vário ídice. A expreão em quetão é, portato, itaticamete ão coexa. (A eqüêcia de palavra dete exemplo repreeta a cohecida deição que coduz à atiomia ruelliaa da clae da clae que cotêm a i mema como elemeto.) 10

11 O expoete de uma expreão itaticamete coexa idica a categoria do igicado a que pertece eta expreão compota coiderada como um todo. 6. Uma repreetação que atribuíe o ídice à palavra ão preciaria de parêtee ou de outro meio aálogo para idicar a articulação de ua expreõe itaticamete coexa (a ierêcia recíproca do futore e de eu argumeto). Para io bataria ater-e rigoroamete, ao ordear a palavra, ao memo pricípio que determia a ordem do ídice a eqüêcia própria de ídice de uma expreão. Dever-e-ia ordear aim a palavra de cada expreão compota de modo tal que veha ate de mai ada o ímbolo da fução pricipal, eguido de eu primeiro argumeto, do egudo, etc. Por exemplo, o euciado a otação ruelliaa p. q. r : : r. q. p (A) deveria er ecrito, egudo ete pricípio, da eguite maeira:. p q r 5 {}}{ } {{ } 2 1 {}}{ 3 { }} {. r q 4 {}}{ p Dizemo que um futor tem lugare quado o deomiador do eu ídice cotém ídice. Podemo etão dizer: a expreão A repreeta o k-éimo argumeto do futor de lugare F a expreão B e e apea e (I) da expreão B pode-e eparar uma parte iiterrupta T imediatamete à direita de F, cujo expoete poua a mema forma do deomiador do expoete de F ; (II) eta parte T pode er ubdividida em reto em ubparte iiterrupta de modo tal que o expoete deta ubparte ejam, a ordem, idêtico ao ídice cotido o deomiador do ídice de F ; (III) A é a k-éima deta ubparte e (IV) F jutamete com T forma ou toda a expreão B ou etão um membro de B (rigoroamete falado, eta explicação deveria er ubtituída por uma deição recuriva). Segudo eta explicação, por exemplo, a parte da expreão em B deigada por 3 é o primeiro argumeto, equato a deigada por 4 é o egudo argumeto do ímbolo de implicação, que é deigado por 5 a mema expreão em B. De fato (I) pode-e eparar da expreão em B a parte deigada por 1, ou eja, aquela parte iiterrupta que e ecotra imediatamete à direita de 5 e cujo expoete tem a mema forma do deomiador do ídice de 5; (II) pode-e dividir 1 em dua ubparte iiterrupta em reto tal que o eu expoete ejam, a ordem, idêtico ao ídice cotido o deomiador do ídice de 5; (III) 3 é a primeira deta ubparte e 4 a eguda; (IV) 5, jutamete com 1, é um membro da expreão em B. (B) 11

12 Eta vatagem da otação atravé de ídice, que tora upéruo todo o parêtee, pode talvez parecer de pouca cota e e coideram uicamete exemplo tirado do cálculo propoicioal. Para ete cálculo, J. Šukaiewicz itroduziu uma otação que, embora em auxílio do ídice, ão requer parêtee ou ímbolo auxiliare aálogo para idicar a articulação da expreõe itaticamete coexa. 5 A poibilidade de dipear o parêtee em itroduzir ídice explica-e cotudo pelo fato do cálculo propoicioal trabalhar com pouca categoria do igicado (a prática apea com trê), ode toda a variávei pertecem a uma úica categoria do igicado e o úmero da cotate é limitado, o que permite idicar a categoria do igicado de uma expreão dada mediate uma forma particular do ímbolo. Nete cao, a regra de articulação podem er também implemete eumerada. Ma e e tem que lidar com um úmero grade, teoricamete ão previível, de categoria do igicado divera, deve-e recorrer a uma caracterização itemática deta divera categoria emelhate àquela apreetada em oa otação. Até agora a oa idagaçõe dizem repeito apea a expreõe que ão coteham operadore (v. abaixo eção 7). Agora, ao cotrário, levaremo em coideração expreõe que o cotêm. II 7. Preupô-e ateriormete que cada palavra da lígua, graça ao eu etido, pode er atribuída a uma determiada categoria do igicado e em coeqüêcia, provida de um ídice. Apea e eta codição é atifeita, é poível aaliar toda a expreõe compota egudo o equema futor-argumeto. Embora eta codição poa talvez er atifeita por alguma liguage, ela ão parece valer para certa liguage imbólica. Etamo peado aqui a liguage que e ervem do operadore acima mecioado. Com eta caracterização etamo peado em ímbolo como o quaticador uiveral da lógica imbólica, que tem a forma Πx ou etão (x), deomiado também operador-todo (cf. Carap, 1929: 13), e aida o operador exitecial ( x), bem como o ímbolo da oma algébrica 10, o ímbolo do produto 100, o ímbolo da itegral deida 1 dx, etc. Todo ete ímbolo têm em comum a 0 eguite propriedade: referem-e empre a uma expreão que cotêm uma ou mai variávei e coferem, a uma ou mai dela, o papel de variável aparete. Se portato um operador, por exemplo, refere-e a uma expreão que cotém 5 Cf. Ja Šukaiewicz, `Philoophiche Bemerkuge zu mehrwertige Syteme de Auagekalkül', Compte redu de éace ded la Société de Sciece et de Lettre de Varovie 13, Cl. iii (Varóvia, 1930). k=1 k=1 12

13 uma úica variável, o reultado é uma expreão compota que poui um valor cotate. Aim ( x).x é um homem e 10 x 2 têm valor cotate, aida que aí ocorram variávei. Mediate o operador, eta variávei ão torada aparete ou, como e diz, vêm ligada pelo operador. Ora, o cao de uma expreão que coteha um operador, (por exemplo o cao de um euciado uiveral (Πx).fx), a aálie em futore e argumeto com categoria do igicado apropriada parece de fato deparar-e com diculdade iuperávei. Sem everedar pela etrutura itera do operador compoto (Πx), queremo ate de mai ada recuar a cocepção mai atural da etrutura itática do euciado uiveral (Πx).fx, egudo a qual um tal euciado o operador (Πx), deempeharia o papel do futor pricipal e a fução propoicioal deempeharia o papel de eu argumeto. Se eta foe a aálie itática correta do euciado uiveral, dever-e-ia icluir o operador-todo (Πx) etre aquele operadore que, jutamete com eu argumeto, formam um euciado, e que portato pertecem à categoria. Em opoição a io pode-e lembrar que, em uma lógica exteioal, um futor deve er um futor de verdade (truth fuctor). Portato, deverá correpoder a uma da quatro tabela eguite: k=1 p f 1 p p f 2 p p f 3 p p f 4 p Em outra palavra, e o operador-todo é um futor, o euciado (Πx).fx deveria er equivalete: (1) a fx, ou (2) a fx, ou (3) deveria er empre verdadeiro, ou (4) empre falo, idepedetemete de x. Em uma lógica exteioal, etão, o operador (Πx) ão pode er etedido como um futor. Ma já que juto de um euciado fx ele forma um euciado, ão pode er ehum outro futor. Nete mometo e impõe a idéia de que a etrutura itática de um euciado uiveral (Πx).fx poa receber uma iterpretação diferete da aterior. Talvez ão eja Πx o futor pricipal ete euciado e fx o eu argumeto, ma pode er que o futor pricipal eja o ímbolo Π e que x e fx ejam repectivamete o eu primeiro e o eu egudo argumeto. Nete cao, o euciado uiveral deveria er ecrito corretamete do eguite modo: 13

14 Π(x, fx) Já que x pode pertecer a divera categoria do igicado, também Π deveria receber diferete iterpretaçõe. Se, por exemplo, x pertece à categoria ome e f à categoria, Π deveria etão pertecer à categoria. Ma e x pertecee à categoria da eteça e f à categoria hlie, etão Π deveria pertecer à categoria, para que Π(x, fx) poa er uma eteça. Nete cao, Π deveria er, em uma lógica exteioal, um futor de verdade de doi lugare, e deveria portato correpoder a uma da dezeei tabela cohecida para futore de verdade de doi lugare. Ma vê-e logo que io é icompatível com o igicado do euciado uiveral (Πx).f x. Não é poível etão iterpretar a etrutura itática do euciado uiveral egudo o equema futor-argumeto, em do primeiro modo em do egudo. 8. Nada pode ubtituir uma variável que, uma eteça autêtica, eteja ligada por um operador (aumido-e que ete ão eja um operador uiveral que e cotitua um membro pricipal do euciado itegral). Ete é o etido da aparêcia da variável, do eu etar ligada. Dete poto de vita, o futore e comportam de maeira opota. Se etão o futore ão cocebido como ão ligadore e o operadore como ligadore, vê-e logo que um operador ão pode er icluído etre o futore. Dever-e-ia aida idicar, como difereça ecudária etre um futor e um operador, o fato de que um futor pode apreetar-e também como argumeto de um outro futor, equato um operador uca pode apreetar-e como argumeto de um futor. Apear deta difereça etre ele, ubite aida uma aalogia etre operador e futor. Um operador, jutamete com a expreão a que e refere, pode formar, exatamete como um futor com o eu argumeto, uma totalidade compota que cotém um etido uitário. Poder-e-ia etão atribuir ídice também ao operadore; ma ele deveriam ditiguir-e daquele atribuído ao futore porque, a determiação do expoete, ão erão tratado do memo modo que o ídice do futore. Em outra palavra, já que um operador uca pode er argumeto, o eu ídice ão deve er fudido com um ídice que o preceda a eqüêcia própria de ídice ou a ua derivaçõe, ma deve er combiado com ídice que o eguem. Propohamo etão para o ídice do operadore a forma de uma fração, à equerda da qual e acreceta um traço vertical. O operador (Πx) receberia etão o ídice empre que ele, juto com uma eteça, forme uma eteça. Atribuímo um úico ídice ao operador coiderado como um todo, memo e o operador pareça er formado por mai de uma palavra. Com io, ão etaremo tragredido o pricípio egudo o qual um ídice deve er aociado 14

15 apea a uma palavra iolada, equato o ídice de expreõe compota devam er coiderado apea como expoete (ito é, como derivaçõe última de ua eqüêcia de ídice). De fato, um operador ão pode er tratado como uma expreão formada por mai de uma palavra. Em última aálie, o operador é uma palavra igular compota de muita letra. Há também otaçõe para o operadore a quai io aparece claramete. Por exemplo, Scholz ecreve x o lugar de (Πx). E de reto, também a otação uual em que e ecreve (x) ao ivé de (Πx), ou memo Π x ao ivé de (Πx), maifeta-e o caráter de palavra igular do operador. 9. Se uma expreão cotém um operador, o eu expoete deverá er calculado de um modo diferete do idicado ateriormete. De fato, e procedêemo com o ídice do operadore da mema forma que o zemo com o ídice do futore, poderia ocorrer uma fuão do ídice de um operador com um ídice que o precede, coia que, como já obervamo, é iadmiível. Tomemo, por exemplo, a expreão eguite: F. Πx. x Se formáemo o eu expoete egudo a idicação aterior, obteríamo eta derivaçõe: (A) I., II., III. Obter-e-ia etão como expoete o ídice da eteça, equato é óbvio que a expreão em A é itaticamete mal-formada. A ova regra para a formação do expoete de uma expreão requer que a parte da ua eqüêcia própria de ídice que começa com o traço vertical mai à direita eja coiderada eparadamete, e preciamete que, pela parte que poui um ídice com o traço apea o eu iício, a última derivação eja obtida egudo a regra precedete. O ídice com o traço vertical erá tratado aim do memo modo que aquele em traço; por exemplo, o ídice pode ubtituir tato quato, e aim por diate. Uma vez que é calculada a última derivação deta eqüêcia parcial de ídice, ela é ubtituída pela eqüêcia parcial de ídice a eqüêcia iteira de ídice. Aqui e ditiguem doi cao. Ou o cálculo da última derivação da eqüêcia parcial de ídice com o traço que e ecotra o eu iício ão ocorre (ito é, a formação da -éima derivação a partir da 1-éima, ele foi 15

16 ubtituído, a 1-éima derivação, juto com o ídice que o eguem pelo eu umerador) ou io ão acotece. Se ocorre eta eguda poibilidade, ito é, e o ídice com o traço cotiua iiciado a eqüêcia parcial de ídice, paramo aí e declaramo que a eqüêcia de ídice iteira (obtida ubtituido a eqüêcia parcial de ídice eparada pela ua última derivação) é a última derivação, ito é o expoete, da eqüêcia iteira de ídice própria da expreão coiderada. Ma e e verica a primeira poibilidade, ito é, e o ídice com o traço ão aparece o iício da eqüêcia parcial de ídice, etão o eu traço vertical deaparece da eqüêcia iteira de ídice e o úmero de traço verticai e reduz de uma uidade. Ete procedimeto proeguirá etão egudo eta mema regra, até que ou qualquer ídice com o traço ão pode mai er reolvido ou todo o ídice com o traço já o foram e coeguimo uma eqüêcia de ídice privada de traço que ão admite ehuma outra derivação. Deigamo a eqüêcia obtida a última fae dete procedimeto como a última derivação da eqüêcia própria de ídice iicial da expreão em quetão e como eu expoete. Queremo ilutrar ete ovo procedimeto exemplicado com a eguite expreão: (Π f g) :. (Πx). f x g x : : (Πx). f x.. (Πx). g x (A) A ua eqüêcia própria de ídice tem a forma: Formamo ate de mai ada a última derivação da parte que e ecotra à direita do último traço vertical: Subtituímo agora em (I) a parte eparada pelo último traço pela ua última derivação e teremo aim um traço a meo. Obteremo dete modo: 3. Procedamo em relação a (II) do memo modo que o cao (I) e obteremo: (I) (II) (III) que erá tratado do memo modo. Obteremo aim a última derivação da parte eparada em (III) pelo último traço. Já que e trata de um procedimeto exteo, executemo-lo pao a pao aqui: 16

17 (1) (2) (3) (4) (5) (6) Subtituido ete valor pela parte eparada em (III) pelo último traço, obteremo: Aim, determia-e facilmete (IV) como última derivação da eqüêcia de ídice retate. A última derivação obtida da eqüêcia de ídice dete modo cotitui o expoete da expreão (A). Examiemo um ovo exemplo em que ão e reolvem todo o ídice com o traço. Tomemo, por exemplo, a expreão (Πx). f x : : (Πx). g (x, z) A ua eqüêcia própria de ídice é (B) (I) Formamo a última derivação da ua parte eparada pelo último traço. Ela tem a forma Nete cao, o ídice com o traço ocorre. Em coeqüêcia, o último traço ão é deixado de lado e a última derivação de (I), como também o expoete de B, tem a forma 17

18 A expreão B ão tem, portato, um ídice úico como expoete. Obtemo aim um método para coeguir o expoete da expreõe cotedo operadore. É claro que io iclui em i, como cao epecial, o método ateriormete idicado para expreõe deprovida de operadore. (Dever-e-ia apea falar, a ua formulação, de ídice que e apreetam evetualmete com o traço.) Poderemo agora repetir itegralmete a deição de coeão itática ateriormete apreetada, e ela valeria também para expreõe que coteham operadore. 10. No cao de expreõe deprovida de operadore, a coeão itática coicide com a boa formação itática. Etretato, o cao de expreõe em que ocorrem operadore, além da coeão itática uma outra codição deve também er atifeita. Eta codição requer que, o argumeto de cada um do operadore, ito é a expreão a que o operador e aplica, 6 a toda variável cotida o operador correpoda uma variável da mema forma que ão eteja ligada detro dete argumeto. Apea e eta codição é atifeita, uma expreão itaticamete coea cotedo operadore é também itaticamete bem formada. III 11. Idicamo o papel de ligação do operadore como ua caracterítica peculiar, que o ditigue do futore. Ligar uma ou mai variávei é a propriedade comum a todo o operadore. Além dio, o diferete operadore deempeham também outro papéi egudo o quai ele e difereciam etre i. Ma exite um operador cuja úica fução é a de ligar uma ou mai variávei. Um tal operador parece er idicado pelo ímbolo do circuexo itroduzido por Whitehead e Ruell. Ruell utiliza ete ímbolo para ditiguir o que ele chama de o valor idetermiado de uma fução daquilo que ele chama de a própria fução. Se fx repreeta o valor idetermiado de uma fução, etão f ˆx repreeta a própria fução. Ma, atravé de um exame mai miucioo, parece claro que o que Ruell chama de valor idetermiado de uma fução ão é outra coia eão o que e chama comumete de valor da variável depedete. Ao cotrário, aquilo que Ruell chama de a própria fução ão é uma 6 A rigor ão e deveria falar de argumeto de um operador, ma e deveria uar, por exemplo, o termo operado. A oa obervaçõe precedete referete à boa articulação de uma expreão devem er claramete etedida também à relação etre operador e operado. 18

19 variável, ma qualquer coia cotate. Um exame cuidadoo do que Ruell ua para explicar a oção de própria fução tora lícito preumir que, com eta caracterização, ele tiham em mete aquilo que ó idicaremo como correlato objetivo de um futor. Portato, f ˆx eria a mema coia que f e o ímbolo f ˆx e f deigariam a mema coia. Se eta iterpretação é correta, pode-e icluir o circuexo etre o operadore, uma vez que o eu papel coite em cacelar ou ligar uma variável. Vale lembrar que, com o auxílio do circu- exo, muita variávei podem etar ligada imultaeamete em uma expreão. Aim, por exemplo, f ˆxŷ repreeta o futor biargumetal f. No cao mai imple, em que o circuexo vem apoto a todo o argumeto do futor pricipal da expreão iteira, como, por exemplo, o exemplo equemático f ˆx ou f ˆxŷ, ele tem a mema fução de um traço com auxílio do qual a variável marcada (ito é, marcada com o circuexo) eria cacelada, e aim elimiada. Ma e em todo o argumeto do futor pricipal da expreão iteira vêm marcado, o papel do circuexo ão pode mai er comparado ao de um traço comum. Por exemplo, ˆp.a. a (ode a é um euciado cotate) repreeta o futor fx de tipo eguite equivalêcia: fp..p.a. a para o qual vale a Vê-e logo que o ímbolo da egação o lugar de f atifaz eta equivalêcia. Por io ˆp.a. a igica a mema coia que. Ao cotrário,.a. a, que igica a mema coia que p.a. a uma vez que e uprima p, ão repreeta um futor e ão é, de fato, uma expreão itaticamete coea. 12. Se uma expreão iteira pertecete à categoria do euciado poui uma variável marcada pelo circuexo, ecotramo a otação ruelliaa, ete cao, um outro ímbolo que pode er colocado o memo ível que o circuexo. Trata-e do prexo (ˆx) que é utilizado para a formação do ímbolo da clae e, repectivamete, do prexo (ˆxŷ) que ão utilizado o cao do ímbolo de relaçõe. De fato, e f x repreeta uma fução propoicioal, o ímbolo (ˆx).f x (deixado de lado certa complicaçõe derivada da admião de fuçõe iteioai, abadoada por Ruell a eguda edição do Pricipia) deiga a mema coia que o futor f, portato também f ˆx. Io vale também em relação à equivalêcia do igicado do ímbolo (ˆxŷ).f xy e f ˆxŷ. Queremo ervir-o do prexo (ˆx) ou (ˆxŷ) também o cao em que a expreão a que ele e aplicam ão pertece à categoria euciado, de modo que em geral podemo ecrever (ˆx).fx o lugar do ímbolo de tipo f ˆx e (ˆxŷ).fxy o lugar do ímbolo de tipo f ˆxŷ. Com eta mudaça de otação para o circuexo, a expreão iteira em que e dá tal operação pode er claramete caracterizada; io ão era poível a otaçõe ateriore, e podia 19

20 coduzir, em cao particularmete complexo, à ambigüidade. Além dio, ete ovo modo de ecrever o permite aplicar tal operação a uma expreão vária veze, iterativamete; permite, portato, ecrever (ˆx) : (ŷ).f xy que ão é a mema coia que (ˆxŷ).fxy (coforme a otação aterior, f ˆxŷ). Neta ova otação ca claramete evideciado o caráter de operador do circuexo. 13. Na medida em que é um operador, o circuexo (ˆx) (ou (ˆxŷ), etc.) recebe em oa otação um ídice com um traço. Ma já que tai operadore podem er aplicado a expreõe de vária categoria do igicado, que ela por ua vez e traformam em expreõe de categoria divera, o circuexo ão recebe empre o memo ídice com o traço. A explicação em termo do operador circuexo (de um lugar) é a eguite: um operador (ˆx) aplicado a uma variável X em uma expreão A é um operador circuexo e, jutamete com eta expreão, forma um futor que, com a variável X como argumeto, forma uma expreão equivalete à expreão A. Io pode er eclarecido pelo exemplo que e egue, o qual a expreão A tem a forma fx e a variável X, a forma x: (ˆx).fx : x. :.fx Do que foi dito acima, ca claro que e a expreão A, a que o operador e aplica, tem o expoete E 1 e a variável X o ídice E 2, o operador deve ter o ídice com o traço E 1 E 2 E 1 O ídice com o traço do operador circuexo aumirá forma divera coforme o ídice que deverão ubtituir E 1 e E 2. A mema coia ocorrerá também o cao do operadore de vário lugare. Como já obervamo, o papel do operador circuexo parece exaurir-e a ligação da variávei. O outro operadore têm, ao cotrário, um papel mai amplo. Aetamo a difereça pricipal etre um futor e um operador o fato de que o egudo, ma ão o primeiro, erve para ligar variávei. Paa a er atural etão pear que provavelmete o papel do operadore que ão têm apea o efeito de ligar a variávei poa er duplo, o papel de ligação do operador é aumido pelo operador circuexo, e qualquer outro por um futor. Itroduzamo, por exemplo, o futor Π, ao qual atribuímo o ídice, ito é, o iterpretamo itaticamete como um futor que forma, juto com um futor como eu argumeto, um euciado. Nete poto acrecetamo aida a eguite explicação em termo dete futor. Π(f) é atifeito por todo 20

21 e apea o futore (o lugar de f) que com qualquer ome formam um euciado verdadeiro. Vale portato: Π(f)..(Πx).fx. Um tal futor chamamo de futor uiveral. Podemo etão ubtituir o operador-todo por um futor uiveral toda vez que pudermo idicar, pela fução propoicioal a que e aplica o operador (Πx), um futor que, com x como argumeto, forme uma expreão equivalete a eta fução propoicioal. Ma io é empre permitido pelo operador circuexo. Na verdade, (ˆx).f x é de fato o futor requerido pela fução propoicioal fx, em qualquer forma que ela e apreete. Podemo, portato, ecrever Π((ˆx).f x) o lugar de (Πx).f x. Dete modo, o papel do operador-todo pode er ubtituído por uma combiação do papéi do futor uiveral e do operador circuexo. Não é eceário friar que ão é um úico futor uiveral, ma ão vário que e difereciam a ua categoria do igicado, egudo a categoria do igicado do futor que aumem como eu argumeto. Graça à equivalêcia Π(f)..(Πx).fx. o futor uiveral pode facilmete er deido com auxílio do operador-todo. A ua deição defrota-e com diculdade iuperávei e ela ão e quiee utilizar dete operador. Parece-o que a deição do futor uiveral poderia ecotrar um ubtituto a idicação da regra ifereciai que e aplicaem ao eu uo dedutivo. O ímbolo Π eria etão itroduzido abertamete a lógica como um ímbolo primitivo e teria uma poição mai clara, o itema deta ciêcia, que o epúrio operador-todo, que ão pertece em ao ímbolo deido em ao ímbolo primitivo da lógica. Ma o operador circuexo deveria er deido ou deveria er cotrabadeado para a lógica a partir do operador-todo. Abter-o-emo de reolver aqui ete dilema. Cotudo, e reolvêemo cotrabadear o operador circuexo, poder-e-ia upor que talvez ete expediete foe mai redoo, uma vez que exite a poibilidade de ubtituir todo o demai operadore, preete em bom úmero a ciêcia dedutiva, pelo operador circuexo e pelo futore correpodete. A oo ver, o fato de e coeguir em qualquer lugar fazer uo de um úico tipo de operador, ito é, do operador circuexo, ão repreetaria uma vatagem a er deprezada. Allatum et die 15. Iulii

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