Problemas Matemáticos para o Século XXI

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1 Problema Matemático para o Século XXI Lita com problema matemático em aberto alguma veze aparecem, pricipalmete para marcar alguma data epecial. Foi ete o cao da lita de problema propota por Hilbert [] em 9, cohecida como o Problema de Hilbert, que marcou a virada do éculo XIX para o éculo XX, e mai recetemete uma lita propota por Smale [2] em 998, com a fialidade de marcar a paagem do éculo XX para o éculo XIX. Na lita origial de Hilbert ão propoto 2 problema. Matemático do mudo todo mergulharam a buca de ua oluçõe. Por ua vez, Smale propõe 8 problema edo que algu dele apareceram iicialmete a lita de Hilbert. Equato que a lita de Hilbert o etedimeto de certo apecto topológico era a êfae, a lita de Smale ete papel é ocupado pela idéia de algoritmo de tempo poliomial. A eguir ão litado 8 problema matemático em aberto. Etre ele etão algu do mai importate problema da Matemática atual. O problema marcado com (*) têm um prêmio de milhão de dólare para a apreetação de uma olução []: A Cojectura de Goldbach (*), A Hipótee de iema (*), A Cojectura de Poicaré (*), A Cojectura Jacobiaa, O 6 o Problema de Hilbert, P veru NP (*), A Equaçõe de Navier-Stoke (*) e A Cojectura de Carathéodory. [] [2] S. Smale, Mathematical problem for the ext cetury, Math. Itel. 2. []

2 A Cojectura de Goldbach O úmero primo empre faciaram o er humao. A partir de ua defiição imple podemo obter reultado belíimo, como o Teorema Fudametal da Aritmética e a exitêcia de ifiito úmero primo. No etato, cohecemo muito pouco a repeito do úmero primo. Por exemplo, o primo da forma p e p 2 ão cohecido como primo gêmeo. Aim, e 5, 5 e 7, e, 7 e 9 ão exemplo de primo gêmeo. Uma quetão que e coloca é a eguite: Exitem ifiito primo gêmeo? Não e cohece uma repota para eta quetão. Em 99, Bru provou que a érie formada pela oma do recíproco do primo gêmeo coverge, obtedo B = =... =, p p Uma outra epeculação a repeito do úmero primo o leva à eguite lita = 2 2, 6 =, 8 = 5, = 5 5, 2 = 5 7, = 7 7, 6 = 5,.... Parece que todo o úmero iteiro pare maiore do que 2 podem er ecrito como edo a oma de doi úmero primo. Eta obervação foi feita em 72 por Chritia Goldbach uma carta a Euler. Cojectura de Goldbach: Todo úmero iteiro par maior que 2 pode er ecrito como uma oma de doi úmero primo. Vária tetativa para a ua demotração têm ido feita. Por exemplo, já e motrou que ela é verdadeira para iteiro pare meore que cao geral cotiua em aberto... O 2

3 A Hipótee de iema Euler etudou a érie ζ ( ) = = =, para iteiro > (claramete ζ () diverge). Uma urpreedete relação etre ζ () e o úmero primo foi também etabelecida por Euler, ou eja ζ ( ) =... =..., ζ ( ) =, p p ode o produto é tomado obre o úmero primo p. iema etedeu a defiição de ζ () para todo o úmero complexo, exceto para como fução zeta de iema. =, a qual poteriormete paou a er cohecida Um zero de ζ () é um úmero complexo tal que ζ ( ) = motrar que a fução zeta de iema tem zero triviai em Utilizado o produto de Euler motra-e que todo o outro zero de. Pode-e 2,, 6,... ζ () etão a faixa crítica determiada pelo úmero complexo ão reai com e( ), e que ele ão imétrico em relação à reta crítica e( ) =. 2 Podemo aim euciar a Hipótee de iema: Todo o zero ão triviai de ζ () etão obre a reta crítica. Em 986 foi motrado que o primeiro.5.. zero ão triviai de ζ () etão obre a reta crítica. Em 9, Hilbert litou a Hipótee de iema como um do mai importate problema em aberto da Matemática.

4 A Cojectura de Poicaré Uma uperfície regular (dimeão 2) em pode er vita como uma uião de pedaço de plao que foram deformado e colado, de modo que em cada um de eu poto faça etido falar do plao tagete à uperfície ee poto. Uma uperfície regular é chamada compacta e ela for limitada (puder er colocada detro de uma efera de raio coveiete) e fechada (toda eqüêcia covergete de poto obre ela coverge para um poto dela). Uma uperfície regular é chamada coexa e para quaiquer doi poto obre ela, exitir uma curva coectado ee poto, iteiramete obre a uperfície. Um elipóide é uma uperfície regular, compacta e coexa. Uma hiperuperfície regular, compacta e coexa (dimeão ) em uma geeralização do coceito de uperfície regular, compacta e coexa em. Por exemplo, a efera tridimeioal S de raio é defiida como edo o cojuto do poto o epaço cuja ditâcia até a origem é igual a, ito é, S { x = ( x, x, x, x ) / x = x x = } 2 2 = x x. Etamo em codiçõe de formular a Cojectura de Poicaré: Supoha que uma hiperuperfície regular, compacta e coexa M em teha a propriedade de que toda curva fechada obre ela poa er deformada um poto em air da hiperuperfície. Etão M pode er deformada uma efera tridimeioal S? Poicaré etudou o problema acima, exibido uma repota afirmativa para ele. Poteriormete percebeu um egao em ua repota. A Cojectura de Poicaré pode er adaptada para dimeõe afirmativa para é >. Smale deu uma repota 5, equato Freedma deu uma repota afirmativa para =. Ambo gaharam a Medalha Field.

5 A Cojectura Jacobiaa Coideremo uma aplicação f : poliomial, ou eja, ( f ( x,..., x ), f ( x,..., x ),..., f ( x,..., x )) f ( x,..., x ) =, 2 ode a fuçõe f i, i =,...,, ão fuçõe poliomiai de variávei. Sabemo que f é derivável e a derivada de f em cada poto x = ( x,..., x ) é uma traformação liear Df ( x ) :, a qual pode er repreetada por ua matriz Jacobiaa Df ( x f ( x ) x ) =... f ( x ) x f ( x x... f ( x x ) ). Dizemo que Df ( x ) é ão-igular e ua matriz Jacobiaa for ãoigular. Nete cao, em particular, Df ( x ) é ijetora. Pelo Teorema da Aplicação Ijetora, abemo que exite uma vizihaça V de tal que f retrita à vizihaça V é ijetora. Em outra palavra, a ijetividade da derivada de f um poto garate que f é ijetiva uma vizihaça dee poto. Etamo em codiçõe de euciar a Cojectura Jacobiaa: Supoha que uma aplicação poliomial f : x teha a propriedade de que ua derivada em cada poto eja ão-igular. Etão f é ijetora? Obervemo que o Teorema da Aplicação Ijetora garate apea que f é localmete ijetora, em cada um do poto de eu domíio. A partir dio ão podemo garatir a ijetividade global. A Cojectura Jacobiaa é um problema em aberto memo para o cao = 2. O profeor Carlo Gutierrez da USP de São Carlo tem dado cotribuiçõe igificativa à ua olução. 5

6 6 o Problema de Hilbert O problema de Hilbert foram auciado em Pari em 9, durate o egudo Cogreo Iteracioal de Matemática. Apreetamo abaixo uma verão modera do eu 6 o Coidere uma equação diferecial em ( ) 2 x = P( x, y) y = Q( x, y) problema. ode P e Q ão fuçõe poliomiai. Um ciclo limite de (*) ada mai é do que uma olução periódica iolada, ou eja, é uma olução fechada de (*) tal que toda a oluçõe próxima tedam para ela. Podemo agora euciar o 6 o Problema de Hilbert: É o úmero K de ciclo limite de (*) limitado da forma q K d grau de P e Q, e q é uma cotate uiveral?, ode d é o máximo do Segudo Smale, tirado a Hipótee de iema, ete é o problema mai deafiador propoto por Hilbert. Um úmero muito grade de matemático têm procurado a olução dete problema ma eta, todavia, etá muito loge de er obtida, memo para o cao em que d = 2. Memo a quetão da fiitude do ciclo limite de (*) etá loge de alcaçar eu deevolvimeto defiitivo. Dulac (92), Écalle (992) e Ilyaheko (99) deram cotribuiçõe ao etedimeto dete problema. 6

7 P veru NP Um algoritmo é um procedimeto para reolver um problema que pode er executado por um computador: todo pao é epecificado por um programa. Alguma quetõe que e colocam ão a eguite: quão eficiete é um algoritmo para reolver um dado problema? De que modo o úmero de cálculo eceário para forecer uma repota depede do dado iiciai? Para propóito teórico procuramo claificar o problema a erem reolvido. Aqui vamo trabalhar com dua dea clae, edo que a pricipal ditição etre ela etá o problema que ão do tipo P (tempo poliomial) e aquele que ão ão. Um problema é do tipo P e ele pode er reolvido utilizado um algoritmo cujo tempo de execução é limitado por alguma potêcia fixa do úmero de ímbolo exigido para epecificar o dado iiciai. Cao cotrário o problema é chamado ão P. Podemo provar que um problema é do tipo P forecedo um algoritmo que reolva o problema em tempo poliomial. Por exemplo, etá a clae P o Problema do Ipetor de Etrada. Em cotrate, acredita-e que o Problema do Caixeiro Viajate eteja a clae ão P, ma io uca foi provado. Coloca-e, etão, a eguite quetão: por que é difícil provar que um dado problema etá a clae ão P? A repota é batate imple. Você teria que cotemplar todo o poívei algoritmo e motrar que ehum dele reolve o problema propoto em tempo poliomial. Agora a clae NP (odetermiitic polyomial time) é compota pelo problema para o quai você pode verificar e uma olução propota é uma olução em tempo poliomial. Claramete temo P NP. Uma cojectura foi etão formulada: P = NP? É creça de muito que a clae NP coteha propriamete a clae P. 7

8 A Equaçõe de Navier-Stoke Talvez eja o mai célebre problema em Equaçõe Difereciai Parciai. Para eteder o eu euciado preciamo laçar mão de alguma defiiçõe. Aqui = [, ) e Ω. Para a fuçõe p : Ω e u : Ω, ode u u( t, x, x, x 2 ( )) ) = u ( t, x, x, x ), u ( t, x, x, x ), u ( t, x, x, x , defiimo como edo o Laplaciao de u a variávei epaciai x, x, ), como edo o gradiete da fução ecalar p, em ui x i e v uma cotate poitiva. u ( 2 x p como edo o operador A equaçõe de Navier-Stoke decrevem o movimeto de um fluido Ω. Ea equaçõe devem er reolvida de modo a ecotrar um campo de velocidade u e uma preão p atifazedo determiada codiçõe em t = e o bordo de Ω. A equaçõe de Navier-Stoke podem er ecrita da eguite maeira: u ( u ) u v u p = e div u =. t O problema que e coloca é o eguite: A equaçõe de Navier-Stoke, para um cojuto tempo t? Ω, têm uma úica olução regular para todo o Muito matemático têm cotribuído para o etedimeto dete problema. Uma repota afirmativa foi dada para o cao bidimeioal. Em dimeão uma repota afirmativa foi dada para t em um pequeo itervalo [, T ]. A olução dete problema poderá er um pao fudametal para o etedimeto de problema aida mai complicado, como é o cao do etedimeto do feômeo da turbulêcia. 8

9 A Cojectura de Carathéodory p S Tomemo uma uperfície regular e orietada S em. Para cada poto etá bem determiado o plao tagete a S o poto p (T ps ). Sobre T p S tomemo a circuferêcia uitária S cetrada o poto p, determiada pelo vetore uitário tagete a S o poto p. Seja v S. Chamemo plao ormal a S o poto p ( (v) ) o plao gerado pelo vetore v e N, ode Π p ete último é o vetor ormal uitário a S o poto p da orietação ecolhida. A itereção de S com Π (v) reulta uma curva plaar obre a uperfície S, p deomiada eção ormal de S o poto p, a qual poui uma curvatura, que mede o quato ela e afata de er uma reta, chamada curvatura ormal de S o poto p e deotada por k ( p, v). Fixado p e variado v podemo cotruir uma fução cotíua k S ( p) :. Como S é um cojuto p compacto (fechado e limitado), egue que ( p) k tem máximo e míimo em S, deotado por p) e k ( p), repectivamete. Decorre do que foi dicutido que k ( p) k 2 ( p). Um poto p S é chamado de poto umbílico quado k ( p) = k 2 ( p). k 2 ( Uma uperfície regular S é chamada de ovalóide quado ela for compacta (veja A Cojectura de Poicaré) e covexa (T deixa S de um lado, para todo p em S). O ome é batate ugetivo uma vez que em geral um ovalóide tem o formato de um ovo. Podemo euciar a Cojectura de Carathéodory: Sobre todo ovalóide exitem pelo meo doi poto umbílico. Na efera todo o poto ão umbílico; o elipóide de revolução o doi pólo ão poto umbílico; o elipóide de trê eixo ditito temo quatro poto umbílico; o cao geral cotiua em aberto. p S 9