TRATAMENTO VETORIAL RELATIVIDADE DE GALILEU E DE EINSTEIN

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1 Aula 4 TRATAMENTO ETORIAL RELATIIDADE DE GALILEU E DE EINSTEIN METAS Analisar a Cinemáia em duas e rês dimensões, e para ano inluir o ferramenal do Cálulo eorial. Inroduir a Relaiidade de Galileu e ompará-la om a de Einsein. OBJETIOS Proporionar aos alunos os meios de se uiliar do álulo eorial na abordagem dos problemas de inemáia. Desorinar ao alunado a perspeia de que a moderna Teoria da Relaiidade de Einsein em um aneedene em alguns aspeos oneiualmene análogos na relaiidade de Galileu. PRÉ-REQUISITOS Ter feio um semesre de Cálulo eorial.

2 INTRODUÇÃO Na ereira aula, rabalhamos om o ferramenal do Cálulo Inegral, mas esudamos somene moimenos unidimensionais. amos agora esender nosso esudo aos moimenos bi e ri dimensional. Para ano amos nos uiliar das propriedades dos eores, que oês onheem do urso de Geomeria e eores, e que foram reordadas, e ale em alguns ponos aprofundadas na nossa aula dois. amos mosrar ambém, que quando Galileu onebe que a Terra não é imóel e que não há nenhum referenial absoluo imóel no Unierso, mas sim que odo moimeno é relaio a algum orpo ou sisema que esolhemos arbirariamene omo referenial, esá esabeleendo uma das bases oneiuais que foram inorporadas pela moderna Teoria da Relaiidade de Einsein. 4. TRATAMENTO ETORIAL. PROJÉTEIS Traameno eorial da eloidade e aeleração insanâneas Tendo, nas seções aneriores, rabalhado em dealhe o álulo diferenial e inegral apliado ao moimeno reilíneo, ejamos agora omo ese ferramenal se aplia no aso de moimenos no plano ou no espaço. Temos enão que usar, na sua pleniude, o oneio de eor. Seja enão uma paríula desreendo uma rajeória urilínea C omo mosra a Fig. [4.]. Fig. [4.]

3 No insane a paríula esá no pono A dado pelo eor posição: r iˆ j ˆ kˆ, onde iˆ, ˆj e kˆ, são os eores dos eios X, Y e Z. Em um insane poserior, a paríula esá no pono B dado pelo eor posição: r iˆ ˆj k Embora o moimeno da paríula seja ao longo do aro AB s, o desloameno é o eor AB r. emos da Fig. [4.] que r r r. Temos enão: AB r r r iˆ ˆj [4-] iˆ j ˆ kˆ kˆ onde indiamos por ; ; O eor eloidade média é enão: med r [4-3] E enão emos de [4-] que: med iˆ ˆ j kˆ [4-4] emos ambém de [4-4] que a eloidade média, medida enre os insanes e, ou seja, enre os ponos A e B é um eor paralelo ao desloameno AB r. Eaamene omo fiemos em uma dimensão, definimos eloidade insanânea em, omo o limie de uma série de eloidades médias, obidas faendo ada e menor, ou seja, faendo B se aproimar de A, o que quer dier omando a eloidade média enre A e uma suessão de pono B, B,... ada e mais próimos de A. Iso equiale ambém a faer ender a, ou seja ender a. er Fig. [4-]. Podemos esreer enão, omo fiemos em uma dimensão: 3

4 Fig. [4-] r lim [4-6] Nesas suessias médias ujo limie é insanânea em, o eor seguines eores= desloameno AB, ( no insane ), ou seja, a eloidade r que iniialmene é AB, ai se modifiando e omando os AB... No limie quando B se aproima infiniamene de A, o rˆ em a direção da angene à ura. A eloidade insanânea que é: dr r lim [4-6] É enão um eor paralelo à rajeória da paríula em A. Calulamos a eloidade insanânea em A, e supusemos que a paríula esá em A no insane. Da mesma forma que fiemos no aso unidimensional, ambém nese aso, podemos formar a função eloidade insanânea. Esa é a função que fa orresponder a ada insane, a eloidade da paríula nese insane (emos a suessão de médias, e, porano o limie, para ada insane). Indiamos igualmene omo: dr [4-7] Mas agora o de é um insane genério (qualquer). imos enão que o eor eloidade é em ada insane, paralelo à rajeória da ura. Enão ele pode ser oloado na forma: 4

5 uˆ [4-8] Onde é o módulo do eor eloidade e û é um eor uniário na direção de (lembrar que qualquer eor pode ser esrio omo o produo de seu módulo pelo seu ersor, que é o eor uniário na mesma direção). amos mosrar [4-8] parindo de uma perspeia diferene. Seja O na Fig. [4-] um pono de referênia (qualquer) na rajeória C. O omprimeno O A dá a posição da s paríula medida pela rajeória perorrida, a parir de O, ao longo da ura aé o pono A. Quando a paríula ai de A e B a rajeória perorrida s ao longo da ura, é dada pelo omprimeno ao longo do aro AB. Tomemos a equação [4-6], a saber, amos mulipliar e diidir o segundo membro por s. Com iso, r lim e lim r s s lim r s s Onde pela propriedade do limie: r s lim lim s [4-9] Coloamos no primeiro faor r lim, pois quando ambém s. Da s Fig. [4-] podemos er que o módulo de r é aproimadamene o alor s, e esa aproimação é ano melhor quano mais próimo A esier de B. Ou seja, na medida em que B de aproima A, o módulo de eor desloameno ai se ornando igual ao espaço r perorrido ao longo da rajeória. Porano lim represena um eor uniário, porque s r lim, na direção de r, ou seja, na direção da angene à ura. Por sua e o s 5

6 s ds lim é a eloidade esalar da paríula (eloidade esalar insanânea) porquano é o espaço perorrido pelo empo. Enão de [4-9] hegamos à: uˆ que é [4-7]. Aeleraçao No moimeno urilíneo, a eloidade pode ariar ano em módulo quano em direção. Em módulo porque podemos er ariação da eloidade esalar e em direção porque o eor eloidade (esamos sempre submeendo eloidade insanânea) é sempre angene à rajeória e esa em, ou pode er direção ariáel. A aeleração média no reho AB é definida omo a med. Fig. [4-3] (a) Fig. [4-3] (b) Na Fig. [4-3] (a) esão represenados os dois eores eloidade em A e em B, respeiamene e, e em [4-3] (b) o eor (Podemos er que ). Deompondo o eor eloidade nos rês eios aresianos, podemos esreer: 6

7 uˆ uˆ uˆ [4-] Onde uˆ, uˆ, uˆ são os ersores nas direções dos eios (ou seja, iˆ, ˆ, j kˆ, mas omadas no pono A) e,, são as eloidades esalares segundo as direções X, Y, Z. Enão, lembrando que a aeleração média é dada por: a med [4-] podemos definir ambém, omo fiemos para a eloidade a aeleração insanânea omo: a lim [4-] Noamos que da mesma maneira que para a eloidade omamos iniialmene o limie em um pono, faendo, porano, a suessão de quoienes om ada e menor, mas omando om a diferença de eloidade enre a eloidade em um deerminado insane e os insanes seguines. Em seguida podemos formar a função aeleração insanânea omando ese limie em diferenes ponos, ou seja, em diferenes insanes, e assim assoiando à ada insane uma deerminada aeleração. Enão endo em isa a epressão [4-] da eloidade emos: a uˆ d uˆ d uˆ d [4-3] Lembrando que: d d ; ; d Temos que: 7

8 a d d d ; a ; a [4-4] Enão: a d d d uˆ u ˆ uˆ [4-5] E o módulo da aeleração é: ˆ a a a a a Se onheermos a equação horária, ou seja, funções e r r, o que implia em onheer as,, podemos, por deriação enonrar e a a. Se por ouro lado onheemos a aeleração, ou seja, emos a a, a a e a a, podemos por inegração ahar e r (dependendo de duas onsanes que são as ondições iniiais). Obseração: Quando omamos na Fig. [4-] os ponos, B, B... ada e mais próimos do pono A, para finalmene hegar à onlusão que o eor eloidade insanânea, que r definimos omo sendo lim, é um eor angene à rajeória, adoramos um d proedimeno pareido om aquele que ínhamos usado quando definimos a função, deriada da equação horária =(). De fao, nese úlimo aso, ínhamos omado o gráfio da função =() (er Fig. [4-4]). 8

9 Fig. [4-4] e onsiderado os suessios quoienes, omados a parir dos ponos, B, B, B... Enfim, faendo o pono B se aproimar de A, as reas seanes aabam se aproimando da angene ao gráfio de =() no pono. E os quoienes, angulares das suessias seanes, ão ender, quando, ao alor, que são os oefiienes d, que é o oefiiene angular da rea angene ao gráfio =() (à ura que é o gráfio) no pono, e que é ambém a deriada de =() omada no pono. A diferença fundamenal enre ese úlimo proedimeno, e aquele da Fig. [4-] é que a Fig. [4-] represena a rajeória real da paríula no espaço. Já na Fig. [4-4] emos o gráfio da função =(), ou seja, raa-se de uma ura desenhada no espaço de onfiguração. Como imos arás, ese moimeno uja equação horária relaiona uma únia ariáel om o empo, é um moimeno unidimensional. A represenação dese moimeno no espaço real é uma rea e não uma ura omo na Fig. [4-4]. O eor eloidade dese moimeno em a direção desa rea (por eemplo: o moimeno de queda lire). É, porano, um eor angene à rajeória, que no aso é a direção da própria rea. Obedee assim à mesma regra que ínhamos hegado om os proedimenos indiados na 9

10 Fig. [4-] que é o eor eloidade e é angene à rajeória. Só que na Fig. [4-], quando esamos desenhando a rajeória do moimeno uja equação horária é rˆ r, no espaço físio real, ou seja, é um desenho que represena a rajeória da paríula no espaço físio, d r não podemos irar do desenho da Fig. [4-] o alor da deriada em um ero pono. Tiramos somene a direção da eloidade desenhada na mesma represenação da rajeória da paríula no espaço físio. E não podemos enão alular o alor da deriada de rˆ r, ou seja, não podemos dr alular o eor, que é o eor eloidade insanânea, omado no pono? Claro que podemos. Deerminar um eor é deerminar sua direção e seu módulo. A direção, já deerminamos no iníio desa aula (Aula 4) e usando o proedimeno ilusrado na Fig. [4-], onluímos que a direção de é a direção angene à ura no pono A. Para ahar o módulo, olamos à fórmula [4-4] que é: med iˆ ˆ j kˆ [4-4] Como a eloidade insanânea é o limie de suessias eloidades médias quando emos: d iˆ d ˆ d j kˆ, [4-6] d d d onde assumimos que lim, lim e lim, e esá subenendido ambém que esamos omando odos eses limies e, porano as deriada em A, ou seja, em. Reapiulando um pouo o que imos aima, para represenar a equação horária no espaço ridimensional, nos uiliamos de um eor rˆ r que se eprime omo: r iˆ ˆj kˆ 3

11 d r d d d Para ahar, emos enão que ahar ada uma das deriadas, e. Faendo o gráfio de ada uma desas funções, podemos adoar o proedimeno que esá ilusrado na Fig. [4-4], para ada uma desas funções, ou seja, ahar, em ada aso, o oefiiene angular da rea angene ao gráfio no espaço de onfiguração, e ese oefiiene angular é o alor de ada uma das deriadas em. Deerminamos enão por ese proedimeno, apliado a ada uma das funções e d, os alores d d,,, que são respeiamene,,,. Enão o eor se esree: iˆ ˆj kˆ E o seu módulo é: olando ao esudo da aeleração, amos agora deompor a aeleração em uma omponene angenial (na direção da angene à rajeória) e em uma omponene normal à angene. Na Fig. [4-5], Fig. [4-5] 3

12 Represenamos à rajeória de uma paríula ao longo de uma ura C, e desenhamos em um pono A desa rajeória, o eor eloidade e o eor aeleração, bem omo as omponenes normais e angeniais de a, an e at. emos que a apona no senido da d onaidade da ura. Iso aonee sempre. Proure mosrar por que. Temos a. Por sua e omo em direção da angene à rajeória podemos esreer (omo já mosramos) u T onde û T é o eor uniário na direção da angene à ura no pono A. Enão: a d d d duˆ T uˆ uˆ T T [4-7] uˆ T d Nesa úlima fórmula [4-7] reonheemos imediaamene a omponene angenial, que depende da ariação do módulo da eloidade. A oura omponene depende da ariação de û T, porano da ariação da direção da rajeória. Na Fig. [4-6] emos que û T um eor uniário, û e û são os ersores dos eios X e Y. Temos que sendo A Auˆ e B = B ˆ. u 3

13 Fig. [4-6] Mas: u T A B E emos ainda que, sendo: u T uˆ T Fiamos om: A os e B sen Enão: uˆ T os uˆ sen u [4-7] Na Fig. [4-8] desenhamos noamene a rajeória C e os eores a e (bem omo û N e û T ) e definimos ambém o pono B que é o enro de uraura da rajeória em A. Por simpliidade, esamos assumindo que a rajeória C é uma rajeória plana, mas nossos resulados alem para qualquer rajeória no espaço. Como podemos er na Fig. [4-7], o pono B é obido pela ineressão da normal à ura em A e da normal à ura em A onde A é um pono siuado a uma disânia infiniesimal ds do pono A, disânia esa medida ao longo da rajeória. 33

14 Fig. [4-7] O eor û N é um eor uniário de direção perpendiular à direção da angene à rajeória no pono A. emos enão que ele fa um ângulo om o eio X que é. Enão a deomposição de û N em X e Y fornee, usando [4-7]: û û N N uˆ uˆ os uˆ sen uˆ os sen Lembrando [4-7], ou seja, que uˆ T uˆ os uˆ sen. Temos: duˆ r d d d uˆ sen uˆ os uˆ N [4-8] 34

15 duˆ emos assim que é normal à ura. Lembrando em seguida que ds é a disânia infiniesimal AA medida ao longo da ura no ineralo infiniesimal de empo emos, pela regra da adeia: d d ds d [4-9] ds ds Na úlima epressão ([4-8] usamos um resulado que já mosramos aneriormene, a ds saber, que a eloidade esalar é ). Obseremos ainda, na Fig. [4-7] que o ângulo enre a angene à rajeória em A e a angene à rajeória em A, que hamamos de d, é ambém o ângulo A B ˆA (Eplique porque). Nese aso emos na Fig. [4-7] que ds d onde AB é o raio de uraura da rajeória em A. Enão: d [4-] E subsiuindo esa epressão [4-] em [4-9], fiamos om: d [4-] Agora subsiuindo esa úlima fórmula [4-] em [4-8] fiamos om: du u N [4-] ˆT ˆ Por fim, oloando ese úlimo resulado [4-] na epressão de a [4-7] obemos: a uˆ T d uˆ N [4-3] 35

16 Esa epressão onsise na deomposição da aeleração, em uma omponene d angenial que é proporional à ariação da eloidade esalar, e uma omponene duˆ normal, que proem de T, porano, da ariação da direção da rajeória ( û T é um eor uniário na direção da angene à rajeória) e por iso é inersamene proporional ao raio de uraura (quano maior o raio de uraura, menor a ariação da direção da d rajeória). Os módulos desas omponenes são at an. Se o módulo da eloidade é onsane não emos omponene angenial da aeleração (omo é a aeleração do moimeno irular uniforme?) se o moimeno é reilíneo ( ) não há omponene normal da aeleração. Moimeno de um projéil Na superfíie da Terra a aeleração da graidade é, omo já imos, onsane: é a onsane g. Enão para esudarmos o moimeno de um projéil, próimo da superfíie da Terra, amos esudar o moimeno om aeleração (que hamamos a ) onsane. amos faer um a dedução análoga à que fiemos no aso do moimeno reilíneo, somene que agora lindando om eores. d De a, iramos: d a Inegrando, obemos: d á [4-4] Em [4-4] já inroduimos a ondição iniial que em = a eloidade é. A equação [4-4] fornee: ou seja, 36

17 a Porque a é onsane. Enão: a Ou seja: a [4-5] A equação [4-5], que é uma equação eorial, nos dá uma informação imporane. Como o eor esá sempre onido no plano de e a, que são dois eores onsanes, o eor eloidade, em qualquer insane esá sempre no mesmo plano. Iso signifia que o moimeno é plano (odo ele, ou seja, oda a rajeória esá em um únio plano). O resulado imporane enão que hegamos em [4-5] é: Um moimeno no espaço om aeleração onsane é um moimeno plano Em seguida inegrando à equação r r dr r r r a [4-6] dr, emos: [4-7] Obseramos que em [4-6] inroduimos a oura ondição iniial, qual seja, que em = o desloameno da paríula é r. A equação [4-7] é a equação de uma parábola omo 37

18 já mosramos. Assim o moimeno de um projéil próimo à superfíie da Terra (onde g é uma aeleração onsane) em a rajeória de uma parábola. Esudemos em maior dealhe ese moimeno. Tomemos enão a g e omemos o plano do moimeno, que, omo imos é o plano definido por g e, omo aquele em que amos siuar os eios oordenado XY. Fig. [4-8] O eio X esá no níel da superfíie da Terra (ou paralelo à superfíie da Terra) e o eio Y é, porano perpendiular a esa superfíie e dirigido para ima. Enão: g uˆ g [4-8] Onde u é o ersor do eio Y (eor uniário na direção de Y) e g é módulo g. Podemos deompor segundo os eios X e Y e eremos: ˆ u o uˆ [4-9] 38

19 Fig. [4-9] A Fig. [4-9] mosra esa deomposição. emos enão que o os e sen. o o o Podemos igualmene deompor o eor eloidade, ou seja, a eloidade em um insane qualquer, segundo os eios X e Y e nese aso eremos: uˆ uˆ e Onde imediaamene reonheemos e omo as omponenes de segundo X e Y û e û são os ersores de X e Y (que ambém emos hamado de î e ĵ ). Enão a equação [4-5], a saber: a onde oloaremos em lugar de, e suas deomposições nos eios X e Y e no lugar de a, o eor g uˆ g, ai fiar: uˆ uˆ uˆ uˆ guˆ [4-3] o o 39

20 Podemos separar esa equação [4-3] em duas equações esalares, igualando as omponenes de X do primeiro membro om as de X do segundo, e as de Y do primeiro membro om as de Y do segundo e oberemos:, g [4-3] o o Como é onsane, o é um alor onsane. Enão a primeira das equações [4-3], a saber, o, nos mosra que a omponene horional da eloidade, (ou seja, a omponene segundo o eio X) é onsane. Iso era de se esperar porquano não há aeleração nesa direção. Na erdade a deomposição do eor eloidade nos eios X e Y nos fornee a hae para a ompreensão do moimeno de um projéil. Traa-se da omposição de um moimeno horional uniforme, onde o,, om um moimeno erial uniformemene aelerado, om o g. Enendido iso podemos responder a qualquer quesão sobre o moimeno de projéeis. amos deompor a equação [4-7] em suas duas equações esalares, obidas omando as omponenes dos eores segundo os eios X e Y, e ao mesmo empo, de aordo om as figuras [4-8] e [4-9] omemos o iníio do moimeno na origem do sisema de eios (pono,), ou seja, façamos r o. Enão a equação eorial: r a o, lembrando que o eor posição r é: r uˆ ˆ u e que a agora passa a ser a aeleração da graidade. porano a guˆ, orresponde às duas equações esalares: 4

21 [4-3] (a) o o g [4-3] (b) Com iso podemos responder a qualquer quesão sobre o moimeno de projéeis. Para enonrar o empo neessário ao projéil aingir a sua alura máima, basa faer na equação [4-3]. Obemos enão: o [4-33] g Obseremos que: i) na alura máima a eloidade do projéil é horional. Não há omponene erial de eloidade e enão é ero. ii) esamos admiindo agora que é dado, e, porano onheemos o. Como sen onde é o ângulo que a eloidade iniial (eloidade do o lançameno) fa om a horional, emos ambém: (er Fig. [4-9]). sen [4-34] g Para ober a alura máima basa subsiuir ese alor de (eq. [4-35]) na equação [4-3] (b). Oberemos assim: ma h sen g Faendo em [4-3] (b) amos ober o empo aé que o projéil hegue ao hão. Ese empo hama-se empo de rânsio. É laro que ese empo será o dobro daquele 4

22 neessário ao projéil aingir a alura máima. De fao podemos omproar que o empo de sen rânsio é. g O alane, ou seja, à disânia em que o projéil ai air do pono de lançameno (OB na Fig. [4-8]) é obido, subsiuindo o empo de rânsio na primeira das equações [4-3] (b). Com iso emos: R o sen o g Como os, fiamos: o o R R sen os g sen g [4-36] Para ahar o alane máimo faemos: dr d Enão, emos: d d sen g g d (sen ) d g d (os ) d Desa equação iramos: os Ou seja, os os sen sen os sen 4

23 o A solução desa equação no primeiro quadrane é 45. Enão o alane máimo de um projéil lançado om eloidade iniial é, para um dado alor de, alançado quando fa um ângulo de 45 om a horional. Eliminando o empo nas duas equações [4-3] (a) e [4-3] (b), obemos uma equação que relaiona e, ou seja, obemos a equação da rajeória (rajeória do projéil no espaço físio). Esa equação é: g g os g [4-37] que é a equação de uma parábola. Eemplo: Uma arma dispara um projéil om eloidade m/s formando um ângulo de 4 om o solo. Ahar a eloidade e a posição do projéil depois de s. Ahar o alane e o empo de proura (Fig. [4-]). Fig. [4-] Solução: sendo o m e 4 emos: s o o os 53, m s o o sen 8,6 m s Enão as omponenes da eloidade em um insane qualquer, são: 43

24 53m s 8,6 9,8 m s Onde usamos as equações [4-3], e as oordenadas do projéil são: = (53,)m = (8,6-4, 9 )m, onde usamos [4-3]. Para = s, emos enão: 53, m s 67,4 m s Onde o fao de ser negaio signifia que o projéil esá desendo. O módulo da eloidade é: 67, 4 m s Usando ambém as fórmulas que deduimos, emos que a alura de A (alura máima) é 843,7m o alane OB é 4m e o empo de rânsio enre A e B é 6,4s. 4. RELATIIDADE DE GALILEU. RELATIIDADE DE EINSTEIN A famosa polêmia de Galileu om a Igreja a respeio da mobilidade da Terra, e que desreemos em dealhe na primeira aula, adquiriu, omo imos, um aráer eológio graças à inerpreação fundamenalisa da Igreja da époa. 44

25 Mas a par desa polêmia, a isão de Galileu de que a Terra se moe, onsiuiu-se em uma enorme reolução ienífia. Negando a idéia de que a Terra é imóel, Galileu aboliu o oneio de um referenial absoluo e inroduiu pela primeira e a idéia de relaiidade do moimeno. Epliquemos: Na isão arisoélia de uma Terra imóel, esa se ornaa um referenial absoluo. Quando diíamos que um orpo não se moia, ou que inha era eloidade, iso signifiaa que ele não se moia ou inha uma era eloidade om relação a Terra, a qual era onsiderada, na isão de Arisóeles, imóel. Podíamos assim simplesmene dar a eloidade de um orpo e esaa subenendido que esa eloidade se referia a Terra. Desa maneira, a Terra, imóel no enro do unierso, era um referenial absoluo om relação ao qual se media a eloidade de qualquer orpo. Para Galileu, enreano, a Terra se moia, e ele ompreendeu que não dispúnhamos de um referenial imóel, om relação ao qual pudéssemos espeifiar qualquer eloidade. Não dispondo, porano, de um referenial absoluo, oda e que damos o alor da eloidade de um orpo, emos que menionar om relação a que referenial esamos dando ese alor. Todo moimeno é relaio, oda eloidade, e, porano, odas as equações da meânia, só em senido quando espeifiamos um referenial preiamene esolhido, no qual esas equações são álidas. Mas Galileu foi mais longe. Ele inroduiu a idéia de Relaiidade que mais arde é reuperada de forma modifiada por Einsein em sua eoria da Relaiidade. Segundo a Relaiidade de Galileu, as leis da Físia são as mesmas em dois refereniais que se moem um em relação ao ouro om eloidade reilínea uniforme 6. E as equações que represenam esas leis são as mesmas quando ransformadas segundo as fórmulas de ransformação hamadas de ransformação de Galileu, e que passaremos agora a epliar. Seja (Fig. [4-] dois refereniais (,, ) e (,, )), e amos supor que o referenial (,, ) em eloidade om relação ao referenial (,, ), onde é um eor na direção do eio e que a orienação dos eios dos dois refereniais é a mesma. 6 Com iso fia laro que Galileu já aminhaa para o oneio de referenial inerial. Disuiremos ese oneio na 5ª aula. 45

26 Fig. [4-] Tomando um pono P no espaço e sejam (,, ) as oordenadas de P no referenial (X,Y,Z) e (,, ) as oordenadas de P (X, Y, Z ). Supomos ainda que no insane =, os dois refereniais eram oinidenes, ou seja, a origem O e O esaam no mesmo pono. A Fig. [4-] esá desenhada em um insane qualquer. emos que nese insane à disânia OO é. Nese aso emos ambém eaminando [4-] que eisem as seguines relações enre as oordenadas (,, ) e (,, ) dadas por: [4-38] As fórmulas [4-39] onsiuem a hamada Transformações de Galileu. Deriando as equações [4-38] amos ober a lei de ransformações de eloidade: d d d d Ao mesmo empo: 46

27 d d d d Enão as fórmulas de ransformação de eloidade são [4-39] Obseração: Esamos onsiderando, omo é usual faer, que a eloidade do referenial X, Y, Z om relação ao X, Y, Z é na direção do eio X que oinide om o X. Podemos faer iso sem perda de generalidade porquano qualquer que seja o eor, que eprime a eloidade do referenial X, Y, Z em relação à X, Y, Z, podemos sempre omar o eio X (e, porano, ambém o X ) na direção do eor. Sem perda de generalidade usa-se esa epressão oda e que faemos uma demonsração admiindo eras ondições ou eras premissas, mosramos que esas ondições ou premissas podem ser assumidas sempre. Enão nossa demonsração não é de um aso pariular, mas uma demonsração de alidade geral. As regras de ransformação [4-39] são basane óbias. De fao seja (Fig. [4-]) um passageiro em um agão. Fig. [4-] Suponhamos que a eloidade do passageiro om relação ao agão seja de na mesma direção do moimeno do rem que é de 6 km / h, 6km / h (om relação ao hão). Enão 47

28 é laro que a eloidade do passageiro em relação ao hão é de faermos esa ona esamos usando a ransformação [4-39]. 66km / h. erifique que ao Relaiidade de Einsein Na Teoria da Relaiidade de Einsein ambém as leis da físia são as mesmas em dois refereniais que se moem um om relação ao ouro om eloidade. Porém, quando ransformamos as equações que desreem uma lei em um referenial (X, Y, Z) para o referenial (X, Y, Z ), para que as equações permaneçam as mesmas, deemos usar não a ransformação de Galileu, mas uma oura ransformação hamada Transformação de Loren. Tomando uma siuação idênia à da Fig. [4-] a ransformação de Loren é: [4-4] Noemos que omparando a ransformação de Loren [4-4] om a de Galileu [4-38], emos que na ransformação de Loren a oordenada se ransforma na de maneira semelhane, somene que apareendo um faor, onde é a eloidade de lu. Na eoria da Relaiidade de Einsein a eloidade da lu no áuo é uma onsane (aproimadamene 3. km/s) e não depende do referenial. (Ou seja, é a mesma em qualquer referenial), emos ainda que em [4-4] eise um empo relaionado ao referenial (X, Y, Z ). De fao ese é um dos ponos imporanes da Teoria da Relaiidade, não eise um empo uniersal absoluo e por iso emos que ransformar ambém a oordenada empo. No esudo dirigido que oloarmos nas aiidades desa aula, os alunos serão orienados para faer uma dedução desa ransformação, porano, de dois posulados de Einsein. amos deduir as fórmulas de ransformação de eloidade que deorrem da ransformação de Loren. Chamando: 48

29 49 Onde. A ransformação de Loren enão fia: ; ; ; [4-4] A ransformação inersa é: ; ; ; [4-4] (Eplique porque esa é a ransformação inersa!) (Sugesão: a ransformação inersa é obida omando a eloidade de sisema XYZ om relação X Y Z ). Temos: d d d Enão: d d d [4-43] Diidindo numerador e denominador de [4-43] por, obemos: [4-44] E analogamene? (faer!).

30 (Faer esas duas úlimas deduções!). As inersas são (Eplique por que!). Podemos er, om a ransformação de eloidade que deduimos da ransformação de Loren, que de fao a eloidade da lu é a mesma nos dois refereniais. De fao, seja a eloidade de um fóon no referenial (X Y Z ). Enão usando [4-44]. Temos: Esa ransformação lea a ouras propriedades uriosas (que na erdade inham sido obseradas anes da ransformação esar ompleada e que learam a ela). A primeira é a onração de omprimenos. Tomemos uma régua ao longo do eio X, do referenial XYZ omado omo aquele de referênia (suposo imóel). Chamemos ese omprimeno da régua de L, e sejam e a medida dos dois eremos da régua no eio X. ejamos omo é medido o omprimeno da régua no referenial X Y Z que se moe om relação à XYZ om eloidade na direção do eio X. O omprimeno será a disânia enre os eremos da régua medidas no eio X em um dado insane. Sendo e a loaliação deses eremos no eio X no insane, o omprimeno da régua medido em X Y Z será: 5

31 L Mas lembrando [4-4] que é: ; ; ; emos que:, E enão: Ou seja, L L, Ou ainda: L L L Como é um número menor que um, emos que L é menor que L. Iso quer dier que a mesma régua quando isa e medida de um referenial om relação ao qual ela se moe om uma era eloidade, aparee onraída por um faor. Por sua e o empo no referenial X Y Z que se moe om eloidade om relação ao referenial XYZ, em sua medida dilaada. ejamos por que. Consideremos um relógio em repouso no referenial XYZ. O resulado da medida de empo no referenial em que o relógio esá em repouso é sempre designado pela lera grega (se di au ) e é denominado de ineralo de empo próprio. Suponhamos que o relógio, em repouso no sisema 5

32 XYZ esá na origem dese sisema (no pono (,,)). De aordo om a ransformação de Loren [4-4]. [4-45] E omo esamos supondo o relógio na origem de XYZ enão =, e fiamos om: pois o do segundo membro de [4-45] é o empo próprio (o empo do relógio em XYZ). Enão: e omo é um número menor que, o empo é maior que o empo. Podemos, om um raioínio simples, enender omo impondo que a eloidade da lu seja a mesma da lu seja a mesma nos dois refereniais S e S (daqui por diane hamaremos de S o referenial XYZ e S o referenial X Y Z ) amos er que admiir que o empo medido em S passe mais deagar (ou é mais omprido) que o empo em S. Suponhamos um raio luminoso parindo de um pono no referenial S, perorrendo uma disânia L nese referenial em uma direção paralela ao eio Y e sendo refleido em L por um espelho paralelo ao plano XZ e enão reornando ao pono iniial. No sisema S ele perorreu a disânia L e omo a eloidade é, o empo dese perurso medido em S é: L Consideremos agora ese mesmo perurso iso do referenial S e seja o empo dese perurso do raio médio no referenial S. Como o referenial S se moe na direção do eio X om eloidade em relação ao referenial S enquano o raio pare de A e ainge o espelho em B no referenial S, é deorrido meade do empo de perurso, o que no referenial S é o empo. 5

33 Fig. [4-3] Fig. [4-4] Em S o perurso é A aé B e olando a A.(Fig. [4-3]) Em S o perurso do raio é iso omo esamos mosrando na Fig. [4-4] Mas durane o empo o referenial S andou para a direia (nas nossas figuras), de maneira que os ponos A e B esão à esquerda do que esaam no iníio do moimeno e o perurso é o que esá represenado na Fig. [4-4]. Os ponos A e B são as posições dos ponos A e B no referenial S, isos no referenial S no momeno que o raio saiu da fone, e os ponos A e B são as posições de A e B, isos do referenial S no momeno que o raio é refleido no espelho. Finalmene A B são as posições de A e B, isos no referenial S, no momeno que o raio olou ao plano XZ. oê pode ainda se onener melhor que o rajeo do raio iso em S é ese que desenhamos na Fig. [4-4], imaginando, ou melhor, ainda faendo a seguine eperiênia. Fig. [4-5] Fig. [4-6] 53

34 Seja na Fig. [4-5] o ampo de uma mesa na qual esá uma ira de papel que na Fig. [4-5] esá imóel. Nesa ira de papel nós desenhamos om uma anea que se desloa em uma direção perpendiular à ira, de uma borda da mesma aé a oura e depois olando. Na Fig. [4-6], a ira se moimena om relação à mesa om uma eloidade e nós desenhamos um raço om a mesma direção que é uma direção paralela à borda direia da mesa. Mas, agora, omo a ira esá se moendo para a direia, resula na ira um raço omo esá mosrado na Fig. [4-6]. Ese raço é análogo à rajeória A B A do nosso raio de lu iso na Fig. [4-4]. Enão o problema é que o raio luminoso enre o insane em que pariu de A e olou a A, perorreu no referenial S uma disânia L (hamando a disânia de A à B de L) enquano que no referenial S, enre eses mesmos dois insanes perorreu a disânia A BA que é maior que L. Teríamos enão que onluir que a eloidade da lu é maior no referenial S. Mas posulamos que a eloidade da lu é a mesma nos dois refereniais, e ese é um dos posulados básios da Teoria da Relaiidade e Einsein, posulado que omo omenaremos em seguida é em pare deorrene de obserações eperimenais. Como oniliar esas duas oisas? Se o espaço, para S, é maior, a únia maneira de a eloidade ser a mesma, é que o empo medido enre o insane que o raio saiu e depois de refleido olou ao plano XZ, seja maior quando medido em S que quando medido em S. Assim o numerador, que é o espaço medido em S é maior, mas o denominador, que é o empo medido em S ambém é maior e emos ano em S quano em S a mesma eloidade da lu. emos assim que admiindo que a eloidade da lu seja a mesma em refereniais que se moem um em relação ao ouro om eloidade. Somos forçados a admiir que o empo enha medidas diferenes neses dois refereniais. E podemos alular em quano ai imporar esa dilaação emporal. Na figura. [4-7], a disânia AA é, pois é o empo oal de perurso do raio (ida e ola) em S. Enão, a hipoenusa do riângulo AA B, ou seja, o segmeno A B é L (Piágoras). 54

35 55 Fig. [4-7] E o perurso oal do raio iso em S, em omprimeno: L Ese perurso é perorrido em um empo a uma eloidade. Enão ese perurso é, ou seja, L Donde enão: 4 L 4 L E iramos: 4 L 4 L Eraindo a rai: L

36 Donde: L Lembrando que Logo: L, emos que. L L L Lembrando que é o empo oal de perurso medido em S, ou seja, é o empo próprio e que a úlima epressão fia:, que é a epressão que haíamos obido anes apliando direamene a ransformação de Loren. É imporane noar que odos eses efeios, que nos pareem basane esranhos, foram onsaados eperimenalmene. Uma imporane eperiênia que omproou a quesão da dilaação emporal é o deaimeno dos méson. O méson é uma paríula elemenar insáel que deai em um méson e um neurino. (A lera grega μ se pronunia mu onde ese u em um som enre u e i). O méson em no seu sisema de repouso uma ida média de era de 8,5 seg. Epliquemos udo iso. O é uma paríula insáel que deai em e um neurino. Iso quer dier que a paríula se ransforma esponaneamene em uma oura paríula, o e em um neurino. A ida média é o empo 56

37 em que meade da amosra oal deai, ou se ransforma em e neurino. Tomando em indiidualmene, não podemos saber quano empo ele oninuará omo, não podemos saber quano empo demora para que um deerminado se ransforme em e neurino. Mas podemos saber que dada uma amosra esaisiamene signifiaia depois de ero empo (no aso do ) meade da amosra se ransformou em e neurino. Esaisiamene signifiaia: om um número sufiienemene grande para que sejam álidos os proedimenos esaísios. Mas,5 8 seg, é a ida média medida no referenial do (ou seja, é o empo próprio a ida média própria). Mas o feie de mésons iaja a uma eloidade,9 (noe déimos da eloidade da lu). Enão a ida média medida no laboraório é:,5 8,8 5,7 8 seg E de fao, medindo a ida média no laboraório, enonrou-se um empo em eelene onordânia om ese alor. RESUMO Na primeira pare desa aula, esudamos a inemáia ao espaço bi e ri-dimensional. Com iso foi imporane er em mene as propriedades dos eores. Projeamos eses eores nos eios oordenados mosrando enão que uma equação eorial orresponde a duas equações esalares se se raa do espaço bidimensional, a rês equações esaleres no aso ridimensional. Parindo da obseração que a eloidade de uma paríula no espaço é sempre um eor angenial à rajeória (ese fao foi mosrado ano geoméria quano algebriamene) alulamos as omponenes normal e angenial da aeleração. Esudemos em seguida a quesão do lançameno de projéeis na superfíie da Terra. Mosramos que ese moimeno é um moimeno plano e pode ser deomposo em um moimeno reilíneo uniforme e em um moimeno erial uniformemene aelerado. A 57

38 parir daí iramos odos os parâmeros releanes dese moimeno e apliamos em uma lisa de problemas ípios. Resulamos ainda o senido hisório dese esudo ligado à are miliar. Na segunda pare desa 4 Aula, esudamos a Relaiidade de Einsein, mosramos os paralelos e as diferenças enre as oloações das duas relaiidades. Admiindo a ransformação de Loren mosramos, inerendo a onsrução hisória, algumas onseqüênias noáeis desa ransformação: a onração do espaço e a dilaação do empo. Nas aiidades, além dos problemas lássios de Relaiidade, apresenamos, na forma de um esudo dirigido, uma dedução da Transformação de Loren a parir dos dois posulados de Einsein. CONCLUSÃO A eensão da inemáia de um espaço unidimensional para um espaço ridimensional não inrodu nenhuma mudança oneiual, mas sim siuações que só podem ser esudadas om o domínio a níel inroduório, do alulo eorial. Na omparação das duas relaiidades de Galileu ou Einsein, emos onlusões muio imporanes. - O enorme signifiado para a Físia, da oloação de Galileu de que não só a erra não é imóel, omo que não eise um referenial absoluo e que odo moimeno é relaio. - O alane enorme da Teoria da Relaiidade de Einsein quando mosra que ambém não há um absoluo emporal, mas sim, que o empo se ransforma quando passamos de um referenial para ouro. ATIIDADES Traameno eorial, projéeis. - Desenhe a rajeória de uma paríula em um espaço ridimensional. Defina o eor posição no pono A e no pono B e defina o eor desloameno r enre A e B. Mosre enão que: AB r iˆ ˆj kˆ 58

39 (Obseração: esa quesão, e muias ouras dese quesionário onsise em simplesmene epliar om suas palaras o que esá no eo). - Defina eloidade média e eloidade insanânea, e mosre porque a eloidade insanânea é sempre um eor paralelo à rajeória. Qual a diferença essenial enre a Fig. [4-] e a figura análoga que fiemos quando definimos eloidade insanânea no aso unidimensional? 3 - Eplique omo parindo da eloidade insanânea definida em ero insane (ou seja, do eor eloidade insanânea em ero insane) podemos formar a função eloidade insanânea, ou seja, o eor eloidade insanânea função do empo, ou seja, dr 4 - Eplique, om os resulados obidos porque podemos esreer: uˆ. (Eplique quem é û T e que é ). Mosre em seguida, omo se pode hegar a esa relação ( uˆ ) por ouro raioínio. (Eplique em dealhe ese ouro raioínio). T 5 - Defina aeleração média e aeleração insanânea (na forma eorial) e mosre que: a uˆ d uˆ d uˆ d (Obsere que esamos hamando os ersores i ˆ, ˆ, j kˆ de uˆ, uˆ, uˆ ). 6 - Deriando d d, ou seja, faendo uˆ mosre que a omponene angenial da aeleração é T, e repeindo odo o raioínio do eo, d a T e a omponene normal é a N onde é o raio de uraura da rajeória no insane em que esão sendo aluladas esas omponenes. T Moimeno de um projéil 7 - Parindo de um eor aeleração dado omo sendo a = onsane, e das ondições de onorno que em o eor posição é r e a eloidade é, dedua por inegração (definida) que:7-59

40 ela. r r a. Qual é uma araerísia imporane dese moimeno e omo oê pode hegar a 8 - Eplique porque o moimeno de um projéil é a omposição de um moimeno reilíneo uniforme na direção horional e um moimeno reilíneo uniformemene aelerado na direção erial. Eplique iniialmene em palaras e em seguida dedua as fórmulas [4-3], a saber, e g. o o Desenhe a rajeória de um projéil no espaço físio. Em diersos ponos desa rajeória desenhe o eor eloidade e mosre (no desenho) suas omponenes horional e erial. 9 - Dado o eor eloidade iniial, ou seja, dado seu módulo e o ângulo que ese eor fa om a horional, dedua o empo de rânsio e o alane do projéil. - Seja um anhão apa de lançar projéeis à eloidade de 3m/s. Faendo um ângulo de 3 om a superfíie da erra, ele ainge um pono, no plano desa superfíie, que esá m além do alo, que preende aingir. Qual o ângulo que ele dee faer om a superfíie da erra, para aingir o alo? Obseração: ese é um problema ípio, diríamos mesmo o problema básio, de arilharia. O esudo do moimeno de projéeis em uma imporânia hisória ligada à are miliar. Desde a aniguidade as baalhas eram aberas lançando projéeis sobre o inimigo, sejam flehas, lanças ou grandes pedras por meio de aapulas. Nauralmene as noções de ângulos de lançameno e sua relação om o alane eram onheidos inuiiamene e pela eperiênia. Leonardo da ini, que foi um desenhisa e engenheiro eraordinário, soube equaionar o problema om rigor ienífio. Mas é om a meânia de Galileu e Newon, que o problema é maemaiado e definiiamene resolido. - Eliminando o empo das equações [4-3] (a) e [4-3] (b) esrea omo função de que é a função que dá a rajeória do projéil. erifique, omparando omo o que oê iu na aula, que raa-se de uma parábola. 6

41 - Um projéil é disparado do opo de um edifíio de m de alura. A eloidade iniial é 6m/s e a direção fa um ângulo de 6 om a horional. A que disânia do edifíio o projéil ainge o solo? (er Fig. [4-8]). Fig. [4-8] A disânia pedida é d.(ou seja, alular d). 3 - Um heliópero desarrega suprimenos para uma ropa aampada na lareira de uma floresa. A arga ai do heliópero no momeno em que ele esá oando a uma alura de m e subindo em um ângulo de 36,9 om a horional. a) Em que pono a arga ainge o solo? b) Se a eloidade do heliópero permaneer onsane, em que pono, om relação à arga, ele esará quando aingir o solo? 4 - Um guarda floresal preende aingir om um dardo ranqüiliane um maao pendurado em um galho de uma árore. O guarda apona direamene para o maao, e ese, que não onhee Físia, se sola do galho no momeno eao em que o iro é disparado. Mosre que independenemene da eloidade iniial do dardo, (desde que ela seja sufiiene para perorrer a disânia horional enre o guarda e a árore durane a queda do maao) o dardo aingirá o maao. 5 - Um projéil é disparado om eloidade iniial e faendo um ângulo om a horional. Ainge um pono em uma enosa (er Fig. [4-9]) e ese pono esá em uma alura al que a rea que une o pono do disparo ao pono na enosa fa um ângulo om a horional. Enonre a disânia d enre o pono do disparo e o pono na enosa. 6

42 Fig. [4-9] Sugesão: omando um sisema de eios XY omo indiado na Fig. [4-9], esrea a equação da rajeória f (). Em seguida esrea, no mesmo sisema de eios, a equação da rea que passa pelos ponos A e B. Enonre o pono de inerseção enre esa rea e a parábola que dá a rajeória. Relaiidade de Galileu e Relaiidade de Einsein 6 - Esudo dirigido isando deduir a ransformação de Loren parindo dos posulados de Einsein. Einsein assumiu dois posulados: - As equações da Físia são as mesmas quando esrias em dois refereniais que se moem um em relação ao ouro, om eloidade onsane. - A eloidade da lu é a mesma em odos os sisemas de referênia em moimeno uniforme em relação à fone de lu. Mosraremos agora junos, nós e oês esudanes da uniersidade Abera, que parindo deses dois posulados podemos deduir a ransformação de Loren. Para ano amos orienar uma série de operações e álulos simples que oês ão faer e que nos learão a nossa mea que é hegar à ransformação de Loren. Consideremos uma fone luminosa na origem de um referenial S, de eios XYZ, que em emie lu em odas as direções, e assim a frene de onda luminosa é uma esfera ujo raio ai resendo a eloidade da lu. 6

43 Fig. [4-] Tomendo um pono P desa frene em um insane. Como a lu em eloidade, a disânia da origem aé P é. Ao mesmo podemos er da Fig. [4-] (Piágoras duas ees) que esa disânia é. Enão podemos esreer no sisema S, que: [4-46] Seja agora o sisema S de oordenadas X Y Z que em oinide om o sisema S, mas que se moe om relação a S om eloidade na direção do eio X. (Como imos aneriormene os eios X Y Z são paralelos a XYZ, e X oinide em direção om X). Enão em a fone luminosa na origem emie ambém, isa agora em S, uma frene de onda irular e ale: [4-47] Porque a frene de onda isa do referenial S ambém é uma frene esféria, e enão é álida [4-47]? Porque pelo primeiro posulado da Relaiidade de Einsein que nese pono é igual ao de Galileu, as equações da Físia são as mesmas em dois referenias que se moem um em relação ao ouro, om uma eloidade onsane. Nosso rabalho enão onsise em enonrar uma formula de ransformação de oordenadas de,, para,,, de al maneira que parindo de [4-47] heguemos à 63

44 [4-46]. Obserem que em ambas as equações assumimos a eloidade da lu omo sendo, graças ao segundo posulado. Para enonrar esa ransformação amos parir iniialmene da Transformação de Galileu, e er iniialmene o que aonee. Enão: a) Mosre que se em [4-47] subsiuirmos,, e pelos alores dados pela Transformação de Galileu que é: ; ; e amos ober: [4-48] É laro que não obiemos a equação [4-46] que é: [4-46] Mas iso era de se esperar, porque sabemos que a Transformação de Galileu não é no aso da Teoria da Relaiidade de Einsein, a ransformação que manem as equações da Físia inarianes. Analisando [4-48] erifiamos que há dois ermos, que esão faendo a diferença om relação à [4-46], e que são. amos enão enar modifiar a ransformação para er se usando a noa ransformação assim obida poderíamos de alguma maneira anelar os ermos indesejados. b) Tene usar as seguines fórmulas de ransformação ; ; e f. Onde f é uma onsane a ser deerminada, e mosre que subsiuindo esa ransformação em [4-47] amos ober: f f [4-49] Analisando [4-49] emos que se fiermos f amos ober: 4 64

45 65 E enão anelando nos dois membros fiamos om: ) Passe agora o ermo para o primeiro membro desa úlima equação, e o ermo para o segundo membro. Ponha em eidênia enre os dois primeiros ermos do primeiro membro da equação obida, e ponha, no segundo membro o ermo em eidênia e mosre que fiamos om: [4-5] d) A equação [4-5] difere da equação que deeríamos ober, que era: Apenas porque ano, quano esão mulipliados por um mesmo faor que é. Lembremos que a úlima ransformação que haeríamos enado, já faendo f era: [4-5] amos agora em [4-5] diidir o segundo membro da primeira e quara equações por. Obemos assim:

46 [4-5] erifique agora que esa é a ransformação de Loren, ou seja, subsiua,,, desa ransformação em [4-47] e eja que se obém [4-46] que é. 7 - Mosre que se L for o olume de repouso de um ubo, enão L é o olume obserado de um referenial que se moe om eloidade uniforme na direção paralela a uma aresa do ubo. Simulaneidade 8 - Mosre, a parir da Transformação de Loren, que dois eenos simulâneos em posições diferenes no referenial S, não são em geral simulâneos no referenial S. 9 - Méson a) Qual é a ida média de um pulso de mésons que iaja om, 73, sabendo que a ida média própria é,5 8. (Resposa: 3,6 8 ). b) Qual é a disânia araessada om, 73 durane uma ida média? REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Kiel, C; Knigh, D.W; Ruderman M.A; Meânia Curso de Físia de Berhele, olume. Ediora Edgard Bluher Lda.97. Alonso, M., Finn, E.F. Físia, olume. Meânia, Edior Edgard Bluher Lda.97. Tipler P.A. Físia, olume. LTC- Liros Ténios e Cienífios S. A,