Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);

Transcrição

1 Aula A maemáica do movimeno ondulaóio Refeência: E. Hech, ópica, Fundação Calouse Gulbekian, segunda edição pouguesa (00;

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5 Muios fenômenos físicos, apaenemene disinos, podem se descios maemaicamene em emos de ondas.

6 O aspeco essencial da popagação de uma é que esa consise numa peubação auo-susenada do meio aavés do qual se popaga.

7 Se há popagação, a peubação deve se epessa como função do espaço e do empo: ψ f (, (ψ lê-se psi A foma da peubação em qualque insane, obem-se paiculaizando o valo da vaiável empo: (po eemplo 0 1,0 0,8 0,6 ψ (, 0 f (,0 f ( F1 0,4 0, 0, , Repesena a foma (pefil da onda

8 Considee um pulso caminhando paa a dieia S é um sisema fio S v S' v ' S se desloca com o pulso com a mesma Velocidade v. Nese sisema ψ (psi não é função do empo, ψ f( X X X -V

9 Com base no slide aneio ψ (, f ( ' f ( v Esa equação epesena a foma mais geal da função de onda uma dimensão. em Basa apenas escolhe a foma f(,o f( e f(! subsiui po (-v em

10 Do mesmo modo, se a onda se desloca paa a esqueda: (, f ( + v ψ Com v > 0 Iso pemie obe a foma geal da equação de ondas a uma dimensão: ψ f ' ' f ' ±v 1 Se se manive consane, a deivada pacial de ψ(, no empo é: ψ f ' ' ±v f ± v '

11 Combinando ambas as equações: v ± ψ ψ Mas como são necessáias duas consanes paa especifica oalmene uma onda, a equação mais geal deve se de segunda odem. Calculando as segundas deivadas paciais: ' f ψ ± ± f v f v ' ' ψ

12 Uma vez que dψ d df d E lembando que ψ ±v ψ Enão ψ v f '

13 Combinando esas equações, obemos: ψ 1 ψ v A equação de ondas! Que admie soluções da foma ψ Af ( v + Bg( + v

14 FASE E VELOCIDADE DE FASE ψ (, A sen (k±ω +ε Vaiação da fase com o empo Vaiação da fase com a posição fase consane velocidade de fase ϕ ω ϕ k dϕ d k ± ω d d d ω v ± d k Fase ϕ k±ω +ε 0 Consane de fase

15 VELOCIDADE DE GRUPO Em meios dispesivos a velocidade de fase depende do compimeno de onda. v g d dk ω A moduladoa, ou sinal, popaga-se a uma velocidade v g, que pode se supeio, igual ou infeio à velocidade de fase da anspoadoa, v como enão ω kv vg v + k dv dk

16 Em paicula em meios não dispesivos em que v não depende de λ, dv/dk 0 e v g v Em meios dispesivos onde n n(k, ω kv kc/n pode se escio na foma: v g v v g g c n v 1 kc n k n dn dk dn dk

17 v v g g c n v 1 kc n k n dn dk dn dk Em meios óicos e em egimes de dispesão nomal, o índice de efação aumena com a fequência (dn/dk > 0, logo v g < v. Podemos defini enão um índice de efação de gupo, n g c/v g

18 A elaividade esia não pemie a popagação de sinais com velocidade supeio a c. Todavia, em ceas cicunsâncias a velocidade de fase pode se maio do que c. A conadição é apenas apaene, e esula do fao de uma onda monocomáica, apesa de se pode popaga a uma velocidade supeio à da luz no vácuo, c, não pode anspoa infomação. Dispesão em gupos bicomáicos de ondas. O pono vemelho move-se com velocidade de fase enquano que o pono vede se popaga com velocidade de gupo. Nese caso, a velocidade de fase é duas vezes a velocidade de gupo. O pono vemelho ulapassa dois ponos vedes.

19 A velocidade de gupo é fequenemene visa como a velocidade na qual a enegia e a infomação são anspoadas na onda. No enano, se a onda esá aavessando um meio absovedo, iso nem sempe é vedade. Váios epeimenos mosam que é possível que a velocidade de gupo de uma luz lase em ceos maeiais podem ecede a velocidade da luz no vácuo! Aenção! Mas a comunicação supeluminal não é possível, pois a velocidade do sinal pemanece meno do que a velocidade da luz. É possível ambém eduzi a velocidade de gupo da luz a zeo, paando o pulso, ou e uma velocidade de gupo negaiva, paecendo que o pulso se popaga paa ás. Mas, em odos eses casos, os fóons coninuam se popagando com a velocidade da luz no meio.

20 REPRESENTAÇÃO COMPLEXA Im(z z + i θ i -1 Re(z

21 REPRESENTAÇÃO COMPLEXA Im(z z cosθ senθ z (cosθ + i senθ θ Re(z

22 z (cosθ + i senθ difeenciando Colocando i em evidência Re-escevendo em emos de z dz (-senθ +i cosθ dθ dz i (isenθ+cosθdθ dz izdθ dz/zidθ lnziθ Fómula de Eule z e iθ

23 z e iθ Módulo de z z z * e -iθ Compleo conjugado z * -i

24 Adição e subação: z 1 ± z ( 1 + ± i( 1 + Muliplicação e divisão: Z 1.Z 1 e i(θ 1 +θ Z 1 /Z ( 1 / e i(θ 1 -θ

25 Temos ainda: i i z z z z isen e e zz z e e e + + π π π cosπ 1 * z i z i z i i i e e e e i e isen e e ± + + ± π π π π π π π 1 cos

26 Z Re(z+i Im(z Re(z ½ (z + z* Im(z (1/i(z - z* Enão, que a pae eal, que a pae imagináia podem epesena ondas hamônicas. É habiual escolhe a pae eal, e desceve a onda como...

27 ψ (, Re [ i( ω k ε ] Ae + ψ (, Acos ( ω k + ε Ae iϕ Apenas no final dos cálculos se eaiá a pae eal das equações.

28 ONDAS PLANAS Consiuem povavelmene os mais simples eemplos de ondas idimensionais.

29 Paa ondas planas, as supefícies de igual fase são planos, em geal pependiculaes à dieção de popagação da peubação (,,z k (o,o,zo o ( o k ( 0 o

30 A foma mais eduzida da equação do plano pependincula à k é k. consane a É possível consui um conjuno de planos paa os quais ψ( dependa senoidalmene das vaiáveis espaciais: ψ ( ψ ( ψ ( Asen( k. Acos( k. Ae ik.

31 A naueza peiódica das funções hamônicas no espaço pode se epessa na foma: ( ( kˆ ψ ψ + λ kˆ λ λ ˆ k k λ k

32 ( λ ψ ψ π λ λ λ 1 ˆ ( (. ˆ e e e Ae Ae Ae k i k i k i ik k ik ik λ π π λ k k

33 Paa que os planos de igual fase se popaguem é necessáio que ψ ( vaie no empo, o que se consegue inoduzindo a dependência empoal : ψ φ ( Ae [ ] k. ± ω i [ k. ± ω ] fase φ cons d φ 0 d d φ d k ± ω 0 d d

34 d φ d d k ± ω 0 d d ω d v fase ± k

35 ( z k k k i z Ae z ω ψ ± + +,,, ( Uma onda plana hamônica é epesenada em coodenadas caesianas, na foma: ( [ ] z k i Ae z ω γ β α ψ ± + +,,, ( ou

36 Onde α,β, e γ são os co-senos dieoes de k z k k k + k + k z α + β + γ 1 k Poblema.19 (Hech θ ϕ

37 ONDAS ESFÉRICAS z senθ cosϕ senθ senϕ z cosθ θ θ ϕ ϕ

38 1 1 1 φ θ θ θ θ θ + + sen sen sen O laplaciano em coodenadas esféicas:

39 Pocua-se consui uma descição de ondas esféicas, ou seja, ψ ( ψ (, θ, φ ψ ( φ θ θ θ θ θ + + sen sen sen 0 0 ψ ψ 1

40 Onda esféica hamônica: ψ A (, cosk( ± v

41 ONDAS CILÍNDRICAS coodenadas cilindicas z z ρ cos θ ρsen θ z z ρ ρ θ θ

42 ONDAS CILÍNDRICAS O Laplaciano em coodenadas cilindicas é 1 ψ 1 ψ ρ + ρ ρ ρ ρ ψ θ + z ψ

43 A simeia cilíndica aduz-se pela seguine eigência: ψ( ψ(ρ,θ, z ψ (ρ 1 1 z + + ψ θ ψ ρ ρ ψ ρ ρ ρ ψ v ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ Equação de onda em coodenadas cilíndicas

44 Qual deve se a foma de ψ ( das soluções desa equação? ψ A ( ik ( v, e m Esa equação epesena um conjuno de cilindos coaiais que peenchem odo o espaço e que se afasam ou se apoimam de um fone linea de compimeno infinio siuada no eio.

45 ONDAS ESCALARES E ONDAS VETORIAIS Ondas longiudinais As ondas classificam-se em Ondas ansvesais Dependendo da dieção ao longo do qual a peubação ocoe e a dieção de k

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49 A luz é uma onda ansvesa e a compeensão coea da sua naueza veoial é de impoância eema. A polaização da luz é um fenômeno que só pode se descio em emos dese modelo de onda veoial.

50 Emissão e absoção de ondas: Impedância Vamos eamina o mecanismos pelos quais ondas são emiidas po um ansmisso e efleidas quando enconam uma desconinuidade no meio. u( velocidade de saída do ansmisso Velocidade ansvesal da mão Velocidade longiudinal da mão Velocidade de oscilação das cagas em uma anena

51 V( - - i( Z No caso de ondas eleomagnéicas em linhas de ansmissão, ou cicuios, a velocidade das cagas do geado é popocional à coene : u( i( Impedância caaceisíca (no caso eleomagnéico Z V ( i( [Z] Ω No caso mecânico: Foça impulsoa Z F( u( [Z] Ω

52 Veemos que a impedância caaceísica depende das mesmas duas popiedades do meio assim como a velocidade de popagação, v, ou seja, a popiedade ipo inécia e a popiedade ipo foça de eono. A impedância caaceísica Z, eise somene, poque o ansmisso esá acoplado a um meio abeo e esá emiindo ondas. O meio abeo aua como uma impedância esisiva de caga. Poência iadiada: P( F( u( Z u( F( /Z (mecânica P( V( I( Z I( V( /Z (eleomagnéica

53 fone Z enada 0 Z + Meio abeo (Não há efleão fone Z enada 0 Z Equivale à Z saida Z Casameno de impedância (Não há efleão

54 fone Z sem casameno de impedância (há efleão Z enada 0 Z saida Z R 1 Z Z Z Z Z Coeficiene de efleão Z 1 Z

55 Emissão e absoção de ondas em uma coda conínua Emissão e absoção de ondas em uma coda conínua T -T 1 << θ T T θ( + θ( + 0, (, (, (, (, ( lim, (, ( T a m F T z T T z T T Tg Tsen + + µ θ θ

56 θ θ θ a m F T z T T z T T Tg Tsen + + <<, (, (, (, (, ( lim, (, ( 1 0 Segunda Lei de Newon Foça esulane veical µ µ µ T v v T T 0, ( 1, ( 0, (, (, (, ( Divindo po, emos: Compaando com a Equação de onda Temos:

57 θ( v g θ µ µ θ T v v T Z Z v T Tg F (

58 Refleão de uma onda em um meio não casado - Z 1 0 velocidade incidene A cos( ω k Z u efleida R1Acos( ω + k Pisão (foça de aaso F -Z u (, Acos( ω k + R1Acos( ω + k µ 1 µ

59 Condições de conono em 0 A coda eece uma foça na caga dada po: F( coda / c ag a T A foça eecida pela caga na coda é: F( c aga / coda Z (0, (0, Mas, de acodo com a eceia lei de Newon: F 1 - F 1 T z + Z 0

60 Inseindo a função de onda na equação acima, emos: Tksen(ω-TkR 1 sen(ω Z ω sen(ω- Z ωr 1 sen(ω0 Onde kω/v R 1 T T v v + Z Z Z Z Z Z

61 Casos limies: Casameno de impedância: Z 1 Z R 1 0 eemidade fia Z R 1-1 R 1 Z Z Z Z

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63 D( Ondas de som p p o, ρ ρ o 0 p po + p Velocidade do pisão u( dd(/d ψ(, (, epesena o deslocameno insanâneo na dieção de uma pequena quanidade de gás ( epesena a posição de equilíbio

64 v Z γ P o ρ o ρ v γp o o ρ o Z a (1, g/cm 3 (3, cm/s 4,8 g/cm. s Z é a quanidade de massa po unidade de áea po unidade de empo que é vaida pela fene de onda.

65 Cabos coaiais

66 L u ln π b a [H/m] C πε b ln a [F/m]

67 Cicuio equivalene de uma unidade de linha de ansmissão

68 Cabo ideal Cabo eal

69 z I z L z zi R z V, (, (, ( z V z C z zv G z I, (, (, (

70 Dividindo po Z e levando no limie Z 0, enconamos as equações difeenciais V z RI L I I z GV C V

71 Difeenciando com espeio a z e, e subsiuindo, as equações podem se desacopladas e esula em RGV V RC LG V LC z V ( O cabo ideal sem pedas (R G 0 V LC z V ( ( 1 ( kz i kz i e V Ve z V + + ω ω

72 Velocidade de popagação v κ ω 1 LC LC µε A velocidade de popagação do sinal é feqüenemene epessa em emos de seu inveso, o empo de popagação po unidade de compimeno T v - 1 (LC 1/. Esa quanidade é conhecida como o aaso (dela do cabo e é ipicamene da odem de 5 ns/m paa um cabo padão de 50 Ω.

73 Impedância Caaceísica Z o V I Z o L C

74 Zs Z Ineface z 0 Vs V V + s V o o V ZI Z o ZI o V s Z s Z + s I Z o R V ( z, V o e i ( w+ kz i( w kz + V e i( z, Vo Z e i V Z ( w kz i( w kz e

75 na ineface z 0 Zs Z Ineface z 0 Vs R V ( o, Ri ( o, V o e i [ Ve Ve ] ( w i( w i( w i( w + Ve R Z R V o + V Z o ( V o V V RI

76 R 1 V V o I I o R R + Z Z T V V o R R + Z

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78 Casado de impedâncias

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82 Lisa Hech capíulo Eecícios segundo a sequência de Fibonacci

83 PURPOSE: To demonsae he elaionship beween he phase veloci and he goup veloci of a wavepacke. DESCRIPTION: Two anspaencies conain a seies of equall spaced paallel lines. One anspaenc has a line spacing five pecen smalle han he ohe. Place one anspaenc saiona ono he ovehead, as shown in he phoo above a lef. Place he second anspaenc on op of he fis and il i o ceae a small angle. Obseve an inefence paen beween he wo ovelapping anspaencies, as shown above in he middle phoo. The smalle he angle beween he wo anspaencies he bee he effec. Keeping he fis anspaen saiona, slide he second anspaenc acoss he OHD pojeco. The goup veloci is seen o move apidl acoss he picue, as shown in he phoo a igh. The movemen of he phase veloci (moion of each anspaenc is much slowe han he fas moving goup veloci. EQUIPMENT: Tanspaencies, ovehead pojeco. SETUP NOTES: None. To make ou own anspaencies, hee is a jpg file of he paallel lines. To make ou own demo, download his file and pin i on ou pine. Ne, use a cop machine o make a one 1:1 anspaenc. Lasl, adjus he cop machine o zoom a 5% educion, and make a second anspaenc. Now ou have he demo! Refeences: Robe Kaz, Goup-Phase Veloci Demonsao, AJP 1, (1953. Eic Mendoza, Som a Sea - An Illusaion of Goup Veloci, AJP, (1954. P. T. Demos, Device fo he Visual Pesenaion of Goup Veloci, AJP 5, (1957. N. F. Babe, Phase Veloci and Goup Veloci, AJP 7, 10 (1959. J. Mawdsel, Demonsaing Phase Veloci and Goup Veloci, AJP 37, (1969. John Coenaads, noes: Phase and goup veloci, TPT 11, (1973.

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