Códigos lineares via sequências de Fibonacci

Transcrição

1 XXXV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS - SBrT DE SETEMBRO DE 017 SÃO PEDRO SP Códigos linars via squências d Fibonacci Antonio Aparcido d Andrad Agnaldo José Frrari Rsumo Nst trabalho aprsntamos construçõs d códigos linars via númros d Fibonacci Inicialmnt xploramos um númro spcial para aquls qu admiram a matmática chamado d númro d ouro proporção aura ou númro φ O primiro rgistro scrito dss númro na história da matmática aparc no livro Os Elmntos VI d Euclids (século VI ac Em sguida aprsntamos aplicaçõs dos númros d Fibonacci na toria da informação codificação Palavras-Chav Númro d ouro Númros d Fibonacci Formula d Cassini Códigos linars Abstract In this work w prsnt linar cod constructions via Fibonacci numbrs Initially w xplord a spcial numbr for thos who admir th mathmatics calld th gold numbr th goldn ratio or th numbr φ Th first writtn rcord of this numbr in th history of mathmatics appars in Euclid s book Th Elmnts VI (6th cntury BC Nxt w prsnt applications of Fibonacci numbrs in information thory and coding Kywords Goldn numbr Fibonacci numbrs Cassini formula Linar cods I INTRODUÇÃO O númro φ aparc m inúmras inspradas situaçõs na ciência nas arts nas coisas naturais sobrnaturais Outro númro intrssant foi dscobrto séculos após Euclids por um matmático chamado Lonardo qu sndo morador d Pisa ra conhcido como Lonardo d Pisa E como nascra d família d boa stirp ficou também conhcido como Fibonacci qu significa litralmnt filho d boa gnt Fibonacci publicou m 10 um livro chamado Livro dos Ábacos ond tratava d vários tmas matmáticos qu considrava como importants Um dls tratava do problma d calcular quantos colhos podriam sr produzidos m um ano a partir d um único casal Da forma como nunciado por Fibonacci o problma é muito artificial Supõ qu cada casal lva um mês após nascr para ficar fértil gra smpr outro casal a cada mês nnhum colho morr durant o ano ou sja obtm a conhcida squência d Fibonacci qu rprsnta a quantidad d colhos m cada mês A squência d Fibonacci a partir do trciro trmo cada trmo é função dos dois trmos antriors ou sja + = +1 + ond n 1 A squência d Fibonacci não é a única squência qu satisfaz ssa fórmula rcursiva ou sja xistm uma infinidad d outras squências qu também a satisfaz Além disso φ n = φ + 1 para n o matmático F Edouard A Lucas ( provou m 1876 qu o máximo dividor comum d dois númros d Fibonacci é um outro númro d Fibonacci ou sja mdc(f m = F mdc(mn A toria dos códigos pod sr xplorada via a matriz Fibonacci Em contrast com os códigos clássicos uma pculiaridad do método é qu prmit corrigir os lmntos da matriz qu podm sr intiros toricamnt ilimitados No caso mais simpls a capacidad d corrção do método xcd os d muitos códigos conhcidos A idéia principal da dtcção corrção d rros é basado na propridad dos dtrminants da matriz inicial da matriz código sobr as conxõs ntr os lmntos da matriz código Na Sção II aprsntamos o númro φ juntamnt om suas principais propridads Na Sção III aprsntamos os númros d Fibonacci a formula d Cassini Na Sção IV aprsntamos os p-númros d Fibonacci a xpansão da formula d Cassini Na Sção V aprsntamos as matrizs d Fibonacci juntamnt com suas principais propridads Na Sção VI aprsntamos um método d codificação d dcodificação d códigos linars via matrizs d Fibonacci d ordm Na Sção VII basado na Sçõs V VI aprsntamos um algoritmo d codificação d dcodificação d códigos linars via as matrizs d Fiboanacci Na Sção VIII aprsntamos nossas conclusõs do trabalho II NÚMERO φ Uma das rfrências mais antigas ao númro d ouro s ncontra no livro Os lmntos VI d Euclids Nst livro Euclids trata do problma d sccionar um sgmnto m média xtrma razão ou sja Dado um sgmnto AB um ponto C divid st sgmnto m média xtrma razão s o mais longo dos sgmntos é a média gométrica ntr o mnor o sgmnto todo O problma proposto por Euclids consistia na idéia d qu dado um sgmnto d rta AB qurmos ncontrar um ponto C qu o divida m média xtrma razão ou sja considrando o sgmnto Antonio Aparcido d Andrad Dpartamnto d Matmática Instituto d Biociências Ltras Ciências Exatas Univrsidad Estadual Paulista Júlio d Msquita Filho São José do Rio Prto - SP Brasil andrad@ibilcunspbr Est trabalho foi parcialmnt financiado pla Fapsp (013/ Agnaldo José Frrari Dpartamnto d Matmática Faculdad d Ciências Univrsidad Estadual Paulista Júlio d Msquita Filho Bauru - SP Brasil frrari@fcunspbr

2 XXXV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS - SBrT DE SETEMBRO DE 017 SÃO PEDRO SP qurmos dtrminar o ponto C d modo qu a sguint igualdad sja satisfita: AB AC = AC CB Sjam b a a + b as mdidas dos sgmntos CB AC AB rspctivamnt Buscamos ntão a razão da progrssão gométrica (b a a + b Assim a + b = a a b ou sja a ab b = 0 Colocando a m função d b rsolvndo a quação d grau obtmos os sguints valors: ou a = b a = 1 5 b ond ncontramos dois valors para a razão AB AC O primiro é chamado φ nquanto o sgundo ϕ ou sja AB AC = a + b = = φ a AC CB = a b = 1 5 = ϕ O valor positivo da razão φ é chamado númro d ouro divina proporção númro áuro razão áura dntr outros noms Atribui-s a ss númro a ltra grga φ m homnagm ao scultor grgo Fídias ( ac qu utilizava tal razão m sus trabalhos Além disso obsrvamos qu φ = ϕ uma vz qu φ = = ϕ = 1 5 = Not qu φ su conjugado possum os msmos algarismos dcimais Embora curiosa tal caractrística não é xclusiva do númro d ouro Obsrvamos ainda qu a soma d φ com su conjugado φ é igual a 1 Rlacionamos φ su conjugado φ através da vrificação d qu o invrso d um é igual ao oposto do outro ou sja φ = φ = = 1 5 = ϕ 1 φ = ϕ S considrarmos o sgmnto CB com comprimnto igual a 1 vmos qu o númro d ouro é uma raiz da quação x x 0 ou sja φ φ 0 Além disso φ = Ou ainda φ = φ + 1 o qu nos diz qu su quadrado é igual a l próprio mais uma unidad φ = Extraindo a raiz quadrada d ambos os lados da quação φ = φ + 1 sgu qu φ = 1 + φ usando rcursivamnt tal rsultado sgu qu φ = Agora dividindo a quação φ = φ + 1 por φ sgu qu o númro d ouro é igual a su invrso somado com 1 ou sja φ = φ + 1 φ = φ Finalmnt dividindo a quação φ = φ + 1 por φ m ambos os lados da quação utilizando rcursivamnt st rsultado sgu qu φ = φ + 1 φ = φ = III NÚNEROS DE FIBONACCI E FÓRMULA DE CASSINI Lonardo d Pisa ( foi um matmático italiano d grand importância para toria d númros Aplidado Fibonacci (filho d boa naturza dstacou-s principalmnt por sua obra Libr Abacci ond s ncontra o mais famoso dos problmas propostos rsolvidos por l Trata-s do problma d calcular quantos colhos podriam sr produzidos m um ano a partir d um único casal s supostamnt todo mês cada par dá à luz um novo par qu é fértil a partir do sgundo mês É claro qu da forma como nunciado por Fibonacci o problma é muito artificial No mês inicial o primiro casal ainda é infértil No mês sguint o casal stá fértil um novo casal é grado Portanto durant o sgundo mês trmos dois casais o original um novo sndo st último ainda infértil No trciro mês o casal original gra mais um casal o sgundo casal fica fértil Portanto nss trciro mês trmos três casais Agora os dois primiros casais stão fértis cada um gra um novo casal E assim por diant Mais dtalhadamnt vmos qu o rsultado é uma squência d númros m qu cada um dls é obtido pla soma dos dois númros imdiatamnt antriors A squência ond F 0 = 0 é chamada d Squência d Fibonacci cujos valors rprsntam a quantidad d colhos m cada mês Sjam o númro 5 prtncnt a squência su quadrado 5 = 5 Multiplicando os dois númros d Fibonacci 3 8 qu circundam o númro 5 sgu qu 3 8 = 4 assim = 5 4 = 1 ond a difrnça é igual a 1 Ralizarmos o msmo procsso para o próximo númro da squência 8 Primiramnt considrmos su quadrado

3 XXXV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS - SBrT DE SETEMBRO DE 017 SÃO PEDRO SP 8 = 64 dpois multiplicamos os dois númros d Fibonacci adjacnts a 8 na squência ou sja 5 13 = 65 Após uma comparação ntr os rsultados podmos scrvr = = 1 ond a difrnça é igual a 1 Rptindo tal procsso para os próximos númros sgu qu = = = 1 assim por diant O quadrado d qualqur númro d Fibonacci difr a partir do produto d dois númros adjacnts 1 +1 por 1 No ntanto o sinal d 1 dpnd do índic n do númro d Fibonacci S o índic n é par ntão o númro 1 rcb o sinal ngativo s ímpar positivo Essa propridad dos númros d Fibonacci pod sr xprssa d manira gral por F n 1 + ( 1 n+1 dnominada Fórmula d Cassini m honra ao astrônomo Giovanni Cassini ( Além disso os trmos da squência d Fibonacci satisfazm a sguint idntidad F m+n = F m 1 + F m +1 Gnralizaçõs da squência d Fibonacci foram propostas ond as razõs ntr trmos sucssivos d várias dlas também convrgm para crtos númros dnominados constants Tribonacci Ttranacci Pntanacci tc qu são nst sntido gnralizaçõs do númro d ouro Embora haja muitas intrprtaçõs propridads para o númro φ o msmo não pod sr dito para stas outras constants dnominadas d constants n-bonacci IV P-NÚMEROS DE FIBONACCI E A EXPANSÃO DA FÓRMULA DE CASSINI Durant séculos acrditava-s qu os númros d Fibonacci ram os únicos númros qu satisfaziam a propridad matmática dada pla fórmula d Cassini No final do século XX início do século XXI dsnvolvu-s um studo sobr uma nova class d squências numéricas rcursivas qu são uma gnralização dos númros d Fibonacci clássicos Considr um númro p R a sguint rlação d rcorrência F p (n + = pf p (n F p (n ond F p (0 = 0 F p (1 = 1 para todo p R qu fornc um númro infinito d novas squências numéricas Para p = 1 a rlação d rcorrência é dada por F 1 (n + = F 1 (n F 1 (n gra os sguints númros d Fibonacci Para p = a rlação d rcorrência é dada por F (n + = F (n F (n grando a squência dos chamados númros d Plly Os p-númros d Fibonacci têm muitas propridads notávis smlhants as propridads dos númros d Fibonacci clássicos Uma dlas é a d qu tais númros assim como os clássicos podm srm xpandidos para valors ngativos d n Para o caso p = 3 sgu qu F 3 (0 = 0 F 3 (1 = 1 F 3 ( = 3 F 3 (3 = 10 F 3 (4 = 33 F 3 (5 = 109 F 3 (0 = 0 F 3 ( 1 = 1 F 3 ( = 3 F 3 ( 3 = 10 F 3 ( 4 = 33 F 3 ( 5 = 109 Para o caso p = 4 sgu qu F 4 (0 = 0 F 4 (1 = 1 F 4 ( = 4 F 4 (3 = 17 F 4 (4 = 7 F 4 (5 = 305 F 4 (0 = 0 F 4 ( 1 = 1 F 4 ( = 4 F 4 ( 3 = 17 F 4 ( 4 = 7 F 4 ( 5 = 305 Finalmnt a fórmula d Cassini para os p-númros d Fibonacci é dada por F p (n F p (n 1F p (n + 1 = ( 1 n+1 V MATRIZ DE FIBONACCI A matriz d Fibonacci dnotada por Q p -matriz ond p N é dada por Q p = sndo uma matriz quadrada d ordm p + 1 Obsrv qu a matriz contém uma matriz idntidad d ordm p xcluindo a primira coluna a última linha sndo qu ambas possum m suas primiras ntradas o númro 1 Para os casos p = rspctivamnt sgu as sguints matrizs Q 0 = ( 1 ( 1 1 Q 1 0 Q = Q 3 = Em gral F p (n + 1 F p (n F p (n p + 1 F p (n p + 1 F p (n p F p (n p + 1 Q n p = F p (n 1 F p (n Fp (n p 1 F p (n F p (n 1 F p (n p ond F p (n são p-númros d Fibonacci Quando p = 1 a matriz é dnominada matriz d Fibonacci Para a matriz Fibonacci sgu as sguints propridads 1 Para a matriz Fibonacci Q ( i Q n Fn+1 F n 1 ( ii dt(q n 1 = ( 1 n = Q n Q n 1 A matriz Q n 1 quando n < 0 é dfinida por i S n é par n = k com k Z ntão Q n Q ( k sgu qu ( Fk 1 F k F k F k+1

4 XXXV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS - SBrT DE SETEMBRO DE 017 SÃO PEDRO SP ii S n é ímpar n = k + 1 com k Z ntão ( Q n Q (k+1 Fk F k+1 F k+1 F k+ VI MÉTODO DE CODIFICAÇÃO E DECODIFICAÇÃO DE FIBONACCI Nsta sção aprsntamos um método d codificação dcodificação através da matriz d Fibonacci ond os códigos possum ntradas intiras positivas chamado Método d Codificação Dcodificação d Fibonacci Em contrast com os códigos clássicos uma pculiaridad dss método é qu prmit corrigir os lmntos da matriz qu podm sr intiros toricamnt ilimitados No caso mais simpls a capacidad d corrção dss método xcd os d muitos códigos conhcidos A idia principal da dtcção corrção d rros é basada na propridad dos dtrminants da matriz inicial da matriz código sobr as conxõs ntr os lmntos da matriz código A sguir aprsntarmos algumas concçõs ntr os lmntos da matriz código a matriz inicial dscrvmos o método Sja uma mnsagm inicial dscrita m uma matriz quadrada d ordm Sja B uma matriz com ntradas intiras positivas ou sja ( b1 b B = b 3 b 4 uma mnsagm n N Dtrminamos (procsso d codificação a matriz E chamada matriz código através do produto ( ( ( E = BQ n b1 b Fn+1 1 = b 3 b a transformação (procsso d dcodificação dado por ( B = EQ n 1 Q n Para o caso m qu n é ímpar utilizamos a matriz sgundo a dfinição assim ( ( B = EQ n 1 Fn Assim os lmntos da matriz B podm srm calculados sgundo o sistma b b = 1 +1 b 3 = b 4 = Como os lmntos da matriz B são intiros não ngativos sgu qu b i > 0 para i = 1 4 Assim b > 0 b = 1 +1 > 0 b 3 = > 0 b 4 = > 0 Da primira quação sgu qu > 0 após algumas manipulaçõs algébricas concluímos qu 1 > 1 Por outro lado da sgunda quação 1 1 > 0 o qu nos prmit concluir qu ou sja 1 > < 1 < +1 < 1 < 1 1 Analogamnt sgu qu +1 < 3 < 4 1 Como a razão ntr dois númros d Fibonacci adjacnts convrg para φ sgu qu 1 φ 3 φ 4 Para o caso m qu n é par utilizamos o msmo procsso analogamnt sgu qu ( ( ( b1 b 1 = Fn 1 b 3 b Assim b 1 1 > 0 b = > 0 b 3 = > 0 b 4 = > 0 A partir d manipulaçõs algébricas smlhants ao caso d n impar sgu qu 1 < 1 < +1 VII ALGORITMO 1 < 3 4 < +1 Após dtrminarmos algumas rlaçõs ntr os lmntos da matriz código a matriz inicial podmos dscrvr para o método d Codificação/Dcodificação d Fibonacci alguns concitos rfrnts a corrção d rros Uma vz transmitido a matriz código E calculado o dtrminant da matriz inicial B utilizamos a rlação dos dtrminants para vrificar possívis rros Num caso inicial considramos a possibilidad d xistência d rro m uma das ntradas da matriz E Assim tmos as sguints possibilidads ( ( ( ( x 1 y z 4 t ond x y z t rprsntam os possívis lmntos dstruídos Assim x 4 3 = ( 1 n dt(b 1 4 y 3 = ( 1 n dt(b 1 4 z = ( 1 n dt(b 1 t 3 = ( 1 n dt(b 3

5 XXXV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES E PROCESSAMENTO DE SINAIS - SBrT DE SETEMBRO DE 017 SÃO PEDRO SP ond n é o valor do xpont da matriz Q p Logo os quatro possívis vntuais rros são dados por x = ( 1n dt(b y = ( 1n dt(b z = ( 1n dt(b t = ( 1n dt(b D manira análoga vrificamos todas as hipótss d rros duplos na matriz código E Assim s ( x y 3 4 rprsnta um rro duplo ntão x 4 y 3 = ( 1 n dt(b Not qu a quação x 4 y 3 = ( 1 n dt(b é uma quação Diofantina assim admit infinitas soluçõs uma vz qu possui uma x = 1 y = Porém d acordo com a rlação ntr os lmntos da matriz x φy rstringindo as possibilidads d soluçõs A abordagm para corrção d rros triplos é também basada m hipótss sobr rros na matriz código utilizando as rlaçõs a dt(e = ( 1 n dt(b; b 1 φ ; c 3 φ 4 ; d o fato d qu os lmntos da matriz código são númros intiros Caso todas as soluçõs não convrgirm para soluçõs intiras isso significa qu o lmnto d vrificação dt(b stá rrado ou qu a matriz código aprsnta rro total Nst caso a matriz código E é rjitado tratada como código dfituoso ou incorrigívl Not qu para uma matriz d ordm xist a possibilidad d 15 rros sndo 4 rros simpls 6 rros duplos 4 rros triplos 1 rro total Dos quais 14 aprsntam possibilidad d corrção Isso proporciona ao método d codificação/dcodificação d Fibonacci uma possibilidad d corrção d ou sja crca d 93 por cnto utilizado m criaçõs plo artista rnascntista Lonardo da Vinci ( qu o considrava a proporção divina por Rogr Pnros (1931- físico-matmático inglês profssor mérito d matmática da Univrsidad d Oxford m sus studos d ladrilhamnto do plano A abordagm para corrção d rros duplos triplos assim como para o método d Codificação Dcodificação via númros d Fibonacci é também basada m hipótss sobr rros na matriz código utilizando as rlaçõs ntr os lmntos o dtrminant da matriz REFERÊNCIAS [1] M E G Alncar O númro phi a squência d Fibonacci Física na scola v 5 n 004 [] A P STAKOV Fibonacci matrics gnralization of th Cassini formula and a nw coding thory Chaos Solitons and Fractais v 30 pp [3] M BASU and B PRASAD Th gnralizd rlations among th cod lmnts for Fibonacci coding thory Chaos Solitons and Fractais v 41 pp VIII CONCLUSÕES No prsnt trabalho tratamos da obtnção d um algoritmo para codificação dcodificação d códigos linars ond as palavras códigos são matrizs d ordm dois cujas ntradas são lmntos d Fibonacci A corrção d rros nst caso é m gral mlhor qu quando usamos códigos via corpos finitos Dtalhs rlvants da mtodologia da construção do algoritmo são dscritos os principais parâmtros nvolvidos são dados via númros d Fibonacci Finalmnt uma comparação ntr os algoritmos via númros d Fibonacci corpos finitos é dscrita É notávl a grandiosidad d rsultados aos quais o númro φi s associa Um dos mais conhcidos é vrificado na squência d Fibonacci cuja razão ntr dois trmos conscutivos é um númro cada vz mais próximo do númro phi quanto maior for a ordm dos trmos tomados Outra associação é o fato d qu ss númro foi studado