Laboratório de Engenharia Química IV. Programação de Ensaios. M. Gabriela Bernardo Gil

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1 Laboratóro de Egehara Químca IV Programação de Eao M. Gabrela Berardo Gl 006/007

2 ÍNDICE. TEORIA DE ERROS MEDIÇÃO DE GRANDEZAS ERROS ERRO ABSOLUTO ERRO RELATIVO TIPOS DE ERROS CONJUNTO FUNDAMENTAL CRITÉRIOS PROBABILÍSTICOS CONJUNTO AMOSTRA INTERVALOS DE INDETERMINAÇÃO CRITÉRIO DE REJEIÇÃO DE VALORES MEDIÇÕES INDIRECTAS PROPAGAÇÃO DE ERROS LIMITE SUPERIOR DO ERRO ERRO MAIS PROVÁVEL OBTIDO POR PROPAGAÇÃO DE ERROS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS EXPRESSÃO DE RESULTADOS...3. ANÁLISE DE REGRESSÃO CÁLCULO DE PARÂMETROS MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS REGRESSÃO LINEAR SIMPLES COEFICIENTE ANGULAR ORDENADA NA ORIGEM VARIÂNCIA DA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES INTERVALO DE CONFIANÇA DO COEFICIENTE ANGULAR INTERVALO DE CONFIANÇA DA ORDENADA NA ORIGEM INTERVALOS DE INDETERMINAÇÃO DE Y PREVISÃO DE X PARA UM DADO VALOR DE Y RECTA QUE PASSA PELA ORIGEM RECTA QUE PASSA POR UM PONTO FIXO REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS DESVIO PADRÃO INTERVALOS DE CONFIANÇA DOS PARÂMETROS INTERVALO DE INDETERMINAÇÃO DA CURVA REGRESSÃO POLINOMIAL REGRESSÃO QUADRÁTICA...4 M. G. Berardo Gl

3 .4... TESTE DE LINEARIDADE ESTIMATIVA DE X PARA UM DADO VALOR DE Y ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES MEDIÇÕES DE Y REPETIDAS PARA UM DADO VALOR DE X ANÁLISE DE VARIÂNCIA NA REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS SELECÇÃO DE EQUIPAMENTO PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS ATENDENDO À ESTATÍSTICA SEM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS COM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS EM MEDIDAS INDIRECTAS Atedeto ao lmte uperor do erro Atedeto ao valor ma provável do erro PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS NA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES SEM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS Repota o exo da ordeada y Repota o declve α COM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS EM CORRELAÇÕES NÃO LINEARES EXEMPLOS DE PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS Um exemplo para o trabalho de Fltração Um exemplo para o trabalho de Traporte Peumátco Um exemplo para o trabalho de Taue com Agtação Um exemplo para o trabalho de Detlação Fraccoada Um exemplo para o trabalho de Colua de Bolha Um exemplo para o trabalho de Torre de Arrefecmeto PLANIFICAÇÃO FACTORIAL ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) NA PLANIFICAÇÃO A UM FACTOR ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) NA PLANIFICAÇÃO MULTIFACTORIAL RSM - MÉTODO DA SUPERFÍCIE DE RESPOSTA C C D (CENTRAL COMPOSITE DESIGN)...8 M. G. Berardo Gl 3

4 . TEORIA DE ERROS REALIZAÇÃO EXPERIMENTAL DETERMINADO ERRO EM ENGENHARIA - ERROS ELEVADOS, POR VEZES: a) Dfculdade Cuto elevado b) Método de cálculo ão aperfeçoado c) Smplfcaçõe eceára d) Dado ecoómco Grade erro - Sgfcado face ao erro admtdo - Exte empre PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS - MINIMIZAÇÃO DOS ERROS SISTEMÁTICOS - MINIMIZAÇÃO DOS ERROS ALEATÓRIOS DETERMINAR O NÚMERO DE ENSAIOS de modo a atgr o fm em vta INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS M. G. Berardo Gl 4

5 .. MEDIÇÃO DE GRANDEZAS Etma e o VALOR da GRANDEZA MEDIÇÕES DIRECTAS MEDIÇÕES INDIRECTAS MEDIÇÕES DIRECTAS INTERPRETAR OS RESULTADOS, ANALISANDO: - Cotêca tera - Rejeção de valore - Itervalo de cofaça MEDIÇÕES INDIRECTAS M f ( M, M,..., M ) - Erro erete a cada gradeza depedete - Propagação de erro M. G. Berardo Gl 5

6 .. ERROS ERRO E M - V M - VALOR MEDIDO V - VERDADEIRO VALOR DA GRANDEZA... ERRO ABSOLUTO E M - V... ERRO RELATIVO ε E V V? Não é poível cohecer. Só com determaçõe. ESTIMA-SE V atravé de M ERROS? GRAU DE CONFIANÇA NA MEDIÇÃO Se ão e cohecem - Decõe errada - Perda de tempo - Perda de dhero M. G. Berardo Gl 6

7 NÍVEL DE ERRO Obteção da precão eceára com o mímo de tempo e de dhero. EXACTIDÃO Cocordâca etre o valor da medção e o verdadero valor da gradeza. PRECISÃO Cocordâca etre váro valore da medção obtdo a mema codçõe (REPETIÇÕES ou RÉPLICAS) Exprme a REPRODUTIBILIDADE do reultado. PRECISÃO ão mplca EXACTIDÃO!!!! M A A PRECISO ma NÃO EXACTO M B B PRECISO e EXACTO M C C NÃO PRECISO e NÃO EXACTO V M. G. Berardo Gl 7

8 ..3. TIPOS DE ERROS - INSTRUMENTAIS: DESCALIBRAÇÃO ; SISTEMÁTICOS MATERIAL VOLUMÉTRICO SÃO - DE REAGENTES: - DE OPERAÇÃO: IMPUREZAS INEXPERIÊNCIA - PESSOAIS: DALTONIA ; MIOPIA; ESCOLHA DETERMINÁVEIS DE RESULTADOS FORÇADOS E CORRIGÍVEIS - MÉTODO: SENSIBILIDADE DE APROXIMAÇÕES ; PODEM SER REACÇÕES INCOMPLETAS ; EVITADOS REACÇÕES INDUZIDAS PARALELAS ; DECOMPOSIÇÃO; VOLATILIDADE ALEATÓREOS NÃO PODEM SER CORRIGIDOS NÃO PODEM SER EVITADOS - REVELADOS POR PEQUENAS DIFERENÇAS - APLICAM- SE A MEDIÇÕES EFECTUADAS PELO MESMO OPERADOR E COM A MESMA APARELHAGEM. PODEM SER MINIMIZADOS PRECISÃO EXACTIDÃO ERROS ALEATÓRIOS ERROS SISTEMÁTICOS ERROS CONSTANTES Idepedete do tamaho da amotra ERROS PROPORCIONAIS Depedem do tamaho da amotra M. G. Berardo Gl 8

9 .3. CONJUNTO FUNDAMENTAL N MÉDIA ou VALOR MÉDIO X N X N e N X V µ N Nº de valore do cojuto DESVIO PADRÃO σ ( X µ ) N σ - Grau de dperão do valore x em toro da méda O úmero de Grau de lberdade (N) cocde com o úmero de valore do cojuto, porue, o cojuto fudametal ão e etabelecem relaçõe. DESVIO MÉDIO DO CONJUNTO FUNDAMENTAL δ X N µ δ 0.8 σ M. G. Berardo Gl 9

10 SE SÓ HOUVER ERROS ALEATÓRIOS - O valore médo dtrbuem-e de acordo com a LEI NORMAL DE GAUSS: Y σ π exp - X-µ σ Y - freuêca da ocorrêca do devo X - valor meddo µ - valor ma provável da gradeza (méda do cojuto fudametal ou méda objectva) O DESVIO PADRÃO CARACTERIZA A PRECISÃO M. G. Berardo Gl 0

11 .3.. CRITÉRIOS PROBABILÍSTICOS INTERVALO PROBABILIDADE (%) X µ ± σ 68,3 X µ ± σ 95,4 X µ ± 3σ 99,7 X µ ± 4σ 99,98 O MAIS UTILIZADO EM ENGENHARIA É O CRITÉRIO DE σ. M. G. Berardo Gl

12 .4. CONJUNTO AMOSTRA MÉDIA - VALOR MÉDIO x x SE x µ DESVIO MÉDIO d X - X DESVIO QUADRÁTICO MÉDIO ou DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA (x x ) - SE σ ( ) Nº DE GRAU DE LIBERDADE VARIÂNCIA COEFICIENTE DE VARIÂNCIA X - Muto útl para comparar váro cojuto de dado emelhate, ma com valore médo dferete M. G. Berardo Gl

13 .4.. INTERVALOS DE INDETERMINAÇÃO A) AMOSTRAS GRANDES > 50, 60 (?) µ x ± z. z - É UMA VARIÁVEL NORMALIZADA QUE DEPENDE DA PROBABILIDADE P z 0,9,64 0,95,96 0,954,00 0,98,33 0,99,58 B) AMOSTRAS PEQUENAS µ x ± t. INTERVALO DO VALOR MAIS PROVÁVEL DA GRANDEZA t - FACTOR DE STUDENT (GOSSET, 908) DEPENDE DE P - PROBABILIDADE E DE - - Nº DE GRAUS DE LIBERDADE. A DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE GAUSS, QUANDO M. G. Berardo Gl 3

14 .4.. CRITÉRIO DE REJEIÇÃO DE VALORES x x ± t. Itervalo do VALORES POSSÍVEIS para a medção da gradeza Quado e REJEITA um valor? a) Determa-e (x ) em o valor em tete Xk b) Determa-e (): (x x ) - c) Determa-e t para 95% e -, em ue em ão etra o valor de tete Xk d) Determa-e o tervalo (x x t. ± ) e) Xk NÃO ca detro do tervalo? REJEITA-SE f) Xk ca detro do tervalo? NÃO SE REJEITA e refazem-e o cálculo etrado com ee valor. g) Determa-e o tervalo µ x ± t. M. G. Berardo Gl 4

15 Exemplo: Realzaram-e trê ére de medda da cocetração de cobalto em trê amotra obtda dvddo, em parte alíuota, uma mema amotra da olução. A) Verfcar e a medçõe ão cocordate. B) Idue ual o melhor valor a adoptar como valor da cocetração de cobalto eta olução. ª ére ª ére 3ª ére (g/l) (g/l) (g/l) 6, 6,6 6,6 5,8 6, ,3 6. 6, ,9 6,6 5,9 7, 6,7 6, 7,0 6,6 A) ª ére 6.8 é valor poível da gradeza? Tool Data Aaly Decrptve Stattc Colum Mea 6.06 t (p95%, -4) Stadard Error Meda 6. TINV(0.05,4) Mode #N/A Stadard Devato Sample Varace X 6.06 ± 0.58 Kurto Skewe NÃO pertece ao tervalo Rage 0.5 Mmum 5.8 REJEITA-SE a ª ére Maxmum 6.3 Sum REJEITA-SE a ª ére; Cout REJEITA-SE a 3ª ére Cofdece Level(95.0%) B) ª ére ª ére 3ª ére µ 6.76 ± 0. ª e 3ª ére cocordate M. G. Berardo Gl 5

16 .5. MEDIÇÕES INDIRECTAS Sabedo: M f ( M, M,..., M ) Erro em M M M... M o lmte uperor do erro calcula - e e/ou o erro ma provável.5.. PROPAGAÇÃO DE ERROS Se Q for o valor ma provável da gradeza M Q f (,,..., ) Em ue (,,..., ) ão o valore ma prováve de ( M, M,...,M ) M. G. Berardo Gl 6

17 CASO Extem m determaçõe de cada gradeza medda drectamete: M M... M M M M... M M M M... M M m m m () () (m) M M ± t. m M m M m () M m () (M M ) m- M. G. Berardo Gl 7

18 CASO Só ão cohecdo o valore ma prováve ( ) da gradeza medda drectamete e o repectvo erro: µ µ µ ± ±... ±.5.. LIMITE SUPERIOR DO ERRO Como Q f (,,..., ) Dferecado: dq f d + f f d d Subttudo a dfereca por peueo acrécmo fto: Q f + f f ue repreeta a LEI GERAL DA PROPAGAÇÃO DOS ERROS (Lmte uperor do erro) M. G. Berardo Gl 8

19 A) Lmte uperor do erro em ADIÇÕES ALGÉBRICAS Se Q ± α ± α ± ± α... vrá: Q max α + α α Exemplo: Peo de um vao vazo Peo do vao + amotra Peo da amotra 4,003 ± 0,0005 g 4,047 ± 0,0005 g 0,06 ± 0,000 g g é o lmte uperor do erro aboluto a peagem dea amotra. M. G. Berardo Gl 9

20 B) Lmte uperor do erro em PRODUTOS EM R Se Q K α α α Dferecado: Q K α - - ( ) ( ) α... α α α α α α. - Dvddo por Q: Q α + α α Q max Exemplo: Determar o calor deevolvdo uma retêca de R00 ± Ω, por uma correte de tedade I,00 ± 0,0 A, ao fm do tempo t00 ±. Reolução: Q R I t Q Q max R R + I + I t t Q 0000 J Q Q 4 Q 400 J 00 4 % é o lmte uperor do erro relatvo. 400 J é o lmte uperor do erro aboluto. M. G. Berardo Gl 0

21 M. G. Berardo Gl.5.. ERRO MAIS PROVÁVEL OBTIDO POR PROPAGAÇÃO DE ERROS Admte-e, como boa aproxmação, para 95 % de probabldade, ue a etmatva do erro é DUAS VEZES o valor do devo padrão (raz uadrada da varâca): Q Q σ Sedo: Q f (,,..., ) Nete cao omam-e o uadrado da varâca: Q f... f f σ + + σ + σ σ A) Erro ma provável em ADIÇÕES ALGÉBRICAS Se... Q α ± ± ± α ± α Q... σ + α + σ + α σ α σ ( ) ( ) ( ) ( )... Q + α + + α α

22 M. G. Berardo Gl B) Erro ma provável em PRODUTOS EM R Se K Q α α α Q... Q σ + α + σ + α σ α σ ( ) ( ) ( ) ( )... Q ε + α + ε + α ε α ε Relembrado ue, para 95 % de probabldade admte-e ue: Q Q σ Exemplo: Determar o calor deevolvdo uma retêca de R00 ± Ω, por uma correte de tedade I,00 ± 0,0 A, ao fm do tempo t00 ±. Reolução: Q R I t Q 0000 J t I R Q t I R Q + + σ + σ + σ σ Q J σ Q 45 J Q (0,0 ± 0,) x 0 3 J

23 .6. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ALGARISMO SIGNIFICATIVO é ualuer dígto,,...9 e o 0 (zero) uado colocado à dreta da vírgula, dede ue à ua euerda já exta outro dígto..6.. EXPRESSÃO DE RESULTADOS - Depede do ERRO ABSOLUTO. - O últmo algarmo gfcatvo ue e deve clur a expreão de um reultado é o ALGARISMO DUVIDOSO. Ma algarmo gfcatvo dão uma fala aparêca de correcção. - O úmero de algarmo gfcatvo do ERRO ABSOLUTO deve er ou uato muto, e o prmero dígto do erro fôr ou, tedo em ateção a regra ateror. - O VALOR MÉDIO e o ERRO devem coter o MESMO Nº de CASAS DECIMAIS. - A SOMA ALGÉBRICA deve coter o NÚMERO DE CASAS DECIMAIS gual ao da uatdade com MAIOR ERRO ABSOLUTO. - O PRODUTO ou o QUOCIENTE deve coter o memo NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ue o termo com MENOR NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. - Em operaçõe uceva deve uar-e empre ma um algarmo gfcatvo. M. G. Berardo Gl 3

24 - Vejamo como e exprme o reultado da medção do dâmetro de uma BOLA. INSTRUMENTO DE MEDIDA: cravera com óo, com um erro 0, mm. Cada medção podera er exprea: X X± 0, mm CASO A 5,5; 5,4; 5,; 5, mm X 53, mm 0,83 t95% 38, t 09, CASO B 5,4; 5,3; 5,; 5,4 mm X 53, ( 5) mm 0,096 t95% 38, t 05, ( ) d 53, ± 03, mm d 5,3 ± 0, mm DIÂMETRO APARENTE porue a oclaçõe ão uperore ao erro do óo (±0, > 0,) A BOLA ão é ESFÉRICA d 5,3 3 ± 0,5 mm NÚMERO INSUFICIENTE DE DETERMINAÇÕES A BOLA erá ESFÉRICA? M. G. Berardo Gl 4

25 . ANÁLISE DE REGRESSÃO É o etudo e obteção de RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS. Pretede-e aber ual a MELHOR ESTIMATIVA do PARÂMETROS da REGRESSÃO SIMPLES - Quado uma varável Y (DEPENDENTE), é fução apea de uma varável X (INDEPENDENTE): Y f (X) MÚLTIPLA - Quado uma varável Y (DEPENDENTE), pode er relacoada com k VARIÁVEIS INDEPENDENTES: Y f (X, X,..., Xk) REGRESSÃO LINEAR SIMPLES: Y α0 + α X REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA: Y α0 + α X + α X αk Xk k α 0 X REGRESSÃO POLINOMIAL DE ORDEM k: Y α0 + α X + α X αk X k k α 0 X M. G. Berardo Gl 5

26 .. CÁLCULO DE PARÂMETROS Cote em determar o parâmetro de uma FUNÇÃO QUE SE AJUSTE a um cojuto de poto, utlzado um método de optmzação: - MÉTODO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA - MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS... MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS Hpótee de aplcação: Mmza-e a FUNÇÃO cottuída pelo SOMATÓRIO do QUADRADOS do DESVIOS - O VALOR MÉDIO DOS ERROS É ZERO. - O ERROS têm VARIÂNCIA COMUM. - O ERROS ão INDEPENDENTES. - O valore Yj PARA CADA VALOR DE X têm uma DISTRIBUIÇÃO NORMAL. - O valore de X ão meddo SEM ERRO ou com ERRO DESPREZÁVEL. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS (MMQ) baea-e a mmzação da fução: S y Y y - Valor de y ecotrado a realzação expermetal para o valor X. Y - Valor obtdo por ubttução de cada X a euação da fução. É uma etmatva do valor. M. G. Berardo Gl 6

27 .. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Y α + α 0 X α E α - São etmatva do verdadero valore da ORDENADA NA ORIGEM e do COEFICIENTE ANGULAR. 0 S y α 0 α X S α 0 S α 0 0 α E α 0 M. G. Berardo Gl 7

28 ... COEFICIENTE ANGULAR ( x - x )(y - y) x y x y α ( x ) - x x x... ORDENADA NA ORIGEM α y α x 0 y α x x x y y..3. VARIÂNCIA DA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES - Repreeta-e por da recta σ y. x. y. x e é uma etmatva da dperão do valore em toro y. x y α0 y α y Y x y - é o úmero de grau de lberdade. É meo porue mpomo ao tema dua retrçõe: cálculo de α E α 0 M. G. Berardo Gl 8

29 ..4. INTERVALO DE CONFIANÇA DO COEFICIENTE ANGULAR α α ± t yx. ( x x)..5. INTERVALO DE CONFIANÇA DA ORDENADA NA ORIGEM α α ± t yx x ( x x) OU α α ± 0 0 t yx. x ( ) x x t - factor de tudet para uma dada PROBABILIDADE (95 %) E - GRAUS DE LIBERDADE. Para mplfcar pode uar-e: ( x - x) x x - M. G. Berardo Gl 9

30 ..6. INTERVALOS DE INDETERMINAÇÃO DE Y Quado reduzmo um cojuto de poto expermeta (cottuído por pare de valore (x, y) A UMA RECTA, ormalmete erá para obtermo ma tarde uer valore de Y para dado valore de X, uer de X para um dado valor de Y. Em uma, para efectuarmo PREVISÃO DE DADOS. - Prova-e ue, para um dado valor de xo e podem ecotrar p valore de Y com um erro: Yo Yo ± t yx. + + p ( xo x) ( x x) - Número de valore de x, a partr do ua e defe a recta. SE p Yo Yo ± t yx. + + ( xo x) ( x x) Quato ma afatado de x for o valor de x o, maor é o erro de Y o. M. G. Berardo Gl 30

31 SE p Yo Yo ± t yx. + ( xo x) ( x x) INTERPOLAÇÃO Quado e determam valore de Y, detro da gama do valore de X, determado expermetalmete. EXTRAPOLAÇÃO Quado pretedemo determar valore de X ou Y, fora da gama expermetal. M. G. Berardo Gl 3

32 ..7. PREVISÃO DE X PARA UM DADO VALOR DE Y Se repreetarmo, agora, a recta por: Y a + b X Será Xk Yk a b E o tervalo de determação do valor etmado de X é: X k ( Yk Y) ( X X) yx Xˆ k ± t( ;95%) + + b b Se houver p repetçõe de Y para um dado valor de X, o tervalo de determação do valor etmado de X ( X ), vrá: ^ X k ( Yk Y) ( X X) yx Xˆ k ± t( ;95%) + + b p b Notar ue, memo ue e admta ue X NÃO TEM ERRO para e poder obter a euação da recta, A PREVISÃO DE UM DADO VALOR DE Xo, PARA UM VALOR CONHECIDO DE Yo, JÁ TEM ERRO. M. G. Berardo Gl 3

33 ..8. RECTA QUE PASSA PELA ORIGEM Nete cao, o parâmetro α0 é ulo e apea é eceáro determar α Y A fução a mmzar erá: α ' x S ( Y α ' S x ) 0 α ' α ' x y x ' α α ± ' tyx. x yx. ' ( y α x) ' y α x - - y..9. RECTA QUE PASSA POR UM PONTO FIXO Nete cao: Y C + α '' x em ue C é uma cotate. A fuçao a mmzar é: S S ( Y C α '' x ) 0 α '' M. G. Berardo Gl 33

34 Exemplo: Na calbração de um epectrofotómetro obtveram-e o egute valore: C (g/l) 0, ,50 0,6 0,74 0,86 0,98,00 A (λ 490 mµ) 0,04 0,06 0,08 0, 0,3 0,5 0,8 0,0 0,3 Sabedo ue o epectrofotómetro fo aferdo, ate de cada letura, para o eu valor zero, determe a recta ue ma provavelmete repreeta ete poto. Tool Data Aaly Regreo SUMMARY OUTPUT Regreo Stattc Multple R R Suare Adjuted R Suare Stadard Error Obervato 0 M. G. Berardo Gl 34

35 ANOVA df SS MS F Sgfcace F Regreo E- Redual E-05 Total Coeffcet Stadard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Itercept X Varable E X Varable Redual Plot Redual X Varable X Varable Le Ft Plot Y X Varable Y Predcted Y M. G. Berardo Gl 35

36 Obrgado a recta a paar pela orgem: SUMMARY OUTPUT Regreo Stattc Multple R R Suare Adjuted R Suare Stadard Error Obervato 0 ANOVA df SS MS F Sgfcace F Regreo E-0 Redual E-05 Total Coeffcet Stadard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Itercept 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A X Varable E X Varable Redual Plot Redual X Varable X Varable Le Ft Plot Y Y Predcted Y X Varable M. G. Berardo Gl 36

37 .3. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA A REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA pode er exprea pela relação: Y Y β + β x + β x + L + β x 0 k k k β x j 0 j j O dado cotem em dua matrze: - Uma (x) ue cotem o valore de Y; - Outra (x(k+)) ue cotem o valore da varáve depedete Y y y L L L y X x x x L x x x x L x L L L x x x L x 0 k 0 k 0 k em ue: a varável x 0 toma o valor. x j é o eao da varável x j. M. G. Berardo Gl 37

38 .3.. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS Mmza-e a fução do omatóro do uadrado do devo: [ y ( β0 β β L β k k )] SRM - + x + x + + x A gualzação a zero da dervada em ordem ao parâmetro: SRM 0 β0 SRM 0 β L L L SRM 0 β k coduz ao tema de (k+) euaçõe leare, a partr do ual é poível determar o parâmetro: β0 x0 x0 + x0 x + L + βk x0 xk x 0 y β0 x x0 + β x x + L + βk x xk x y L L L β x x + β x x + L + β x x x y 0 k 0 k k k k k em ue: x x j x x x y j y x j k j k j x x x j j M. G. Berardo Gl 38

39 Em otação matrcal erá: X T X B T X Y em ue [ β β L β ] B 0 k Se X X T T X A Y G O SISTEMA SERÁ: A B G Reolvedo vem: B A em ue A - T é a matrz vera da matrz A X X - G.3.. DESVIO PADRÃO ( yxm. ) SRM - (k+).3.3. INTERVALOS DE CONFIANÇA DOS PARÂMETROS β β ± t ( yxm. ) ( xj - x ) em ue t é o factor de Studet para uma dada probabldade (95 %) e (-(k+)) grau de lberdade. M. G. Berardo Gl 39

40 .3.4. INTERVALO DE INDETERMINAÇÃO DA CURVA Yo Yo ± t ( yx. ) m + + p em ue: h j ( xoh xh ) ( xoj xj) ( xh xh ) ( xj xj) p - é o úmero de determaçõe de y para cada cojuto de varáve (x,..., x k ). - é o úmero depoto uado para defr a curva. k - é o úmero de varáve depedete. VARIÁVEIS SE p Yo Yo ± t ( yx. ) m + + ( xo x ) ( xo x ) ( x x ) ( x x ) 3 VARIÁVEIS SE p Y Y ± t o o ( yxm. ) ( xo x ) ( xo x ) ( x x) ( x x ) ( xo x ) ( xo3 x3) ( x x ) ( x x ) ( xo x) ( xo3 x3) ( x x ) ( x x ) M. G. Berardo Gl 40

41 .4. REGRESSÃO POLINOMIAL A regreão polomal repreeta-e: Y Y α + α X + α X + L + α X k α X j 0 0 j j k k e pode traformar-e em: Y k α X EM QUE X X j 0 j j Am o tratameto fca em tudo dêtco ao da regreão lear múltpla..4.. REGRESSÃO QUADRÁTICA Se repreetarmo, agora, a regreão uadrátca por: Y a + b X + c X O parâmetro erão calculado pelo método do mímo uadrátco. VARIÂNCIA DA REGRESSÃO QUADRÁTICA (y.x) ( y - Y ) - 3 M. G. Berardo Gl 4

42 .4... TESTE DE LINEARIDADE DS - Se ( ) ( ) (yx) yx - - 3, com grau de lberdade. Em ue y. x ( y - Y ) - é a varâca da correlação lear. O coefcete de leardade é defdo por: DS LC (yx) Comparado LC com o factor F determado para GL do umerador e GL do deomador e para 95 % de probabldade, e: LC < F LC > F a fução é lear a fução é uadrátca.4... ESTIMATIVA DE X PARA UM DADO VALOR DE Y Curvatura potva Xˆ b c + b c a - Ŷ - c Curvatura egatva Xˆ b c b c a - Ŷ - c E o tervalo de cofaça do valor etmado de X é: X k Xˆ k ± (yx) t -3; 0,95 ( b + c Xˆ ) k M. G. Berardo Gl 4

43 3. ANÁLISE DE VARIÂNCIA 3.. ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Se ão houver ualuer relação etre a varáve X e Y, a medçõe de Y coduzram a um valor ma provável ue, à parte o erro aboluto, era repreetado pelo VALOR MÉDIO Y. Poderíamo, portato, dzer ue a varâca aocada era : y - ( y - y) c c Repreeta o valor do devo do dado expermeta em relação ao valor médo M. G. Berardo Gl 43

44 Verfca-e ue a oma ( y - y) é decompoível em dua parcela: c ( y - y ) ( ) y - Y a ( ) Y - y b a Repreeta o devo do valore expermeta em relação ao valore da recta. b - ASSOCIADO À REGRESSÃO - devo da recta em relação ao valor médo Com bae ete devo é poível efectuar a ANÁLISE DE VARIÂNCIA ue o permte determar o GRAU DE AJUSTE da recta ao poto expermeta. M. G. Berardo Gl 44

45 ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES LEQ IV FONTE DE VARIAÇÃO G. L. QUADRADOS DOS DESVIOS (Q. D.) DESVIOS DA REGRESSÃO EM RELAÇÃO AO VALOR MÉDIO DE Y (y) * ( Y - y ) [( x -x) ( y- y) ] ( x -x) VARIÂNCIAS OU MÉDIAS QUADRÁTICAS (M. Q.) MQR ( ) Y - y F DESVIOS DOS VALORES EXPERIMENTAIS EM RELAÇÃO AOS RESPECTIVOS VALORES DA CORRELAÇÃO - ( ) y - Y y - α0 y - - α x y yx. ( y - Y) - F MQR y.x TOTAL - DESVIOS DOS VALORES EXPERIMENTAIS EM RELAÇÃO AO VALOR MÉDIO DE y (y) - ( y - y) y ( y - y) - * - depo de determada a euação da recta, o valore da recta apea têm GL, po para cada x, há apea um valor de Y e um valor de y. M. G. Berardo Gl 45

46 O uocete F MQR permte-o determar com ue y.x probabldade a correlação SE AJUSTA ao poto expermeta, comparado o eu valor com valore tabelado ue depedem DA PROBABILIDADE DE AJUSTE E DO NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR E DO DENOMINADOR MEDIÇÕES DE Y REPETIDAS PARA UM DADO VALOR DE X Quado para cada valor de X, e efectuam vára medçõe de Y, a aále de varâca é dferete: Dvdem-e o devo do valore expermeta em relação ao valore da recta, em dua parte: ( ) a y - Y M j p ( ) j y - y a ( ) y - Y a a Repreeta o devo de cada valor repetdo de y, em relação à méda de y, para cada valor de x. a Repreeta o devo da méda ( y ), para cada valor de x, em relação à correlação. M. G. Berardo Gl 46

47 ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES PARA MEDIÇÕES REPETIDAS LEQ IV FONTE DE VARIAÇÃO G. L. QUADRADOS DOS DESVIOS (Q. D.) VARIÂNCIAS OU MÉDIAS QUADRÁTICAS (M. Q.) F DESVIOS DA REGRESSÃO EM RELAÇÃO AO VALOR MÉDIO DE y (y) DESVIOS DE CADA VALOR REPETIDO DE y, EM RELAÇÃO AO VALOR MÉDIO DE y, PARA CADA VALOR DE x. ( Y - y ) SOMA DOS G.L. DE CADA CONJUNTO j j - j ( y j ) - y MQR MQD ( - y) Y j ( yj - y ) j j - F MQM MQD DESVIOS DAS MÉDIAS DE y, PARA CADA x, EM RELAÇÃO AOS RESPECTIVOS VALORES DA CORRELAÇÃO Nº DE MÉDIAS - M- TOTAL - ( y j - y) ( y - Y ) ( y - Y ) MQM y M - ( y - y) - M. G. Berardo Gl 47

48 Nete cao é o valor do uocete MQM MQD ue vamo comparar com o valore da tabela de F ue o permte determar a probabldade do AJUSTE ou FALTA DE AJUSTE da correlação ao poto expermeta. Exemplo: Na determação da maa epecífca de um óleo a dferete temperatura, obtveram-e o egute valore: ρ / g cm -3 φ / ºC 0,906 0,905 0,907 0,894 0,89 0,893 0,884 0,886 0,876 0,877 0,875 0,866 0,868 4,0 3,0 3,9 4,9 5,4 a) Determar a melhor aproxmação, ob o poto de vta etatítco, da correlação lear ρ ρ(φ). b) Determar o valor da maa epecífca a 5 ºC, e o repectvo erro. c) Efectuar a aále de varâca. R: a) ρ (0,98±0,003) + (-,00±0,09) x 0 3 φ 3 x b) Yo Yo± 4, 84x c) Ajute uperor a 99 %. ( 3, 8) o 34, 54 ; ρ 5ºC (0,893±0,004) gcm -3 M. G. Berardo Gl 48

49 3.. ANÁLISE DE VARIÂNCIA NA REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA FONTE DE VARIAÇÃO G. L. QUADRADOS DOS DESVIOS (Q. D.) VARIÂNCIAS OU MÉDIAS QUADRÁTICAS (M. Q.) F DESVIOS DA REGRESSÃO EM RELAÇÃO AO VALOR MÉDIO DE y (y) k SSR ( - y ) MQR Y ( ) Y - y k DESVIOS DOS VALORES EXPERIMENTAIS EM RELAÇÃO AOS RESPECTIVOS VALORES DA CORRELAÇÃO - k SRM y β j x j j ( yx. ) m ( y - Y) - (k+) TOTAL - ( y - y) ( y - y) y - F MQR (y.x)m M. G. Berardo Gl 49

50 4. PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS Aocado ao etudo de um determado tema, extem a VARIÁVEIS ue podem er mapulada, INDEPENDENTES ENTRE SI, e uma ou ma VARIÁVEIS DE RESPOSTA ue e pretede etudar. A par deta varáve extem outra, dta VARIÁVEIS DE RUÍDO, ue varam de uma forma ão cotrolada. Devdo ao carácter aleatóro da varáve de ruído (acdeta), a () varável (ve) de repota é (ão) também ALEATÓRIA (S). é eceáro uar TÉCNICAS ESTATÍSTICAS o etudo da relação etre a varáve depedete e a varáve depedete. Normalmete o EXPERIMENTALISTA NÃO PODE CONTROLAR TODAS AS VARIÁVEIS ue fluecam a varáve de repota. Depo de eleccoada a varáve depedete, deve determar-e, em face ou ão de ualuer experêca, O NÚMERO DE ENSAIOS e a SEQUÊNCIA DOS MESMOS, tedo em ateção um determado ERRO FINAL, e SELECCIONAR O EQUIPAMENTO ue o permta atgr o fm em vta. ete cao, ormalmete, o erro aleatóro aocado à() varável (ve) de repota ão ão depedete, e a técca etatítca habtua ão podem er aplcada. temo ue uar a ALEATORIZAÇÃO OU FACTORIZAÇÃO. M. G. Berardo Gl 50

51 4.. SELECÇÃO DE EQUIPAMENTO Vejamo um exemplo muto mple ue o permte verfcar como o uo de váro trumeto ou método de medda fluecam o erro do reultado fal. Pretede-e determar a ecção recta de uma colua de lxvação laboratoral com um erro feror a 0, %. ε S 0,% S V h A olho pode ter-e uma dea de ue o dâmetro da colua é da ordem de φ,6 cm S cm. Portato: A OLHO S cm V 00 cm h 50 cm 3 M. G. Berardo Gl 5

52 Que trumeto de medda vamo utlzar para medr V e h? LEQ IV Como V S h σ S S σ V V σ + h h Pelo prcípo do EFEITOS IDÊNTICOS: Baeado o lmte uperor do erro, poderíamo, em ª aproxmação ue: ε V ε 005, % h Além do, relembremo ue: Q σ Q ª Hpótee: RÉGUA + PROVETA RÉGUA: R O,5 mm h x 0,05 cm ε h 0, 50 0, % (TEMOS DE ACERTAR EM DOIS TRAÇOS) PROVETA: P O,5 cm 3 V O,5 cm 3 ε V 05, 00 05, % σ S S 0,5 00 0, ε S 0,5 % > 0,% TEMOS QUE MELHORAR AS DUAS MEDIÇÕES M. G. Berardo Gl 5

53 ª Hpótee: RÉGUA + BALÃO GRADUADO LEQ IV RÉGUA: R O,5 mm h x 0,05 cm ε h 0, 50 0, % BALÃO GRADUADO: B O, cm 3 V O, cm 3 ε V 0, 00 0, % σ S S 0, 00 0, ε 0,8 % S > 0,% É NECESSÁRIO UTILIZAR OUTROS MEIOS DE MEDIÇÃO, TANTO PARA O VOLUME COMO PARA A ALTURA 3ª Hpótee: CATETÓMETRO + BALANÇA CATETÓMETRO: CAT 0,0 mm h 0,00 cm ε h ,004 % (Agora ão e multplca o erro do catetómetro por, para e obter o erro a altura, uma vez ue com o catetómetro medmo dfereça de altura) BALANÇA: vamo medr o volume atravé da medção da maa. M V V ρ M ρ H O H O B 0,00005 g M x 0, ,000 g 0,000 0, V 0,000 cm ε 0,000 % V 0, ε S 0,004 % <<< 0,% NÃO É NECESSÁRIO TANTO RIGOR M. G. Berardo Gl 53

54 4ª Hpótee: RÉGUA COM NÓNIO + BALANÇA 4ªA RÉGUA COM NÓNIO DE /0 mm: RN O,05 mm h x 0,005 cm ε h , % ε S 0,0% < 0,% 4ªB RÉGUA COM NÓNIO DE /0 mm: RN O,05 mm h x 0,005 cm ε h 00, 50 00, % ε 0,0 % S < 0,% Podemo LEVAR O RIGOR ode uermo, e dpuermo de MATERIAL ADEQUADO M. G. Berardo Gl 54

55 4.. PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS ATENDENDO À ESTATÍSTICA LEQ IV 4... SEM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS Nete cao podemo dzer ue, o máxmo, o devo ão todo de ± / DA MENOR DIVISÃO DA ESCALA (x - x) ( x) - t x t + Exemplo: Pretede-e medr um comprmeto de 0 cm com uma régua graduada em mm. (o aparelho de medda tha do calmete eleccoado) L ± 0,5 mm max, ( x x) 05, 05, Podemo cotrur a tabela: t (-) t t / ε (%) t + 3 4,303 0,375 0,6,63,5 7,60 9,5 5,776 0,33 0,559, ,45 8,7 7,447 0,9 0, ,50,50 6,99 9,306 0,8 0,530. 0,4.05 6,3 4,0 0,56 0,506,0 0,6 0,80 6,000 0,54 0,504,0 0,3 0,65 Não temo ma ue comparar o valore da tabela com o erro por ó preteddo e decdr do úmero de eao a executar. Verfcar ue: Com 7 ecotramo um erro aboluto da ordem do erro do trumeto de medda Quado aumetamo o úmero de eao de 4 6 apea aumetamo o rgor de 0,6 para 0,3 (erro aboluto) ou 0, (erro relatvo). A fluêca é muto maor para valore baxo do úmero de eao, porue é au ue exte uma grade varação do factor de Studet e da razão / (-). M. G. Berardo Gl 55

56 4... COM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS Partdo do cohecmeto do devo tadard (padrão) de m experêca: m ( x x) µ x±, m t m o ue o permte determar o erro relatvo: ε t m x e ete erro é uperor ao erro preteddo é eceáro efectuar um úmero de experêca maor. Admtdo ue ( x x) é proporcoal ao úmero de experêca: Nº exp m ( x x) A Nº exp k ( x x) (k/m) A E vrá, portato: k k ( m ) m k m Exemplo: No laboratóro obtveram-e o egute valore de vcodade de um líudo, à temperatura de 5 ºC, determar o úmero de medçõe da vcodade de modo a ue o erro eja feror a %. R: 8 determaçõe. µ (cp) µ 35, cp M. G. Berardo Gl 56

57 M. G. Berardo Gl PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS EM MEDIDAS INDIRECTAS Supohamo ue pretedemo determar o valor ma provável de uma gradeza medda drectamete COM UM DETERMINADO ERRO. Pretede-e aber ua o valore do ERROS permtdo a medção drecta da GRANDEZAS INDEPENDENTES. NÃO HÁ UMA ÚNICA RESPOSTA PARA ESTA QUESTÃO. Admte-e ue o erro de cada medção drecta CONTRIBUEM IGUALMENTE para o erro da varável depedete: Atedeto ao lmte uperor do erro Erro aboluto: Q f f f... Erro relatvo: Q Q α α α Atedeto ao valor ma provável do erro Erro aboluto: Q σ α... σ α σ α σ Erro relatvo: Q σ α... σ α σ α Q σ É o PRINCÍPIO DOS EFEITOS IDÊNTICOS

58 Excepçõe: Sempre ue uma gradeza é ma dfícl de obter com precão, deve devar-e ete prcípo de modo ue a cotrbução da outra eja muto meor ue a dea gradeza. Há gualmete gradeza ue podem er medda com uma grade precão. ma, cotrbudo ea gradeza para a determação de uma jutamete com outra ue ão podem er medda eão com uma precão muto meor, ão é eceáro medr a prmera com a precão ue pode dar, delocado-e, o etato, o prcípo do efeto dêtco. M. G. Berardo Gl 58

59 4.4. PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS NA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES SEM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS Repota o exo da ordeada y O tervalo de cofaça da repota, o exo da ordeada, prevta Y o é: Y o o Y ± t y.x + + p ( xo x) ( xo x) ( y) com y.x - Am, o erro aocado ao valor da prevão depede do valor x o ecolhdo. Em programação codera-e ue xo x: Yo Y o± t - y.x + p Ou eja: Y cetral t - y.x + p p Repota o declve α α t - y.x x max - x 4 m M. G. Berardo Gl 59

60 Cotrudo uma tabela dêtca à ue fo cotruída para medçõe depedete, podemo determar o úmero de poto para defr uma recta com um determado rgor. º Determar p º Determar : Nº de poto t - (95 %) y.x ( y) - Y α t Erro aboluto cetral - t y.x - ou y.x x + p p max - x 4 m Erro relatvo em y ou em α (%) reg prop (p.e) (p.e.) 0 (p.e.) M. G. Berardo Gl 60

61 4.4.. COM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS Nete cao já temo cohecmeto do valore de yx para k experêca, com valore de ordeada: yx k k ( y - Ŷ ) k De gual modo, para j experêca poterore, teremo: yx j k - j - j k yx k 4.5. PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS EM CORRELAÇÕES NÃO LINEARES Como método aproxmado, dvde-e a curva em váro troço de tal modo ue o erro troduzdo pela ubttução de um troço curvo por uma recta ão eja muto grade. É de eguda poível aplcar o procedmeto ateror. M. G. Berardo Gl 6

62 4.6. EXEMPLOS DE PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS LEQ IV Um exemplo para o trabalho de Fltração Determar o º de poto de cada recta de fltração (tervalo de letura de V e t). Crtéro: Obteção de um erro acetável para o declve a zoa méda. Supohamo ue temo a egute recta de fltração: y t/v α x + b fltração T/V (/ml) y 0.00x t α - b / x V V (ml) σ σ Volume de fltrado total, Vt (ml) Volume termédo de fltrado, V (ml) Tempo de fltração repectvo, t () Valor termédo de t/v Valor termédo de t/v - b prop: α α t/v -b t/v - b + x x ( ) ( ) + ( ) t / V b t/v b t / V b t / V b t/v t / V b t t/v / V t t + V V 000 ml 000 ml prop (α) 3.44E-05.57E-05 M. G. Berardo Gl 6

63 reg: α t - y.x x max - x 4 m y.x ( y) - Vmax 000 Vmax 000 t- (95%) Syx a (reg) εa (%) reg/ prop a (reg) εa (%) reg/ prop E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E εα (%) Vmax000 ml Vmax000 ml M. G. Berardo Gl 63

64 4.6.. Um exemplo para o trabalho de Traporte Peumátco Determar o º de poto da recta log ε f (log v). Crtéro: Obteção de um erro acetável para v mt (velocdade míma de traporte. log ε 0 log p leto fxo leto fludzado traporte ( ε ).L ε 0 L L 0 0. m L m L 0.70 m L 0.05 m ε 0 - ρ ap /ρ é a porodade cal do leto fxo 0 v C p ρ ( β' 4 o ) v mf log v v mt β' D/D o - razão etre o dâmetro da tubagem e do orfíco C(β') - coefcete de decarga do orfíco C 0,6 prop: ( ε) ρap 0 0 ρ (- ε0) L0 L (- ε0) L0 L ( (- ε )) ( ε ) (- ε0) + ε0 (- ε0 ) L0 L L0 L + L 0 L M. G. Berardo Gl 64

65 (l ε) ε ( σ (l ε) ) ( σ ε) (l ε) ε ε log e ε ( (log ε) ) ( ε) Y log ε reg: Y cetral t - y.x + p p y.x ( y) - p p7 t - (95%) Syx ( log ε) cetral ε(log ε) (%) reg/ prop ( log ε) cetral ε(log ε) (%) reg/ prop M. G. Berardo Gl 65

66 M. G. Berardo Gl 66

67 Um exemplo para o trabalho de Taue com Agtação LEQ IV A. Determar o º de medçõe do tempo de mtura. Crtéro: Obteção da cotate t* 0.95 com um erro acetável. * t α t α N velocdade de agtação N reg: α t - y.x x max - x 4 m y.x ( y) - N 400 rpm N 0.5 rpm t* Admtdo N max 500 rpm 8,33 - e N m 90 rpm,5 - x max x m prop: t - (95%) S yx α εα (%) reg/ prop * t 0,95 * t 0,95 t N α + t α N t* 0,95 ±,35 M. G. Berardo Gl 67

68 B. Determar o º de poto da curva de arejameto e dearejameto. LEQ IV Crtéro: Obteção de um erro acetável o declve (k L a).para a zoa méda de l C em fução de t. l ( C) l ( C )- k a. t 0 L prop: l C - l C k a 0 L t kla 0 kla l C0 - l C ( l C - l C) t + t ( ( l C - l C) ) ( l C ) + ( l C) 0 0 C0 C + C 0 C k L a k L a reg: α t - y.x x max - x 4 m y.x ( y) - y l C C / C 0.00 t - (95%) S yx α εα (%) reg/ prop M. G. Berardo Gl 68

69 Um exemplo para o trabalho de Detlação Fraccoada LEQ IV Determar o º de poto (padrõe) para a calbração do refractómetro. Crtéro: Obteção do º de poto etre x0,4 e x com um erro acetável para o ídce de refracção y x x (acetoa) exp 0,0005 Ídce de refracção do compoete puro:,3588 e,4459 p7 t - (95%) S yx ( ) cetral ε (%) reg/ prop Y y.x cetral t x 0,4 - ( y) - y.x + p p M. G. Berardo Gl 69

70 Um exemplo para o trabalho de Colua de Bolha LEQ IV Determar o º de poto a curva de arejameto e dearejameto. Crtéro: Obteção do declve k L a a zoa méda com um erro acetável. l (C) l (C 0 ) k L a t l(c) C/C C 0, % t 0 k L l C0 - l C a t k L a 0, y 0,00 t - (95%) S yx α εα (%) reg/ prop E E E E E E E E E E E E E α t y.x - y.x reg: ( y) - x max - x 4 m prop: k L a k L a 0 l C0 - l C + t ( l C - l C) t ( ( l C - l C) ) 0 C0 C + C 0 C k a 0,00084 L - M. G. Berardo Gl 70

71 Um exemplo para o trabalho de Torre de Arrefecmeto LEQ IV Determar o º de poto e repetçõe da calbração do rotâmetro. Crtéro: Obteção da ordeada L a zoa méda com um erro acetável. - ou 3 medçõe em trplcado Y cetral t - y.x + p p V L t y.x ( y) - L L exp 0,0357 L/m t - (95%) S yx ( L) cetral ε L (%) reg/ prop M. G. Berardo Gl 7

72 5. PLANIFICAÇÃO FACTORIAL UM PROCESSO OU SISTEMA PODE SER REPRESENTADO POR UM MODELO: OBJECTIVOS DA EXPERIÊNCIA:. Determar ua da VARIÁVEIS INDEPENDENTES (FACTORES) x fluecam ma a RESPOSTA, y (VARIÁVEL DEPENDENTE).. Determar como é poível mapular a varáve x de tal modo ue y eteja empre próxmo do eu valor omal. 3. Determar como é poível mapular a varáve x de tal modo ue a varabldade de y eja peuea. 4. Determar como é poível mapular a varáve x de tal modo ue o efeto da varáve cotroláve z ejam mmzada. M. G. Berardo Gl 7

73 A utlzação da PLANIFICAÇÃO EXPERIMENTAL pode reultar em: Aumeto de redmeto de um proceo. Redução da varabldade de reuto oma. Redução do tempo de mplemetação do proceo. Redução de cuto. A utlzação da PLANIFICAÇÃO EXPERIMENTAL pode tomar apecto muto mportate a actvdade do egehero, uado e pretedem deevolver ovo produto ou proceo ou mplemetar o já extete, cludo, por exemplo: Avalação e comparação de cofguraçõe báca de projecto. Avalação de alteraçõe o materal. Selecção de parâmetro de projecto, de tal modo ue o produto eja ROBUSTO, ou eja, para uma grade varedade de codçõe, o proceo trabalhe bem. Avalação do parâmetro chave ue produzam bo redmeto para o produto. Muta experêca evolvem o etudo de efeto de váro factore (ENSAIOS MULTIFACTORIAIS). Em geral a PLANIFICAÇÃO FACTORIAL é ma efcete ete tpo de experêca. O EFEITO DE UM FACTOR é a varação a repota produzda pela varação o NÍVEL DO FACTOR. A PLANIFICAÇÃO FACTORIAL permte verfcar e efectuar o etudo da fluêca de,, 3,..., k FACTORES. Num ESTUDO CLÁSSICO, o ue ormalmete e faz, é coderar factore cotate, euato e aala a fluêca da varação de um dado factor o reultado. Pelo cotráro, um ESTUDO FACTORIAL, com a ajuda da aále de varâca, toda a formação pode er obtda multaeamete. M. G. Berardo Gl 73

74 Coderemo dua varáve depedete, A e B, ue fluecam o valore da varável depedete (repota). Ete FACTORES A e B, ão vetgado a do íve (A e A ) e (B e B ) e o tete ão repetdo para obter um certo úmero de obervaçõe. O valore obtdo vão-o permtr obter formaçõe acerca da ua fluêca o valor da repota. Ete reultado permtem dzer ue, uado B e matém o ível B, a repota tem o valor médo de 47, uado A toma o valor ma elevado A, e o valor da repota é 40, uado a varável A etá o ível ma baxo A. Exte uma varação de 7, uado a varável A paa do valor ma baxo para o valor ma elevado. Eta varação dega-e por EFEITO DO FACTOR A. De gual modo, uado A e matém o ível A, a repota tem o valor médo de 39, uado B toma o valor ma baxo B. Exte uma varação de 8, uado a varável B paa do valor ma baxo para o valor ma elevado. Eta varação dega-e por EFEITO DO FACTOR B. Como o efeto de B é maor ue o efeto de A, a varável B é a varável ma mportate. Embora ete tete cláco avale o efeto de A e de B, ão o revela: O tervalo de cofaça do efeto A e B. O erro expermeta o dado. O efeto de teracçõe etre o do factore. M. G. Berardo Gl 74

75 INTERACÇÃO ENTRE FACTORES O valor da repota aumeta de 5 para 0 (5 udade) uado o factor B toma o valor B (0 %), e o factor A vara de 0 para 0 %. No etato, uado o factor B toma o valor B (30 %), e o factor A vara de 0 para 0 %, o valor da repota vara 7 udade (5-8). Ete facto dca a preeça de teracção etre o factore A e B. M. G. Berardo Gl 75

76 5.. ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) NA PLANIFICAÇÃO A UM FACTOR FONTE DE VARIAÇÃO G. L. QUADRADOS DOS DESVIOS (SS) NÍVEIS (COLUNAS) v- SS v p T v T - VARIÂNCIAS OU MÉDIAS QUADRÁTICAS (MS) MS C SS v v - F 0 RESIDUAL (-)-(v-) SS redual SS total - SS v MS redual SS redual ( ) - ( v -) MS MS C redual TOTAL - SS total x - T T Soma total de toda a obervaçõe Número total de obervaçõe v Número de íve p Número de réplca em cada ível A comparação de F 0 com o valore de F tabelado permte aalar com ue probabldade há ou ão há dfereça gfcatva etre a colua (íve). M. G. Berardo Gl 76

77 EXEMPLO F Um egehero etá tereado em maxmzar a teão de uma ova fbra tétca para er uada a fetura de camola de homem. É cohecdo ue ea teão é fluecada pela percetagem de algodão (upeta-e ue o aumeto da uatdade de algodão aumeta a teão). Sabe-e também ue a uatdade de algodão deve varar etre 0 e 40 %, para mater a ualdade. Am decdu tetar 5 íve de percetagem de algodão: 5, 0, 5, 30 e 35 %. Decdu gualmete efectuar 5 tete a cada ível de percetagem de algodão. É um exemplo de plafcação a UM FACTOR com 5 NÍVEIS e 5 REPETIÇÕES em cada ível. a 5 obervaçõe devem er efectuada ao acao. TENSÃO (ATM.) OBSERVAÇÕES ALGODÃO (%) SOMAS MÉDIAS 5 0,48 0,48,0 0,75 0,6 3,34 0, ,8,6 0,8,, 5,4,05 5 0,95,,,9,9 5,99,0 30,9,70,50,9,56 7,34, ,48 0,68 0,75,0 0,75 3, TOTAL T5,58.0 ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA): FONTE DE G. L. QUADRADOS VARIÂNCIAS OU F 0 VARIAÇÃO DOS DESVIOS MÉDIAS (SS) QUADRÁTICAS (MS) PERCENTAGEM DE ALGODÃO v- 4 SS v,09,09/4 0,555 RESIDUAL (-) - (v-) 0 SS redual 0,688 0,0344 6,05 TOTAL - 4 SS total,897 Comparado 6,05 com o valor tabelado (F 0,0;4:0 4,43), como é maor, podemo dzer, para uma cofaça de 99 %, ue a percetagem de algodão a fbra AFECTA SIGNIFICATIVAMENTE A TENSÃO DO TECIDO. M. G. Berardo Gl 77

78 5.. ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) NA PLANIFICAÇÃO MULTIFACTORIAL FONTE DE VARIAÇÃO G. L. QUADRADOS DOS DESVIOS (SS) LINHAS r- SS r T p c r T - VARIÂNCIAS OU MÉDIAS QUADRÁTICAS (MS) MS r SS r r - F 0 MS MS r redual COLUNAS c- SS c T p r c T - MS c SS c c - MS MS c redual INTERACÇÃO LINHAS-COLUNAS (c-) (r-) SS Tcr SScr - T c MSt SSc SSr c - p MS MS t redual RESIDUAL (-)- S (outro) SS SStotal -SSc SS SS red r cr MS redual SS redual ( ) - ( c -) TOTAL - SS total x - T A comparação do F 0 com o valore de F tabelado permte aalar, para Z % de probabldade ual (a) do factore afectam gfcatvamete a repota. Quado p, ou eja, uado em cada célula ão há eao repetdo, a aále de varâca mplfca-e, porue dexa de extr a teracção lha-colua. M. G. Berardo Gl 78

79 6. RSM - MÉTODO DA SUPERFÍCIE DE RESPOSTA É uma técca etatítca muto útl para a modelação e aále de problema o ua a repota é fluecada por vára varáve (factore) e o grade objectvo é a OPTIMIZAÇÃO DA RESPOSTA. A SUPERFÍCIE DA RESPOSTA é defda por: Y f (X, X, X 3,...) EXEMPLO RSM Numa reacção uímca a varáve ma mportate ão a cocetração de um do reagete (X) e o tempo de reacção (t). Pretede-e aber ual o valor da varáve ue maxmzam o redmeto. (A codçõe ormalmete utlzada ão: X 5 % E t h). Como ão varáve ( efeto), etudado a íve, temo uma plafcação, e, com PONTOS CENTRAIS, va-o permtr uar UM MODELO LINEAR (de ª ordem) M. G. Berardo Gl 79

80 Etabelecer a matrz da varáve em udade de códgo e em udade fíca: ENSAIO VALORES CODIFICADOS DAS VARIÁVEIS XX Xt X VALORES REAIS DAS VARIÁVEIS X t (h) Repota RR (%) X (%) Na varáve codfcada: - gfca o valor ma baxo + gfca o valor ma alto 0 gfca um poto cetral Etmatva do parâmetro da correlação lear múltpla. Y x +. 7 x Etmatva do valore do efeto a 95% de probabldade Efeto da cocetração.35 Efeto do tempo.7 Efeto da teracção cocetração - tempo 0.95 CONCLUSÕES Quado X e t aumetam, aumeta o redmeto O tempo é o efeto ma mportate. M. G. Berardo Gl 80

81 6.. C C D (CENTRAL COMPOSITE DESIGN) LEQ IV Exteão do modelo k (lear), para permtr modelo uadrátco Cote em trê tpo de experêca: PONTOS CÚBICOS PONTOS CENTRAIS PONTOS ESTRELA poto do modelo k réplca do cetro do cubo 4 k (CÚBICO ALTO - CÚBICO BAIXO). C C D PARA DOIS FACTORES VARIÁVEL PONTO CÚBICO PONTO ESTRELA VARIÁVEL PONTO CENTRAL Cada varável de projecto tem 5 NÍVEIS, correpodete ao poto: ESTRELA BAIXO, CÚBICO BAIXO, CENTRAL, CÚBICO ALTO, ESTRELA ALTO. O úmero total de experêca é: QUATRO CÚBICAS - correpodete ao uatro vértce do uadrado ( ) AMOSTRAS CENTRAIS QUATRO ESTRELAS M. G. Berardo Gl 8

82 EXEMPLO RSM LEQ IV Pretede-e aber ual o valor da varáve tempo (t) e temperatura (T) ue maxmzam o redmeto de uma reacção uímca. Varáve codfcada Varáve atura x x tempo (m) Temp (ºC) Redmeto (%) STATISTICA z *t *t^+4.*t *t^ M. G. Berardo Gl 8