Paulo Cabral Erros e Incertezas nas Medições Julho 2004

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1 Paulo Cabral Erro e Icerteza a Medçõe Julho 004

2 Erro e Icerteza a Medçõe IEP Ittuto Electrotécco Portuguê ISEP Ittuto Superor de Egehara do Porto Laboratóro de Metrologa e Eao Departameto de Fíca Rua de S. Ge, 377 Rua Dr. Atóo Berardo de Almeda, Sehora da Hora (Matoho) Porto Tel / 3 Tel paulo.cabral@ep.pt pmc@ep.pp.pt / 6 Paulo Cabral

3 Erro e Icerteza a Medçõe It better to be roughly rght tha precely wrog Joh Mayard Keye To err huma; to decrbe the error properly ublme Clff Swartz I ca lve wth doubt ad ucertaty ad ot kowg. I thk t much more teretg to lve ot kowg tha to have awer that mght be wrog Rchard Feyma Paulo Cabral 3 / 6

4 Erro e Icerteza a Medçõe 4 / 6 Paulo Cabral

5 Erro e Icerteza a Medçõe Ídce INTRODUÇÃO...9. Coceto cláco: eactdão e precão...9. Erro de medção Por que ete certeza?....4 O teree de e dcar a certeza de uma medção Icerteza - algu marco htórco...5 TERMINOLOGIA MAIS IMPORTANTE...7. Gradeza e Udade...7. Medçõe Reultado de medção Itrumeto de medção Caracterítca do trumeto de medção Padrõe ANÁLISE ESTATÍSTICA DE RESULTADOS Itrodução Aále de dado Noção de população e de amotra Méda artmétca Medaa Moda Devo da méda Devo médo Devo-padrão Varâca Uo de máqua de calcular Utlzação do Mcrooft Ecel DISTRIBUIÇÃO DA PROBABILIDADE DOS ERROS Dtrbução ormal do erro Erro equprovável A dtrbução ormal e o coceto de eactdão e precão Outra dtrbuçõe Rectagular, ou uforme Em U, ou dervada do arco-eo Tragular Em M, ou b-modal ANÁLISE GRÁFICA Learzação Regra para elaboração de gráfco Utlzação do Mcrooft Ecel Tpo de gráfco Gráfco X-Y Recta de regreão Barra de certeza o valore (eo X e Y) REGRESSÃO LINEAR Epreão da recta de regreão Coefcete da recta e repectva certeza Iterpolação de um ovo valor y o a partr de um o Coefcete de correlação etre X e Y...48 Paulo Cabral 5 / 6

6 Erro e Icerteza a Medçõe 7 TOLERÂNCIA DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO Itrumeto com clae ormalzada Combação de váro erro Regra da dferecal logarítmca Equpameto dgtal ppm e % INTRODUÇÃO À ANÁLISE NUMÉRICA Arredodameto do reultado...59 O coceto de algarmo gfcatvo Algarmo a coervar Multplcação, Dvão, Radcação Algarmo a coervar Adção, Subtracção COMBINAÇÃO DE INCERTEZAS Itrodução Defçõe epecífca Fote de certeza Epreão da gradeza a medr Correcçõe cohecda Balaço da certeza Gradeza medda repetdamete (tpo A) Gradeza determada por outro meo (tpo B) Valore gulare Gradeza de fluêca Le de propagação da certeza Coefcete de ebldade Soma da varâca Cao ma mple, frequetemete ecotrado Soma (ou dfereça) Produto (ou quocete) Combação de certeza Gradeza correlacoada Gradeza correlacoada cao partculare Icerteza epadda da meurada Número de grau de lberdade Reultado fal Fluograma mplfcado Combação de certeza Cao ma mple Sugetão de equema para apreetação do dado Reumo do cao ma comu Gradeza depedete Gradeza correlacoada EXEMPLOS DE CÁLCULO DE INCERTEZAS Frequêca de uma fote AC pela le de Meree Apreetação da eperêca Valore obtdo epermetalmete Recta de regreão lear Maa lear do fo Frequêca Icerteza proveete de um certfcado de calbração Determação da certeza a partr da epecfcação do fabrcate Icerteza orgára de um aparelho eléctrco aalógco Icerteza a partr da epecfcação de uma orma Icerteza de uma dcação dgtal Medção da humdade do ar com um pcrómetro Decrção Procedmeto de medção Balaço de certeza Medção de temperatura com uma Pt / 6 Paulo Cabral

7 Erro e Icerteza a Medçõe 0.8. Decrção da eperêca Epreão da recta de regreão Icerteza do declve Iterpolação de um ovo valor Calbração de um paquímetro com bloco-padrão Calbração de uma retêca pelo método potecométrco Prcípo da medção Equema de motagem Ifluêca da temperatura Idetfcação da fote de certeza Letura efectuada Balaço de certeza...95 PROBLEMAS PROPOSTOS...97 LISTA DE FUNÇÕES ESTATÍSTICAS DO MICROSOFT EXCEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Udade de bae Udade dervada com ome epeca Prefo do múltplo e ubmúltplo da udade SI Nomeclatura do grade úmero ALFABETO GREGO BIBLIOGRAFIA SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS... 7 DISTRIBUIÇÃO DO T DE STUDENT Valor de t que, para ν grau de lberdade, defe um tervalo ±t(ν) que abrage uma fracção p% da dtrbução Correcção a aplcar ao devo-padrão, egudo o úmero de medçõe, para dferete factore de epaão do reultado fal...4 Paulo Cabral 7 / 6

8 Erro e Icerteza a Medçõe 8 / 6 Paulo Cabral

9 Erro e Icerteza a Medçõe Itrodução Por maor cudado que e teha ao efectuar uma medção, memo que e utlzem equpameto topo de gama em codçõe ambeta bem cotrolada, o reultado que e obtém vrão afectado por dvero erro. Nada em guém é perfeto. Como tal o reultado da medçõe, do eao e da aále também ão podem er perfeto. Ito ão é ovdade para guém. Uma da prcpa tarefa de um epermetador é detfcar a fote de erro que podem afectar o proceo de medção, e quatfcar ea fote de erro. Ea falta de perfeção é degada, actualmete, por certeza. A palavra erro, que durate largo ao fo utlzada com ee memo gfcado, etá hoje em da reervada para degar o afatameto etre o valor obtdo uma medção e o correpodete valor verdadero, o qual é, em geral, decohecdo.. Coceto cláco: eactdão e precão Tem do prátca correte a utlzação do coceto de eactdão e precão para caracterzar o grau de rgor com que uma medção é efectuada. Etede-e por eactdão a maor ou meor apromação etre o reultado obtdo e o valor verdadero. A precão etá aocada à dperão do valore reultate da repetção da medçõe. Se fzermo uma aaloga com o dparo de um projéctl cotra um alvo, poderemo dzer que a eactdão correpode a acertar o (ou prómo do) cetro do alvo; por outro lado, teremo precão quado o váro dparo coduzrem a acertar em poto muto prómo etre. A fgura egute procuram lutrar eta dea. Ieacto e mpreco (rrepetível) Paulo Cabral 9 / 6

10 Erro e Icerteza a Medçõe Preco ma eacto Eacto ma mpreco Eacto e preco. Erro de medção Segudo a forma como o dvero tpo de erro fluecam a medçõe, tem do prátca habtual clafcá-lo em 0 / 6 Paulo Cabral

11 Erro e Icerteza a Medçõe Erro groero São devdo à falta de ateção, pouco treo ou falta de períca do operador. Por eemplo, uma troca de algarmo ao regtar um valor ldo. São geralmete fáce de detectar e elmar. Erro temátco - São o que afectam o reultado empre o memo etdo. Eemplo: correcto pocoameto do zero da ecala, afectado toda a letura feta com ee trumeto. Devem er compeado ou corrgdo coveetemete. Erro aleatóro Aocado à atural varabldade do proceo fíco, levado a flutuaçõe o valore meddo. São mprevíve e devem er abordado com método etatítco. A fgura egute procuram lutrar ete coceto, de uma forma bemhumorada. Erro groero Erro Groero Erro temátco Erro Stemátco Erro aleatóro Erro Aleatóro É ada poível falar-e em erro aboluto e em erro relatvo, de acordo com a forma como ão calculado. Paulo Cabral / 6

12 Erro e Icerteza a Medçõe Ate de o defrmo, covém troduzr o coceto de valor verdadero de uma gradeza. Dado que, como vmo já, toda a medçõe etão afectada por erro, por ma rgoroo que procuremo er, uca poderemo eperar que o reultado obtdo ejam eacto. Para o podermo referr ao grau de afatameto etre ta reultado e o reultado dea, defmo valor verdadero como edo o valor que obteríamo uma medção deal, feta em codçõe perfeta com trumeto perfeto e por operadore perfeto. Ee valor, meramete utópco, permte-o troduzr, etre outro, o coceto de erro aboluto e erro relatvo. O erro aboluto correpodem à dfereça algébrca (com al + ou - ) etre o valor obtdo e o valor verdadero: Erro aboluto Valor meddo Valor verdadero Dzemo que uma medção tem um erro potvo (erro com al +, ou medção adatada ) e o eu valor for uperor ao valor que obteríamo a tal medção deal. Pelo cotráro, e obtvermo um valor feror ao deal, dremo que o erro é egatvo (erro com al -, ou medção atraada ). Por veze é muto útl apreetar valore relatvo, quado e eprmem erro de medçõe. A forma ma uual de apreetação é dcar o erro relatvo em percetagem (%): Erro aboluto Erro relatvo 00% Valor verdadero É também comum, em determado domío da cêca e da técca, eprmr o erro relatvo em parte por mlhão (ppm): Erro relatvo Erro aboluto Valor verdadero 0 6 ppm Eta últma otação é útl quado e etá a preeça de valore muto pequeo, o que é típco do laboratóro ode e efectuam medçõe de elevado grau de rgor (por eemplo, em laboratóro de calbração). É, cotudo, uma otação ão ormalzada e que tem vdo a er deacoelhada pelo orgamo teracoa lgado à metrologa e à orma técca. Ao métrco algébrco do erro dá-e o ome de correcção : Correcção Erro Ete termo reulta do facto de, e e ouber que uma dada medção etá afectada de um determado erro, o valor correcto poder er obtdo medate a correcção dee reultado..3 Por que ete certeza? É evdete que qualquer decrção matemátca de um feómeo fíco ão é ma do que uma modelzação teórca de algo, para permtr a ua compreeão. Ea modelzação, memo que eja feta com um elevado grau de rgor, uca correpode em aboluto ao verdadero feómeo em caua, e bem que à luz do cohecmeto cetífco de uma determada época poa er coderada como tal. Recordemo, por eemplo, o peameto ubjacete à mecâca ewtoaa e a mplcaçõe que obre ele teve ma tarde a mecâca relatvta... / 6 Paulo Cabral

13 Erro e Icerteza a Medçõe Por outro lado, qualquer medção é efectuada com tema fíco (o trumeto de medção) com o qua procuramo quatfcar determada caracterítca de outro tema fíco (o objecto a medr). Todo o tema fíco rea e afatam em maor ou meor grau do comportameto deal prevto pelo modelo matemátco com o qua o procuramo decrever. Memo apó a correcção de todo o erro devdo ao efeto (temátco) cohecdo, ubtem eactdõe em todo o valore meddo. Quato ma ão foe, a própra etêca de um úco valor verdadero é cotrarada pela le da Fíca (recordemo o Prcípo da Icerteza de Heeberg). Alguma da razõe ma medata para etrem empre certeza aocada à medçõe ão dcada a egur. Efeto da codçõe ambeta (por eemplo: temperatura, humdade, preão atmoférca, etc.) Efeto da caracterítca tríeca ao trumeto de medção utlzado (por eemplo, reolução, etabldade, ebldade, etc.) ou memo ao objecto que e pretede medr ou caracterzar. Efeto atrbuíve ao operador / epermetador (ta como método de medção adequado, erro de letura da ecala, correcta utlzação do equpameto, etc.). Paulo Cabral 3 / 6

14 Erro e Icerteza a Medçõe.4 O teree de e dcar a certeza de uma medção Muto do eao, aále e medçõe que daramete e efectuam em todo o mudo têm por objectvo garatr que determado valore-lmte (mímo ou mámo) ão ão eceddo. Como eemplo, recordemo-o da medção da potêca de freagem de um veículo durate a ua pecção peródca; da pequa de ubtâca dopate o fludo corpora de um atleta de alta competção; da utlzação do efeto Döppler para medr o devo da frequêca de um fee de radação um cemómetro-radar utlzado pela Políca para cohecer a velocdade tatâea de uma vatura; etc., etc. Sem formação acerca da certeza, pode parecer muto mple tomar decõe, ma ea decõe podem etar correcta. Por eemplo: Coequêca ecoómca, ao rejetar produto em vez de o acetar; Coequêca judca, ao dar um veredcto de culpado em vez de ocete; Coequêca médca, ao precrever um tratameto deeceáro. O eemplo ão úmero! Com a dcação de uma etmatva realta da certeza, a formação cotda o reultado tora-e muto ma útl. Vejamo grafcamete a fluêca que poderá ter aocar ou ão a certeza ao reultado de uma medção: Um reultado com e em certeza Se ee reultado tver de er comparado com uma dada epecfcação (por eemplo, com o lmte mímo e mámo de acetação de um produto), a cluão da certeza permte detfcar e a epecfcação é claramete cumprda (cao A da fgura egute) ou ão (cao E), ou e e trata de uma tuação de alguma defção (cao B, C e D), em que qualquer decão mplcará aumr um determado rco. 4 / 6 Paulo Cabral

15 Erro e Icerteza a Medçõe Lmte uperor da epecfcação Valor deal Valore meddo com a barra ( ±) da certeza Lmte f eror da epecfcação.5 Icerteza - algu marco htórco Porque o coceto de certeza de uma medção, tal como é eteddo hoje em da a ível teracoal, é relatvamete recete, apreeta-e de eguda uma breve reeha croológca da evolução da dea que coduzram à actua defçõe de erro e de certeza Galleo Galle, Dcor e demotrazoe matematche toro a due uove ceze. Decrção, etre outra, da eperêca com o plao clado Thoma Smpo, O the advatage of takg the mea of a umber of obervato, practcal Atroomy Joeph Lou Lagrage, Mémore ur l utlté de la méthode de predre le mleu etre le réultat de plueur obervato Dael Beroull, Djudcato mame probabl plurum obervatoum dcrpatum atque vermlla ducto de formada : o melhor valor oferece a maor probabldade para a equêca de medçõe obervada. 795/ Carl Fredrch Gau, Theora motu corporum coeletum ; a méda artmétca de uma equêca de medçõe é o valor com meor dperão Perre Smo, marquê de Laplace, Traté de mécaque célete Carl Fredrch Gau, Theora combato obervatoum errorbu mm oboae ; derva a fução erro DeMorga, O the theory of error of obervato. Teorema de DeMorga J. V. Schaparell, Sul prcpo della meda arthmetca el calcolo de reultat delle oervato A. Ferrero, Epotoe del metodo de mm quadrat. Teorema de Ferrero O coceto de erro, eactdão e tolerâca domam a metrologa. Paulo Cabral 5 / 6

16 Erro e Icerteza a Medçõe Prmera referêca à etêca de certeza em medçõe fíca Coceto de certeza muto dvero coetem ( erro para o por cao, σ, σ, 3σ, kσ+δ, etc Grupo de trabalho INC- do BIPM propõe abordagem tpo A / tpo B, baeada em modelo matemátco e em método etatítco objectvo Aprovado documeto WECC 9, Gudele for the epreo of the ucertaty of meauremet calbrato, aplcável ao laboratóro tegrado a rede WECC Grupo de trabalho ISO / TAG 4 / WG 3 publca draft do GUM Workhop Eurolab (Barceloa) reúe a comudade laboratoral de 4 paíe e etabelece a bae para a uformdade da avalação da certeza em eao Publcada a bíbla da certeza: Gude to the Epreo of Ucertaty Meauremet (GUM) Documeto EAL-R, Epreo of the Ucertaty of Meauremet Calbrato (ubttu WECC-9; harmozado com o GUM) Documeto EA-4/0 (reedção do EAL-R, com eemplo prátco) Documeto EA-4/6, Gudele o the epreo of ucertaty quattatve tetg. 6 / 6 Paulo Cabral

17 Erro e Icerteza a Medçõe Termologa ma mportate Em todo o domío da cêca e da técca a termologa deve er cudadoamete ecolhda. Cada termo deve ter o memo gfcado para todo o utlzadore; deve eprmr um coceto bem defdo, em etrar em coflto com a lguagem comum. Ito aplca-e partcularmete em metrologa, com uma dfculdade uplemetar: edo toda a medção afectada por erro mperfetamete cohecdo, o gfcado que e lhe atrbu deve clur eta certeza. Temo etão de eprmr com precão a própra mprecão. A defçõe aqu apreetada ão etraída da.ª edção do Vocabuláro Iteracoal de Metrologa (VIM), publcado pela ISO e reultate do trabalho de um cojuto de ete orgazaçõe teracoa lgada à medçõe e à ormalzação técca (*). Dee Vocabuláro ete uma tradução em Portuguê, edtada pelo IPQ, que fo preparada pela Comão Permaete para a Metrologa do Coelho Nacoal da Qualdade. No domío do erro e da certeza, ete Vocabuláro adopta uma attude prudete, deado de parte, por eemplo, a lguagem da etatítca, frequetemete utlzada de forma abuva o domío da medçõe. Toda a medção etá afectada de um erro, ma ete erro é geralmete decohecdo. Igora-e o eu al algébrco, edo frequetemete dfícl atrbur-lhe uma ordem de gradeza. É por o que e utlza o termo certeza, para dcar uma etmatva provável do erro. Termo outrora muto uado, como por eemplo aferção, etão dede há ao uprmdo, ao meo o coteto da metrologa. No etato a tradção tem levado a que por veze ada o deparemo com epreõe como precão, medda ou aparelho de medda, etc. É por o eceáro que o dvero íve de eo, bem como a formação profoal, e dvulguem o termo correcto, utlzado-e o repectvo coceto com toda a propredade.. Gradeza e Udade Valor (de uma gradeza) [VIM.8] - Epreão quattatva de uma gradeza epecífca, geralmete ob a forma de uma udade de medda multplcada por um úmero. Valor verdadero (de uma gradeza) [VIM.9] - Valor cotete com a defção de uma dada gradeza epecífca. É um valor que era obtdo por uma medção perfeta. Valore verdadero ão, por atureza, determado. Valor covecoalmete verdadero (de uma gradeza) [VIM.0] - Valor atrbuído a uma gradeza epecífca e acete, à veze por coveção, como tedo uma certeza aproprada para uma dada faldade.. Medçõe Medção [VIM.] - Cojuto de operaçõe que tem por objectvo determar o valor de uma gradeza. Meurada [VIM.6] - Gradeza epecífca ubmetda à medção. (*) Ee Vocabuláro etá preetemete (004) em revão a ível teracoal. Paulo Cabral 7 / 6

18 Erro e Icerteza a Medçõe Gradeza de fluêca [VIM.7] - Gradeza que ão é a meurada, ma que afecta o reultado da medção deta. Eemplo: a temperatura de um mcrómetro uado a medção de um comprmeto..3 Reultado de medção Reultado de uma medção [VIM 3.] - Valor atrbuído a uma meurada, obtdo por medção. Uma epreão completa do reultado de uma medção clu uma formação obre a certeza de medção. Eactdão de medção [VIM 3.5] Apromação etre o reultado de uma medção e o valor verdadero da meurada. Eactdão é um coceto qualtatvo. Deve er evtado o termo precão o lugar de eactdão. Repetbldade do reultado (de uma medção) [VIM 3.6] Apromação etre o reultado de medçõe uceva da mema meurada efectuada a mema codçõe de medção. Eta codçõe ão chamada codçõe de repetbldade e cluem: memo procedmeto de medção; memo obervador; memo trumeto de medção, utlzado a mema codçõe; memo local; repetção um curto tervalo de tempo. A repetbldade pode er eprea quattatvamete em termo da caracterítca da dperão do reultado. Reprodutbldade do reultado (de uma medção) [VIM 3.7] Apromação etre o reultado da medçõe da mema meurada, efectuada com alteração da codçõe de medção. Para que uma epreão da reprodutbldade eja válda, é eceáro que ejam epecfcada a codçõe alterada. A codçõe alterada podem clur: prcípo de medção; método de medção; obervador; trumeto de medção; padrão de referêca; local; codçõe de utlzação; tempo. Icerteza de medção [VIM 3.9] - Parâmetro, aocado ao reultado de uma medção, que caracterza a dperão do valore que podem er razoavelmete atrbuído à meurada. Ee parâmetro pode er, por eemplo, um devo-padrão (ou um dado múltplo dele), ou a metade de um tervalo correpodete a um dado ível de cofaça. A certeza de medção compreede, em geral, muto compoete. Algu dete compoete podem er etmado, com bae a dtrbução etatítca do reultado da ére de medçõe e podem er caracterzado pelo devo-padrão epermeta. O outro compoete, que também podem er caracterzado por devo-padrão, ão avalado a partr da dtrbução de probabldade aumda, com bae a eperêca ou outra formaçõe. Etede-e que o reultado da medção é a melhor etmatva do valor da meurada, e que todo o compoete da certeza, cludo aquele reultate do efeto temátco, como o compoete aocado à correcçõe e ao padrõe de referêca, cotrbuem para a dperão. Erro de medção [VIM 3.0] Dfereça algébrca etre o reultado de uma medção e o valor verdadero da meurada. Uma vez que o valor verdadero ão pode er determado, utlza-e, a prátca, um valor covecoalmete verdadero. Quado é eceáro dtgur erro de erro relatvo, o prmero é, por veze, deomado erro aboluto de medção. Ete ão deve er cofuddo com valor aboluto do erro, que é o modulo do erro. Devo [VIM 3.] Valor ubtraído do eu valor de referêca. Erro relatvo [VIM 3.] Quocete etre o erro da medção e o valor verdadero da meurada. 8 / 6 Paulo Cabral

19 Erro e Icerteza a Medçõe Erro aleatóro [VIM 3.3] - Reultado da medção ubtraído da méda que reultara de um úmero fto de medçõe da mema meurada, efectuada em codçõe de repetbldade. O erro aleatóro é gual ao erro ubtraído do erro temátco. Como ó pode er efectuado um úmero fto de medçõe, ó é poível determar uma etmatva do erro aleatóro. Erro temátco [VIM 3.4] - Méda que reultara de um úmero fto de medçõe da mema meurada, efectuada em codçõe de repetbldade, ubtraída do valor verdadero da meurada. O erro temátco é gual ao erro ubtraído do erro aleatóro. Tal como o valor verdadero, o erro temátco e a ua caua ão podem er completamete cohecdo. Correcção [VIM 3.5] - Valor adcoado algebrcamete ao reultado bruto da medção, para compear o erro temátco. A correcção é gual e de al cotráro ao erro temátco etmado. Uma vez que o erro temátco ão pode er perfetamete cohecdo, a compeação ão pode er completa..4 Itrumeto de medção Itrumeto de medção [VIM 4.] - Dpotvo detado à eecução da medção, olado ou em cojuto com equpameto uplemetare. Dvão [VIM 4.0] - Parte de uma ecala compreedda etre quaquer dua referêca uceva. Valor da dvão [VIM 4.] - Dfereça etre o valore correpodete a dua referêca coecutva da ecala. O valor da dvão é epreo a udade marcada a ecala, qualquer que eja a udade da meurada. Ajute [VIM 4.30] - Operação detada a levar um trumeto de medção a um fucoameto adequado à ua utlzação. Regulação [VIM 4.3] Ajute agdo apea o meo poto à dpoção do utlzador..5 Caracterítca do trumeto de medção Reolução (de um dpotvo dcador) [VIM 5.] - Meor dfereça etre dcaçõe de um dpotvo dcador que e podem dtgur gfcatvamete. Para um dpotvo dcador dgtal, é a dfereça de dcação que correpode à alteração de uma udade do dígto meo gfcatvo. Eactdão (de um trumeto de medção) [VIM 5.8] - Aptdão de um trumeto de medção para dar dcaçõe próma do verdadero valor da meurada. A eactdão é um coceto qualtatvo. Clae de eactdão (de um trumeto de medção) [VIM 5.9] - Clae de trumeto de medção que atfazem a certo requto metrológco com vta a mater o erro detro de lmte epecfcado. Uma clae de eactdão é habtualmete dcada por um úmero ou ímbolo adoptado por coveção e deomado ídce de clae. Erro mámo admíve (de um trumeto de medção) [VIM 5.] - Valore etremo de um erro admtdo por epecfcaçõe, regulameto, etc., para um dado trumeto de medção. Paulo Cabral 9 / 6

20 Erro e Icerteza a Medçõe.6 Padrõe Padrão [VIM 6.] Medda materalzada, trumeto de medção, materal de referêca ou tema de medção detado a defr, realzar, coervar ou reproduzr uma udade, ou um ou ma valore de uma gradeza, para ervrem de referêca. Eemplo: padrão de maa de kg; retêca-padrão de 00 Ω; amperímetro-padrão. Calbração [VIM 6.] - Cojuto de operaçõe que etabelece, em codçõe epecfcada, a relação etre o valore dcado por um trumeto de medção ou um tema de medção, ou valore repreetado por uma medda materalzada ou um materal de referêca, e o valore correpodete da gradeza realzado por padrõe. O reultado de uma calbração tato permte a atrbução de valore da meurada à dcaçõe, como a determação da correcçõe a aplcar. Uma calbração pode, também, determar outra propredade metrológca, tal como o efeto da gradeza de fluêca. 0 / 6 Paulo Cabral

21 Erro e Icerteza a Medçõe 3 Aále etatítca de reultado 3. Itrodução É do eo comum que em qualquer medção ou eperêca é deacoelhável ter uma úca letura, po ete empre o rco de e cometerem erro groero que paarão depercebdo e ão e tver qualquer termo de comparação. É uma tuação mlar à que acotece em qualquer trbual, ode mpera um atgo prcípo do Dreto Romao: Uma tetemuha é gual a ehuma tetemuha... Idepedetemete de qual for a orgem dee erro groero (operador, tabldade do objecto a medr, defcêca do trumeto uado, etc.), e tvermo dua letura dcordate etre já erá poível apercebermo-o de que algo ão etá bem, ada que ão poamo aber qual da letura é ma dparatada. Com uma tercera letura que eja dêtca a uma da aterore já poderemo começar a ter uma dea obre qual do valore é ma upeto. Medr trê veze, cortar uma vez. Pode-e reduzr o rco de cometer erro groero repetdo a medção uma eguda ou uma tercera vez. Numa eperêca, um eao ou uma medção de qualquer outra atureza é uual efectuar-e um grade úmero de repetçõe da letura, empre que tal eja poível técca e ecoomcamete. Com o coegue-e cohecer o valor com uma maor fabldade, o que coduz a uma meor certeza do memo. 3. Aále de dado Uma aále etatítca do dado proveete da medção é prátca comum, po permte uma etmação aalítca da certeza aocada ao reultado fal. A aída de um determado método de medção pode er prevta com bae em dado epermeta, em ter formação detalhada obre todo o factore de fluêca. Para torar gfcatvo o método e a terpretaçõe etatítca é geralmete eceáro dpôr de um grade úmero de medda. Para além do, o erro temátco devem er pequeo em comparação com o erro aleatóro, vto que o tratameto etatítco do dado ão elma o erro de fdeldade (ba, a termologa aglo-aóca) etete em toda a medçõe. Paulo Cabral / 6

22 Erro e Icerteza a Medçõe 3.3 Noção de população e de amotra Numa aále de dado, ao preteder tratar etattcamete uma (ou ma) caracterítca ou parâmetro podemo-o ecotrar perate dua tuaçõe dtta: Temo aceo à totaldade do elemeto (dvíduo) obre o qua pretedemo efectuar a aále. Nete cao, a aále etatítca va decrever completamete a caracterítca pretedda. Dzemo que vamo etudar toda a população (to é, todo o elemeto que apreetam a caracterítca que o terea cohecer). É o ramo da etatítca degado por etatítca decrtva. Ocorre, por eemplo, o receeameto (ceo) de toda a população portuguea, que têm lugar uma vez em cada década. Em umeroo cao, o úmero de elemeto que cottuem a população é demaado grade (ou memo fto) para que eja vável caracterzá-lo completamete de uma forma rápda e/ou ecoómca. Nee cao, remo trabalhar apea com uma amotra do elemeto da população, a partr da qual remo trar cocluõe quato ao que e paa com a totaldade da população. A ete ramo chama-e ferêca etatítca, e é o que e utlza, por eemplo, a prevõe do reultado eletora. É também o que o rá terear o tratameto de reultado de medçõe. 3.4 Méda artmétca O valor ma provável de uma varável medda é a méda artmétca do valor da letura obtda. A melhor apromação erá coeguda quado o úmero de letura da mema gradeza for muto grade. Teorcamete, um úmero fto de letura dara o melhor reultado, e bem que, a prátca, apea e poa efectuar um úmero fto de medçõe. A méda artmétca é dada pela epreão egute: em que ão : méda artmétca,, : letura obtda,,..., : úmero de letura. Eemplo Um cojuto de medçõe depedete de teão, obtda por quatro operadore, fo regtado como Calcular a teão méda. 7,0 V 7, V 7,08 V 7,03 V / 6 Paulo Cabral

23 Erro e Icerteza a Medçõe Solução E av 7,0 + 7,+ 7,08 + 7,03 7,06 V Medaa A medaa de um cojuto de úmero, orgazado por ordem de gradeza, é o valor cetral ou a méda artmétca do do valore cetra. Eemplo A medaa do úmero 3, 4, 5, 6, 8, 8, 0 é 6 O cojuto 5, 5, 7, 9,,, 5, 8 tem a medaa ½(9+)0 3.6 Moda A moda de um cojuto de úmero é o valor que ocorre com a maor frequêca, ou eja, é o valor ma comum. A moda pode ão etr, ou etr ma ão er úca. Eemplo O cojuto,, 5, 7, 9, 9, 9, 0, 0,,, 8 tem moda 9 O cojuto 3, 5, 8, 0,, 5, 6 ão tem moda O cojuto, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem dua moda, 4 e 7 (dz-e por o que é bmodal; ver 4.4.4) 3.7 Devo da méda O devo da méda é o afatameto de uma dada letura dvdual relatvamete à méda do grupo de letura. Se o devo da prmera letura,, for degado por d, o da eguda letura,, por d, e am ucevamete, etão o devo da méda podem er epreo como d d d... Deve otar-e que o devo da méda pode tomar valore potvo ou egatvo e que a oma algébrca de todo o devo é zero. Paulo Cabral 3 / 6

24 Erro e Icerteza a Medçõe Eemplo Um cojuto de medçõe depedete de correte fo efectuado por e operadore e regtado como Calcular: (a) a méda artmétca; (b) o devo da méda.,8 ma, ma,5 ma 3, ma,9 ma,4 ma Solução a) b),8 +, +,5 + 3, +,9 +,4,65 ma 6 d d d d d d ,8,65 + 0,5 ma,,65 0,45 ma,5,65 0,5 ma 3,,65 + 0,45 ma,9,65 + 0,5 ma,4,65 0,5 ma 6 d 0,00 ma 3.8 Devo médo O devo médo é uma dcação da precão do trumeto uado para fazer a medçõe. Itrumeto muto preco coduzrão a um bao devo médo etre letura. Por defção, o devo médo é a oma do valore aboluto do devo a dvdr pelo úmero de letura. O valor aboluto do devo é o valor umérco dete em afectação de al. O devo médo pode er epreo como D d + d d d 4 / 6 Paulo Cabral

25 Erro e Icerteza a Medçõe Eemplo Calcular o devo médo para o dado do eemplo ateror. Solução D 0,5 + 0,45 + 0,5 + 0,45 + 0,5 + 0,5 0,83 ma Devo-padrão Em aále etatítca de erro aleatóro, a raz quadrada da méda do quadrado ( root mea quare, ou rm, a termologa glea) do devo, ou devo-padrão, cottu uma ajuda valoa. Por defção, o devo-padrão σ de um úmero fto de dado é a raz quadrada da oma do quadrado de todo o devo dvdua a dvdr pelo úmero total de letura. Epreo matematcamete, d d + d d σ Na prátca, como é óbvo, o úmero de obervaçõe poíve é fto. O devopadrão de um úmero fto de letura é dado por d d + d d Podemo também apreetar eta epreão em termo da letura dvdua, vdo am ( ) Ao devo-padrão que e apreetou calmete (σ) dá-e o ome de devopadrão da população. À eguda defção () chama-e também devo-padrão da amotra, por e tratar de um ubcojuto fto da população (fta). Eemplo Dez medçõe de uma retêca deram 0, Ω 0,7 Ω 0,3 Ω 0,0 Ω 0,5 Ω 0,3 Ω 0, Ω 0,4 Ω 0,3 Ω 0, Ω Paulo Cabral 5 / 6

26 Admtdo que apea etavam preete erro aleatóro, calcular: (a) a méda etatítca; (b) o devo-padrão da letura. Erro e Icerteza a Medçõe Solução Com um grade úmero de letura é coveete fazer a tabulação do dado, para evtar cofuõe e egao. Letura, Devo (Ω) d (Ω) d ² (Ω²) 0, -0, 0,0 0,7 0,4 0,6 3 0,3 0,0 0,00 4 0,0-0,3 0,09 5 0,5 0, 0,04 6 0,3 0,0 0,00 7 0, -0, 0,0 8 0,4 0, 0,0 9 0,3 0,0 0,00 0 0, -0, 0, , 0 d 0,0 d 0,36 d,4 (a) Méda artmétca: (b) Devo-padrão: d 03,0 0,3 Ω 0 0,36 9 0, Ω 3.0 Varâca Ao quadrado do devo-padrão dá-e o ome de varâca, vdo am V σ A varâca é uma quatdade útl em muto cálculo porque a varâca ão adtva. O devo-padrão, o etato, tem a vatagem de er epreo a mema udade que a varável repectva, torado-e ma fácl comparar reultado. 6 / 6 Paulo Cabral

27 Erro e Icerteza a Medçõe 3. Uo de máqua de calcular Ao utlzar calculadora electróca há algu apecto mportate a ter em coderação. Etão dpoíve o mercado umeroo modelo de calculadora que pouem a fuçõe etatítca ma mportate. Todava, há alguma dfereça a otação uada pelo repectvo fabrcate (e à veze memo etre dferete modelo do memo fabrcate!). Fução Símbolo ma uua Obervaçõe Méda Devo-padrão da população σ N Devo-padrão da amotra N Recta de regreão σ N σ N y a + b y a + b y m + b Coefcete de correlação r R Não é habtualmete uado a aále de reultado de medçõe a : declve b : ordeada a orgem b : declve a : ordeada a orgem m : declve b : ordeada a orgem Quadrado do coefcete de correlação r R No cálculo termédo é coveete coervar algarmo ão gfcatvo, to é, fazer o arredodameto apea o fal do cálculo, para evtar erro de arredodameto. Em qualquer cao, obter empre o valore com pelo meo ma um algarmo gfcatvo do que o eceáro. No produto, quocete, potêca, etc., ter em ateção que um valor epreo com um úmero ufcete de algarmo pode provocar uma amplfcação do erro de arredodameto! Paulo Cabral 7 / 6

28 Erro e Icerteza a Medçõe 3. Utlzação do Mcrooft Ecel Idcam-e aqu a prcpa fuçõe etatítca do Mcrooft Ecel que e utlzam a aále de dado epermeta. No capítulo apreeta-e a lta completa de fuçõe etatítca dete verátl oftware. Fução Verão Portuguea Verão Iglea Decrção MÉDIA() AVERAGE() Méda artmétca CONTAR() COUNT() Idca quato valore umérco etem uma lta DESVPAD() STDEV() Devo-padrão de uma amotra (é o que e utlza empre em medçõe) VAR() VAR() Varâca MÍNIMO() MIN() Meor úmero de uma lta de valore MÁXIMO() MAX() Maor úmero de uma lta de valore TENDÊNCIA() TREND() Ajuta uma lha recta (utlzado o método do mímo quadrado) a dua matrze XX e YY DECLIVE() SLOPE() Declve de uma recta de regreão lear INTERCEPTAR() INTERCEPT() Itercepção do eo YY de uma recta de regreão lear CORREL() CORREL() Coefcete de correlação etre do cojuto de valore PEARSON() PEARSON() Coefcete de correlação mometâea RQUAD() RSQ() Quadrado do coefcete de correlação 8 / 6 Paulo Cabral

29 Erro e Icerteza a Medçõe Nota: Apear da muta vatage que tem ete oftware, ele apreeta também dvero erro de cálculo ( bug ). A título de eemplo, veja-e ete cao real. O valore apreetado a tabela egute correpodem a 0 letura uceva efectuada um frequecímetro dgtal de elevada reolução. Como e pode obervar o gráfco correpodete, ão há úca letura que ejam gua etre. No etato, a fução DESVPAD() do Ecel forece um valor de 0 (o que gfca que ão ete varação... N.º Letura , , , , , , , , , ,090 Méda ,096 D. p. 0, Paulo Cabral 9 / 6

30 Erro e Icerteza a Medçõe 30 / 6 Paulo Cabral

31 Erro e Icerteza a Medçõe 4 Dtrbução da probabldade do erro Na maor parte do cao ecotrado a prátca, o valore meddo dtrbueme à volta de um valor ma provável, ode e tua grade parte da ocorrêca (letura). Ee valor ma provável é a méda. À medda que o afatamo da méda, é habtual que o úmero de letura eja cada vez meor (teorcamete, poderemo ecotrar valore muto afatado da méda, ma a eperêca motra que o é etremamete raro). À dtrbução do úmero de veze que ecotramo cada uma da letura poíve dá-e o ome de dtrbução de probabldade. 4. Dtrbução ormal do erro A tabela egute apreeta a ltagem de 50 letura de teão efectuada em tervalo de tempo curto e regtada com apromação ao 0, V. O valor omal da teão medda era de 00,0 V. Letura de teão, Número de letura, (V) 99,7 99,8 4 99,9 00,0 9 00, 0 00, 3 00,3 50 O reultado deta ére de medçõe pode er epreo grafcamete ob a forma de um dagrama de bloco, ou htograma, em que o úmero de obervaçõe é deehado para cada letura de teão. A fgura egute repreeta o htograma da tabela ateror. N.º letura ,7 99,8 99,9 00,0 00, 00, 00,3 Teão (V) Ete htograma motra que o maor úmero de letura (9) ocorre para o valor cetral de 00,0 V, equato que a outra letura etão dpota de forma apromadamete métrca em toro do valor cetral. Paulo Cabral 3 / 6

32 Erro e Icerteza a Medçõe Se foem efectuada ma letura, com tervalo ma pequeo, dgamo 00 letura a tervalo de 0,05 V, a dtrbução da obervaçõe permaecera apromadamete métrca em toro do valor cetral e a forma do htograma era evelmete a mema que aterormete. Com cada vez ma letura, tomada a cremeto cada vez meore, o cotoro do htograma torar-e-a uma curva, tal como a dcada pela lha que a fgura ateror ue o cetro da barra do htograma. Eta curva, em forma de o, é cohecda por curva de Gau. Quato ma etreta e apertada for eta curva, tato ma e pode afrmar que o valor ma provável da verdadera letura é o valor cetral ou méda da letura. A le do erro ormal ou gauaa é a bae do etudo aalítco do efeto aleatóro. Embora em etrar o tratameto matemátco dete auto, podem-e eucar o egute prcípo, com bae a le ormal: Toda a obervaçõe cluem pequeo efeto perturbadore, chamado erro aleatóro; O erro aleatóro podem er potvo ou egatvo; Há uma probabldade gual de etrem erro aleatóro potvo e egatvo. Podemo etão eperar que a medçõe cluam erro «ma» e «meo» em parte apromadamete gua, de forma que o erro total eja pequeo e o valor médo eja o valor verdadero da varável medda. A forma da dtrbução do erro pode er eprea da egute maera: O erro pequeo ão ma prováve do que o grade; O erro grade ão muto mprováve; Ete gual probabldade de erro «ma» e «meo», de forma que a probabldade de um dado erro é métrca em toro de zero. A curva de dtrbução de erro da fgura que e egue é baeada a le ormal, e motra uma dtrbução métrca do erro. Eta curva ormal pode er vta como a forma lmte do htograma ateror, em que o valor ma provável da teão verdadera era a méda. 68,7% 95,45% 99,73% 3 / 6 Paulo Cabral

33 Erro e Icerteza a Medçõe Eta fução de probabldade tem a epreão aalítca egute: ( ) σ f ( ) e σ π O devo-padrão (σ ) correpode ao poto de fleão da fução. 4. Erro equprovável A área ob a curva de probabldade gauaa da fgura ateror, etre o lmte e +, repreeta o cojuto completo de obervaçõe. A área ob a curva etre o lmte σ e + σ repreeta a letura que ão dferem da méda ma do que uma vez o devo-padrão. A tegração da área ob a curva detro do lmte ± σ forece o úmero total de cao detro dete lmte. Para dado dtrbuído ormalmete - to é, que gam a dtrbução de Gau - apromadamete 68 por ceto de todo o cao caem detro do lmte σ e + σ relatvamete à méda. Na tabela egute dcam-e outro valore de devo, em fução de σ. Itervalo, em.º de devo-padrão (etre -kσ e +kσ) Fracção da área total cluída 0, ,500 0, ,68 7, ,900 0, ,950 0, ,954 5, , , ,997 3 Se, por eemplo, um grade úmero de retêca com valor omal de 00 Ω for meddo e a ua méda for de 00,00 Ω, com um devo-padrão de 0,0 Ω, abee que em méda 68% (cerca de /3) de toda a retêca têm valore que etão detro de 00,00 Ω ± 0,0 Ω; etão, há uma probabldade de apromadamete em cada 3 de que qualquer retêca, aleatoramete retrada do lote, eteja detro daquele lmte. Se forem eceára maore garata, o tervalo poderá er alargado para o lmte de ± σ, ete cao ±0,40 Ω. De acordo com a tabela ateror, to clurá cerca de 95% de todo o cao, dado am uma probabldade de 0 em cada de que qualquer retêca ecolhda ao acao eteja detro do lmte ±0,40 Ω relatvamete à méda de 00,00 Ω. A tabela ateror motra também que metade do cao etão abragdo detro do lmte ± 0,6745σ. Dá-e o ome de erro equprovável a uma gradeza r defda como r ±0,6745σ. Paulo Cabral 33 / 6

34 Erro e Icerteza a Medçõe 4.3 A dtrbução ormal e o coceto de eactdão e precão Fazedo apelo à aaloga aterormete propota etre uma ére de medçõe de uma gradeza fíca e um cojuto de dparo de um projéctl obre um alvo, vamo procurar perceber de que modo a dperão do reultado obtdo e relacoa com a dtrbução de probabldade ormal. Retomemo o quatro cao aalado em.: Cao Reduzda precão. Reduzda eactdão. Cao Elevada precão. Reduzda eactdão. Cao 3 Reduzda precão. Alguma eactdão. Cao 4 Elevada precão. Elevada eactdão. Se ee memo reultado foem apreetado ob a forma de fuçõe de dedade de probabldade (a já oa cohecda curva de Gau, ou em forma de o), poderíamo tetar ferr o tpo de atrador a que correpoda cada um do cao. É o que e propõe a fgura egute. 34 / 6 Paulo Cabral

35 Erro e Icerteza a Medçõe Coderado que o verdadero valor é o cetro do alvo, a dvera curva traduzem o úmero de veze que e acerta a uma dada dtâca (maor ou meor) do cetro do alvo. A dtâca de cada pco ao valor verdadero repreeta o erro médo e a largura de cada curva traduz a dperão de reultado. Teremo etão: Curva prcpate (eacto e mpreco). Curva com potara para o memo poto, embora fora do alvo (preco ma eacto). Curva 3 ma prómo do alvo ma muto dpero (razoavelmete eacto ma mpreco). Curva 4 campeão (eacto e preco). Tedo em cota que todo o atradore dpararam o memo úmero de veze, a área ob cada uma da curva deve er gual, pelo que cada fgura apreeta dferete ampltude o valor de pco. Io gfca que quato ma compacta for a curva de dtrbução (meor dperão do reultado), tato maor erá a ampltude do eu pco (maor probabldade de ocorrêca de valore prómo da méda). 4.4 Outra dtrbuçõe Em muto cao que e ecotram a prátca, a dtrbução ormal ão pode er utlzada, quer eja por haver evdêca de que ão correpode ao dado, quer eja por outro motvo. Nee cao, há que procurar a dtrbução de probabldade que melhor e adequa ao dado dpoíve. A ma utlzada, para além da dtrbução ormal, ão a dtrbução rectagular (ou uforme) e a dtrbução em U (ou dervada do arco-eo) Rectagular, ou uforme Neta dtrbução, ete uma probabldade cotate, ou uforme, de o valor etar etre ( µ a) e( µ + a). Fora dee tervalo, a probabldade é ula. Por µ etamo a repreetar o valor cetral da gradeza em quetão. Paulo Cabral 35 / 6

36 Erro e Icerteza a Medçõe Fução dedade de probabldade: Devo-padrão:, f ( ) a 0, retate R ( µ a) ( µ + a) a Em U, ou dervada do arco-eo No cao em que é maor a probabldade de ecotrar valore prómo de qualquer um do etremo de um tervalo do que prómo do valor médo, recorre-e à dtrbução em U, também cohecda como a dervada do arco-eo. (Sugetão: para e perceber o porquê deta degação, deehar o gráfco da ' dervada da fução y arc(). Recordar que é y...). Eta dtrbução ecotra grade aplcação prátca, por eemplo, a medçõe em tema de rádo-frequêca (RF), o cao em que há deadaptaçõe de mpedâca. Pode er também utlzada para modelzar a dtrbução de uma temperatura ambete quado o cotrolo é efectuado pelo tradcoal tema o/off ; cotudo, ão é habtual o recuro a eta dtrbução eta crcutâca. Fução dedade de probabldade: Devo-padrão: f ( ) π a, a < < + a 0, retate U a Tragular Em certo cao abe-e que todo o valore e ecotram detro de um determado tervalo, ma ete uma maor probabldade de tomarem valore prómo da méda do que o etremo do tervalo. Nete cao, a utlzação de uma dtrbução rectagular é pealzadora (preupõe que todo o poto ão gualmete prováve), ma pode ão haver evdêca que permtam o recuro a uma dtrbução ormal. 36 / 6 Paulo Cabral

37 Erro e Icerteza a Medçõe Para ta tuaçõe pode-e utlzar a dtrbução tragular, a qual o valor médo tem a máma probabldade e em que a probabldade do valore retate decrece learmete, até e aular o etremo ±a. Fução dedade de probabldade: f + a, a 0 a a ),0 a a 0, retate ( Devo-padrão: T a Em M, ou b-modal Por veze, ecotram-e dado dtrbuído de uma forma que ugere a etêca de dua méda, to é, do pco dtto a dtrbução do valore. A fgura egute lutram eta dea. Ete tpo de dtrbução etatítca é cohecda como dtrbução em M, ou dtrbução b-modal, to é, que apreeta dua moda, ou do pco. Ada que outro domío cetífco e poam ecotrar cao em que o dado e dtrbuem deta forma, a medçõe fíca uma tal tuação correpode, em geral, à mtura de dado proveete de populaçõe dtta. Quado omo cofrotado com uma tal tuação, devemo aalar cudadoamete o dado orga, para podermo eparar cada uma da dtrbuçõe e efectuar eparadamete a ua aále. Paulo Cabral 37 / 6

38 Erro e Icerteza a Medçõe 38 / 6 Paulo Cabral

39 Erro e Icerteza a Medçõe 5 Aále gráfca A forma ma comum (e uma da ma mportate) de e apreetarem dado em cêca e em egehara é atravé de gráfco. Um gráfco é mplemete uma forma de traduzr um cojuto de úmero uma magem, e etá lgado à oa capacdade de recohecer padrõe vua. Como dz um atgo provérbo chê, uma magem vale ma que ml palavra (*). Nete capítulo remo abordar o gráfco carteao, bem como a regra para a ua apreetação. Será também apreetada a elaboração de gráfco utlzado o Mcrooft Ecel (ão por er a melhor ferrameta para ete tpo de aále, ma por er dcutvelmete a ma aceível e vulgarzada). 5. Learzação Sempre que poível deve-e utlzar um gráfco lear. É ma fácl de deehar e a cocluõe que dele e retram ão frequetemete ma objectva do que com gráfco curvo. Se a relação etre a gradeza ão for lear, é geralmete poível learzá-la recorredo a uma mudaça de varáve. Eemplo No cao de um pêdulo mple, verfca-e que T π l g. O gráfco de T em fução de l é uma parábola, ma e repreetarmo T em fução de l já obteremo uma lha recta. O uo de ecala logarítmca um ou em ambo o eo também permte obter repreetaçõe leare, em umeroa tuaçõe. 5. Regra para elaboração de gráfco No gráfco feto maualmete, ecolha a área do papel com o tamaho adequado (pelo meo mea pága A4). Procure mater uma relação etre a altura e a largura do gráfco meor do que, para er de ma fácl letura (pee qual é a relação etre a altura e a largura do écra de cema ou de televão, e porquê...) Ecolha o eo de uma forma lógca: a varável depedete deve etar o eo vertcal (Y) e a varável depedete o eo horzotal (X). A ecala de cada um do eo ão precam de er gua, ma têm de er dcada; marque-a em cada eo, ecolhedo dvõe que reultem uma letura fácl do valore termédo (por eemplo, faça dvõe de em, e ão de 7,7 em 7,7). Quado poível, procure que cada um do eo comece em zero. (*) Em rgor, o que ee provérbo afrma é que uma magem vale ma que dez ml palavra. Porém a verão ma correte o mudo ocdetal reduzu ubtacalmete ee úmero... Paulo Cabral 39 / 6

40 Erro e Icerteza a Medçõe Idque juto a cada um do eo qual a varável aí repreetada; refra empre qua a udade uada. Todo o gráfco devem ter um título. Ecreva-o a parte uperor da área do gráfco. Marque cada um do poto do gráfco cudadoa e claramete, ecolhedo para o um ímbolo adequado e com um tamaho que eja faclmete vível (por eemplo, um círculo ou um pequeo quadrado). Nuca ue apea um poto. Aale a barra de certeza de cada poto. Se a certeza for muto pequea para er vível a ecala ecolhda, dque que a barra de certeza ão muto pequea para aparecerem a fgura. Não ua o poto meddo! Uma lha a ur poto gfca que e cohecem o valore termédo, o que ão é verdade. Se eceáro, deehe a recta de regreão como uma lha uave atravé do poto meddo. Se o erro forem eecalmete aleatóro, verá que algu poto fcam acma e outro abao dea recta. Quado utlzar recta de regreão, dque empre o eu parâmetro (declve e ordeada a orgem; em muto cao é também coveete apreetar o quadrado do coefcete de correlação). Não e equeça de ecrever uma curta legeda, eplcado de que trata a fgura e forecedo a formação eceára para que o letor a terprete faclmete. 5.3 Utlzação do Mcrooft Ecel 5.3. Tpo de gráfco Ao eecutar o Atete de gráfco, o Ecel apreeta-o o egute meu: De toda a opçõe apreetada, apea a Dperão (XY) o rá terear para a apreetação de dado reultate de medçõe. 40 / 6 Paulo Cabral

41 Erro e Icerteza a Medçõe 5.3. Gráfco X-Y Eta é a forma ma mple de apreetar dado epermeta. Trata-e do tradcoal gráfco carteao a dmeõe, em que o eo do XX (abca) e repreeta a varável depedete, e o eo do YY (ordeada) fgura a varável depedete. Da 5 pobldade apreetada o meu, deveremo empre optar pela prmera (poto ão udo por qualquer lha), para evtar terpretaçõe equívoca quato ao que efectvamete e medu Recta de regreão Uma vez deehado o gráfco com o dado epermeta, poderemo ter teree em repreetar também a lha que melhor aproma ee cojuto de poto (ver 6. Regreão lear). O Ecel permte fazê-lo de uma forma batate mple. Vamo eemplfcar o recorredo ao gráfco egute. Seleccoar um do poto meddo e premr a tecla dreta do rato. Surge um meu como egue: Ecolher Adcoar lha de tedêca, apó o que e podem fazer a ecolha que e apreetam de eguda. Paulo Cabral 4 / 6

42 Erro e Icerteza a Medçõe Na dua pága dete meu á poível ecolher qual o tpo de relação (o oo cao erá empre a lear). Podemo (devemo) também optar por motrar a equação o gráfco, am como motrar o valor de R. O reultado é o que e motra a fgura egute Barra de certeza o valore (eo X e Y) A cada poto meddo deveremo fazer correpoder a repectva certeza. Eta tato pode etr a gradeza depedete (X) como a depedete (Y). Cotudo, é ma uual coderar apea a certeza do valore de Y. Para aocar a certeza ao reultado, marca-e um do poto da ére e com o botão dreto do rato eleccoa-e Formatar ére de dado.... Surge um cojuto de pága, da qua e eleccoa Barra de erro em Y e ode e erem o valore aproprado. 4 / 6 Paulo Cabral

43 Erro e Icerteza a Medçõe O reultado é como egue. Paulo Cabral 43 / 6

44 Erro e Icerteza a Medçõe 44 / 6 Paulo Cabral

45 Erro e Icerteza a Medçõe 6 Regreão lear A regreão lear é uma poderoa ferrameta de aále etatítca e uma da técca ma utlzada a eploração do dado reultate da medçõe. Etem outro tpo de regreão (polomal de ordem uperor à prmera, logarítmca, epoecal, regreão múltpla, etc.). Apea remo aqu abordar, pela ua mportâca prátca, a técca cohecda como regreão lear, to é, com a qual e procura traçar a lha (recta) que, globalmete, ma e aproma do dvero poto meddo. Em muto cao que urgem a prátca, relaçõe ão leare etre dua gradeza podem er learzada medate uma adequada mudaça de varáve, coforme e referu em 5.. A regreão lear etabelece uma relação etre do parâmetro, um coderado a varável depedete e o outro a depedete. Por eemplo, poderemo relacoar o perímetro do troco de uma árvore (varável depedete) com o tempo (varável depedete), para am e poder prever qual o eu valor futuro um determado tate. Pode-e etmar a certeza do valore prevto com bae ea recta, dede que e verfquem o egute preupoto: Poto dtrbuído ormalmete em redor da recta de regreão; Ruído braco; A fução ubjacete à relação etre gradeza er de facto lear. 6. Epreão da recta de regreão A recta de regreão tem a egute formulação aalítca: y a + b em que b é o declve da recta e a repreeta a ua ordeada a orgem. Se gorarmo a certeza erete, a recta de regreão poderá ter uma repreetação gráfca como egue. 6. Coefcete da recta e repectva certeza O declve da recta de regreão (também cohecdo como coefcete de regreão ) é calculado como: b y y Paulo Cabral 45 / 6

46 Erro e Icerteza a Medçõe 46 / 6 Paulo Cabral A ordeada a orgem erá determada pela egute epreão: b y y y a Se coderarmo agora que o poto efectvamete meddo ão e ajutam perfetamete à recta que am determámo, é eceáro etmar o eu devopadrão ( y ). Io pode er feto a partr da epreão: ( ) y y b em que degámo por y e por o devo-padrão do valore da gradeza depedete e depedete, repectvamete. Neta epreão, é o úmero de pare de valore (, y) meddo. A certeza do declve é dada por y b o que e repreeta grafcamete como egue. Quato à certeza da ordeada a orgem, ela erá y a ± cujo gfcado e pode ver a fgura egute.

47 Erro e Icerteza a Medçõe Uma vez que abemo que a recta defda por y a + b ão fo eactamete determada, podemo dzer que o eu devo-padrão é ± y + ( ) ( ) O gfcado de e combarem a certeza erete ao do parâmetro pode er melhor compreeddo pela obervação da fgura egute. 6.3 Iterpolação de um ovo valor y o a partr de um o A partr da epreão da recta de regreão lear poderemo obter qualquer ovo valor y o, a partr de um dado o : y a + b o o A certeza com que ete ovo valor erá obtdo reulta de: u ± y + + ( ) ( ) O gráfco que e egue eplcta o dvero coceto epoto. Paulo Cabral 47 / 6

48 Erro e Icerteza a Medçõe 48 / 6 Paulo Cabral Note-e que a formulação matemátca aqu apreetada permte que todo o cálculo ejam efectuado com uma vulgar máqua de calcular que dpoha da fuçõe etatítca ma comu. 6.4 Coefcete de correlação etre X e Y Um parâmetro que permte avalar o grau de relacoameto lear etre do cojuto de dado (ou dua gradeza) é o chamado coefcete de correlação (r). Ete coefcete vara dede (relação egatva perfeta), paado por 0 (ehuma relação), até + (relação potva perfeta). Ver a fgura egute. A epreão aalítca que permte determar o coefcete de correlação é y y y y r Ete coefcete deve er terpretado com algum cudado. É poível obter valore de r muto prómo de (ou de 0), em que eta a correpodete relação lear (ou a ua auêca). O gráfco egute lutram alguma dea tuaçõe.