UMA ABORDAGEM MATHEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO E BALANCEAMENTO DE LINHAS DE MONTAGEM COM TEMPOS DE SETUP DEPENDENTES DA SEQUÊNCIA

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1 UMA ABORDAGEM MATHEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO E BALANCEAMENTO DE LINHAS DE MONTAGEM COM TEMPOS DE SETUP DEPENDENTES DA SEQUÊNCIA Camlo José Borna-Poulsen Karen Julana Wegner de Bastos Dense Lndstrom Bandera Unversdade Federal do Ro Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Admnstração Rua Washngton Luz, 855 CEP Porto Alegre/ RS Brasl camlo.borna@ufrgs.br, karendebastos@hotmal.com, dlbandera@ea.ufrgs.br RESUMO O problema de balanceamento e sequencamento de lnhas de montagem com tempos de setup dependentes da sequênca (SUALBSP em nglês, Setup Assembly Lne Balancng and Schedulng Problem) envolve a atrbução de tarefas às estações de trabalho e o sequencamento destas tarefas dentro da estação à qual fo atrbuída. Trabalhos anterores propuseram soluções heurístcas com excelentes resultados, porém o uso de métodos exatos, por meo de algum MIP solver, tem apresentado desempenhos decepconantes, pos contém um subproblema NP-hard em todas as estações. Enquanto o modelo de Scholl, Boysen e Fledner (2013) mnmza prortaramente o número de estações, o modelo proposto neste trabalho parte da premssa de que este é um dado defndo. A partr de uma estmatva ncal de número de estações, processa-se o modelo com o objetvo de dstrbur as tarefas e mnmzar o tempo total de estação, que é o segundo objetvo do modelo orgnal. Se este processamento for nfactível, ncrementa-se o número de estações em uma undade e reprocessa-se o modelo até se encontrar um resultado factível lmtado a 100 segundos. Expermentos computaconas em 101 nstâncas de dados confrmam o bom desempenho da abordagem proposta, sem qualquer prejuízo à qualdade da solução. Portanto, os resultados apresentados demonstram que há espaço para estudos futuros a partr do uso de matheurístcas. PALAVRAS-CHAVE. Balanceamento e sequencamento de lnhas de montagem, Otmzação combnatóra, Programação. Área Prncpal: PO na Admnstração & Gestão da Produção (AD & GP), Otmzação Combnatóra (OC), Programação Matemátca (PM). ABSTRACT The setup assembly lne balancng and schedulng problem (SUALBSP) nvolves the assgnng of tasks to workstatons and the sequencng of these tasks wthn the staton to whch they are assgned. Prevous work has proposed heurstc solutons wth excellent results, but the use of exact methods, by some MIP solver, has shown dsappontng performance, because t contans an NP-hard sub problem n every staton. Whle the model proposed by Scholl et al. (2013) prmarly mnmzes the numbers of statons, our model assumes ths as a parameter. From an ntal estmate of the number of statons, we process the model allocatng tasks and mnmzng staton tmes, whch s the second objectve of the orgnal model. If ths processng s nfeasble, we ncrease the number of statons by one unt and we reprocess the model to fnd a feasble result lmted to 100 seconds. Computatonal experments n 101 nstances of data set confrm the good performance of the proposed approach, wthout harmng the qualty of the soluton. Therefore, the results show that there are opportuntes for future studes based on the use of matheurstcs. KEYWORDS. Assembly lne balancng, Combnatoral optmzaton, Schedulng. Man Area: OR n Admnstraton & Producton Management (AD & GP), Combnatoral Optmzaton (OC), Mathematcal Programmng (PM).

2 1 Introdução As lnhas de montagem vsam, prncpalmente, à efcênca em custo na produção em massa de produtos padronzados. Elas consstem em estações de trabalho lgadas por um sstema de manuseo de materal. Esse sstema fornece o materal necessáro para produzr o produto fnal e também move o produto pela lnha (Yolmeh e Kanfar, 2012). Bascamente, o funconamento de uma lnha de montagem envolve a movmentação dos produtos de uma estação a outra. Em cada estação, um conjunto de tarefas é repetdamente executado obedecendo a um tempo de cclo. O problema de balancear otmamente o trabalho de montagem entre as estações de trabalho com respeto a algum objetvo é conhecdo como Problema de Balanceamento da Lnha de Montagem (ALBP em nglês, Assembly Lne Balancng Problem). Ele objetva atrbur as tarefas às estações de trabalho de modo que as relações de precedênca não sejam voladas e que alguma medda de desempenho, por exemplo, tempo de cclo, número de estações de trabalho, efcênca da lnha ou tempo ocoso, seja otmzada (Erel e Sarn, 1998). Os problemas de balanceamento da lnha de montagem são consderados tarefas de médo e longo prazo e requerem uma grande quanta de captal ncal e, por sso, o planejamento de sua confguração é de grande relevânca e atra a atenção de mutos pesqusadores, que tentam apoar o planejamento da confguração através de modelos de otmzação adequados (Boysen, Fledner e Scholl, 2007). O ALBP é dvddo em duas classes: Problema de Balanceamento da Lnha de Montagem Smples (SALBP em nglês, Smply Assembly Lne Balancng Problem) e Problema de Balanceamento da Lnha de Montagem Geral (GALBP em nglês, General Assembly Lne Balancng Problem). O SALBP consste na atrbução de um conjunto de tarefas a um conjunto de estações, com a fnaldade de mnmzar o número de estações ou o tempo de cclo da lnha. É conhecdo como o problema mas estudado no campo do balanceamento da lnha de montagem. Já o GALBP resolve as stuações nas lnhas de montagem de manera mas realsta consderando, por exemplo, as lnhas de montagem com layout em U e com estações de trabalho paralelas. Os SALBP anda são classfcados em quatro tpos quanto ao objetvo a ser otmzado (Scholl e Becker, 2006): o SALBP-1 objetva mnmzar o número de estações para um dado tempo de cclo, o que é equvalente a mnmzar o tempo ocoso total. O SALBP-2 vsa mnmzar o tempo de cclo para um dado número de estações de trabalho. O SALBP-E envolve a maxmzação da efcênca da lnha por meo da mnmzação do tempo de cclo e do número de estações de trabalho smultaneamente. Já o SALBP-F é um problema de factbldade. Dado o número de estações e o tempo de cclo, o problema consste em determnar se ele é factível. Tpcamente, a lteratura sobre o SALBP foca no problema num sentdo puro como se, uma vez atrbuídas as tarefas às estações, nenhuma defnção a mas de parâmetros torna-se necessára (Andrés, Mralles e Pastor, 2008; Martno e Pastor, 2010). Entretanto, a sequênca na qual as tarefas são desenvolvdas dentro da estação mporta, uma vez que o tempo de setup exerce uma nfluênca consderável sobre o tempo de cclo da lnha (Seyed-Alagheband, Ghom e Zandeh, 2011) e que o sequencamento das tarefas em cada estação nfluenca no tempo de setup, pos, se a ordem da tarefa numa estação de trabalho muda, o tempo de setup e, subsequentemente, o tempo de operação geral da estação se alteram, afetando também o tempo de cclo da lnha. O Problema de Balanceamento e Sequencamento da Lnha de Montagem com tempos de Setup dependentes da sequênca das tarefas (SUALBSP em nglês, Setup Assembly Lne Balancng and Schedulng Problem) explora justamente essa stuação, demonstrando que a lnha de montagem não exge somente balanceamento, mas também o sequencamento das tarefas atrbuídas a cada estação em vrtude da exstênca de tempos de setup dependentes da sequênca das tarefas, culmnando na resolução smultânea do problema de balanceamento e do problema de sequencamento. Em termos de complexdade computaconal, o SUALBSP é classfcado como NP-hard (Scholl et al., 2013; Andrés et al., 2008; Martno e Pastor, 2010; Seyed-Alagheband et al., 2011), o que mplca uma exgênca de grande quantdade de recursos computaconas. Além dsso, exstem

3 poucos estudos que tratam e apresentam soluções para o problema (Andrés et al., 2008; Martno e Pastor, 2010; Scholl et al., 2013). Pesqusas realzadas no Web of Scence (2015) encontraram apenas cnco trabalhos que abordaram o SUALBSP. Somente em 2008, Andrés et al. (2008) trataram do problema ao formularem um modelo matemátco de Programação Lnear Intera (PLI) e proporem regras de prordades e procedmentos GRASP para sua resolução. Em 2013, Scholl et al. (2013) modfcaram o SUALBSP ao modelar os tempos de setups mas realstcamente, formulando um modelo matemátco de programação lnear bnára msta mas compacto e menor que o modelo de Andrés et al. (2008). Scholl et al. (2013) propuseram uma solução heurístca com excelentes resultados, porém relataram que o uso de um MIP solver (FICO c XPress Optmzer ) apresentou desempenho decepconante, pos contém um subproblema NP-hard em todas as estações. Neste sentdo, este trabalho apresenta uma alternatva ao modelo matemátco de PLI proposto por Scholl et al. (2013), desenvolvendo um novo modelo e uma matheurístca para resolvê-lo. Ambos os modelos foram mplementados no MIP solver IBM c ILOG CPLEX Optmzaton Studo V12.4 e comparados em um mesmo ambente computaconal, a fm de verfcar a efcênca da abordagem proposta. 2 Revsão de lteratura O prmero trabalho que tratou do SUALBSP fo o de Andrés et al. (2008). O problema apresentado por eles adconou consderações do tempo de setup dependente da sequênca ao clássco SALBP da segunte manera: sempre que uma tarefa j é atrbuída ao lado de outra tarefa na mesma estação de trabalho, um tempo de setup τ j deve ser adconado para computar o tempo global da estação de trabalho, fornecendo assm a sequênca de tarefas dentro de cada estação de trabalho. Da mesma forma, se a tarefa p é a últma atrbuída à estação de trabalho em que a tarefa fo a prmera tarefa atrbuída, então um tempo de setup τ p deve ser consderado também. Logo, no SUALBSP ambas as questões de balanceamento entre as estações e o sequencamento das tarefas ntraestação são resolvdas smultaneamente. O modelo fo mplementado no MIP solver IBM c ILOG CPLEX V9 e testado em 160 nstâncas com dferentes combnações de tamanho, ordem e varabldade de setups. Para resolução do problema, Andrés et al. (2008) desenvolveram oto regras heurístcas smples e um método heurístco GRASP específco. As oto regras heurístcas testadas servam para atrbur as tarefas às estações de trabalho. Já o método GRASP fo utlzado na sequencação das tarefas. Das 160 nstâncas testadas, 143 soluções não foram factíves, 5 soluções factíves subótmas e 12 ótmas. Martno e Pastor (2010), por sua vez, propuseram procedmentos heurístcos baseados em regras de prordade para resolver o problema, apresentando melhoras em relação aos procedmentos heurístcos elaborados por Andrés et al. (2008), uma vez que os procedmentos deles fornecam soluções ótmas apenas para nstâncas muto pequenas. Os resultados da pesqusa de Martno e Pastor (2010) demonstraram que alguns dos procedmentos heurístcos baseados nas regras de prordade propostas por eles apresentaram melhor desempenho que a meta-heurístca GRASP e as oto regras heurístcas elaboradas por Andrés et al. (2008). Já Seyed-Alagheband et al. (2011) adaptaram o modelo matemátco de Andrés et al. (2008) e desenvolveram um algortmo baseado na meta-heurístca Smulated Annealng (SA) para resolver o problema. Os autores efetuaram váras modfcações no clássco SA com a fnaldade de trabalhar com nstâncas de grandes dmensões e melhorar a estrutura de pesqusa da vznhança do algortmo. Yolmeh e Kanfar (2012) propuseram um algortmo genétco para resolver o SUALBSP, utlzando o modelo matemátco elaborado por Scholl et al. (2013). Os autores usaram uma permutação smples para determnar a sequênca das tarefas. Para determnar a atrbução das tarefas às estações, o algortmo genétco fo hbrdzado usando um procedmento de programação dnâmca. Fnalmente, Scholl et al. (2013) modfcaram o SUALBSP ao modelar os tempos de setups mas realstcamente ao consderar os setups forward e backward, dando uma nova e mas compacta

4 formulação ao modelo matemátco. O novo modelo fo formulado como um modelo lnear bnáro msto e contém 2.n 2 + n.m varáves bnáras e n varáves contínuas. Devdo a m n, o número de varáves bnáras é lmtado por O(n 2 ). Além dsso, o modelo contém 7.n 2 + n.m + 5.n + 1 restrções, lmtado por O(n 2 ). Por outro lado, o modelo de Andrés et al. (2008) contém 2.n 2.m + n 2 + m varáves bnáras e 2.n 3.m + n 2.(m + 1) + 2.(n + m), ou seja, O(n 4 ) restrções, o que comprova que o modelo de Scholl et al. (2013) é muto mas compacto e menor que o modelo de Andrés et al. (2008). Em relação aos métodos de solução elaborados para o novo modelo, eles propuseram uma nova composção heurístca que faz uso de algumas contrbuções ncas do SUALBSP e também de novas deas. Dentre as novas deas do novo procedmento estão as dreções de planejamento dferentes, o fathomng, o groupng graph, a reotmzação, e dentre as contrbuções ncas constam os procedmentos baseados em regras de prordade com esquema de programação orentado à estação de Martno e Pastor (2010), o método GRASP desenvolvdo por Andrés et al. (2008) e o procedmento Avalanche desenvolvdo por Boysen e Fledner (2008). 3 O problema O SUALBSP, de acordo com as modfcações empreenddas por Scholl et al. (2013), ao dstngur os tempos de setup em forward e backward, pode ser assm defndo: dado um tempo de cclo c, um grafo de precedênca e os seus respectvos tempos de setup backward e forward, deve-se obter o desenho de uma lnha de montagem que apresente o menor número de estações de trabalho possível, sendo que cada tarefa é atrbuída a exatamente uma estação de trabalho e sequencada nela, e as restrções de precedênca e o tempo de cclo não são volados. Segundo Scholl et al. (2013), o termo setup forward refere-se a uma stuação onde a tarefa j é executada dretamente depos da tarefa no mesmo cclo, por exemplo, no mesmo produto, observando um tempo de setup (forward) τ j 0. Já um setup backward ocorre se a tarefa é a últma executada no produto de um cclo p e o trabalhador tem que se mover ao próxmo produto, o qual tem que ser montado no cclo p + 1. Essa transferênca causa um tempo de setup (backward) µ j 0 que deve ser fnalzado até o fnal do cclo p para ncar a execução da tarefa j apenas quando o cclo p + 1 nca. Uma vez que as estações de trabalho são supostas ndependentes e exclusvamente operadas por um únco tme de trabalhadores, os setups forward e backward são somente consderados entre tarefas na mesma estação, não entre estações adjacentes. A Fgura 1, apresentada por Scholl et al. (2013), exemplfca como os tempos de setup backward e forward estão presentes na execução das tarefas numa estação de trabalho. Pode-se observar que há uma estação de trabalho com carga ordenada, j e h. As tarefas, j e h são executadas de manera cíclca em produtos consecutvos. Cada cclo p nca no tempo 0 com a execução da tarefa que consome o tempo t. Depos, por exemplo, o operador tem que camnhar até uma caxa (1) em que deve buscar um materal necessáro para a tarefa j (2). Partndo desta caxa, ele tem de se mover para a posção de montagem da tarefa j (3). Somar esses tempos resulta num tempo de setup τ j para mudar da tarefa para a j que nca no tempo t + τ j e acaba na undade de tempo t j. Em seguda, o operador se move para a posção de montagem da tarefa h e busca uma ferramenta que toma o tempo τ j. Depos de executar h em t h undades de tempo, ele tem de r para o produto segunte no cclo p+1. Isto leva um tempo de setup backward µ h e o cclo atual é fnalzado. Ao consderar uma outra carga ordenada < j, h, ], observa-se um setup forward de h a com tempo τ h (tracejado), que é dferente de µ h. Essa dstnção consderada por Scholl et al. (2013) tornou o problema mas aplcável a casos reas. Para compreender o modelo matemátco formulado por Scholl et al. (2013), apresenta-se a notação já ntroduzda e defnem-se os conjuntos, parâmetros e varáves adconas: V : conjunto de tarefas E : conjunto de pares de tarefas (, j) com precedênca dreta

5 t : tempo de execução da tarefa V τ j : tempo de setup forward da tarefa a j µ j : tempo de setup backward da tarefa a j P (F ) : conjunto de predecessores (sucessores) dretos da tarefa V K : conjunto de possíves estações de trabalho, onde K = {1,2,...,m} FS : conjunto de estações nas quas a tarefa V é factível de atrbução, : onde FS K F τ (P τ ) : conjunto de tarefas que podem dretamente suceder (preceder) a tarefa V na carga da estação na dreção forward F µ (P µ ) : conjunto de tarefas que podem dretamente suceder (preceder) a tarefa V na carga da estação na dreção backward M(ε) : número sufcentemente grande (pequeno) x k : varável bnára com valor 1, caso a tarefa V é atrbuída à estação k FS ; 0, caso contráro y j : varável bnára com valor 1, caso a tarefa V é predecessora dreta de j F τ na carga da estação; 0, caso contráro w j : varável bnára com valor 1, caso a tarefa V é a últma e j F µ é a prmera tarefa na carga da estação; 0, caso contráro z : varável contínua para codfcação do número da estação à qual a tarefa V é atrbuída f : varável contínua de tempo de níco da tarefa V (relatvo ao tempo de lançamento da prmera estação) T k : varável contínua de tempo da estação k K c : tempo de cclo Fgura 1: Cclos consecutvos e suas conexões numa únca estação O problema e algumas das notações defndas são lustradas por Scholl et al. (2013) por meo de um exemplo, com o tempo de cclo defndo para c = 20 e o gráfco de precedênca, bem como os tempos de setup forward e backward apresentados na Fgura 2. Os pesos dos nós denotam os tempos das tarefas. As matrzes de tempo de setup forward (τ) e backward (µ) representam os respectvos tempos do nó da lnha em dreção ao nó da coluna. Os valores omtdos na matrz τ

6 ndcam que o setup forward somente pode representar a passagem de uma tarefa para outra j, caso a tarefa j não esteja relaconada à por precedênca. Fgura 2: Dados do problema exemplo (tempo de cclo c = 20) Dada a notação, apresenta-se o modelo matemátco completo: mnmzar m(x,y,z) = z n + ε. (T k ) sujeto a (1) j F τ P τ j x k = 1 k FS V (2) z = k.x k k FS V (3) y j + w j = 1 V (4) j F µ y j + w j = 1 j V (5) P µ j V w j = z n (6) j F µ V, j F τ (7) z + M.(1 y j ) Z j z j + M.(1 y j ) Z V, j F τ (8) z + M.(1 w j ) Z j V, j F µ (9) z j + M.(1 w j ) Z V, j F µ (10) f j f +t (, j) E (11) f j f +t + τ j + M.(y j 1) V, j F τ (12) f c.(z 1) V (13) f +t + µ j c.z + M.(1 w j ) V, j F µ (14) T k + c.(z 1) f +t + µ j.w j M.(1 x k ) V,k FS (15) j F µ x k {0,1} V,k FS (16) y j {0,1} V, j F τ (17) w j {0,1} V, j F µ (18) f,z,t k 0 V,k K (19) O objetvo do modelo 1 é mnmzar o índce da estação para o qual o únco nó sorvedouro n é atrbuído e, assm, mnmzar o número total de estações de trabalho. Como um objetvo se-

7 cundáro os valores das varáves T k também são mnmzados vsando à obtenção de tempos de estações com setups mínmos. 4 Abordagem matheurístca De acordo com Della Croce e Salassa (2014), as melhoras mplementadas nos MIP solvers nos últmos anos fzeram-nos mas compettvos em relação às abordagens meta-heurístcas na busca de soluções subótmas. A dea central das matheurístcas explora a força dos algortmos metaheurístcos e dos métodos exatos. Até o presente momento, esta abordagem híbrda não tem uma classfcação únca, nem um quadro consoldado de trabalhos na área, sendo dfícl estabelecer uma pura e nítda defnção desses métodos. Uma característca dstntva é a exploração de ferramentas de programação matemátca não trvas, como parte do processo de solução (Della Croce e Salassa, 2014; Radl e Puchnger, 2008; Della Croce, Grosso e Salassa, 2014). Neste mesmo sentdo, para soluconar o SUALBSP, propõe-se uma heurístca combnada com o uso de um MIP solver. Enquanto o modelo matemátco de Scholl et al. (2013) mnmza o número de estações de trabalho, o modelo proposto parte da premssa de que o número de estações é um dado defndo. Assm, a partr de uma estmatva ncal de número de estações (lower bound), processa-se o modelo com o objetvo de dstrbur as tarefas entre as estações pré-estabelecdas, mnmzando o tempo total de estação (que é o segundo objetvo do modelo proposto por Scholl et al. (2013)). Caso este processamento resulte como nfactível, ncrementa-se o número de estações em uma undade e reprocessa-se o modelo. Este processo teratvo será fnalzado assm que o modelo apresentar uma solução factível. Este algortmo fo chamado de math-sualbsp. Empregou-se a mesma notação proposta por Scholl et al. (2013) e apresentada na Seção 3 com um pequeno ajuste: nas varáves de decsão y j e w j adconou-se a dmensão k, correspondente ao número de estações de trabalho. Assm, o modelo proposto tem y jk e w jk como varáves de decsão. Algortmo 1: math-sualbsp Entrada: tarefas, tempos (tarefa, forward e backward) e relações de precedênca Saída: vetores de solução x k, y jk e w jk k Estmatva ncal de número de estações (cálculo de lower bound) status Infactível enquanto status = Infactível faça executa o modelo SUALBSP-wth-fxed-statons se modelo é factível então status Factível senão status Infactível k k + 1 fm se fm enqto retorna vetores de solução Para estmar o número ncal de estações utlzou-se o mesmo cálculo de lower bound proposto por Andrés et al. (2008), que consste em tomar o somatóro de tempo de todas as tarefas e dvdr pelo tempo de cclo: k = tsum c onde t sum = t j (20) O modelo matemátco SUALBSP-wth-fxed-statons é apresentado a segur:

8 mnmzar T k sujeto a (21) x k x k j F τ P τ x k = 1 V (22) z = k x k V (23) y jk e x k y jk k K, V (24) w jk e x k w jk k K, V (25) y jk + y jk + V w jk = 1 V (26) j F µ P µ w jk = 1 j V (27) w jk = 1 k K (28) y jk 1 V, j V (29) V y k = 0 (30) f j f +t (, j) E (31) f j f +t + τ j + M.(y jk 1) k K, V, j F τ (32) f c.(z 1) V (33) f +t + µ j c.z + M.(1 w jk ) k K, V, j F µ (34) T k + c.(z 1) f +t + µ j.w jk M.(1 x k ) V,k FS (35) j F µ x k {0,1} V,k K (36) y jk {0,1} V, j F τ,k K (37) w jk {0,1} V, j F µ,k K (38) f,z,t k 0 V,k K (39) Ao ncorporar a dmensão k, correspondente às estações de trabalho K, adconaram-se restrções adconas ao modelo orgnal de Scholl et al. (2013). A restrção (28) garante que uma estação k K esteja assocada, obrgatoramente, a uma sequênca de tarefas ( V, j V ). Já a restrção (29) lmta a sequênca de tarefas V para j V a no máxmo uma estação. Quando uma estação k K é carregada com apenas uma tarefa V, tem-se w k = 1. Deste modo, a varável y k deve ser gual a zero, o que é garantdo pela restrção (30). 5 Expermentos computaconas O modelo matemátco de Scholl et al. (2013) e a abordagem proposta foram mplementados em C++ a partr do ambente de programação do Mcrosoft c Vsual Studo 2010 Professonal combnado com o MIP solver IBM c ILOG CPLEX Optmzaton Studo V com as confgurações default. O equpamento utlzado fo um notebook com processador Intel c Core TM M CPU 2.9GHz, 6GB de memóra RAM e sstema operaconal Mcrosoft c Wndows 8.1 Pro 64 bts. O expermento tomou como base algumas nstâncas de dados SBF-1 dsponíves no webste do Assembly Lne Balancng Research Group ( Como o objetvo

9 deste estudo é apresentar uma alternatva ao modelo matemátco de PLI proposto por Scholl et al. (2013), tomou-se um conjunto de nstâncas possível de se nstancar e resolver no ambente computaconal dsponível para esta pesqusa. A seleção destas nstâncas e os resultados computaconas estão dsponíves em As notações e meddas utlzadas para avalar os resultados são as seguntes: ID #var #nst LB PLI MATH tme k #opt %tme #best conjunto de nstâncas com a mesma quantdade de varáves y jk número máxmo de varáves de y jk, em que as dmensões de V e j V são dadas pela quantdade de tarefas de cada nstânca e k K é dada pela estmatva de upper bound calculada por Scholl et al. (2013) quantdade de nstâncas de dados de cada conjunto de nstâncas ID méda de lower bound de estações encontradas no conjunto de nstâncas ID resultados do processamento do modelo de Programação Lnear Intera de Scholl et al. (2013) resultados do processamento modelo matheurístco proposto por este estudo méda dos tempos (em segundos) de processamento do conjunto de nstâncas ID méda de estações encontradas no conjunto de nstâncas ID número de nstâncas que atngram a otmaldade ganho percentual de tempo no processamento do modelo MATH em relação ao modelo PLI número de nstâncas que encontraram um número menor de estações no modelo MATH em relação ao modelo PLI Os modelos PLI e MATH foram processados no MIP solver lmtados a 100 segundos, segundo o exemplo do trabalho de Scholl et al. (2013). A Tabela 1 apresenta as 101 nstâncas seleconadas para este expermento, devdamente agrupadas em 21 conjuntos de nstâncas de acordo com o número máxmo de varáves y jk (#var). Tabela 1: Conjunto de nstâncas e seus resultados PLI MATH ID #var #nst LB tme k #opt tme k #opt %tme #best ,0 1,496 2,0 6 1,400 2,0 6 6, ,5 1,444 2,5 4 0,762 2,5 4 47, ,0 1,773 3,0 2 0,868 3,0 2 51, ,0 1,857 2,0 4 2,174 2,0 4-17, ,0 1,881 3,0 4 1,874 3,0 4 0, ,5 1,843 5,0 8 1,524 5,0 8 17, ,0 1,798 6,0 4 1,604 6,0 4 10, ,0 1,780 5,0 4 1,539 5,0 4 13, ,0 1,822 4,0 4 1,401 4,0 4 23, ,0 5,077 3,0 7 8,217 3,0 7-61, ,9 15,742 3,9 9 4,169 3,9 9 73, ,0 1,735 6,0 4 1,731 6,0 4 0, ,0 1,605 7,0 4 2,205 7,0 4-37, ,5 15,752 4,5 8 4,149 4,5 8 73, ,0 1,891 8,0 4 2,118 8,0 4-12, ,0 24,607 6,0 4 5,508 6,0 4 77, ,0 12,535 8,0 4 4,203 8,0 4 66, ,0 100,095 3,4 0 57,531 3,0 4 42, ,0 100,114 5,2 0 81,694 5,0 1 18, ,0 100,215 5, ,091 4,0 0 0, ,0 100,094 6,0 0 6,761 5,0 3 93,25 3 Totalzações: , , ,74 8

10 Consderando o tempo total de processamento de todas as nstâncas analsadas, observa-se que o modelo MATH fo 44,74% mas rápdo que o modelo PLI. Enquanto o modelo PLI atngu a otmaldade em 84 nstâncas (83,17%), o modelo MATH atngu em 92 (91,09%). Esta otmaldade não se deu apenas em um menor tempo de estação T k, que é o objetvo secundáro, mas resultou em um número de estações k menor. Logo, além do ganho de desempenho computaconal, o modelo MATH apresentou resultados mas satsfatóros, encontrando soluções que demandam um número nferor de estações de trabalho se comparado o modelo PLI. A Fgura 3 lustra grafcamente o desempenho computaconal dos dos modelos. Claramente, o modelo proposto neste artgo (MATH) atnge resultados guas ou melhores em um tempo de processamento nferor ao apresentado pelo modelo PLI de Scholl et al. (2013). Fgura 3: Gráfco de confronto de desempenho dos modelos PLI e MATH À medda que se analsam nstâncas com maor número de varáves de decsão (#var), a dferença de desempenho computaconal entre os modelos fca mas nítda. Dentre as maores nstâncas (#var 700), evdencadas pelo aumento da dstânca entre as curvas, uma únca nstânca (#var = 2.500) obteve desempenho pratcamente dêntco para os dos modelos. Ocorre que o lmte computaconal de 100 segundos sugerdo por Scholl et al. (2013) fo atngdo por ambos, razão pela qual nenhum deles atngu a otmaldade. 6 Dscussões, lmtações e conclusões Neste artgo fo desenvolvdo um modelo matemátco alternatvo ao proposto por Scholl et al. (2013). Os autores relataram que os resultados obtdos, a partr do processamento do modelo em um MIP solver, havam sdo decepconantes. Assm, a dea central da proposta deste artgo fo retrar do modelo matemátco de Scholl et al. (2013) a responsabldade de determnar o número ótmo de estações de trabalho, presumndo-se que este número fora prevamente conhecdo. Assm, por meo de um cálculo de lower bound, processou-se o modelo, fxando-se o número de estações. Havendo nfactbldade, ncrementa-se em uma undade o lower bound e reprocessa-se o modelo. Assm, em cada nteração desta heurístca, utlzou-se o CPLEX, caracterzando este algortmo como sendo matheurístco. Os trabalhos anterores sugerem o uso de outros métodos para pesqusas futuras para este problema, que desafa, fundamentalmente, os responsáves por complexas lnhas ndustras de

11 montagem. Qualquer tpo de ganho, prncpalmente na qualdade do balanceamento e sequencamento da lnha de montagem, pode representar uma expressva economa que mpactará em ganhos de produtvdade e compettvdade. Por esta razão, este estudo centrou seus esforços em atngr resultados ótmos. As heurístcas e meta-heurístcas apresentadas em trabalhos anterores apresentaram bons resultados e excelentes desempenhos. Mas, nos últmos anos, em vrtude das melhoras mplementadas nos MIP solvers dsponíves no mercado (Della Croce e Salassa, 2014), abru-se oportundade para explorar a potencaldade dos métodos exatos combnados, ou não, com heurístcas. Este trabalho mostra que há espaço para que se evolua dentro deste campo metodológco. Estudos futuros devem necessaramente, no entendmento dos autores desta pesqusa, propor modelos ou métodos que sejam capazes de tratar nstâncas maores de dados. Referêncas Andrés, C., Mralles, C. e Pastor, R. (2008). Balancng and schedulng tasks n assembly lnes wth sequence-dependent setup tmes. European Journal of Operatonal Research, 187(3), do: Boysen, N. e Fledner, M. (2008). A versatle algorthm for assembly lne balancng. European Journal of Operatonal Research, 184, do: /j.ejor Boysen, N., Fledner, M. e Scholl, A. (2007). A classfcaton of assembly lne balancng problems. European Journal of Operatonal Research, 183(2), Della Croce, F., Grosso, A. e Salassa, F. (2014). A matheurstc approach for the two-machne total completon tme flow shop problem. Annals of Operatons Research, 213(1), do: /s x Della Croce, F. e Salassa, F. (2014). A varable neghborhood search based matheurstc for nurse rosterng problems. Annals of Operatons Research, 218(1), do: /s x Erel, E. e Sarn, S. C. (1998). A survey of the assembly lne balancng procedures. Producton Plannng & Control, 9, do: / Martno, L. e Pastor, R. (2010). Heurstc procedures for solvng the general assembly lne balancng problem wth setups. Internatonal Journal of Producton Research, 48, do: / Radl, G. e Puchnger, J. (2008). Combnng (nteger) lnear programmng technques and metaheurstcs for combnatoral optmzaton. In C. Blum, M. Agulera, A. Rol e M. Sampels (Eds.), Hybrd metaheurstcs (Vol. 114, p ). Sprnger Berln Hedelberg. do: / _2 Scholl, A. e Becker, C. (2006). State-of-the-art exact and heurstc soluton procedures for smple assembly lne balancng. European Journal of Operatonal Research, 168(3), do: Scholl, A., Boysen, N. e Fledner, M. (2013). The assembly lne balancng and schedulng problem wth sequence-dependent setup tmes: problem extenson, model formulaton and effcent heurstcs. OR Spectrum, 35(1), do: /s Seyed-Alagheband, S. A., Ghom, S. M. T. F. e Zandeh, M. (2011). A smulated annealng algorthm for balancng the assembly lne type problem wth sequence-dependent setup tmes between tasks. Internatonal Journal of Producton Research, 49(3), do: / Web of Scence. (2015). Web of Scence. Dsponível em Yolmeh, A. e Kanfar, F. (2012). An effcent hybrd genetc algorthm to solve assembly lne balancng problem wth sequence-dependent setup tmes. Comput. Ind. Eng., 62(4), do: /j.ce