Tese de Doutorado em Computação Aplicada, orientada pelo Dr. Luiz Antonio Nogueira Lorena e pelo Prof. Dr. Edson Luiz França Senne.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Tese de Doutorado em Computação Aplicada, orientada pelo Dr. Luiz Antonio Nogueira Lorena e pelo Prof. Dr. Edson Luiz França Senne."

Transcrição

1 MÉTODOS DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA PROBLEMAS DE ATRIBUIÇÃO Slvely Noguera de Almeda Salomão Tese de Doutorado em Computação Aplcada, orentada pelo Dr. Luz Antono Noguera Lorena e pelo Prof. Dr. Edson Luz França Senne. INPE São José dos Campos 2005

2 59.8 SALOMÃO, S.N.A. Métodos de Geração de Colunas para Problemas de Atrbução / S. N. A. Salomão São José dos Campos: INPE, p. ().. Otmzação Combnatóra. 2. Problemas de Atrbução. 3. Problema Generalzado de Atrbução. 4. Relaxação Lagrangeana/Surrogate. 5. Geração de Colunas. 6. Branch-and- Prce.. Combnatoral Optmzaton. 2. Assgnment Problems. 3. Generalzed Assgnment Problem. 4. Langrangean/Surrogate Relaxaton. 5. Column Generaton. 6. Branch-and-Prce.

3 FOLHA DE APROVAÇÃO

4

5 Não sejas demasadamente justo, nem exageradamente sábo; por que destruras a t mesmo. (Provérbo de Salomão)

6

7 A meus pas, LEÃO SALOMÃO e SYLVIA NOGUEIRA DE ALMEIDA SALOMÃO.

8

9 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus em prmero lugar, pos tenho certeza que fo Ele quem permtu que eu fzesse este curso de doutorado. À Unversdade Estadual Paulsta UNESP, pela dspensa de 3 anos em período ntegral de mnhas atvdades docentes e de 2,5 anos em período parcal para que pudesse conclur esta pesqusa. À Fundação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor CAPES, pelo auxlo fnancero através de bolsa PICDT de doutorado por três anos. Ao Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas INPE, pela oportundade de estudar num centro de pesqusa tão mportante e pela qualdade tão esmeradamente mantda. Aos amgos do INPE Sérgo Donzete Faras, Julana Braga, Adrana e Arley, pela amzade que sempre tvemos e anda prevalece. Aos colegas de curso Lamosa, Ana, Élco, Pn (Fabríco), Léo, Manoel, Ana, Alexandre, Patríca, e a todos com quem pude aprender um pouco mas da computação aplcada. Aos professores do INPE pelo conhecmento compartlhado. Aos orentadores Dr. Luz Antono Noguera Lorena e Prof. Dr. Edson Luz França Senne, pelo tempo gasto comgo, pelo conhecmento passado, e pela orentação e apoo na realzação deste trabalho. Agradeço especalmente às pessoas mas próxmas à mm: mnha famíla e ao Tum (José Rubens) por ter suportado meu mau humor, mnhas ansedades que mutas vezes aparecerem devdo às mnhas angústas provenentes do doutorado.

10

11 RESUMO Este trabalho propõe métodos de geração de colunas para dos mportantes problemas de atrbução: o Problema Generalzado de Atrbução (PGA) e o Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores (PAAC). PGA é um dos mas representatvos problemas de Otmzação Combnatóra e consste em otmzar a atrbução de n tarefas a m agentes, de forma que cada tarefa é atrbuída a exatamente um agente e a capacdade de cada agente seja respetada. PAAC consste em determnar qual a manera ótma de atrbur m comutadores a n antenas com posções fxas em uma dada regão, de forma a mnmzar todos os custos envolvdos, que compreendem custos de cabeamento entre antenas e comutadores e custos de transferênca de chamadas entre comutadores. Os dos problemas são conhecdos serem NP-dfíces. A abordagem tradconal de geração de colunas é comparada com a proposta neste trabalho, que utlza a relaxação lagrangeana/surrogate. O trabalho propõe também um método branch-and-prce para o Problema Generalzado de Atrbução, que utlza a nova abordagem de geração de colunas proposta. São apresentados testes computaconas que demonstram a efetvdade dos algortmos propostos.

12

13 COLUMN GENERATION METHODS FOR ASSIGNMENT PROBLEMS ABSTRACT Ths work proposes column generaton methods for two mportant assgnment problems: the Generalzed Assgnment Problem (GAP) and the problem of assgnng cells to swtches n cellular moble networks (PACS). GAP s one of the most representatve combnatoral optmsaton problem and can be stated as the problem of optmsng the assgnment of n jobs to m agents, such that each job s assgned to exactly one agent and the resource capacty of each agent s not volated. PACS conssts of determnng a cell assgnment pattern whch mnmzes a cost functon whle respectng certan constrants, especally those related to lmted swtch s capacty. The costs nvolved correspond to the cablng costs between a cell and a swtch and transfer costs between cells assgned to dfferent swtches. Both are known to be NP-hard problems. The tradtonal column generaton process s compared wth the proposed algorthm that combnes the column generaton and lagrangean/surrogate relaxaton. A branch-and-prce method for the GAP whch uses the new column generaton approach s also proposed n ths work. Computatonal experments are presented n order to confrm the effectveness of the proposed algorthms.

14

15 SUMÁRIO Pág. LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE SÍMBOLOS LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS CAPÍTULO PROBLEMAS DE ATRIBUIÇÃO...23 CAPÍTULO 2 REVISÃO DE MÉTODOS PROPOSTOS PARA O PGA E PAACC O Método de Geração de Colunas para o PGA O Método B&P Aplcado ao PGA Uma Proposta Empregando a Relaxação Lagrangeana/Surrogate O Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores Uma Abordagem Heurístca para o PAACC Algortmo de Atrbução Incal Algortmo de Refnamento Algortmo para Homng Dual Uma Abordagem de Busca Tabu para o PAACC Uma Abordagem de Algortmo Genétco Paralelo para o PAACC Uma Abordagem de Smulated Annealng para o PAACC Uma Abordagem Msta para o PAACC...65 CAPÍTULO 3 OS MÉTODOS DE GERAÇÃO DE COLUNAS PROPOSTOS A Decomposção de Dantzg-Wolfe O Método de Geração de Colunas O Problema de Partconamento de Conjuntos A Relaxação Lagrangeana O Método de Cortes de Kelley A Relaxação Lagrangeana/Surrogate O Lmte de Farley A Busca de Soluções Exatas Os Métodos de Geração de Colunas Propostos O Método Branch-and-Prce Proposto...92 CAPÍTULO 4 IMPLEMENTAÇÃO DOS ALGORITMOS PROPOSTOS E RESULTADOS COMPUTACIONAIS O Algortmo de Geração de Colunas para o PGA Resultados Computaconas do Método de GC para o PGA O Algortmo de Geração de Colunas para o PAACC Resultados Computaconas do Método de GC para o PAACC...07

16 4.5 O Algortmo de Branch-and-Prce para o PGA Resultados Computaconas do Método B&P para o PGA...23 CAPÍTULO 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS...29 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...35 APÊNDICE A GERAÇÃO DE PROBLEMAS TESTES PARA O PAACC...43

17 LISTA DE FIGURAS 2. Coluna para o Problema de Cobertura de Conjuntos Espaço dual do problema (Dp) Algortmo Boxstep Representação de Células em uma Rede de Comuncação Exemplo de Cromossomo Exemplo de Cruzamento Exemplo de Mutação Lmte lagrangeano/surrogate Exemplo de submatrz de ramfcação Colunas artfcas do problema-mestre restrto ncal...96

18

19 LISTA DE TABELAS 4. Instâncas da Classe A Instâncas da Classe B Instâncas da Classe C Instâncas da Classe D Instâncas da Classe E Instâncas da Classe C / Yagura Instâncas da Classe D / Yagura Instâncas da Classe E / Yagura Qualdade das Soluções Obtdas Problemas Pequenos (Estratéga LG) Problemas Médos (Estratéga LG) Problemas Grandes (Estratéga LG) Problemas Pequenos (Estratéga GSR) Problemas Médos (Estratéga GSR) Problemas Grandes (Estratéga GSR) Problemas Pequenos (Estratéga GLR) Problemas Médos (Estratéga GLR) Problemas Grandes (Estratéga GLR) Valores Médos Geras de Indcadores Comparação de Estratégas de Resolução de Subproblemas Instâncas da Classe A Instâncas da Classe B Instâncas da Classe C Instâncas da Classe D...25

20 4.25 Instâncas da Classe E Ganhos Médos em Relação à Abordagem Tradconal Comparação de Resultados para o PGA Comparação de Resultados para o PAACC Comparação de Resultados de Algortmos Exatos para o PGA...32

21 LISTA DE SÍMBOLOS x Valor absoluto de x R Conjunto dos números reas Operação ou

22

23 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS AG B&B B&P BT GC NP PAACC PAM PCC PGA PL PLA PMR PQA SA Algortmo Genétco Branch-and-Bound Branch-and-Prce Busca Tabu Geração de Colunas Polnomal Não-determnístco Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores Problema de Atrbução Multdmensonal Problema de Cobertura de Conjuntos Problema Generalzado de Atrbução Programação Lnear Problema Lnear de Atrbução Problema Mestre Restrto Problema Quadrátco de Atrbução Smulated Annealng

24

25 CAPÍTULO PROBLEMAS DE ATRIBUIÇÃO O problema de atrbução é um problema clássco de Otmzação Combnatóra em Pesqusa Operaconal. De uma forma geral, o problema pode ser estabelecdo como: um conjunto de m agentes deve ser atrbuído a um conjunto de n tarefas com um custo de atrbução assocado. É necessáro executar todas as tarefas, atrbundo-se a cada uma delas apenas um agente, de tal forma que o custo total da atrbução seja mnmzado. Este problema tem grande mportânca prátca, estando presente, por exemplo, no smples planejamento dáro das tarefas de uma pessoa, em que as tarefas devem ser dstrbuídas de modo a aprovetar melhor o tempo. No entanto, problemas de atrbução aparecem em problemas mportantes e bem mas complexos como, por exemplo, a dstrbução de tarefas entre processadores de um sstema de computação paralela (Bokhar, 987), o planejamento de tarefas do telescópo espacal ROSAT (Nowakovsk et al., 999), dstrbução de pacentes em vôos médcos (Ruland, 999), a atrbução de freqüêncas em redes de comuncação celular (Fschett et al., 2000; Wang e Gu, 2004), dentre números outros. Além dsto, exstem mutos problemas de decsão que, caso não sejam dretamente um problema de atrbução, contêm um problema de atrbução como um subproblema. De uma forma geral, dados dos conjuntos dscretos I e J, pode-se entender uma atrbução de elementos I a elementos j J como uma função x: I J [0,]. Dessa forma, um problema de atrbução consste em determnar uma atrbução factível x X que mnmze uma dada função objetvo f(x). Assumndo que f(x) é decomponível, sto é, f (x) = f j (x) e X = U X j, o problema pode ser formulado como: j J j J mn f (x) = f (x (.) j J j ) sujeto a: 23

26 j J x j =, I (.2) I x X [0,], j J (.3) j j Problemas de atrbução envolvem, em geral, a ndvsbldade. Assm, se os elementos a serem atrbuídos correspondem a atvdades, por exemplo, estas devem ser atrbuídas a exatamente um outro elemento (um recurso, por exemplo). A ndvsbldade em problemas de atrbução leva a problemas de Otmzação Combnatóra dfíces. Essa característca torna os problemas de atrbução nteressantes do ponto de vsta de pesqusa, pos encontrar algortmos de resolução que resultem em soluções efcentes (boa qualdade e com o mínmo de tempo computaconal) para tal classe de problemas consttu um grande desafo. Exstem dversos tpos de problemas de atrbução. Em sua forma mas smples, o problema não envolve restrções de capacdade. Neste caso, quando m = n, ou seja, quando o número de agentes é gual ao número de tarefas, o problema é conhecdo como Problema Lnear de Atrbução (PLA). Neste caso, o problema é um caso especal de outro problema de otmzação, conhecdo como Problema de Transporte. Devdo à sua estrutura especal, o PLA pode ser resolvdo efcentemente (em tempo polnomal) por dversos métodos bem conhecdos (Kuhn, 955; Hung e Rom, 980; Wrght, 990). Outro tpo de problema de atrbução é conhecdo como Problema Quadrátco de Atrbução (PQA). O problema ocorre quando, para desgnar objetos a locas, deve-se levar em conta as dstâncas entre os pares de locas e os fluxos de algum tpo de demanda entre os pares de objetos. O PQA consste em encontrar uma alocação de custo mínmo dos objetos aos locas, sendo os custos obtdos por produtos dstânca fluxo. O prmero trabalho sobre este tpo de problema de atrbução fo publcado por Koopmans e Beckmann (957) e, desde então, têm sdo númeras as aplcações do problema para representar modelos logístcos, econômcos e de planejamento. O problema é conhecdo ser da classe NP-dfícl e aparece em dversas stuações prátcas, como em projeto de crcutos eletrôncos, em problemas de escalonamento de horáro, 24

27 em análse estatístca, em planejamentos de hosptas, dentre mutos outros. Uma extensa revsão sobre o PQA pode ser vsta em Loola et al. (2004). Outro tpo de problema ocorre quando elementos de um número varável de conjuntos devem ser atrbuídos mutuamente. Este problema é conhecdo como Problema de Atrbução Multdmensonal (PAM) (Perskalla, 968) e pode ser estabelecdo da segunte forma (Grundel et al., 2005): Sejam A,..., conhecdo como a dmensão do problema) e seja conjunto A ( =,..., d). Seja x... d elemento de A está atrbuído ao elemento j do conjunto A d, d conjuntos de elementos (d é n, o número de elementos do, uma varável bnára que estabelece se o A j (j = 2,..., d). Seja c... d, o custo da atrbução (,..., d). Então o PAM pode ser estabelecdo como: n = n d mn L c x (.4) d =...d...d sujeto a: n 2 2= nd L x = =,..., n (.5) d =...d n = n k nk+ k = k + = nd L L x k = 2,..., d e =,..., n (.6) d =...d k k n = n d L x =,..., n (.7) d =...d d d x... {0,},...,d {,..., n}, n n d 2 L n (.8) d Dversas stuações relatadas na lteratura envolvem o PAM, dentre as quas, a determnação de trajetóras de partículas elementares (Pusztaszer et al., 996) e a determnação de células a partr de uma seqüênca de magens (Krubarajan et al., 200). 25

28 Exstem váras outras varações do problema de atrbução, como o Problema de Atrbução Dnâmca, onde a atrbução de agentes a tarefas deve ser feta de forma dnâmca sobre períodos de tempo, o que é muto comum em problemas de roteamento e escalonamento, o Problema de Atrbução Aleatóra, que corresponde em encontrar em uma matrz m n de varáves aleatóras, k elementos (sendo que não exstem dos elementos na mesma lnha ou coluna), tas que sua soma seja mínma, o Problema de Atrbução Axal, que consste em encontrar um clque de peso mínmo para um grafo trpartdo completo, dentre mutas outras. Uma revsão sobre os prncpas problemas de atrbução pode ser encontrada em Burkard (2002). Neste trabalho, pretende-se estudar e propor métodos de resolução para duas formas do problema de atrbução para as quas, exstem restrções de capacdade e o número de agentes é menor do que o número de tarefas (m < n): o Problema Generalzado de Atrbução (PGA), um problema clássco da lteratura, e o Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores (PAACC), um problema mas recente e que ganhou mportânca com o surgmento das redes de telefona celular. Estes dos tpos de problemas de atrbução, tanto o PGA como o PAACC, fazem parte da classe de problemas combnatóros NP-dfíces (Garey e Johnson, 979). O PGA pode ser vsto como o problema de atrbur n tarefas a m máqunas ao menor custo possível, de modo que cada tarefa seja atrbuída a apenas uma únca máquna e cada máquna por sua vez, não exceda sua capacdade máxma de trabalho. Sejam: c j o custo assocado de atrbur a tarefa j à máquna ; r j um ntero postvo que representa o tempo que a máquna leva para realzar a tarefa j, se a máquna estver alocada para a tarefa j; b um ntero postvo que representa a capacdade total da máquna ; x j uma varável defnda por: 26

29 se a tarefa jé desgnada à máquna x j = (.9) 0 caso contráro Com sto, a formulação do Problema Generalzado de Atrbução pode ser dada por: m n mn c j x j (.0) = j= sujeto a: m = n j j= x j = j =,..., n (.) r x b =,..., m (.2) j x j {0,} =,..., m; j =,..., n (.3) A restrção (.) elmna a possbldade da tarefa j ser atrbuída a mas de uma máquna e a restrção (.2) elmna a possbldade da máquna ser atrbuída a mas tarefas que ela possa executar. Uma das prmeras aplcações do PGA se deve a Balachandran (976), que estudou o problema de atrbur tarefas em uma rede de computadores. Desde então, mutos outros problemas têm sdo apresentados na lteratura como aplcações do PGA, dentre os quas podem ser ctados: Problema de alocação de salas de aula (Luan e Yao, 996); Problema de roteamento de veículos (Baker e Sheasby, 999); Problema de alocação de pacentes em vôos médcos (Ruland, 999); Problema de carregamento de camnhões (Pgatt, 2003) e 27

30 Problema de recuperação de blocos de dados a partr de dscos paralelos (Aerts et al., 2003). Mesmo o PGA apresenta váras formas. Uma forma bem conhecda é o Problema Generalzado de Atrbução Mult-nível (Laguna et al. 995; French e Wlson, 2002; Osoro e Laguna, 2003), em que, na atrbução de agentes a tarefas, leva-se em conta que os agentes podem executar as tarefas em mas de um nível de efcênca. Outra é o Problema Generalzado de Atrbução Estocástco (Albareda-Sambola et al., 2002). Neste caso, a natureza estocástca do problema pode ser devda à falta de nformação a pror sobre a quantdade de recursos necessáros para os agentes realzarem as tarefas (o que acontece, por exemplo, com o tempo necessáro para programadores executarem tarefas de desenvolvmento de software), ou à ncerteza sobre a presença ou a ausênca de tarefas ndvduas, ou seja, quando exste um conjunto potencal de tarefas, mas somente algumas delas serão realmente realzadas (o que acontece, por exemplo, em servços de emergênca). Uma revsão geral das técncas de solução propostas para o PGA pode ser vsta em (Cattrysse e Van Wassenhove, 992). Alfandar et al. (200) comentam sobre alguns métodos aproxmados e exatos já propostos para o PGA. Com relação aos métodos aproxmados, em geral, as abordagens propõem heurístcas de duas fases, em que numa prmera fase, as atrbuções são calculadas de modo a satsfazer um determnado crtéro (por exemplo, mnmzar uma função de penalzação, como em Martello e Toth, 98) e, numa segunda fase, as atrbuções são melhoradas. Amn e Racer (994) também propõem uma abordagem heurístca em duas fases para o problema e fazem uma cudadosa comparação de város métodos. Metaheurístcas também já foram propostas para o PGA, dentre as quas podem ser ctados os algortmos genétcos (Wlson, 997; Chu e Beasley, 997), a busca tabu (Laguna et al., 995) e smulated annealng (Osman, 995). Os prmeros algortmos exatos desenvolvdos para o PGA baseavam-se no método Branch-and-Bound (B&B), combnados com relaxação lagrangeana e com heurístcas para a obtenção de lmtes. É o caso, por exemplo, do algortmo de Ross e Soland 28

31 (975), com cálculo de lmtes superores a partr da relaxação de Programação Lnear (PL) do problema de atrbução (ou seja, o PGA sem as restrções de capacdade) e com melhoras locas para atrbuções de tarefas. Outro exemplo é o método de busca em profunddade de Fsher et al. (986), que utlza relaxação lagrangeana das restrções de atrbução. Métodos baseados em heurístcas duas e PL para a obtenção de lmtantes superores e nferores para o problema prmal também já foram propostos. É o caso, por exemplo, do método exato de Gugnard e Rosenwen (989), que se basea em lmtes obtdos a partr do dual lagrangeano. Abordagens mas recentes para o PAG propõem a combnação do algortmo B&B com métodos de Geração de Colunas (GC), o que passou a ser conhecdo como algortmo Branch-and-Prce (B&P). Barnhart et al. (998) propõem o uso de algortmos B&P para soluconar problemas nteros de grande escala e fazem uma revsão de alguns trabalhos smlares já propostos na lteratura. A relaxação lnear e a relaxação lagrangeana têm sdo utlzadas para obter lmtantes na busca em árvore de algortmos B&P. Savelsbergh (997) propõe um algortmo B&P para resolver uma reformulação do PGA como um Problema de Partconamento de Conjuntos. Pgatt et al. (2004) propõem a utlzação de cortes combnados com um algortmo B&P para obter soluções efcentes para o PGA. Trabalhos recentes, publcados por Yagura et al. (2004a e 2004b) propõem outras lnhas de nvestgação para o PGA. Narcso (998) aplcou a relaxação lagrangeana/surrogate combnada com otmzação por subgradentes ao PGA. Os resultados mostram que, para problemas de grande porte, o emprego da relaxação lagrangeana/surrogate leva a algortmos que despendem tempo computaconal menor do que quando é empregada a relaxação lagrangeana. Outra abordagem, apresentada por Nauss (2003), propõe a utlzação de cortes, relaxação lagrangeana e otmzação por subgradentes. Com base nestes resultados, pretende-se, neste trabalho, comparar o desempenho da relaxação lagrangeana com o da relaxação lagrangeana/surrogate para a solução do PGA. O outro problema de atrbução a ser abordado neste trabalho é o PAACC. Para este problema pretende-se propor métodos que encontrem as dstrbuções das antenas celulares entre os comutadores com custo mínmo. Este problema dfere do PGA em 29

32 conseqüênca da necessdade de se consderar novos custos que surgem devdos às transferêncas de chamadas entre dferentes regões, o que torna o problema mas dfícl. O prmero trabalho encontrado na lteratura sobre o PAACC é de Merchant e Sengupta (995). Nesse trabalho, os autores formulam o PAACC como um problema de Programação Intera e o resolvem através de heurístcas gulosas de atrbução das células aos comutadores. A mesma abordagem é proposta por Saha et al. (2000). Abordagens que utlzam metaheurístcas também já foram propostas para o PAACC. Podem ser ctados os trabalhos de Perre e Houéto (2002), que usaram a busca tabu, de Quntero e Perre (2002), que empregaram smulated annealng (SA) e algortmos genétcos, e de Menon e Gupta (2004), que combnaram SA com um método de geração de colunas. Este capítulo apresentou o problema de atrbução em suas dversas formas e estabeleceu os objetvos geras que se pretende com este trabalho. Em resumo, pretendese: Estudar e propor métodos de solução para dos problemas dfíces de atrbução, a saber: o Problema Generalzado de Atrbução, um problema clássco e para o qual já exstem dversas abordagens propostas, e o Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores, um problema mas recente e para o qual anda exstem poucas propostas de solução; Comparar o desempenho da aplcação da relaxação lagrangeana/surrogate em métodos de solução para o PGA e para o PAACC em relação à utlzação da relaxação lagrangeana tradconal. Este trabalho está organzado da forma descrta a segur. O Capítulo 2 apresenta uma revsão de lteratura para o PGA e para o PAACC, descendo mas a detalhes sobre as técncas de solução já propostas para estes problemas, em especal, as técncas que se aproxmam das propostas neste trabalho. 30

33 O Capítulo 3 apresenta as técncas envolvdas nos métodos de resolução propostos neste trabalho. Num prmero momento apresenta-se a técnca de GC, as relaxações lagrangeana e lagrangeana/surrogate e as regras de ramfcação envolvdas no algortmo B&P para o caso de problemas nteros em geral. Em seguda, apresentam-se os métodos propostos para o PGA e para o PAACC, que compreendem a técnca de GC combnada com a relaxação lagrangeana/surrogate e, especfcamente para o PGA, um método B&P. O Capítulo 4 descreve os algortmos mplementados neste trabalho, tanto para o PGA como para o PAACC, e apresenta os resultados computaconas obtdos comparando o uso da relaxação lagrangeana/surrogate com o uso da relaxação lagrangeana tradconal. Por fm, o Capítulo 5 apresenta uma síntese do trabalho, analsa e dscute os resultados obtdos, comenta sobre algumas dfculdades encontradas e sugere temas para pesqusas futuras. 3

34 32

35 CAPÍTULO 2 REVISÃO DE MÉTODOS PROPOSTOS PARA O PGA E PAACC Este capítulo dscute algumas das técncas já propostas para o Problema Generalzado de Atrbução e para o Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores. Para o PGA, como se trata de um problema muto estudado e para o qual exste uma grande dversdade de métodos propostos, dscutem-se, em especal, as técncas que mas se aproxmam das propostas neste trabalho. Dscute-se em prmero lugar a técnca de Geração de Colunas aplcada ao PGA e, em seguda, os métodos B&P propostos por Savelsbergh (997) e por Pgatt (2003). Em seguda, anda para o PGA, apresenta-se o método proposto por Narcso e Lorena (999), que faz uso da relaxação lagrangeana/surrogate. Para o PAACC, por se tratar de um problema relatvamente recente, apresentam-se as prncpas propostas de resolução encontradas na lteratura. Dscute-se a abordagem heurístca proposta por Merchant e Sengupta (995) para o PAACC em sua forma orgnal e com varação das demandas de chamadas. Em seguda, são apresentados o algortmo de Busca Tabu proposto por Perre e Houéto (2002), as abordagens de Algortmo Genétco e de Smulated Annealng apresentadas por Quntero e Perre (2003) e uma abordagem msta proposta por Menon e Gupta (2004), que ncorpora técncas de Geração de Colunas em um algortmo Smulated Annealng. 2. O Método de Geração de Colunas para o PGA Sejam M = {,..., m} e N = {,..., n}, os conjuntos de índces de máqunas e tarefas, respectvamente. Com sto, a formulação do PGA estabelecda em (.0)-(.3) pode ser reescrta como: mn M j N c (2.) j x j sujeto a: 33

36 r x j j N j b M (2.2) M x =, j N (2.3) j x j {0, }, M, j N (2.4) O método de GC para o PGA basea-se na reformulação deste problema como um Problema de Cobertura de Conjuntos (PCC). Para sto, seja K = {x,..., x } o k conjunto de padrões de atrbução váves para a máquna, onde xk = {xk,..., x nk} é uma solução vável para as restrções (2.2) e (2.4). Seja varável bnára caracterzando se a atrbução ou seja: y k, M e k K, uma x k está assocada realmente à máquna, yk, se a atrbução = 0, caso contráro x k está assocada à máquna Então, o PGA pode ser reformulado como o segunte PCC: mn m k n = k= j= c j x jk y k (2.5) sujeto a: m k = k= x jk y k =, j N (2.6) k k= y k, M (2.7) y k {0, }, M (2.8) 34

37 Esta formulação fo usada por Cattrysse et al. (994) para desenvolver um algortmo heurístco para o PGA. O problema a ser resolvdo pelo método de GC é a versão de PL deste problema de cobertura de conjuntos, ou seja: mn m k n = k= j= c j x jk y k (2.9) sujeto a: m k = k= x jk y k =, j N (2.0) k k= y k, M (2.) y k [0, ], M (2.2) No contexto do método de GC, o problema (2.9)-(2.2) é conhecdo como Problema Mestre Restrto (PMR) (Barnhart et al., 998). Na abordagem tradconal, após defnr um conjunto ncal de colunas, o PMR é resolvdo e os custos duas fnas π j (j N), referentes às restrções (2.0), e para gerar novas colunas. Para sto, as atrbuções váves obtdas resolvendo-se os seguntes m Problemas da Mochla: µ ( M), referentes às restrções (2.), são usados x k para cada máquna são mn v (M ) (c π ) x (2.3) = n j= j j j sujeto a: n r jx j b (2.4) j= x j {0, }, j N (2.5) 35

38 Cada solução vável x k corresponde a uma coluna na formulação de cobertura de conjuntos. Essa coluna consste de n valores guas a ou 0 representando se a tarefa j está ou não atrbuída à máquna (conforme solução do problema da mochla M ) e de um vetor untáro e, onde corresponde ao número da máquna, como lustra a FIGURA 2. a segur. x k 0 M = 0 M M 0 tarefa tarefa 2 tarefa n máquna máquna máquna m FIGURA 2. Coluna para o Problema de Cobertura de Conjuntos Todas as colunas correspondentes a v (M ) µ < 0 são canddatas a serem seleconadas e podem ser ncorporadas ao PMR. Assm, o método de GC para o PGA pode ser estabelecda pelo segunte algortmo: ) Estabelecer um conjunto ncal de colunas para o PMR; 2) Resolver o problema PMR, obtendo os custos duas π j (j N) e µ ( M); 3) Resolver os problemas da mochla M, obtendo as potencas colunas a serem acrescentadas ao PMR; 4) Acrescentar ao PMR colunas correspondentes a v (M ) µ < 0 ( M); 5) Parar, se o passo (4) não acrescentar novas colunas ao PMR; 36

39 6) Executar os testes de remoção de colunas mprodutvas e retornar ao passo (2). Savelsbergh (997) sugere, para o passo (4) deste algortmo, consderar a prmera coluna com custo reduzdo negatvo encontrada ou, para evtar soluções tendencosas, escolher uma das colunas canddatas aleatoramente. Outra alternatva, também proposta, é consderar todas as colunas com custos reduzdos negatvos (estratéga conhecda como mult-prcng na lteratura). Isto, no entanto, pode aumentar demasadamente o tamanho do PMR. 2.2 O Método B&P Aplcado ao PGA A menos que todas as varáves yk sejam nteras, a solução obtda pelo método de Geração de Colunas não é factível para o PGA. Assm, faz-se necessáro aplcar um algortmo B&B de modo a obter soluções exatas para o problema. Na construção da árvore B&B, se em outro. Se y k é fraconára então uma opção é fazer y k = 0, ndependente do valor do elemento y k = 0 em um ramo e y k = x jk que compõe a atrbução x k, a tarefa j deverá ser atrbuída a uma máquna dferente de. No caso em que, a tarefa j será atrbuída a somente se y k = x jk = ; caso contráro, a tarefa j também deverá ser atrbuída a outra máquna. Em resumo, em uma ramfcação a tarefa j não será de manera alguma atrbuída à máquna e na outra ramfcação pode ser ou não atrbuída à máquna. Uma outra opção é fazer x j = 0 em um ramo e x j = em outro, ou seja, consderar em um ramo apenas as atrbuções em que a tarefa j está atrbuída à máquna e, no outro, as demas atrbuções possíves da tarefa j. Savelsbergh (997) explorou duas estratégas de ramfcação para o método B&P. Na prmera, consderou a varável fraconára x j mas próxma de 0.5, fxando x j = em um ramo e x j = 0 em outro ramo. No caso de empate, escolha-se a varável com menor custo c j. A segunda estratéga consste em verfcar a somatóra x ( j,..., n) com m = j = 37

40 o maor número de varáves fraconáras, fazendo x 0 em um ramo e x 0 * = j = m j = = * + no outro ramo, onde o índce * é escolhdo tão próxmo quanto possível de m/2 e de forma que deve exstr pelo menos uma varável fraconára em ambos os ramos. No caso de empate, selecona-se a restrção para a qual o valor de x 0. 5 * = j + m x j = * é o menor possível. Para a busca, Savelsbergh (997) também usou duas estratégas: busca em profunddade e busca do melhor lmte. A busca em profunddade é aplcada para obter boas soluções mas rapdamente, pos com uma boa solução é possível podar um número sgnfcatvo de nós e assm reduzr o tamanho da árvore. A estratéga de busca do melhor lmte explora prmero o nó com o lmte mas promssor (anda não explorado). Para a Geração de Colunas, Pgatt (2003) utlzou o algortmo de establzação proposto por du Merle et al. (999), evtando assm que a convergênca se torne lenta quando os valores das varáves duas assocadas osclam e o subproblema de geração de colunas passa a obter, a cada teração, colunas com característcas muto dferentes. A segur é descrta a proposta de Pgatt (2003). Seja um programa lnear P vável e lmtado: n mn c j x j (2.6) j= sujeto a: n αjx j = b, =,..., m (2.7) j= e o seu dual D: x j 0, j =,..., n (2.8) 38

41 sujeto a: m b = max π (2.9) α x c j =,..., n (2.20) j j j Pgatt (2003) reduzu a degenerescênca, aplcando uma perturbação em P através da adção de varáves de excesso y e de varáves de folga y 2 lmtadas por valores ε e ε 2 pequenos, respectvamente. Desta forma evta-se que as varáves duas osclem através do problema perturbado (P P ), dado por: n mn c j x j (2.2) j= sujeto a: n αjx j y y2 = b, =,..., m (2.22) j= x j 0, j =,..., n (2.23) 0 y ε, =,..., m (2.24) ε,0 y2 2 A solução de P p é menor ou gual do que a solução do problema orgnal (P) e, portanto, é um lmte nferor váldo para o problema ntero. Fazendo-se os valores de ε e ε 2 sufcentemente pequenos, essa perda se torna pouco sgnfcatva. O problema (P p ) tem o dual (D P ): m b = m = m max π ω ε + ω ε (2.25) = 2 2 sujeto a: 39

42 α x c j =,..., n (2.26) j j j ω, =,..., m (2.27) 2 π ω, =,..., m (2.28) π O espaço dual de (D P ) é dado na FIGURA 2.2 e observa-se que os valores das varáves duas estão lmtados a um ntervalo [d, d 2 ]. ε - ε 2 π π -ϖ ϖ 2 FIGURA 2.2 Espaço dual do problema (Dp) (FONTE: Pgatt (2003), p. 36) Uma outra manera de tentar acelerar a convergênca da geração de colunas, evtando que as varáves duas osclem excessvamente ao longo das terações, é feta através de restrções que lmtam o valor das varáves duas a um ntervalo de valores [d ; d 2 ], ou seja, consdere o problema D r, dado por: m b = max π (2.29) sujeto a: m α = j π c j j =,, n (2.30) d π d2 =,, m (2.3) 40

43 Seu dual corresponde ao segunte problema prmal P d : n j= m = m mn c x d y + d y (2.32) j j = 2 2 sujeto a: n αjx j y + y2 = b, =,, m (2.33) j= x j 0, j =,, n (2.34) y,y2 0, =,, m (2.35) Pgatt (2003) faz, a cada teração, ajustes nos valores de π, para encontrar uma solução dual que esteja contda na faxa dada por d e d 2 e, conseqüentemente, procurando com que o valor da solução desse novo problema se aproxme da solução do problema orgnal. Este procedmento consste no algortmo Boxstep lustrado na FIGURA 2.3. π 4 π 3 π 2 π FIGURA 2.3 Algortmo Boxstep (FONTE: Pgatt (2003), p. 37) A formulação do método de Geração de Colunas consste na combnação de P p e P d, ou seja, no problema P e dado por: 4

44 n j= m = m mn c x d y + d y (2.36) j j = 2 2 sujeto a: n αjx j y + y2 = b j= =,, m (2.37) 0 ε, =,..., m (2.38) y 0 ε, =,..., m (2.39) y 2 2 x j 0, j =,, n (2.40) Cujo dual D e assocado a P e é como segue: sujeto a: m b = m = m max π ϖ ε ϖ ε (2.4) = 2 2 m α = j π c j, j =,, n (2.42) d ϖ π d2 + ϖ, =,, m (2.43) 2 ω 0 e ω 0, =,..., m (2.44) 2 Para ncalzar π, Pgatt (2003) usou o valor das varáves duas da formulação clássca do PGA relaxado e fez d = d 2 = π com os valores 0., 0.0, 0.00 e 0 para ε. Em seus testes, Pgatt (2003) observa que quando ε = 0., qualquer mudança nos valores das varáves duas é muto penalzada e que para ε = 0.0, a penalzação pela mudança no valor da varável dual dmnu, mas o processo converge rapdamente porque foram geradas boas colunas para o caso em que ε = 0. e estas colunas são mantdas no problema. Para ε = 0.00, a penalzação por mudança no valor da varável 42

45 dual dmnu anda mas. Fnalmente, para ε gual a 0, ou seja, quando não há penalzação pela troca de valor da varável dual, a convergênca é rápda devdo à qualdade das colunas que foram geradas nas três execuções anterores. O procedmento de establzação é dado pelo segunte algortmo: ) Faça: π = duas da relaxação e ε = 0.; 2) valretorno = geracolunas(); 3) Se valretorno cuttoff + eps, então Pare. 4) = 0; 5) Faça π = novos duas calculados pelo procedmento geracolunas; 6) Se = 2 então ε = 0, senão ε = (0.) + 2 ; 7) valretorno = geracolunas(); 8) Se valretorno cuttoff + eps, então Pare; 9) Se 2, então faça = + e retorne ao passo 5. onde: π são os valores das varáves duas correspondentes à penaldade zero; ε é a penalzação pelas varáves duas a partr de π; geracolunas é o procedmento de geração de colunas; cutoff é um valor lmte do procedmento de Branch-and-Bound. Se o valor retornado estver acma do cutoff o procedmento de geração de colunas deve parar. Em seu trabalho, Pgatt (2003) faz a escolha da varável a ser fxada na ramfcação levando em consderação o quanto a varável fraconára está próxma de 0.5 e o seu custo. Se dst é a dstânca entre 0.5 e a varável e c o custo da varável, a escolha é feta 43

46 pela varável com o menor valor para ( dst) * 00 + c, fxando-a em 0 e, em seguda, em. O algortmo de ramfcação e geração de novas colunas, ou seja, o algortmo de Branch-and-Prce, é dado por: ) valsolucao = gerarcolunasestablzadas(valmelhorsolucao); 2) Se valsolucao valmelhorsolucao + ε, então Pare; 3) Execute determnarpróxmofxado(, j); 4) Se = 0 e j = 0 (solução ntera encontrada), então: Se not (usandocolunas()), então: Se valsolucao < valmelhorsolucao, então: valmelhorsolucao = valsolucao; Pare. Fm_Se; 5) Execute retrarcolunasvolamzero(, j) e fxarzero(, j); 6) ChamarAlgortmoRecursvamente(); 7) Execute recolocarcolunasvolamzero(, j) e desfxarzero(, j); 8) Execute retrarcolunasvolamum(, j) e fxarum(, j); 9) chamaralgortmorecursvamente(); 0) Execute recolocarcolunasvolamum(, j) e desfxarum(, j). onde: gerarcolunasestablzadas é o procedmento de geração de colunas establzadas descrto anterormente; 44

47 valmelhorsolucao é o valor da melhor solução ntera encontrada; determnaproxmofxado é uma função que determna a próxma varável x j a ser fxada. Se a função retornar = 0 e j = 0 sgnfca que a solução corrente é ntera; usandocolunas é uma função que retorna verdadero se alguma das colunas artfcas nserdas pelo problema mestre ncal está sendo usada na solução ntera corrente. Caso esteja usando, a solução encontrada é nvável; retrarcolunasvolamzero é uma função que retra do modelo todas as colunas que volam a fxação de x j em 0; fxarzero é uma função que fxa x j em 0; chamaralgortmorecursvamente() representa a chamada do procedmento de B&P recursvamente; recolocarcolunasvolamzero é uma função que recoloca no modelo as colunas que foram retradas pela função retrarcolunasvolamzero; desfxarzero é uma função que retra a fxação de x j em 0; retrarcolunasvolamum é uma função que retra do modelo todas as colunas que volam a fxação de x j em ; fxarum é uma função que fxa x j em ; recolocarcolunasvolamum é uma função que recoloca no modelo as colunas que foram retradas pela função retrarcolunasvolamum; desfxarum é uma função que retra a fxação de x j em. 45

48 2.3 Uma Proposta Empregando a Relaxação Lagrangeana/Surrogate Narcso (998) propõe utlzar a relaxação lagrangeana/surrogate para a solução do PGA. O algortmo utlzado é uma versão generalzada do algortmo de subgradentes. Consdere que o dual lagrangeano/surrogate do problema (2.)-(2.4) é dado por: v(ls x t ) = mn cjxj + t λ (b t 0 x S m n j = j= = j= m max r x ) (2.45) n j O algortmo para solução do PGA é então estabelecdo como: ) Para j =,..., m, faça λ = n r j j= n j= b r j ; 2) Resolva a relaxação lagrangeana/surrogate dada pelo problema (2.45) e obtenha λ x ; 3) Obtenha uma solução factível e calcule seu custo como: f x a partr de m = n f j= = λ x usando heurístcas construtvas f v cjxj. Faça: lnf = max[ lnf,vf ] e l sup = mn[ l, v(r )], onde v(r λ ) = v(ls xλ t ); sup λ 4) Atualze a dreção do subgradente λ g, ou seja, para =,..., m, faça: λ n g = b r x. Atualze também o tamanho do passo t. j j= λ j 5) Para =,..., m, faça λ = max {0, λ + t λ g }; 6) Retorne ao passo 2. Em seu trabalho, Narcso (998) conclu que a relaxação lagrangeana/surrogate obtém lmtes tão bons quanto os fornecdos pela relaxação lagrangeana, mas em tempo 46

49 computaconal menor, prncpalmente quando as nstâncas têm grandes dmensões. Esta conclusão aparece também em Narcso e Lorena (999). 2.4 O Problema de Atrbução de Antenas Celulares a Comutadores Nas três últmas décadas houve um aumento sgnfcatvo dos sstemas de comuncação móvel. Geralmente, uma área geográfca atendda por servços de comuncação móvel é dvdda em undades geográfcas menores denomnadas células. Para efeto de estudo, as células são, em geral, representadas por hexágonos, conforme mostra a FIGURA 2.4. Comutador C A B células D Comutador 2 FIGURA 2.4 Representação de Células em uma Rede de Comuncação (FONTE: Merchant e Sengupta (995), p. 52) Cada célula possu uma antena de transmssão e recepção, também conhecda como estação rádo base, para fazer a comuncação entre o equpamento celular móvel e um comutador, que tem a função de encamnhar o tráfego de chamadas entre antenas. 47

50 Durante uma chamada, conforme aumenta a dstânca entre a undade móvel do assnante (celular) e a estação rádo base, o snal torna-se fraco e aumentam os ruídos provenentes de nterferêncas da vznhança. Para evtar sto, o sstema faz uma transferênca da chamada de uma antena para outra adjacente que esteja mas próxma do usuáro. Esta transferênca (denomnada handoff) deve ser realzada para que o assnante não perca a qualdade do snal enquanto estver realzando uma chamada. Quando o assnante se move entre antenas atenddas por um mesmo comutador, a transferênca é conhecda como handoff smples. Quando o assnante se move entre antenas atenddas por comutadores dferentes tem-se então o denomnado roomng ou handoff complexo. Isto pode ser lustrado pela FIGURA 3.: quando durante uma chamada um assnante se move da célula A para célula B, que são atenddas pelo Comutador, tem-se o handoff smples e quando o assnante sa da célula B para a célula C, atenddas pelo Comutador e Comutador 2, respectvamente, tem-se o handoff complexo, que envolve um custo maor. Em geral, os custos de handoff smples são desconsderados. O PAACC consste em determnar qual a manera ótma de se atrbur n células a m comutadores com posções fxas em uma dada regão, de forma a mnmzar os custos de cabeamento entre antenas e comutadores e os custos de handoff complexos. Caso sejam desconsderados os custos de transferênca de chamadas entre dferentes regões, o PAACC reca na formulação do PGA. Sejam M = {,..., m } e N = {,..., n }. Para formular o PAACC são assumdas como conhecdas as seguntes nformações: os custos c k de cabeamento entre as células e os comutadores k, com N e k M; os custos h j de handoff por undade de tempo entre as células e j, com, j N; o volume de chamadas λ de cada célula, com N; 48

51 a capacdade de atendmento de chamadas M. M k de cada comutador k, com k Além dsto, defnem-se as seguntes varáves de decsão: x k, se a célula é atrbuída ao swtch = 0, caso contráro. representam a atrbução ou não da célula ao comutador k; z jk, se as células e j são atrbuídas ao swtch = 0, caso contráro. k, com N e k M, que k, com N e k M, que exprmem o fato de duas antenas celulares e j estarem ou não atrbuídas ao mesmo comutador k; e y j, se as células e jsão atrbuídas = 0, caso contráro. a um mesmo swtch, com, j N, que representam a possbldade de duas células e j estarem atrbuídas ou não a um mesmo comutador. Com sto, o PAACC pode ser formulado como: mn n m = k= + n n k x k hj( yj) = j= c (2.46) sujeto a: m k= x k = N (2.47) n λx = k M k k M (2.48) z jk = x x, j N e k M (2.49) k jk 49

52 m y = z, j N (2.50) x j k, y k= j jk { 0,}, j N,k M (2.5) A função-objetvo (2.46) busca mnmzar os custos de cabeamento e de handoff. As restrções de atrbução (2.47) evtam que uma célula seja atrbuída a mas de um comutador. As restrções de capacdade (2.48) mpossbltam que as capacdades de atendmento M k dos comutadores sejam voladas. As restrções (2.49) mplcam que a varável z jk assume o valor se e somente se, as células e j estverem atrbuídas ao mesmo comutador k. As restrções (2.50) mplcam que y j assume o valor se e somente se, as antenas celulares e j estverem atrbuídas a um únco comutador. Fnalmente, as restrções (2.5) correspondem às condções de ntegraldade das varáves de decsão. Dessa manera, o PAACC é um problema de programação não-lnear ntera porque possu varáves nteras e as restrções (2.49) são não lneares. No entanto, como observado em Merchant e Sengupta (995), estas restrções podem ser substtuídas por: z jk x k (2.52) z jk x jk (2.53) z jk x + x (2.54) k jk z jk 0 (2.55) Dz-se que o PAACC tem homng sngular, quando a demanda de chamadas permanece nalterada. Caso a demanda de chamadas vare no mesmo período, o problema é consderado como tendo homng dual. Neste caso, uma célula pode ser conectada a dferentes comutadores, dependendo da necessdade do período. A permssão de atrbução de uma célula a mas de um comutador deve ser consderada somente se reduzr os custos de handoff, uma vez que os custos de cabeamento serão aumentados. 50

53 Nesta versão do problema exstem dos nstantes dferentes em um período, com volumes de chamadas e custos de handoff dferentes. Assm, adconam-se os volumes de chamada Os valores de λ e os custos de handoff M k e c k permanecem nalterados. h j relatvos às segundas demandas do período. Merchant e Sengupta (995) consderam a busca por dos padrões de atrbução, ambos correspondendo a homngs sngulares. Se a célula está atrbuída ao comutador k em ambos os padrões, seu custo de cabeamento estará duplcado. Seja para o padrão, com as varáves x k, y j e z jk satsfazendo as restrções do problema. Para o padrão 2, defnem-se as varáves correspondentes x k, y j e z jk satsfazendo as restrções do PAACC trocando-se λ por λ. Para que o custo de cabeamento não seja consderado duas vezes no caso da célula ser atrbuída ao mesmo comutador nos dos padrões, defne-se a segunte varável: w k = x x N,k M (2.56) k k onde o símbolo sgnfca a operação ou. Dessa forma, a função-objetvo do problema pode ser escrta como: n m = k= n n n n k wk + h j( yj) + hj( yj) = j= = j= c (2.57) Com esta nova varável, o conjunto de restrções de lnearzação (2.52)-(2.55) pode ser substtuído por: wk x k (2.58) w k xk (2.59) w k (2.60) w + k xk xk (2.6) 5

54 2.5 Uma Abordagem Heurístca para o PAACC Apresenta-se a segur a proposta de Merchant e Sengupta (995) para o PAACC. Consdera-se que uma atrbução de células é factível se a atrbução satsfaz as restrções de capacdades (2.48) dos comutadores e que movmentos em uma atrbução factível são factíves se a atrbução resultante também for factível. Para gerar uma atrbução ncal factível, ordenam as células em ordem decrescente em relação ao volume de chamadas ( λ ). O algortmo é dvddo em m estágos. No estágo k, a atrbução das k- prmeras antenas celulares já foram defndas e não podem ser mudadas. A k a célula (k =, 2,..., n) é então atrbuída de manera que o comutador escolhdo não tenha sua capacdade volada (atrbução factível) e resulte nos menores custos de handoff e cabeamento. Em seguda, estende-se esta déa de modo a que sejam obtdas b soluções factíves para o problema. Para sto, consdere que exstem b soluções factíves no (k-) o estágo do problema. Para k = 2, sto é trval, mas no kº estágo, m escolhas de atrbução da célula são possíves. Dentre todas as possbldades retram-se as nfactíves e retêm-se apenas as b possbldades com menores custos. Repete-se o processo para k =, 2,..., n. A heurístca selecona então a melhor atrbução e usa um mecansmo de refnamento para melhorar o resultado de manera seqüencal. O mecansmo de refnamento aplca repetdamente movmentos factíves que forneçam o melhor ganho para a função-objetvo, até que um crtéro heurístco de otmaldade seja alcançado. Nos testes realzados utlzou-se b = 0. Esta abordagem é descrta a segur, apresentando em algortmos separados, as váras fases do processo. Incalmente são determnadas as atrbuções ncas, com o segunte algortmo: 2.5. Algortmo de Atrbução Incal ) Ordene as células em ordem decrescente em relação ao volume de chamadas ( λ ), ncando com uma atrbução vaza. 2) As células são atrbuídas uma de cada vez em estágos. Para k =, 2,..., n, faça: 52

55 a) Estenda cada atrbução parcal consderando a adção de todas as atrbuções possíves da k a célula, descartando todas que volem as restrções de capacdade de atendmento dos comutadores. Se nenhuma atrbução é válda pare, pos o algortmo falhou. Se restarem menos do que b atrbuções parcas, armazene todas; caso contráro, armazene somente as b melhores atrbuções, consderando os custos de handoffs e cabeamento da k a célula atrbuída somente. 3) Retorne a melhor das atrbuções encontradas. Com a solução ncal obtda, procura-se reduzr o valor da função-objetvo através de movmentos factíves, como mostrado no algortmo a segur Algortmo de Refnamento Para refnar a solução na atrbução ncal, fo utlzado o segunte algortmo, que se repete até que nenhum passo reduza o valor da função-objetvo: ) Marque todas as células como deslgadas. 2) Encontre o melhor movmento factível como segue: escolha uma célula e um comutador k tal que a atrbução desta célula a este comutador reduza a funçãoobjetvo ao máxmo. 3) Atrbua a célula ao comutador k. Marque a célula como lgada. Anote a atrbução atual. 4) Repta os passos 2 e 3 até que nenhum movmento factível seja encontrado. Em seguda, selecone o padrão de atrbução com menor valor objetvo e fnalze. 5) Se o valor da função objetvo não se alterou então pare. Caso contráro retorne ao passo. A heurístca para homng dual basea-se na resolução de dferentes homngs sngulares e, a partr delas, constró-se um segundo conjunto de atrbuções que sejam factíves 53

56 para o homng dual. Tomam-se duas atrbuções, uma atrbução de cada conjunto referente a homngs sngulares. Verfca-se então, célula por célula, se exste alguma atrbuída ao mesmo comutador, caso em que se consdera o custo de cabeamento apenas uma vez. Faz-se esta verfcação repetdamente até que todas atrbuções tenham sdo consderadas. Apresenta-se a segur a descrção do algortmo Algortmo para Homng Dual ) Formule um PAACC com homng sngular, denotado por Q, consderando o padrão (λ, h j, M k, c k ) com, j N e k M. Formule um segundo PAACC com homng sngular, denotado por Q, consderando o padrão 2 (λ, h j, M k, c k ) com, j N e k M. 2) Resolva ambos os problemas usando um algortmo de homng sngular. Seja A a solução do problema Q com o menor valor da função-objetvo. 3) Seja Q o problema de homng sngular dêntco a Q, consderando a segunte modfcação: se A atrbu a célula ao comutador k, então elmne o custo de cabeamento c k em Q. Resolva Q e chame esta solução de A. 4) Smlarmente, faça Q 2 o problema de homng sngular dêntco a Q, com a segunte alteração: se A atrbu a célula ao comutador k, então elmne o custo de cabeamento c k em Q 2. Resolva Q 2 e chame esta solução de A. 5) Repta os passos (3) e (4) até que as atrbuções dadas não melhorem a funçãoobjetvo. As atrbuções A e A combnadas formam uma solução para o homng dual. 2.6 Uma Abordagem de Busca Tabu para o PAACC A Busca Tabu (BT) fo adaptada aos problemas de otmzação combnatóra por Glover et al. (993). É uma metaheurístca de melhora da solução que fornece meos de explorar o espaço de soluções em um sentdo mas amplo, ndo na dreção de pontos além dos ótmos locas. Na BT, cra-se uma lsta (denomnada lsta tabu) para 54

57 armazenar nformações que caracterzam os movmentos realzados em uma vznhança de uma solução corrente. Esta lsta tem a função de evtar que uma solução ou uma seqüênca de soluções seja vstada repetdas vezes. Concomtantemente, estabelece-se um mecansmo de avalação para determnar a acetação ou não dos movmentos que levem às novas soluções. Desse modo, a busca fca restrta por uma estratéga de probção, que utlza e controla a lsta tabu, evtando o retorno às soluções já vstadas e, dessa forma, nduzndo a exploração de novas regões. A BT pode até acetar movmentos locas que não melhorem a solução, mas que possam levar ao ótmo global. O algortmo de BT para o PAACC proposto por Perre e Houéto (2002) evta os pontos de mínmos locas acetando soluções ocasonas que não melhorem o valor da funçãoobjetvo, mas que podem levar a soluções melhores posterormente. Dessa forma, durante a geração do conjunto V de canddatas a soluções presentes em uma vznhança da solução corrente, removem-se as soluções que estejam presentes numa lsta T, chamadas de soluções tabus. Assm, cada solução ntermedára x é obtda + resolvendo-se o problema de otmzação: f (x ) = mn f (x ) (2.62) + x V T onde a vznhança V depende da solução corrente x. O algortmo pára quando em um número k max de terações nenhuma melhora ocorreu, ou quando todas as canddatas a solução na vznhança são tabus, ou seja, V - T =. Consderando que: s* é a melhor solução corrente; nbter é o contador de terações; bestter é a teração na qual fo encontrada a melhor solução; f é a função-objetvo; N(s) é o conjunto de todas soluções possíves na vznhança de s. O algortmo de BT proposto por Perre e Houéto (2002) é dado por: 55

Programação Dinâmica. Fernando Nogueira Programação Dinâmica 1

Programação Dinâmica. Fernando Nogueira Programação Dinâmica 1 Programação Dnâmca Fernando Noguera Programação Dnâmca A Programação Dnâmca procura resolver o problema de otmzação através da análse de uma seqüênca de problemas mas smples do que o problema orgnal. A

Leia mais

3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência

3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potênca Neste trabalho assume-se que a rede de comuncações é composta por uma coleção de enlaces consttuídos por um par de undades-rádo ndvdualmente

Leia mais

3 Metodologia de Avaliação da Relação entre o Custo Operacional e o Preço do Óleo

3 Metodologia de Avaliação da Relação entre o Custo Operacional e o Preço do Óleo 3 Metodologa de Avalação da Relação entre o Custo Operaconal e o Preço do Óleo Este capítulo tem como objetvo apresentar a metodologa que será empregada nesta pesqusa para avalar a dependênca entre duas

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Lnear com Restrções Aula 9: Programação Não-Lnear - Funções de Váras Varáves com Restrções Ponto Regular; Introdução aos Multplcadores de Lagrange; Multplcadores de Lagrange e Condções

Leia mais

RAD1507 Estatística Aplicada à Administração I Prof. Dr. Evandro Marcos Saidel Ribeiro

RAD1507 Estatística Aplicada à Administração I Prof. Dr. Evandro Marcos Saidel Ribeiro UNIVERIDADE DE ÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINITRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE ADMINITRAÇÃO RAD1507 Estatístca Aplcada à Admnstração I Prof. Dr. Evandro Marcos adel Rbero

Leia mais

Introdução aos Problemas de Roteirização e Programação de Veículos

Introdução aos Problemas de Roteirização e Programação de Veículos Introdução aos Problemas de Roterzação e Programação de Veículos PNV-2450 André Bergsten Mendes Problema de Programação de Veículos Problema de Programação de Veículos Premssas Os roteros ncam e termnam

Leia mais

5 Relação entre Análise Limite e Programação Linear 5.1. Modelo Matemático para Análise Limite

5 Relação entre Análise Limite e Programação Linear 5.1. Modelo Matemático para Análise Limite 5 Relação entre Análse Lmte e Programação Lnear 5.. Modelo Matemátco para Análse Lmte Como fo explcado anterormente, a análse lmte oferece a facldade para o cálculo da carga de ruptura pelo fato de utlzar

Leia mais

4 Critérios para Avaliação dos Cenários

4 Critérios para Avaliação dos Cenários Crtéros para Avalação dos Cenáros É desejável que um modelo de geração de séres sntétcas preserve as prncpas característcas da sére hstórca. Isto quer dzer que a utldade de um modelo pode ser verfcada

Leia mais

IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE FATORAÇÃO DE INTEIROS CRIVO QUADRÁTICO

IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE FATORAÇÃO DE INTEIROS CRIVO QUADRÁTICO IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE FATORAÇÃO DE INTEIROS CRIVO QUADRÁTICO Alne de Paula Sanches 1 ; Adrana Betâna de Paula Molgora 1 Estudante do Curso de Cênca da Computação da UEMS, Undade Unverstára de Dourados;

Leia mais

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma

Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma Capítulo 8 Dferencação Numérca Quase todos os métodos numércos utlzados atualmente para obtenção de soluções de equações erencas ordnáras e parcas utlzam algum tpo de aproxmação para as dervadas contínuas

Leia mais

UNIDADE IV DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)

UNIDADE IV DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) UNDADE V DELNEAMENTO NTERAMENTE CASUALZADO (DC) CUABÁ, MT 015/ PROF.: RÔMULO MÔRA romulomora.webnode.com 1. NTRODUÇÃO Este delneamento apresenta como característca prncpal a necessdade de homogenedade

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Classificadores Lineares. Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D.

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Classificadores Lineares. Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. Unversdade Federal do Paraná Departamento de Informátca Reconhecmento de Padrões Classfcadores Lneares Luz Eduardo S. Olvera, Ph.D. http://lesolvera.net Objetvos Introduzr os o conceto de classfcação lnear.

Leia mais

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012

Notas Processos estocásticos. Nestor Caticha 23 de abril de 2012 Notas Processos estocástcos Nestor Catcha 23 de abrl de 2012 notas processos estocástcos 2 O Teorema de Perron Frobenus para matrzes de Markov Consdere um processo estocástco representado por um conunto

Leia mais

2 Aproximação por curvas impĺıcitas e partição da unidade

2 Aproximação por curvas impĺıcitas e partição da unidade Aproxmação por curvas mpĺıctas e partção da undade Este capítulo expõe alguns concetos báscos necessáros para o entendmento deste trabalho 1 Curvas Algébrcas Um subconjunto O R é chamado de uma curva mplícta

Leia mais

REGRESSÃO NÃO LINEAR 27/06/2017

REGRESSÃO NÃO LINEAR 27/06/2017 7/06/07 REGRESSÃO NÃO LINEAR CUIABÁ, MT 07/ Os modelos de regressão não lnear dferencam-se dos modelos lneares, tanto smples como múltplos, pelo fato de suas varáves ndependentes não estarem separados

Leia mais

Reconhecimento Estatístico de Padrões

Reconhecimento Estatístico de Padrões Reconhecmento Estatístco de Padrões X 3 O paradgma pode ser sumarzado da segunte forma: Cada padrão é representado por um vector de característcas x = x1 x2 x N (,,, ) x x1 x... x d 2 = X 1 X 2 Espaço

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. vall@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relaconadas e surge então a necessdade de determnar a natureza deste relaconamento. A análse

Leia mais

3 Algoritmos propostos

3 Algoritmos propostos Algortmos propostos 3 Algortmos propostos Nesse trabalho foram desenvolvdos dos algortmos que permtem classfcar documentos em categoras de forma automátca, com trenamento feto por usuáros Tas algortmos

Leia mais

Programação Linear 1

Programação Linear 1 Programação Lnear 1 Programação Lnear Mutos dos problemas algortmcos são problemas de otmzação: encontrar o menor camnho, o maor fluxo a árvore geradora de menor custo Programação lnear rovê um framework

Leia mais

3 A técnica de computação intensiva Bootstrap

3 A técnica de computação intensiva Bootstrap A técnca de computação ntensva ootstrap O termo ootstrap tem orgem na expressão de língua nglesa lft oneself by pullng hs/her bootstrap, ou seja, alguém levantar-se puxando seu própro cadarço de bota.

Leia mais

EXERCÍCIO: VIA EXPRESSA CONTROLADA

EXERCÍCIO: VIA EXPRESSA CONTROLADA EXERCÍCIO: VIA EXPRESSA CONTROLADA Engenhara de Tráfego Consdere o segmento de va expressa esquematzado abaxo, que apresenta problemas de congestonamento no pco, e os dados a segur apresentados: Trechos

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

2 Análise de Campos Modais em Guias de Onda Arbitrários

2 Análise de Campos Modais em Guias de Onda Arbitrários Análse de Campos Modas em Guas de Onda Arbtráros Neste capítulo serão analsados os campos modas em guas de onda de seção arbtrára. A seção transversal do gua é apromada por um polígono conveo descrto por

Leia mais

3 Desenvolvimento do Modelo

3 Desenvolvimento do Modelo 3 Desenvolvmento do Modelo Neste capítulo apresentaremos como está estruturado o modelo desenvolvdo nesta dssertação para otmzar o despacho de geradores dstrbuídos com o obetvo de reduzr os custos da rede

Leia mais

Responda às questões utilizando técnicas adequadas à solução de problemas de grande dimensão.

Responda às questões utilizando técnicas adequadas à solução de problemas de grande dimensão. Departamento de Produção e Sstemas Complementos de Investgação Operaconal Exame Época Normal, 1ª Chamada 11 de Janero de 2006 Responda às questões utlzando técncas adequadas à solução de problemas de grande

Leia mais

U N I V E R S I D A D E D O S A Ç O R E S D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A ARMANDO B MENDES ÁUREA SOUSA HELENA MELO SOUSA

U N I V E R S I D A D E D O S A Ç O R E S D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A ARMANDO B MENDES ÁUREA SOUSA HELENA MELO SOUSA U N I V E R S I D A D E D O S A Ç O R E S D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A CLASSIFICAÇÃO DE MONOGRAFIAS UMA PROPOSTA PARA MAIOR OBJECTIVIDADE ARMANDO B MENDES ÁUREA SOUSA HELENA MELO SOUSA

Leia mais

Algoritmos Genéticos com Parâmetros Contínuos

Algoritmos Genéticos com Parâmetros Contínuos com Parâmetros Contínuos Estéfane G. M. de Lacerda DCA/UFRN Mao/2008 Exemplo FUNÇÃO OBJETIVO : 1,0 f ( x, y) 0, 5 sen x y 0, 5 1, 0 0, 001 x 2 2 2 y 2 2 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-100 -75-50 -25 0 25 50 75

Leia mais

6 ALOCAÇÃO POR ÚLTIMA ADIÇÃO (UA)

6 ALOCAÇÃO POR ÚLTIMA ADIÇÃO (UA) ALOCAÇÃO POR ÚLTIMA ADIÇÃO (UA 7 6 ALOCAÇÃO POR ÚLTIMA ADIÇÃO (UA As desvantagens do método BM apresentadas no capítulo 5 sugerem que a alocação dos benefícos seja feta proporconalmente ao prejuízo causado

Leia mais

Jogos. Jogos. Jogo. Jogo. Óptimo alvo investigação

Jogos. Jogos. Jogo. Jogo. Óptimo alvo investigação Jogos Óptmo alvo nvestgação O seu estado é fácl de representar; As acções são bem defndas e o seu número lmtado; A presença de oponentes ntroduz ncerteza tornando o problema de decsão mas complcado. Estamos

Leia mais

2 Incerteza de medição

2 Incerteza de medição 2 Incerteza de medção Toda medção envolve ensaos, ajustes, condconamentos e a observação de ndcações em um nstrumento. Este conhecmento é utlzado para obter o valor de uma grandeza (mensurando) a partr

Leia mais

MODELOS DE REGRESSÃO PARAMÉTRICOS

MODELOS DE REGRESSÃO PARAMÉTRICOS MODELOS DE REGRESSÃO PARAMÉTRICOS Às vezes é de nteresse nclur na análse, característcas dos ndvíduos que podem estar relaconadas com o tempo de vda. Estudo de nsufcênca renal: verfcar qual o efeto da

Leia mais

Laboratório de Mecânica Aplicada I Determinação de Centros de Gravidade

Laboratório de Mecânica Aplicada I Determinação de Centros de Gravidade Laboratóro de Mecânca Aplcada I Determnação de Centros de Gravdade Em mutos problemas de mecânca o efeto do peso dos corpos é representado por um únco vector, aplcado num ponto denomnado centro de gravdade.

Leia mais

Experiência V (aulas 08 e 09) Curvas características

Experiência V (aulas 08 e 09) Curvas características Experênca (aulas 08 e 09) Curvas característcas 1. Objetvos 2. Introdução 3. Procedmento expermental 4. Análse de dados 5. Referêncas 1. Objetvos Como no expermento anteror, remos estudar a adequação de

Leia mais

Programa do Curso. Sistemas Inteligentes Aplicados. Análise e Seleção de Variáveis. Análise e Seleção de Variáveis. Carlos Hall

Programa do Curso. Sistemas Inteligentes Aplicados. Análise e Seleção de Variáveis. Análise e Seleção de Variáveis. Carlos Hall Sstemas Intelgentes Aplcados Carlos Hall Programa do Curso Lmpeza/Integração de Dados Transformação de Dados Dscretzação de Varáves Contínuas Transformação de Varáves Dscretas em Contínuas Transformação

Leia mais

Optimização com variáveis discretas

Optimização com variáveis discretas Engenhara de Processos e Sstemas Optmzação com varáves dscretas Fernando Bernardo Fev 2013 mn f ( x,, θ ) x, s. t. h( x,, θ ) = 0 g( x,, θ ) 0 x x x L U x real, {0,1} Por que necesstamos de varáves dscretas?

Leia mais

Prioridades com Teste de Escalonabilidade

Prioridades com Teste de Escalonabilidade rordades + Teste de Escalonabldade Sstemas de Tempo Real: rordades com Teste de Escalonabldade Rômulo Slva de Olvera Departamento de Automação e Sstemas DAS UFSC Cada tarefa recebe uma prordade Escalonamento

Leia mais

3 Definição automática de carregamento ótimo

3 Definição automática de carregamento ótimo 3 Defnção automátca de carregamento ótmo A formulação ncal mostrada neste capítulo fo feta por Sérgo Álvares Maffra[11] e parte da mplementação fo feta por Anderson Perera, tendo sofrdo algumas modfcações

Leia mais

Seqüenciação de N ordens de produção em uma máquina com tempo de preparação dependente da seqüência uma aplicação de busca tabu

Seqüenciação de N ordens de produção em uma máquina com tempo de preparação dependente da seqüência uma aplicação de busca tabu XXVI ENEGEP - Fortaleza, CE, Brasl, 9 a 11 de Outubro de 2006 Seqüencação de N ordens de produção em uma máquna com tempo de preparação dependente da seqüênca uma aplcação de busca tabu Renato de Olvera

Leia mais

5 Implementação Procedimento de segmentação

5 Implementação Procedimento de segmentação 5 Implementação O capítulo segunte apresenta uma batera de expermentos prátcos realzados com o objetvo de valdar o método proposto neste trabalho. O método envolve, contudo, alguns passos que podem ser

Leia mais

DIFERENCIANDO SÉRIES TEMPORAIS CAÓTICAS DE ALEATÓRIAS ATRAVÉS DAS TREND STRIPS

DIFERENCIANDO SÉRIES TEMPORAIS CAÓTICAS DE ALEATÓRIAS ATRAVÉS DAS TREND STRIPS 177 DIFERENCIANDO SÉRIES TEMPORAIS CAÓTICAS DE ALEATÓRIAS ATRAVÉS DAS TREND STRIPS Antôno Carlos da Slva Flho Un-FACEF Introdução Trend Strps (TS) são uma nova técnca de análse da dnâmca de um sstema,

Leia mais

Classificação e Pesquisa de Dados

Classificação e Pesquisa de Dados Classcação por Trocas Classcação e Pesqusa de Dados Aula 05 Classcação de dados por Troca:, ntrodução ao Qucksort UFRGS INF01124 Classcação por comparação entre pares de chaves, trocando-as de posção caso

Leia mais

Gestão e Teoria da Decisão

Gestão e Teoria da Decisão Gestão e Teora da Decsão Logístca e Gestão de Stocks Estratégas de Localzação Lcencatura em Engenhara Cvl Lcencatura em Engenhara do Terrtóro 1 Estratéga de Localzação Agenda 1. Classfcação dos problemas

Leia mais

DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS SUMÁRIO 1 Delneamentos Expermentas 2 1.1 Delneamento Interamente Casualzado..................... 2 1.2 Delneamento Blocos Casualzados (DBC).................... 3 1.3 Delneamento Quadrado Latno (DQL)......................

Leia mais

4 Discretização e Linearização

4 Discretização e Linearização 4 Dscretzação e Lnearzação Uma vez defndas as equações dferencas do problema, o passo segunte consste no processo de dscretzação e lnearzação das mesmas para que seja montado um sstema de equações algébrcas

Leia mais

Realimentação negativa em ampliadores

Realimentação negativa em ampliadores Realmentação negatva em ampladores 1 Introdução necessdade de amplfcadores com ganho estável em undades repetdoras em lnhas telefôncas levou o Eng. Harold Black à cração da técnca denomnada realmentação

Leia mais

UM ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA BI-OBJETIVO PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NÃO CAPACITADO

UM ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA BI-OBJETIVO PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NÃO CAPACITADO Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 UM ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA BI-OBJETIVO PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NÃO CAPACITADO Paula Marana dos Santos (UFV) paula-maranna@hotmal.com

Leia mais

Modelo de Alocação de Vagas Docentes

Modelo de Alocação de Vagas Docentes Reunão Comssão de Estudos de Alocação de Vagas Docentes da UFV Portara 0400/2016 de 04/05/2016 20 de mao de 2016 Comssão de Estudos das Planlhas de Alocação de Vagas e Recursos Ato nº 009/2006/PPO 19/05/2006

Leia mais

Variação ao acaso. É toda variação devida a fatores não controláveis, denominadas erro.

Variação ao acaso. É toda variação devida a fatores não controláveis, denominadas erro. Aplcação Por exemplo, se prepararmos uma área expermental com todo cudado possível e fzermos, manualmente, o planto de 100 sementes seleconadas de um mlho híbrdo, cudando para que as sementes fquem na

Leia mais

Modelo de Programação Estocástica

Modelo de Programação Estocástica Modelo de Programação Estocástca 23 2 Modelo de Programação Estocástca 2.. Concetos báscos A programação estocástca (PE) é defnda como um modelo de otmzação que apresenta um ou mas parâmetros estocástcos

Leia mais

MODELOS DE LOCALIZAÇÃO NA SELEÇÃO DE RESERVAS PARA CONSERVAÇÃO DE ESPÉCIES

MODELOS DE LOCALIZAÇÃO NA SELEÇÃO DE RESERVAS PARA CONSERVAÇÃO DE ESPÉCIES MODELOS DE LOCALIZAÇÃO NA SELEÇÃO DE RESERVAS PARA CONSERVAÇÃO DE ESPÉCIES Marcelo Gonçalves Narcso CNPTIA EMBRAPA narcso@cnpta.embrapa.br Luz Antono Noguera Lorena lorena@lac.npe.br LAC - Laboratóro Assocado

Leia mais

Radiação Térmica Processos, Propriedades e Troca de Radiação entre Superfícies (Parte 2)

Radiação Térmica Processos, Propriedades e Troca de Radiação entre Superfícies (Parte 2) Radação Térmca Processos, Propredades e Troca de Radação entre Superfíces (Parte ) Obetvo: calcular a troca por radação entre duas ou mas superfíces. Essa troca depende das geometras e orentações das superfíces,

Leia mais

Guia 11 Escalonamento de Mensagens

Guia 11 Escalonamento de Mensagens Até esta altura, temos abordado prncpalmente questões relaconadas com escalonamento de tarefas a serem executadas num únco processador. No entanto, é necessáro consderar o caso de sstemas tempo-real dstrbuídos,

Leia mais

UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR

UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR

Leia mais

4.1 Modelagem dos Resultados Considerando Sazonalização

4.1 Modelagem dos Resultados Considerando Sazonalização 30 4 METODOLOGIA 4.1 Modelagem dos Resultados Consderando Sazonalzação A sazonalzação da quantdade de energa assegurada versus a quantdade contratada unforme, em contratos de fornecmento de energa elétrca,

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear Estatístca II Antono Roque Aula 18 Regressão Lnear Quando se consderam duas varáves aleatóras ao mesmo tempo, X e Y, as técncas estatístcas aplcadas são as de regressão e correlação. As duas técncas estão

Leia mais

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um). INTRODUÇÃO À PROILIDDE teora das probabldade nada mas é do que o bom senso transformado em cálculo probabldade é o suporte para os estudos de estatístca e expermentação. Exemplos: O problema da concdênca

Leia mais

Medidas de Tendência Central. Prof.: Ademilson Teixeira

Medidas de Tendência Central. Prof.: Ademilson Teixeira Meddas de Tendênca Central Prof.: Ademlson Texera ademlson.texera@fsc.edu.br 1 Servem para descrever característcas báscas de um estudo com dados quanttatvos e comparar resultados. Meddas de Tendênca Central

Leia mais

Teoria Elementar da Probabilidade

Teoria Elementar da Probabilidade 10 Teora Elementar da Probabldade MODELOS MATEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBABILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) ALEATÓRIO - Quando o acaso nterfere na ocorrênca de um ou mas dos resultados nos quas tal processo

Leia mais

3 Método Numérico. 3.1 Discretização da Equação Diferencial

3 Método Numérico. 3.1 Discretização da Equação Diferencial 3 Método Numérco O presente capítulo apresenta a dscretação da equação dferencal para o campo de pressão e a ntegração numérca da expressão obtda anterormente para a Vscosdade Newtonana Equvalente possbltando

Leia mais

Teoremas de Otimização com Restrições de Desigualdade

Teoremas de Otimização com Restrições de Desigualdade Teoremas de Otmzação com Restrções de Desgualdade MAXIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO DE DESIGUALDADE Consdere o segunte problema (P) de maxmzação condconada: Maxmze Fx onde x x,x,...,x R gx b As condções de Prmera

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI) Introdução Seja a segunte equação derencal: d ( ) ; d para. que é reerencado com o problema do valor ncal. Essa denomnação deve-se

Leia mais

Aula Características dos sistemas de medição

Aula Características dos sistemas de medição Aula - Característcas dos sstemas de medção O comportamento funconal de um sstema de medção é descrto pelas suas característcas (parâmetros) operaconas e metrológcas. Aqu é defnda e analsada uma sére destes

Leia mais

5 Formulação para Problemas de Potencial

5 Formulação para Problemas de Potencial 48 Formulação para Problemas de Potencal O prncpal objetvo do presente capítulo é valdar a função de tensão do tpo Westergaard obtda para uma trnca com abertura polnomal (como mostrado na Fgura 9a) quando

Leia mais

Representação e Descrição de Regiões

Representação e Descrição de Regiões Depos de uma magem ter sdo segmentada em regões é necessáro representar e descrever cada regão para posteror processamento A escolha da representação de uma regão envolve a escolha dos elementos que são

Leia mais

Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005. Agenda Análse e Técncas de Algortmos Jorge Fgueredo Ordenação baseada em comparação Inserton Sort Mergesort Qucksort Ordenação em tempo lnear Análse de de Algortmos de de Ordenação Problema da Ordenação

Leia mais

Diferença entre a classificação do PIB per capita e a classificação do IDH

Diferença entre a classificação do PIB per capita e a classificação do IDH Curso Bem Estar Socal Marcelo Ner - www.fgv.br/cps Metas Socas Entre as mutas questões decorrentes da déa de se mplementar uma proposta de metas socas temos: Qual a justfcatva econômca para a exstênca

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

8 - Medidas Descritivas

8 - Medidas Descritivas 8 - Meddas Descrtvas 8. Introdução Ao descrevemos um conjunto de dados por meo de tabelas e gráfcos temos muto mas nformações sobre o comportamento de uma varável do que a própra sére orgnal de dados.

Leia mais

Modelo de programação por restrições para o problema de empacotamento ortogonal tridimensional

Modelo de programação por restrições para o problema de empacotamento ortogonal tridimensional Capítulo 5 Modelo de programação por restrções para o problema de empacotamento ortogonal trdmensonal Olvana Xaver do Nascmento 1 Llane de Azevedo Olvera 1 Thago Alves de Queroz 1 Resumo: O Problema de

Leia mais

Aprendizagem de Máquina

Aprendizagem de Máquina Plano de Aula Aprendzagem de Máquna Aprendzagem Baseada em Instâncas Alessandro L. Koerch Introdução Espaço Eucldano Aprendzagem Baseada em Instâncas (ou Modelos Baseados em Dstânca) Regra knn (k vznhos

Leia mais

Psicologia Conexionista Antonio Roque Aula 8 Modelos Conexionistas com tempo contínuo

Psicologia Conexionista Antonio Roque Aula 8 Modelos Conexionistas com tempo contínuo Modelos Conexonstas com tempo contínuo Mutos fenômenos de aprendzado assocatvo podem ser explcados por modelos em que o tempo é uma varável dscreta como nos casos vstos nas aulas anterores. Tas modelos

Leia mais

3 Algoritmo de Busca Tabu

3 Algoritmo de Busca Tabu 3 Algortmo de Busca Tabu 3.1 Introdução A forma básca do algortmo de Busca Tabu está fundamentada nas déas propostas em [Glover Laguna, 1997] e é baseado em procedmentos heurístcos que permtem explorar

Leia mais

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens O problema da superdspersão na análse de dados de contagens 1 Uma das restrções mpostas pelas dstrbuções bnomal e Posson, aplcadas usualmente na análse de dados dscretos, é que o parâmetro de dspersão

Leia mais

Capítulo 2. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHAS UNIFORMES

Capítulo 2. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHAS UNIFORMES Capítulo. Aproxmações numércas 1D em malhas unformes 9 Capítulo. AROXIMAÇÕS NUMÉRICAS 1D M MALHAS UNIFORMS O prncípo fundamental do método das dferenças fntas (MDF é aproxmar através de expressões algébrcas

Leia mais

5 Métodos de cálculo do limite de retenção em função da ruína e do capital inicial

5 Métodos de cálculo do limite de retenção em função da ruína e do capital inicial 5 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Nesta dssertação serão utlzados dos métodos comparatvos de cálculo de lmte de retenção, onde ambos consderam a necessdade de

Leia mais

6 Modelo Proposto Introdução

6 Modelo Proposto Introdução 6 Modelo Proposto 6.1. Introdução Neste capítulo serão apresentados detalhes do modelo proposto nesta dssertação de mestrado, onde será utlzado um modelo híbrdo para se obter prevsão de carga curto prazo

Leia mais

3.2. Solução livre de ciclos e solução como uma árvore geradora

3.2. Solução livre de ciclos e solução como uma árvore geradora Smplex Para Redes.. Noções Incas O algortmo Smplex para Redes pode ser entenddo como uma especalzação do método Smplex para aplcação em problemas de programação lnear do tpo fluxo de custo mínmo. O Smplex

Leia mais

Chapter 9 Location INTRODUÇÃO. Localização de Instalações. Problemas de comunicação

Chapter 9 Location INTRODUÇÃO. Localização de Instalações.  Problemas de comunicação Chapter 9 Locaton Localzação de Instalações Problemas de comuncação http://www.youtube.com/watch?v=h_qnu4rwlvu INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Analsar padrões de localzação pode ser nteressante Porque a Whte Castle,

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso de Admnstração em Gestão Públca Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos uns dos

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso Superor de tecnólogo em Gestão Ambental Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos

Leia mais

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens O problema da superdspersão na análse de dados de contagens 1 Uma das restrções mpostas pelas dstrbuções bnomal e Posson, aplcadas usualmente na análse de dados dscretos, é que o parâmetro de dspersão

Leia mais

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Constata-se, freqüentemente, a estênca de uma relação entre duas (ou mas) varáves. Se tal relação é de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr

Leia mais

Estudos de Problemas de Dimensionamento de Lotes Monoestágio com Restrição de Capacidade. Orientador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales

Estudos de Problemas de Dimensionamento de Lotes Monoestágio com Restrição de Capacidade. Orientador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales Estudos de Problemas de Dmensonamento de Lotes Monoestágo com Restrção de Capacdade Slvo Alexandre de Araujo Orentador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales Dssertação apresentada ao Insttuto de Cêncas Matemátcas

Leia mais

Eletrotécnica AULA Nº 1 Introdução

Eletrotécnica AULA Nº 1 Introdução Eletrotécnca UL Nº Introdução INTRODUÇÃO PRODUÇÃO DE ENERGI ELÉTRIC GERDOR ESTÇÃO ELEVDOR Lnha de Transmssão ESTÇÃO IXDOR Equpamentos Elétrcos Crcuto Elétrco: camnho percorrdo por uma corrente elétrca

Leia mais

2 Metodologia de Medição de Riscos para Projetos

2 Metodologia de Medição de Riscos para Projetos 2 Metodologa de Medção de Rscos para Projetos Neste capítulo remos aplcar os concetos apresentados na seção 1.1 ao ambente de projetos. Um projeto, por defnção, é um empreendmento com metas de prazo, margem

Leia mais

A RELAXAÇÃO LAGRANGEANA/SURROGATE E O MÉTODO DE GERAÇÃO DE COLUNAS: NOVOS LIMITANTES E NOVAS COLUNAS

A RELAXAÇÃO LAGRANGEANA/SURROGATE E O MÉTODO DE GERAÇÃO DE COLUNAS: NOVOS LIMITANTES E NOVAS COLUNAS A RELAXAÇÃO LAGRANGEANA/SURROGATE E O MÉTODO DE GERAÇÃO DE COLUNAS: NOVOS LIMITANTES E NOVAS COLUNAS Luz A. N. Lorena* Laboratóro Assocado de Computação e Matemátca Aplcada LAC Insttuto Naconal de Pesqusas

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

Eventos coletivamente exaustivos: A união dos eventos é o espaço amostral.

Eventos coletivamente exaustivos: A união dos eventos é o espaço amostral. DEFINIÇÕES ADICIONAIS: PROBABILIDADE Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os possíves resultados de um expermento. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Evento combnado: Possu duas ou

Leia mais

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16%

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16% Análse de Rsco 1 RISCO Rsco possbldade de perda. Quanto maor a possbldade, maor o rsco. Exemplo: Empresa X va receber $ 1.000 de uros em 30 das com títulos do governo. A empresa Y pode receber entre $

Leia mais

Implementação Bayesiana

Implementação Bayesiana Implementação Bayesana Defnção 1 O perfl de estratégas s.) = s 1.),..., s I.)) é um equlíbro Nash-Bayesano do mecansmo Γ = S 1,..., S I, g.)) se, para todo e todo θ Θ, u gs θ ), s θ )), θ ) θ Eθ u gŝ,

Leia mais

Palavras-Chave: Métodos Interativos da Potência e Inverso, Sistemas Lineares, Autovetores e Autovalores.

Palavras-Chave: Métodos Interativos da Potência e Inverso, Sistemas Lineares, Autovetores e Autovalores. MSc leandre Estáco Féo ssocação Educaconal Dom Bosco - Faculdade de Engenhara de Resende Caa Postal 8.698/87 - CEP 75-97 - Resende - RJ Brasl Professor e Doutorando de Engenhara aefeo@yahoo.com.br Resumo

Leia mais

Associação entre duas variáveis quantitativas

Associação entre duas variáveis quantitativas Exemplo O departamento de RH de uma empresa deseja avalar a efcáca dos testes aplcados para a seleção de funconáros. Para tanto, fo sorteada uma amostra aleatóra de 50 funconáros que fazem parte da empresa

Leia mais

SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES XXXIV SBPO SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Ro de Janero/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES UM MÉTODO EXATO BASEADO EM RELAXAÇÃO LAGRANGIANA PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO

Leia mais