TÓPICO 4 TEORIA BÁSICA DAS SÉRIES DE FOURIER

Save this PDF as:
Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "TÓPICO 4 TEORIA BÁSICA DAS SÉRIES DE FOURIER"

Transcrição

1 TÓPICO 4 TEORIA BÁSICA DAS SÉRIES DE FOURIER EMANUEL CARNEIRO 1. Séries de Fourier: Teori básic L 1 -L 2 Estudremos neste tópico representção de funções periódics em R n como limite de polinômios trigonométricos (séries de Fourier). Diremos que um função f : R n C { } é periódic (módulo o reticuldo Λ = Z n ) se f(x + m) = f(x), pr x R n e m Z n. Funções periódics em R n podem ser identificds então com funções definids no espço métrico compcto = R n /Z n (toro n- dimensionl). Um conjunto D R n é dito ser um domínio fundmentl (ou período fundmentl) se cd ponto de R n tem extmente um trnslddo (com respeito Z n ) em D. Clrmente, um função periódic em R n é totlmente determind por su restrição um domínio fundmentl. N mior prte dos csos será conveniente utilizrmos o cubo Q n = {x R n ; 1/2 x < 1/2} como nosso domínio fundmentl, e ssim identificmos mensurbilidde e integrção no toro, com mensurbilidde e integrção no cubo Q n com respeito à medid de Lebesgue, pondo f(x) dx := f(x) dx. Q n Dest form ficm bem definidos os espços L p ( ) e C j ( ) (funções em Q n cuj extensão periódic R n é de clsse C j ). Se f L 1 ( ) definimos o seu k-ésimo coeficiente de Fourier (k Z n ) por f(k) = f(x) e 2πik x dx. Um notção lterntiv pode ser Ff(k) = f(k). Nosso objetivo neste tópico é entender qundo podemos expressr um função periódic f como superposição de onds básics e 2πim x, i.e. f(x) = n m e 2πim x. (1.1) Formlmente, se multiplicrmos (1.1) por e 2πik x e integrrmos em um período Q n (utilizndo ortonormlidde do sistem {e 2πik x ; k Z n }), teremos k = f(k), e Dte: 1 de bril de Mthemtics Subject Clssifiction. XX-XXX. Key words nd phrses. XXX-XXX. 1

2 2 EMANUEL CARNEIRO portnto gostrímos de sber qundo (e como) vle iguldde f(x) = k Z n f(k) e 2πik x. (1.2) A priori, nd sbemos sobre convergênci do ldo direito de (1.2). Portnto, neste primeiro momento, limitmo-nos definir (pens formlmente) série de Fourier S[f] de um função f L 1 ( ) por S[f] = k Z n f(k) e 2πik x. Assim como no cso R n, definimos convolução de dus funções periódics f e g como sendo um nov função periódic f g dd por f g(x) = f(x y) g(y) dy. Note que convolução de dus funções periódics stisfz s mesms proprieddes básics d convolução em R n (simetri, ssocitividde, efeito suviznte, desiguldde de Young). Noss primeir proposição colecion um série de proprieddes básics d trnsformd de Fourier no contexto periódico. Proposição 1. Abixo considermos k Z n, e f, g funções periódics. (i) F : L 1 ( ) l (Z n ) é liner e limitdo, com f l (Z n ) f L 1 ( ). (ii) f L 1 ( 2πik y ) temos (τ y f) (k)e f(k). (iii) Se f C j ( ) temos α f(k) = (2πik) α f(k), onde α = (α 1, α 2,..., α n ) com α = i α i j. (iv) Se f, g L 1 ( ) temos f g(k) = f(k) ĝ(k). (v) (Lem de Riemnn-Lebesgue) Se f L 1 ( ) então Prov. Exercício. lim f(k) = 0. k Pssemos gor investigr o problem d inversão de Fourier qundo f l 1 (Z n ). neste cso série de Fourier S[f] definirá um função contínu, que espermos ser igul f q.t.p. A próxim proposição colecion os ftos importntes reltivos este contexto. Um função periódic f é dit ser um polinômio trigonométrico se f(x) = n m e 2πim x, onde som é finit (i.e. pens um quntidde finit de m 0). Proposição 2.. (i) O espço dos polinômios trigonométricos é denso em C( ) e em L p ( ), pr 1 p <.

3 SÉRIES DE FOURIER 3 (ii) Se f L 1 ( ) é tl que f(k) = 0 pr k Z n, então f = 0 q.t.p. em. (iii) Se f L 1 ( ) e f l 1 (Z n ) então f(x) = k Z n f(k) e 2πik x (1.3) pr quse todo ponto x. Em prticulr f pode ser modificd em um conjunto de medid nul de modo que f C( ) e (1.3) vlh em todo ponto. Prov. (i) O espço dos polinômios trigonométricos é um álgebr em C( ) (subespço vetoril munido d operção de multiplicção de funções), que sepr pontos (i.e. ddos x, y existe um polinômio trigonométrico P tl que P (x) P (y)), que contém s funções constntes e é fechdo com relção à conjugção complex. Pelo Teorem de Stone-Weierstrss (vide por exemplo [2, Seção 4.7]) concluímos que os polinômios trigonométricos são densos em C( ). Como s funções contínus são denss em L p ( ), pr 1 p < (verifique!), os polinômios trigonométricos tmbém são densos em L p ( ), pr 1 p <. (ii) Se f L 1 ( ) é tl que f(k) = f(x) e 2πik x dx = 0 pr todo k Z n, então temos f(x) P (x) dx = 0 pr qulquer polinômio trigonométrico P (x). Pel densidde provd no item (i), concluímos que f(x) g(x) dx = 0 pr qulquer g C( ), e dí pr qulquer g d form g(x) = 1 m(b χ r) B r (x y) (verifique!). Pelo Teorem d Diferencição de Lebesgue temos f = 0 q.t.p. (iii) Note que se f l 1 (Z n ) função g(x) = f(k) k Z e 2πik x é um função n contínu (como limite uniforme de funções contínus), e tl que ĝ(k) = f(k). Portnto (f g) L 1 ( ) com (f g) (k) = 0 pr k Z n. Pelo item (ii) concluímos que f = g em quse todo ponto x. Assim como fizemos no cso R n pssemos gor investigr o que ocorre se f L 2 ( ). No cso do toro, observe que L 1 ( ) L 2 ( ) L ( ). Teorem 3 (Plncherel). Sej f L 2 ( ). Então f l 2 (Z n ) e vle f L2 ( ) = f l2 (Z n ). De fto, o mp F : L 2 ( ) l 2 (Z n ) é unitário (isométrico e sobrejetivo). Prov. Ddo f L 2 ( ), pr N > 0 definimos S N f(x) = f(k) e 2πik x. k N

4 4 EMANUEL CARNEIRO Usndo o fto que sistem {e 2πik x ; k Z n } é ortonorml, vemos que S N é projeção de f sobre o subespço vetoril de dimensão finit formdo pelos polinômios trigonométricos de gru menor ou igul N (nesse contexto indicndo que k N, onde k é norm do vetor k Z n ). Pel Proposição 2 (i), já sbemos que f pode ser proximd em L 2 ( ) por polinômios trigonométricos, e portnto devemos ter Dí lim f S N L N 2 ( ) = 0. (1.4) f L2 ( ) = lim N S N L2 ( ) = f l 2 (Z n ), donde concluímos que F : L 2 ( ) l 2 (Z n ) é um isometri. sobrejetividde, tome { k } l 2 (Z n ) e defin s N : C por s N = k e 2πik x. k N É fácil ver que {s N } é um sequenci de Cuchy em L 2 ( ), um vez que s N s M L 2 ( ) = 1/2 k 2, N< k M Pr provr pr N < M. Dí s N g em L 2 ( ) qundo N. Observe gor que ŝ N (k) = s N (x) e 2πik x dx = k pr k N, donde segue portnto que ĝ(k) = g(x) e 2πik x dx = k. O resultdo seguinte nos dá um condição suficiente (em termos de f) pr que f l 1 (Z n ), vlendo portnto inversão de Fourier pontulmente q.t.p. Proposição 4. Suponh que f C j ( ) pr j > n/2. Então f l 1 (Z n ) e vle inversão de Fourier como em (1.3). Prov. A idéi qui é explorr o fto que diferencibilidde em f implic em decimento em f como presentdo n Proposição 1 (iii). Sbemos então que se α = (α 1,..., α n ) é um multi-índice com i α i = j então α f(k) = (2πik) α f(k), onde k = (k 1,..., k n ) e k α = k α1 1 kα kαn n (com convenção 0 0 = 1). Denotmos qui por k norm do vetor k Z n (não confundir com notção usul pr α = i α i = j, que estmos evitndo momentnemente qui). Como α f C( ) podemos plicr o Teorem de Plncherel pr cd α, e depois somr obtendo { α k Z n f(k) 2 (2πk) α 2 } <. (1.5)

5 SÉRIES DE FOURIER 5 onde som extern percorre todos os multi-índices α = (α 1,..., α n ) com i α i = j. Agor observe que existe um constnte C = C(n, j) tl que (2πk) α 2 C k 2j. α Portnto, pel desiguldde de Cuchy-Schwrz temos f(k) [ f(k) ] 1/2 (2πk) α 2 C 1/2 k j k >0 k >0 α f(k) 2 α <, k >0 por (1.5) e pelo fto que j > n/2. 1/2 (2πk) α 2 k >0 2. A fórmul d som de Poisson k 2j 1/2 C 1/2 Nest seção presentmos o mecnismo que relcion teori d trnsformd de Fourier no cso R n com su versão periódic: chmd fórmul d som de Poisson. Deixndo de ldo por um momento questões de convergênci, dd um função f : R n C, considermos su periodizção dd por F (x) = n f(x + m). (2.1) Pr que o ldo direito de (2.1) fç sentido pontulmente (ou pelo menos q.t.p.) precismos ter lgum decimento em f. De fto, se f L 1 (R n ), temos que F (x) dx = f(x + m) Q n dx f(x + m) dx n Q n n = f(x + m) dx = f(y) dy (2.2) n Q n n Q n+m = f(y) dy. R n Portnto, se f L 1 (R n ) o cálculo cim mostr que F L 1 ( ), e então som (2.1) é bsolutmente convergente em quse todo ponto x. Podemos então clculr os coeficientes de Fourier d função periódic F, sber ( ) F (k) = F (x) e 2πik x dx = f(x + m) e 2πik x dx Q n n = f(x + m) e 2πik x dx = f(y) e 2πik y dy n Q n n Q n+m = f(y) e 2πik y dy = f(k), R n onde troc entre integrl e som é justificd por (2.2). Temos portnto que S[F ](x) = f(k) e 2πik x. k Z n

6 6 EMANUEL CARNEIRO Cso f e f tenhm um decimento bem controldo (não pens no sentido integrl L 1, ms digmos em um sentido pontul) poderemos estbelecer convergênci em todo ponto. Teorem 5 (Fórmul d som de Poisson). Suponh que f e f stisfçm s estimtivs pontuis f(x) C (1 + x ) n+ε e f(ξ) C, (2.3) (1 + ξ ) n+ε pr lgum C > 0 e lgum ε > 0 (portnto podemos ssumir f e f contínus pel inversão de Fourier). Então identidde f(x + m) = f(k) e 2πik x n k Z n é válid pr qulquer ponto x. Em prticulr f(m) = f(k). n Prov. Por (2.3) s soms prciis S N = m N k Z n f(x + m) convergem uniformemente pr x Q n e portnto F (x) = n f(x + m) define um função contínu em. Aind por (2.3) temos que { F (k)} = { f(k)} k Z n l 1 (Z n ), e o resultdo segue portnto d Proposição 2 (iii). 3. Convergênci de séries de Fourier Nest seção investigremos mis fundo questão d convergênci d série de Fourier S[f](x) = k Z n f(k) e 2πik x, onde f L 1 ( ). Já vimos que se f l 1 (Z n ), temos S[f](x) = f(x) q.t.p. Nos csos onde f / l 1 (Z n ), deveremos introduzir um certo núcleo pr forçr o decimento, e prtir dí continur nálise d convergênci nesse novo contexto. Em outrs plvrs, estudremos qui o limite lim Φ(εk) f(k) e 2πik x, (3.1) ε 0 k Z n onde Φ é um cert função contínu (com bom decimento) tl que Φ(0) = 1. Um procedimento similr já foi dotdo no cso R n, onde vimos conexão deste método com teori de proximções d identidde. Motivdos tmbém pel descrição d Fórmul d som de Poisson n seção nterior, considerremos qui um função Φ tl que Φ(y) = ϕ(y) com ϕ(x) dx = 1, (3.2) R n

7 SÉRIES DE FOURIER 7 e lém disso vmos supor que mbs s funções possuem bom decimento ϕ(x) pr lgum C > 0 e lgum δ > 0. C C (1 + x ) n+δ e Φ(y), (3.3) (1 + y ) n+δ Teorem 6. Suponh que Φ stisfç s condições (3.2) e (3.3) cim. Sej f L p ( ) e S[f](x) = k Z n f(k) e 2πik x. Então temos (i) Se 1 p <, o limite (3.1) converge pr f n norm L p ( ). (ii) Se f C( ), o limite (3.1) converge pr f uniformemente. (iii) Se f L 1 ( ), o limite (3.1) converge pontulmente pr f em cd ponto de Lebesgue de f. Prov. Assim como n teori de proximções d identidde, escreveremos ϕ ε (x) := ε n ϕ(x/ε), e denotremos Φ ε (y) := Φ(εy). Observe que ϕ ε = Φ ε. Além disso, fixdo ε > 0, por (3.3), s funções ϕ ε e Φ ε stisfzem s condições do Teorem 5 pr que vlh Fórmul d som de Poisson pontulmente: ϕ ε (x + m) = Φ(εk) e 2πik x. n k Z n Denotndo periodizção de ϕ ε por K ε (x) = n ϕ ε (x + m), vemos que K ε é um função contínu em. Dí f K ε C( ) e vle inversão de Fourier pontulmente f K ε (x) = k Z n Φ(εk) f(k) e 2πik x. Note ind que K ε (x) dx e lém disso Q n ϕ ε (x + m) = n ϕ ε (x) dx = R n ϕ(x) dx, R n (3.4) K ε (x) dx = ϕ(x) dx = 1. R n (3.5) Podemos concluir os itens (i) e (ii) por dois rgumentos diferentes. Primeiro, podemos explorr (3.5) e o fto que ddo η > 0, se denotmos B η bol de centro n origem e rio η, temos lim K ε (x) dx = 0. ε 0 Q n B η pr reproduzir o rgumento utilizdo n teori L p ds proximções d identidde. Alterntivmente, por (3.4) e pel desiguldde de Young temos e com isso vemos que o operdor T ε : f f K ε Lp ( ) f Lp ( ) K ε L1 ( ), (3.6) k Z n Φ(εk) f(k) e 2πik x

8 8 EMANUEL CARNEIRO é uniformemente limitdo de L p ( ) de L p ( ). Por (3.2) sbemos ind que, pr k Z n, vle lim Φ(εk) = 1. ε 0 Portnto, se f for um polinômio trigonométrico, temos que T ε f f uniformemente qundo ε 0. Cso f C( ) ou f L p ( ), podemos proximr f por polinômios trigonométricos e, utilizndo limitção uniforme (em ε) dd por (3.6), concluímos s prtes (i) e (ii). Pr prte (iii), pens trnsldndo f podemos supor que o ponto de Lebesgue considerdo é o ponto x = 0 Q n. Provemos então que f K ε (0) f(0) qundo ε 0. Pr isso observe que ( ) f K ε (0) = f( x) K ε (x) dx = f( x) ϕ ε (x + m) dx Q n Q n n = f( x) ϕ ε (x) dx + f( x) ϕ ε (x + m) dx Q n Q n := A ε + B ε. Note que por (3.3) temos ϕ ε (x + m) 1 ε n pr x Q n e m Z n /{0}. Dí m >0 ϕ ε (x + m) Cε δ m >0 C ( 1 + x+m ε ) n+δ m >0 1 Cεδ x + m n+δ m >0 Cε δ x + m n+δ, 1 ( m 1 2 ) n+δ = C 1 ε δ, e com isso concluímos que B ε 0 qundo ε 0. Pr bordr A ε definimos Note então que A ε = R n f(x) = { f(x), se x Qn ; 0, se x / Q n. f( x) ϕε (x) dx = f ϕ ε (0) f(0) = f(0), qundo ε 0, pelo teorem d convergênci pontul pr proximções d identidde. Isso conclui prov. Dois exemplos que podemos considerr qui são: (i) Φ(y) = e 2π y que dá origem sombilidde no sentido de Poisson (ou Abel-Poisson); (ii) Φ(y) = e π y 2 que nos dá sombilidde no sentido de Guss-Weierstrss.

9 SÉRIES DE FOURIER 9 4. Convergênci no cso n = 1 Nest seção presentmos um refinmento do resultdo de convergênci pontul no cso de dimensão n = 1. Pels Proposições 1 e 4 sbemos que se f C 1 (T), então s soms prciis de su série de Fourier convergem pr f em todo ponto. Vmos enfrquecer ess hipótese pr f de vrição limitd. Apens recordndo notção, pr f L 1 (T), definimos N-ésim som prcil de su série de Fourier como N N 1 S N f(x) = f(k) e 2πikx = f(y) e 2πik(x y) dy = N 1 0 f(y) N 0 N e 2πik(x y) dy = f D N (x), N onde D N é o núcleo de Dirichlet ddo por D N (x) = N e 2πikx = N sin (2N + 1)πx. sin πx Teorem 7. Sej f um função de vrição limitd em T (i.e. periódic em R, com vrição limitd em [ 1/2, 1/2]), então lim S Nf(x) = 1 ( f(x + ) + f(x ) ), N 2 um função pr todo x T. Em prticulr convergênci se dá em todo ponto de continuidde de f. Fremos o uso de dois lems pr prov deste resultdo. Lem 8. Sejm Φ e ψ dus funções reis no intervlo finito [, b]. Suponh que Φ é monóton e limitd em [, b] e ψ é contínu em [, b]. Então existe y [, b] tl que b y b Φ(x) ψ(x) dx = Φ() ψ(x) dx + Φ(b) ψ(x) dx. y Prov. Note que se dicionmos um constnte C à função Φ o resultdo fic inlterdo, e portnto podemos supor que Φ() = 0. Assum tmbém que Φ é não-decrescente (cso contrário considere Φ). Defin Ψ(x) = b x ψ(t) dt. Deste modo temos Ψ (x) = ψ(x) e usndo integrção por prtes temos b Φ(x) ψ(x) dx = [ Φ(x)Ψ(x) ] b b + Ψ(x) dφ(x). Como Φ é não-decrescente e b dφ(x) = Φ(b) Φ() = Φ(b), se m e M são o mínimo e o máximo, respectivmente, de Ψ em [, b] temos m Φ(b) b Ψ(x) dφ(x) M Φ(b).

10 10 EMANUEL CARNEIRO Como Ψ é contínu, pelo teorem d vlor intermediário, existe y [, b] tl que e isso conclui prov. b Ψ(x) dφ(x) = Ψ(y)Φ(b), Lem 9. Existe um constnte C > 0 tl que pr cd N 0 e qulquer [, b] [ 1/2, 1/2] temos b D N (x) dx C. Além disso temos Prov. Note que b D N (x) dx = b 0 1/2 D N (x) dx = sin (2N + 1)πx πx dx + 1/2 0 b D N (x) dx = 1 2. sin ( (2N + 1)πx ) { 1 sin πx 1 } dx πx Como { 1 sin πx πx} 1 é limitdo em [ 1/2, 1/2] segund integrl cim é bsolutmente limitd. Por outro ldo, com mudnç de vriável y = (2N + 1)πx temos b sin (2N + 1)πx πx dx = (2N+1)πb (2N+1)π sin y πy dy = 1 π { Si (2N + 1)πb Si (2N + 1)π }, onde x sin y Si(x) = dy. 0 y Sbemos que Si(x) é um função contínu que tende ±π/2 qundo x ±, e portnto Si(x) é limitd. Isso conclui prov d primeir firmção. Pr segund firmção note que 1/2 N 1/2 D N (x) dx = e 2πikx dx = 1, 1/2 e que D N é um função pr. N Prov do Teorem 7. Começmos por fzer lgums reduções: (i) Assum x = 0 (trnslção); (ii) Assum f tomndo vlores reis (considere prte rel e prte imginári seprdmente); (iii) Assum f contínu pel direit (i.e. f(x) = f(x + )). Sendo ssim, no intervlo [ 1/2, 1/2) podemos escrever f = g h onde g e h são funções não-decrescentes e contínus pel direit. Pr isso tome g(x) = 1 { V f[ 1/2,x] + f(x) } 2 e 1/2 h(x) = 1 2 { V f[ 1/2,x] f(x) }.

11 SÉRIES DE FOURIER 11 Podemos estender esss funções R por periodicidde. É suficiente provrmos o resultdo pr g (pois o mesmo rgumento se plic h). Devemos então verificr que S N g(0) 1 2 { g(0 + ) + g(0 ) }, qundo N. Pelo Lem 9, como D N é pr temos S N g(0) 1 { g(0 + ) + g(0 ) } = g D N (0) 1 { g(0 + ) + g(0 ) } 2 2 1/2 [ = g(x) g(0 + ) ] 0 [ D N (x) dx + g(x) g(0 ) ] D N (x) dx. 0 := I 1 + I 2. 1/2 Mostrremos que integrl I 1 tende zero qundo N. Um rgumento similr mostr o mesmo pr I 2 e o resultdo fic provdo. De fto, ddo ε > 0, escolh δ > 0 suficientemente pequeno tl que g(δ) g(0 + ) < ε C, onde C é dd pelo Lem 9. Agor, pelo Lem 8 existe η [0, δ] tl que δ [ g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx = [ g(δ) g(0 + ) ] δ D N (x) dx < ε. 0 Por outro ldo 1/2 δ [ g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx = ĝ + ( N) ĝ (N), onde g ± são s funções periódics dds por η [ g(x) g(0 + ) ] e ±πix g ± (x) = 2i sin πx pr x [ 1/2, 1/2). Isso segue do fto que χ [δ,1/2) (x), D N (x) = eπix(2n+1) e πix(2n+1) e πix e πix. Observe que g ± L 1 (T), logo pelo Lem de Riemnn-Lebesgue temos ĝ ± (±N) 0 qundo N e portnto 1/2 [ lim sup g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx N < ε. 0 Como ε > 0 é rbitrário, concluímos prov. Diremos que um função de vrição limitd é normlizd se f(x) = 1 { f(x + ) + f(x ) } 2 pr todo x R.

12 12 EMANUEL CARNEIRO Teorem 10 (Fórmul d som de Poisson cso n = 1). Sej f L 1 (R) um função normlizd de vrição limitd. Então vle f(k) e 2πikx pr todo ponto x R. f(x + m) = k Z Prov. Sej F (x) = f(x + m). Sbemos que F L1 (T), pois f L 1 (R). Sej x 0 [ 1/2, 1/2) um ponto onde som é bsolutmente convergente (em prticulr F (x 0 ) < ). Pr qulquer outro ponto x [ 1/2, 1/2), digmos x > x 0, diferenç f(x + m) f(x 0 + m) é menor ou igul à vrição de f no intervlo [x 0 + m, x + m], e som destes incrementos é portnto menor ou igul à vrição totl de f. Portnto f(x + m) f(x 0 + m) + f(x + m) f(x 0 + m) f(x 0 + m) + V f <, donde concluímos que som é bsolutmente convergente pr todo x T. Note gor que, pr qulquer prtição 1/2 = 0 < 1 <... < k = 1/2, temos k k { F ( i ) F ( i 1 ) = f(i + m) f( i 1 + m) } i=1 i=1 i=1 k f(i + m) f( i 1 + m) V f, e portnto F tem vrição limitd. Finlmente, como f é normlizd, temos pr cd ponto x [ 1/2, 1/2) 1 { } 1 { } lim F (x + ε) + F (x ε) = lim f(x + ε + m) f(x ε + m) ε 0 2 ε 0 2 = 1 2 lim { } f(x + ε + m) f(x ε + m) ε 0 = f(x + m) = F (x), onde usmos o teorem d convergênci domind pr pssr o limite dentro visto que, se ε < 1/2, temos f(x + ε + m) f(x + m) + V f [x+m,x+m+1/2] e f(x ε + m) f(x + m) + V f [x+m 1/2,x+m]. Portnto F é normlizd e o resultdo segue do Teorem 7. Referêncis [1] W. Beckner, Inequlities in Fourier Anlysis, Ann. Mth. 102 (1975), [2] G. B. Follnd, Rel Anlysis: Modern Techniques nd their Applictions, John Wiley nd Sons Inc., [3] L. Grfkos, Clssicl nd Modern Fourier Anlysis, Person Eduction Inc., 2004.

13 SÉRIES DE FOURIER 13 [4] E. H. Lieb nd M. Loss, Anlysis, Grdute Studies in Mthemtics, Volume 14, 2nd edition, Americn Mthemticl Society, [5] E. M. Stein, Singulr Integrls nd Differentibility Properties of Functions, Princeton University Press, [6] E. M. Stein, Hrmonic Anlysis, Princeton University Press, [7] E. M. Stein nd G. Weiss Introduction to Fourier Anlysis on Eucliden spces, Princeton University Press, [8] E. M. Stein nd R. Shkrchi, Rel Anlysis: Mesure theory, Integrtion nd Hilbert Spces, Princeton Lecture Series in Anlysis III, Princeton University Press, [9] R. L. Wheeden nd A. Zygmund, Mesure nd Integrl, Monogrphs nd textbooks in pure nd pplied mthemtics, Mrcel Dekker, Inc., New York, [10] A. Zygmund, Trigonometric Series, Vol II, Cmbridge University Press, IMPA - Estrd Don Cstorin, 110, Rio de Jneiro, RJ, Brzil E-mil ddress:

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos.

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos. LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 PO: PEDO T P LOPES WWWIMEUSPB/ PPLOPES/DISTIBUICOES Os eercícios seguir form seleciondos do livro do Duistermt e Kolk denotdo por

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

1 A Integral de Riemann

1 A Integral de Riemann Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d

Leia mais

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que 2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

Lista 9 de Análise Funcional - Doutorado 2018

Lista 9 de Análise Funcional - Doutorado 2018 List 9 de Análise Funcionl - Doutordo 2018 Professor Mrcos Lendro 2 de Julho de 2018 1. Prove que o operdor T : l p l p, 1 p

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Cálculo de Limites. Sumário

Cálculo de Limites. Sumário 6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

1 Integral de Riemann-Sieltjes

1 Integral de Riemann-Sieltjes Cálulo Avnçdo - 2009 Referêni: Brtle, R. G. The Elements of Rel Anlysis, Seond Edition, Wiley. 1 Integrl de Riemnn-Sieltjes 1.1 Definição No que segue vmos onsiderr f e g funções reis definids em J = [,

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2

Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2 Introdução o Cálculo Numérico 25 List de Exercícios 2 Observção importnte: Resolv o proplem pr o di d prov com função f(x) = cos(πx/2) e não com f(x) = sin(πx)! Problem 1. Sejm {x i, y i } n i= números

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

1 Definição de integral (definida) de Riemann

1 Definição de integral (definida) de Riemann 1 Definição de integrl (definid) de Riemnn Sej seguir sempre f : [, b] R limitd (com [, b] limitdo); logo existem m, M tis que m f(x) M. Definição: chmmos Prtição de [, b] um conjunto finito de pontos

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Cálculo 1 - Cálculo Integral Teorema Fundamental do Cálculo

Cálculo 1 - Cálculo Integral Teorema Fundamental do Cálculo Cálulo 1 - Cálulo Integrl Teorem Fundmentl do Cálulo Prof. Fbio Silv Botelho November 17, 2017 1 Resultdos Preliminres Theorem 1.1. Sej f : [,b] R um função ontínu em [,b] e derivável em (,b). Suponh que

Leia mais

INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO

INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO INTRODUÇÃO A MEDIDA E INTEGRAÇÃO Prof. Ktrin Gelfert Nots de curso IM-UFRJ 2018-2 Conteúdo 1. Prelude 1 1.1. Integrção vs. diferencição 1 1.2. Limites de funções contínus 2 1.3. Séries de Fourier 2 1.4.

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

1 Conjuntos Finitos e Infinitos

1 Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Finitos e Infinitos. Números Nturis Definição O conjunto N dos nturis é tl que Existe s : N N injetiv tl que Im (s) = N {}; } X N X = N s (X) X Teorem 2 (Princípio d Bo Ordenção) } A N A possui

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ Tópicos Especiis de Mtemátic Aplicd Márleson Rôndiner dos Sntos Ferreir mrleson p@yhoo.com.br Unifp-AP 23/junho/2010 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Prof. Dr. Maurício Zahn UFPel. Análise real II

Prof. Dr. Maurício Zahn UFPel. Análise real II Prof. Dr. Murício Zhn UFPel Análise rel II texto de mensgem... Dedicmos este trblho... Prefácio Este mteril foi elbordo durnte o Segundo Semestre letivo de 2016, pr tender Disciplin de Análise Rel II

Leia mais

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 1 Contents Cálculo em Computdores 2006 Integris de funções de dus vriáveis 1 Áres no plno 2 1.1 exercícios...............................................

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Integral de Kurzweil para funções a valores em um espaço de Riesz - uma introdução. Giselle Antunes Monteiro

Integral de Kurzweil para funções a valores em um espaço de Riesz - uma introdução. Giselle Antunes Monteiro Integrl de Kurzweil pr funções vlores em um espço de Riesz - um introdução Giselle Antunes Monteiro DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PARA OBTENÇÃO

Leia mais

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i = Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess

Leia mais

Mudança de variável na integral dupla

Mudança de variável na integral dupla UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 6 Assunto: Mudnç de Vriável n Integrl Dupl Plvrs-chves: mudnç de vriável, integris dupls, jcobino Mudnç de vriável n integrl dupl Vmos ntes

Leia mais

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.

Quadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS. Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

MINICURSO: O PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

MINICURSO: O PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE II Colóquio de Mtemátic d Região Sul Universidde Estdul de Londrin 24 28 de bril, 212 MINICURSO: O PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE Albo Crlos Cvlheiro Deprtmento de Mtemátic Universidde Estdul de Londrin 212

Leia mais

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1 Instituto Superior Técnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-ALAMEDA o SEM. 7/8 6 FICHA DE EXERCÍCIOS I. Treino Complementr de Primitivs. CÁLCULO INTEGRAL

Leia mais

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

Fundamentos da Eletrostática Aula 08. O Potencial Elétrico. O Potencial Elétrico

Fundamentos da Eletrostática Aula 08. O Potencial Elétrico. O Potencial Elétrico O Potencil Elétrico Fundmentos d Eletrostátic Aul 8 O Potencil Elétrico Prof Alex G Dis Prof Alysson F Ferrri Imgine ue desejmos mover um crg teste de um ponto té um ponto b em um região do espço onde

Leia mais

Termodinâmica e Estrutura da Matéria 2013/14

Termodinâmica e Estrutura da Matéria 2013/14 Termodinâmic e Estrutur d Mtéri 3/4 (LMAC, MEFT, MEBiom Responsável: João P Bizrro Prátics: Edurdo Cstro e ítor Crdoso Deprtmento de Físic, Instituto Superior Técnico Resolução de exercícios propostos

Leia mais

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão Seção 20: Equção de Lplce Notção. Se u = u(x, y) é um função de dus vriáveis, representmos por u, ou ind, por 2 u expressão u = 2 u = u xx + u yy, chmd de lplcino de u. No cso de função de três vriáveis,

Leia mais

Aplicações da integral Volumes

Aplicações da integral Volumes Aplicções d integrl Volumes Sumário. Método ds seções trnsversis........... 5. Método ds cscs cilíndrics............. 6.3 Exercícios........................ 9.4 Mis plicções d integrl Áres e comprimentos.5

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

Integrais Duplas em Regiões Limitadas

Integrais Duplas em Regiões Limitadas Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não

Leia mais

MAT Cálculo Avançado - Notas de Aula

MAT Cálculo Avançado - Notas de Aula MAT5711 - Cálulo Avnçdo - Nots de Aul 26 de mrço de 2010 1. INTEGRAL DE RIEMANN EM ESPAÇOS DE BANACH Definição 1.1 (Integrl de Riemnn). Sejm [, b] R e E um espço de Bn. A noção de Riemnn-integrbilidde

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Anotções sobre somtórios- nível médio Rodrigo Crlos Silv de Lim Universidde Federl Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.mth@gmil.com 1 Sumário 1 Somtórios 3 1.1 Operdor diferenç e E...........................

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

Aspectos do Teorema Fundamental do Cálculo

Aspectos do Teorema Fundamental do Cálculo Aspectos do Teorem Fundmentl do Cálculo Luis Aduto Medeiros Conferênci proferid n Fculdde de Mtemátic - UFPA (Belém Mrço de 2008) Então porque pint? Por nd. Procuro simplesmente reproduzir o que vejo W.

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre

Leia mais

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas.

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas. Integrção omplex AULA 7 META: Introduzir o conceito de integrção de funções de vriáveis complexs. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos deverão ser cpzes de: Definir integrl de um função complex. lculr integrl

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

Tópicos de Física Clássica I Aula 3

Tópicos de Física Clássica I Aula 3 Tópicos de Físic Clássic I Aul 3 c tort As equções de Euler (1744) e Lgrnge (1755) O cálculo vricionl ou de vrições foi introduzido por Leonhrd Euler com publicção do seu livro Methodus inveniendi lines

Leia mais

Integrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B

Integrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B Integris de Linh âmpus Frncisco Beltrão Disciplin: álculo Diferencil e Integrl 3 Prof. Dr. Jons Jocir Rdtke Integris de Linh O conceito de um integrl de linh é um generlizção simples e nturl de um integrl

Leia mais

O conceito de integral e suas propriedades básicas

O conceito de integral e suas propriedades básicas 17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Integrl denid de f : [, b] R.......... 5 17.3 Soms de Riemnn.................. 6 17.4 A integrl denid

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A FFCLRP-USP Integris Imprópris - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr Jir Silvério dos Sntos Integris Imprópris Definição Sej f : ; x ) R um função Suponh ret x = x é um Assíntot Verticl o gráfico

Leia mais

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento

Leia mais

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura.

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura. Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde

Leia mais

Bandas de Energia de Elétrons em Sólidos

Bandas de Energia de Elétrons em Sólidos Bnds de Energi de Elétrons em Sólidos Alexndre Bentti n o usp:7144063 November 23, 2014 Abstrct Anlisr um sistem de elétrons sujeitos um potencil periódico, verificndo origem de bnds de energi e bnds proibids

Leia mais

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno:

Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno: Prof. Ms. Aldo Vieir Aluno: Fich 1 Chmmos de mtriz, tod tbel numéric com m linhs e n coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é do tipo m x n (onde lemos m por n ) ou que su ordem é m x n. Devemos representr

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.

CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido. CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um

Leia mais

O Teorema do Ponto Fixo de Schauder e Aplicação às EDFR

O Teorema do Ponto Fixo de Schauder e Aplicação às EDFR O Teorem do Ponto Fixo de Schuder e Aplicção às EDFR Cristino dos Sntos e Márci Richtielle 2 de dezembro de 215 Resumo Vmos presentr um importnte resultdo sobre existênci de ponto fixo pr plicções compcts

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais