Simulado. enem. Matemática. e suas. Tecnologias VOLUME 1 DISTRIBUIÇÃO GRATUITA

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1 Simulado enem 01 a. série Matemática e suas ISTRIUIÇÃO GRTUIT Tecnologias VOLUM 1

2 ados Internacionais para atalogação na Publicação (IP) (Luciane M. M. Novinski /R 9/15 /uritiba, PR, rasil) P187 Pan, Peter hun Hao Simulado NM 011: matemática e suas tecnologias, ạ série ensino médio/peter hun Hao Pan ; ilustração Jack rt uritiba : Positivo, 011 v.1 Sistema Positivo de nsino ISN Matemática.. nsino Médio urrículos. I Jack rt. II. Título. U 7.47 ditora Positivo Ltda., 011 iretor-superintendente Ruben Formighieri iretor-geral merson Walter dos Santos iretor ditorial Joseph Razouk Junior Gerente ditorial Maria lenice osta antas Gerente de rte e Iconografia láudio spósito Godo utoria Peter hun Hao Pan (Matemática) dição de conteúdo Lucio arneiro dição lessandra omingues apa Roberto orban Foto: HP Media Ltd/na Labate Projeto gráfico e editoração pressão igital Pesquisa iconográfica Tassiane parecida Sauerbie Produção ditora Positivo Ltda. Rua Major Heitor Guimarães, uritiba PR Tel.: (041) Fa: (041) Impressão e acabamento Gráfica Posigraf S.. Rua Senador cciol Filho, uritiba PR Fa: (041) mail: posigraf@positivo.com.br Uso em 01 Ilustração Jack rt ontato editora.spe@positivo.com.br

3 SIMULO NM 01 PROV MTMÁTI SUS TNOLOGIS ạ série Volume 1 aro(a) luno(a)! ste simulado é uma sugestão de avaliação e tem como um dos objetivos aproimá-lo(a) das eigências das provas oficiais ao final do nsino Médio. Por isso, as questões estão formatadas em cadernos, no estilo do ame Nacional do nsino Médio (NM), distribuídas por eios de conteúdos. o final de cada caderno, há um cartão-resposta que deve ser devidamente preenchido. Leia as orientações abaio: 1. ste RNO QUSTÕS contém 45 questões do io Matemática e suas Tecnologias.. Registre seus dados no RTÃO-RSPOST que se encontra no final deste caderno.. pós o preenchimento, registre sua assinatura no espaço próprio do RTÃO-RSPOST com caneta esferográfica de tinta preta. 4. Não dobre, não amasse, nem rasure o RTÃO-RSPOST. le não poderá ser substituído. 5. Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas cinco opções, identificadas com as letras,,, e. penas uma responde corretamente à questão. 6. No RTÃO-RSPOST, marque, para cada questão, a letra correspondente à opção escolhida para a resposta, preenchendo todo o espaço compreendido no círculo, com caneta esferográfica de tinta preta. Você deve, portanto, assinalar apenas uma opção em cada questão. marcação em mais de uma opção anula a questão, mesmo que uma das respostas esteja correta. 7. Fique atento ao tempo determinado por sua escola para a eecução do simulado. 8. Reserve os 0 minutos finais para marcar seu RTÃO-RSPOST. Os rascunhos e as marcações assinaladas no RNO QUSTÕS não serão considerados nessa avaliação. 9. Quando terminar a prova, entregue ao professor aplicador este RNO QUSTÕS e o RTÃO-RSPOST. 10. urante a realização da prova, não é permitido: a) utilizar máquinas e/ou relógios de calcular, bem como rádios, gravadores, headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie; b) agir com incorreção ou descortesia com qualquer participante do processo de aplicação das provas; c) comunicar-se com outro participante, verbalmente, por escrito ou por qualquer outra forma; d) apresentar dado(s) falso(s) na sua identificação pessoal.

4 Simulado NM 01 Teto para as questões 1 e Questão 1 m certo horário do dia, o sol projeta a sombra de uma árvore, conforme a figura abaio. Seja α o ângulo formado com a direção horizontal e β o ângulo formado com a direção vertical. Sabendo-se que a sombra possui 4 metros de comprimento e que a árvore possui metros de altura, qual o valor de sen (α + β)? Questão René escartes idealizou o plano cartesiano que se baseia na ideia de um sistema de eios perpendiculares orientados pelas abscissas (ou eio ) e ordenadas (ou eio ) e os pontos são localizados sobre os eios ou em quatro quadrantes, por meio de duas coordenadas. β.º quadrante 1.º quadrante α ) 1.º quadrante 4.º quadrante ) 1 ) ) ) 4 Questão inda sobre a questão anterior, qual a medida do ângulo α? ) 0º ) 45º ) 60º ) arc sen 5 ) arc cos 5 Um ponto que possui as coordenadas ( a, b) com a < 0 e b 0, está localizado no ) 4.º quadrante ou no eio das abscissas. ).º quadrante ou no eio das abscissas. ).º quadrante ou no 4.º quadrante. ) 1.º quadrante ou no eio das ordenadas. ).º quadrante ou no eio das ordenadas. Questão 4 ntônio (localizado no ponto ) e ernardo (localizado no ponto ), que são irmãos gêmeos, estão em uma mesma rua retilínea distantes entre si metros. les olham para cima e avistam um balão no ponto. Tal situação pode ser representada por meio do triângulo da figura a seguir. Sabendo-se que o ângulo β = 45º e que tgα= 1, calcule a altura (em metros) em que se encontra o balão. (espreze a altura dos dois irmãos.) ạ série Volume 1

5 Simulado NM 01 Teto para as questões 6 e 7 Questão 6 ) ) 8 ) 4 ) 6 ) 6 Questão 5 β m uma área semicircular cuja medida do raio é R, marcou-se um retângulo. epressão da área do retângulo em função de R e α é α Um pintor utiliza uma escada de 4 metros de comprimento para pintar uma parede. Quando ele encosta a escada na parede, a escada forma um ângulo de 75º com a horizontal. Qual o valor mais próimo para sen 75º? ( 1, 41 e 17, ) ) 0,90 ) 0,80 ) 0,86 ) 0,96 ) 0,76 Questão 7 e acordo com a questão anterior, qual a altura (em metros) do chão em que a escada encosta na parede? ),94 ),84 ),74 ),64 ),54 Questão 8 s equações a seguir são das retas r e s e formam o sistema: O R α + = 1 a + b = ab ) R sen α ) R cos α ) R tg α ) R sen α ) R cos α onsiderando-se que essas retas sejam concorrentes, ou seja, o sistema tenha solução única, assinale a alternativa correta. ) a = 0 e b = 0 ) a = 1 e b = 1 ) a = e b = ) a = e b = 1 ) a = 1 e b = 1 Matemática e suas Tecnologias

6 Simulado NM 01 Questão 9 Sobrepõe-se o plano de rgand-gauss sobre o mostrador de um relógio analógico, cujos ponteiros medem e 4 unidades de comprimento. Im Re ) cos α = 1 ) cos α = 1 1 atamente às 10h40, a etremidade do ponteiro dos minutos corresponde ao número compleo ) i ) cos α = ) cos α = ) i ) cos α = 1 5 ) i Questão 11 ) + i ) + i nunciado para as questões 10 e 11 Questão 10 uas das razões trigonométricas mais importantes na Matemática são o seno e o cosseno. m um triângulo retângulo, o seno e o cosseno de um ângulo agudo α são razões entre dois de seus lados, a saber: sen α= cateto oposto hipotenusa e cos α = cateto adjacente hipotenusa Observe o triângulo retângulo na figura. Sabe-se que = 5 metros, = 1 metros, o ângulo = α e o ângulo = α. Qual é o valor do cos α? Na trigonometria, para um ângulo α, temos sen α e cos α. Porém, quando dobramos o valor de um ângulo α, não podemos afirmar que, para todo α, o seno ou o cosseno de α é o dobro do valor do seno ou do cosseno de α. Se, para determinar sen α, podemos utilizar a relação: sen α =. sen α. cos α, então, qual é o valor de sen α? ) sen α = ) sen α = ) sen α = ) sen α = 169 ) sen α = ạ série Volume 1

7 Simulado NM 01 Teto para as questões 1 e 1 O desenho abaio representa a circunferência trigonométrica. No plano cartesiano, a circunferência possui centro no ponto (0, 0) e raio unitário. projeção ortogonal do ponto P sobre o eio O é o ponto e a projeção ortogonal do ponto P sobre o eio O é o ponto. ordenada do ponto é o seno do ângulo α e a abscissa do ponto é o cosseno do ângulo α. Questão 14 No lançamento oblíquo de um corpo com uma velocidade inicial v 0, realizado com um ângulo θ em relação ao solo, g V 0 sen α O P α cos α 0 θ a equação do alcance é dada por: má 0 = v g. sen θ, Questão 1 e acordo com a figura, podemos provar uma relação fundamental na trigonometria. sta relação está representada corretamente em qual alternativa? ) sen α + cos α = 1 ) sen α + cos α = ) sen α + cos α = 1 ) sen α cos α = 1 ) sen α cos α = Questão 1 inda com relação ao círculo trigonométrico, como seu raio é unitário, observamos que tanto o seno quanto o cosseno de um ângulo α pertencem ao intervalo [ 1 ; 1]. Sendo assim, quais os possíveis valores de m quando cos α = m + ) [ 4; ] ) ( 4; ) ) [ 4; ) ) ( 4; ] ) { 4; } Matemática e suas Tecnologias em que g é a aceleração da gravidade. O valor de θ, em que o alcance, máimo, é: ) 0º ) 90º ),5º ) 0º ) 45º Questão 15 Observe a tabela abaio: Seno osseno Tangente 0º 45º 60º

8 Simulado NM 01 Nessa tabela, temos os valores do seno, cosseno e da tangente dos ângulos notáveis. onsiderando-se valores apenas dentro de uma volta completa na circunferência trigonométrica, qual o outro arco cuja tangente também vale? ) 10º ) 150º ) 10º ) 5º ) 40º Questão 16 No plano cartesiano, a inequação + 1 representa ) um triângulo equilátero. ) uma circunferência. ) um quadrado. ) duas retas perpendiculares. ) duas retas paralelas. Questão 17 Os afios dos números compleos z 1 = 1 + i, z = i, z = i, z 4 = i, z 5 = 1 i e z 6 = 1 formam, nessa ordem, no plano de rgand-gauss, um polígono que é: ) um triângulo. ) um quadrado. ) um pentágono. ) um heágono. ) não forma polígono, pois os pontos estão alinhados. Questão 18 Um dos valores mais conhecidos na trigonometria é tg 45º = 1. Mas, se tivermos que resolver a equação trigonométrica tg = 1, a resposta já não seria tão simples, afinal, eistem infinitos arcos cuja tangente de sua medida seja igual a 1. Para isso, eistem as chamadas epressões gerais de arcos trigonométricos. Uma epressão geral que pode representar as soluções da equação tg = 1, é: = 45º + 180º. k, em que k é um número inteiro. e acordo com essa análise, se é a medida de um arco tal que tg =, então qual a alternativa que representa os valores de? ) = 0º + 180º. k ) = 60º + 180º. k ) = 150º + 180º. k ) = 10º + 180º. k ) = 10º + 180º. k Questão 19 Um ponto, cujas coordenadas são (, ) em que 0 < < 1 e 0 < < 1, pertence ao interior de um quadrado de lado, representado no plano cartesiano a seguir: 0 sse quadrado está dividido em 4 regiões retangulares de acordo com a figura e um ponto cujas coordenadas são = + e =.. essa forma, pode-se afirmar que o ponto ) pertence à região 1. ) pertence à região. ) pertence à região. ) pertence à região 4. ) não pertence ao interior do quadrado ạ série Volume 1

9 Simulado NM 01 Questão 0 Nas iências atas, é comum que os estudantes tenham que resolver equações trigonométricas, escrevendo as soluções, que muitas vezes são infinitas. Porém, é possível generalizar essas soluções por meio de uma epressão geral. Utilizando-se as epressões gerais dos arcos, qual a alternativa que apresenta as soluções da equação trigonométrica. tg + tg = 0? ) = 180º. k ou = 00º + 180º. k, com k inteiro. ) = 60º. k ou = 00º + 180º. k, com k inteiro. ) = 60º. k ou = 150º + 180º. k, com k inteiro. ) = 180º. k ou = 150º + 180º. k, com k inteiro. ) = 60º. k ou = 00º + 60º. k, com k inteiro. ) 0,8 ) 0,7 ) 0,96 Questão as opções a seguir, qual é a medida que mais se aproima da distância entre os pontos e? ) 7,4 m ) 1,4 m ) 15, m ) 8 m ) 6 m Teto e desenho para as questões 1 e m uma laje foi feita uma contenção com dois cabos de acordo com a figura a seguir: Laje Questão Observe o triângulo abaio: c b abo 1 a α abo Matemática e suas Tecnologias O comprimento do cabo 1 é 00 m e do cabo é 10 m. 7 distância do chão ao ponto, na parede, onde está preso o cabo (distância ) é 6 m. distância é igual a 8 m. onsidere que o ângulo ^ é igual ao ângulo ^. Questão 1 Qual é o valor do seno do ângulo ^? ) 0,6 ) 0,48 istem várias fórmulas para se calcular a área de um triângulo qualquer. Uma das fórmulas mais importantes é S = 1. a. b. sen α, em que S representa a área do triângulo. Seja um triângulo qualquer cuja área mede 8 cm, a medida do lado a é 8 cm e a medida do lado b é 4 cm. Qual a soma dos possíveis valores para o ângulo α (em graus)? ) 0 ) 150 ) 180 ) 10 ) 145 7

10 Simulado NM 01 Questão 4 Uma peça de MF (medium densit fiberboard), que é um derivado da madeira usada para fazer armários e outras estruturas similares, foi cortada para atender às necessidades de um projeto de um armário, de acordo com a figura a seguir: α 48 cm 1 cm om a tabela a seguir (com valores aproimados), é possível determinar o ângulo α Ângulo Seno osseno tangente 1 0,08 0,978 0,1 1 0,5 0,974 0,1 14 0,4 0,970 0, ,59 0,966 0, ,76 0,961 0,87 essa forma, α é aproimadamente igual a ) 1 ) 1 ) 14 ) 15 ) 16 Questão 5 No estudo sobre triângulos, uma relação muito importante é a chamada Lei dos Senos, em que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles. c β Lei dos Senos: a sen = b sen = c θ β senα Seja um triângulo qualquer em que a medida do lado c é 1 cm, o lado b mede 6 cm e o ângulo β mede 0º. Sabendo-se que α é um ângulo agudo, qual a medida do ângulo α ( em graus )? ) 0 ) 45 ) 60 ) 75 ) 150 Questão 6 trajetória, denominada de órbita, que a Terra descreve no espaço possui dois focos e em um desses focos está localizado o Sol. soma das distâncias da Terra aos dois focos dessa curva é constante. ssas características são da curva denominada de ) circunferência ) elipse ) parábola ) hipérbole ) reta Questão 7 Na ntiguidade, quando as equações conduziam as raízes quadradas de números negativos, o problema era simplesmente considerado sem solução. Para isso, o matemático Girard criou o símbolo 1 e Leonard uler criou a representação i = 1, criando, assim, os números compleos. om essas duas representações, podemos a θ α b 8 ạ série Volume 1

11 Simulado NM 01 concluir que, por eemplo, 4= 4.( 1)=4i. e acordo com essas representações, quais são as raízes da equação + 9 = 0? ) e Questão 0 Na figura a seguir, estão representadas três cônicas: I II III ) i e i ) i e i ) i e i ) i e i Teto para as questões 8 e 9 Se considerarmos todas as potências de i (i = 1) no formato i n, em que n é um número natural, podemos concluir facilmente que tais potências assumem apenas 4 valores distintos: 1, i, 1 e i i 0 = 1; i 1 = i; i = 1; i = i Questão 8 Qual o valor de i 4 + i 17? ) 0 ) 1 ) 1 i ) 1 + i ) 1 + i Questão 9 O quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais, denominados de produtos notáveis, podem ser escritos na forma (a ± b) = a ± ab + b. sse desenvolvimento pode ser utilizado em números compleos. Sendo assim, qual o valor de (1 + i) 8? ) ) ) 16i ) 16i ) 16 Matemática e suas Tecnologias Na ordem I, II e III, essas cônicas são ) hipérbole, elipse e parábola. ) elipse, parábola e hipérbole. ) parábola, hipérbole e elipse. ) elipse, hipérbole e parábola. ) parábola, elipse e hipérbole. Questão 1 s equações paramétricas a seguir fornecem as coordenadas de um móvel no plano cartesiano em função do tempo t (em segundos). = t e = t essa forma, pode-se afirmar que ) a posição inicial do móvel é um ponto no eio das abscissas. ) no instante 4 segundos, o móvel está no 4. quadrante. ) no instante 6 segundos, o móvel está no. quadrante. ) a trajetória desse móvel é retilínea. ) em algum instante, o móvel pode estar no ponto (, ). 9

12 Simulado NM 01 Questão Quando dividimos um número racional por um número irracional, realizamos a racionalização, pois resolver a divisão cujo divisor é um número irracional é mais difícil do que quando o divisor é um número racional. Por eemplo, racionalizando +, temos: +. = ( ) 7 ssa mesma ideia pode ser aplicada na divisão de números compleos. Para dividir dois números compleos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Qual das alternativas representa a divisão 4i? 1+ i ) + i ) i ) 4 + 4i ) 4 4i ) i Teto para as questões e 4 O número m é o coeficiente angular do gráfico de uma função afim = m + n (m, n IR), que é representada por uma reta no plano cartesiano. Porém, nem toda reta do plano cartesiano possui coeficiente angular. O coeficiente angular pode ser determinado pelo quociente entre a variação em e a variação em quando são conhecidas as coordenadas de dois pontos. Por eemplo, dados dois pontos, (, a ) e (, ), o coeficiente angular pode ser calculado por: m = = Observe o plano cartesiano a seguir. Questão α α as alternativas a seguir, marque aquela cuja reta não possui coeficiente angular. ) = ) = + ) = + 1 ) = 5 ) = Questão 4 onsiderando α o ângulo formado pela reta com o sentido positivo do eio, no triângulo destacado, o coeficiente angular m também pode ser determinado por ) sen α ) cos α ) tg α ) sec α ) cossec α Questão 5 O argumento principal de um número compleo z é o ângulo α, medido no sentido anti-horário a partir do semieio real positivo, tal que 0 α < π. Observe a figura a seguir: 10 ạ série Volume 1

13 Simulado NM 01 b Im α a z = a + b. i Qual o argumento principal do número compleo z= +i? ) π ) π 6 ) π 4 π ) Questão 6 ) π 8 ados dois pontos distintos F 1 e F (focos da elipse), pertencentes a um plano, seja c a distância entre eles. lipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a F 1 e F é a constante a, tal que a > c. F 1 b c F Re ' b ) + = ) + = ) + = 5 16 ) + = 5 64 ) + = Questão O determinante de uma matriz M de ạ ordem pode ser obtido da seguinte forma: a b Matriz: M = c d eterminante: det (M) = a. d b. c sena O determinante da matriz = cos a igual a ) sen (a + b) senb cos b é ) cos (a + b) a ' a ) sen (a b) a equação reduzida da elipse é dada por a + =1. Uma elipse possui eio maior igual a 10 e eio menor igual a 8. Qual a sua equação reduzida? b ) cos (a b) ) tg (a + b) Teto para as questões 8 e 9 m 167, escartes unificou a Álgebra com a Geometria, criando a Geometria nalítica, que objetiva conciliar os entes geométricos com as relações algébricas. entro da Matemática e suas Tecnologias 11

14 Simulado NM 01 Geometria nalítica, podemos obter a equação de uma reta que passa por um ponto P( 0 ; 0 ) por meio da equação fundamental de uma reta que é representada pela relação 0 = m. ( 0 ), em que m é chamado de coeficiente angular da reta. Na figura, temos duas retas paralelas r e s. ) = + 6 ) = 6 ) = 6 ) = 6 Questão 40 r s Um triângulo tem as medidas dos ângulos internos dadas por: α 6 arc tg ( ), arc cos (0) e arc sen Julgue os itens a seguir: 1. Questão 8 Se a inclinação da reta r é α = 45 o, qual o valor do coeficiente angular da reta r? ) 0,5 ) 1 ) ) ) Questão 9 e acordo com a figura, qual a equação da reta s? ) = 6 I. O triângulo é retângulo. II. O triângulo tem um ângulo de 45 o. III. Os ângulos internos do triângulo formam uma progressão aritmética, quando estão em ordem crescente. IV. O triângulo pode ser equilátero. Marque a alternativa correta. ) Somente I e III estão corretas. ) Somente I, III e IV estão corretas. ) Somente I, II e IV estão corretas. ) Somente III e IV estão corretas. ) Todas estão corretas. Teto para as questões 41 e 4 Na figura a seguir, temos duas retas perpendiculares. 1 ạ série Volume 1

15 Simulado NM 01 Questão 4 r α s P(4;) Uma placa de metal retangular é cortada em uma de suas diagonais () e dobrada na linha representada pelo segmento. s distâncias em metros estão representadas no desenho a seguir. Na Geometria nalítica, o ângulo de inclinação de uma reta é medido no sentido anti-horário a partir do eio O até a reta. Questão 41 Se a inclinação da reta s é α = 60º, então qual a inclinação da reta r? 1 α Qual é a medida da tangente do ângulo α formado pelos segmentos e? ) tg α = 1 9 ) 0º ) 60º ) 45º ) 10º ) 150º Questão 4 Qual o coeficiente angular da reta r? ) 1 ) 1 ) ) ) ) tg α = 9 ) tg α = 4 9 ) tg α = 5 9 ) tg α = 7 9 Questão 44 a Geometria Plana, temos a definição de circunferência como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano que distam de um ponto fio, chamado centro, um mesmo número R. Na Geometria nalítica, uma circunferência de centro (a; b) e raio R pode ser representada pela equação ( a) + ( b) = R. sta é a chamada equação reduzida da circunferência. Observe o gráfico. Matemática e suas Tecnologias 1

16 Simulado NM 01 ) b R a circunferência é tangente aos eios e e possui raio medindo. Sendo assim, qual a equação reduzida da circunferência? ) ( ) + ( ) = ) ( ) + ( + ) = 9 ) ( ) + ( ) = 9 ) ( + ) + ( ) = 9 ) ( + ) + ( ) = Questão 45 Uma função quadrática = a + b + c (com a, b, c IR e a 0) tem o gráfico representado no plano cartesiano por uma parábola. interseção dessa parábola com o eio das abscissas pode ser dois pontos, um ponto ou nenhum ponto. O cálculo do discriminante = b 4ac indica a interseção da parábola da seguinte maneira. Quando > 0 a parábola intersecta o eio das abscissas em dois pontos. Quando = 0 a parábola intersecta o eio das abscissas em um ponto. Quando < 0 a parábola não intersecta o eio das abscissas. Uma função quadrática = a + b + c, com a < 0, c < 0 e < 0 pode ser representada pelo gráfico ) ) ) ) 14 ạ série Volume 1

17 Simulado NM 01 notações Matemática e suas Tecnologias 15

18 Simulado NM 01 notações 16 ạ série Volume 1

19 Simulado NM 01 notações Matemática e suas Tecnologias 17

20 Simulado NM 01 notações 18 ạ série Volume 1

21 Simulado NM 01 notações Matemática e suas Tecnologias 19

22 Simulado NM 01 notações 0 ạ série Volume 1

23 RTÃO-RSPOST SIMULO NM 01 ạ SÉRI VOLUM 1 MTMÁTI SUS TNOLOGIS Nome da scola: luno(a): Série: Turma: ata: ssinatura: GRITO

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