Equação do segundo grau. 1. Um pouco da história da equação do segundo grau. 2 O que é uma equação de segundo grau? 2

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1 Progrm de Inicição Docênci em Mtemátic (UEM 2010)- Outubro 9: 1 5 c PIBID-MAT wwwdmuembr/pibid Equção do segundo gru Vness Gisele Beleti e Cmil Figueredo Mrques Resumo: Neste trblho presentmos um breve introdução históric sobre equções do segundo gru, deduzimos fórmul gerl de resolução e propomos lguns exercícios Sumário 1 Um pouco d históri d equção do segundo gru 1 2 O que é um equção de segundo gru? 2 3 Dedução d fórmul 2 4 Quis são os tipos de equção? 3 5 Atividdes Proposts 4 1 Um pouco d históri d equção do segundo gru As equções do segundo gru, de cordo com textos de históri d mtemátic, estão presentes desde muito ntes de Cristo, à époc dos egípcios, bbilônios, gregos, hindús e chineses O primeiro registro ds equções polinomiis do 2 o gru foi feit pelos bbilônios Eles tinhm um álgebr bem desenvolvid e resolvim equções de segundo gru por métodos semelhntes os tuis ou pelo método de completr qudrdos Como s resoluções dos problems erm interpretds geometricmente não fzi sentido flr em rízes negtivs O estudo de rízes negtivs foi feito prtir do século XVIII N Gréci, mtemátic tinh um cunho filosófico e pouco prático Euclides, nos Elementos resolve equções polinomiis do 2 o gru trvés de métodos geométricos Diophnto contribuiu pr mis um vnço n busc d resolução de equções do 2 o gru o presentr outr representção d equção introduzindo lguns símbolos, pois té então equção e su solução erm representdos em form discursiv NÍndisequçõespolinomiisdo2o gruermresolvidscompletndoqudrdos Estformderesolução foi presentd geometricmente por Al-Khowârizmî, no século IX Eles descrtvm s rízes negtivs, por serem indequds e ceitvm s rízes irrcionis Tinhm tmbém um receit pr solução ds equções de form purmente lgébric No século XVI, Frnçois Viéte utilizou-se de simbolismo pr representr equções dndo um crter gerl No Brsil, costum-se chmr de fórmul de Bhskr à fórmul que dá s soluções d equção do segundo gru Além de ser historicmente incorret, est nomencltur não é usd em nenhum outro pís O hábito de dr nome de Bhskr pr fórmul de resolução d equção de segundo gru se estbeleceu no Brsil por volt de 1960 Esse costume, prentemente só brsileiro (não se encontr o nome de Bhskr pr ess fórmul n litertur interncionl), não é dequdo pois: Problems que recem num equção de 2 o gru já precim, há quse 4000 nos trás, em textos escritos pelos bbilônicos Nestes textos o que se tinh er um receit (escrit em pros, sem uso de símbolos) que ensinv como proceder pr determinr s rízes em exemplos concretos com coeficiêntes numéricos Bhskr que nsceu n Índi em 1114 e viveu té cerc de 15 foi um dos mis importntes mtemáticos do século 12 As dus coleções de seus trblhos mis conhecids são Lilvti ( bel ) e Vijgnit ( extrção de rízes ), que trtm de ritmétic e álgebr respectivmente, e contêm numerosos problems sobre equções de lineres e qudrátics (resolvids tmbém com receirs em pros ), progrssões ritmétics e geométrics, rdicis, tríds pitgórics e outros Até o fim do século XVI não se usv um fórmul pr obter s rízes de um equção do 2 o gru, simplesmente porque não se representvm por letrs os coeficientes de um equção 1 Typeset by style c Pibid Mt

2 2 O QUE É UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU? 2 Issosócomeçou ser feitoprtir dfrnçois Viéte, mtemático frncês que viveu de ; Logo, embor não se dev negr importânci e riquez d obr de Bhskr, não é correto tribuir ele conhecid fórmul de resolução d equção de segundo gru 2 O que é um equção de segundo gru? Equção do segundo gru (tmbém conhecid como equção qudrátic) é um tipo de equção polinomil Um equção do segundo gru é um equção d seguinte form gerl: x 2 +bx+c = 0, onde,b e c são números reis e 0 A mis simples e mneir mis empregd de se resolver um equção qudrátic é usndo-se fórmul gerl de resolução d equção do segundo gru dd por: x = b± b 2 4c Pr fcilitr os estudos fzemos = b 2 4c, qui é letr greg delt Este termo é chmdo de discriminnte Assim, fórmul pode ser escrit, resumidmente, n form: x = b± De cordo com o vlor de, é possível tirr lgums conclusões sobre equção Se > 0 o vlor de dentro de um riz será positivo e equção terá dus rízes reis distints Se = 0 equção terá um riz ris e iguis Se < 0 o vlor de dentro de um riz será negtivo e equção terá dus rízes complexs 3 Dedução d fórmul Apresentmos seguir dedução d fórmul de resolução d equção do segundo gru Vmos tomr como ponto de prtid própri equção pr obteremos fórmul Consideremos equção gerl do segundo gru x 2 +bx+c = 0, sendo 0 Subtrindo c d iguldde, obtemos: Dividindo iguldde por 0, tem-se: x 2 +bx = c x 2 +bx = c x 2 + bx = c x 2 + bx = c Devemos fzer o ldo esquerdo d iguldde trnsformr-se em um qudrdo perfeito, do tipo (p+q) 2 (p+q) 2 = p 2 +2pq +q 2

3 4 QUAIS SÃO OS TIPOS DE EQUAÇÃO? 3 O primeiro termo (p) é x O termo do meio do desenvolvimento do qudrdo é portnto 2qx, e n fórmul dispomos de bx Então: 2qx = bx b, isolndo q temos q = e no último termo temos q2 = ( b 2 ) Logo, equção fic: x 2 + bx ( ) 2 b + = c ( ) 2 b + Agor podemos observr que o ldo esquerdo d iguldde vle ( 2: x+ ) b ( ) 2 = c ( ) 2 b + Desenvolvendo o ldo direito d equção, tirndo o MMC e efetundo som, ( ) 2 = b2 4c 4 2 Como o nosso objetivo é isolr o x devemos tirr o qudrdo, pr isso, devemos extrir riz qudrd d iguldde: = ± b2 4c 4 2 = ± = ± b2 4c 4 2 b2 4c x = b± b 2 4c Obtivemos ssim fórmul gerl de resolução: x = b± Exemplo 31 Considere equção do segundo gru dd por x 2 + 5x 6 = 0, temos = 1,b = 5 e c = 6 Segue que = = 1 Logo, substituindo em x = b± temos x = 5±1 2 Considerndo som, obtemos x 1 = 2 e considerndo subtrção obtemos e x 2 = 3 4 Quis são os tipos de equção? Como já vimos n definição, o coeficiente é sempre diferente de zero ( 0) Ms os coeficientes b e c podem ser nulos Dest form, qundo b e c são diferentes de zero equção é dit complet Qundo b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0 equção é dit incomplet Exemplo 41 Considere equção 3x 2 4x+2 = 0 Aqui, = 3, b = 4 e c = 2; equção é complet

4 5 ATIVIDADES PROPOSTAS 4 Exemplo 42 Considere equção incomplet x 2 4x = 0 Aqui, = 1, b = 4 e c = 0; As equções do segundo gru incomplets têm em comum fcilidde de obter sus soluções Exemplo 43 Como exemplo, s soluções d equção incomplet x 2 4x = 0 podem ser obtids colocndo x em evidênci: x(x 4) = 0 Segue que x = 0 ou x 4 = 0 Logo, o conjunto solução é S = { 4,0} E o conjunto solução é S = {0,4} Exemplo 44 As soluções d equção incomplet x 2 4 = 0 podem ser obtids fcilmente escrevendo equção como x 2 = 4 e portnto, são x = 2 e x = 2 Logo, o conjunto solução é S = { 2,2} 5 Atividdes Proposts 1 Determine o vlor de medid do ldo do qudrdo de áre igul 196cm 2 Figur 1: Qudrdo de áre 196 Inicilmente, sbemos que o ldo do qudrdo é som de 3x e 5, logo, su áre é (3x+5)(3x+5) = (3x+5) 2 = (3x) 2 +2(3x)(5)+(5) 2 = 9x 2 +30x+25 Ms sbemos que su áre é 196 Então temos que 9x 2 +30x+25 = 196 Ou ind, 9x 2 +30x = 0 9x 2 +30x 171 = 0

5 5 ATIVIDADES PROPOSTAS 5 Logo,os coeficientes são = 9, b = 30 e c = 171 Substituindo em = b 2 4c obtemos, = (30) 2 4(9)( 171) = = 7056 Como > 0, noss equção terá dus rízes reis distints Substituindo n fórmul gerl de resolução obtemos x = b± x = 30± x = 30±84 x 1 = x 2 = = 54 = 3 = 114 Como o problem fl em áre, solução vi ser somente 3cm = As pessos que ssistirm um reunião pertrm-se s mãos Um dels notou que os cumprimentos form 28 Qunts pessos comprecerm à reunião? Respost: 8 pessos Agrdecimentos Agrdecimentos especiis à prof Alexndr Abdl e o prof Doherty Andrde pels inúmers sugestões Referêncis 1 Dnte, L R, Tudo é Mtemátic - Editor Átic, edição, São Pulo, Fernnd Crvlho, Jessic Brone, Mri Ângel Miorim, Muro Munsigntti, Rodolfo Gotrdi Begito - Artigo Por que Bskhr? - Revist Históri e Educção Mtemátic