DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA GEOGRÁFICA, GEOFÍSICA E ENERGIA Princípios e Aplicações da Detecção Remota

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1 Cap. Óbitas Óbitas e Swaths Genealidades sobe movimento As leis de Keple Lei da atacção Univesal Estudo do movimento do copo Equação do movimento no plano Estudo do movimento na óbita Os paâmetos da óbita Petubação da óbita Óbitas usadas paa obsevação da Tea (Geoestacionáias e heliosinconas) Deteminação dos paâmetos obitais.1 Óbitas e Swaths O pecuso de um satélite no espaço é efeido po óbita. As óbitas são escolhidas em função dos objectivos da missão e pode vaia a inclinação da óbita, a altitude da óbita, o peíodo da óbita, etc. Os satélites a elevadas altitudes, com capacidade paa ve a todo o instante a mesma poção da Tea têm óbitas geoestacionáias. Estes satélites têm altitudes de ceca de 6000km e odam à mesma velocidade da Tea de modo que estão paados elativamente à Tea. Aplicações: Meteoologia e comunicações. Outas platafomas são desenhadas paa seguiem uma óbita note-sul que em conjunção com a otação da Tea oeste-este pemite a cobetua da totalidade da Tea num deteminado peíodo de tempo. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 5

2 Estas óbitas são quase-polaes e muitas são heliosinconas. Neste caso a sua passagem num deteminado local é efectuado sempe à mesma hoa sola. Em qualque latitude, a posição do Sol no instante de passagem do satélite é sempe a mesma. Isto assegua condições de iluminação consistentes em anos sucessivos. As missões de obsevação da Tea são essencialmente quase polaes, o que que dize que o satélite viaja paa note num lado da Tea e paa sul no outo lado da Tea. A estes pecusos designamos po: Passagem ascendente Passagem descendente Se a óbita fo heliosincona a passagem descendente é feita de dia e a passagem ascendente é feita de noite. No seu pecuso em tono da Tea o satélite vê uma ceta poção da Tea. A áea cobeta pelo senso é efeida po: SWATH João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 6

3 Com inicio num qualque taço, um ciclo obital é concluído quando o satélite passa exactamente no mesmo taço, no mesmo ponto nadial. O ciclo obital não é o mesmo que peíodo de evisita po causa das visadas off-nadi.. Genealidades sobe movimento O estudo do movimento de um copo ígido pode se feito sepaando o movimento em tono do cento de massa desse copo e o movimento do cento de massa. A tajectóia pecoida pelo cento de massa é a óbita do satélite Johannes Keple ( ) com base nas obsevações de Tycho Bahe ( ) fomulou as seguintes leis: 1ª lei : A tajectóia de cada planeta, elativamente ao Sol, existe num plano fixo, passando pelo Sol. Mais concetamente, é uma elipse, fixa no espaço, e da qual o Sol ocupa um dos focos. ª lei: O vecto que liga o Sol a cada planeta vae áeas iguais em tempos iguais ªlei: Os quadados dos peíodos obitais dos divesos planetas são popocionais aos cubos das espectivas distâncias médias ao Sol. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 7

4 Foi com base nestas leis de enunciado tão simples que Isaac Newton ( ) conseguiu deduzi o pincípio da atacção Univesal. Matéia atai matéia na azão diecta das massas e invesa do quadado da distância A sua fomulação matemática é: m1m F G ( x ) X G // em que : G é a constante de gavitação univesal tem as dimensões L M -1 T - e tem o valo de m kg -1 s - (GM = m /s de acodo com o GRS80). m 1 é a massa do copo ataente e m a massa do copo ataído e a distancia ente os dois centos de massa.. Estudo do movimento do copo Como o movimento é plano (segundo a 1ª lei de Keple) podemos eduzi o poblema a esse plano, fazendo-o coincidi com o plano xoy, donde esulta a equação do movimento: m1 ( m1 m ) // m 1x1 G x 1 E as duas equações do movimento no plano (x,y): m m x G x e m y G y m em que: m1 m e m m1 Do integal das áeas subsiste apenas: m( xy xy ) c João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 8

5 Consideemos o plano obital e tomemos um sistema de coodenadas polaes (, ). y De: actan vem que: x xy xy x y 1 x xy xy E usando a equação 1, obtemos: ou : c m c Uma das equações do movimento. c é a constante das áeas Da fomula de Binet sabemos que: d u G 1 u em que u d c equação difeencial de ª odem linea e com segundo membo constante cuja equação caacteística admite duas aízes i, donde a solução: cos( ) G u A 0 c ou em c G Ac 1 cos( 0) G Segunda equação do movimento. A e 0 são constantes de integação. Po compaação da equação anteio com a equação geal de uma cónica em coodenadas polaes, efeida a um dos seus focos e de eixo pola medido desse foco paa o vétice: p 1 ecos Onde p é um paâmeto, e a excenticidade e a anomalia vedadeia. Veificamos que a tajectóia do movimento é assim uma cónica de que o ponto atactivo ocupa um dos focos e em que o paâmeto, excenticidade e anomalia são dados po: c Ac p ; e ; 0 G G João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 9

6 A constante 0 epesenta o desfasamento, contado negativamente, do eixo maio da cónica a pati do eixo de que se começam a conta os ângulos. A natueza da cónica depende do valo da excenticidade: Paa e < 1 é uma elipse Paa e = 1 é uma paábola Paa e > 1 é uma hipébole.4 Equação do movimento no plano Consideemos h a enegia total do sistema. Sabemos que: 1 h mv m G Escevendo esta equação em coodenadas polaes e consideando que obtemos: p e 1 h Gm Paa e < 1 h < 0 Paa e = 1 h = 0 Paa e > 1 h > 0 c, Usualmente não se usa o paâmeto p, mas outas gandezas, espectivamente o semieixo maio a, do movimento elíptico, a distancia peiastica q, no paabólico, e o semieixo tansveso a no hipebólico. Neste caso: p a(1 e ) ; p q ; p a( e 1) E nesse caso, usando a equação, obtemos Gm a ; h Sabendo que : c q ; G Gm a h João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 40

7 Po integação, obtemos: da c da ; então c c( t t0) A Que nos dá a áea descita num dado intevalo de tempo conhecida a constante das áeas. Se fo T o peíodo do movimento : ct ( ab ) Mas como: c G p Ga(1 e ) então: T ab a 1 e a o peíodo depende apenas de a c Ga(1 e ) G a G Reescito de outa foma: ; ª Lei de Keple T 4 (A azão ente o cubo do semieixo maio e o quadado do peíodo de evolução é constante em todos os planetas) Isto só é vedade se fo constante. No caso de dois copos o valo de é a soma da massa dos dois copos. No caso da Tea e de um satélite a expessão anteio fica: a G( m T m ) S T 4 Se usamos a expessão anteio (eq. ) que nos diz que a enegia do movimento elíptico é Gm h a 1 então : T U 1 mv m Gm G a 1 1 donde : v G a1 Impotante elação que nos dá a velocidade conhecido o aio vecto e conhecido a. Caso elíptico a 1 =a v G Caso paabólico a 1 = Caso hipebólico a 1 =-a v v G G João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 41

8 Se quisemos efectua o lançamento de um satélite supondo que esse lançamento se efectuaia po um impulso único e que podemos supo a massa da Tea concentada no cento, despezando a esistência do a, etc.., paa que o satélite não tone a cai na Tea é necessáio que a velocidade de lançamento seja pelo menos igual à velocidade paabólica coespondente ao aio R G( MT m) 1 v 11.kms R Se desejamos que o objecto não só escape da atacção teeste mas saia do pópio sistema sola, teemos que o lança com uma velocidade paabólica elativa ao Sol e à posição da Tea nesse instante e a velocidade seia 4 km/s Da expessão da velocidade: 1 v G a1 É fácil veifica que nos casos paabólico e hipebólico, quando ->, as velocidades limite são: v 0 e v G a 0 Isto significa que no pimeio caso o copo apesa de se afasta indefinidamente continua ligado ao sistema sola, afaze pate dele, pois tendo velocidade nula elativamente a este sistema, isso significa que o acompanha. No segundo caso o copo é estanho ao sistema. A sua velocidade afasta-o, logo não lhe petence. 1.5 Estudo do movimento na óbita Estudemos agoa o movimento dum copo sobe a sua óbita utilizando como ponto de patida o integal das áeas: c Onde é a anomalia vedadeia e =() uma função conhecida dessa anomalia. E = anomalia excêntica. (ângulo semelhante à latitude eduzida.) João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 4

9 A expessão de em função da anomalia excêntica é: E da anomalia vedadeia é: a( 1ecos E) tg 1 e E tg 1 e E a equação de Keple: E esin E n( t ) - Instante zeo, e n é o movimento médio dado po: n a G No intevalo de tempo t-t 0, n(t-t 0 ) tem as dimensões de um ângulo. Seia o ângulo pecoido num intevalo de tempo pelo aio vecto que odasse com velocidade angula constante n. Po isso designa-se po anomalia média M = n(t-t 0 ), e a equação de Keple é apesentada como: E esin E M M: vaia de 0 a G n movimento médio; t vaia de t 0 a t+t sendo T o peíodo do movimento e t 0 o a tempo de passagem no peigeu..6 Os paâmetos da óbita Esfea centada no cento de massa da Tea e com oigem neste um efeencial catesiano ti-otogonal. O plano XoY é o equado numa dada data e oienta-se o eixo X paa o ponto venal médio nessa data. O eixo dos Z é diigido em diecção ao pólo vedadeio (CIO). O plano da óbita intesecta o equado segundo uma linha chamada linha dos nodos. Estes dois pontos e, chamaemos nodo ascendente àquele no qual o satélite passa do hemisféio austal paa o boeal. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 4

10 A posição da óbita no espaço é definida po cinco paâmetos obitais (a,e,i,,): Semieixo-maio (a): compimento do semi-eixo da elipse descita pelo satélite. Recodemos que na teceia lei de keple o semi-eixo maio a é função do peíodo T. Excenticidade (e): paa uma óbita elíptica o valo da excenticidade está ente 0 e 1. No peigeu a distância do satélite à Tea é: R p =a(1-e) e ao apogeu R a =a(1-e) Inclinação (i): é o ângulo ente a nomal à obita (oientada de maneia a ve dessa nomal, o satélite oda no sentido diecto) com a linha dos polos oientada de sul paa note. A inclinação pode toma os valoes no intevalo [0, ]. Quando 0 < i < / diz-se que o movimento é diecto, e se / < i < é etógado. Ascenção ecta do nodo ascendente (): é o ângulo contado positivamente no sentido diecto ente a diecção do ponto venal (ox) e o nodo ascendente da óbita, podendo te valoes ente [0, ]. Agumento do peigeu (): é o ângulo contado positivamente de 0 a 60 no sentido do movimento do satélite, ente a diecção do nodo ascendente e a diecção do peigeu. Anomalia vedadeia () : é o ângulo contado positivamente no sentido do movimento do satélite ente a diecção do peigeu e a diecção do satélite. Anomalia Excentica (E): é o agumento da imagem do satélite na tansfomação afim da elipse no seu ciculo pincipal. Anomalia Média (M): é o ângulo contado positivamente no sentido do movimento do satélite, ente a diecção do peigeu e a diecção do satélite fictício que desceve uma óbita cicula do mesmo peíodo que o satélite consideado. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 44

11 .7 Petubação da óbita M( t) M( t0) n0 ( t t0) O movimento elíptico tatado até este momento baseia-se na simplificação que: 1. o campo gavitacional da Tea é equivalente ao de um ponto de massa. a óbita do satélite é contolada exclusivamente po este campo gavitacional cental. O potencial gavitacional da Tea é epesentado como uma séie de hamónicas esféicas: n n GM a V (,, ) 1 Cnm cos m Snmsin m Pnm(cos ) n m0 Paa efeitos de estudo da óbita de um satélite é conveniente sepaa o potencial gavitacional na sua componente cental (GM/) na sua componente petubadoa. em que: R(,, ) GM GM V (,, ) R(,, ) a n n n m0 C nm cos m S nm sin m P nm (cos ) É também fequente a sepaação ente as hamónicas zonais (independentes da longitude, m=0) e as tesseais que dependem da longitude (m > 0). A situação que estamos a considea neste momento é consideavelmente mais difícil que a anteio, em que tínhamos uma foça cental dada po GM, poque agoa temos também os coeficientes hamónicos (C nm, S nm ). Sabendo o campo gavitacional e os elementos kepleianos, paa uma época inicial, a óbita pode ainda se completamente deteminada. Os coeficientes hamónicos (C nm, S nm ),emboa bastantes pequenos, tonam o actual campo gavitacional não cental e consequentemente faz com que os elementos de Keple vaiam com o tempo. Depois de muito tabalho de cálculo chegamos às equações que nos dão a vaiação de cada elemento de Keple com o tempo (Sunkel, pag.8): da R ; na M de 1 e na e R M 1 e na e R d na 1 1 e R sin i i João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 45

12 di na cos i 1 e R sin i na 1 1 e R sin i dm 1 e n na e R R ; e na a d na cos i R 1 e sin i i 1 e na e R e A pincipal foça petubadoa do movimento do satélite é devida ao temo zonal J =C 0, isto é, devido à foma achatada da Tea. Este coeficiente é apoximadamente 1000 vezes supeio aos outos coeficientes, poduzindo uma aceleação petubadoa de ceca de 5x10-5 ms - enquanto que os estantes temos do modelo geopotencial contibuem no seu conjunto com uma aceleação petubadoa apoximada de x10-7 ms -. Neste caso consideamos apenas o temo C 0 obtemos: 1 e / sin ( i / 4) 1/ C0 Gae R a 0 da de di 0 ; 0 ; 0 d nc ae i (1 e ) a cos ; d nc0 ae cos i (1 e ) a dm nc a n 0 e cos i 1 / 4(1 e ) a a e é o semieixo maio da Tea.7.1 Petubação devida à atmosfea Um satélite em óbita teeste sofe uma acção esistiva do a, devido à inteacção com as patículas da atmosfea envolvente. Essa foça actua no satélite na mesma diecção do seu vecto velocidade e em sentido contáio ao movimento. Paa a maioia dos satélites atificiais, a esistência atmosféica modifica a óbita, uma vez que etia a enegia ao satélite, povocando vaiações seculaes em a e M que esultam numa contacção da óbita e um movimento em espial. A atmosfea induz sobe uma óbita cicula uma diminuição continua do semi-eixo maio da óbita: da S k CD m : densidade da atmosfea M: massa do satélite a C D : coeficiente de taineé atmosféico K: coeficiente de popocionalidade João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 46

13 S: supefície do satélite pependicula à velocidade depende da actividade sola e da actividade geomagnética o que faz com que as vaiações sejam dificilmente pedizíveis. Paa a óbita do SPOT a diminuição do semi-eixo seá ente 0.5 a 1.5m po dia. Esta diminuição povoca a modificação do peíodo nodal e consequentemente a longitude de passagem no nodo..7. Movimento do Nodo Ascendente A ascensão ecta do nodo ascendente evolui lineamente com o tempo: d t t t t d nc0 ae ( ) ( 0 ) ( 0) ; e cos i (1 e ) a O movimento de pecessão do nodo ascendente aumenta a sua velocidade com a diminuição da inclinação da óbita. Paa i= 90º a pecessão é nula. Paa uma óbita cicula a equação eduz-se a: d G ae ae C0 cos i 9.97 a a a 7/ cos i A otação do nodo ascendente d/ é etogado paa as óbitas i < 90º e diecto paa óbitas com inclinação maio que 90º.7. Movimento do Peigeu 7/ d ae 9.97 cos i a O peigeu vaia também lineamente com o tempo: d ( t) ( t ) ( t t ) ; 0 0 d nc ae i (1 e ) a cos Paa uma óbita cicula a expessão simplifica-se paa:.7.4 Movimento da anomalia média 7/ d e a cos a Vimos que a anomalia média no instante t se escevia: i João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 47

14 M t) M ( t ) M ( t t ) ; M ( 0 0 dm dm nc a n 0 e cos i 1 / 4(1 e ) a.8 Peíodo da óbita A otação do peigeu, leva à definição de váios peíodos: Peíodo anomalistico: Tempo ente duas passagens consecutivas no peigeu T A n Peíodo nodal: Tempo ente duas passagens consecutivas no nodo ascendente T N n.9 Óbitas usadas paa obsevação da Tea A óbita dum satélite de obsevação da Tea deve apesenta caacteísticas paticulaes : egulaidade e sinconismo, de modo que as imagens poduzidas em difeentes épocas sepaadas no tempo sejam compaáveis. Estas caacteísticas pemitem a pevisão da passagem do satélite sobe uma zona dada com a possibilidade de defini calendáio de passagens simples e univesal João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 48

15 É desejável a obtenção de imagens possuindo as mesmas caacteísticas seja qual fo o luga obsevado. Po isso a óbita deveá se cicula. Desejamos obte imagens de todas as egiões da Tea. Po isso a óbita deveá se Pola. A Tea oda sobe ela mesma no inteio da óbita descevendo o ponto nadial sob o satélite um taço sobe a Tea em intevalos egulaes. É impotante que o satélite disponha de um ciclo de funcionamento pemitindo a obsevação egula de um mesmo ponto sobe a Tea. De modo a cia este ciclo de obsevação, é necessáio que ao fim de um ceto tempo o satélite tenha cumpido um númeo inteio de evoluções sobe a sua óbita, e a Tea, um númeo inteio de evoluções sobe ela mesma. Nestas condições dizemos que a óbita está em fase com a Tea Existem dois tipos de óbitas que paecem paticulamente bem adaptadas ao estudo da Tea: Óbitas Geoestacionáias : Estes satélites têm po missão o estudo pemanente de uma laga zona da supefície teeste. Apopiado paa estudos meteoológicos. Óbitas de fase Heliosincona: Missões de obsevação da Tea. Têm quato caacteísticas: Baixa altitude, Ciculaes (quase), Heliosinconas, Fase com a Tea.9.1 Òbitas Geoestacionáias Um satélite é dito de geoestacionáio se se mantém na vetical de um ponto fixo. Paa que isso aconteça devem se veificadas tês condições: 1. O satélite deveá se síncono: o peíodo de evolução deveá se igual ao peíodo de otação da Tea. A sua óbita deveá se cicula (e=0). A sua óbita deveá se equatoial (i=0) Tendo em conta as petubações poduzidas po J, a condição de sinconismo escevese paa uma óbita cicula equatoial: M T Em que T é a velocidade angula de otação da Tea T = gaus po dia. Resolvendo esta equação em odem ao semi-eixo maio veificamos que o valo é: João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 49

16 a= km..9.1 Òbitas Heliosincona Uma das condições que deveá se imposta a qualque sistema de DR é que Seja possível a compaação ente obsevações dum dado luga obtidas em datas difeentes. A compaação só podeá se feita se as condições de iluminação sola foem as mesmas as Hoas de obsevação iguais, ou seja à mesma hoa local. Este efeito é obtido escolhendo uma óbita heliosincona, ou seja uma óbita em que a linha dos nodos faça exactamente uma volta completa num ano, como a Tea no seu movimento em tono do Sol. Se a velocidade de otação d/ fo igual à velocidade média do movimento do Sol em tono da Tea, a geometia Sol-plano da óbita seá apoximadamente constante e as condições de iluminação paa uma dada latitude dependem unicamente da vaiação da declinação do Sol com as estações. Definimos óbita heliosincona uma óbita que veifique a seguinte elação: w s Em que w s é a velocidade de otação apaente do Sol em tono da Tea (w s = º / dia). A equação do movimento do nodo ascendente é dada po: 7/ d ae 9.97 cos i a Foçando a que este movimento seja igual à velocidade apaente do Sol, fica: 7/ 9.97 a a 1 e cos i cos i a a e Ou seja, temos uma elação ente a inclinação da óbita e o semieixo maio da elipse da óbita. O sinal negativo indica que a condição de heliosinconismo obiga a que a inclinação seja supeio a 90º. A óbita é dita etógada. Definimos hoa local H do nodo ascendente duma óbita heliosincona pela equação: * H 1h S * Em que S é a ascensão ecta do Sol fictício sobe o plano equatoial com uma velocidade unifome w S tendo numa dada data abitáia, tomada como oigem, a mesma ascensão ecta que o Sol vedadeio. 7/ João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 50

17 * S S ( t0) *( t t0) A condição de heliosinconismo diz-nos que H é constante. H 1h S ( t0) *( t t0) ( ( t0) ( t t0)).9. Òbitas em fase com a Tea As numeosas missões de obsevação da Tea impõem uma cobetua epetitiva de toda ou pate da Tea com uma peiodicidade consideada aceitável. A noção de cobetua compota dois aspectos: 1.Constangimento de cobetua A cobetua numa dada latitude deve se ealizada tendo em conta uma ecobetua de longitude fixa das medidas efectuadas a pati de duas óbitas em que o taço sobe a supefície sejam vizinhos. Este constangimento está ligado à lagua do campo de visão: IGOV.Constangimento de epetitividade As séies de obsevações de dois ciclos de cobetua devem se sobepostos. Isto impõe que peiodicamente o satélite passe de novo exactamente sobe o mesmo ponto. O intevalo de tempo ente duas passagens sobe o mesmo ponto é igual à duação do ciclo de cobetua. Se o constangimento de epetitividade é satisfeito, então: 1) Existe um inteio M tal que: P= N + M/Q P : é o númeo de peíodos nodais po dia Q : é a duação do ciclo de cobetua N : pate inteia de P ) Repesentando po i L j a longitude do i-esimo nodo ascendente do dia j, e 1 tomando convenientemente a oigem das longitude L 0 temos que: 0 Q com j M ( módulo Q e Q 1 Lj j j ) j PQ A sequência de longitudes dos pimeios nodos de cada dia é equivalente à sequencia dos esíduos de módulo Q dos Q pimeios múltiplos de M. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 51

18 ) Po fim temos que, se: C PQ Em que C é a distância ente dois nodos contíguos no equado. A condição de cobetua no equado é escita: (1 ) C P PQ Em que C P é o campo de visão medido no solo e é a ecobetua imposta. Assim, como Q é fixo obtemos o limite infeio ao valo de P: ou seja o limite supeio ao semieixo maio da óbita. João Catalão Fenandes, jcfenandes@fc.ul.pt 5