2. Modelos de Contagem e Padrões de Aleatoriedade

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1 2. Modlos d Contagm Padrõs d Alatoridad A distribuição d Poisson rina indisputada m muitas áras d Biologia, nomadamnt m studos populacionais. Foi por isso qu comçámos por lr com grand intrss Nuhâusr t ai. (2001), ond s propõ

2 um modlo multi-hiprgométrico para o númro d bastardos atrás dscritos. Não concordando com a argumntação aprsntada, parcu-nos vantajoso aprsntar comntar modlos d contagm d uma forma coordnada, procurando chamar a atnção para as rlaçõs xistnts ntr divrsos modlos distintos, smpr qu possívl para os padrõs d alatoridad qu podm transmitir. A - Modlo d Poisson associados Em muitos problmas d Matmática o rcurso a aproximaçõs d primira ordm é uma forma xpdita singularmnt ficint d rsolvr as qustõs. O modlo d Poisson é um xmplo disso, quando prtndmos procdr a contagns pondo a alatoridad a nosso srviço. As hipótss simplificadoras qu usamos para dsnvolvr um modlo d contagm lmntar ficint são: stacionaridad dos incrmntos (qu corrspond a acrditar na rgularidad do procsso qu gra o qu qurmos contar), indpndência dos incrmntos m janlas d obsrvação disjuntas (admitimos qu não há um "drram" d informação d uma zona para outra), linaridad local da probabilidad d uma obsrvação m janlas d tamanho infinitsimal: não só banimos a possibilidad d havr ocorrências coincidnts, como admitimos qu a probabilidad d uma ocorrência isolada numa janla mdindo da é lp' (XA+dA - XA = 1) = ÀdA + o(da). Estas três hipótss são quanto basta para dsnvolvr um modlo para o númro d ocorrências numa janla d obsrvação d tamanho A: = O, 1,... XA = { _ -ÀA (>'A) P -! Nst modlo, le(x A ) = ÀA, o comportamnto médio é linar. No qu sgu vamos considrar A = 1 (janla d obsrvação d tamanho unitário). O modlo d Poisson é ntão adquado quando qurmos modlar o númro d ocorrências mim procsso cujo comportamnto médio é "stávl" 2: númro d ablhas qu rgrssam à colmia durant príodos d 5 minutos, númro d glóbulos vrmlhos m cada cla d um hmacímtro, númro d camarõs qu s rcolh num camaroiro d dtrminado tamanho num tanqu d um viviro, númro d ninhos d dtrminada spéci qu xist m dtrminada ára. É a tradução simpls da nossa fé na rgularidad, consqunt prdictibilidad, dos fnómnos. S pgarmos m punhados d arroz os "smarmos" nquanto prcorrmos uma sala, a configuração qu spramos qu rsult tm um padrão d alatoridad qu corrspond a contagns d Poisson. O modlo d Poisson é também uma bitola no qu rspita a disprsão, porqu v~c~~) = 1: S v~(h) > 1 (como acontc com variávis binomiais ngativas) dizmos qu Y é um modlo sobrdisprso, s v:ch) < 1 (como é o caso d modlos d contagm binomiais) dizmos qu Y é um modlo subdisprso. É dcrto natural usar x para stimar À (é, d facto, a stimativa d vrosimilhança máxima da taxa À). Apsar d tr suport infinito, a Poisson pod sr prfitamnt adquada para modlar uma contagm ncssariamnt fínita". Naturalmnt, nssas situaçõs a class C N mais à dirita dv sr intrprtada como corrspondndo à cauda X ~ N. Altrnativamnt podmos prfrir um modlo truncado à dirita d N, admitindo qu por razõs físicas > N não é obsrvávl. O modlo rsultant dssa truncatura tm função massa d probabilidad lp'(x=) v, = lp' (X :::;N) >. - -N--'!, -01 -,,..., N. E-* j=l J. Uma forma ficint d stimar À, no modlo truncado, é rsolvr a quação d máxima vrosimilhança N y 2:)x-j)-., =0 j=o J. 2 Rcord qu o modlo d Poisson surg naturalmnt como aproximação das contagns binomiais - númro d sucssos m n provas d Brnoulli -, Xn ~ Binomial(n,Pn)' quando os valors sprados le(xn) = npn ~ À. 3 É aliás uma obsrvação qu srv para qualqur modlo com variância finita cr 2 : dnotando /1- = E (X), dsigualdad d Chbychff stablc qu lp' [IX - /1-12: a 2 ] :S 7' consquntmnt a probabilidad fora d (/1- a, /1-+ o) é ngligívl; no caso d modlos com disprsão modrada, o rfrido intrvalo é dcrto adquado à amplitud dos dados rais.

3 o qu é bastant facilitado por rcurso às tablas d Cohn (1961). Moor (1954) sugriu como altrnativo o stimador - À x = L --:r;;, ' ond m rprsnta o númro d contagns infriors a N - 1. E o stimador qu usamos j na scção 3, uma vz qu é cntrado bastant mais simpls d calcular. Há muitas vantagns matmáticas m usar o modlo d Poisson. Por xmplo, não s altra, a mnos do valor médio, claro, por filtragm binomial (qu alguns prfrm dsignar thinning, outros rarfação), uma forma simpls d modlar o spctáculo da naturza, qu tm qu apostar tantas vzs na profusão das oportunidads para assgurar o númro scasso d sucssos qu mantém o quilíbrio cológico. No caso concrto qu nos ocupa, suponha-s qu o númro d oportunidads d adultério (ncontrar um macho qu não é o su parciro social, numa situação m qu não há comptição ntr ls) qu uma das fêmas m studo tm pod sr modlado por X ~ Poisson(Àl), qu a probabilidad d ssa oportunidad sr aprovitada é P1, qu a probabilidad d qu ssa cópula origin d facto um bastardo é P2, indpndntmnt do qu acontc m qualqur outra ocorrência. O modlo para o númro d bastardos dssa fêma é X;,.-..PoisSon(À1P1P2), com valor médio le (Xr) = À1P1P2 < À1 = le(x), uma rarfação rsultant d nm todas as oportunidads srm concrtizadas ou, msmo qu concrtizadas, fcundas. Acima usámos a xprssão "uma das fêmas m studo". Na subscção B discutimos como incorporar variabilidad individual no modlo gral, obtndo um modlo mais disprso do qu o d Poisson. S X Y form variávis alatórias indpndnts d Poisson, a soma também é Poisson. Por outras palavras, a "adição" d informação pod sr fita d forma muito simpls, apnas há qu mudar o parârntro (basta pnsar qu a taxa é o valor médio, qu o valor médio da soma é a soma dos valors médios) - para prcbr a vantagm, basta atntar qu a média é a mais usada das statísticas. Um corolário imdiato dsta constatação mostra qu o modlo binomial, gralmnt aprsntado como contagm d sucssos m provas indpndnts com probabilidad d sucsso constant (provas d Brnoulli), surg naturalmnt por condicionamnto d uma parcla Poisson no rsultado da soma d Poissons indpndnts: S X; ~ Poisson(À)' indpndnts, ntão x; I L: X.=$ r j=1,.-.. Binomial (s, ~) L x J j=1 J (Est rsultado, qu pod sr gnralizado mostrando qu a multinomial surg como condicionamnto d uma parcla Poisson multivariada no rsultado da soma d Poissons multivariadas indpndnts, stá na bas da anális d tablas d contingência tsts d ajustamnto do qui-quadrado. Dmonstraçõs simpls dos rsultados qu rfrimos ncontram-s m Pstana Vlosa, 2002.) Nst studo sobr bastardia, admitindo qu nos ocupamos d ninhos com um númro X f + Yf = s d dscndnts d uma das fêmas, ond Xf ~ Poisson(ÀlPlP2) Yf ~ Poisson(p3), indpndnts, modlam rspctivamnt o númro d crias "bastardas" o númro d crias "lgítimas", o modlo para o númro d bastardos é X, = XI I x I +Y I =$ ~ Binomial (s, À À)P'+i )P)P2 possibilidad d ajustar um modlo binomial aos dados - 2P3 ). É por isso qu na scção 3 invstigamos a com rsultados dsncorajadors, como vrmos. É fácil stabcr um rsultado análogo sobr binomiais indpndnts com o msmo parâmtro P (proba- r bilidad d sucsso m cada uma das provas d Brnoulli): Xl X n rr-; Binomial(N,p) X; I r L: j=1»<: X.=s s X; ~ Binomialiru ; p), N Hiprgométrica(N, s, 7f), ond 7f = -lt. = L nj, tm-s j=l J Assim, também a hiprgométrica - gralmnt aprsntada como modlo para a contagm d sucssos m situaçõs d dpndência dcorrnts d xtracçõs sm rposição, uma forma d dpndência modrada m qu s obsrva prmutabilidad - pod sr considrada uma parnt mais afastada da Poisson. Nuhâusr t ai. (2001) propõm um modlo multi-hiprgométrico para o númro d bastardos nos ninhos, o qu pod sr considravlmnt simplificado por marginação, bastando a hiprgométrica usual para o cálculo dos valors médios a usar no tst d ajustamnto. Na scção 3 procdmos também ao studo do ajustamnto dst modlo, com propósitos comparativos. Mas dsd já apontamos qu nos parc muito mais razoávl admitir qu o modlo absoluto d qu s part é Poisson do qu considrar qu é binomial, portanto spramos mlhor ajustamnto binomial do qu hiprgométrico. D facto o ajustamnto binomial é consistntmnt mlhor do qu o hiprgométrico, mas não é suficintmnt bom (é, d facto, m gral bastant infrior ao ajustamnto

4 por uma Poisson). Há qu xplorar outros padrõs d alatoridad para ncontrar modlos suficintmnt bons, sobrtudo tntar ligar sss padrõs d alatoridad d uma forma convincnt com o qu stamos a tntar modlar. Uma obsrvação ainda sobr hiprgométrica, binomial Poisson: são os três modlos d contagm mais lmntars, qu corrspondm d forma muito natural a contagm d sucssos m x-tracçõs sm rposição (dpndnts, prmutávis), contagm d sucssos m xtracçõs com rposição (indpndnts), m situação d rgularidad do númro sprado por janla d obsrvação. O modlo hiprgométrico é o mais complxo, com três parâmtros, o binomial tm apnas dois parâmtros (s stamos a xtrair com rposição, torna-s irrlvant a dimnsão da população), o d Poisson fica compltamnt caractrizado por um parâmtro, a taxa ou númro médio d obsrvaçõs na janla d tamanho unitário. Em situaçõs muito comuns podmos aproximar a hiprgométrica pla binomial, mais simpls: s a dimnsão da amostra n «N, ond N dnota a dimnsão da população, torna-s irrlvant fazr amostragm com ou sm rposição. Também sucssõs d binomiais convrgm m distribuição para uma Poisson apropriada, dsd qu a sucssão d valors médios stabiliz, le(x = npn À > 0, assim podmos aproximar a Binomial(n,p) por uma Poisson(np), com ) n n-oo probabilidads mais simpls d calcular, s o númro d provas n for suficintmnt lvado a probabilidad d sucsso m cada prova for modrada (m trmos práticos, o mínimo ntr o númro sprado d sucssos o númro sprado d insucssos for> 5). Naturalmnt, com st procsso d aproximaçõs, a informação vai-s prdndo: s X -r--; Poisson(À) com À = np, Y ~ Binomial(n, p) W ~ Hiprgométrica(N, n, p), var(w) N-n = np(l - p) N _ 1 < var(y) = np(l - p) < var(x) = À = np. Mas há ainda razõs mais profundas para as Poissons srm favoritas ntr os modlos discrtos: são os tijolos com qu s constrom as variávis infinitamnt divisívis, a class d lis limits d somas d parclas apropriadamnt cntradas rduzidas por forma a cada uma dlas tr uma contribuição ngligívl. É assunto qu não prtndmos aqui xplorar, dixamos apnas sta nota brv sobr a importância strutural dst modlo na construção d modlos aditivos mais grais. E já qu a mo dlação é o crn da qustão: Os modlos xprimm a nossa fé na organização, nos padrõs prmannts ncssários qu são obscurcidos plo aparnt caos suprficial das xpriências concrtas, contingnts mutávis. A sua riquza provém da sua gnralidad'' ( lia littl inaccuracy savs tons o] xplanation", scrvu Sai), dos infinitos modlos qu podmos concbr naturalmnt rtmos os qu têm a capacidad d traduzirm d forma simpls gral padrõs complxos, qu cumulativamnt são matmaticamnt tratávis, prmitindo ir mais long na comprnsão dos fnómnos pla manipulação simbólica rxprssão dos sus rsultados m trmos intrprtativos da ralidad. As propridads da Poisson qu acima rfrimos mostram a xclência dst modlo, no contxto das caractrísticas qu acima advogamos como aplativas, qu plnamnt justificam o su protagonismo ntr as variávis discrtas, nomadamnt m situaçõs m qu simplificámos a ponto d considrar qu a alatoridad é tão rgular como o spalhar do grão plo smador. Nas subscçõs qu sgum vrmos como introduzir modlos qu possam tr m linha d conta padrõs d alatoridad mais complxos, nomadamnt dcorrnts d variabilidad individual, ou d uma tndência para clustrs d bastardos m alguns ninhos, uma forma d concntração mitigada plo quilíbrio ntr tnsõs contraditórias. B - Modlos para Sobr-Disprsão: Blnomiais Ngativas como Misturas Gama d Poissons O modlo gométrico -, mais gralmnt, o modlo binomial ngativo d qu o gométrico é um mro caso particular - podm constituir altrnativas intrssants, mais disprsas, ao modlo Poisson, quando s qur tr m linha d conta variabilidad individual. Podria, assim, sr apropriado para modlar a variabilidad dos padrõs d comportamnto sxual das difrnts fêmas. 4 O acsso gnralizado a rcursos computacionais, qu hoj considramos sofisticados, tm lvado a um invstimnto grand m "modlos cada vz mais próximos da ralidad", havndo qum advogu uma abordagm rvolucionária ao nsino da Probabilidad da Estatística, tndo como linha d força a utilização d programas como o MathLab para obtr rspostas por simulação (P. J. Nahin (2000), Dulling Idiots and othr Probability Ptizzlrs, Princton Univ. Prss, por xmplo, tomou ssa opção nas univrsidads d Virginia Nw Hampshir). O mais vlho d nós, qu por isso msmo pod sr um vlho do Rstlo (quando tivr dinhiro para lá comprar uma casa, para já tm qu s contntar m sr um vlho d Almada... ), considra qu dntro d limits muito stritos ssa abordagm é intrssant, mas não pod substituir - nm dv antcdr - uma formação sólida na utilização dos modlos clássicos, sobrtudo porqu constrói modlos tão próximos das situaçõs concrtas qu não são dpois transfrívis para outras situaçõs (claro qu o conhcimnto é transfrívl, por isso nm tudo s prd), qu não há ciência do particular. Os mais novos acham-s dmasiado novos para trm convicçõs, ou acham qu não é prudnt xprssar convicçõs divrgnts das do outro.

5 ; ainda Sja X,-...Poisson(>..) o modlo qu dscrv o númro d bastardos d uma fêma X= { P = -À >..! = 0,1,... (var(x) = le(x) = A). Podmos agora admitir variabilidad individual no númro médio d bastardos d cada fêma, supor qu para a população Y,-... Poísson(A), qu caso a caso X é o valor obsrvado d uma variávl alatória A,-... Exponncíal(8), i.. com função d distribuição 8> O. Nst modlo hirárquico Y I A,-...Poísson(A), A,-... Gama(8) le(y) = le[le(y I A)] = le(a) = 8 2 var (Y) = E [var(y I A)] + var [le(y I A)] = E (A) + var (A) = Obtmos assim um modlo sobrdisprso, var (Y) > var (X), claramnt mais adquado no caso d havr maior divrsidad. À 1 -õ Como i,(>..) = "8 1(0,=)(>"), +00 lp'(y = ) = / -À o 1 /+00 ( Y ) _y dy 1 (J) = 8! 1 + i 1 + i = ' o o = 0,1,... ou sja Y,-... Gométrica ( l!o,o). É sta drivação qu lva alguns autors a considrarm a gométrica ( mais gralmnt a binomial ngativa, qu s obtém usando como misturadora uma gama com o msmo índic 1/) uma "Poisson mais disprsa". No caso gral, quando ambos os parâmtros são dsconhcidos, o método dos momntos é adquado: _ x p= -2 S _2 - x =-,--=:. s -x Como altrnativa, o método médía--jrquêncía-d-zros quaciona valor médio probabilidad d O com média frquência obsrvada d zros: io = (p*) ' * = ln io lnp*. 1-p* ---=x p* ' bt d. ~ 1-p' - 1-p' - ~ p' _~ d P* 1-p' P' h o n o-s assim ln p' p' = x {==} p' ln p* - ln ia {==} ln(l+p*) = ln ia,on = p'. Igorsc (1990) rcomnda, tal como Brson (1980), stimação plo qui-quadrado mínimo, para amostras d dimnsão n :2: 20, por o stimador sr mnos nvisado do qu os d vrosimilhança máxima ou método dos momntos. Por razõs práticas d intrprtabilidad, usamos aproximaçõs naturais para ú qu a binomial ngativa stja dfinida para índics 1/ :2: O, a binomial ngativa truncada m zro para valors d 1/ :2: -1, vja-s na scção 6 os comntários sobr a distribuição d Engn (1974) na scção 5 sobr a logarítmica quando 1/ -+ O. Por isso, quando ií ;::::::O, usamos a logarítmica translatada X-L Truncar a cauda dirita da binomial ngativa é uma opção intrssant, mas não s conhcm bons métodos d stimação dos parâmtros. No caso d truncarmos a gométrica à dirita d s, obtndo massas d probabi lidad P = p (l-p) s+1, = O,..., s, a stimativa d vrosimilhança máxima d p satisfaz a quação l-(l-p) ~_t _x n_('-s_+----'l ),-(,-l_--:-'sf;.-;!_s = O, p j=l 1 - P 1 - (1 - p)

6 qu rsolvmos numricamnt m cada caso d intrss. c- Agrgação o Modlo Logarítmico Não s pod prsumir d num ninho não havr bastardos qu a passarinha é fil ao su companhiro social. Pod msmo sr muito promíscua, mas as rlaçõs xtra-conjugais não srm fértis. É frqunt só podrmos vr uma part da ralidad. Por xmplo, há fêmas d insctos qu pousam m folhas adquadas para alimntar as suas larvas, aí dpositam ovos. S não houvr ovos numa folha, ficamos sm sabr s lá pousou ou não alguma dssas fêmas. Em compnsação, quando ficamos dcrto a sabr qu pousou é porqu obsrvamos ovo(s), m gral mais do qu um. A cguira parcial é compnsada por obsrvação múltipla nos outros casos. Vamos dscrvr um modlo d contagm qu s prsta a dscrvr st tipo d aglomração (clustring). v E (0,1), tm-s o dsnvolvimnto ln(l - ) alatórias w -{ L T' Pod assim dfinir-s a família d variávis =l = 1,2,... 1 P=-ln(l-) (O<<l) Tm-s v;~~)) = 1+& ' o qu mostra qu st modlo é sobrdisprso ou subdisprso consoant > 1- ~ ou < 1- ~ (sta situação é a mais intrssant: tm-s assim um modlo com suport infinito qu é subdisprso). Para = 1 - ~' var(ltv ) = le(w ), como na Poisson. A ddução d Fishr t al. (1943) da variávl alatória logarítmica mostra qu é o limit fraco d uma sucssão d binomiais ngativas truncadas m zro com índic v -+ 0, assim também stá associada, mais rmotamnt, à Poisson. Mostraram ls qu s num lot o númro d spécis d qu há xactamnt um indivíduo é n 1, s dnotarmos o índic d divrsidad fr = ~' ntão o númro d spécis d qu há indivíduos é aproximadamnt 01: ' = 2,3,... Em gral a distribuição logarítmica proporciona bom ajustamnto a dados d contagm quando xist alguma dinâmica d agrupamnto (clustring), como é o caso d númro d bactérias m cada colónia, númro d moradors por habitação, númro d crias numa ninhada, númro d smnts m cada gomo d laranja. A stimativa d vrosimilhança máxima d é a solução ê d - -x (1 - ) ln (1 - ) -, qu pod sr facilmnt calculada com um algoritmo numérico adquado, por xmplo o método d Nwton- -Raphson. Truncando à dirita d s, obtém-s o modlo logarítmico truncado W = t { tl j=1 :J = 1,...,s A stimativa d vrosimilhança máxima d é a solução d (1 - ') --~-s~~.- (l-) L ~ j=l J =x, qu pod sr calculada usando as tablas d Patil and Wani (1965). Para os nossos propósitos é ainda mais simpls quacionar momntos populacionais com os corrspondnts momntos mpíricos, obtndo a xprssão xplícita

7 , n ond m = ~ L z. é o -ésimo momnto amostral. j=1 J Naturalmnt, no nosso studo vamos translatar a variávl por forma a tr no suport, X X = W -1; é quivalnt a somar uma unidad a cada obsrvação, usar x + 1m vz d x vf-1 Uma obsrvação rlvant: no modlo truncado o spaço d parâmtros pod sr considravlmnt ampliado, d = (O, 1) para * = (0,00). D facto, \Ia > = 1,2,... é uma variávl alatória. Excpção fita da hiprgométrica, todas as outras distribuiçõs qu dscrvmos a partir do modlo d Poisson são distribuiçõs potência (powr Zaws), cf. Johnson t al. (1992, p. 81), no sntido m qu a xprssão analítica da função massa d probabilidad contém potências cuja bas é o parâmtro populacional, o xpont o valor assumido pla variávl alatória. As distribuiçõs potência têm um papl important na modlação d fnómnos dinâmicos, nos quais os fitos d scala contribum para a auto-organização. Mais uma razão, a nosso vr, para prtrir o modlo hiprgométrico, qu s obtém num squma rptido d adição/condicionamnto d parcla na soma, qu nst contxto d modlação do númro dos bastardos nos parc apnas artificioso. D - Famílias d variávis discrtas Na dscrição das três scçõs prcdnts, usámos a Poisson como um modlo grador d outros modlos discrtos, usando opraçõs d truncatura, mistura, condicionamnto na soma. Há infinitos modlos discrtos, mas a função da modlação é simplificar, o qu a nosso vr tm duas vrtnts: proporcionar xprssõs simpls para ao cálculo d probabilidads, momntos, stimativas, statísticas, por um lado; viabilizar a invnção d rlaçõs não vidnts ntr fnómnos, o qu driva d havr rlaçõs matmaticamnt simpls ntr os modlos. Não é por acaso qu associados ao modlo Poisson surgm binomiais, binomiais ngativas, binomiais logarítmicas (para nos limitarmos a modlos discrtos). S pnsarmos na família {X o. (3} d variávis alatórias cujas funçõs massa d probabilidad vrificam a xprssão rcursiva Pn+l = a + _(3_ P; n+ 1 n = 0, 1,..., m gral atribuída a Panjr (1981), mas já usada por Katz (1965), multiplicando ambos os mmbros d (n+1)pn+1 =napn + (a + (3)Pn por sn+1 somando para n = 0,1,... conclui-s qu a função gradora d probabilidads vrifica a quação difrncial P'(s) P(s) a+(3 l-as' cujas possívis soluçõs absolutamnt monótonas com P(l) = 1 são: 1. P(s) = 1, caso a = (3 = 0, corrspondnt a Xo,o = 0, a variávl dgnrada m O. (3(8-1) 2. P(s) = s a = ( ntão ncssariamnt (3 > O), dond X O,(3 ~ Poisson((3) P(s) = (1~:S) o ; X o,(3,... BinomialNgativa (0!{3, 1 - a) s a E (O, 1) a + (3 > O. -(1+~) 4. P(s) = (1 - -fl + -fl s) s a < _fi E N+ X ~ Binomial (-1 - fi -fl). o-i o-i o ' 0,(3 o ' o-i

8 Vja-s m Rolsi t alo (1999) uma dmonstração altrnativa d qu as únicas variávis não dgnradas cujas massas d probabilidad vrificam a rlação d Panjr são as binomiais ngativas, a Poisson, as binomiais. S rlaxarmos a condição, admitindo qu Po = O xigindo qu a rcorrência s dê apnas para n > 1. P"+l = Ú + n!l n = 1,2,. ;., a quação funcional para a função gradora d probabilidads p" (1 - os) P'(s) - (o + (3) P(s) = P, tm um conjunto d soluçõs considravlmnt mais vasto, ntr as quais a binomial ngativa gnralizada d Engn (1974) d qu an,..--.., Logarítmica(ú) é um caso limit, quando ú E (0,1) ú+{3 = 0 5. Mais prcisamnt, vrificam a xprssão rcursiva P,,+l = Ú + /3+ 1 n = 1,2,..., as variávis alatórias cuja função gradora d P" n probabilidads P(s) é da forma P(s) = T + (1 - T)P(S), ond T E gradoras 1. l-(l-as) d probabilidads _0;+8 cx _ Q!l3 [ P(O») P(O)-l' 1,sndo P ( s ) uma das funços - (binomial ngativa truncada m O s ú E (O, 1) (3 > -ú; binomial ngativa gnralizada l-(l-a) d Engn, truncada m O, s ú E (O, 1] {3E (-2ú, -ú); Logarítmica(ú) s -{3 = ú E (O, 1) - a variávl alatória logarítmica é o limit d uma sucssão d binomiais ngativas truncadas m O, com índics a tndr para O). 2. -~í3 (i3s - 1) (Poisson truncada m O, s ú = O ú + {3--> O (3 > O); l- - (1+~) 3. (l-as) -1 (binomial truncada m O, s ú < O -~ E N). -(1+.!!.) ~ (l-a) Q-1 Vlosa (2002) stndu ainda considravlmnt stas classs, dfinindo uma família continuamnt paramtrizada d lis infinitamnt divisívis discrtas qu contém, como casos particulars, as misturas d gométricas as misturas d Poissons. Obsrvando as frquências rlativas i, obsrvadas, s não for dsra-,. ( (+1) f ). (+l) f zoavl considrar os pontos, f +l alinhados, f +l ~ m + b, podmos usar ss ajustamnto linar como diagnóstico inspirador d qu modlo usar: ã = m, fj = b - m. Mais uma vz, a hiprgométrica fica xcluída. Por outro lado é intrssant notar qu s dispõ dsta forma d um riquíssimo manancial d padrõs d alatoridad, qu prmitm modlar situaçõs qu vão da alatoridad da Poisson, qu pod sr mtaforizada plo spalhar d smnts plo smador, sm qualqur rstrição, à alatoridad dscrita pla logarítmica truncada com = 1, m qu P = C. Esta é a li d Zipf (Adamic, 2001), qu traduz um quilíbrio ntr duas tnsõs, qu tm sido usada com sucsso para modlar riquza vocabular d scritors (tnsão ntr vocabulário próprio, individual, vocabulário colctivo usado pla socidad m qu s insrm), grands pqunas urbs (tnsão ntr as vantagns dsvantagns da agrgação) m paíss d constituição rcnt, localização d grands spaços comrciais, sucsso d sits da Ni, tc. Não sria insprado ncontrar bons ajustamntos com a logarítmica ou com a logarítmica truncada: o adultério dv sr, também, uma qustão d oportunidad, d abundância d machos livrs nas vizinhanças do trritório m qu habita a fêma, assim o númro d bastardos dcorrria d um quilíbrio ntr disponibilidad (gral) oportunidad (dsigual), ntr as vantagns d trazr divrsidad gnética à dscndência, a ncssidad d mantr uma organização socialmnt monogâmica, mais favorávl à protcção alimntação das crias.

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