Cinemática e Dinâmica de Engrenagens 3. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados

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1 Cinemáica e Dinâmica de Engrenagens 3. Engrenagens Cilíndricas de Denes Inclinados Paulo Flores José Gomes Universidade do Minho Escola de Engenharia Guimarães 04

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3 ÍNDICE 3. Engrenagens Cilíndricas de Denes Inclinados Inrodução Geração do Dene Nomenclaura Relações Geoméricas Parâmeros de Desempenho Traçado de Tredgold Rodas Cruzadas Revisão de Conhecimenos Referências Bibliográficas... 3

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5 Não há professor que não possa ser discípulo. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS Balasar Gracián 3.. INTRODUÇÃO Nas engrenagens cilíndricas de denes inclinados ou helicoidais, al como a própria designação sugere, os denes apresenam uma inclinação relaivamene ao eixo das rodas. Na verdade, nese ipo de engrenagens os denes esão disposos ransversalmene em forma de hélice em relação ao eixo das rodas. A figura 3. evidencia as diferenças enre uma engrenagem cilíndrica de denes reos e uma engrenagem cilíndrica de denes inclinados. É oporuno observar-se que as engrenagens de denes reos são um caso paricular das engrenagens de denes helicoidais, iso é, represenam o caso em que o ângulo de inclinação dos denes é nulo. O ângulo de inclinação dos denes é frequenemene denominado de ângulo de hélice (Shigley e Mischke, 989). Em geral, o ângulo de inclinação dos denes varia enre 5 e 30º. Quando o ângulo de inclinação é pequeno, os benefícios associados a uma engrenagem de denes helicoidais é ambém pequeno. Por seu lado, valores elevados para o ângulo de inclinação endem a bloquear o engrenameno das rodas (Mabie e Reinholz, 987). (a) (b) Figura 3. (a) Engrenagem cilíndrica exerior de denes reos; (b) Engrenagem cilíndrica exerior de denes inclinados. As engrenagens cilíndricas de denes inclinados de primeira geração eram feias pela associação em paralelo de diversas rodas de denes reos, em que enre esas exisia um ligeiro desfasameno, al como se pode observar na figura 3.. Com esa associação de rodas cilíndricas de denes reos conseguiam-se ransmissões mais suaves e com maior capacidade de ransmissão de poência. No caso limie em que a largura do dene ende para zero e o número de denes ende para infinio, enão a associação, inicialmene de denado reo, ransforma-se numa roda de denes inclinados ou helicoidais (Spos e Shoup, 998; Juvinall e Marshek, 006). Em geral, as engrenagens cilíndricas de denes inclinados podem er eixos paralelos ou eixos cruzados não complanares, al como se mosra na figura 3.3. As engrenagens cilíndricas em que os eixos das rodas não são complanares, como no caso da represenação da figura 3.3b, denominam-se de engrenagens orsas (Drago, 988). 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS

6 Figura 3. Roda cilíndrica exerior de denes inclinados de primeira geração. As rodas denadas helicoidais podem ser direias ou esquerdas, conforme a inclinação dos denes. É ambém frequene a denominação de rodas com hélice direia e rodas com hélice esquerda (Wilson e Sadler, 993; Branco e al., 009). A direção das hélices das rodas é definida pela regra da mão direia (Flores e Claro, 007). A figura 3.4 ilusra rodas com hélice direia e com hélice esquerda. Numa engrenagem cilíndrica de denes inclinados, o ângulo de inclinação dos denes das duas rodas em de ser o mesmo, porém, uma roda apresena hélice direia e a oura hélice esquerda, al como se pode observar na figura 3.3a. (a) (b) Figura 3.3 (a) Engrenagem cilíndrica exerior de denes inclinados em que os eixos são paralelos; (b) Engrenagem cilíndrica exerior de denes inclinados de eixos cruzados. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

7 (a) (b) (c) Figura 3.4 (a) Roda cilíndrica exerior de denes reos; (b) Roda cilíndrica exerior helicoidal com hélice esquerda; (c) Roda cilíndrica exerior helicoidal com hélice direia. É sabido que numa engrenagem cilíndrica de denes reos, o engrenameno enre um par de denes é maerializado por um segmeno de rea paralelo aos eixos das rodas, o qual se esende simulaneamene a oda a largura do dene (cf. figura 3.5a). Por seu lado, nas engrenagens de denes inclinados, o engrenameno enre os denes das rodas ocorre de forma progressiva, iso é, inicia-se com um conaco ponual, o qual se vai desenvolvendo ao longo de uma linha à medida que o engrenameno vai progredindo (cf. figura 3.5b). A linha de conaco é, neses casos, oblíqua em relação aos eixos das rodas (Niemann, 97). Na verdade, é esa caraerísica associada ao engrenameno progressivo que faz com que as forças de conaco enre os denes sejam ransmiidas de forma gradual. Por conseguine, as engrenagens cilíndricas de denes inclinados são basane mais suaves e mais silenciosas que as engrenagens cilíndricas de denado reo. Ouras vanagens associadas às engrenagens cilíndricas de denes inclinados prendem-se com a capacidade de ransmissão de poência e com a gama de velocidades a que operam (Hamrock e al., 005; Budynas e Nisbe, 0). Acrescem ainda os facos de as engrenagens helicoidais apresenarem rendimenos relaivamene elevados e de poderem ser uilizadas para relações de ransmissão elevadas. Finalmene, deve dizer-se que as engrenagens de denes inclinados são, em geral, mais caras (Wilson e Sadler, 993; Branco e al., 009). Nas engrenagens helicoidais em cada posição dos denes há, simulaneamene, vários denes engrenados, exceo quando as engrenagens são significaivamene esreias. Nas engrenagens helicoidais não exise, porano, uma posição de engrenameno individual como no caso das engrenagens cilíndricas de denado reo (Niemann, 97). Na verdade, esa miríade de aspeos posiivos faz com que as engrenagens cilíndricas de denes helicoidais enconrem paricular campo de aplicação na indúsria auomóvel. De faco, aspeos como o baixo nível de ruído, a elevada capacidade de ransmissão de poência são de capial imporância na indúsria auomóvel (Branco e al., 009). Por ouro lado, com engrenagens cilíndricas helicoidais podem ser uilizados menores aravancamenos axiais. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 3

8 Linhas de conaco Linhas de conaco (a) Figura 3.5 (a) Linhas de engrenameno em engrenagem cilíndrica de denes reos; (b) Linhas de engrenameno em engrenagem cilíndrica de denes inclinados. As engrenagens cilíndricas de denes inclinados desenvolvem esforços axiais durane o seu engrenameno, o que não aconece nas engrenagens de denado reo. Eses esforços axiais são ransmiidos aos apoios das rodas. Assim, quando num veio são acopladas várias rodas de denado helicoidal, a direção das hélices deve ser crieriosamene escolhida, de modo a minimizar os esforços axiais nos apoios dos veios (Wilson e Sadler, 993). A figura 3.6 mosra as componenes da força que aua numa engrenagem cilíndrica de denes reos e numa engrenagem de denes inclinados. Por simplicidade de represenação, nesa figura apenas se inclui uma roda e não oda a engrenagem. Da observação da figura 3.6a pode verificar-se que no caso das engrenagens cilíndricas de denes reos, as componenes da força auane nos denes esão conidas num só plano, o qual é perpendicular ao eixo da roda. Por seu lado, da análise da figura 3.6b observa-se que exisem rês componenes da força que aua no engrenameno de rodas cilíndricas de denes inclinados, adquirindo, dese modo, uma dimensão ridimensional (Budynas e Nisbe, 0). (b) F r F r F F F a (a) Figura 3.6 (a) Forças que auam em engrenagens cilíndricas de denes reos; (b) Forças que auam em engrenagens cilíndricas helicoidais. O inconveniene associado à exisência de esforços axiais originados nas engrenagens cilíndricas de denes inclinados pode ser ulrapassado se se uilizarem rodas de dupla hélice, ambém denominadas de rodas com denado em espinha 3 (Mabie e Reinholz, 987). Esa solução é paricularmene ineressane e úil quando as forças (b) 3 Uma engrenagem com denado de dupla hélice é equivalene ao acoplameno de duas engrenagens simples, em que uma em hélice direia e a oura hélice esquerda. 4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

9 desenvolvidas são de elevada magniude. O denado em dupla hélice apresena as mesmas vanagens do denado inclinado simples, às quais acresce o faco de nas engrenagens de dupla hélice não serem, em eoria, ransmiidos esforços axiais (Noron, 03). Na verdade, numa engrenagem de denado de dupla hélice são ambém desenvolvidos esforços axiais durane o engrenameno, conudo, como eses auam em senidos oposos, numa e noura hélice, o esforço resulane é nulo, ou pelo menos reduzido de forma basane significaiva. Por isso, al como já foi mencionado, quando um veio incorpora mais do que uma roda de denado inclinado, devem escolher-se rodas com hélices direias e esquerdas, de modo a que sejam eliminados, ou pelo menos minimizados, os esforços axiais nos apoios dos veios das rodas. A figura 3.7 diz respeio a uma engrenagem cilíndrica de dupla hélice ou de denado em espinha. Ese ipo de engrenagem requer cuidados especiais, ano no fabrico, como na monagem, sendo, por isso, relaivamene mais caras do que as engrenagens cilíndricas de denado helicoidal simples. Figura 3.7 Engrenagem cilíndrica de denes helicoidais de dupla hélice ou em espinha. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 5

10 3.. GERAÇÃO DO DENTE Nesa secção é descrio o processo de geração de perfis de denes helicoidais. Para o efeio, apenas se esuda o perfil em evolvene 4 (Flores e Gomes, 04a). Quando um plano roda sem escorregar sobre um cilindro de base, enão um qualquer segmeno de rea que esá conido no plano gerador, e é paralelo ao eixo do cilindro, gera uma superfície em evolvene de um dene reo. Quando a linha gerariz é oblíqua em relação ao eixo do cilindro, enão o rolameno puro do plano gerador dá origem à superfície de um dene inclinado ou helicoidal. Esa úlima evolvene é denominada de evolvene helicoidal (Mabie e Reinholz, 987). A figura 3.8 diz respeio às siuações aneriormene descrias no que diz respeio à geração de perfis de denes reos e de denes inclinados. Deve referir-se que o perfil do denado helicoidal (evolvene helicoidal) é gerado no plano de roação, o qual é perpendicular ao eixo das rodas. Na verdade, quando o plano que coném a linha gerariz rola sem escorregar, qualquer pono siuado sobre a gerariz descreve uma rajeória em hélice, al como por exemplo a que é descria pelo pono P da figura 3.8b. A infinidade de evolvenes que se pode gerar esá em fase ao longo do ângulo de hélice (Shigley e Uicker, 980). Plano gerador Plano gerador Gerariz Gerariz P (a) Cilindro de base (b) Cilindro de base Figura 3.8 (a) Geração de uma superfície em evolvene de um dene reo; (b) Geração de uma superfície em evolvene de um dene inclinado ou helicoidal. Shigley e Mischke (989), Branco e al. (009), enre ouros auores, descrevem a geração do perfil dos denes helicoidais de modo disino do aneriormene apresenado. Assim, em primeiro lugar considera-se um pedaço de papel em forma de paralelogramo, o qual é enrolado à vola de um cilindro, denominado cilindro de base, como mosra a figura 3.9. O papel é enão enrolado de al modo que um dos lados coincide com a hélice do denado helicoidal. Com efeio, manendo o pedaço de papel esicado e desenrolando-o em orno do cilindro de base, enão cada pono siuado no lado do paralelogramo que represena a hélice gera uma curva evolvene. Por conseguine, a superfície obida pelas evolvenes assim gerada forma a chamada envolvene helicoidal, al como se represena na figura 3.9 (Henrio, 979; Shigley e Uicker, 980; Budynas e Nisbe, 0; Noron 03). 4 Os perfis dos denes baseados na uilização de curvas/superfícies cíclicas não são considerados nese esudo, uma vez que aqueles são de uso pouco frequene (Wilson e Sadler, 993). 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

11 Evolvene helicoidal Perfil evolvene Cilindro de base Figura 3.9 Geração de uma evolvene helicoidal. Da reflexão do que acaba de ser exposa, pode observar-se que a enrada de um dene helicoidal no engrenameno, bem como a sua saída, não ocorre simulaneamene ao longo de oda a largura do dene, mas aconece de modo progressivo. Consequenemene, as ransmissões com rodas de denes inclinados são mais suaves e mais silenciosas. Verifica-se ainda que nas engrenagens de denes helicoidais há um maior número de denes em funcionameno ao mesmo empo, al como se esudará mais à frene no presene documeno. De faco, as engrenagens cilíndricas de denes helicoidais apresenam melhores relações de condução quando comparadas com as engrenagens cilíndricas de denes reos com as mesmas caraerísicas. Por isso, as engrenagens de denado helicoidal endem a er uma maior capacidade de carga. Conudo, as engrenagens cilíndricas de denes reos são mais eficienes (Niemann, 97). Com o inuio básico e único de melhor compreender a geração dos perfis de denes inclinados, apresenam-se de seguida os passos fundamenais que permiem gerar uma evolvene helicoidal. Ese processo, ora descrio, corresponde à generalização dos procedimenos comummene adoados no caso das engrenagens cilíndricas de denado reo (Henrio, 979). Assim, ome-se em consideração a figura 3.0 onde se represenam dois cilindros primiivos cujos eixos conêm os ponos O e O. Os cilindros primiivos são angenes segundo o segmeno de rea IJ. Por seu lado, a inerseção dos cilindros primiivos com o plano perpendicular ao segmeno de rea IJ dá origem às circunferências primiivas C e C, al como se evidencia na figura 3.0. A inerseção do mesmo plano com os cilindros de base, represenados a raço inerrompido na figura 3.0, resula nas correspondenes circunferências de base C b e C b. Por conseguine, o plano que é simulaneamene angene aos cilindros de base represena o plano gerador (Wilson e Sadler, 993; Noron 03). Ese plano é angene aos cilindros de base segundo os segmenos de rea EP e FQ, como se pode observar na mesma figura. O segmeno de rea EF, represenado na figura 3.0, é o resulado da inerseção do plano gerador com o plano perpendicular ao segmeno de rea IJ. Considere-se agora o segmeno de rea RS perencene ao plano gerador e que faz um ângulo com os segmenos de rea EP e FQ. Com efeio, o plano gerador ao rolar sem escorregar sobre cada um dos cilindros de base dá origem a duas superfícies conjugadas evolvenes helicoidais do segmeno RS. Esas superfícies assim geradas 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 7

12 são, pela própria definição de superfícies conjugadas 5, sempre angenes segundo o segmeno de rea RS, donde se pode inferir que o conaco em engrenagens cilíndricas de denado helicoidal se dá segundo uma linha rea (Henrio, 979). O plano gerador que coném, em cada insane do engrenameno, o segmeno de rea do conaco enre as superfícies conjugadas é vulgarmene denominado de plano de ação ou plano de engrenameno (Juvinall e Marshek, 006). C R P J O C b E Q I S F O C C b Plano gerador Figura 3.0 Geração de perfis de denes inclinados. Aendendo a que os cilindros de base são elemenos fixos das engrenagens cilíndricas de denes helicoidais e que o plano gerador descreve um movimeno de rolameno puro sobre aqueles cilindros, enão pode observar-se que (Flores, 0) i r r b b (3.) onde e represenam as velocidades angulares das rodas de uma engrenagem cilíndrica de denes inclinados, sendo r b e r b os respeivos raios de base. Da análise da equação (3.) conclui-se que a relação de ransmissão numa engrenagem de denes helicoidais não depende expliciamene do enre-eixo, al como aconece nas engrenagens cilíndricas de denado reo (Flores e Gomes, 04b). 5 Recorde-se que os perfis dos denes denominam-se conjugados quando exise angência enre as superfícies de dois denes de duas rodas engrenadas (Spos e Shoup, 998). 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

13 3.3. NOMENCLATURA Nesa secção é inroduzida a nomenclaura fundamenal associada às engrenagens cilíndricas de denes inclinados 6. Ao conrário do que aconece nas engrenagens de denado reo, em que a erminologia é, única e exclusivamene, referene ao plano de roação, nas engrenagens cilíndricas de denes helicoidais a exisência de uma inclinação dos denes em relação ao eixo da roda inroduz um ângulo de hélice (Henrio, 979). Refira-se desde já que o ângulo de hélice varia ao longo do perfil do dene, iso é, apresena valores diferenes desde a raiz do dene aé à sua coroa. A figura 3. mosra um dene helicoidal onde esão represenados alguns dos seus elemenos fundamenais para a caraerização dese ipo de denado, nomeadamene: - Hélice primiiva, que é o resulado da inerseção da superfície do dene com o cilindro primiivo, - Hélice de base, que é o resulado da inerseção da superfície do dene com o cilindro de base, - Ângulo de pressão 7 real ou normal, n, que é o ângulo de pressão medido no plano perpendicular ao eixo do dene, - Ângulo de pressão aparene,, que é o ângulo de pressão medido no plano de roação da roda. Hélice de base Hélice primiiva n P b O Plano de roação Plano normal Circunferência primiiva Circunferência de base Figura 3. Represenação de um dene inclinado. Tal como se referiu aneriormene, o ângulo de hélice é variável ao longo da superfície do dene, assim, por definição, em-se que o ângulo de inclinação primiiva é 6 7 Dever referir-se que a nomenclaura adoada no presene exo segue a norma ISO 70 de 988, revisa em 03 e denominada Inernaional gear noaion - Symbols for geomerical daa. Na verdade, só faz senido falar do ângulo de pressão quando exise o engrenameno enre as superfícies conjugadas de dois denes. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 9

14 o ângulo formado pela angene à superfície do dene na hélice primiiva com a direção axial do cilindro primiivo (Juvinall e Marshek, 006). Por ouras palavras, o ângulo de inclinação primiiva, ou simplesmene inclinação primiiva, é o ângulo que a hélice primiiva faz com as gerarizes do cilindro primiivo. De modo semelhane, o ângulo de inclinação de base, ou simplesmene inclinação de base, é o ângulo definido enre a hélice de base e as gerarizes do cilindro de base. Os ângulos de inclinação primiiva e de inclinação de base são represenados pelos símbolos e b, respeivamene. A direção dos denes de uma roda helicoidal é denominada direia ou esquerda, conforme a inclinação dos denes, al como ilusra a figura 3.4. O faco de no denado helicoidal exisir inclinação dos denes implica que o plano de roação das rodas e o plano perpendicular ao eixo dos denes sejam concorrenes, al como se pode observar na figura 3.. Com efeio, numa roda denada de denes helicoidais devem disinguir-se os seguines passos (Budynas e Nisbe, 0): - Passo real ou normal (primiivo), p n, que diz respeio ao comprimeno do arco compreendido enre duas hélices primiivas homólogas consecuivas. Ese passo é medido num plano perpendicular ao eixo dos denes, - Passo aparene ou ransverso, p, que é o comprimeno do arco de circunferência primiiva compreendido enre dois perfis homólogos consecuivos. Ese passo é medido no plano de roação. Deve noar-se que para o caso do denado reo o passo real coincide com o passo ransverso, - Passo axial, p x, que é a disância medida na direção do eixo da roda enre duas hélices primiivas homólogas consecuivas. Ese passo corresponde a um segmeno de rea. Refira-se que o passo axial em paricular significado nas engrenagens do ipo parafuso sem-fim (Wilson e Sadler, 993). p p n p x Eixo da roda Figura 3. Represenação dos diferenes passos exisenes numa roda cilíndrica de denes inclinados. Com o propósio de melhor disinguir os passos aneriormene descrios, considere-se a figura 3., onde se represena a planificação simplificada de uma roda cilíndrica de denes inclinados. Nesa figura evidenciam-se os seguines elemenos: eixo da roda, ângulo de inclinação primiiva (), passo real ou normal (p n ), passo aparene ou ransverso (p ) e passo axial (p x ). Os dois primeiros passos são os mais relevanes no esudo das engrenagens cilíndricas de denes inclinados (Henrio, 979; Noron 03). Da análise da figura 3. pode verificar-se que o passo real em menor magniude do que passo aparene. Pode ainda observar-se que quando o ângulo de inclinação dos denes é nulo (=0) a roda de denado inclinado ransforma-se numa roda de denado reo e, consequenemene, p n =p. 0 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

15 É evidene que em correspondência com os passos real e aparene exisem os módulos real e aparene. Assim, aendendo à definição de módulo em-se que (Flores e Gomes, 04a) p m n n (3.) p m (3.3) em que m n e m dizem respeio ao módulo normal ou real e ao módulo aparene ou ransverso, respeivamene. Para que haja engrenameno enre duas rodas cilíndricas de denes inclinados é necessário que ambas apresenem o mesmo passo real, ou seja, êm que er o mesmo módulo real e o mesmo ângulo de pressão real (Henrio, 979; Branco e al., 009). Em analogia com o que foi referido aneriormene, numa roda denada helicoidal podem disinguir-se as seguines espessuras de um dene: - Espessura real, s n, que corresponde ao comprimeno de um arco de hélice do cilindro primiivo perpendicular às duas hélices homóloga e ani-homóloga do mesmo dene, - Espessura aparene, s, que diz respeio ao comprimeno do arco da circunferência primiiva compreendido enre as duas hélices homóloga e ani-homóloga do mesmo dene. De modo análogo em-se que: - Inervalo real, e n, que corresponde ao comprimeno de um arco de hélice do cilindro primiivo perpendicular às duas hélices homóloga e ani-homóloga de dois denes consecuivos, - Inervalo aparene, e, que diz respeio ao comprimeno do arco da circunferência primiiva compreendido enre as duas hélices homóloga e ani-homóloga de dois denes consecuivos. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS

16 d 3.4. RELAÇÕES GEOMÉTRICAS Nesa secção são esudadas as principais relações geoméricas e proporções dos denes em engrenagens cilíndricas de denado inclinado 8. É sabido que para ese ipo de engrenagem o ângulo de hélice varia desde a raiz aé à coroa do dene, al como se pode observar na figura 3.. Com o inuio de esabelecer uma relação maemáica enre os ângulos de inclinação primiiva e de inclinação de base considere-se a planificação do cilindro primiivo e do cilindro de base na exensão do correspondene avanço, al como se ilusra na figura 3.3. Hélice primiiva Hélice de base b d b Eixo da roda L Figura 3.3 Planificação de cilindro primiivo e do cilindro de base. Da análise da figura 3.3 pode escrever-se que πd πd L b (3.4) g g b em que L é o passo de hélice ou avanço, iso é, represena a progressão da roda ao fim da uma roação complea. Observa-se, porano, que o avanço é o mesmo, quer se considere a hélice primiiva ou a hélice de base. Assim, da equação (3.4) resula que d b gb g (3.5) d Considerando agora a figura 3., no plano de roação da roda verifica-se que d b d cos (3.6) onde é o ângulo de pressão aparene, o qual é medido no plano de roação da roda. Por conseguine, combinando as equações (3.5) e (3.6) resula que b g g cos (3.7) 8 Os parâmeros geoméricos relaivos às engrenagens cilíndricas de denes inclinados seguem as mesmas recomendações exisenes para as rodas de denado reo. Assim a saliência e a reenrância apresenam o mesmo valor independenemene dese ser medido no plano de roação ou no plano normal ao dene. Por seu lado, os valores do ângulo de pressão e do passo são, em geral, definidos no plano normal, podendo ambém ser esabelecidos no plano de roação. Nas engrenagens cilíndricas de denes inclinados, o ângulo de pressão real é normalizado e assume o valor de 0º. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

17 A análise geomérica das engrenagens cilíndricas de denes inclinados quando é feia no plano de roação é em udo semelhane ao caso das engrenagens cilíndricas de denes reos (Flores e Gomes, 04b). Com efeio, no plano de roação da roda pode esabelecer-se a seguine relação d m z (3.8) em que d é o diâmero primiivo da roda, m represena o módulo aparene e z é o número de denes da roda. Refira-se, uma vez mais, que a relação expressa pela equação (3.8) é a que se observa numa engrenagem cilíndrica de denes reos (Henrio, 979; Juvinall e Marshek, 006). Com referência à figura 3., pode ober-se uma relação enre o passo real e o passo aparene, ou seja Por seu lado, o passo axial é dado por p x pn p cos (3.9) pn pcog (3.0) sen P n T Q S R O Plano de roação Plano normal Circunferência primiiva Figura 3.4 Represenação de um dene inclinado ou helicoidal. Tal como foi referido aneriormene, a exisência de uma inclinação do denado nas engrenagens helicoidais dá origem a elemenos geoméricos reais e aparenes. Para se ober uma relação enre eses dois ipos de elemenos, considere-se a figura 3.4, onde se evidenciam o ângulo de pressão real ( n ), o ângulo de pressão aparene ( ) e o ângulo de hélice (). Da observação aena da figura 3.4 verifica-se que o plano de roação e o plano perpendicular ao eixo do dene são definidos, respeivamene, pelos ponos PQR e PTS. Ainda da análise desa figura podem escrever-se as seguines relações geoméricas 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 3

18 Combinando as equações (3.)-(3.4) vem que TS g n (3.) PS QR g (3.) PR PR PScos (3.3) TS QR (3.4) gn g cos (3.5) A equação (3.5) pode ser generalizada para esabelecer a relação enre dois quaisquer elemenos reais e aparenes, ou seja, Dese modo em-se que ( n Elemeno real) ( Elemeno aparene) cos (3.6) pn p cos (3.7) mn m cos (3.8) sn s cos (3.9) en e cos (3.0) A saliência e a reenrância relacionam-se com o módulo real da seguine forma (Henrio, 979) ha m n (3.) h, 5 (3.) f m n Por conseguine, a alura oal do dene é obida pela soma da saliência com a reenrância, ou seja h h h, 5m (3.3) a f Por seu lado, o diâmero de coroa e o diâmero de raiz podem ser calculados do seguine modo (Flores e Gomes, 04b) a h a n d d (3.4) d d (3.5) f h f Considerando agora as equações (3.8), (3.8), (3.) e (3.), enão as equações (3.4) e (3.5) podem ser reescrias da seguine forma da m ( z cos) (3.6) d f m ( z,5cos ) (3.7) 4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

19 Aendendo ao conceio geomérico de enre-eixo, em-se que d d a (3.8) em que os índices e se referem ao pinhão e à coroa, respeivamene. Uilizando as equações (3.8) e (3.8), a equação (3.8) pode ser expressa do seguine modo mn ( z z a ) (3.9) cos Da análise da equação (3.9) observa-se que para parâmeros normalizados relaivos ao plano normal, a disância enre eixos resulane não é normalizada como aconece no caso das engrenagens cilíndricas de denes reos. Deve ainda referir-se que o ângulo de hélice primiiva pode ser ajusado de modo a permiir uma vasa gama de valores para a disância enre eixos. Na verdade, o ajusameno do valor do ângulo de hélice permie (Juvinall e Marshek, 006): - Compensar variações na disância enre eixos sem, conudo, alerar a relação de ransmissão, - Alerar a relação de ransmissão sem modificar a disância enre eixos. Deve relembrar-se que o engrenameno enre duas rodas denadas só é possível quando aquelas apresenam o mesmo módulo. Quando os perfis dos denes de duas rodas helicoidais êm um módulo normal, m n, e um ângulo de pressão, n, diz-se que perencem ao sisema normal. Um denado normal corresponde a um ângulo de pressão normalizado igual a 0º (Shigley e Mischke, 989; Noron, 03). Tal como foi referido aneriormene, a relação de ransmissão de uma engrenagem cilíndrica de denes inclinados é dada por i d d b b (3.30) Aendendo a que o diâmero de base se relaciona com o diâmero primiivo do seguine modo enão, a equação (3.30) pode ser reescria do seguine modo d b d cos (3.3) d cos i d cos z z (3.3) Exercício 3. Enunciado: Considere uma engrenagem cilíndrica exerior de denado inclinado normalizado, em que o pinhão e a coroa êm, respeivamene, e 60 denes. O pinhão é uma roda esquerda, ao passo que a coroa é uma roda direia. O denado é normal, i.e., não corrigido. Assim, aendendo a que o módulo real em um valor igual a 3 mm e que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é de 30º, calcule, para o pinhão, os seguines parâmeros geoméricos: (i) ângulo de pressão aparene, (ii) saliência, (iii) reenrância, (iv) alura do dene, (v) diâmero primiivo, (vi) diâmero de coroa e (vii) diâmero de raiz (Wilson e Sadler, 993). 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 5

20 Padrão de resposa esperado: =,80º h a = 3 mm h f = 3,75 mm h = 6,75 mm d = 4,57 mm d a = 47,57 mm d f = 34,07 mm A abela 3. inclui as principais relações geoméricas e proporções dos denes para engrenagens cilíndricas de denes inclinados (Budynas e Nisbe, 0). Tabela 3. Principais relações geoméricas e proporções dos denes para engrenagens cilíndricas exeriores de denado helicoidal. Parâmero Ângulo de pressão aparene Diâmero primiivo Saliência Reenrância Expressão g g n cos mnz d m z cos ha mn hf, 5mn h, 5m Alura do dene n Diâmero de coroa da m ( z cos ) Diâmero de raiz d f m ( z,5cos ) Enre-eixo Relação de ransmissão z z a m n cos z i z A figura 3.5 represena a planificação simplificada de uma roda cilíndrica de denes inclinados. Da análise desa figura observa-se que S bg (3.33) em que S represena a projeção de uma espira sobre uma das bases da roda, vulgo salo, e b é a largura da roda. Da análise da figura 3.5 orna-se evidene que o engrenameno será ano mais conínuo quano o salo for maior que o passo aparene. Quer iso dizer que quando um dene ermina o conaco há já ouros denes em conaco e, consequenemene, as ransmissões por engrenagens cilíndricas de denes inclinados ornam-se mais suaves, menos ruidosas e com uma melhor disribuição de carga nos denes. Em geral, é recomendável que (Juvinall e Marshek, 006),5p S (3.34) p Combinando agora as expressões (3.33) e (3.34) resulam os seguines limies para a largura dos denes em engrenagens cilíndricas de denado helicoidal,5p cog b p cog (3.35) 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

21 p S Eixo da roda b Figura 3.5 Planificação de uma roda cilíndrica de denes inclinados. O valor do ângulo de inclinação primiiva afea o desempenho das engrenagens cilíndricas de denes inclinados. Com efeio, valores muio pequenos para aquele ângulo, para além de encarecerem o processo de fabrico, não razem grandes vanagens. Na verdade, quando o ângulo de inclinação dos denes é muio pequeno, as rodas helicoidais ficam muio próximas das de denes reos. Em conrapono, valores elevados para o ângulo de inclinação êm como consequência o aumeno das forças axiais e concomianemene penalizam o desempenho das engrenagens. Como é sabido, esa úlima limiação pode ser ulrapassada recorrendo a denados em espinha ou de dupla hélice (Henrio, 979). Com efeio, os valores para o ângulo de inclinação primiiva devem esar na linha com a seguine recomendação (Wilson e Sadler, 993) 5º 30º (denado helicoidal simples) (3.36) 30º 45º (denado de dupla hélice) (3.37) 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 7

22 3.5. PARÂMETROS DE DESEMPENHO Nesa secção apresenam-se os principais parâmeros associados ao desempenho de engrenagens cilíndricas de denes inclinados, nomeadamene a relação de condução, o rendimeno e as inerferências dos denes (Budynas e Nisbe, 0). Com o propósio de calcular a relação de condução em engrenagens cilíndricas de denes helicoidais considere-se a figura 3.6, onde se preende represenar o engrenameno enre duas rodas de denado helicoidal. Na represenação da figura 3.6 admie-se que a roda é o órgão moor, a qual gira no senido indicado. Com efeio, o engrenameno de um par de denes conjugados inicia-se no pono A, que é o pono em que o perfil da roda moora enra em conaco com o perfil conjugado da roda movida. O engrenameno ermina no pono B, que corresponde ao fim do conaco do par de perfis conjugados já no ouro lado das rodas (Branco e al., 009). I B O A Hélice primiiva b II =bg A I B I O Figura 3.6 Represenação do engrenameno enre duas rodas de denado inclinado. Da análise da figura 3.6 observa-se que os perfis conjugados acima descrios se enconram desfasados angularmene de um valor igual a, ou seja IO I (3.38) em que o arco II é frequenemene denominado de recobrimeno do dene. Ese parâmero, ambém chamado comprimeno de recobrimeno, pode ser expresso em função da largura do dene, ou seja (Henrio, 979) 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

23 II bg (3.39) onde b é a largura das rodas e represena o ângulo de inclinação primiiva. Assim, o arco de condução num engrenameno de duas rodas helicoidais é igual ao valor para o caso das engrenagens de denes reos, ao qual se acrescena uma parcela correspondene ao comprimeno de recobrimeno, sendo esa úlima parcela dada pela equação (3.39). Com efeio, aendendo ao conceio de relação de condução oal, que relaciona o arco de condução oal com o passo da engrenagem, em-se que a bg (3.40) p p em que o primeiro ermo do segundo membro desa equação corresponde à relação de condução de um par de rodas cilíndricas de denes reos e o segundo ermo diz respeio ao faor de recobrimeno. A equação (3.40) pode ainda ser reescria do seguine modo (Henrio, 979; Flores e Gomes, 04b) l bg (3.4) πm cos πm que é igual à soma da relação de condução aparene com a relação de recobrimeno. O segundo ermo do segundo membro da equação (3.4) pode ser expresso da seguine forma (Spos e Shoup, 998) bg πm b p x (3.4) Por seu lado, o primeiro ermo do segundo membro da equação (3.4) pode ser calculado uilizando a expressão correspondene ao engrenameno de duas rodas cilíndricas de denado reo, ou seja (Flores e Gomes, 04b) π cos z z z z sen z cos cos sen z cos cos sen (3.43) 4 4 Da análise do que acaba de ser exposo pode afirmar-se que nas engrenagens cilíndricas de denes inclinados o problema da coninuidade do engrenameno não é ão premene devido ao faor de recobrimeno. Na verdade, ese ipo de engrenagens possibilia, que os denes enham menor saliência o que é vanajoso do pono de visa das inerferências dos denes (Branco e al., 009). Exercício 3. Enunciado: Considere uma engrenagem cilíndrica exerior de denado inclinado normalizado, em que o pinhão e a coroa êm, respeivamene, e 60 denes. O pinhão é uma roda esquerda, ao passo que a coroa é uma roda direia. O denado é normal, i.e., não corrigido. Assim, aendendo a que o módulo real em um valor igual a 3 mm e que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é de 30º, calcule a relação de condução da engrenagem (Wilson e Sadler, 993). Padrão de resposa esperado: Uilizando a expressão (3.43) obém-se o valor para a componene radial ou circular (i.e., no plano de roação) da relação de condução igual a,3. Observa-se, pois, 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 9

24 que a engrenagem acima descria garane coninuidade do engrenameno, uma vez que a relação de condução apresena já um valor basane aceiável. Deve ainda referir-se que a relação de condução radial em de ser acrescida pela parcela relaiva ao faor de recobrimeno. Assim, admiindo que a engrenagem em uma largura de 0 mm, considerando o segundo ermo do segundo membro da equação (3.4) obém-se o valor de 0,53 para a relação de condução axial, que corresponde ao comprimeno de recobrimeno. Com efeio, a relação de condução oal é igual a,3 0,53,85 Ese valor esá claramene acima das recomendações de projeo no que diz respeio à coninuidade do engrenameno (Flores e Gomes, 04b). No que concerne ao cálculo do rendimeno de engrenagens cilíndricas de denes helicoidais podem considerar-se as expressões apresenadas para o caso das engrenagens cilíndricas de denes reos, sem que, por isso, sejam comeidos erros significaivos. Assim, o rendimeno em engrenagens cilíndricas de denes helicoidais pode ser expresso do seguine modo (Flores e Gomes, 04b) a f π zmr cos l l ( i ) (3.44) em que l a e l f represenam, respeivamene, os comprimenos de aproximação e de afasameno, os quais podem ser calculados da seguine forma (Flores e Gomes, 04b) r l l a f r ha r cos rsen (3.45) r ha r cos r sen (3.46) Exercício 3.3 Enunciado: Considere uma engrenagem cilíndrica exerior de denado inclinado normalizado, em que o pinhão e a coroa êm, respeivamene, e 60 denes. O pinhão é uma roda esquerda, ao passo que a coroa é uma roda direia. O coeficiene de ario é de 0,05. Aendendo a que o módulo real em um valor igual a 3 mm e que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é de 30º, calcule o rendimeno da engrenagem (Wilson e Sadler, 993). Comene o resulado obido. Padrão de resposa esperado: Para a deerminação do rendimeno da engrenagem supra descria considera-se a equação (3.44). Para al é necessário conhecer os seguines parâmeros (Flores e Gomes, 04b) l a = 7, mm l f = 6,04 mm i = 5 =,85 Logo, o rendimeno da engrenagem é = 99,04 % Traa-se, na verdade, de um rendimeno basane elevado. 0 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

25 Nos casos em que a relação de condução não é adequada no que se refere à coninuidade do engrenameno, rês ações podem ser consideradas para aumenar a relação de condução (Flores e Gomes, 04b): - Diminuir o ângulo de pressão e assim aumenar o comprimeno de condução, - Aumenar a saliência dos denes e, por conseguine, o diâmero de coroa, - Aumenar o número de denes aravés do aumeno do diâmero primiivo. O esudo das inerferências de funcionameno em engrenagens cilíndricas de denado inclinado segue a mesma meodologia apresenada para as engrenagens cilíndricas de denes reos (Flores e Gomes, 04b). Para al, deve considerar-se o plano de roação, iso é o plano perpendicular aos eixos das rodas, donde o esquema a analisar represena um core feio por aquele plano. Nos procedimenos a adopar devem ainda considerar-se as seguines relações fundamenais ha m n (3.47) mn m cos (3.48) Assim, da aplicação dos mesmos procedimenos considerados para o caso das engrenagens cilíndricas exeriores de denes reos, a definição do número mínimo de denes que uma roda cilíndrica de denes helicoidais deve er, para que não haja inerferências de funcionameno, é expressa por (Henrio, 979) 4cos( z cos) z z z (3.49) sen No caso em que uma das rodas é do ipo cremalheira em-se que z cos (3.50) sen Exercício 3.4 Enunciado: Considere uma engrenagem cilíndrica exerior de denado inclinado normalizado, em que o pinhão e a coroa êm, respeivamene, e 60 denes. O pinhão é uma roda esquerda, ao passo que a coroa é uma roda direia. Aendendo a que o módulo real em um valor igual a 3 mm e que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é de 30º, verifique se exisem inerferências de funcionameno (Wilson e Sadler, 993). Padrão de resposa esperado: Para verificar se exisem inerferências de funcionameno deve ser calculado o número mínimo de denes do pinhão para que al não aconeça. Para ese efeio, deve considerar-se a equação (3.49), donde resula que z >0,70. Como na engrenagem em esudo o pinhão em, de faco, denes, observa-se que não há inerferências de funcionameno. 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS

26 3.6. TRAÇADO DE TREDGOLD As propriedades da evolvene helicoidal dizem respeio ao plano gerador, o qual é na realidade o plano associado à geração dos denes helicoidais (Shigley e Uicker, 980). Porém, no plano normal ao dene exisem as propriedades que correspondem às de uma engrenagem cilíndrica de denes reos equivalene. Esa engrenagem equivalene em um maior número de denes, cujo valor depende do ângulo de inclinação da hélice primiiva. O raçado aproximado de Tredgold permie ober o número de denes de uma roda de denado reo equivalene a uma dada roda cilíndrica de denes inclinados. O número de denes assim obido denomina-se de número de denes virual ou número de denes formaivo (Wilson e Sadler, 993). A figura 3.7a ilusra a planificação de uma roda denada de denes inclinados, em que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é represenado por. Considerando que a roda é inerseada por um plano (AA) perpendicular ao eixo, enão pode oberse uma circunferência primiiva de raio r, al como se mosra na figura 3.7b. O raio de curvaura é igual ao raio ransverso da circunferência primiiva. O perfil do dene nese plano seria o mesmo que o perfil do dene de uma roda denada de denes reos com um raio primiivo r. Por ouro lado, se se considerar um plano de core (BB) perpendicular à hélice primiiva de um dene obém-se uma elipse, al como se represena na figura 3.7c. O raio de curvaura da elipse corresponde ao raio primiivo de uma roda cilíndrica de denes reos equivalene, iso é, com caraerísicas aproximadas às da roda de denes helicoidais (Branco e al., 009). B A r c r P O O P B Core AA A Core BB (a) (b) (c) Figura 3.7 Represenação de uma roda cilíndrica de denes inclinados corada por um plano perpendicular ao eixo e por um plano perpendicular à hélice primiiva. O raio de curvaura da elipse da figura 3.7c pode ser calculado do seguine modo (Spos e Shoup, 998) r r c (3.5) cos em que r represena o raio primiivo. O perfil do dene no plano perpendicular à hélice do dene é o mesmo que o perfil para uma roda de denes reos com um raio primiivo r c. Assim, as propriedades de uma roda de denes helicoidais são semelhanes às CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

27 de uma roda equivalene de denes reos, cujo raio primiivo é r c. Com efeio, o número de denes equivalenes que uma roda de denes reos deve er para apresenar propriedades idênicas às de uma roda de denes helicoidais é dada por d c zc (3.5) mn em que d c é o diâmero primiivo equivalene e m n represena o módulo normal. Assim, subsiuindo a equação (3.5) na equação (3.5) resula que Aendendo a que z c r d (3.53) cos m cos m enão, a equação (3.53) pode ser reescria da seguine forma Finalmene, da equação (3.55) resula que n n mn m cos (3.54) z c d (3.55) 3 cos m z z c (3.56) 3 cos em que z c é o número de denes equivalene ou virual de uma roda denada de denes reos equivalene e z é o número de denes real da roda de denes helicoidal. Deve noar-se que z c não necessia de ser um número ineiro, ao conrário do que aconece com o valor de z (Branco e al., 009). O número de denes equivalene é paricularmene úil no cálculo da resisência dos denes (Wilson e Sadler, 993). Da análise da equação (3.56) verifica-se que quando o valor de é nulo, enão o número de denes z c coincide com o número de denes z. Conudo, à medida que o valor do ângulo de hélice primiiva aumena, o valor de z c aumena ambém, aé que no caso limie, iso é, quando =90º, z c ende para infinio. O aparene maior número de denes em consequências direas nos problemas de inerferências (Flores e Gomes, 04b). Na verdade, podem uilizar-se menos denes em engrenagens de denado helicoidal do que no caso de engrenagens de denado reo, sem que, com isso, ocorram inerferências de funcionameno (Branco e al., 009). Exercício 3.5 Enunciado: Considere uma engrenagem cilíndrica de denado inclinado normalizado, em que o pinhão e a coroa êm, respeivamene, 5 e 36 denes. O pinhão é uma roda esquerda, ao passo que a coroa é uma roda direia. Aendendo a que o módulo real em um valor igual a 3 mm e que o ângulo de inclinação da hélice primiiva é de 0º, calcule o número de denes equivalene para o pinhão. Padrão de resposa esperado: Uilizando a equação (3.56) resula que z c é igual a 8, ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 3

28 3.7. RODAS CRUZADAS Nesa secção faz-se uma breve abordagem às engrenagens cilíndricas de rodas cruzadas 9. A figura 3.8 ilusra o caso paricular de duas rodas helicoidais cruzadas em que o ângulo enre os eixos das rodas é igual a 90º. Com efeio, duas rodas cilíndricas de denes helicoidais podem ambém ser uilizadas para ransmiir poência enre veios não paralelos e não concorrenes. Por isso, ese ipo de engrenameno é denominado de rodas cruzadas (Wilson e Sadler, 993). Figura 3.8 Engrenagem cilíndrica exerior de denes helicoidais de eixos cruzados. Duas diferenças enre as engrenagens cilíndricas de eixos paralelos e de eixos cruzados devem desde já ser regisadas. Em primeiro lugar, como é sabido, num engrenameno de duas rodas cilíndricas de denes helicoidais de eixos paralelos, aquelas êm de er o mesmo ângulo de hélice. No caso das rodas cruzadas, os ângulos de hélice das rodas moora e movida não necessiam de apresenar o mesmo valor. Em segundo lugar, nos engrenamenos em que os eixos são paralelos as rodas êm de ser disinas no que diz respeio à direção da inclinação dos denes, ou seja, uma roda deverá er hélice direia e a oura hélice esquerda. Porém, nas rodas cruzadas, as rodas apresenam, em geral, o mesmo ipo de hélice (Shigley e Uicker, 980). Uma oura caraerísica que disingue as engrenagens cilíndricas de eixos paralelos das de eixos cruzados prende-se com o ipo de conaco exisene enre os denes da roda moora e da roda movida. Assim, nas primeiras o conaco dá-se segundo uma linha, enquano nas rodas cruzadas o conaco é do ipo ponual. Na verdade, devido ao desgase, o conaco nas rodas cruzadas deixa de ser ponual passando ambém a ocorrer segundo uma linha. Por conseguine, as rodas cruzadas devem apenas ser uilizadas quando as cargas em jogo são relaivamene pequenas (Mabie e Reinholz, 987; Wilson e Sadler, 993). Nas rodas cruzadas o passo real ou normal é, nas mais das vezes, o valor indicado, ao conrário do que aconece nas engrenagens cilíndricas de denes helicoidais em que o passo aparene é usualmene o valor especificado. A razão para al prende-se com o faco de nas rodas cruzadas o passo normal ser o mesmo em ambas as rodas, 9 As rodas cruzadas podem ambém ser designadas de engrenagens orsas (Flores e Gomes, 04a). 4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

29 enquano o passo aparene ou ransverso é diferene em virude de se uilizarem ângulos de hélice disinos (Shigley e Mischke, 989). Deve ainda referir-se que nas rodas cruzadas o alinhameno das rodas não necessia de ser ão rigoroso como no caso das engrenagens helicoidais de eixos paralelos (Wilson e Sadler, 993). Roda Roda Figura 3.9 Represenação simplificada de duas rodas cruzadas. A figura 3.9 diz respeio à planificação simplificada de duas rodas cruzadas, as quais êm ângulos de hélice disinos, iso é, e. Ambas as rodas apresenam hélice direia sendo o ângulo formado pelos eixos das rodas represenado pelo símbolo. O valor do ângulo definido pelos eixos das rodas é igual à soma dos ângulos das hélices, ou seja, (Shigley e Uicker, 980) Σ (3.57) Quando as rodas cruzadas apresenam hélices disinas 0, enão o ângulo definido enre os seus eixos é igual à diferença enre os ângulos de hélice, iso é, Σ (3.58) Tal como no caso das engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, nas rodas cruzadas pode ambém escrever-se que (Mabie e Reinholz, 987) d d m z n mz (3.59) cos m z n m z (3.60) cos 0 Na realidade, exceuando o caso em que os ângulos de hélice são pequenos, as rodas cruzadas apresenam, em geral, a mesma direção para as hélices (Shigley e Uicker, 980). 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 5

30 Deve referir-se novamene que nas engrenagens de rodas cruzadas os passos (ou módulos) normais são iguais em ambas as rodas. Assim, a disância enre os eixos nas rodas cruzadas é dada por d d a (3.6) Considerando agora as equações (3.59) e (3.60) resula que m n z z a (3.6) cos cos A figura 3.0 mosra as componenes das velocidades exisenes no engrenameno de duas rodas cruzadas relaivas ao pono primiivo. Da análise desa figura pode observar-se que são iguais as componenes na direção normal. O mesmo não aconece com as componenes angenciais, pelo que se verifica a exisência de escorregameno. Na verdade, nas rodas cruzadas exise escorregameno, inclusive no pono primiivo (Wilson e Sadler, 993). Roda n Roda P v v n v n Figura 3.0 Componenes das velocidades no conaco enre duas rodas cruzadas. Aendendo ao que foi aneriormene dio e da análise da figura 3.0 podem escrever-se as seguines relações v n v (3.63) cos v n v (3.64) cos Combinando agora as equações (3.63) e (3.64) resula que cos v v (3.65) cos 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

31 As velocidades angulares das rodas podem ser obidas do seguine modo, v (3.66) d / v (3.67) d / Assim, a relação de velocidades angulares, ou seja, a relação de ransmissão em rodas cruzadas, pode ser calculada o seguine modo i Uilizando a equação (3.65) vem que i v cos d v cos d vd v d (3.68) (3.69) d cos d cos Considerando agora as equações (3.59) e (3.60), a equação (3.69) resula em mn z cos cos mn z i cos m z cos m z n n (3.70) Aendendo a que o módulo real é igual em ambas as rodas, enão a equação (3.70) pode, finalmene, ser escria da seguine forma z z i (3.7) Pode, pois, observar-se que a relação de ransmissão é, de modo semelhane às engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, dada pelo quociene enre o número de denes das rodas movida e moora. Refira-se que no caso das rodas cruzadas a relação de ransmissão não é expressa em ermos dos diâmeros primiivos como sucede nas engrenagens cilíndricas de denes helicoidais de eixos paralelos. Exercício 3.6 Enunciado: Duas rodas denadas helicoidais de eixos cruzados êm um módulo real de 5 mm. O pinhão, que é o órgão moor, em 0 denes e apresena um ângulo de hélice de 0º. O ângulo formado pelos eixos das rodas é igual a 50º. Ambas as rodas são de hélice direia. Assim, aendendo a que a relação de ransmissão é igual a, calcule a disância enre eixos desa engrenagem (Wilson e Sadler, 993). Padrão de resposa esperado: Em primeiro lugar deve considerar-se a equação (3.57) para deerminar o ângulo de hélice da roda movida, ou seja 50 0 Deve agora calcular-se o número de denes da roda movida, para o efeio deve fazer-se uso do conceio da relação de ransmissão, iso é z i z z z 0 30º 40 denes 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES INCLINADOS 7

32 Finalmene, uilizando a equação (3.6) resula que 5 a 0 cos0 40 a 506 mm cos30 Nas rodas cruzadas a relação de ransmissão não é expressa unicamene como função dos diâmeros primiivos, como aconece no caso das engrenagens cilíndricas de denes reos e denes inclinados, pois os ângulos de hélice das rodas moora e movida êm, em geral, valores diferenes. Por isso, os módulos (ou passos) aparenes em rodas cruzadas são ambém disinos. Para que haja engrenameno enre duas rodas cruzadas, esas devem apresenar o mesmo módulo real. A figura 3. apresena, para rodas helicoidais com hélice esquerda e direia, o senido das forças axiais que auam nas rodas em função do senido de roação do órgão moor. Os conceios presenes nesa represenação são de capial imporância para no esudo e seleção dos apoios para os eixos das rodas (Shigley e Mischke, 989; Wilson e Sadler, 993). Roda moora Roda moora Roda moora Roda moora Hélice esquerda Hélice direia Figura 3. Represenação das forças axiais que auam nas rodas cruzadas em função da direção das rodas e do senido de roação do órgão moor. Exercício 3.7 Enunciado: Considere duas rodas cruzadas de módulo normal igual a 3 mm e um ângulo de pressão é de 0º. O número de denes do pinhão e da roda são, respeivamene, iguais a 5 e 4, sendo os correspondenes ângulos de hélice de 0 e 30º. Calcule para as ambas as rodas os seguines parâmeros: (i) ângulo de pressão aparene, (ii) número de denes equivalene, (iii) diâmero primiivo, (iv) diâmero de base. 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS