Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 SISTEMAS LINEARES

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1 INTRODUÇÃO... EQUAÇÕES LINEARES... SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR... MATRIZES DE UM SISTEMA... SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR... SISTEMAS ESCALONADOS... RESOLUÇÃO DE SISTEMA ESCALONADO... SISTEMAS EQUIVALENTES... ESCALONAMENTO DE SISTEMAS... TEOREMA DE CRAMER... DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR... SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS... RESPOSTAS... 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... No fil ds séries de eercícios pode precer sugestões de tividdes copleetres. Ests sugestões refere-se eercícios do livro Mteátic de Moel Piv forecido pelo FNDE e dotdo pelo IFMG Cpus Ouro Preto durte o triêio -. Todos os eercícios sugeridos est postil se refere o volue. MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

2 INTRODUÇÃO Tio Ítlo quer dividir $ etre seus dois sorihos de odo que o is velho rece $8 is que o is ovo. Vos clculr quto receerá cd u dos sorihos? Chdo de e prte que ce o is velho e o is ovo, respectivete, podeos otr u siste de equções co s dus icógits dest for: 8 Resolvedo este siste por qulquer u ds fors que você já cohece, ecotros, coo úic solução, = e =. Est solução pode ser presetd té pelo pr ordedo (, ). Proles coo este, que evolve dus equções e dus icógits, você predeu resolver qudo id cursv o esio fudetl s, prtir de gor, estudreos sistes lieres co váris equções e váris icógits. EQUAÇÕES LINEARES Chos de equção lier s icógits,,,...,, tod equção do tipo: = Os úeros,,,..., são reis e chdos de COEFICIENTES. O úero, té rel, é chdo de TERMO INDEPENDENTE. E.: + = é u equção lier s icógits e. e são os coeficietes e é o tero idepedete. E.: lier s icógits, e. é u equção são coeficietes e é o tero idepedete. E.: u equção lier s icógits,,, e., -,,, e é e são os coeficietes lieres e é o tero idepedete. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 Por defiição, ão são equções lieres lgus epressões coo s presetds io: = + = + = Tete eplicr, co os próios coceitos que vereos, o otivo de epressões coo ests, sere defiids coo ão lieres. SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR U sequêci ou -upl orded de úeros reis é solução d equção lier:,,...,,... se seteç... for verddeir. E.: Cosidere equção + =. O pr ordedo (, ) é solução d equção pois. O pr ordedo (, -) é solução d equção pois O pr (, -) ão é solução d equção pois E.: Cosidere equção + = 8 O tero ordedo (,, ) é solução d equção pois 8. O tero ordedo (,, -) é solução d equção pois. 8 O tero ordedo (, -, ) ão é solução d equção pois 8 Geoetricete, dieos cd pr ordedo (, ) represet u poto do plo e cd tero ordedo (,, ) represet u poto do espço tridiesiol. ordedo Assi, podeos dier que o pr k k, ode k é qulquer úero rel é solução gerl d equção do eeplo ( colu d esquerd) e que o tero ordedo k 8 k,, co k e reis, é solução gerl do eeplo (ci). Oservções:. É fácil perceer que equção lier dite, coo solução qulquer tero ordedo.. Já equção lier ão dite ehu solução. MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

4 . Por fi, equção lier, podeos otr u solução de fácil percepção que é o tero (,, ). Est solução é chd de TRIVIAL. ) Verifique se o tero ordedo (,, ) é solução d equção lier. 9 ) Idetifique s equções lieres io coo Lier ou Não Lier. ) ( ) + = ) ( ) + = c) ( ) + = d) ( ) + = e) ( ) + = f) ( ) = g) ( ) + = 8 h) ( ) = i) ( ) + = j) ( ) + = ) Verifique se o tero ordedo (,, -) é solução d equção lier. ) Verifique se o pr ordedo (, ) é solução d equção lier = 8. ) Verifique se o tero ordedo (,, ) é solução d equção lier + + = ) Clcule k pr que o pr ordedo (, k) sej solução d equção lier =. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES ) O tero ordedo (k,, k + ) é u ds soluções d equção lier + - =. :Deterie k. 8) Escrev solução gerl d equção lier = - fedo = k co k rel. 9) Ecotre u solução pr equção lier + = diferete d solução trivil. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES U siste de equções lieres é u cojuto de ( ) equções lieres s icógits,,,.... Assi o siste S é lier. U siste coo este é chdo de (leos por ) pois possui equções e icógits. é u siste lier s icógits e. é u siste lier s icógits, e. O siste presetdo o iício dest secção (pági terior) pode ser trsfordo e u produto de tries. Dest for teos que:

6 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO E.: O siste pode ser escrito coo E.: pode ser escrito coo E.: pode ser escrito coo E.: O siste pode ser escrito coo. MATRIZES DE UM SISTEMA Coo já foi visto, o siste lier S pode ser escrito so for de u produto de tries. Cd u dests tries recee u oe específico: Oserve: C B A A tri A é chd de tri dos coeficietes. A tri B é chd de tri ds icógits e tri C é tri dos teros idepedetes. Té há u coceito de tri coplet e icoplet do siste. Vej:

7 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES A tri dos coeficietes é té chd de tri icoplet de S e tri é chd de tri coplet de S. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Dieos que,,,,, é solução do siste S qudo -upl orded,,,,, for solução de TODAS s equções do siste. E.: Vos cosiderr o siste e os teros ordedos (,, ) e ( -,, ). O tero (,, ) é solução do siste pois: Seteç verddeir Seteç verddeir Seteç verddeir Já o tero (-,, ) ão é solução do siste pois: Seteç FALSA Seteç verddeir Seteç verddeir E.: O siste õ dite ehu tero ordedo coo solução pois últi equção ão te solução. Oservção: Qudo u siste lier S ditir pelo eos u solução, ele é chdo de POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. Coo foi o cso do eeplo ci. Por outro ldo, cso u siste ão dit ehu tero ordedo coo solução, o siste é chdo de IMPOSSÍVEL ou IMCOMPATÍVEL.

8 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO ) Trsfore cd siste seguir u produto de tries equivlete. ) ) ) Fç tri coplet de cd u dos ites ) e ) do eercício terior. ) ) ) Verifique se s -upls ordeds são soluções dos sistes lieres presetdos e cd ite. ) (, -) e ) (,, ) e c) (,, ) e

9 MATEMÁTICA III 9 SISTEMAS LINEARES d) (,, ) e e) (, -) e ) Verificr se o quádruplo ordedo (,, -, ) é solução do siste: 9 t t t

10 SISTEMAS ESCALONADOS Cosidereos u siste lier S ode, e cd equção eiste pelo eos u coeficiete ão ulo. Dieos que S está for esclod qudo o úero de coeficietes ulos tes do prieiro coeficiete ão ulo, uet de equção pr equção. U outr for de crcterir u siste esclodo é verificr se tri dos coeficietes é u tri trigulr etretto est crcterição só fucio qudo tl tri for qudrd. Isto cotece qudo o úero de equções for igul o úero de icógits. Os eeplos io tre tries esclods. t w t w w RESOLUÇÃO DE SISTEMA ESCALONADO Vos qui seprr os sistes esclodos e dois tipos de sistes: queles ode o úero de icógits é igul o úero de equções e queles que possue is icógits que equções. º Cso: Meso úero de equções e icógits: Resolver o siste 8 Resolução: Prtido d últi equção, descorios o vlor de, sustituido este vlor segud equção, ecotros o vlor de. Por fi, sustituíos e prieir equção ecotrdo o vlor de, cophe: D ª equção: D ª equção: D ª 8 equção:. Assi, solução do siste é o tero ordedo (,, -). CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 Este tipo de siste preset sepre u úic solução. Teos etão u SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO. º Cso: Núero de equções ior que o úero de icógits: Resolver o siste Resolução: E sistes coo este, escolheos u vriável que está e tods s equções e trspoos est icógit pr o º ero e cd equção e oteos: Nest segud equção, já teos e fução de. Agor vos sustituir segud equção prieir co o ojetivo de oter e fução de :. Pr = teos (,, ) Pr = teos (,, ) Pr = - teos (,, -) Pr = teos (, De for gerl, fe = k ode k é qulquer úero rel, podeos dier que respost é:, Pr = k, teos: ( k, k, k) Este tipo de siste que preset ifiits soluções é chdo de SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO. ) Clssifique coo deterido ou ideterido e resolv cd u dos sistes seguir: ) ) Agor que já teos e e fução de, podeos escrever solução: (,, ) sedo qulquer úero rel. Assi, tod tripl orded d for presetd é solução do siste e podeos chegr qulquer u dests soluções sustituido úeros reis o lugr de, ssi: MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

12 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO ) c) t t t t d) c c SISTEMAS EQUIVALENTES Dieos que dois sistes S e S são equivletes se TODA solução de S for solução de S e tod solução de S for solução de S Os sistes S e S são equivletes pois os são deteridos e dite coo úic solução o pr ordedo ;.

13 Dois teores iporttes deve ser destcdos qui. Apesr de deostrção de os ser siples ão o freos pois ão ce este curso. De qulquer for, se o leitor se iteressr, pode ecotrr o º volue d coleção Fudetos d Mteátic Eleetr. Teore : Multiplicdo-se os eros de u equção qulquer de u siste lier S, por u úero rel K, o ovo siste S otido, será equivlete S. Teore : Se sustituiros u equção de u siste lier S pel so, ero ero del co outr do eso siste, o ovo siste otido S será equivlete S. Pr esclor u siste qulquer deveos seguir qutro pssos Psso : Colocos coo ª equção quel e que o coeficiete d prieir icógit sej diferete de ero. Psso : Aulos o coeficiete d ª icógit de tods s equções (co eceção d prieir) suistituido i-ési equção (i > ) pel so d es co ª, ultiplicd por u úero coveiete. Psso : Deios de ldo prieir equção e plicos, s resttes, os pssos e. Psso : Deios de ldo ª e ª equções e plicos os pssos e s equções resttes té o siste ficr esclodo. Vos seguir os eeplos io fi de etederos coo plic os pssos ci. ESCALONAMENTO DE SISTEMAS E.: Vos resolver o siste lier. Aplicdo os dois teores vistos teriorete, podeos trsforr qulquer siste e u siste esclodo. Este processo é chdo de ESCALONAMENTO e, prtir do ovo siste esclodo, equivlete o siste origil, podeos deterir su solução. Resolução: A fi de evitr ficr escrevedo s icógits todo istte, vos escrever tri coplet do siste ci. MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

14 Pr torr o prieiro coeficiete d ª lih igul ero, vos ultiplicr por os teros ª lih e sor à segud: E seguid, pr trsforr o prieiro coeficiete d ª lih igul ero, vos ultiplicr prieir por - e sor à ª. Note que vos repetir prieir lih. Oteos, ssi, u siste equivlete o prieiro e, for esclod, vos ecotrr solução. D ª equção: Agor, pr torr o coeficiete de ª lih igul ero, deveos ultiplicr segud lih por / e sor o resultdo à terceir. Note que deveos repetir, este oeto, prieir e segud lihs D ª equção: D ª equção: Dest for, solução procurd é o tero ordedo (, -, ) E.: Vos resolver o siste Agor, vos trsforr est tri e u siste lier esclodo e descorir solução coo já fieos Resolução: Vos, prieiro, escrever tri coplet do siste ddo:. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES Vos ultiplicr prieir lih por - e sor à segud e e seguid ultiplicreos prieir lih por - pr soros à terceir. Co este procedieto, torreos ulo os coeficietes d prieir icógit ds lihs e. Assi, oteos: O osso próio psso é ultiplicr segud lih por u vlor coveiete fi de, o soros terceir lih, coseguios torr ulo o coeficiete de. Este úero coveiete será /. Note que ão vos lterr e d prieir lih. / e oteos: 8 Co est tri, reotos u ovo siste, equivlete Àquele proposto. Dest for, teos: 8 Agor resolveos o siste esclodo: D ª equção: 8 D ª equção: D ª equção: Dest for, solução procurd é o tero ordedo (,, -)

16 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO E.: Vos resolver o siste Resolução: Escrevedo tri coplet: Multiplicreos prieir lih por - e soreos à segud, e seguid, vos ultiplicr prieir lih por - e soos à terceir. Isso f torr os coeficietes de, s dus últis lihs, ulos. Oteos, etão, est tri: 8 Note que coteceu lgo etrordiário últi lih, todos os teros se ulr, ssi, o otros o siste prtir dest tri, oteos: 8 Oserve que chegos u iguldde verddeir s que ão os perite cotiur resolver. Neste cso, dieos que o SISTEMA é POSSÍVEL INDETERMINADO, ou sej, te solução s são ifiits. Este siste ci pode ser reescrito coo. 8 e este cso, podeos escrever solução deste siste e fução de. D segud equção teos que 8 Sustituido prieir equção e isoldo, teos: 8 Por fi, fedo = k, podeos escrever o tero ordedo e fução de k: k k k, 8,

17 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES E.: Vos resolver o siste Resolução: Escrevedo tri coplet: Multiplicreos prieir lih por - e soreos à segud, e seguid, vos ultiplicr prieir lih por - e soos à terceir. Isso f torr os coeficietes de, s dus últis lihs, ulos. Oteos, etão, est tri: 8 Note que, is u ve, coteceu lgo iusitdo últi lih, todos os coeficietes se ulr, ssi, o otros o siste prtir dest tri, oteos: 8 Oserve que chegos u iguldde sidete fls terceir equção e, co isso, dieos que o SISTEMA é IMPOSSÍVEL e ssi, solução é vi, ou sej: S ou S

18 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO ) Resolv os sistes seguir: ) )

19 MATEMÁTICA III 9 SISTEMAS LINEARES c) d)

20 ) Resolv o siste w w w w TEOREMA DE CRAMER Cosidereos u siste ode o úero de equções é igul o úero de icógits. Nests codições, A é u tri qudrd.e sej D = det A. Pelo Teore de Crer, se D, etão o siste e questão é possível e deterido, ou sej, te u úic solução tl D i,,,, que i, D e é o deterite otido de A sustituido i-ési colu pel dos teros idepedetes ds equções do siste. i,,,..., A deostrção de tl teore ão ce qui s pode ser ecotrd e diversos livros de esio édio coo, por eeplo, o volue dos Fudetos d Mteátic Eleetr (Gelso Iee e Suel H), D i E.: Vos resolver, plicdo o Teore de Crer, o siste. Resolução: Vos isolr tri A e clculr D = det A: D CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 Coo, podeos grtir que o siste é possível e te solução úic, etão podeos cotiur. Vos, gor, clculr, e. D D D D D D D D D Pr ecotrr D, vos tor es tri A sustituido os teros d prieir colu (coeficietes de ) pel colu dos teros idepedetes, ssi: D D Pr ecotrr D, vos tor es tri A sustituido os teros d segud colu (coeficietes de ) pel colu dos teros idepedetes, ssi: D D Pr ecotrr D, vos tor es tri A sustituido os teros d terceir colu (coeficietes de ) pel colu dos teros idepedetes, ssi: D 8 Dest for, teos que: D D 8 E, teos ssi úic solução do siste: (,, ). E.: Resolver, por Crer, o seguite siste: Resolução: Deveos, e pricípio, ssuir que e. A prtir dí, teos que: E, prtir dí, teos o seguite siste: D, D Vos clculr o deterites, e. D D se D MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

22 D D D D próio tópico dest postil é que vos preder discutir sistes lieres. )Resolver, pel regr de Crer, os seguites sistes: ) Co ests iforções, deterios, gor, solução do siste: D D D D D D Agor deveos vlir s codições que for levtds o iício d resolução quis sej: e. Isso pode ser feito etlete e otos que s s codições são respeitds co s soluções ecotrds. Assi, S,, Os.: Se, o resolver u siste plicdo o Teore de Crer, ecotrros D =, podeos firr que o siste ão é deterido, poré d podeos dier sore se é ideterido ou se é ipossível. No ) CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES c) d)

24 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO e) t t t f)

25 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir u siste lier cosiste e clssificá-lo quto à qutidde de soluções. U siste que possui u úic solução é chdo de SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD). U siste que dite ifiits soluções é clssificdo coo SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO (SPI). Por fi, u siste que ão dite ehu solução, é chdo de SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI). Oserve o digr io: U siste co equções e icógits é SPD qudo o deterite d tri dos coeficietes é diferete de ero. Cso tl deterite sej ulo, deveos esclor o siste pr discuti-lo. Se, e lgu oeto ecotrros u equção ideterid, do tipo =, dieos que o siste é SPI e se, por outro ldo, ecotrros u equção do tipo , dieos que o siste é SI. E.: Discut o siste io: Resolução:. Seos, pelo Teore de Crer, que se D. o siste te solução úic. Assi, os vlores de pr os quis D =, são os que tor o siste ideterido ou ipossível. Vos eir este cso: D ou. Pr =, o siste fic: e é qulquer Logo, pr =, o siste ddo é ideterido.. Pr =, o siste fic: 8 ~ Note que s equções são icoptíveis, logo p siste é ipossível. MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

26 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO Resuido, etão, teos SI SPI SPD e : E.: Discutir o siste. Resolução:. Se D, pelo Teore de Crer, o siste te solução úic. D. Se = -, o siste fic ssi: ~ Assi, teos que Sisteipossível Sistepossívelideterido. Resuido, teos: SI e SPI e SPD 8) Discutir os seguites sistes s icógits e : )

27 ) c) MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

28 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO d) 9) Discutir o siste lier:

29 ) Discutir o siste ) Discutir o siste MATEMÁTICA III 9 SISTEMAS LINEARES

30 ) Se cd, deterir p e q pr que o siste ideterido. c p q d sej ) Discutir e resolver o siste. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 ) Discutir o siste ) Discutir e resolver o siste MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

32 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO ) Discutir e resolver o siste ) ) Deterir os vlores de k pr que equção tricil io teh solução. k ) Resolver equção codição do ite.

33 Oserve os eeplos seguir: SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Se, u siste lier, todos os teros idepedetes são iguis ero, etão o siste é deoido SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO. E.: hoogêeo E.: siste lier hoogêeo. é u siste lier é outro eeplo de U siste lier hoogêeo de equções e icógits ( ) é sepre possível, pois dite, pelo eos, solução (,,,..., ) deoid solução trivil. Coo estes sistes são sepre possíveis, são os úicos que pode ser clssificdos, eclusivete, pelo deterite d tri dos coeficietes. Coo ão eiste possiilidde de o siste ser SI, teos: det A SPI det A SPD E.: Resolver o siste Resolução: D 9 9 Coo D = e o siste é hoogêeo, ele só pode ser SPI, ou sej, dite ifiits soluções. Vos, etão, ecotrr ests soluções. Pr tl, freos = k. k k k k Dest for, solução do siste é: k S, E.: Resolver o siste Resolução: D. k... 9 Coo D, o siste dite u úic solução. Se o siste é hoogêeo, podeos etão firr que solução é S = (,, ). MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

34 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO E.: Deterie pr que o siste dit soluções diferetes d trivil: Resolução: Pr que o siste ci dit solução diferete de (,,..., ), deveos ter D =, ou sej: Logo, =. 8) Verifique se o siste lier hoogêeo é deterido ou ideterido. 9) Discutir, segudo os vlores do prâetro, o siste:

35 MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES ) Resolver o siste ) Discutir segudo os vlores do prâetro os seguites sistes: )

36 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO ) 9 ) Estudr o siste k k k

37 ) Ddo o siste deterir pr que o siste dit soluções diferetes d trivil e deteriá-ls., ) Qul o vlor de k pr que o siste k dit solução própri? (Not: solução trivil é té chd de solução iprópri) MATEMÁTICA III SISTEMAS LINEARES

38 RESPOSTAS ) ) L ) L c) L d) NL e) L f) NL g) NL h) L i) NL j) L ) Si ) Si ) Si ) Não ) k = ) k = 8) (k, k + ) 9) A respost é ert s coo eeplo, teos (,, ). ) ) ) ) ) ) ) ) Si ) Si c) Si d) Não e) Não ) É solução ) ) SPD, S,, k ) SPI, S, k, k k ) c) SPD, (Cot) d) SPI, S ) ) S={(-,, -) } ) S={ (,, ) } c) SPI; S= d) SI ) S= { ( -,,, ) } ) ), ) c) d) e) f) 8) ) 9) ) c) 8,,, k k S,, k,,,,, k k,, k,,,,,, SPD SPI SPD SI e SPD ou SPI e SPD d) ou SI, e SPD ou SPI SI CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

39 MATEMÁTICA III 9 SISTEMAS LINEARES ) SI SPI SPD e ) SI e SPI e SPD ) c d p e c d q ) Resolução:. Se D, pel regr de Crer, o siste te solução úic. Assi, os vlores de que ul o deterite são os que tor o siste ideterido ou ipossível. Vos, etão, resolver o siste pr D. D dí, teos que e D D D Assi, teos que: D D D D D D e solução do siste é: S,,. Se = teos: Esclodo o siste, ecotros: ~ e veos, últi equção, que o siste é ipossível.. se =, teos: ~ ote que pels dus últis equções, podeos firr que = - e =. Todo = k, teos solução k k S,, Resuido, SI SPI SPD e

40 ) ) ) SPD SPI e SPD S,, SPI k k S,, k SI SPD S SPI S ) ) k = ) k S,,, k,, k k, 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Lui Roerto; Mteátic, Volue dois. São Pulo, Atic,. IEZZI, Gelso e outros; Fudetos d Mteátic Eleetr, Volue. São Pulo, Atul, ª edição, 9. PAIVA, Moel Rodrigues; Mteátic, Volue, São Pulo, Editor Moder, ª edição, 99. 8) Ideterido. 9) ) SPD SPI k k S,, k Liks dos vídeos sugeridos est postil: Pág. s-lieres-itroduco/ ) ) ) SPD SPI e SPD ou SPI Pág. oeto/ ) ) k e k SPD k ou k SPI k k,,, k, k k ) k = CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO