CONTROLE DE LOCOMOÇÃO DE UM ROBÔ QUADRÚPEDE UTILIZANDO LINEARIZAÇÃO EXATA ENTRADA-SAÍDA

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1 CONROLE DE LOCOMOÇÃO DE UM ROBÔ QUADRÚPEDE UILIZANDO LINEARIZAÇÃO EXAA ENRADA-SAÍDA Luz de S Marts-Flho & Rolad Prajoux Laboratóro de Robótca Itelgete - LRI - Isttuto de Iformátca - UFRGS Av Beto Goçalves, 95 - CP Porto Alegre / RS - Brasl Laboratore d'aalyse et d'archtecture des Systèmes LAAS/CNRS 7, Av du Coloel Roche oulouse Cedex 4 - Frace e-mal: luz@fufrgsbr, prajoux@laasfr Resumo: Este trabalho dscute o problema do cotrole de locomoção de um robô quadrúpede A abordagem adotada basea-se o cotrole em posção, velocdade, attude e velocdade agular da plataforma do robô, que se traduz em termos de esforços do sstema robô, e, a dâmca do sstema em forma de cadea fechada O problema de cotrole se dvde em dos: cotrole do subsstema posção e cotrole do subsstema attude O subsstema attude é um sstema ão lear, tratado através de uma learzação exata obtda va realmetação estátca da saída O subsstema posção é dretamete cotrolado va regulação lear Para a valdação da abordagem proposta, utlza-se um modelo dâmco do robô completo Este modelo descreve a dâmca de cada compoete do sstema, assm como a cemátca das artculações As smulações umércas compreedem testes do cotrole utlzado este modelo dâmco, e testes de robustez com relação ao relevo do terreo e à razão etre as massas da plataforma e das peras Palavras Chave: robôs móves, robôs com peras, cotrole ão lear, learzação exata etrada-saída Abstract: hs paper dscuss the problem of the locomoto cotrol of a quadruped robot he adopted approach s based o posto, velocty, atttude ad agular velocty cotrol of the robot platform, that s traslated terms of the efforts o the robot system, e, o the system dyamcs closed cha form he cotrol problem s dvded two: the cotrol of the posto subsystem ad the cotrol of the atttude subsystem he atttude subsystem s a o lear system, solved usg a exact learzato obtaed va statc output feedback he posto subsystem s drectly cotroled va lear regulato For the valdato of ths approach, a complet robot dyamcs model s proposed hs model descrbes the compoets dyamcs, as well as the artculato kematcs he umercal smulatos cosder cotrol tests usg ths dyamcs model, ad robustess tests about terra relef ad about the rato betwee platform ad legs masses Key Words: moble robots, legged robots, o lear cotrol, exact put-output learzato Artgo Submetdo em /7/998 a Revsão em 7//998; a Revsão em 3/5/999; Aceto sob recomedação do Ed Cosultor Prof Dr Paulo Sérgo Perera Slva INRODUÇÃO O desevolvmeto da robótca de servço e de terveção tem estmulado as pesqusas de robôs móves adaptados a dferetes ambetes (estruturados e ão estruturados) Dversas arquteturas de cotrole de robôs móves vem sedo propostas vsado dotá-los de autooma e capacdade de plaejameto de tarefas e/ou reações a evetos e estímulos (eg Brooks, 986; Smmos, 994; Baro et all, 995, Mederos et all, 996) As soluções propostas para afrotar solos muto restrtvos e rregulares, o que cocere o tpo de locomoção, utlzam geralmete rodas adaptadas, lagartas e mecasmos em forma de peras A utlzação de peras tem obtdo resultados muto teressates para aplcações os casos mas crítcos É curoso observar que este tpo de locomoção, presete desde o íco da robótca, volta a gahar atualmete o teresse de dversos pesqusadores e laboratóros Algus exemplos sgfcatvos de trabalhos evolvedo robôs com peras: Garder (987) cotrole de locomoção e dstrbução de forças; Hrose et all (989) arqutetura de supervsão e cotrole de marcha; Kle e Kttvatcharapog (99) dstrbução de forças; Vukobratovc et all (99) dâmca e cotrole; Vllard et all (993) arqutetura de cotrole e smulação dâmca dos mecasmos das peras; Pack e Kag (995) - cotrole de marcha; Perr et all (997) smulação da dâmca do sstema plataforma/peras Cotexto do estudo O robô cosderado este trabalho é um quadrúpede Cosste de uma plataforma, deomada corpo do robô, dotada de peras guas formadas por mecasmos equvaletes a braços mapuladores A arqutetura do supervsor de marcha proposta em Prajoux e Marts-Flho (996) e em Marts- Flho e Prajoux (996) é baseada uma abordagem que tegra módulos realzado fuções de cotrole e fuções de decsão Este supervsor fo cocebdo para esteder as aplcações da arqutetura geral de cotrole de robôs LAAS/CNRS (Fraça) aos robôs multípedes Esta arqutetura de cotrole de robôs basea-se os prcípos de plafcação de mssões, trajetóra e tarefas, e de autooma de execução dessas (Mederos, 996) O módulo cetral do supervsor de marcha é o módulo de cotrole do movmeto da SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de

2 plataforma do robô, resposável pela realzação da trajetóra plafcada pelo ível superor da arqutetura O objetvo geral do projeto é desevolver uma estratéga de cotrole do robô, defdo uma arqutetura e detalhado os módulos prcpas, e aqueles que cocerem dretamete a locomoção O presete trabalho tem como objetvo dscutr e defr uma proposta de solução para o problema do cotrole da locomoção propramete dta, stetzado les de cotrole que permtam obter os esforços ecessáros, a serem realzados as extremdades das peras, para produzr o movmeto desejado em posção e attude do corpo do robô O prcpal problema é estabelecer uma le de cotrole smples e compatível com as exgêcas de um sstema tempo real para um robô que cosste de um sstema mecâco complexo e em forma de cadea fechada As hpóteses prcpas cosderadas este trabalho são: ehuma cosderação partcular é feta com relação ao deseho da estrutura da pera, sedo esta comparável a um mapulador com o mímo 3 graus de lberdade, capaz de comadar sua extremdade em qualquer lugar o espaço de trabalho do mecasmo; cada pera, com seus atuadores, sesores e sstema de cotrole, é vsto como um subsstema caxa preta, podedo ser cotrolado tato em posção como em força; subsstema pera é capaz de forecer com perodcdade compatível a posção da extremdade da pera em relação ao corpo do robô; sesores de cotato e de força permtem detectar o state de aterrssagem das peras, colsões e escorregametos; os cotatos etre as extremdades de peras e o solo são potuas Essas cosderações lstadas acma correspodem a hpóteses razoáves para um robô cocebdo para realzar sua locomoção com bom desempeho MÓDULO DE CONROLE DO MOVI- MENO DO ROBÔ O módulo de cotrole do movmeto do robô deve, segudo a abordagem adotada, forecer aos subsstemas que cotrolam as peras, o valor das forças a serem aplcadas por suas extremdades sobre o terreo para a realzação das trajetóras desejadas Essas forças as extremdades das peras resultam em uma força e um torque aplcados a plataforma do robô Detalhes do cálculo das forças de peras serão dscutdos a seção 5 Desta forma, as trajetóras plaejadas, defdas em termos de posção, velocdade, attude e velocdade agular do corpo do robô, são trasformadas em cotrole em força e em torque, e, os esforços a serem aplcados a plataforma do robô pelas peras Este tpo de cotrole de movmeto de robôs multípedes, va esforços aplcados o robô, permte a utlzação de robôs cuja dâmca é relevate e obtém desempehos mas adaptados às stuações ode o terreo é acdetado ou rregular Os robôs cotrolados exclusvamete de forma cemátca apresetam desempehos e tpos de aplcações lmtados Um exemplo sgfcatvo de cotrole baseado a dâmca do robô é o hexápode ASV (Adaptatve Suspeso Vehcle) da Oho State Uversty (EUA), tratado em Garder (987) O sstema robô completo (plataforma, peras e solo), cosderado este trabalho, é um sstema mecâco em forma de uma cadea fechada de seus elemetos e, mesmo adotado smplfcações a sua modelagem, trata-se de um sstema ão lear de grade complexdade No cotrole desse sstema utlzamos uma abordagem que smplfca bastate o modelo para a obteção da força e do torque a serem realzados pelas peras O módulo de cotrole utlza um modelo ode o robô é cosderado rígdo, com as 4 peras, de massa ão ula, em suas posções médas (em relação ao movmeto realzado por cada uma das peras durate uma marcha regular) Em dversos trabalhos (eg Garder, 987; Vllard 993) a massa das peras é cosderada desprezível, e o cotrole do movmeto do robô cosdera somete o corpo deste No presete trabalho, o modelo do robô completo utlzado a malha de cotrole reduz-se também a um corpo rígdo, composto da plataforma e das peras rígdas, a ser cotrolado em posção, velocdade, attude e velocdade agular Este sstema é subdvddo em dos subsstemas de cotrole: posção e attude 3 SUBSISEMA POSIÇÃO O cotrole da posção e da velocdade do robô correspode ao cotrole de movmeto de um corpo de massa m cocetrada um poto, o cetro de gravdade do robô O movmeto de um corpo potual é dado pela equação de Newto Sob a forma de equação de estado, o subsstema posção é dado por: X! V! V F / m ode: X [x y z] é a posção do cetro de gravdade do robô médo o referecal absoluto, V [V x V y V z ] é a velocdade deste cetro de gravdade, F [F x F y (F z G)] é a soma das forças aplcadas ao robô, e G mg é a força peso do robô Adotou-se um cotrole da posção (e da velocdade) do cetro de gravdade do robô baseado um método clássco, para os sstemas de seguda ordem, utlzado duas malhas, uma para a velocdade e outra para a posção A opção por este tpo de regulador permte uma mplemetação smples e de fácl compreesão A fgura mostra o esquema bloco do subsstema posção A referêca da malha de cotrole é dada em termos de posção e velocdade, a malha de cotrole calcula etão o erro etre o estado estmado o bloco de determação da posção e velocdade, e o valor da força de cotrole é obtdo utlzado-se os gahos K P e K V Note-se que é ecessáro cosderar a força peso (valor estmado) do robô para obteção do valor da força de cotrole referêca X r, V r X r - V r - ^ V X^ K P K V força G^ de cotrole determação posção/ velocdade F c - subsstema posção G F (forças das peras) Fgura Cotrole do subsstema posção () X V 58 SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de 999

3 Os gahos K P e K V são obtdos através da aplcação de um Regulador Quadrátco Lear - LQR, utlzado matrzes de poderação dagoas prorzado o erro de segumeto da referêca o crtéro de otmzação (com um fator da ordem de ), e ajustados para obter uma resposta satsfatóra para os requstos do sstema Os cálculos dos gahos foram realzados utlzado fuções do MALAB 4 SUBSISEMA AIUDE O cotrole da attude e da velocdade agular do robô correspode ao cotrole de rotação de um corpo rígdo em toro de seu cetro de gravdade Este modelo, do subsstema attude, pode ser expresso por: Ω! R! I [ Ω ] IΩ I [ Ω ] R () learzação exata etrada-saída por realmetação estátca da saída O termo estátco se refere à expressão da realmetação, que permaece costate, em cotraposção às téccas ode esta muda o curso do tempo O objetvo é que, esse sstema learzado, as ovas etradas cotrolem depedetemete cada um dos âgulos de rotação, e, que cada uma das 3 etradas cotrole a rotação de um dos âgulos que defem a matrz de attude R do referecal robô (Isdor, 989) É mportate observar que a matrz R costtu uma aplcação cotíua e dervável F : R 3 SO(3) (5) que assoca a cada tríade (ψ, θ e φ) um elemeto R F(ψ,θ,φ) R x (φ) R y (θ) R z (ψ) (6) ode: Ω [Ω x Ω y Ω z ] é a velocdade agular do corpo, I é sua matrz de érca, [ x y z ] é o torque resultate aplcado ao corpo, R é a matrz de attude do corpo (referecal absoluto) e [v ] é a matrz operador do produto vetoral de v, defda por: v3 v [ v ] v v (3) 3 v v A prmera equação é expressa um referecal lgado ao sóldo (referecal robô), este caso aquele descrto por R, e a seguda equação o referecal absoluto A prmera equação correspode à equação de Euler A matrz de attude do robô R represeta as rotações que levam o referecal absoluto ao referecal soldáro ao corpo do robô As defções precsas desta matrz, das velocdades agulares estão o Apêdce A Este subsstema é completamete cotrolável e a varável de cotrole é o torque (Isdor, 989) Cosdera-se que as varáves de estado do subsstema, R e Ω, são observáves através dos âgulos ψ, θ e φ das rotações que defem R, e as compoetes Ωx, Ωy, Ωz da velocdade agular o referecal robô 4 Learzação do subsstema attude O subsstema attude está expresso pela equação () Cosdera-se que a saída y do sstema é o própro estado, portato, esse sstema tem a forma geral de um sstema de cotrole ão lear: x! y m f ( x) g ( x) u h( x) ode x [R Ω] e f(x) f(r,ω), Σ g (x) u [(I - ) ], e a fução h(x) é o própro x, e, y [ψ θ φ Ω x Ω y Ω z ] Observa-se que o subsstema attude é um sstema ão lear Esse problema é tratado aqu va uma abordagem clássca da teora de cotrole dos sstemas ão leares (Cheg et al, 988; Isdor, 989) Obtém-se, através da aplcação de uma mudaça de coordeadas (varáves de estado) e de uma realmetação estátca da saída, um ovo sstema lear com relação às etradas e às saídas Esta técca é chamada (4) do cojuto SO(3) das matrzes ortogoas de ordem 3, cujo determate é gual a E que esta aplcação é versível a vzhaça de I, a matrz detdade de ordem 3, (R tem rak pleo a orgem), ou seja, exste uma vzhaça U do poto R I de SO(3) com a segute propredade: para cada R U, a equação (6) pode ser satsfeta por uma e somete uma tríade (ψ, θ e φ) A aplcação versa F -- : U R 3, assocado a cada R U a tríade (ψ, θ e φ) F -- (R) que satsfaz a equação (6), é gualmete uma aplcação cotíua e dervável Cosequetemete, pode-se adotar os 3 âgulos ψ, θ e φ como parâmetros, em toro de R I, do cojuto das matrzes que defem a attude do corpo omado-se ψ, θ e φ como as saídas do sstema, o problema de learzação se tora a busca de uma realmetação a forma 3 u α( R, Ω) β ( R, Ω) v tal que ψ, θ e φ sejam exclusvamete depedetes de v x, v y e v z, respectvamete, e, que as equações do cotrole dos âgulos sejam desacopladas em relação às ovas etradas v x, v y e v z A expressão da saída do sstema se escreve y ψ y θ F ( R) (8) y 3 φ e as dervadas das fuções ψ(x), θ(x) e φ(x) coduzem a ψ!! θ M ( ψθφ,, ) Ω (9) φ! Esta matrz M, que depede somete de ψ, θ e φ, é versível para toda tríade (ψ, θ, φ) vzha da orgem Como ehuma compoete da prmera dervada de y(t) depede explctamete da etrada u, calcula-se etão a seguda dervada! y M! Ω MI [ Ω ] I Ω MI () SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de que pode ser colocada a forma!! y b( ψθφ,,, Ω, Ω, Ω ) A( ψθφ,, ) u () x y z (7)

4 ode u aparece explctamete Este resultado permte deduzr que o vetor de grau relatvo do sstema {r, r, r 3 } é gual a {,,} (Isdor, 989), e que a matrz A( ψθφ,, ) M( ψθφ,, ) I () é versível em (ψ, θ, φ ) A realmetação que learza o sstema é portato dada por u A ( ψθφ,, )( v b( ψθφω,,, x, Ωy, Ω z)) (3) 5 FINALIZAÇÃO DO CONROLE: DISRI- BUIÇÃO DE FORÇAS Os subsstemas posção e attude elaboram, respectvamete, uma força resultate F e um torque resultate Um módulo do supervsor de marcha, deomado de dstrbução de forças, deve etão determar as forças que as peras devem aplcar ao solo de maera a obter F e sobre a plataforma A fgura 3 mostra as etradas e as saídas deste módulo ode u e v l A codção r, com 6 (ordem do sstema), é satsfeta e o sstema é globalmete learzado Em fução das ovas coordeadas ξ Θ [ψ θ φ] Τ e ζ M(ψ,θ,φ)Ω, o subsstema attude, com a realmetação tora-se I M ( M! Ω MN) (4) ode l é a etrada do sstema learzado l ξ! ζ (5) ζ! l O domío em toro da orgem (Θ ) ode as propredades de dervabldade e de versbldade de R(ψ,θ,φ) são coservadas correspode a uma varação sufcetemete grade desses âgulos que permte a utlzação da learzação exata o caso cosderado este trabalho Para cotrolar o subsstema attude learzado, utlzou-se a mesma estrutura de realmetação do subsstema posção A fgura mostra o dagrama de blocos do subsstema attude A referêca é dada em termos dos âgulos de Euler e suas respectvas varações temporas O valor do torque de cotrole do subsstema learzado é obtdo com o cálculo dos erros em relação ao estado estmado o bloco de determação de attude e velocdade agular e aplcação dos gahos K A e K VA Os valores dos gahos foram determados da mesma forma que o caso do subsstema posção A malha de learzação é etão aplcada para obteção do torque de cotrole a ser aplcado ao subsstema attude (ão lear) Θ r referêcas Θ r, Θ r Θ r - - K A K VA malha de learzação - Fgura Cotrole do subsstema attude A estmação das varáves de estado Θ e dθ /dt da attude, assm como a posção e velocdade o subsstema posção, são obtdas através de um módulo de pseudo-odometra, proposto em Marts-Flho e Prajoux (997), que tem fuções smlares às de um odômetro dos robôs com rodas Obvamete, a precsão desta estmação terfere o desempeho do cotrole proposto, mas o presete trabalho se restrge aos aspectos de desempeho relatvos à aproxmação de um sstema dâmco mult-corpos por um corpo rígdo MΩMN I M - 6 SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de 999 Θ^ ^ Θ (torque de cotrole) subsstema attude Θ Θ determação attude/ vel agular Fgura 3 Módulo de dstrbução de forças O presete estudo cosdera os modos de locomoção ode o quadrúpede se ecotra com 3 ou 4 peras em cotato com o solo A equação (6) mostra a relação etre a força e o torque resultates (F, ) e as compoetes das forças as extremdades das peras em cotato com o solo (f j, peras de sustetação) A matrz que multplca o vetor das forças as peras cotém as coordeadas das extremdades das peras Este problema é redudate o que se refere ao úmero de compoetes de forças de peras, e, se exste solução para o problema ela ão é úca # # z y z x dstrbução de forças y x # " f x F f y # f z " (6) Aproveta-se essa redudâca para buscar uma solução que mmze os esforços realzados pelas peras, e mpor restrções suplemetares para dar certas característcas teressates às forças de peras O crtéro de mmzação é a orma Σ j f j, que correspode à soma do quadrado das ormas das forças as extremdades de peras As restrções cosderadas o problema são: f z (7) x y f f f z η (8) A prmera restrção vsa mpedr que a solução apresete forças tas que se comade uma ou mas peras para que puxem o solo A seguda restrção é uma preveção aos possíves problemas de escorregameto de pera quado a relação força tagecal/força ormal ultrapassa o coefcete de atrto estátco do terreo η Este problema específco da dstrbução de forças é tratado em Kle e Kttvatcharapog (99) e em Naho e Ageles (99) com abordages clásscas de otmzação, em Garder (987) e em Marts-Flho e Prajoux (996) através de soluções baseadas a aplcação de regras de decsão 6 MODELO DE SIMULAÇÃO DO ROBÔ COMPLEO Dversos modelos dâmcos de robôs multípedes aparecem a lteratura, como por exemplo os de Perr et al (997) e de Oh e Or (986) Esses modelos são excessvamete complexos e mplcam em grade quatdade de cálculos para o tpo de

5 smulação que queremos realzar Vsa-se fudametalmete obter a valdação da estratéga global de cotrole adotada Optou-se por desevolver um modelo própro, mas adequado aos objetvos do trabalho e faclmete tegrável aos módulos do supervsor de marcha da arqutetura adotada Esse modelo de smulação, que leva em cota aproxmações baseadas as especfcações do robô quadrúpede cosderado este trabalho, represeta com todo rgor seu comportameto dâmco, sobretudo os aspectos da cadea fechada em regme dâmco de seus elemetos Para a smulação, as peras são costtuídas de 3 segmetos e possuem 3 artculações rotulares de grau de lberdade (a tercera é a artculação etre a pera e a plataforma) odos os compoetes do robô, clusve a plataforma, são paralelepípedos com cetro de gravdade localzado o cetro geométrco do respectvo compoete A fgura 4 mostra o modelo do robô uma represetação gráfca das smulações umércas A equação () descreve a dâmca de rotação do elemeto A Nela aparecem a matrz de érca do elemeto I A e os vetores que lgam o cetro de gravdade às extremdades d A e d A ; a sua velocdade agular Ω A ; a matrz de attude com relação ao referecal absoluto R A ; e os torques e forças aplcados as extremdades do elemeto A, A, F A, F A P!! A [ Ω [ R A A [ R ][ Ω I y ] Ω!! A A d A ] ΩA A A ] R A d A A A y [ Ω A ][ Ω A ] R [ R I ] Ω! A P!! A [ Ω I A y [ R A ][ [ Ω A A da ] ΩA A ΩA ] RA da A ][ Ω A! ] R A I y () () As equações () e () mostram as relações cemátcas em coseqüêca das restrções estabelecdas pela juta rotacoal etre o elemeto A e A Elas expressam os vículos etre as acelerações dos dos corpos artculados (d P A /dt, d P A /dt, dω A /dt, dω A /dt) As codções cas para os cálculos de cada state da smulação umérca são compostas pelas segutes varáves: posção, velocdade, attude e velocdade agular de todos os compoetes do robô A determação do comportameto dâmco do robô utlza como etradas as forças realzadas pelas extremdades de peras sobre o solo (ou a aceleração da extremdade o caso de uma pera que se ecotra levatada) Obtém-se etão como saídas do modelo de smulação as forças e os torques em cada uma das artculações, assm como as acelerações de cada compoete (aceleração do cetro de gravdade do compoete e aceleração agular do corpo em toro deste poto) Fgura 4 Represetação gráfca do robô De maera a reduzr o úmero de equações do modelo, o compoete superor de cada uma das peras, que está artculado com a plataforma, é cosderado como de dmesões e massa ulas Em coseqüêca, o modelo da artculação da pera com a plataforma é represetado por uma rótula de graus de lberdade, e a pera reduzda a dos elemetos As equações do modelo são: equações de Newto e Euler para cada compoete do robô, equações que descrevem as relações cemátcas das artculações e equações que descrevem a cemátca das extremdades de cada uma das peras (que podem estar em cotato estátco com o solo, ou etão realzado trajetóras o espaço lvre) Seguem abaxo algus exemplos dessas equações m P!! F F m g (9) A A A A equação (9) descreve a dâmca do cetro de gravdade do elemeto da pera A P A é a posção do cetro de gravdade do elemeto, m a sua massa, e F A e F A as forças aplcadas em sua extremdade I A R AΩ! A RA A RA A A A [ d A ] R A FA [ d A ] R A F () A [ RAΩ A ] I A RAΩ A Essas equações tomam a forma de um sstema lear de 4 equações e 4 cógtas (equação 3), ode o vetor x represeta essas saídas, e a matrz A d e o vetor b d resultam dos parâmetros defdos pelo estado do sstema o state do cálculo Apesar da versão de uma matrz de dmesão 4 4 (A d ), que causa letdão as smulações do comportameto dâmco do robô, ão se verfcou problemas de mal codcoameto desta matrz A x b (3) d d A partr das acelerações obtdas para a plataforma do robô, obtém-se a atualzação do seu estado através de tegração umérca A atualzação dos estados dos demas compoetes do robô é faclmete obtda tomado-se em cota as característcas de um sstema em forma de cadea fechada As equações utlzadas para a tegração das varáves de estado da plataforma são: Ω( t t) Ω( t) Ω! () t t Θ( ) Θ( ) Θ! (4) t t t () t t Θ( t t) R( t t) 7 ESES E RESULADOS DE SIMULA- ÇÃO Os testes para a valdação da abordagem proposta foram realzados através de smulações umércas do modelo SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de 999 6

6 dâmco do sstema robô completo, e do módulo de cotrole descrto este trabalho As smulações cosderaram 3 casos dferetes para avalação da robustez do cotrole proposto date de dferetes stuações da marcha do robô: marcha em velocdade costate a dreção do exo logtudal da plataforma do robô, um terreo plao; marcha em velocdade costate a dreção do exo logtudal da plataforma do robô, um terreo com relevo rregular; marcha em velocdade costate a dreção do exo logtudal da plataforma do robô, um terreo plao, com o dobro de relação de massa peras/plataforma (,48 cotra,4 o prmero caso) As dmesões e massas do modelo do robô são mostradas a tabela A velocdade omal do robô é de 3 m/s e as referêcas das malhas de cotrole são determadas de maera a mater a plataforma do robô sempre paralela ao trâgulo formado pelas extremdades das 3 peras em cotato com o solo que aterrssaram mas recetemete No caso da marcha sobre o terreo rregular, além de corrgr a attude da plataforma, o supervsor de marcha determa as trajetóras das peras o espaço lvre para que a projeção do cetro de gravdade do robô fque sempre sobre o cetróde formado pelas extremdades das 4 peras em suas respectvas posções médas (poto médo etre a posção de aterrssagem e decolagem de cada pera o referecal robô) abela Massas e dmesões do robô compoete Massa (kg) dm (m m m) plataforma elemeto da pera elemeto da pera 3 (6) 3 (6) O rastro do movmeto do robô para os dos tpos de terreo, respectvamete, terreo plao e com relevo acdetado, é apresetado as fguras 5 e 6 Pode-se verfcar que o caso do terreo acdetado, a marcha do robô se matém regular e com a plataforma acompahado a varação do plao formado pelas extremdades de pera em cotato com o solo Fgura 6 Rastro do deslocameto do robô (terreo acdetado) Os resultados mostrados a segur se referem ao comportameto das malhas de cotrole Os gráfcos apresetam a evolução temporal dos erros de posção, de velocdade, de attude e de velocdade agular em relação às respectvas referêcas 7 erreo plao (massa de cada pera: 6 kg) As fguras 7, 8, 9 e mostram os resultados da marcha sobre o terreo plao Na fgura 7 estão plotados os erros do estado com relação à referêca dos compoetes da posção do cetro de gravdade da plataforma y (traço potlhado) e z (traço descotíuo); a fgura 8 estão plotados as compoetes da velocdade v x (traço cotíuo), v y (traço potlhado) e v z (traço descotíuo) A fgura 9 mostra os erros etre estado e referêca dos âgulos de Euler φ (traço cotíuo), θ (traço potlhado) e ψ (traço descotíuo); e a fgura mostra suas varações temporas dφ/dt (traço cotíuo), dθ/dt (traço potlhado) e dψ/dt (traço descotíuo) x erro (m) : pos_y / pos_z Fgura 5 Rastro do deslocameto do robô (terreo plao) Fgura 7 Evolução temporal do erro em posção (terreo plao) 6 SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de 999

7 erro (m/s) : vel_x / vel_y / vel_z erro (rad) : ph / theta / ps erro (m) : pos_y / pos_z Fgura 8 Evolução temporal do erro em velocdade (terreo plao) Fgura 9 Evolução temporal do erro em attude (terreo plao) x Fgura Evolução temporal do erro em velocdade agular (terreo plao) A malha de cotrole apresetou desempeho adequado, establzado o sstema a trajetóra de referêcas comadadas Nota-se claramete os gráfcos os efetos dâmcos das decolages das peras, causado uma perturbação que é rapdamete compesada 7 erreo acdetado (massa de cada pera: 6 kg) Os resultados das fguras,, 3 e 4 se referem à marcha do robô sobre um terreo com relevo acdetado Na fgura estão plotados os erros do estado com relação à referêca dos compoetes da posção do cetro de gravdade da plataforma y (traço potlhado) e z (traço descotíuo); a fgura estão plotados as compoetes da velocdade v x (traço cotíuo), v y (traço potlhado) e v z (traço descotíuo) A fgura 3 mostra os erros etre estado e referêca dos âgulos de Euler φ (traço cotíuo), θ (traço potlhado) e ψ (traço descotíuo); e a fgura 4 mostra suas varações temporas dφ/dt (traço cotíuo), dθ/dt (traço potlhado) e dψ/dt (traço descotíuo) erro (m) : pos_y / pos_z Fgura Evolução temporal do erro em posção (terreo acdetado) erro (m/s) : vel_x / vel_y / vel_z Fgura Evolução temporal do erro em velocdade (terreo acdetado) SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de

8 5 8 6 erro (rad) : ph / theta / ps 5 5 erro (m) : pos_y / pos_z Fgura 3 Evolução temporal do erro em attude (terreo acdetado) Fgura 5 Evolução temporal do erro em posção (terreo plao com dobro de massa das peras) erro (rad/s) : ph_prm / theta_prm / ps_prm 5 5 erro (m/s) : vel_x / vel_y / vel_z Fgura 4 Evolução temporal do erro em velocdade agular (terreo acdetado) Fgura 6 Evolução temporal do erro em velocdade (terreo plao com dobro de massa das peras) O desempeho do cotrole do movmeto do robô este caso, ode o terreo apreseta um relevo acdetado, comprovam a capacdade de realzação de uma marcha adaptada ao terreo, e atestam a robustez da malha de cotrole com relação a este tpo de dfculdade 73 erreo plao (massa de cada pera: kg) As fguras 5, 6, 7 e 8 mostram os resultados do teste de robustez quato à varação da razão das massas da plataforma e das peras (a massa de cada pera passa de 6 kg dos dos prmeros casos para kg) cosderado-se uma marcha o terreo plao Na fgura 5 estão plotados os erros do estado com relação à referêca dos compoetes da posção do cetro de gravdade da plataforma y (traço potlhado) e z (traço descotíuo); a fgura 6 estão plotados as compoetes da velocdade v x (traço cotíuo), v y (traço potlhado) e v z (traço descotíuo) A fgura 7 mostra os erros etre estado e referêca dos âgulos de Euler φ (traço cotíuo), θ (traço potlhado) e ψ (traço descotíuo); e a fgura 8 mostra suas varações temporas dφ/dt (traço cotíuo), dθ/dt (traço potlhado) e dψ/dt (traço descotíuo) erro (rad) : ph / theta / ps Fgura 7 Evolução temporal do erro em attude (terreo plao com dobro de massa das peras) 64 SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de 999

9 erro (rad/s) : ph_prm / theta_prm / ps_prm Fgura 8 Evolução temporal do erro em velocdade agular (terreo plao com dobro de massa das peras) Os resultados para esta smulação, ode se cosderou o dobro de massa das peras, mostram que a abordagem é também robusta com relação à uma cosderável varação da razão etre a massa plataforma e a massa total das peras 8 CONCLUSÃO As smulações realzadas utlzaram um modelo que descreve com rgor a dâmca de um robô composto de uma plataforma e 4 peras de 3 compoetes, ode cada elemeto é cosderado rígdo, para valdar a abordagem de cotrole proposta Os resultados mostram a pertêca das aproxmações adotadas sobre a dâmca do sstema robô completo a malha de cotrole (robô cosderado como corpo rígdo, subsstema attude learzado através de um retoro de saída) Isto mostra que a varação da localzação do cetro de massa do robô completo é pequea durate o movmeto das peras, permtdo que a malha de cotrole apresete desempeho satsfatóro com as smplfcações adotadas Além dsso, os testes de robustez do cotrole proposto, com relação à varação da proporção etre massa da plataforma e massa das peras, e em relação à marcha sobre um terreo acdetado, apresetaram resultados amplamete satsfatóros A aplcação da teora de cotrole de sstemas ão leares, através da learzação exata etrada-saída, mostrou-se aproprada para este problema, detro do cotexto proposto Cabe saletar que outros aspectos de robustez, tas como os que se referem aos erros de cohecmeto dos parâmetros do robô, de estmação das varáves de estado, que ão eram objeto deste trabalho, devem ser aalsados ates de uma mplemetação expermetal desta abordagem AGRADECIMENOS Os autores agradecem o apoo facero do Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e ecológco CNPQ, e da Fudação de Amparo à Pesqusa do Estado do Ro Grade do Sul FAPERGS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Baro, P, G Guda, S Muss ad A Vetur (995) A dstrbuted archtecture for cotrol of autoomous moble robots Proc of IEEE Iteratoal Coferece o Robotcs ad Automato (ICRA 95) Nagoa, Japão Brooks, RA (986) A robust layered cotrol system for a moble robot IEEE ras o Robotcs ad Automato Vol RA-, No Cheg, D; A Isdor; W Respodek ad J ar (988) Exact learzato of olear systems wth outputs Math Systems heory Vol Garder, JF (987) Force dstrbuto ad trajectory cotrol for closed kematc cha wth applcatos to walkg maches ese de Doutorado Oho State Uversty Oho Estados Udos Hrose, S, K Yoeda, R Furuya ad akag (989) Dyamc ad statc fuso cotrol of quadruped walkg vehcle Proc of IEEE Iteratoal Coferece o Itellget Robots ad Systems (IROS 89) sukuda, Japão Isdor, A (989) Nolear Cotrol Systems Sprger- Verlag New York Kle, CA ad S Kttvatcharapog (99) Optmal force dstrbuto for the legs of a walkg mache wth frcto coe costrats IEEE ras o Robotcs ad Automato Vol 6, No Marts-Flho, L de S e R Prajoux (997) Pseudo-odometry for legged robots Aas do XIV Cogresso Braslero de Egehara Mecâca (COBEM 97) Bauru/SP, Brasl Marts-Flho, L de S ad R Prajoux (996) Rule-based reasog for the walk supervsor of a four legged robot Proc of Iteratoal Symposum o Itellget Robotc Systems (SIRS 96) Lsboa, Portugal Mederos, AD, R Chatla ad S Fleury (996) Specfcato ad valdato of a cotrol archtecture for autoomous moble robots Proc of IEEE Iteratoal Coferece o Itellget Robots ad Systems (IROS 96) Osaka, Japão Naho, RN ad J Ageles (99) Real-tme force optmzato paralell kematcs chas uder equalty costrats IEEE ras o Robotcs ad Automato Vol 8, No 4 Oh, S-Y ad D Or (986) Dyamc computer smulato of multple closed-cla mechasms Proc of IEEE Iteratoal Coferece o Robotcs ad Automato (ICRA 86) Pack, DJ ad H Kag (995) A omdrectoal gat cotrol usg a graph search method for a quadruped walkg robot Proc of IEEE Iteratoal Coferece o Robotcs ad Automato (ICRA 95) Nagoa, Japão Perr, B; C Chevallereau, ad C Verder (997) Calculato of the drect dyamc model of walkg robots: comparso betwee two methods Proc of IEEE SBA Cotrole & Automação Vol o 3 / Set, Out, Nov e Dezembro de

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