ABORDAGEM MATEMÁTICA DE ROLL WAVES EM ESCOAMENTOS HIPERCONCENTRADOS COM SUPERFICIE LIVRE

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1 uesp Uiversidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ABORDAGEM MATEMÁTICA DE ROLL WAVES EM ESCOAMENTOS HIPERCONCENTRADOS COM SUPERFICIE LIVRE Fabiaa de Oliveira Ferreira Dissertação apresetada à Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira da Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, como parte dos requisitos exigidos para a obteção do título de Mestre em Egeharia Mecâica. Orietador: Prof. Dr. Geraldo de Freitas Maciel Ilha Solteira, ovembro de 007.

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técica de Aquisição e Tratameto da Iformação Serviço Técico de Biblioteca e Documetação da UNESP - Ilha Solteira. F383a Ferreira, Fabiaa de Oliveira. Abordagem matemática de roll waves em escoametos hipercocetrados com superfície livre / Fabiaa de Oliveira Ferreira. -- Ilha Solteira : [s..], f. : il., fots. (algumas color.) Dissertação (mestrado) - Uiversidade Estadual Paulista. Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira. Área de cohecimeto: Ciêcias Térmicas, 007 Orietador: Geraldo de Freitas Maciel Bibliografia: p Escoameto.. Fluidos ão-ewtoiaos. 3. Odas de choque. 4. Roll waves.

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4 Dedico este trabalho aos meus pais Silvio e Maria Luzia e ao meu irmão Silvio Cesar, estímulos que me impulsioaram a buscar meus ideais.

5 AGRADECIMENTOS Primeiramete a Deus, por ter me cocedido força e perseveraça para cocluir este trabalho. Aos meus pais e meu irmão, pelos esiametos, pelo cariho e cofiaça. Ao meu orietador Prof. Dr. Geraldo de Freitas Maciel, pelo apredizado, pela cofiaça, paciêcia e apoio costate o decorrer do trabalho, mostrado-me camihos ao ivés de meras soluções. À Prof. Dra. Môica Pito Barbosa, pela cofiaça e pela oportuidade de fazer o mestrado, me fazedo acreditar que poderia ser uma mestre. Ao meu amorado Marcel, pela compreesão os mometos de ausêcia e pelo cariho e icetivo os mometos de dificuldades. À amiga Adriaa, pelo compaheirismo os mometos felizes e também os mometos mais difíceis e a todos os amigos por grades mometos jutos, que de forma direta ou idireta cotribuíram muito para a coclusão deste trabalho. À baca examiadora, por aceitar cotribuir a discussão e certamete o eriquecimeto deste trabalho. Ao programa de Pós-Graduação em Egeharia Mecâica, professores e fucioários.

6 Sempre me pareceu estraho que todos aqueles que estudam seriamete esta ciêcia acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade o que proporcioa o máximo de prazer ão é o cohecimeto e sim a apredizagem, ão é a posse mas a aquisição, ão é a preseça mas o ato de atigir a meta. Carl Friedrich Gauss

7 RESUMO Os escoametos em superfície livre que ocorrem em caais icliados, tato em fluido Newtoiao quato em fluido ão-newtoiao (hipercocetrado), podem desevolver istabilidades, tais como odas em forma de ressalto hidráulico, com comprimetos bem defiidos. Tais perturbações são deomiadas Roll Waves. Essas odas são comus em caais artificiais, em lavas torreciais e deslizameto de avalachas. Neste trabalho, o plao teórico, é determiado um modelo matemático geral, com base as equações de Navier- Stokes itegradas a vertical, em cujo tesor de tesões é itroduzido a reologia de Herschel- Bulkley. A velocidade média do escoameto é determiada levado-se em cosideração que o escoameto apreseta um perfil de velocidade parabólico a região cisalhada (próximo ao fudo do caal) acoplado a um perfil liear a região ão cisalhada (codição de plug), característico dos escoametos de lamas e detritos. A partir do sistema de equações (coservação da massa e equação da quatidade de movimeto) em variáveis adimesioais, uma aálise de estabilidade liear é realizada, colocado em evidêcia as codições de formação dessas istabilidades, tato em fluido hipercocetrado como em fluido Newtoiao. Com as codições de formação de istabilidades estabelecidas, uma teoria aalítica de Roll Waves permaete é imposta e um modelo matemático para geração de tais istabilidades é determiado. No plao umérico, utilizado a liguagem de programação Pytho, a validade do modelo é verificada, cosiderado que essas odas são ajustadas por choques devido às sigularidades existetes o modelo. Com a determiação das codições de choque e da velocidade de propagação da oda em um poto crítico; pode-se observar a formação de Roll Waves em fluidos ão Newtoiaos com reologia de Herschel-Bulkley, Bigham, Power Law, como também em fluido Newtoiao. Palavras-chave: Roll Waves, Herschel-Bulkley, fluido hipercocetrado, odas de choque.

8 ABSTRACT The flows i free surface that occur i slopig caals, such as Newtoia fluid as i o- Newtoia fluid (hypercocetrated), they ca develop istabilities, such as log waves i form of hydraulical jumps, with well defied legths; these istabilities are called Roll Waves, more commo i artificial caals, torretial spillways of dams, lava ad avalache ladslide. This work, i the theoretical pla, a geeral mathematical model is determied, o the basis of the itegrated Navier-Stokes equatio i the vertical, of tesor tesios the rheology of Herschel-Bulkley is itroduced. The average velocity of the flows is determied takig itself i cosideratio that the flows presets a parabolic profile of speed i the shear regio (ear of the floor of caal) coected to a liear profile i the regio ot shear (coditio of plug), categorized as flows of mudflows ad debris flows. From the system of equatios (coservatio of the mass ad equatio of the mometum) i adimesioal variables, a aalysis of liear stability is carried through, placig the coditios of formatio of these istabilities, as much i hypercocetrated fluid as i Newtoia fluid. With the coditios of formatio of istabilities established, a aalytical theory of permaet Roll Waves is imployed ad a mathematical model for geratio of such stabilities it s determied. I the umerical pla, usig the computatioal cosol Pytho, the validity of model is checked, cosiderig of this waves are adjusted by shocks devided by the sigularities existets i the model. With the determiatio of coditios of shock ad the velocity of propagatio of wave i a critical poit; we ca observe the formatio of Roll Waves such i fluids o-newtoias (Herschel- Bulkley, Bigham, Power law) as Newtoia fluids. Keywords: Roll Waves, Herschel-Bulkley, hypercocetrated fluid, shock waves.

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 VISUALIZAÇÃO DE ROLL WAVES...15 FIGURA 1.: VISUALIZAÇÃO DO FENÔMENO ROLL WAVES NA RAMPA DE LAVAS TORRENCIAIS..15 FIGURA.1: EXEMPLOS DE FLUIDO NEWTONIANO E FLUIDO NÃO NEWTONIANO...5 FIGURA.: REOGRAMA REPRESENTANDO DIFERENTES TIPOS DE MODELOS REOLÓGICOS....8 FIGURA.3: GEOMETRIA DO PROBLEMA...9 FIGURA 3.1: REPRESENTAÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADE PARA UM FLUIDO DE HERSCHEL- BULKLEY...43 FIGURA 3.: PERFIL DE VELOCIDADES PARA UM FLUIDO TIPO HERSCHEL-BULKLEY...44 FIGURA 4.1: TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO HERSCHEL- BULKLEY FIGURA 4.: TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO POWER LAW...64 FIGURA 4.3: TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO BINGHAMIANO (A) E NEWTONIANO (B) FIGURA 4.4: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO DE HERSCHEL- BULKLEY...67 FIGURA 4.5: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO POWER LAW FIGURA 4.6: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO BINGHAMIANO E NEWTONIANO...68 FIGURA 5.1: PERFIL DE UMA ROLL WAVE FIGURA 6.1: PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O VALOR DO NÚMERO DE FROUDE (FR) FIGURA 6.: PERFIL DAS ROLL WAVES PARA FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O VALOR DE C FIGURA 6.3: PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY VARIANDO O VALOR DE PARA Fr FIGURA 6.4: PERFIL DAS ROLL WAVES VARIANDO O VALOR DE PARA Fr

10 LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS GREGOS B c coeficiete de distribuição de velocidade costate em fução do úmero de Froude costate em fução do úmero de Froude em um poto critico comprimeto de oda o sistema móvel de coordeadas âgulo de icliação do caal comprimeto da Roll Wave viscosidade diâmica ou absoluta de fluido ewtoiao ídice de escoameto para fluido do tipo Power Law viscosidade plástica (fluido de Bigham) massa especifica tesão de cisalhameto tesão de cisalhameto adimesioal tesão critica ou rigidez iicial p tesão a parede xx tesão ormal atuate a direção x yy tesão ormal atuate a direção y zz tesão ormal atuate a direção z xy tesão cisalhate atuate o eixo x a direção y yx tesão cisalhate atuate o eixo y a direção x xz tesão cisalhate atuate o eixo x a direção z zx tesão cisalhate atuate o eixo z a direção x âgulo de atrito itero freqüêcia das perturbações

11 SÍMBOLOS ARÁBICOS C g U Fr C U i X i F i coeficiete de Chézy aceleração da gravidade ídice de escoameto do fluido velocidade de propagação da Roll Wave úmero de Froude coesão do fluido (em fução da tesão crítica) compoete de velocidade em otação idicial eixos do sistema de coordeadas em otação idicial forças de corpo ij tesor de tesões t u v w x y z K h o escala de tempo compoete de velocidade a direção x compoete de velocidade a direção y compoete de velocidade a direção z abcissa o sistema de coordeadas cartesiaas ordeada o sistema de coordeadas cartesiaas cota o sistema de coordeadas cartesiaas ídice de cosistêcia do fluido de Herschel-Bulkley cota o fudo do caal h f cota a superfície livre do escoameto Ox Oy Oz L x y z u escala de comprimeto a direção x escala de comprimeto a direção y escala de comprimeto a direção z comprimeto característico abcissa adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas ordeada adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas cota adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas compoete de velocidade adimesioal a direção x

12 v w P P u h z 0 l 0 h 0 u 0 compoete de velocidade adimesioal a direção y compoete de velocidade adimesioal a direção z pressão pressão a forma adimesioal velocidade média do escoameto profudidade total do escoameto profudidade do escoameto a região cisalhada comprimeto da oda em regime uiforme profudidade do escoameto em regime uiforme compoete da velocidade a direção para escoameto em regime uiforme u 0 H V velocidade média do escoameto em regime uiforme valor ifiitesimal para altura quado o escoameto é perturbado valor ifiitesimal para a velocidade do escoameto quado perturbado I taxa média de crescimeto das istabilidades x ' c h 1 k velocidade de propagação da oda abcissa o sistema móvel de coordeadas costate em fução da velocidade de propagação da Roll Wave profudidade do escoameto ates do choque h h c profudidade de escoameto depois do choque profudidade critica do escoameto

13 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA OBJETIVOS ESBOÇO DA DISSERTAÇÃO... CAPÍTULO...3. CONSIDERAÇÕES INICIAIS DEFINIÇÕES DAS PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS...3. MODELOS REOLÓGICOS ANÁLISE FÍSICA DO PROBLEMA ESCOAMENTO SUPERCRÍTICO,CRÍTICO E SUBCRÍTICO...30 CAPÍTULO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA TRATAMENTO MATEMÁTICO DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES Codições de Cotoro DETERMINAÇÃO DA PRESSÃO HIDROSTÁTICA MODELO MATEMÁTICO PERFIL DE VELOCIDADES Velocidade Média em Relação à Profudidade do Escoameto DETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO (LEI DE ATRITO) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS...50 CAPÍTULO ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR...56

14 4.1 LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES CONDIÇÕES PARA FORMAÇÃO DE INSTABILIDADES TAXA DE CRESCIMENTO DAS INSTABILIDADES VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS INSTABILIDADES...66 CAPÍTULO EQUAÇÃO DAS ROLL WAVES ONDAS DE CHOQUE E DESCONTINUIDADES PERFIL DE UMA ROLL WAVE Codições de Choque VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ROLL WAVE...76 CAPÍTULO RESULTADOS NUMÉRICOS A LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PYTHON ROLL WAVES PARA A PROPOSTA REOLÓGICA DE HERSCHEL-BULKLEY...79 CAPÍTULO DISCUSSÕES E PERSPECTIVAS...85 REFERÊNCIAS...88 APÊNDICE A...94 APÊNDICE B...99 APÊNDICE C APÊNDICE D APÊNDICE E APÊNDICE F...113

15 14 CAPÍTULO 1 1. INTRODUÇÃO Os escoametos em superfícies livres, também refereciados como escoametos em caais, têm um grade úmero de aplicações práticas a egeharia. No etato, os escoametos que se processam em caais com declividades podem desevolver istabilidades em forma de ressalto hidráulico ou bore waves. Essas istabilidades podem aparecer tato em fluidos Newtoiaos (água limpa), quato em fluidos ão Newtoiaos (fluidos hipercocetrados). Tais perturbações com comprimeto de oda defiido são deomiadas Roll Waves. Não é raro ecotrá-las em rios ígremes, em caais artificiais, vertedouros de barrages, deslizametos de avalachas ou em corridas de lamas (mudflows) (Egelud e Wa, 1984) e detritos (debris flows) (Forterre e Poulique, 003). O feômeo pode ser visto em oceaos (Swaters, 003) e lagos (Fer; Lemmi; Thorpe, 003), além disso, essas odas são ocorrêcias comus em águas rasas e películas de fluido lamiar que escoam sobre calhas e ruas em dias chuvosos. Essas Roll Waves ou travellig waves ão são exclusivas da egeharia de superfície livre e catástrofes do meio ambiete. Esse tipo de comportameto de sucessão de odas de choque é, por coseguite, de mesma topologia, podem aparecer o fluxo de carros uma autopista etre sucessivos egarrafametos (cristas/cavas) e em várias outras situações físicas, tais como em correte de gravidade (Alavia, 1986 e Ceedese et al., 004), em escoametos multifásicos (Woods; Hurlburt; Haratty, 000), em modelo de tremor vulcâico (Julia, 1994) assim como em oscilações de pressão em uma artéria humaa (Pedley, 1980 e Brook, 1999).

16 15 Através de estudos realizados em laboratório pelo grupo de pesquisa da Uesp de Ilha Solteira, observou-se a formação de tais istabilidades em fluido hipercocetrado (água+argila, água+argila+areia fia) escoado em um caal icliado. A formação dessas odas pode acarretar em variações sigificativas a profudidade do escoameto, vecedo algumas vezes, a borda livre de caais e provocado trasbordametos. Dessa forma, visado à aplicação deste estudo em problemas de egeharia, um modelo matemático que caracterize as Roll Waves cotribuiria para um maior cotrole do feômeo em questão, por exemplo, um evetual redimesioameto de bordas livres de um caal. A Figura 1.1 mostra o feômeo das Roll Waves a atureza o escoameto de fluido hipercocetrado e de um fluido Newtoiao. A Figura 1. mostra o desevolvimeto das Roll Waves, geradas em lama a rampa de lavas torreciais o laboratório de hidrologia da UNESP - Ilha Solteira. a) Escoameto de fluido hipercocetrado. b) Escoameto de fluido Newtoiao Figura 1.1 Visualização de Roll Waves. Figura 1.: Visualização do feômeo Roll Waves a rampa de lavas torreciais.

17 Revisão Bibliográfica Quato à geração de Roll Waves em escoametos de fluido Newtoiao e ão Newtoiao, estudos ateriores foram realizados a busca de explicar a ocorrêcia do feômeo. Podedo aparecer tato em escoametos lamiares quato em escoametos turbuletos. Nos escoametos lamiares, ode são prepoderates a ação das forças viscosas do fluido, em relação à iércia, amortecedo a tedêcia à turbulêcia, as Roll Waves são formadas com baixos úmeros de Reyolds, o que geralmete ocorre em escoametos de fluidos hipercocetrados, apresetam amplitude mais elevada e baixa velocidade de propagação, coforme mostrado por (Bejami, 1957), (Che, 199), (Ng; Mei, 1994), (Liu; Mei, 1994), (Maciel, 001) etre outros. Já para os escoametos turbuletos coforme estudado por (Jeffreys, 195), (Dressler, 1949), (Brock, 1969), (Kraeburg, 199), (Zauttigh; Lamberti, 00) e outros; o feômeo ocorre para úmeros de Reyolds elevados e as odas apresetam uma velocidade de propagação maior quado comparadas com as que aparecem os escoametos lamiares. As observações do feômeo Roll Waves, de forma detalhada foram apresetadas primeiramete por (Corish, 1910), embora existam relatos de que essas odas possam ter sido vistas mais cedo, pois aparecem em desehos artísticos atigos (Motes, 1998). A partir daí, cietistas ivestem o estudo do feômeo e resultados importates são determiados para a geração de Roll Waves. O primeiro a estabelecer um critério sobre a formação de Roll Waves em escoametos turbuletos foi (Jeffreys, 195), ele deduziu a partir de uma aálise de estabilidade liear, que o escoameto uiforme torava-se istável, se o úmero de Froude fosse superior a. E (Thomas, 1939) teta descrever aaliticamete Roll Waves de grade amplitude e cosidera um trem de odas com velocidade costate compodo a superfície da água. Um trabalho clássico detro do cotexto de Roll Waves foi o de (Dressler, 1949), quado tetou deliear o perfil da superfície livre e verificou a formação de Roll Waves, descrevedo o feômeo como sedo uma série de odas de comprimetos bem defiidos, separadas por descotiuidades da superfície livre. A aálise realizada é baseada a formulação de águas rasas sem os termos de difusão, combiada à equação do ressalto hidráulico. A equação da quatidade de movimeto compreede o efeito da gravidade adicioado ao termo que modela a turbulêcia (C : coeficiete de Chézy). Através da técica

18 17 da adimesioalização das variáveis, (Dressler, 1949) mostrou que, soluções regulares, periódicas e separadas por descotiuidades com picos a superfície livre aparecem, quado ta 4g C, ( : declividade do caal, C: coeficiete de Chézy). Essa aálise ão permite, etretato, determiar o comprimeto dessas odas. Nas décadas de 50 e 60, o feômeo foi estudado teórica e experimetalmete, e propriedades físicas dessas odas foram medidas. (Ishihara; Iwagaki; Iwasa, 1954) estudaram Roll Waves em uma lâmia de fluido Newtoiao, teórica e experimetalmete. Em suas aálises, a profudidade média do escoameto foi calculada a partir das equações de águas rasas, assumido um perfil parabólico para a velocidade logitudial. Também mediram as propriedades das odas e verificaram que as cristas eram bastate ígremes, mas ão verticais. Bejami (1957) e Yih (1963), usado as equações de Navier-Stokes, para escoametos lamiares e assumido perturbações seoidais a superfície livre, determiaram que o úmero de Froude deve ser maior que 0,5 para a formação dessas perturbações. Motuori (1963) propodo uma relação do úmero de Froude com o comprimeto do caal (L), verificou que em caais com comprimeto pequeo, ão ocorre o aparecimeto de Roll Waves. Brock (1969) observou Roll Waves em laboratório para um úmero de Reyolds de aproximadamete 4 10 e úmero de Froude de 3., ou seja, costatou experimetalmete a formação de tais odas em escoametos turbuletos. E posteriormete, (Brock, 1970), com base o trabalho de (Dressler, 1949), desevolveu uma teoria para Roll Waves permaete periódica, usado as equações de águas rasas e comparou com os resultados experimetais obtidos em No fial da década de 70, (Tamada, Tougou, 1979) fizeram o estudo de Roll Waves para fluido Newtoiao, baseados as equações de Navier-Stokes. Os resultados mostraram um trem de odas para comprimeto de oda meor do que um valor crítico. Além disso, o perfil das odas mostrou-se compatíveis com as observações experimetais. Algus pesquisadores, a década de 80 estederam os estudos de (Dressler, 1949), tais como, (Needham; Merki, 1983) e (Bakhavalov; Eglit, ); e obtiveram soluções aálogas a de Dressler. Needham e Merki (1983) itroduzido os efeitos viscosos o equacioameto, verificaram que a iclusão deste termo ão alterava a codição de estabilidade do escoameto

19 18 uiforme. Aida, quado o escoameto torava-se istável, uma família de soluções quase periódicas apareceriam, tedo como parâmetro de cotrole a velocidade de perturbação. Detro de uma reologia ão-newtoiaa, (Bakhvalov; Eglit, ) verificaram a formação de Roll Waves. Estudado avalachas desas, efetuaram aálise aáloga à de Dressler (1949), quado itroduziram um termo dissipativo suplemetar modelado por um ta ta 4g C, ( : âgulo de atrito atrito sólido. A partir dessa aálise chegaram a itero), relação semelhate à de Dressler (1949), com uma mera modificação da declividade. Needham (1984) e Merki (1986) obtiveram iformações sobre o comprimeto das perturbações, icluido o equacioameto os termos da difusão, aida que o termo difusivo o equacioameto ão estivesse corretamete adaptado às equações de águas rasas, isto sem levar em cota a complexidade de aplicação direta de seus resultados a um problema de egeharia. Julie e Hartley (1986) obtiveram soluções similares a de Motuori (1963) ao estudarem o processo de formação de Roll Waves em escoametos de lama altamete viscosos em caais ígremes. Hwag e Chag (1987) usado a teoria da bifurcação verificaram a formação de Roll Waves umericamete. Hutter e Savage (1988) também ivestiram o estudo dos critérios de formação de Roll Waves. A cotribuição de (Hutter; Savage, 1988) residiu o fato de tetar substituir o atrito sólido pela coesão do fluido. A partir a década de 90, outros pesquisadores ivestiram o estudo do feômeo, a tetativa de determiar os parâmetros físicos que iflueciam a formação de tais istabilidades e as codições para a geração dessas odas, com o ituito de determiar comprimeto, amplitude e velocidade propagação das Roll Waves, tato para fluido Newtoiao como para fluido ão-newtoiao (hipercocetrado). Kraeburg (199), o plao umérico, utilizado-se das equações de águas rasas, comprovou a codição de existêcia já estabelecida por Dressler (1949). Observou o fato que para perturbações de diversos comprimetos de oda, a de maior comprimeto prevaleceria sobre a Roll Wave gerada. Che (199) utilizado as equações de águas rasas e cosiderado um perfil de velocidade do modelo reológico do tipo Power Law, obteve resultado similar ao ecotrado por Bejami (1957) e Yih (1963).

20 19 Liu e Mei (1994) baseados as equações de águas rasas estudaram aaliticamete a istabilidade liear de um escoameto uiforme para um fluido de Bigham e aalisaram umericamete a evolução de Roll Waves. Observaram que para um fluido quase Newtoiao ocorre o aparecimeto de perturbações periódicas com pequeas amplitudes, equato que para um fluido fortemete ão Newtoiao aparecem odas de grades amplitudes. Ng e Mei (1994) estudaram a formação de Roll Waves, a partir de uma proposta reológica de fluido com comportameto pseudoplástico (Power Law). Sua aálise de estabilidade coverge para o surgimeto de odas logas com grade amplitude quado 1 ( : ídice de comportameto do escoameto). Maciel, Vila e Martiet (1997) a partir do sistema shallow water ivíscido, retomado o trabalho clássico de Dressler, rededuziram as codições de existêcia de Roll Waves e verificaram o surgimeto de tais istabilidades quado o úmero de Froude é maior do que. Estededo o estudo, fizeram uma aálise de estabilidade liear do sistema shallow water viscoso, apresetado a equação de quatidade de movimeto, os termos da gravidade, efeito de parede tipo Chézy e os efeitos difusivos devido a viscosidade do fluido e verificou soluções periódicas quado 1 U 3/ (U : velocidade de propagação da Roll Wave). Maciel (001) estudado escoametos de fluidos ão Newtoiaos, usado a proposta reológica de Bigham, estabeleceu as codições de existêcia e estabilidade, apotado os seguites resultados: i) 1 Fr 1 C Fr Fr U 1 C Fr Fr Fr U 1 (1.1) 3 C ii) 1U 1 C (1.) Sedo:

21 0 Fr : : úmero de Froude coeficiete de distribuição da velocidade a vertical C : coesão do fluido (parâmetro de Bigham) U : velocidade de propagação da Roll Wave No plao umérico, (Maciel, 001) aalisou a ifluêcia dos parâmetros determiados para a geração de Roll Waves e observou que, aumetado o úmero de Froude, ocorre um aumeto a amplitude e uma dimiuição o comprimeto da Roll Wave. Aumetado a velocidade de propagação da Roll Wave, ocorre uma dimiuição da amplitude. E quato a ifluêcia da coesão do fluido ( C ), foi observado que com o aumeto da coesão, ocorre um aumeto a amplitude da oda, acarretado uma atecipação a formação das odas geradas. Madre (001) utilizado as equações de águas rasas cosiderou que o efeito topográfico (o fudo do caal) varia periodicamete e observa que o escoameto tora-se istável mesmo para um úmero de Froude meor que. Zauttigh e Lamberti (00) fizeram uma aálise umérica baseados as equações de águas rasas, a qual o código umérico é aplicado para reproduzir experiêcias de Brock s sobre Roll Waves geradas em um caal retagular em laboratório. A solução umérica mostra a evolução de Roll Waves, devido à istabilidade do escoameto uiforme. Balmforth e Madre (004) estudaram a diâmica das Roll Waves em escoametos turbuletos e lamiares, utilizado as equações de águas rasas com os efeitos de atrito, viscosidade e explorado o efeito do fudo topográfico, cosiderado que os cursos reais da água ão são completamete lisos. Observaram que para ambos os tipos de escoametos a formação de ressaltos hidráulicos podem desestabilizar o escoameto, quado se atige o valor critico do úmero de Froude. Di Cristo e Vacca (005) ivestigaram o processo de geração de Roll Waves para um escoameto uidimesioal do poto de vista teórico a partir das equações de águas rasas. Cosiderado a velocidade média e a profudidade do escoameto, fizeram uma aálise de estabilidade liear e iterpretaram a formação de Roll Waves em termos de istabilidades do modelo uidimesioal liearizado do escoameto. Observaram a evolução de tais perturbações somete com o úmero de Froude e o comprimeto adimesioal do caal, supostos geralmete em critérios hidráulicos de egeharia.

22 1 Pascal (006) estudou as istabilidades de um escoameto para um fluido do tipo Power Law sobre um plao icliado, icluido o efeito da permeabilidade. Através de uma aálise de estabilidade, observou umericamete a formação de Roll Waves, tato para fluido ewtoiao quato para fluido ão-newtoiao, determiado as pricipais características do feômeo, tais como: a altura, o comprimeto e a velocidade de propagação da oda. Estes estudos os forecem iformações para acreditar que as Roll Waves podem se desevolver em fluidos Newtoiaos e também em fluidos ão-newtoiaos. Detro do cotexto do estudo de Roll Waves em escoametos de fluidos hipercocetrados, o que mais figura a literatura é o estudo de tais istabilidades para o fluido de Bigham e Power Law. Assim exposto, a modelagem matemática a fim de predizer propriedades permitido descrever a diâmica dos escoametos que aparecem as Roll Waves, aida é limitada. A ocorrêcia do feômeo a atureza e, até mesmo em processos idustriais, cria a ecessidade de formular um modelo matemático mais robusto que represete essas istabilidades, que vem muito a cotribuir para um maior cotrole do feômeo. Portato, a proposta deste trabalho, é coceber um modelo matemático para escoametos lamiares e hipercocetrados, que represete o feômeo em questão, tomado como particularidade a reologia Newtoiaa. 1. Objetivos Os objetivos do presete trabalho podem ser eumerados da seguite maeira: - aalisar de forma teórica a diâmica de escoametos de fluidos hipercocetrados escoado em caal icliado; - determiar um modelo matemático capaz de reproduzir Roll Waves baseado a proposta reológica de Herschel-Bulkley; - colocar em evidêcia as codições de istabilidade do escoameto uiforme através de aálise de estabilidade liear; - validar do modelo matemático desevolvido para geração de Roll Waves através de resolução umérica da equação determiada; - verificar se o modelo é válido para as propostas reológicas mais simplificadas (Bigham, Power Law, Newto).

23 1.3 Esboço da Dissertação Este trabalho é composto de sete capítulos, cujos assutos são resumidos a seguir. Capítulo 1. Itrodução. Neste capítulo apreseta-se uma motivação abordado os pricipais aspectos da pesquisa desevolvida, apresetado algumas referêcias bibliográficas marcates o cotexto de Roll Waves e as metas pricipais dessa pesquisa. Capítulo. Cosiderações Iiciais. Este capítulo iicia-se com algus coceitos sobre as propriedades físicas dos fluidos e apreseta uma breve revisão dos modelos reológicos que serão citados o decorrer do trabalho. Além disso, mostra uma visão geral dos pricipais aspectos físicos pertietes ao problema, cosiderado um escoameto de águas rasas de um fluido hipercocetrado, em um caal icliado. Capítulo 3. Formulação Matemática. Apreseta-se este capítulo a formulação matemática do problema estudado, abordado as equações goverates, a defiição do modelo reológico a ser utilizado, as cosiderações iiciais empregadas a solução do problema e o desevolvimeto matemático para a obteção do sistema que rege o escoameto tratado. Capítulo 4. Aálise de Estabilidade Liear. Neste capítulo é feita uma aálise de estabilidade liear para o escoameto uiforme, mostrado a taxa de crescimeto das istabilidades e a velocidade de propagação em fução do úmero de odas, evideciado as codições ecessárias para a formação de istabilidades o escoameto. Capítulo 5. Equação das Roll Waves. Apreseta-se este capítulo o modelo matemático para geração de Roll Waves em escoametos lamiares e as relações costitutivas do modelo. Capítulo 6. Resultados Numéricos. Neste capítulo são apresetados os resultados uméricos que demostram a potecialidade e a aplicabilidade do modelo matemático apresetado o Capítulo 5. Capítulo 7. Discussões e Perspectivas. Apreseta-se este capítulo as discussões, com embasameto teórico, dos resultados ecotrados e sugestões para trabalhos futuros.

24 3 CAPÍTULO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A obteção de soluções para as equações goverates da mecâica dos fluidos em situações realistas represeta um dos maiores desafios. Os escoametos podem ser represetados do poto de vista físico e matemático pelas equações da coservação da massa, quatidade de movimeto e eergia. Um escoameto em que a massa específica do fluido varia sigificativamete é um escoameto compressível; se a massa específica ão varia sigificativamete etão o escoameto é icompressível. Neste trabalho o escoameto a ser tratado é icompressível. Este capítulo tem como objetivo mostrar algus coceitos sobre as propriedades físicas dos fluidos e suas implicações, fazer uma breve revisão dos modelos reológicos que serão citados o decorrer do trabalho, fazer uma aálise física do problema a ser estudado e mostrar quais são as codições para que um escoameto seja: supercrítico, crítico ou subcrítico..1 Defiições das Propriedades Físicas dos Fluidos Fluido é toda matéria que se deforma cotiuamete quado submetida a uma míima tesão de cisalhameto. Os fluidos diferem dos sólidos pelas características das forças de coesão etre suas moléculas. A pricipal difereça prática que se pode observar etre sólidos e fluidos é que os sólidos uma força atuate determia a itesidade da deformação e, os fluidos, determia a

25 4 velocidade da deformação. Tato os gases como os líquidos são classificados como fluidos. As características mais otáveis dos gases são a compressibilidade e a fluidez. Os líquidos são icompressíveis e suas propriedades são determiadas pela itesidade das forças itermoleculares. As propriedades relevates dos fluidos para o estudo de escoametos são: a massa específica, a tesão superficial, a viscosidade e as propriedades reológicas. Massa especifica A massa especifica de uma substâcia defie-se como a propriedade da matéria correspodete à razão etre massa de uma quatidade de substâcia e o volume correspodete. Tesão superficial Tesão superficial é um efeito que ocorre a camada superficial de um líquido que leva a sua superfície a se comportar como uma membraa elástica. Esta tesão superficial ocorre devido às fortes ligações itermoleculares, as quais depedem das difereças elétricas etre as moléculas e pode ser defiida como força por uidade de comprimeto que duas camadas superficiais exercem uma sobre a outra. Viscosidade Viscosidade é a medida da resistêcia de um fluido à deformação causada por uma tesão, ou seja, quado um fluido sofre deformação, ocorre uma iteração itera etre as partículas, com comportametos diferetes para cada tipo de fluido, isso ocorre devido à resistêcia itera (viscosidade) da iteração das partículas. Uma defiição clássica para a viscosidade, é dizer que a mesma é a razão da tesão de cisalhameto pela taxa de deformação, matedo-se costate em um fluido Newtoiao. Uma maior ou meor viscosidade de um fluido implica a velocidade de deformação do mesmo, quado submetido a uma tesão de cisalhameto, ou seja, quato maior a viscosidade, meor a velocidade em que o fluido se movimeta. No etato, os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação etre a tesão de cisalhameto aplicada e a taxa de

26 5 deformação, podedo ser deomiados como fluidos Newtoiaos e ão Newtoiaos, coforme mostra a Figura.1. (a) Fluido Newtoiao (água com corate) (b) Fluido ão Newtoiao (água com argila) (c) Escoameto de fluido hipercocetrado (água com argila) e Newtoiao (água com corate), respectivamete. Figura.1: Exemplos de fluido Newtoiao e fluido ão Newtoiao.. Modelos Reológicos Em lihas gerais, reologia é a ciêcia que estuda a taxa de deformação e o escoameto da matéria, o termo foi itroduzido por (Bigham, 190), tedo importâcia em diversas áreas, tais como a ciêcia dos materiais, a física e as egeharias.

27 6 Neste item são apresetados algus modelos matemáticos que represetam diferetes tipos de comportametos reológicos, cosiderado a codição de cisalhameto simples e regime permaete, ou seja, as propriedades reológicas idepedem do tempo de aplicação da tesão de cisalhameto, podedo ser divididos em fluidos sem tesão iicial de escoameto e com tesão iicial de escoameto. O modelo mais simples que se tem é o do fluido Newtoiao em que a tesão de cisalhameto é diretamete proporcioal à taxa de deformação. A costate de proporcioalidade é a viscosidade do fluido, etão: u y (.1) Sedo: : tesão de cisalhameto ( Pa ) : viscosidade diâmica ou absoluta ( Pa. s ) u y : gradiete de velocidade ( 1 s ) ou taxa de deformação. A cocetração de sedimetos determia se um fluido é Newtoiao ou ão, portato, um fluido com uma pequea cocetração de sedimetos permaece com propriedades Newtoiaas, podedo apresetar, variação a sua viscosidade se a cocetração de sedimetos aumetar. Quato aos fluidos ão-newtoiaos, diversos modelos foram desevolvidos. Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever as relações etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação. Para muitas aplicações práticas de egeharia, as relações etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação podem ser adequadamete represetadas pelo modelo expoecial, cohecido como lei das potêcias (Power Law), determiado por (Ostwald, 195), a qual, tesão de cisalhameto é dada por: u y (.)

28 7 Sedo que represeta o ídice de escoameto do fluido. Para 1 tem-se um fluido pseudoplástico e para 1 tem-se um fluido dilatate. Os fluidos pseudoplásticos são substâcias que, em repouso, apresetam suas moléculas em um estado desordeado, e quado submetidas a uma tesão de cisalhameto, suas moléculas tedem a se orietar a direção da força aplicada. Quato maior esta força, maior será a ordeação e, coseqüetemete, meor será a viscosidade. O dilatates são fluidos que apresetam um aumeto de viscosidade com a tesão de cisalhameto. No caso de suspesões, à medida que se aumeta a tesão de cisalhameto, o líquido itersticial que lubrifica a fricção etre as partículas, ão preeche os espaços, devido a um aumeto de volume que acompaha o feômeo. Ocorre etão, o cotato direto etre as partículas sólidas e, coseqüetemete, um aumeto da viscosidade. Existem fluidos que se comportam como um sólido até que uma tesão de cisalhameto míima seja excedida, ou seja, têm tedêcias a suportar pequeas tesões de cisalhameto aplicadas, sem apresetar deformação. Esta tesão, a qual o fluido pode resistir sem se deformar, é chamada tesão crítica de cisalhameto ou tesão iicial de escoameto, ou de corte. Um fluido que apreseta tais características é o fluido plástico de Bigham, ou simplesmete fluido de Bigham, a qual a relação tesão de cisalhameto e taxa de deformação é liear, e o modelo apropriado é dado por (Bigham e Gree, (190), é represetado da seguite forma: u c B, c y u 0, c y (.3) Sedo: c : tesão crítica ou rigidez iicial B : viscosidade plástica

29 8 Uma proposta reológica cosiderada mais geeralizada é determiada por (Herschel e Bulkley, 196). Esse tipo de fluido também ecessita de uma tesão iicial para começar a escoar. Etretato, a relação etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação ão é liear. Esta relação, depedete do expoete adimesioal, característico para cada fluido, é dada por: u c, c y u 0, c y (.4) A modelagem de um escoameto ecessita da escolha de um modelo reológico apropriado ao tipo fluido que será estudado. A Figura. mostra as curvas típicas da tesão de cisalhameto em fução da taxa de deformação para os diferetes tipos de modelos reológicos apotados este trabalho. Figura.: Reograma represetado diferetes tipos de modelos reológicos. Deve-se aalisar os modelos reológicos com bastate cautela, observado as hipóteses restritivas a aplicação de problemas. No que diz respeito às misturas (água+argila, água+areia fia+argila), foram feitas ivestigações de reometria, o que permitiu, a partir dos

30 9 estudos de (Coussot, 1994), (Piau, 1996), (Huag; Garcia, 1998), (Lledo, 003), comprovar que a reologia desses fluidos (sem sedimetação), pode ser descrita pelo modelo reológico ão-liear tipo Herschel-Bulkley, com codições de cisalhameto simples e em regime permaete. Com o propósito de se fazer uma aálise global do feômeo Roll Waves, este trabalho será utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley, por ser um modelo represetativo e mais geeralizado de fluido hipercocetrado, permitido tomar como particularidades outras propostas reológicas, tais como, a lei das potêcias (Power Law), os modelos Bighamiao e Newtoiao..3 Aálise Física do Problema Muitos problemas aplicados ormalmete podem ser resolvidos a partir da costrução de um modelo matemático que descreve o feômeo físico. Esta seção apreseta uma visão geral dos pricipais aspectos físicos pertietes ao problema a ser modelado. Sabedo-se que a formação de Roll Waves geralmete ocorre em escoametos de águas rasas e em caais icliados; além do tipo de fluido, deve-se levar em cosideração a geometria do caal e as forças que regem o escoameto. A Figura (.3) mostra a geometria do problema em questão: Figura.3: Geometria do problema.

31 30 Em escoametos de águas rasas, o comprimeto característico (L) deve ser maior do que a profudidade do escoameto (h). Coforme (Ribeiro; Galeão; Ladau, 001), para que um escoameto seja cosiderado de águas rasas, a seguite relação deve ser satisfeita: h L 1 0 (.5) Esta hipótese mostra que somete odas logas, isto é, odas ode o comprimeto é maior que a altura, são levadas em cosideração. Nesta situação, uma característica iteressate que merece ser ressaltada, o que diz respeito ao balaço de forças a direção perpedicular ao escoameto, é que as acelerações e tesões verticais podem ser desprezadas, resultado um campo de pressão hidrostático. O escoameto se dá primordialmete pela ação direta da gravidade através da compoete do peso do fluido a direção do declive, ou seja, o escoameto é caracterizado por um úico setido de movimeto. Outro poto importate refere-se à possibilidade dos escoametos se processarem em regime permaete. De fato, admitido que o declive do fudo ão mude, a compoete do peso acima referida só variará se houver alteração da quatidade de fluido a ser trasportado. Portato, as propriedades físicas do escoameto se matém costate o tempo, ou seja, temse um escoameto em regime permaete. Sabedo que a largura do caal é muito maior do que a altura da colua do fluido pode-se simplificar o cálculo das forças de resistêcia, desprezado a cotribuição de paredes laterais, cosiderado apeas a tesão do fluido com o fudo do caal. Nesses escoametos, as forças proveietes de gradietes de pressão a direção do fluxo, que esse caso surgem quado a superfície do fluido se iclia em relação ao fudo do caal, tem uma participação muito pequea quado comparadas à força gravitacioal. Esta característica dá origem a um tipo de escoameto o qual a compoete do peso é cotrabalaçada pela força de resistêcia que o fudo do caal exerce sobre o fluido a seção cosiderada..4 Escoameto Supercrítico, Crítico e Subcrítico Em estudos de caais, pode-se classificar os escoametos em supercrítico, crítico ou subcrítico. Um adimesioal muito utilizado é o úmero de Froude, defiido como a raiz

32 31 quadrada da relação etre a força de iércia e a força de gravidade, ou a razão etre a velocidade média do escoameto e a velocidade de pequeas istabilidades, que aparecem o escoameto. O úmero de Froude é expresso por: ul u Fr (.6) 3 Lg gl c em que u é a velocidade média do escoameto, g é a aceleração da gravidade e L c é uma dimesão característica do escoameto. Nos caais, é comum defiir como dimesão característica a profudidade do escoameto, e o úmero de Froude é apresetado como: u Fr (.7) gh Esse adimesioal é utilizado para classificar os escoametos livres que ocorrem as aplicações práticas, como se segue: - Escoameto supercrítico ou torrecial, ( Fr 1). - Escoameto subcrítico ou fluvial, ( Fr 1). - Escoameto crítico ( Fr 1). Ode o escoameto supercrítico é chamado de escoameto rápido, equato que o subcrítico é chamado de escoameto leto. Sitetizado-tem-se: a) Se hhc u uc (escoameto subcrítico) b) Se hhc u uc (escoameto supercrítico) c) Se hhc u uc(escoameto crítico) Sedo que: h c é a altura crítica e u g h é a velocidade crítica. c c Neste capítulo, foram apresetados coceitos que serão utilizados o decorrer do trabalho.

33 3 CAPÍTULO 3 3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA A modelagem matemática dos mais variados problemas em física e em egeharia é uma atividade que tem auxiliado de maeira decisiva para a compreesão dos feômeos aturais, permitido a represetação dos coceitos e processos evolvidos e propiciado o etedimeto de aspectos de problemas que ão se revelam facilmete. Esta seção visa apresetar as equações que serão utilizadas o desevolvimeto de um modelo matemático que represete o feômeo em questão. O escoameto de um fluido hipercocetrado pode ser descrito a partir de três variáveis. Etretato, são ecessárias três equações para descrever o escoameto: a lei da coservação da massa, a equação da quatidade de movimeto e da eergia. Neste caso, o biômio massa-quatidade de movimeto respode à ecessidade, para estudarmos o problema proposto, pois essas equações a derivadas parciais permitem determiar o campo de velocidade e de pressão. Quado submetidas a codições de cotoro apropriadas, represetam matematicamete um problema particular. Coservação da Massa: A equação da coservação da massa, em formulação diferecial, é dada por: D U Dt X i i 0 (3.1)

34 33 Sedo: D : variação total da massa específica (derivada substacial) Dt U X i i : divergete da velocidade Equação da Quatidade de Movimeto: Se há variação da quatidade de movimeto, há forças, seja de superfície (tesões), de corpo (forças de iércia, gravidade e eletromagetismo) ou ambas. Etão, quado uma força é aplicada a uma partícula, uma aceleração proporcioal é iduzida. Para um fluido, o balaço etre a aceleração e as forças atuates, é dado por: DU Dt i F i 1 T X ij j (3.) Sedo: DU i dt : aceleração total F i : forças de corpo T X ij j : gradiete do tesor de tesões 3.1 Tratameto Matemático das Equações Goverates Como em qualquer problema de mecâica, as equações goverates devem ser referidas a um sistema de coordeadas coveietemete escolhido em fução das

35 34 características específicas de cada caso. Neste trabalho, será utilizado o sistema cartesiao, por represetar bem as características do problema a ser estudado. Para a determiação do modelo matemático que rege o escoameto serão cosideradas as hipóteses: escoameto permaete, uiforme, lamiar e icompressível. A modelagem matemática do problema estudado, segue a seguite liha: 1. Utilização das equações da coservação da massa e da quatidade de movimeto. - Equação da coservação da massa: u v w 0 x y z (3.3) - Equações da quatidade de movimeto: Na direção x u u uv uw 1 t x y z x xx y xy xz g se z (3.4 a) Na direção y: v uv v vw t x y z x y z 1 xy yy yz (3.4 b) Na direção z: w uw vw w t x y z 1 x xz y yz z zz g cos (3.4 c) Sedo que as tesões são dadas por:

36 35 xx u PKx x (3.5 a) yy v PKy y (3.5 b) zz w PKz z (3.5 c) u v xy yx c K y x (3.5 d) v w yz zy c K z y (3.5 e) w u xz zx c K x z (3.5 f) Sedo: K o ídice de cosistêcia do fluido.. Aplicação das codições de cotoro. 3. Utilização do modelo reológico de Herschel-Bulkley o tesor de tesões. u c K z (3.6) 4. Determiação da equação do perfil de velocidades. 5. Determiação do modelo matemático em variáveis adimesioais Codições de Cotoro

37 36 Deve-se cosiderar as codições de impermeabilidade o fudo do caal e a superfície livre, além disso, cosidera-se as tesões o fudo do caal. Codição de impermeabilidade (fudo do caal): w u 0 para z 0 (3.7) Codição ciemática (superfície livre): h h w u para z h (3.8) t x Tesão de cisalhameto (fudo do caal): 0 para z h (3.9) 3. Determiação da Pressão Hidrostática Deve-se partir de gradezas apropriadas para justificar as hipóteses adotadas, aplicado o modelo reológico de Herschel-Bulkley. Além disso, é importate justificar o fato da adoção de uma pressão hidrostática, codição a qual é obtida a partir da equação da quatidade de movimeto. Pode-se defiir as seguites gradezas adimesioais, ode os termos sobrescritos com () são adimesioais: escala de comprimeto: Ox, Oy, Oz L x, y, h z h L L escala de velocidades: uvw,, gl u, gl v, gl w escala de tempo: t L t g

38 37 A adimesioalização da tesão de cisalhameto e da pressão é feita a partir do peso da colua líquida. Pressão: P ghcos P Tesão de cisalhameto: ghcos c Sedo: : declividade do caal Para a determiação da pressão hidrostática, serão itroduzidas as variáveis adimesioais a equação da quatidade de movimeto, a direção Oz. 1º) Itroduzido as variáveis adimesioais o primeiro membro da equação (3.4 c), tem-se: w uw vw w t x y z h g w h u w h gl v w h L w gl gl gl gl g L L L L t L x y L h z hg w hg u w hg v w hg w L L L L t x y z hgw u w v w w L t x y z (3.10) º) Será trabalhado o segudo membro da equação (3.4c), dado por: 1 xz 1 yz 1 g x y z zz (3.11)

39 38 Itroduzido os tesores em (3.1), tem-se: 1 w u 1 v w g ck ck x x z y z y (3.1) 1 w K z z Admitido que seguite forma: K e são idepedetes de x, y e z, a relação (3.1) fica da K w u 1 c K v w 1 P K w g x x z y y z dy z z (3.13) Itroduzido as variáveis adimesioais em (3.13), tem-se: 1 gl gl gl gl glv h h w u h w u g L L L x h z L L x Lh x z 1 gl gl gl h gl glv h v h w v w L Lh z L y Lh y z L y P w 1 ghcos h gl h gl h z L Lh z v (3.14) Cosiderado: h gl w gl u a L L x h z 1 (3.15)

40 39 gl b Lh v h gl w L z y 1 (3.16) A relação (3.14), fica: h h gl w gl u ga gl L 3 Lh L x x z b gl g L Lh y z L y z L z h gl v h gl w p hg w cos 3 h w hg u hg v hg h w gav g bv L L L L x x z y z y v g P hg w z L z (3.17) h Toma-se como hipótese que o escoameto é de águas rasas, etão: 1 e que L h 1. Estabelecedo a igualdade etre as relações (3.10) e (3.17); e dividido todos os termos da igualdade por g, tem-se a seguite equação: 01cos P z (3.18) Retorado as seguites variáveis dimesioais: P P ghcos, z z (3.19) h

41 40 Pode-se determiar uma equação para a pressão dada por: 1 P P H 1 g cos gh cos z z (3.0) Itegrado, a equação (3.0), tem-se: h h P g cos z g cos h z (3.1) z z P z g h z cos (3.) Sedo: h : profudidade do escoameto Assim, pode-se cocluir que a distribuição de pressão é hidrostática. 3.3 Modelo Matemático O modelo matemático que represeta esse feômeo é obtido através da itegração a vertical das equações de Navier-Stokes, icluido o modelo reológico de Herschel-Bulkley o tesor de tesões, utilizado a regra de Leibiz, dada por: x x x x x x x x x x Qx, ydy Qx, ydy Qx, x Qx, x (3.3) Itegrado as equações da coservação da massa e da quatidade de movimeto, aplicado as codições de cotoro (3.7), (3.8) e o coceito de pressão hidrostática, o sistema que rege o escoameto é (uma demostração completa da dedução dessas equações é dada o Apêdice A):

42 41 Coservação da massa: uh h 0 x t (3.4) Coservação da quatidade de movimeto: u h t u h x h g 1 cos g h se xz dz (3.5) x z 0 h Sabedo que h é a profudidade do escoameto, tem se: u h u h t x g cos x h 1 g h se 0 xz h xz (3.6) Cosiderado que a tesão cisalhate é ula a superfície livre ( ( h) 0 ), a equação (3.6) fica da seguite forma: xz u h u h t x g cos x h 1 g h se 0 xz (3.7) Sabedo que 0 represeta as tesões (efeito de atrito de parede o fudo xz do caal). Esse termo é composto pela tesão de cisalhameto à qual é adicioada a proposta reológica de Herschel-Bulkley. h g h se u h u h g cos 1 t x x p (3.8) Sedo: h : profudidade do escoameto;

43 4 u : velocidade média a vertical; : declividade do caal; : massa específica do fluido; p : tesão cisalhameto o fudo do caal. A partir daí, é ecessário calcular o perfil de velocidades com base o modelo reológico de Herschel-Bulkley. 3.4 Perfil de Velocidades Os fluidos hipercocetrados podem apresetar uma resistêcia à deformação, ou seja, resiste a pequeas tesões (tesão crítica) ates de escoar. Sedo assim, apreseta um perfil de velocidades parabólico a região em que ocorre a tesão de cisalhameto (próximo ao fudo do caal) e um perfil de velocidade liear a região ão cisalhada (Plug Flow), o que geralmete ocorre em escoametos de lamas e detritos, cocreto fresco e géis. Nesse item será determiado o perfil de velocidade de um escoameto hipercocetrado, a partir da proposta reológica de Herschel-Bulkley, tomado-se como hipóteses, que o escoameto seja permaete, uiforme e lamiar, de um fluido icompressível escoado em um caal icliado. Cosiderado que o atrito o fudo do caal é dado por: gse h z (3.9) E baseado a proposta reológica de Herschel-Bulkley, tem-se: du gsehzc K dz (3.30) du dz g h z c K se (3.31) Resolvedo a equação diferecial (3.31), após algus desevolvimetos matemáticos (Apêdice B), pode-se obter o perfil de velocidade u(z) para o fluido em questão.

44 43 Região cisalhada: u z g se z 0 z K z para 0 z z0 (3.3) Região ão cisalhada (plug): 1 gse uzuz z para z0 z h (3.33) K z 0 c h gse (3.34) Sedo o ídice de escoameto do fluido e K o ídice de cosistêcia do fluido A Figura (3.1) ilustra o perfil de velocidade para o fluido de Herschel-Bulkley, a qual o perfil de velocidade é parabólico a região cisalhada e costate a região ão cisalhada (plug). Figura 3.1: Represetação do perfil de velocidade para um fluido de Herschel-Bulkley. Com o objetivo de verificar umericamete o perfil de velocidade determiado, são cosiderados os seguites grupos adimesioais: