Modelo matemático simplificado para determinar a capacidade erosiva de um escoamento lamoso em regime laminar pulsante

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1 Artigo Técico DOI: 0.590/S Modelo matemático simplificado para determiar a capacidade erosiva de um escoameto lamoso em regime lamiar pulsate A simplified mathematical model to estimate the erosive capacity of a pulsatig lamiar muddy flow Geraldo de eitas Maciel *, Adré Luis Toiati, Fabiaa de Oliveira Ferreira RESUMO Neste artigo foi proposto um modelo matemático simplificado para iferir sobre a capacidade erosiva de um escoameto lamoso em regime lamiar com preseça de roll waves (efeito pulsate) a superfície livre. Na perspectiva de aplicação de resultados o cotexto de desastres aturais (corridas de lama), foi determiada a evolução da velocidade média e da tesão de cisalhameto o fudo do caal. O modelo proposto é baseado as equações de águas rasas e a reologia de Herschel-Bulkley, como represetativa das lamas. A validação e a aplicação do modelo foram feitas a partir de dados experimetais de roll waves geradas em caal o laboratório cofrotados com resultados de simulações uméricas. Os resultados obtidos mostram um icremeto a capacidade erosiva, a preseça de roll waves, da ordem de % em relação ao escoameto base, valor este em cocordâcia com os 0% apotados por Ng e Mei (994) para uma reologia mais simplificada. Palavras-chave: corridas de lama; fluido ão ewtoiao; roll waves; tesão de cisalhameto o fudo. ABSTRACT I this paper, we proposed ad validated a simplified mathematical model to estimate the erosive capacity of a muddy lamiar flow with roll waves (pulsatig effect) o the free surface. om the perspective of applyig results i the cotext of atural disasters (mudflows), the evolutio of mea velocity ad bottom shear stress i the chael were determied. The proposed model is based o shallow water equatios ad Herschel Bulkley rheology as represetative of the muds. The model was validated by compariso with results of umerical simulatios ad experimetal data of roll waves geerated i a chael. I-depth comparative aalyses were made for iferrig the erosive capacity of this sort of flow. The obtaied results show a icrease of erosive capacity (%) due to the presece of roll waves i relatio to the uiform flow s. Similar values (0%) were foud by Ng ad Mei (994) for a more simplified rheology model. Keywords: mudflows; o-newtoia fluid; roll waves; bottom shear stress. INTRODUÇÃO O meio ambiete vem sofredo trasformações ao logo dos aos, resultado de mudaças climáticas e ações atrópicas. Se muitas das ações atrópicas são profícuas e trazem beefícios ao homem e ao habitat, outras são idevidas, quado ão, desastrosas fala-se a produção social dos riscos (CARMO & VALENCIO, 04). Ações atrópicas equivocadas e persistetes produzem sobre o meio, a médio e logo prazo, vulerabilidades de ordes diversas que, somadas a ações de diversos agetes da atureza, potecializam riscos, gerado catástrofes vide o ocorrido a região serraa do Rio de Jaeiro (0) e, mais recetemete, em Mariaa, Mias Gerais (05). Nos evetos supracitados, deslizametos de terra e corridas de lama foram produzidos, acarretado a destruição de bes e ifraestrutura e, ifelizmete, a perda de vidas, com milhares de siistrados, como o caso do Rio de Jaeiro, assim como a destruição maciça da biota do rio Doce, o episódio de Mariaa. As corridas de lama produzidas esses episódios apresetam, via de regra, matriz e reologia complexas, com preseça de material argiloso e outros materiais de graulometria estedida, e com larga faixa de cocetrações em volume (0%<C v <60%), coforme Coussot (994) e Maciel, Satos e Ferreira (009). Tais corridas, além de apresetarem fretes com potecial eergético destrutivo, geralmete apresetam Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Ilha Solteira (SP), Brasil. Uiversidade Federal de São Paulo Diadema (SP), Brasil. *Autor correspodete: maciel@dec.feis.uesp.br Recebido: 06/0/07 Aceito: /06/07 Reg. ABES: Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

2 Maciel, G.F.; Toiati, A.L.; Ferreira, F.O. capacidade erosiva sigificativa com elevada produção de sedimetos. Ademais, durate a evolução dessas corridas, outros feômeos agravates podem ocorrer, como o surgimeto de istabilidades a superfície livre que, em codições favoráveis de vazão e icliação dos corredores de deslizameto, propagam-se em forma de fretes de odas, com formas e velocidade de propagação características, cohecidas a literatura como roll waves ou odas de rolo. A modelagem matemática e umérica desses escoametos lamosos com preseça de roll waves tem se mostrado complexa; isso se deve à ifluêcia das propriedades reológicas do fluido a diâmica do escoameto e, pricipalmete, a dificuldade em caracterizar reologicamete esses materiais. Com base em estudos recetes, tedo a experimetação física como fator de decisão, verifica- -se que essas suspesões argilosas e hipercocetradas obedecem, de uma maeira geral, ao modelo reológico ão liear viscoplástico de Herschel-Bulkley, com preseça de tesão limite de escoameto (τ C 0)(COUSSOT, 994; HUANG & GARCIA, 998; ANCEY, 007; MACIEL; SANTOS; FERREIRA, 009). No que diz respeito à geração e à propagação de roll waves, utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley, pesquisadores têm buscado critérios de geração e cotrole dessas odas. Coussot (994) e Maciel, Ferreira e Fiorot (03), trabalhado com lamas, estabeleceram um critério de geração de roll waves que está relacioado ao úmero de oude. Di Cristo, Iervolio e Vacca (03) determiaram matematicamete um critério que está relacioado ao comprimeto míimo de caal ecessário para que essas odas atijam sua estabilidade, em forma, amplitude e comprimeto. Ferreira et al. (04) estabeleceram um critério de geração de roll waves relacioado à frequêcia de perturbação ecessária a ser aplicada ao escoameto, e verificaram, umericamete, que o critério relacioado ao úmero de oude é ecessário, mas ão suficiete para que tais odas se propaguem. Ng e Mei (994) utilizaram um modelo reológico sem a preseça de tesão limite de escoameto (τ C = 0), e também estabeleceram um critério de geração de roll waves relacioado ao úmero de oude. Vale ressaltar que todos esses critérios estão em fução das propriedades reológicas do fluido. Cohecer as codições de geração dessas odas é de suma importâcia, pois se defiem, assim, os domíios de iteresse que se buscariam quado da execução de um projeto de ifraestrutura civil. Detre as magitudes desejadas, a tesão exercida pelo escoameto o leito da calha, o fudo do caal, represeta um parâmetro importate de projeto, relacioado, sobretudo, à capacidade erosiva do escoameto em trasportar sedimetos. Em se tratado das propriedades ciemáticas e diâmicas das roll waves, os modelos matemáticos e uméricos têm, majoritariamete, forecido amplitude, comprimeto e velocidade de propagação dessas odas (MACIEL, 00; ZANUTTIGH & LAMBERTI, 007; FERREIRA, 03; DI CRISTO; IERVOLINO; VACCA, 05). No etato, aida existem poucos trabalhos a literatura que tratam da tesão de cisalhameto o fudo ao logo do comprimeto da roll wave presete as corridas de lama, seja em regimes lamiares ou turbuletos. Assim, o parâmetro tesão de cisalhameto o fudo reportada à tesão de cisalhameto do escoameto base (regime uiforme) passa a ser a chave de discussão da maior ou meor capacidade erosiva do feômeo. Portato, o objetivo deste trabalho foi, em um primeiro mometo, determiar, a partir de um modelo matemático para fluidos ão ewtoiaos, com base as equações de águas rasas (MACIEL; FERREIRA; FIOROT, 03) e em regime lamiar, a evolução da velocidade média e da tesão de cisalhameto o fudo de caais com preseça de roll waves em lamas. Em um segudo mometo, explorar os resultados do modelo proposto, a perspectiva de iferir a ação dos efeitos pulsates (roll waves) como icremeto a capacidade erosiva do escoameto base. Os resultados do modelo matemático D proposto (explorados a plataforma MATLAB ) serão comparados com os obtidos por meio do software Fluet, o qual as equações completas de Cauchy são resolvidas. Ambos os resultados uméricos serão cofrotados com um estudo de caso experimetal de roll wave gerada em caal o laboratório. Os parâmetros de etrada dos modelos são resultados experimetais obtidos pelo grupo de pesquisa certificado o Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico (CNPq). Reologia de Materiais Viscosos e Viscoplásticos (RMVP), utilizado o gel de carbopol 996 como fluido teste, de atureza ão ewtoiaa (comportameto reológico de Herschel-Bulkley). O gel de carbopol 996 tem características reológicas semelhates às lamas ecotradas as corridas e em pés de barrages. Sua cofecção e caracterização reométrica são de pleo domíio do Grupo RMVP. Uma perturbação com frequêcia cohecida é aplicada sobre o escoameto uiforme em um poto a motate do caal, gerado roll wave de mesma frequêcia. Para a aferição da roll wave gerada, sesores ão itrusivos (ultrassom) foram dispostos ao logo do caal, permitido a medição das profudidades do escoameto perturbado ao logo do tempo. METODOLOGIA No processo de modelagem de roll waves, devem-se estabelecer as hipóteses, explicitar o modelo reológico mais adaptado ao fluido escoate e as codições de cotoro do modelo matemático. Modelo reológico O modelo reológico represetativo de fluidos lamosos é, segudo estudos de Coussot (994), Huag e Garcia (998) e Maciel, Satos e Ferreira (009), o modelo de Herschel-Bulkley a três parâmetros que, em codições permaetes e de cisalhameto simples, pode ser escrito como a Equação : 94 Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

3 Tesão de cisalhameto em caais com lama em regime pulsate u τ xz = τc + K τ > τ, se xz c z u = 0, se τ < xz τc z τ xz = a tesão de cisalhameto atuado a direção x devido a um gradiete em z; u = a compoete da velocidade a direção x; z = a coordeada vertical; u/ z = a taxa de deformação ou cisalhameto; τ c = a tesão limite de escoameto; K = o ídice de cosistêcia do fluido; = o ídice de escoameto do fluido. Hipóteses para o modelo matemático Visado simplificar o problema real, são estabelecidas hipóteses: Fluido lamoso homogêeo, de comportameto reológico de Herschel-Bulkley e icompressível, portato a massa específica (ρ) é costate; Codições de águas rasas, isto é, profudidade do escoameto (h) muito meor que o comprimeto logitudial característico (L) e a largura do caal (l); Escoameto ocorre pricipalmete pela ação da gravidade, em regime lamiar; Fudo do caal impermeável. Codições de cotoro para o modelo matemático As codições de cotoro são dadas por: Codições ciemáticas a superfície livre w( x, z, t ) para z = h(x, t); () h h = + u t x Codições de impermeabilidade o fudo u(x,z,t) = w(x,z,t) = 0 para z = 0; Tesões a superfície livre e o fudo do caal P(z) = 0 e τ XZ (z) = 0 para z = h(x, t), τ XZ (z) = τ f para z = 0. w = a compoete da velocidade a direção z; P = a pressão; τ f = a tesão de cisalhameto o fudo do caal; t = o tempo. Modelo matemático Equações goverates O modelo matemático clássico do feômeo roll waves foi apresetado, pela primeira vez, por Dressler (949), sob as hipóteses de águas rasas, fluido ivíscido e termos de fricção modelados pela relação de Chézy. No cotexto de escoameto de fluidos lamosos (fluidos ão ewtoiaos), as equações motrizes do feômeo são obtidas a partir do sistema de equações de Cauchy (coservação da massa e balaço de quatidade de movimeto), coforme os trabalhos de Liu e Mei (994), Ng e Mei (994) e Balmforth e Liu (004). Assim, com base a Figura, as hipóteses supracitadas e seguido o mesmo protocolo adotado por Dressler (949), obtiveram-se as Equações, 3 e 4 (FERREIRA, 03; MACIEL; FERREIRA; FIOROT, 03). Coservação da massa: u w + = 0 x z Balaço de quatidade de movimeto a direção x: u u u P ρ + u + w = + ρ gseθ + τ t x z x z ( ) Balaço de quatidade de movimeto a direção z: P = ρ g cos θ z θ = a icliação do caal; g = a aceleração da gravidade. Promediação e adimesioalização das equações Promediado as Equações, 3 e 4 ao logo da profudidade e aplicado as codições de cotoro supracitadas, obteve-se o sistema de Equações 5 e 6, que costitui a base para o desevolvimeto do modelo matemático das roll waves (MACIEL; FERREIRA; FIOROT, 03). Coservação da massa: ( uh) h + = 0 t x Balaço de quatidade de movimeto a direção x: ( uh) ( αu h) h + = g cos θ + ghseθ + ( τ f ) (6) t x x ρ l Figura Esquema do problema das roll waves. h h h h : lâmia baixa do escoameto; h : lâmia alta do escoameto; ƛ: comprimeto de oda; U: celeridade da roll wave. λ g xz θ z U y x w u () (3) (4) (5) Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

4 Maciel, G.F.; Toiati, A.L.; Ferreira, F.O. α = o coeficiete de distribuição da velocidade a vertical; τ f = a tesão de cisalhameto o fudo do caal, represetada pela Equação 7, cujo desevolvimeto é detalhado em Huag e Garcia (998) e verificado por Ferreira (03). uh( ρ gseθ ) ( )( + + ) τf = c τ + K ( hρ gseθ τ c ) ( + ) hρseθ + τ c O sistema, composto das Equações 5 e 6, pode ser reescrito a partir das boas escalas de adimesioalização, a saber: Escala de comprimeto: x* = x / L e (h*, z*) = (h, z) / h 0 ; * Escala de velocidade: u = u / u0; Escala de tempo: t * = u 0 t / L. Com os seguites úmeros adimesioais: Número de oude: = u0 / gh0 cosθ ; * Tesão limite de escoameto adimesioal: C = τ c / ( ρ gh0seθ ); * τ = τ / ρ seθ. Tesão de cisalhameto o fudo adimesioal: ( ) f f gh0 L = o comprimeto característico dado por L = u 0 / gseθ ; ū = a velocidade média a direção x; ( ) 0 = codições de escoameto uiforme; ( ) * = as variáveis adimesioais. Optou-se, o artigo, por omitir o sobrescrito das Equações de 8 a 8. Assim, têm-se as Equações 8 e 9 em variáveis adimesioais. Coservação da massa: ( uh) h + = 0 t x Balaço de quatidade de movimeto a direção x: u u h h h h αu ( α ) u = t x x t ( C)( + + C) = h C ( C) uh ( h C )(( + ) h + C ) Equação da roll wave A equação das roll waves é estabelecida a partir das Equações 8 e 9, reescritas em um sistema móvel de coordeadas que se desloca com velocidade de propagação da roll wave (sua celeridade). Assim por hipótese, tem-se x = x - Ut, sedo U a velocidade de propagação da roll wave. Dessa forma, as Equações 0 e são reescritas como: Coservação da massa: h( u U ) = q (0) (7) (8) (9) Balaço de quatidade de movimeto a direção x: u u h h h h U αu + + ( α ) Uu = x x x x ( C)( + + C) = h C ( C) uh ( h C )(( + ) h + C ) Vale ressaltar que ( h, u ) ( h, u ) (,) () = c c = é uma solução da Equação 0, em regime permaete, portato q é uma costate e vale q = - U. A solução do sistema de Equações 0 e, determiada por Maciel, Ferreira e Fiorot (03), produziu a Equação (equação da roll wave), fução da profudidade do escoameto, do úmero de oude, da velocidade de propagação da roll wave e dos parâmetros reológicos do fluido. Equação da roll wave: C + + C h C ( C) + U ( h ) h h C ( + ) h + C F ( h = ) x () ( ) G( h) α U h ( α ) U + h > = ϑ ( ϕ αϕϑ + αϑ ) mi / ( C) ( + )( + ) ( + + C) ϑ = ; ϕ = ; (MACIEL; FERREIRA; FIOROT, 03). A partir da Equação 0, pode-se reescrever a Equação em fução da velocidade média u( x '), o que resulta a Equação 3 (TONIATI, 05). q uq( C) + + C C ( C) u U q C ( u U ) q ( + ) + C u u U = x q q q ( U + αu) 3 + ( α ) Uu u U u U u U ( ) ( ) ( u) ( u) (3) As soluções das roll waves podem ser iterpretadas como soluções cotíuas ão periódicas que, uma vez itercoectadas por choques, apresetam a mesma topologia que o problema de Dressler para um fluido ideal (DRESSLER, 949). Para tato, o choque requerido obedece às codições de Rakie-Hugoiot da diâmica dos gases, qual seja, cosidera-se salto de propriedades (massa e quatidade de movimeto) através do choque. Assim, as codições de choque são dadas pelas Equações 4 e 5. Para a massa: = uh U h (4) 96 Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

5 Tesão de cisalhameto em caais com lama em regime pulsate Para a quatidade de movimeto: h U uh = αu h + [ ] = o salto de propriedades; [h] = h h ; [ūh] = ū h ū h. (5) Combiado as Equações 4 e 5 e reescrevedo h em fução de ū, pode-se estabelecer uma relação etre as velocidades médias ū e ū, represetada pela Equação 6. q u ( α u + αu ) + u αuu αu + U u U + U u 3 q αu u + U = 0 u U (6) Como ão há ehuma outra relação etre ū e ū, além da Equação 6, o valor da velocidade máxima ū foi determiada a partir da imposição de ū, valor este meor que o do regime uiforme (ū 0 = ), o que os leva à Equação 7. b b 4ac u = (7) a a = α u + αu (7A) q b = αuu U + U α ( u U ) U u c = + 3 q αu u U u U (7B) (7C) Determiação da tesão de cisalhameto o fudo do caal ao logo do comprimeto da roll wave, a sua forma adimesioal A tesão de cisalhameto o fudo a forma adimesioal (Equação 8) é obtida a partir das itegrações das Equações e 3, cohecidos os parâmetros reológicos do fluido. ( C)( + + C) ( ) ( + ) + τ f = C + ( C) uh h C ( h ) C ) (8) Modelo umérico A solução umérica da equação da roll wave, para h (Equação ) e para ū (Equação 3), bem como o da tesão de cisalhameto o fudo τ f (Equação 8), foi determiada utilizado a plataforma MATLAB /Simulik, utilizado método umérico de Adams-Bashforth- Moulto, apresetado boa estabilidade umérica, com passo variável e tedo como codição iicial a meor profudidade (h ). Validação e comparação com o modelo matemático D Visado discutir, cofrotar e validar o modelo matemático D proposto, foram realizados: Comparação com o modelo de Ng e Mei (994), para um fluido tipo power law; Testes uméricos para quatificar a ifluêcia dos parâmetros reológicos a tesão de cisalhameto o fudo; Cofrotação dos resultados com trabalhos experimetais realizados em caal por Maciel et al. (07) e com simulação umérica, utilizado o software Fluet. MATLAB /Simulik Na primeira parte de Resultados e Discussões, é apresetada uma comparação com o modelo proposto por Ng e Mei (994) para um fluido tipo power law, isto é, sem tesão limite de escoameto (C=0), com ídice de cosistêcia K =0,4 Pa.s, =0,4 e imposição da meor profudidade (h ), obtida por aqueles autores. Em Resultados e Discussões Parte, foram realizados, iicialmete, testes com fluidos sem tesão limite (C=0) e ídice de escoameto < e, a sequêcia, testes para fluidos lamosos com preseça de tesão limite (C=0, e C=0,), todos esses visado retratar o comportameto da máxima tesão de cisalhameto o fudo (τ f máx ). Fluet A simulação umérica utilizou o software Fluet, coforme Ferreira et al. (04), com resolução umérica por volumes fiitos e técica VoF (volume of fluid) das equações completas de Cauchy. Vale lembrar que esse tipo de simulação pode-se determiar diversas propriedades do escoameto, quais sejam: amplitude e comprimeto das roll waves, tesão de cisalhameto o fudo, taxas de deformação, campo de pressão etc. Modelo experimetal Os esaios experimetais foram realizados em um caal de 3 m de comprimeto, utilizado o fluido teste gel de carbopol 996 (Tabela ), com Tabela Parâmetros de etrada para as simulações uméricas. ρ [kg.m -3 ] Fluido (carbopol) τ c [Pa] K [Pa.s ] h 0 [.0-3 m] Escoameto h [.0-3 m] θ [º] 06,00,44 0,30 0,60 5,80 3,90 7 0,75 0,5 ρ: massa específica; τ c : tesão limite de escoameto; K : ídice de cosistêcia do fluido; : ídice de escoameto; h 0 : profudidade do escoameto uiforme; h : lâmia baixa do escoameto; θ: icliação do caal; : úmero de oude; Re: úmero de Reyolds. Re Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

6 Maciel, G.F.; Toiati, A.L.; Ferreira, F.O. o caal icliado em 7º. A vazão média testada foi de 0,39 L.s - para a bomba de deslocameto positivo em rotação de 400 rpm. Iicialmete, foi medida a lâmia do escoameto em regime uiforme (h 0 ). Em seguida, o escoameto foi perturbado, a motate do caal, com frequêcia de,5 Hz. As aferições das amplitudes de odas foram feitas por meio de um sistema ultrassôico. As propriedades reológicas do fluido foram aferidas por meio de um reômetro Brookfield R/S (shear rate/shear stress), com geometria de cilidros coaxiais e temperatura cotrolada. Experimetalmete, foram medidos as amplitudes e os períodos de oda. Os parâmetros utilizados para as simulações uméricas são apresetados a Tabela. RESULTADOS E DISCUSSÃO ª Parte: do modelo matemático D versus modelo de Ng e Mei (994) (C=0) Neste primeiro resultado, são apresetados três estudos de caso, coforme a Tabela. Vale lembrar que, por se tratar de simulações uméricas referetes ao modelo matemático escrito em variáveis adimesioais, a variação do úmero de oude implicaria, a realidade, a mudaça de vazão e/ou icliação do caal. Por exemplo, para uma determiada icliação, o aumeto da vazão acarretaria o aumeto da profudidade. Já para determiada vazão, o aumeto da icliação dimiuiria a profudidade, acarretado o aumeto de velocidade. A Figura apreseta simulação do modelo de roll wave proposto este artigo e o de Ng e Mei (994), para h c =, Re=00. Os resultados estão sobrepostos, o que evidecia uma covergêcia absoluta do osso modelo mais geral para o modelo particular de Ng e Mei (994). Cofirmada a boa resposta do modelo para as amplitudes de oda e as velocidades médias, passa-se a determiar outros parâmetros de iteresse, como a tesão de cisalhameto o fudo e, sobretudo, a ifluêcia dos parâmetros reológicos sobre os resultados dos valores máximos de τ f, a preseça de roll waves. ª parte: do modelo matemático D As Figuras 3, 4 e 5 mostram a variação dos valores máximos de tesão de cisalhameto o fudo com o úmero de oude. Para úmeros de oude meores que, observa-se que há uma região em que o valor Tabela Valor da meor profudidade imposta para cada caso testado. Caso Número de oude () Profudidade h 0,53 0,7 3 / 5 0,85 h : lâmia baixa do escoameto. é máximo e que, em seguida, decresce até o valor de (valor da tesão de cisalhameto do escoameto base). Em relação ao maior valor de τ fmáx., ão se observa, esses três casos, elevação ou icremeto do máximo valor da tesão de cisalhameto máxima além dos 6% em relação ao escoameto base. À medida que a tesão limite de escoameto aumeta, as curvas mostram tedêcia a se agruparem/sobreporem à esquerda, como se estabelecesse um padrão de evelope cada vez mais estreito com o aumeto de C. h(x ) u (x ) τf (x ),0,5,0 0, ,6,0 0, , 0,9 0, x' Caso Caso Caso 3 Figura Resultados obtidos a partir de dados de Ng e Mei (994) para os três casos teste. τƒ max,0,08,06,04,0,00 0 maior valor de τ ƒ max 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 = 0, = 0, = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 = 0,9 =,0 Figura 3 Valores de tesão de cisalhameto máxima para C=0 e variado de 0, a,0. 98 Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

7 Tesão de cisalhameto em caais com lama em regime pulsate Aida, observou-se o aumeto de τ f máx. para >. Dessa forma, decidiu-se verificar o comportameto da tesão máxima de cisalhameto o fudo, fixado-se o ídice de escoameto em =0,6 para elevados úmeros de oude, coforme apresetado a Figura 6. A tesão limite de escoameto (C) para úmeros de oude elevados (>) apreseta efeito sigificativo o aumeto da tesão de cisalhameto o fudo e, cosequetemete, o aumeto da capacidade erosiva, a preseça de roll waves, podedo chegar à ordem de % da,0,0,08,08,06 maior valor de τ ƒ max,06 maior valor de τ ƒ max τƒ max τƒ max,04,04,0,0,00 0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,00 0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 = 0, = 0, = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 = 0,9 =,0 = 0, = 0, = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 = 0,9 =,0 Figura 4 Valores de tesão de cisalhameto máxima para C=0, e variado de 0, a,0. Figura 5 Valores de tesão de cisalhameto máxima para C=0, e variado de 0, a,0.,4,08, maior valor de τ f máx Detalhe (A): Valores de τ f máx para <,0,06,08 τ f máx,06 τ f máx,04,04,0,0 Detalhe (A): Valores de τ f máx para < ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, C=0 C=0, C=0, Figura 6 Valores de tesão de cisalhameto máxima para =0,6 e C variado de 0 a 0,. Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

8 Maciel, G.F.; Toiati, A.L.; Ferreira, F.O. tesão de cisalhameto do escoameto base, efeito distito do subdomíio < (meos que 6%), em que a tesão limite de escoameto, em preseça de roll waves, vem cocorrer com ação meos acetuada a capacidade erosiva, coforme as Figuras 3, 4 e 5. 3ª parte: cofrotação de resultados etre o modelo matemático D, simulação com o Fluet e experimetos em caal Pode-se observar a Figura 7 boa cocordâcia o que diz respeito ao comprimeto/celeridade das roll waves para os dois modelos (Tabela 3) com o experimetal; já em relação à amplitude, o modelo matemático D apreseta melhor cocordâcia com os resultados experimetais vis-à-vis dos resultados obtidos por meio do software Fluet, para o qual se deve sempre estar ateto à ecessidade de uma boa malhagem. Ademais, vale observar que o modelo matemático D represetou bem a forma das odas de choque, ou seja, odas bastate ígremes, características das roll waves. Assim exposto, passou-se a iferir sobre o comportameto da tesão de cisalhameto h(x )[m] x o fudo em preseça de roll waves, por meio do modelo matemático D proposto. Ao cofrotar os resultados do modelo matemático D com o Fluet (Figura 8), observou-se que este ão reproduz o choque tão bem defiido, como visto o modelo matemático D e o registro experimetal. Ademais, apesar das difereças etre valores absolutos de máximo e míimo as amplitudes de oda, a velocidade média ou a tesão de cisalhameto o fudo, as variações ão excederam em 0, 8 e %, respectivamete. Aida em questão de comportameto, verificou-se que os resultados apotados pelo Fluet apresetaram uma defasagem etre os três parâmetros em estudo bem meos acetuada que o modelo matemático D, embora seja difícil a determiação da real posição do choque. Aida, pode-se observar, a Figura 8 (lihas verticais tracejadas), que para o modelo matemático D há uma defasagem do pico da tesão de cisalhameto o fudo com o pico da amplitude da oda. Aida que o valor de pico de tesão de cisalhameto teha excedido miimamete para o teste experimetal em questão apeas,4% do escoameto base (de 7 Pa para 7,0 Pa), ão se deve perder de vista que tal efeito poderá ser maior (até % do escoameto base), coforme cometado a seguda parte dos Resultados e Discussão deste artigo. Em suma, os resultados apotados pelos modelos mostram cocordâcia aceitável para a amplitude, o comprimeto, a celeridade, a velocidade média e a tesão de cisalhameto o fudo quado da propagação de roll waves em escoametos de lama , 0,4 0,6 0,8, x [m] Modelo matemático D Experimetal Fluet Figura 7 Amplitudes de oda: modelo matemático D versus software Fluet versus experimetal. u [m/s] h [m] x ,4 0,,,4,6,8 Tabela 3 Valores de amplitude, comprimeto de oda e celeridade para modelos testados. Amplitude (Δh±σ) [.0-3 m] Período (T±σ) [s] Comprimeto de oda (ƛ±σ) [m] Celeridade (U±σ) [m.s - ] τ f [Pa] 0 8 6,,4,6,8 Modelo Matemático D 4,40±0,00 0,6±0,00 0,8±0,00 0,45±0,00 4,,4,6,8 Experimetal 4,79±0, 0,65±0,09 0,9±0,04 0,43±0,4 x [m] Fluet 3,7±0,04 0,67±0,0 0,30±0,0 0,45±0,04 Fluet Modelo matemático D Δh: amplitude; σ: desvio padrão; T: período; ƛ: comprimeto de oda; U: celeridade da roll wave. Figura 8 Profudidades, velocidade média e tesão de cisalhameto o fudo para os dois modelos (modelo matemático D e Fluet ). 90 Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

9 Tesão de cisalhameto em caais com lama em regime pulsate CONCLUSÕES A partir do modelo matemático D proposto, pode-se calcular, de forma rápida e com compromissos de egeharia, os perfis de amplitude das roll waves, as velocidades médias e a tesão de cisalhameto o fudo de caais, além de verificar o comportameto dessas variáveis em fução dos parâmetros reológicos do fluido escoate. Os resultados dos modelos uméricos cofrotados, de maeira geral, são promissores, com boa cocordâcia o que tage ao comprimeto de oda e à celeridade, restado, o etato, picos de amplitude aida discrepates (da ordem de 0% etre os modelos) e defasagem etre a amplitude e a tesão de cisalhameto o fudo, otadamete o caso do modelo matemático D. Quato ao choque ão itegralmete defiido a simulação com o Fluet, isso pode ser atribuído a uma difusão umérica e, provavelmete, à técica de rastreameto de froteira do VoF utilizada. Ademais, a literatura tem oticiado valores de picos de tesão de cisalhameto o fudo em até 0% acima do valor de tesão de cisalhameto do escoameto base. A previsão do modelo matemático D chegou a patamares (icremetos de capacidade erosiva) de %, o que pode ser sigificativo e que deve ser melhor ivestigado quado dos processos de erosão e trasporte de sedimetos em caais em evetos de corridas de lama com preseça de roll waves. No que diz respeito à aplicação em evetos aturais, embora o modelo D apresete hipóteses simplificativas, ele tem se mostrado represetativo para aálises de perfil de roll waves, coforme trabalho já realizado quado do estudo do eveto ocorrido em Acquaboa, Itália, que possibilitou, iclusive, cofrotação com dados de campo (FIOROT, FERREIRA, DUPONT, MACIEL, 04). Quato à sua aplicação em âmbito acioal, por exemplo, a Região Serraa do Rio de Jaeiro (0) e o eveto de Mariaa (05), o modelo poderia ser utilizado para se fazer leituras iterpretativas daqueles evetos, como a determiação de amplitudes máximas de odas geradas sobre a corrida de lama, podedo assim iferir o acréscimo da capacidade erosiva em fudo de caais; aida que dados de campo e políticas de moitorameto de movimeto de massas sejam praticamete iexistetes o país. REFERÊNCIAS ANCEY, C. (007) Plasticity ad geophysical flows: A review. Joural of No-Newtoia Fluid Mechaics, v. 4,. -3, p org/0.06/j.jfm BALMFORTH, N.J.; LIU, J.J. (004) Roll waves i mud. Joural of Fluid Mechaics, v. 59, p CARMO, R. do; VALÊNCIO, N. (04) Seguraça Humaa o Cotexto dos Desastres. São Carlos: RiMa. 0 p. COUSSOT, P. (994) Steady, lamiar, flow of cocetrated mud suspesios i ope chael. Joural of Hydraulic Research, v. 3,. 4, p DI CRISTO, C.; IERVOLINO, M.; VACCA, A. (03) O the applicability of miimum chael legth criterio for roll-waves i mud-flows. Joural of Hydrology ad Hydromechaics, v. 6,. 4, p DI CRISTO, C.; IERVOLINO, M.; VACCA, A. (05) O the stability of gradually varyig mud-flows i ope chaels. Meccaica, v. 50,. 4, p DRESSLER, R.F. (949) Mathematical solutio of the problem of roll waves i iclied ope chaels. Commuicatios o Pure ad Applied Mathematics, v.,. -3, p cpa FERREIRA, F. de O. (03) Estabilidade e cotrole diâmico de roll waves. 04f. Tese (Doutorado) Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira, Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira. FERREIRA, F. de O.; MACIEL, G. de F.; FIOROT, G.H.; CUNHA, E.F. (04) Numerical aalysis of roll waves geeratio o o Newtoia fluids flowig dow a iclied plae. Advaced Materials Research, v , p FIOROT, G.H.; FERREIRA, F. de O.; DUPONT, P.; MACIEL, G. de F. (04) Roll waves study o Acquaboa watershed: a applicatio of mathematical modellig. I: ANALYSIS AND MANAGEMENT OF CHANGING RISKS FOR NATURAL HAZARDS, 04, Padova. Proceedigs of Aalysis ad Maagemet of Chagig Risks for Natural Hazards, v. AP7, p. -0. HUANG, X.; GARCIA, M.H. (998) A Herschel-Bulkley model for mud flow dow a slope. Joural of Fluid Mechaics, v. 374, p LIU, K.; MEI, C.C. (994) Roll waves o a layer of a muddy fluid flowig dow a getle slope A Bigham model. Physics of Fluids, v. 6,. 8, p MACIEL, G. de F. (00) Roll waves evoluido em caais de forte declividade: Uma abordagem matemática com aproximação umérica. 84f. Tese (Livre Docêcia) Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira, Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira. MACIEL, G. de F.; FERREIRA, F. de O.; Cuha, E.F.; FIOROT, G.H. (07). Experimetal apparatus for roll wave measuremets ad compariso with a D mathematical model. Joural of Hydraulic Egieerig, v. 43,.. Eg Sait Ambiet v.3.5 set/out

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