Simulação numérica da propagação de ondas regulares sobre um baixio esférico

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1 Simulação umérica da propagação de odas regulares sobre um baixio esférico Liliaa Piheiro 1, Coceição J.E.M. Fortes 1 e Paulo R.F. Teixeira 1 Laboratório Nacioal de Egeharia Civil, NPE/DHA, Av. do Brasil, 101, Lisboa, Portugal lpiheiro@lec.pt, jfortes@lec.pt Uiversidade Federal do Rio Grade, Escola de Egeharia, Av. Itália, km8, Campus Carreiros, Rio Grade, RS, Brasil pauloteixeira@furg.br, web: Sumário Nesta comuicação são aplicados dois modelos uméricos baseados em equações do tipo Boussiesq, BOUSSiiw (Piheiro [1]) e COULWAVE (Lyett e Liu []), a simulação da propagação de odas regulares sobre um baixio esférico localizado o fudo de profudidade costate (Chawla [3]). A propagação de odas ao logo desta topografia evolve diversos feómeos físicos como, por exemplo, a refracção, a difracção, o empolameto, a dispersão ão-liear. Por isso, costitui um óptimo teste para a validação e comparação dos modelos aqui apresetados. Recorredo a parâmetros estatísticos, é efectuada primeiramete uma aálise de sesibilidade dos resultados uméricos em relação à discretização espacial do domíio de cálculo e determiam-se os tempos de processameto correspodetes. Para o modelo COULWAVE, avalia-se também a ifluêcia do úmero de camadas verticais e do úmero de Courat. Fialmete, a aálise das alturas sigificativas e dos espectros dos resultados uméricos e experimetais permite iferir sobre as potecialidades e limitações de cada modelo. Palavras-chave: Propagação de odas regulares, Modelação umérica, Modelos de Boussiesq, Métodos de difereças fiitas, Métodos dos elemetos fiitos, COULWAVE, BOUSSiiw 1 Itrodução Os modelos baseados as equações estedidas de Boussiesq permitem uma descrição razoável da evolução das odas em zoas de profudidade variável, ode os efeitos da refracção, difracção e efeitos ão-lieares afectam a propagação das odas. Um exemplo deste tipo de modelos são o BOUSSiiw (BOUSSiesq model with Iteral Irregular Wave geeratio, Piheiro [1], e o COULWAVE, Lyett e Liu [], ambos baseados em equações do tipo Boussiesq mas utilizado aproximações diferetes a sua dedução e a resolução umérica. BOUSSiiw resolve as equações de Boussiesq estedidas deduzidas por Nwogu [4], válidas desde águas de profudidade itermédia a águas pouco profudas. Para a itegração a vertical, foi admitido um perfil de velocidades tipo a uma profudidade pré-defiida. O modelo permite simular a propagação ão liear e dispersiva de odas regulares ou irregulares tedo em cota algus dos feómeos mais importates presetes as regiões costeiras. O modelo usa o pacote SPRINT, Berzis et al. [5], para a itegração temporal e o método de Galerki com uma malha ão estruturada de elemetos fiitos para a discretização espacial. Por seu lado, o modelo COULWAVE é um modelo de difereças fiitas que resolve as equações completamete ão-lieares e dispersivas de Boussiesq. Para obteção dessas equações, Lyett e Liu utilizaram o coceito de multi layer (multi-camada) em que a colua de água é dividida em várias camadas. A precisão do modelo assim desevolvido depede do úmero de camadas que se cosidera permitido a sua utilização em águas muito profudas. Face ao modelo BOUSSiiw, COULWAVE permite simular um leque maior de feómeos iterveietes a trasformação da oda tais como a refracção devida às corretes, espraiameto (ru-up) e dissipação de eergia por rebetação da oda. No etato, o modelo BOUSSiiw, apreseta um maior potecial a aplicação a zoas portuárias ou cofiadas com froteiras irregulares pois a malha de elemetos fiitos e a cosideração de diversos coeficietes de reflexão ao logo da froteira permite uma simulação mais adequada da reflexão das odas do que o que acotece com o modelo COULWAVE. Com efeito, COULWAVE ão cosidera codições de reflexão parcial. É, o etato, de salietar que o modelo BOUSSiiw aida se ecotra uma fase de validação, pelo que a sua aplicação a casos de estudo para os quais existam resultados experimetais e/ou resultados de modelos 1

2 uméricos mais aperfeiçoados é de extremo iteresse. Neste âmbito, para aalisar o desempeho do modelo BOUSSiiw, decidiu-se aplicá-lo ao caso de teste de simulação da propagação de odas (regulares) sobre um baixio circular um fudo de profudidade costate. Trata-se de um caso de teste bastate complexo, dado que itervêm um cojuto de feómeos que alteram sigificativamete as características da oda. Este caso foi estudado em modelo físico por Chawla [3], pelo que existem resultados experimetais dispoíveis para a verificação do modelo. O modelo COULWAVE também será aplicado de modo a se comparar o desempeho do modelo BOUSSiiw face a outro modelo umérico mais aperfeiçoado. Nas próximas secções, apresetar-se-ão sucitamete as características gerais dos modelos BOUSSiiw e COULWAVE. De seguida, serão descritas as codições dos esaios em modelo físico e em modelo umérico admitidas bem como os parâmetros estatísticos admitidos para efectuar a comparação de resultados uméricos e experimetais. Procede-se depois ao cálculo dos tempos de processameto e dos erros em relação aos resultados experimetais: a) para diferetes tamahos da malha, em ambos os modelos; b) para diferete úmero de camadas verticais e do úmero de Courat, o caso do COULWAVE. Depois de discutir a comparação dos resultados uméricos e experimetais são apresetadas as pricipais coclusões obtidas este trabalho. Os modelos uméricos.1 O modelo BOUSSiw BOUSSiiw resolve as equações de Boussiesq estedidas deduzidas por Nwogu [4], válidas desde águas de profudidade itermédia a águas pouco profudas, e é um modelo idicado para a propagação de odas ão lieares e dispersivas pois permite reproduzir algus dos processos mais importates presetes em regiões costeiras de média a baixa profudidade: a difracção, a refracção, a reflexão, o empolameto, as iterações ãolieares etre odas. Para a itegração a vertical, foi admitido um perfil de velocidades tipo itegrado uma profudidade pré-defiida. O modelo usa o pacote SPRINT, Berzis et al.[5], para a itegração temporal e o método de Galerki com uma malha ão estruturada de elemetos fiitos para a discretização espacial. As malhas de elemetos fiitos são geradas com o gerador automático GMALHA, Piheiro et al. [6], especialmete criado para modelos de propagação de odas marítimas. Para uma dada zoa costeira, GMALHA gera, a partir da froteira e da batimetria dessa zoa, uma malha optimizada (uiformidade dos elemetos, âgulos iteros e valêcias dos ós), sujeita a um refiameto local codicioado pelo úmero de potos por comprimeto de oda. A malha é reumerada de modo a miimizar a largura de bada das matrizes, o que é de grade vatagem para o método de resolução de equações. Para a geração das odas (regulares e irregulares) o domíio ecotra-se implemetada uma codição de geração o iterior do domíio por itermédio de uma fução fote, segudo o procedimeto de Wei et al. [7]. Esta codição permite ão só a geração das odas mas também que as odas reflectidas as froteiras físicas do domíio e que se propagam a direcção da fote, possam ser absorvidas evitado a sua permaêcia o domíio e cosequete adulteração das características das odas. Este modelo foi desevolvido para aplicações a uma e duas dimesões (em plata), permitido obter resultados da elevação da superfície livre e da velocidade horizotal (represetativa) em cada poto do domíio de aplicação.. O Modelo COULWAVE O modelo COULWAVE, Lyett e Liu [], é um modelo de difereças fiitas para a propagação de odas fortemete ão-lieares (a razão etre a amplitude da oda e a profudidade pode ser da ordem até 1) e dispersivas, em zoas de profudidade variável. As equações do modelo, do tipo de Boussiesq, são deduzidas a partir da itegração em profudidade das equações de cotiuidade e movimeto, utilizado o coceito de camadas múltiplas (multi-layer). Em cada camada, admite-se um dado perfil de velocidades. Com estes perfis de velocidade que coicidem a froteira etre camadas, é deduzido um cojuto de equações que permite esteder a aplicabilidade do modelo a águas muito profudas e apresetar características lieares até kh~8 e um comportameto ão-liear de ª ordem até kh~6. A resolução das equações referidas é semelhate à formulação apresetada por Wei et al. [7] utilizado um esquema previsor-corrector de Adams-Bashforth. O esquema de difereças fiitas cosiste um esquema explícito de Adams-Bashforth de 3ª ordem o tempo para o passo previsor e implícito de 4ª ordem o tempo para o passo corrector. Para as derivadas espaciais de primeira ordem são utilizadas difereças fiitas cetrais com uma precisão de 4ª ordem. As derivadas espaciais e temporais de ordem superior são efectuadas com uma precisão de ª ordem, através de esquemas cetrados de três potos. O modelo é formalmete preciso até t 4 em tempo de x 4 em espaço.

3 Para as froteiras exteriores, dois tipos de codições são aplicadas: reflexão total e radiação. No primeiro caso utiliza-se a metodologia de Wei et al. [7] equato que para a radiação ou codição de froteira aberta, um esquema de froteira absorvete (spoge layers), de acordo com Kirby et al. [8] é usado. Lyett e Liu [] e [9] itroduziram termos adicioais as equações de modo a ter em cota o atrito de fudo, a rebetação de odas, a geração de odas o iterior do domíio. Os dados de etrada do modelo COULWAVE ecotram-se explicados em Lyett e Liu [] e algus dos resultados forecidos pelo modelo costam das séries temporais e espaciais da elevação da superfície livre e velocidades horizotais os potos do domíio defiidos pelo utilizador. 3 Aplicação umérica Neste trabalho são apresetadas simulações uméricas da propagação de odas sobre um baixio esférico, estudado por Chawla [3], efectuadas com os modelos COULWAVE e BOUSSiiw. Chawla estudou algus casos da propagação de odas moocromáticas e irregulares sobre um baixio de sector de esfera através de modelação física e umérica, utilizado o último caso os modelos parabólicos de refração-difracção. Na Figura 1 defie-se a geometria dos casos de teste e a localização das secções ode foram efectuadas medições. As dimesões do taque são de 0x18. m e as profudidades máxima e míima são 0.45 m e 0.08 m, respectivamete. O cetro do baixio está localizado as coordeadas x=5.0 m e y=8.98 m, resultado em uma profudidade míima o topo de 0.08 m. O baixio cosiste em parte de uma esfera, de raio igual a 9.1 m, seccioado pelo fudo plao de profudidade 0.45 m, de tal forma que a circuferêcia de itersecção do fudo com a esfera é dada pela equação: ( 7 ) + ( y 8.98) =.57 A equação que descreve a batimetria detro do limite dessa circuferêcia fica x. (1) ( x 7) ( 8.98) z = y, () sedo que as coordeadas apresetadas as equações (1) e () estão em metros e a coordeada z tem origem a superfície livre em repouso. Os casos estudados este trabalho correspodem aos testes 1, e 3 propostos por Chawla [3]. Na Tabela 1 idicam-se as características das odas e os parâmetros kh para a oda fudametal e para a ª e 3ª harmóicas. Observa-se que, mesmo para o teste, que apreseta uma maior altura de oda, ão se verifica o feómeo da rebetação. Os parâmetros kh idicam que os modelos podem represetar os feómeos de trasformação das odas, embora as segudas harmóicas apresetem valores elevados para os modelos do tipo Boussiesq, pricipalmete os casos 1 e. Tabela 1 Características das odas geradas. Teste H(m) T(s) L(m) kh (1) kh () kh (3) Figura 1 - Cofiguração geométrica do taque. Nas próximas secções, apresetam-se os parâmetros usados os modelos, as aálises de sesibilidade dos modelos (para o teste 3), os resultados uméricos para todos os testes e as comparações etre os resultados uméricos e os experimetais. Com ambos os modelos uméricos, todos os cálculos foram efectuados uma estação de trabalho LINUX CORVUS com quatro processadores AMD Optero 65 de GHz e com 8GB de memória RAM. 3.1 Parâmetros estatísticos de aálise de sesibilidade dos modelos Para a comparação de resultados uméricos dos modelos BOUSSiiw e COULWAVE com resultados experimetais, são cosiderados, esta comuicação, três parâmetros estatísticos. São eles o ídice de cocordâcia, ic [10], o erro médio quadrático (RMSE) e o erro médio absoluto (bias), dados pelas equações: 3

4 y i xi i= 1 ic = 1, ( yi x + xi x ) i= 1 rmse i= 1 = ( y i xi), ( y i xi) i= bias = 1 (3) ode xi são os valores experimetais (referêcia), y i são os valores dos modelos uméricos, x é a média do valor experimetal e é o úmero de potos. O ídice de cocordâcia varia de zero a um, sedo que quato maior é o valor, maior é a cocordâcia dos valores uméricos com os experimetais. Nesta comuicação, tomaram-se as alturas ao logo da secção logitudial (A-A) do domíio para efectuar as aálises de sesibilidade dos resultados, porque ao logo dessa secção ocorrem os feómeos mais importates a propagação da oda. 3. Aálise de sesibilidade 3..1 Modelo BOUSSiiw Nesta secção é feita uma aálise de sesibilidade para o modelo BOUSSiiw, comparado-se as soluções uméricas obtidas para diferetes tamahos de malhas para os testes e 3. O domíio de cálculo e a batimetria cosiderados os cálculos efectuados com o modelo BOUSSiiw são os idicados a Figura. Na Figura b ilustra-se a localização das zoas absorvetes e da zoa de geração das odas. A zoa de geração da oda localiza-se a ordeada y = 3 m e tem uma largura de 0.89 m. Em todas as froteiras do domíio cosideraramse codições de froteira de reflexão total e colocaram-se duas zoas absorvetes (spoge layers) o iício e o fim do domíio. As zoas absorvetes têm uma largura de 1.78 m. Figura. a) Perspectiva 3D da malha C sobre o baixio. b) Liha de geração das odas e das zoas absorvetes. A Tabela apreseta as características das malhas utilizadas para a aálise de sesibilidade dos testes e 3. Foram geradas 5 malhas distitas desde cerca de potos até cerca de potos, o que correspode a uma média de 5 a 1 potos por comprimeto de oda (λ) para um período de T = 0.75 s. As larguras de bada variam etre 187 e 744. Quato à qualidade das malhas, etre 86% e 99.96% dos elemetos são cosiderados óptimos (isto é, os seus ós têm uma valêcia óptima de 6). Tabela Modelo BOUSSiiw. Características das malhas de elemetos fiitos Malha Nº potos Nº elemetos Largura de bada Nº médio potos/λ Nº míimo potos/λ T=0.75s T=s T=0.75s T=s A B C D E O passo de tempo utilizado foi de 0.01s, sedo que o tempo total de simulação para todos os casos foi de 40 s. A partir das séries de elevação da superfície livre uméricas e experimetais, foram calculados os valores da altura de oda sigificativa (HS). Procedeu-se, depois, à determiação dos valores do ídice de agitação sigificativa (relação etre a altura de oda sigificativa um poto do domíio e a altura de oda icidete). Os gráficos da Figura 3 mostram os ídices de agitação sigificativa obtidos a secção A-A para todas as malhas, para os testes e 3. A Figura 4 mostra uma comparação dos parâmetros estatísticos, ic, RMSE e bias, que caracterizam as difereças em relação aos resultados experimetais, e o tempo de processameto (tcpu) obtidos pelas diferetes malhas. 4

5 Teste Teste 3 (a) h/h h/h (b) Figura 3 Modelo BOUSSiiw. Ídices de agitação para as malhas os testes (a) e 3 (b). Malha A Malha B Malha C Malha D Malha E Ídice de cocordâcia 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% Nº potos por comprimeto de oda Tempo de CPU (s) Bias 80% % 60% % 40% 30% % 10% % -10% -0% Nº potos por comprimeto de oda Tempo de CPU (s) RMSE 10% % % 60% % % 0% Nº potos por comprimeto de oda Tempo de CPU (s) Bias Teste Bias Teste 3 RMSE Teste RMSE Teste 3 IC Teste IC Teste 3 CPU Teste CPU Teste 3 CPU Teste CPU Teste 3 CPU Teste CPU Teste 3 Figura 4 Modelo BOUSSiiw. Parâmetros estatísticos vs tempo de CPU para os testes e 3. No teste 3, observa-se que, a partir da malha C, as difereças os resultados uméricas são pouco sigificativas o que é comprovado pelos parâmetros estatísticos apresetados a Tabela 3. No teste, mais exigete que o teste 3 (maior ão liearidade) apeas a partir da malha D é que os resultados são cosiderados satisfatórios, pelo que se pode cocluir que o modelo BOUSSiiw requer um míimo de 6 e em média 10 potos por comprimeto de oda para se obter resultados credíveis. No etato, só a partir de um míimo de 8 e em média 16 potos por comprimeto de oda é que os resultados são mais precisos (Malha D). Cosiderado o meor tempo de processameto ecessário para obter uma precisão razoável de resultados, coclui-se que pode-se usar as codições da malha D para simular os outros testes. 3.. Modelo COULWAVE Nesta secção, é feita uma aálise de sesibilidade dos resultados do modelo COULWAVE à variação do úmero de camadas verticais, ao tamaho da malha computacioal e ao úmero de Courat. Foi escolhido o caso de teste 3 pois era o que estava associado a um tempo de cálculo sigificativamete iferior. São aalisados os resultados de altura da oda a secção A-A e os parâmetros estatísticos (ic, RMSE e bias) e o tempo de CPU (tcpu). O domíio computacioal do modelo COULWAVE é bidimesioal, com 0x9.1m. Com efeito, dadas as características simétricas do exemplo em questão em relação ao cetro do baixio, apeas se cosiderou metade do domíio de cálculo da Figura 1, para dimiuir o esforço computacioal evolvido. A discretização da batimetria foi forecida com um espaçameto de dx=0.05 m. O próprio modelo gera uma malha de difereças fiitas com base um úmero míimo de potos por comprimeto de oda dado pelo utilizador. A fução fote (geração de odas) foi colocada a posição x=4 m e foram impostas as codições de agitação de odas regulares siusoidais idicados a Tabela 1. Colocaram-se duas zoas absorvetes os extremos do domíio com um comprimeto de oda. Foi cosiderado o atrito com o fudo. Para os restates parâmetros do COULWAVE adoptaram-se os valores sugeridos pelo maual, Lyett e Liu []. O tempo total de cálculo foi de 50 s. Primeiramete, foi feita a aálise de sesibilidade em relação ao úmero de camadas verticais. Testaram-se 1, e 3 e 4 camadas. Em todos os casos, foi utilizado um úmero de Courat igual a 0. e 30 potos por comprimeto de oda. Verificou-se que para 3 e 4 camadas o modelo umérico ão covergia. Na Figura 5a apresetam-se os ídices de agitação, obtidos para a secção A-A para uma e duas camadas. A Tabela 3 mostra uma comparação dos parâmetros estatísticos ic, RMSE e bias, com respeito aos resultados experimetais, e o tempo de processameto (tcpu) obtidos usado uma e duas camadas. Nota-se que o uso de duas camadas, este caso, ão alterou cosideravelmete os resultados em relação aos obtidos com uma camada. Esta costatação está mostrada tado o gráfico da Figura 5a, quato os três parâmetros estatísticos apresetados a Tabela 3. A razão dessas respostas, possivelmete, seja pelos bos resultados obtidos pelo COULWAVE já com uma camada, uma vez que o parâmetro kh para este teste está aida a sua validade (ver Tabela 1). Além dos bos resultados obtidos com o uso de uma camada, o custo computacioal mais baixo, mostrado a Tabela 3, permite cocluir esta codição para simular os testes 1 e. 5

6 exp 1cam cam exp 0 ptos 30 ptos 40 ptos 50 ptos Figura 5 Modelo COULWAVE. Ídice de agitação o teste 3 para diferetes (a) camadas e (b) N. Potos /Lo. (a) Tabela 3 Modelo COULWAVE. Parâmetros estatísticos (b) para o teste 3 para 1 ou camadas verticais. N 0 cam. ic bias RMSE tcpu (s) h 4mi h 11mi Para determiar o úmero de potos por comprimeto de oda adequado para este teste usado uma úica camada a vertical, é feita uma série de simulações com 0, 30, 40 e 50 potos por comprimeto e comparados os resultados e tempo de processameto. A Figura 5b apreseta os ídices de agitação sigificativa para os quatro casos e são comparados com os valores experimetais ao logo da seção A-A. Também, a Tabela 4 mostra os parâmetros estatísticos de cada situação. Observa-se que melhora cosideravelmete os resultados aumetado o úmero de potos de 0 para 30. A partir de 30 potos por comprimeto de oda, os resultados são muitos semelhates etre si, cocluido-se que, este caso, 30 potos são suficietes para discretizar adequadamete o domíio. Tabela 4 Modelo COULWAVE. Teste 3. Parâmetros estatísticos para diferetes N. potos /Lo. N 0 ptos/comp ic bias RMSE tcpu h 11mi h 4mi h h Fialmete, aalisaram-se os resultados do modelo umérico à variação do úmero de Courat. Cosiderado 30 potos por comprimeto de oda, simularam-se valores de úmero de Courat desde 0.1 a 0.5. A Tabela 5 mostra os parâmetros estatísticos de cada situação. Observa-se que ão existe grade ifluêcia do úmero de Courat os resultados do modelo excepto em termos do tempo de processameto, que dimiui sigificativamete com o aumeto daquele parâmetro. Neste caso um úmero de Courat de 0.5 é suficiete. Das aálises efectuadas, verificou-se que para este teste um úmero de potos por comprimeto de oda de 30 associado a um úmero de Courat de 0.5 é suficiete. Como este caso ão é o mais ão liear, decidiu-se os outros testes cosiderar também 30 potos mas associado a 0.. Tabela 5 Modelo COULWAVE. Parâmetros estatísticos para o teste 3 para diferetes úmeros de Courat. N 0 Courat bias RMSE ic tcpu h 7 mi h 17 mi h 40 mi h 06 mi h 30 mi h 19 mi 4 Apresetação e aálise de resultados Uma vez estabelecidos o aterior capítulo os melhores parâmetros a cosiderar os cálculos dos modelos BOUSSiiw e COULWAVE, são apresetadas a seguir as comparações dos resultados dos modelos uméricos com os experimetais para os três testes. São usados os parâmetros estatísticos ic, bias e RMSE para quatificar as difereças das alturas de oda sigificativas para todas as secções. São apresetados também os espectros de eergia obtidos pelos modelos uméricos para três sodas localizadas a secção A-A. 4.1 Altura de oda sigificativa Na Figura 6, Figura 8 e Figura 10 apresetam-se as alturas sigificativas obtidas pelos modelos BOUSSiiw e COULWAVE e os valores experimetais as secções A-A a G-G, para os testes 1, e 3, respectivamete. Os parâmetros estastísticos de comparação etre os modelos para os três testes estão idicados as Figura 7, Figura 9 e Figura 11. 6

7 Em termos gerais, e para todos os testes, os modelos uméricos coseguem reproduzir bastate bem o adameto e a ordem de gradeza dos resultados experimetais. Com efeito, ambos os modelos uméricos coseguem simular o empolameto da oda a zoa do baixio e após este, e depois o decréscimo da altura da oda, como se pode costatar a secção A-A. Verifica-se também as outras secções um acompahameto bastate razoável dos valores uméricos aos valores experimetais, embora existam maiores difereças a zoa após o baixio. Apesar dos modelos uméricos evolvidos terem formulações diferetes, ode o COULWAVE é totalmete ão-liear e dispersivo ao cotrário de BOUSSiiw que é fracamete ão-liear, os resultados obtidos por ambos modelos são muito semelhates. De otar que as secções B-B, C-C, D-D estão a jusate do baixio, logo, são locais ode a oda apreseta uma ão-liearidade maior. Nessas secções, os modelos apresetam os piores ídices. Nas secções F-F e G-G verifica-se que o ídice de cocordâcia tem valores mais baixos o que pode ser devido ao baixo úmero de potos de medição. Especificamete, o que se refere ao teste 1, (ver Figura 6 e Figura 7), a maioria das secções, os modelos tem tedêcia a subestimar as alturas de oda. O gráfico do parâmetro bias mostra claramete esta tedêcia. Apeas a secção F-F e G-G é que o modelo COULWAVE sobrestimou os resultados mais sigificativamete. O RMSE é baixo as secções E-E a G-G mas atige valores bastate elevados a secção B-B. Os resultados, tato para o COULWAVE como para o BOUSSiiw, têm um ídice de cocordâcia acima de 0.7, com excepção da secção B-B, C-C (só BOUSSiiw), G-G. Da aálise do teste (Figura 8 e Figura 9), pode observar-se que ambos os modelos coseguiram reproduzir bem as alturas de oda em todas as secções, mas claramete o modelo COULWAVE tem uma maior cocordâcia com os resultados experimetais. Tal pode ser cofirmado com base o RMSE e o ídice de cocordâcia. Em relação ao bias, os modelos apresetam um comportameto diferete cosoate a secção. Nas secções BB CC e DD o modelo COULWAVE subestima os valores equato que o modelo BOUSSiiw sobrestima. Nas restates secções acotece o iverso. Na secção A-A ambos os modelos subestimam os valores experimetais. O RMSE é iferior ao do teste 1 e uca ultrapassa os 0.4. O ídice de cocordâcia é sempre superior a 0.7 em todas as secções para ambos os modelos com excepção da secção B-B para o modelo BOUSSiiw e G-G para o modelo COULWAVE. Da aálise do teste 3 (Figuras 10 e 11), o BOUSSiiw apreseta uma tedêcia de sobre-estimação de alturas sigificativas para todas as secções, destacado-se a secção A-A. O gráfico do parâmetro bias mostra claramete esta tedêcia. Os resultados, tato para o COULWAVE como para o BOUSSiiw, têm um ídice de cocordâcia acima de 0.9, com excepção da secção G-G, trasversal à direcção da oda e a parte frotal do baixio, ode os ídices foram muito baixos. O maior RMSE, atigido pelos dois modelos, ocorreu a secção D- D, ão excede 0.5, logo a jusate do baixio, ode se espera uma trasformação cosiderável da oda. Possivelmete, isto se deve a dificuldade dos modelos de represetar as harmóicas mais elevadas presetes essa região.. Claramete se verifica que ambos os modelos coseguiram reproduzir com maior precisão o teste 3 do que o teste e pricipalmete o teste 1. Note-se que o teste 3 é o meos ão liear dos testes aqui simulados. Verificou-se também que o modelo COULWAVE apreseta melhores resultados do que BOUSSiiw, mas a difereça ão é assim tão sigificativa atededo a que aos resultados experimetais também está associada uma margem de erro. Este aspecto tem de ser poderado em cojuto com o tempo de processameto o qual para COULWAVE é sigificativamete superior ao de BOUSSiiw. AA BB CC DD EE Figura 6 Teste 1. Secção A-A a G-G. Ídices de agitação. Valores experimetais (potos a preto) e uméricos do BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). FF 7

8 0,15 0,60 bias RMSE 0,90 ic 0,80 0,05 0,70 0,40 0,60-0,05 0,30-0,40 0,0-0,15 0,30 0,0-0,0-0,5-0,30 Figura 7 Teste 1. Secção A-A a F-F. Parâmetros estatísticos dos modelos uméricos BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). (a) bias, (b) RMSE, (c) ic. AA BB CC DD EE Figura 8 Teste. Secção A-A a F-F. Ídices de agitação. Valores experimetais (potos a preto) e uméricos do BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). 0,15 0,05-0, ,15-0,0 bias 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,05 RMSE 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 Figura 9 Teste. Secção A-A a G-G. Parâmetros estatísticos para os modelos BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). (a) bias, (b) RMSE, (c) ic AA DD BB EE FF CC Figura 10 Teste 3. Secção A-A a F-F. Ídices de agitação. Valores experimetais (potos a preto) e uméricos do BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). bias RMSE Figura 11 Teste 3. Secção A-A a G-G. Parâmetros estatísticos para os modelos uméricos BOUSSiiw (azul), COULWAVE (vermelho). (a) bias, (b) RMSE, (c) ic. FF ic ic 8

9 4. Espectros de eergia Nesta secção são aalisados os espectros de eergia obtidos pelos modelos em três sodas localizadas a secção logitudial A-A para os três testes aalisados (Figura 1 a Figura 14). Elas estão as posições x = 3.1 m, 7.4 m e m, deomiadas de sodas 1, 9 e 10, respectivamete. A soda 1 está a motate do baixio, equato que as outras duas localizam-se a jusate do mesmo. Observa-se que os espectros obtidos pelos dois modelos apresetam as harmóicas as frequêcias esperadas e são muito semelhates etre si. Para todos os casos a harmóica mais alta presete sigificativamete é a ª, idetificada com maior itesidade a soda 9. Isto se justifica porque esta soda está mais próxima do baixio e a jusate, ode se espera uma ão-liearidade maior. O teste mostrou a preseça de harmóicas mais altas com maior itesidade, que pode-se explicar pelas características da oda icidete, ode a altura é a maior dos casos (H = 0.04m) e pelo período meor que o do teste 3. Uma vez que ambos os modelos são baseados em equações de Boussiesq, eles estão limitados a valores de kh relativamete baixos. Portato é difícil que os modelos cosigam simular as terceiras harmóicas pois estas têm valores de kh da ordem de 16 a 50, ver Tabela 1. SONDA 1 SONDA 9 SONDA 10 0,00 0,00 0, Figura 1 Espectros de eergia obtidos pelos modelos COULWAVE e BOUSSiiw para o teste1 SONDA 1 SONDA 9 SONDA 10 0,00 0,00 0, Figura 13 Espectros de eergia obtidos pelos modelos COULWAVE e BOUSSiiw para o teste SONDA 1 SONDA 9 SONDA 10 0,00 0,00 0, Figura 14 Espectros de eergia obtidos pelos modelos COULWAVE e BOUSSiiw para o teste3 5 Coclusões Nesta comuicação, descreveu-se a aplicação dos modelos uméricos BOUSSiiw e COULWAVE a simulação de três testes de propagação de odas sobre um baixio circular que se ecotra um fudo de profudidade costate. Os valores dos ídices de agitação dos modelos uméricos foram comparados com os resultados dos esaios em modelo físico (Chawla [3]). Em cada modelo foram feitas aálises de sesibilidade para determiar as discretizações espaciais mais adequadas para simular os problemas propostos assim como algus parâmetros do modelo COULWAVE. Os parâmetros estatísticos erro médio absoluto (bias), erro médio quadrático (RMSE) e ídice de cocordâcia (ic) foram utilizados para quatificar essas comparações. A aálise de sesibilidade feita para o BOUSSiiw baseou-se a variação do tamaho da malha sobre o domíio. Após as simulações, defiiu-se a malha que proporcioou o meor custo computacioal com bos resultados. Para o COULWAVE, a aálise de sesibilidade foi feita, primeiramete, pela variação do úmero de camadas verticais. Cosiderado que o uso de duas camadas verticais cosome o dobro de tempo de CPU em acção ao uso de uma, e que os resultados obtidos com uma camada foram bastate bos, adoptou-se apeas uma camada vertical para as simulações. Também foram variadas as discretizações espaciais em termos de úmero de potos por comprimeto de oda, costatado-se que 30 potos eram suficietes para modelar adequadamete os problemas. A ifluêcia do úmero de Courat os resultados uméricos ão é sigificativa e apeas se traduz um aumeto sigificativo do tempo de cálculo, este caso de teste. 9

10 No que se refere a modelagem dos três testes, os resultados mostraram que os modelos simulam de forma muito razoável a maioria das trasformações das características das odas ao logo da sua propagação. Verifica-se que, duma forma geral, os resultados dos modelos apresetam um adameto semelhate aos dos resultados experimetais. O modelo BOUSSiiw apresetou, de forma geral, muito bos resultados, embora seja itroduzida uma difusão umérica artificial para cotrolar as oscilações uméricas. Para o teste e 3 o modelo COUWLAVE apresetou melhores resultados mas as difereças face a BOUSSiiw ão são sigificativas. É de se destacar o baixo custo computacioal do BOUSSiiw em relação ao COULWAVE, mostrado o seu potecial o tratameto de problemas da egeharia portuária e costeira, cujas características evolvem largas áreas de estudo. Ambos os modelos apresetaram espectros os quais as harmóicas aparecem as frequêcias esperadas. De forma geral, o BOUSSiiw apreseta maior eergia as harmóicas em relação ao COULWAVE e ambos captaram visivelmete até à seguda harmóica em todos os casos. De modo a melhorar a precisão do modelo BOUSSiiw e o cotrole das oscilações espúrias, é objectivo de trabalho futuro a implemetação de uma iterpolação mista ode as velocidades são iterpoladas quadraticamete e a superfície livre é iterpolada liearmete (este esquema pode levar a melhorametos sigificativos o cotrolo da ocorrêcia de oscilações uméricas). A iclusão da rebetação o modelo também costitui um desevolvimeto futuro do modelo BOUSSiiw para alargar as suas potecialidades de aplicação em casos reais. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem também o fiaciameto da FCT através de PTDC/ECM/67411/006 e PTDC/ECM/73145/006 e o fiaciameto do projecto de pós-doutorameto CAPES: EPDE/CAPES/0857/08-4. Este trabalho isere-se o covéio LNEC-FURG. REFERÊNCIAS [1] Piheiro. L. (007) Um método de elemetos fiitos para a discretização das equações de Boussiesq estedidas. Tese de mestrado. Egeharia Mecâica, IST. [] Lyett P, Liu PL-F (004) Modellig wave geeratio, evolutio ad iteractio with Depth-Itegrated, Dispersive Wave equatios. COULWAVE Code Maual. Corell Uiv. Log Iter. Wave Modellig Package. [3] A. Chawla, Wave trasformatio over a submerged shoal. Tese de mestrado. Uiversidade de Delaware, [4] O. Nwogu, Alterative form of Boussiesq equatios for ear-shore wave propagatio. J. Waterway, Port, Coastal ad Ocea Egieerig, 119(6), , 1993 [5] Berzis M., Furzelad R.M., Scales L.E. (1985) A user s maual for SPRINT -a versatile software package for solvig systems of algebraic, ordiary ad partial differetial equatios: Part 3 - advaced use of SPRINT. Techical Report TNER , Thorto Res. C, Chester. [6] Piheiro, L., Ferades, J.L.M.,.Fortes, C.J. E.M. (007) Fiite Elemet Mesh Geerator with Local Desity Coditioed to Bathymetry for Wave Propagatio Models i Coastal Zoes. Proc. of EUA4X@IAC 06, Roma Italy, October 006. IMACS Series i Comp.ad Applied Mathematics Vol.1, pp71-80, 007 [7] Wei, G., Kirby, J. T., Siha, A., 1999, Geeratios of waves i Boussiesq models usig a source fuctio method, Coastal Eg., 36(4), [8] Kirby, J.T.; Wei, G.; Che, Q.; Keedy, A. B.; Dalrymple, R. A. (1998) FUNWAVE 1.0 Fully Noliear Boussiesq Wave Model Documetatio ad User s Maual, Res. Rep. No.CACR [9] Lyett P, Liu PL-F (004) A umerical study of submarie ladslide geerated waves ad ruup Proceedigs of the Royal Society of Lodo A; 460: [10] Willmott, C.J., S.G. Ackleso, R.E. Davis, J.J. Feddema, K.M. Klik, D.R. Legates, J. O Doell e C.M. Rowe, Statistics for the evaluatio ad compariso of models. Joural of Geophysical Research, 90 (c5), p