DETERMINAÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADE MÉDIA E TENSÃO DE CISALHAMENTO NO FUNDO EM ESCOAMENTOS LAMOSOS PULSANTES

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1 DETERMINAÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADE MÉDIA E TENSÃO DE CISALHAMENTO NO FUNDO EM ESCOAMENTOS LAMOSOS PULSANTES André L. Toniati 1* ; Geraldo de F. Maciel 2 ; Fabiana O. Ferreira 3 Resumo Os escoamentos lamosos com superfície livre têm sido objeto de estudo, devido ao seu poder erosivo e, muitas vezes, destrutivo. Nesses escoamentos, quando em condições favoráveis de vazão, inclinação e perturbação, podem surgir instabilidades que se propagam em forma de trem de ondas na superfície, denominadas as roll waves. Como na literatura os estudos sobre o fenômeno roll waves em fluidos de reologias mais complexas restringem-se, geralmente, a informações sobre amplitude, comprimento e velocidade de propagação, buscou-se, nesse trabalho, trazer uma abordagem matemática para o fenômeno, determinar o perfil de velocidade média na vertical e a tensão de cisalhamento no fundo do escoamento na presença dessas instabilidades. O modelo matemático aqui apresentado é desenvolvido com base nas equações de águas rasas, dando continuidade aos trabalhos desenvolvidos no grupo RMVP da UNESP de Ilha Solteira em reologia não-newtoniana, com presença de tensão limite de escoamento. Adota-se o modelo reológico de Herschel-Bulkley a 3 parâmetros como representativo do fluido lamoso. Para verificar a validade do modelo, é realizada uma confrontação com resultados de Ng e Mei (1994) para um fluido sem tensão limite de escoamento. Por fim, são avaliados os resultados de perfil de velocidade média na vertical e tensão de cisalhamento no fundo para um fluido com tensão limite de escoamento, contribuição principal desse trabalho. Os resultados teórico-numéricos apontaram uma boa concordância. Fica como perspectiva a realização de ensaios físicos visando validação experimental, o que deverá sobremaneira contribuir nos estudos de transporte de sedimentos. Palavras-Chave fluidos não-newtonianos, tensão de cisalhamento, roll waves. DETERMINATION OF MEAN VELOCITY AND BOTTOM SHEAR STRESS ON PULSATING MUDFLOWS Abstract Free surface flows with muddy fluids have been focus of study because of their erosive capacity and, often, their destructive power. Under favorable conditions of discharge, slope and disturbance, these flows can develop a specific type of instability that is propagated downstream as shock waves, called roll waves. Most of literature about roll waves in complex rheology fluids is normally restricted to information about amplitudes, wavelengths and celerity. This paper brings a suited mathematical approach to the phenomena, establishing the profile for mean vertical velocity and bottom shear stress for roll wave. Continuing the work of the research group RMVP from Unesp - Ilha Solteira, the mathematical model here presented is developed based on shallow waters equations for a fluid with yield stress. The Herschel-Bulkley rheological model is assumed for typical muddy fluid. A comparison with the results obtained by Ng and Mei (1994) for fluids without yield stress is done to verify the model here proposed. Finally, the model is used to evaluate mean vertical velocity profile and bottom shear stress for fluids with yield stress. The theoreticalnumerical results show good response. As future work, the realization of experiments is intended to validate the model, which should contribute to studies on sediment transport. Keywords non-newtonian fluids, shear stress, roll waves. 1 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - andre@toniati.com 2 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - maciel@dec.feis.unesp.br 3 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - fabiana.of@gmail.com XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 1

2 INTRODUÇÃO O estudo das propriedades dos escoamentos de fluidos não-newtonianos com superfície livre, como as corridas de lamas, é de grande interesse científico. Essas corridas resultantes de misturas de matrizes argilosas e de materiais de granulometria estendida, além de conferirem frentes com potencial energético destrutivo, via de regra, apresentam capacidade erosiva significativa. Ademais, nessas corridas de lamas, outros fenômenos agravantes podem ocorrer, como por exemplo, instabilidades na superfície livre, que em condições favoráveis de vazão e inclinação do canal, se propagam em forma de trem de ondas, com formas e velocidade de propagação características, conhecidas na literatura como roll waves. Vale lembrar que, nas regiões Sul e Sudeste do Brasil, dentre os fenômenos naturais, os que ganham mais destaque são as corridas de lama ao longo de encostas que ocorrem após chuvas intensas (GUIDICINI E NIEBLE, 1984). A modelagem matemática e numérica desses escoamentos lamosos com presença de roll waves tem se mostrado complexa; isso se deve à influência das propriedades reológicas do fluido na dinâmica do escoamento e, principalmente, na dificuldade em caracterizar reologicamente esses materiais. Com base em estudos recentes, tendo a experimentação física como fator de decisão, verifica-se que essas suspensões argilosas e hiperconcentradas obedecem, de uma maneira geral, ao modelo reológico não-linear viscoplástico do tipo Herschel-Bulkley (PIAU, 1996; HUANG E GARCIA, 1998; COUSSOT, 1994; ANCEY, 2007; MACIEL et al, 2009). Em trabalhos mais recentes, desenvolvidos no grupo de pesquisa RMVP da Unesp de Ilha Solteira, foi utilizado, como fluido teste, o Gel de Carbopol (polímero acrílico), comprovando que este tem apresentado comportamento reológico representativo de lamas, como daquelas encontradas em pé de barragem. No que diz respeito à geração e propagação de roll waves, utilizando o modelo reológico de Herschel-Bulkley, pesquisas têm sido feitas, buscando-se critérios de geração dessas ondas. Coussot (1994) e Maciel (2013) estabelecem um critério de geração que está relacionado ao número de Froude. Di Cristo et al (2013) determinam matematicamente um critério que está relacionado ao comprimento de canal necessário para que essas ondas atinjam a estabilidade, em forma, amplitude e comprimento. Ferreira (2014) estabelece critério de geração de roll waves relacionado à frequência de perturbação necessária a ser aplicada ao escoamento, e verifica, numericamente, que o critério relacionado ao número de Froude é necessário, mas não suficiente para que tais ondas se propaguem. Ng e Mei (1994) utilizam um modelo reológico sem tensão limite de escoamento, do tipo Power Law e também estabelece um critério de geração de roll waves relacionado ao número de Froude. Vale ressaltar, que todos esses critérios estão em função das propriedades reológicas do fluido. Em se tratando das propriedades das roll waves, os modelos matemáticos e numéricos têm, sua quase totalidade, apresentado amplitude, comprimento e velocidade de propagação (MACIEL 2001; BALMFORTH, 2004; ZANUTTI E LAMBERTI, 2007; FERREIRA, 2013; DI CRISTO et al, 2014). No entanto, ainda existem poucos trabalhos que tratam da evolução do perfil de velocidade média na vertical e tensão de cisalhamento no fundo, no corpo da roll wave. OBJETIVO O objetivo deste trabalho é determinar um modelo matemático, com base nas equações de águas rasas, que quantifique, além das propriedades clássicas das roll waves (amplitude comprimento, velocidade de propagação), o perfil de velocidade média na vertical e a tensão de cisalhamento no fundo em escoamentos de fluidos do tipo Herschel-Bulkley, sobre um comprimento de onda. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 2

3 MODELO MATEMÁTICO As equações motrizes que representam o problema são obtidas através das equações de Cauchy (conservação da massa e da quantidade de movimento). No equacionamento do tensor de tensões é inserida a reologia do tipo Herschel-Bulkley. Pela literatura, comprova-se que o modelo proposto representa bem os fluidos lamosos. (COUSSOT, 1994; MACIEL et al., 2009). No processo de modelagem do problema, vale a hipótese de fluido lamoso homogêneo, incompressível, trabalhando em condições de águas rasas (shallow water equations, / 1), o que decorre no campo de pressão hidrostática. As equações de Cauchy são promediadas na vertical, permitindo o cálculo do fluxo, velocidade e altura da lâmina d água como funções do tempo e espaço. A Figura 1 mostra a geometria do problema com presença de roll waves em escoamentos de águas rasas. Figura 1 Representação do escoamento em águas rasas a partir de um sistema de eixo A partir da adimensionalização do sistema em variáveis apropriadas, tem-se: Escala de comprimento:,, ; Escala de velocidade: ; Escala de tempo: /. Onde, é o comprimento característico dado por: /sen; é a aceleração da gravidade; é a profundidade de escoamento; é o perfil de velocidade média de escoamento na vertical; é o tempo. Cabe destacar que o subíndice indica condições de escoamento uniforme e; o asterisco, as variáveis adimensionais. Nas equações de 1 a 10, os índices asterisco foram omitidos. Por haver necessidade do conhecimento do perfil de velocidade média da onda na vertical, a modelagem matemática do problema parte de Ferreira (2007), que utiliza as equações de conservação da massa e quantidade de movimento reescritas em um sistema móvel de coordenadas deslocando-se velocidade de propagação da roll wave ou celeridade (onda permanente). A técnica utilizada é usual em hidrodinâmica, pois a física do problema garante a existência de ondas que se propagam à velocidade constante. Assim, por hipótese, tem-se que, sendo a velocidade de propagação da roll wave. Após estabelecer as relações do sistema, Ferreira (2007) obteve as equações de conservação da massa (Equação 1) e quantidade de movimento (Equação 2). XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 3

4 (1)!" # $%&!" # $'% ( )* + ( # $ 1 & ( # $, 1,- 0./,0 1.10, 4 ( /,201.( 10,3 (2) Em que é uma constante, que em regime permanente vale 1, considerando, 5, 5 1,1 uma solução para a Equação 1; 6 é o índice de escoamento do fluido, & é o coeficiente de distribuição de velocidade na vertical; 7r é o número de Froude (78 /9: cos;, é a tensão limite de escoamento adimensional (, = 5 /: sen); = 5 é a tensão limite de escoamento. O sistema (equações 1 e 2), já resolvido para por Ferreira (2007), será reescrito para. Após alguns desenvolvimentos algébricos, obtém-se a Equação 3, determinada em função da velocidade média do escoamento na vertical, do número de Froude, da velocidade de propagação da roll wave e dos parâmetros reológicos do fluido.!" # $ >?@ A">?@>?, /,/./,B C A"?@ DE F G > G F, F G > >?@ HI G F, J >?@ >?@+ > >?@ K!"/ L/ M NO +1. /KL!" F )!" A"?@ +P R!" Como as roll waves podem ser interpretadas como soluções contínuas por partes interconectadas por choques, o comprimento destas ondas pode ser calculado a partir da integração do inverso da Equação 3, cujos limites de integração são os valores da velocidade na lâmina baixa (. ) e na lâmina alta do escoamento ( ). Os limites de integração são obtidos através das equações de Rankine Hugoniot (condições de choque), que representam saltos de propriedades para a conservação da massa e quantidade de movimento (DRESSLER, 1949; NG; MEI, 1994). Ao se realizar novos desenvolvimentos algébricos, obtém-se a Equação 4: &. %& % 2&. & %.!" > / L '. UCL /!" >!" > / L D&. % 0 (4) Sendo U 1/78. Resolvendo a Equação 4 chega-se na Equação 5, a saber: W Δ/2Z (5) onde, Z &. %& (6) W 2&. & %. T T!" > / L (7) [. UCL /!" >!" > / L D&. % (8) ΔW 4Z[ (9) (3) XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 4

5 A partir de e, a solução para a tensão de cisalhamento no fundo (= ] ), já determinada por Huang e Garcia (1998) e Ferreira (2007), pode ser facilmente explicitada. Para isso, realiza-se o processo de adimesionalização (^_ = ] /: sen obtendo-se a Equação 10. ^_, % 1, - 0./,01. 10, 4 ( /,201.( 10,3 (10) Assim posto, com esta nova forma de equacionamento, pode-se determinar o perfil da onda, o perfil de velocidade média do escoamento na vertical e a tensão de cisalhamento no fundo, ao longo do comprimento de onda, através de simulação numérica. Assim exposto, as soluções numéricas permitiram fazer análises, verificar e validar a proposta deste equacionamento, além de quantificar valores a partir de um conjunto de parâmetros de entrada atribuídos. A implementação e simulação do modelo matemático foram realizadas através dos softwares Matlab e Simulink, utilizando o integrador ODE113(Adams) no Simulink. A priori, utilizou-se como base, os dados de Ng e Mei (1994) que utilizam um fluido do tipo Power Law (= 5 0,0). Com os resultados obtidos, plotou-se o perfil da lâmina d'água (), perfil da velocidade média na vertical () e a tensão de cisalhamento no fundo (^_). Na sequência, realizou-se uma comparação entre os resultados obtidos por esses autores e os de Ng e Mei (1994), comprovando uma boa resposta do solver desenvolvido. Este resultado é denominado Simulação 1 no item Resultados e Discussões. As demais simulações foram realizadas com inserção de tensão limite de escoamento (,a 0), o que propiciou analisar a influência da mesma no perfil de velocidade média na vertical e na tensão de cisalhamento no fundo, residindo aí, a contribuição do trabalho em tela, vis à vis da propositura de Ng e Mei (1994). RESULTADOS E DISCUSSÕES Os resultados da Simulação 1 podem ser observados na Figura 2 (2a e 2b), em que foi imposta uma altura de lâmina d água. (lâmina baixa) extraídas dos resultados de Ng e Mei (1994) (Figura 2b), com 60,4 e,0. Através da Tabela 1 pode-se verificar uma boa concordância entre os resultados de Ng e Mei (1994) e os obtidos neste trabalho. Os erros são da ordem de 10% para Uc1, amentando até 20% quando Ud1. Estes erros podem ser explicados através da análise realizada por Fiorot (2012), que mostra alta sensibilidade no e ao variar o parâmetro.. Tabela 1 Comparação entre Ng e Mei e Simulação Erros dos resultados Ng e Mei Simulação 1 numéricos em relação Ng e Mei (%) β 0 β 1 β 5 β 0 β 1 β 5 β 0 β 1 β 5. 0,53 0,72 0,85 0,53 0,72 0, ,92 1,35 1,30 1,88 1,35 1,16 2,08 0,00 10,77. 0,55 0,60 0,57 0,55 0,53 0,57 0,00 11,67 0,00 1,25 1,35 1,68 1,23 1,31 1,34 1,60 2,96 20,24 ^_yz{ 0,85 0,92 0,87 0,84 0,88 0,85 1,18 4,35 2,30 ^_y } 1,05 1,02 1,11 1,04 1,00 1,05 0,95 1,96 5,41 ~ 0,67 3,00 20,90 0,63 3,12 19,93 5,97 4,00 4,64 Sendo U1/78,. : lâmina baixa de escoamento, : lâmina alta de escoamento,. : velocidade que corresponde a menor lâmina de escoamento, : velocidade que corresponde a maior lâmina de escoamento, ^_y }/yz{ : tensão de cisalhamento de fundo máxima ou mínima, ~: comprimento de onda. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 5

6 Figura 2 Perfil gerado com imposição da lâmina baixa., 6 0, 4 e, 0 e Ng e Mei (1994) Para visualizar a influência da tensão limite de escoamento (,) no sistema, foi feita uma análise adotando um número de Froude 78 0,7, imposição da lâmina baixa (. ), onde c, e 2 índices de escoamento, 6 1 (Figura 3a) e 6 0,4 (Figura 3b). ƒ0. Ao variar, para os dois casos (6 1 e 6 0, 4), pôde-se observar o aumento da amplitude. Além disso, à medida que se aumentava a tensão limite de escoamento, diminuía-se o comprimento de onda e aumentava-se a amplitude, o que está em consonância com a literatura (MACIEL, 2001; MACIEL et al., 2013). Em relação à tensão de cisalhamento no fundo (^_ ), pôde-se observar o deslocamento do pico da roll wave para esquerda (sentido montante), conforme se aumentava a tensão limite de escoamento. Em fluidos com índice de escoamento baixo, caso da Figura 3b, a defasagem de pico é menos acentuada. a) Perfil gerado com. 1 e, b) Perfil gerado com. 0,4 e,, 6, 6 variando variando Figura 3 Simulação para fluido Newtoniano e não-newtoniano com e sem tensão limite de escoamento XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 6

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo é determinado um modelo matemático para geração de roll waves em fluidos não-newtonianos, em que as principais variáveis são o perfil de velocidade média na vertical e a tensão de cisalhamento no fundo de um escoamento de um fluido ajustado à reologia de Herschel- Bulkley. Os resultados são obtidos numericamente, utilizando o Simulink /Matlab. Como teste de validação, realizou-se uma confrontação com os resultados de Ng e Mei (1994), para fluido sem a presença de tensão limite de escoamento (,0), e observou-se, uma boa concordância, tanto em amplitude, comprimento, velocidade média e tensão de cisalhamento no fundo na presença de roll waves. Quanto aos resultados com presença de tensão limite de escoamento (,a0), pôde-se verificar que o modelo é corroborado com a literatura (MACIEL, 2001), no que diz a respeito ao aumento da amplitude da onda. Já em relação à velocidade média na vertical e tensão de cisalhamento no fundo, a influência da tensão limite de escoamento se mostra significativa, provocando um aumento no perfil de velocidade média e da tensão de cisalhamento no fundo, o que está de acordo com comportamento dos perfis de ondas (amplitude e comprimento). De uma forma geral, o modelo é consistente e pode também ser utilizado para escoamentos de fluidos de reologia mais simplificada, tais como fluido Newtoniano ou plástico de Bingham, bastante comuns em aplicações de engenharia. Diante destes resultados, tem-se como perspectiva a realização de ensaios físicos, visando validação experimental, bem como ampliar tais análises para estudos de transporte de sedimentos. REFERÊNCIAS ANCEY, C. Plasticity and geophysical flows: A review. J Non Newton Fluid Mech, 142: BALMFOTH, N. J.; MANDRE, C. Dynamics of roll waves. Journal of Fluid Mechanics, Cambridge, v. 514, p. 1 33, COUSSOT, P. Steady, laminar, flow of concentrated mud suspensions in open channel. Journal of Hydraulic Engineering, New York, v. 32, n. 4, p , DI CRISTO, C.; IERVOLINO, M.; VACCA, A. On the applicability of minimum channel length criterion for roll-waves in mud-flows. J. Hydrol.Hydromech, Italy, v. 61, 4, p DI CRISTO, C., IERVOLINO, M., VACCA, A. On the stability of gradually varying mudflows in open channels. Meccanica, Italy, 50(4),DOI /s y DRESSLER, R. F. Mathematical solution of the problem of roll waves in inclined open channels. Communications on Pure and Applied Mathematics, New York, v. 2, p , FERREIRA, F. de O. Abordagem matemática de roll waves em escoamentos hiperconcentrados com superfície livre. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira, FERREIRA, F. O. Estabilidade e controle dinâmico de roll waves, 204 f. Tese (Doutorado) Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista- Unesp, Ilha Solteira XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 7

8 FERREIRA, F. O.; MACIEL, G. F. ; FIOROT,G.H. ; CUNHA, E. F.. Numerical analysis of roll waves generation on non-newtonian fluids flowing down an inclined plane. Advanced Materials Research (Online), v , p , FIOROT, G. H. Mitigação de riscos e catástrofes naturais: análise numérico-experimental de roll waves evoluindo em canais inclinados. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira, 2012 GUIDICINI, G.; NIEBLE, C. M. Estabilidade de taludes naturais e de escavação. São Paulo: Edgar Blücher, p. HUANG, X.; GARCIA, M. H. A herschel-bulkley model for mud flow down a slope. Journal of Fluid Mechanics, Cambridge, v. 374, p , LIU, K.; MEI, C. C. Roll waves on a layer of a muddy fluid flowing down a gentle slope - a bingham model. Physics of Fluids, New York, v. 6, n. 8, p , MACIEL, G. de F. Roll waves evoluindo em canais de forte declividade: Uma abordagem matemática com aproximação numérica. Tese (Livre Docia em Roll waves) Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, f. MACIEL, G. de F.; FERREIRA, F. de O.; FIOROT, G. H. Control of instabilities in nonnewtonian free surface fluid flows. J. of the Braz. Soc. of Mech. Sci. & Eng., Rio de Janeiro, v. 35, n. 3, p , MACIEL, G. de F.; SANTOS, H. K. dos; FERREIRA, F. de O. Rheological analysis of water clay compositions in order to investigate mudflows developing in canals. J. of the Braz. Soc. of Mech. Sci. & Eng., Rio de Janeiro, v. 31, n. 1, p , NG, C.-O.; MEI, C. C. Roll waves on a layer of fluid mud modelled as a power law fluid. Journal of Fluid Mechanics, Cambridge, v. 263, p , PIAU, J. M. Flow of a yield stress fluid in a long domain, application to flow on a inclined plane. J. Rheology, v. 40, p , ZANUTTIGH, B.; LAMBERTI, A. Instability and surge development in debris flows. Reviews of Geophysics,Washington, v. 45, n. 3, p. 1 45, XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 8