MODELO MATEMÁTICO PARA ANÁLISE DE FLUXO TRANSIENTE EM REDE DE CANAIS 1 MATHEMATICAL MODEL FOR ANALYSIS OF TRANSIENT FLOW IN OPEN-CHANNEL NETWORK

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1 MODELO MATEMÁTICO AA ANÁLIE DE FLUXO TANIENTE EM EDE DE CANAI 1 EUMO - Um modelo matemático foi apresentado para a simulação de escoamento transiente em rede de canais. As equações de aint Venant foram integradas numericamente por um esquema explícito de diferenças finitas, com o auxílio do Método das Características. As equações características foram estendidas ao estudo de redes e algumas condições de contorno freqüentes em EVANDO IBEIO BATO 2 ELI FEEIA 3 rede de canais foram referidas. O modelo foi testado por um exemplo disponível na literatura. Concluiu-se que o modelo é capaz de simular com precisão os escoamentos não permanente e permanente em rede de canais, constituindo-se em um instrumento útil aos profissionais das áreas de irrigação e de drenagem, na análise deste tipo de problema. TEMO AA INDEXAÇÃO: Modelo matemático, escoamento transiente, rede de canais, irrigação. MATHEMATICAL MODEL FO ANALYI OF TANIENT FLOW IN OEN-CHANNEL NETWOK ABTACT - A mathematical model was presented for the simulation of transient flow in open-channel network. aint Venant's equations were integrated numerically by an explicit finite differences scheme, with the aid of the Method of the Characteristics. The characteristic equations were extended to the study of nets and some frequent boundary conditions in openchannel network were mentioned. The model was tested by an available example in the literature. It was concluded that the model is capable to simulate the unsteady and steady flows accurately in open-channel network, being an useful instrument to the professionals of the irrigation and drainage areas, in the analysis of this problem type. INDEX TEM: Mathematical model, transient flow, open-channel network, irrigation. INTODUÇÃO A eficácia dos processos de condução e de distribuição de água vem se constituindo num fator essencial ao estabelecimento de projetos de irrigação técnica e economicamente viáveis, sobretudo quando esses processos são realizados sob a forma de escoamento com superfície livre, isto é, através de canais. Entretanto, os fenômenos físicos que ocorrem no transporte de água através de uma rede de canais são complexos e requerem um estudo científico apurado. Em hidráulica de canais, pode-se distinguir dois tipos básicos de regime de escoamento: permanente e transiente (não permanente). Os problemas de escoamento com superfície livre, na maioria dos casos, constituem-se na análise de escoamentos transientes, nos quais as variáveis de estado do escoamento, velocidade, vazão e profundidade, variam com o tempo. O regime permanente é caracterizado como uma fase do escoamento em que suas variáveis de estado permanecem constantes com o tempo, sendo, portanto, um caso particular do regime transiente. egundo a ACE (1993), os modelos para a predição de fluxo não permanente em rede de canais estão no início de seu desenvolvimento. Isso se deve, em grande parte, à complexidade do problema. Os prérequisitos de um bom modelo para a simulação de escoamentos transientes em rede de canais são: a aplicabilidade às diversas condições de operação, a precisão dos resultados e uma forma mais amigável de uso. Nesse sentido, o presente trabalho teve como objetivo apresentar um modelo matemático para a simulação de escoamentos transientes em rede de canais, constituindo-se em um instrumento útil aos profissionais das áreas de irrigação e de drenagem, na análise deste tipo de problema. AEENTAÇÃO DO MODELO De acordo com Chaudhry (1987) e Wylie e treeter (1983), pode-se afirmar que os escoamentos com superfície livre são regidos pelas equações básicas da hidráulica, quais sejam a equação da Continuidade (1) e a equação da Quantidade de Movimento (2), que, em conjunto, são chamadas de equações de aint Venant. 1. arte da Dissertação apresentada à UNIVEIDADE FEDEAL DE LAVA (UFLA), pelo primeiro autor, para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Agrícola, na área de Irrigação e Drenagem. 2. Engenheiro Agrícola formado pela UFLA. 3. Orientador - rofessor do Departamento de Engenharia/UFLA.

2 668 As variáveis características destes escoamentos, velocidade média V e profundidade do escoamento h, são determinadas através da integração das equações de aint Venant em relação ao tempo t e à posição ao longo do comprimento dos canais x, com o auxílio das equações que representam as diferentes condições de contorno em suas extremidades. Nas equações (1) e (2), A representa a área de fluxo; q, a contribuição lateral de vazão por unidade de comprimento de canal; J, a declividade do fundo do canal; J E, a declividade da linha de energia e g, a aceleração da gravidade. A t V t A + V + A V q = (1) x x V V h V q + + g + g( Jo J E ) = (2) x x A As equações de aint Venant constituem um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas que não pode ser resolvido de forma exata por meios analíticos. Faz-se necessária a adoção de um esquema numérico que possa resolver essas equações com níveis aceitáveis de precisão e de compatibilidade com o fenômeno físico. Utilizou-se o Método das Características para transformar o sistema composto por duas equações diferenciais parciais hiperbólicas (equações de aint Venant) em outro sistema, agora constituído por quatro equações diferenciais ordinárias, válidas aos pares, (3) e (4), e (5) e (6). O termo c nestas equações representa a celeridade de uma onda gravitacional (Bakhmeteff, 1932). d V d t d x d t d V d t d x d t g d h q + + g( J J ) ( ) c d t A V c E o + = (3) = V + c (4) g d h q + g( J J ) ( ) c d t A V c E o + + = (5) = V c (6) A Figura 1 apresenta as chamadas curvas características correspondentes às equações (4) e (6). A curva à esquerda do ponto é denominada característica positiva e é representada pelo símbolo C +, correspondendo à equação (4). A equação (3) é válida ao longo da curva característica positiva. Já a curva à direita do ponto é denominada característica negativa e é representada pelo símbolo C, correspondendo à equação (6). A equação (5) é válida ao longo da curva característica negativa. Tempo FIGUA 1 - Curvas características.

3 669 ara efeito de cálculo, os canais de uma rede são divididos em N trechos de comprimento x, aos quais correspondem um número N = N + 1 de posições (ou de seções) computacionais i. Nos esquemas explícitos de diferenças finitas, Figuras 1 e 2, as dimensões t e x são relacionadas pela condição de Courant (Chaudhry, 1987). As equações diferenciais ordinárias (3) e (4), e (5) e (6) foram integradas numericamente por um esquema explícito de diferenças finitas, obtendo-se, respectivamente, as equações (7) e (8), e (9) e (1), que relacionam as variáveis dependentes, V e h, no ponto em ambas as curvas características (Figura 2). V ( ) ( E o ) ( ) g q t V c V + h h + g J J t + c A ( ) = (7) x x = V + c t (8) V ( p ) ( E o ) ( + ) g q t V c V h h + g J J t + c A ( ) = (9) x x = V c t (1) Nas equações acima, os subscritos e indicam valores das variáveis de estado que são obtidos através de interpolação linear, a partir dos valores conhecidos em A, C e B. O subscrito indica valores das variáveis de estado a serem calculados no instante atual. etomando-se a equação (7), válida ao longo da curva característica positiva, explicitando-se V, fazendo-se g Z = (11) c e q ( V c ) W = V + Z h t g ( J E Jo) +, (12) A pode-se reescrever a equação (7) como: V = W Z h (13) De maneira análoga, retomando-se a equação (9), válida ao longo da curva característica negativa, explicitando-se V, fazendo-se Tempo FIGUA 2 - Curvas características após a aplicação de diferenças finitas.

4 67 g Z = (14) c e q ( V + c ) W = V Z h t g ( J E Jo) +, (15) A pode-se reescrever a equação (9) como: V = W + Z h (16) ubstituindo-se a equação (16) na equação (13), obtém-se a equação da profundidade de escoamento h : h W = Z W + Z (17) As equações (17) e (13) ou (16) permitem o cálculo, para um dado instante, dos valores das variáveis h e V em todas as seções internas ( 2 a N ) de um canal. Nas seções extremas dos canais, 1 e N, que constituem os nós da rede, as variáveis de estado, V e h, são calculadas pela resolução de um sistema que envolve as equações características nas referidas seções de cada canal ligado ao nó e uma equação do tipo Q = f ( h ) (fluxo através de uma estrutura hidráulica E em função da profundidade de escoamento no nó no instante atual), que expressa matematicamente a condição de contorno ali presente. As condições de contorno representam estruturas hidráulicas, tais como reservatórios, comportas, transições e curvas-chave de jusante. Quando o nó é formado apenas por uma confluência de canais, Q E =, ficando o sistema restrito às equações características dos canais. A apresentação integral do modelo matemático e os fluxogramas de cálculo encontram-se no texto da dissertação da qual este artigo foi extraído, isto é, em Bastos (1997). DEEMENHO DO MODELO Nesta seção, será simulado o escoamento transiente da ede C do trabalho apresentado por Joliffe (1984), com a finalidade de testar o funcionamento do modelo pela comparação de seus resultados com aqueles obtidos pelo referido autor. Trata-se da simulação de um escoamento transiente em uma rede de canais, causado por uma variação de vazão representada por um hidrograma na entrada da rede. A topologia desta rede, que está apresentada na Figura 3, é composta por 1 elementos, sendo 9 canais e 1 reservatório de jusante de nível constante com profundidade de,2 m. Todos os canais que compõem esta rede, E1, E2, E3, E4, E6, E7, E8, E9 e E1, têm comprimento de 1 m e coeficiente de rugosidade de trickler de 5 m 1/3 /s; são trapezoidais, com largura da base de 5 m, inclinação dos taludes de 1:1 (horizontal:vertical) e foram discretizados cada um em 1 trechos computacionais. Os canais E6, E8 e E1 têm declividade do fundo nula e os demais canais têm declividade do fundo igual a,1 m/m. Os dados que caracterizam o regime permanente inicial, que será utilizado para o início da simulação do escoamento transiente, estão apresentados na Tabela 1. FIGUA 3 - epresentação topológica da rede de canais.

5 671 A partir dos valores do regime permanente inicial, simulou-se uma condição de escoamento transiente, através da variação da entrada de água na rede pelo nó número 1. Essa entrada de água que, inicialmente, era de,17 m 3 /s, aumentou linearmente para 4,83 m 3 /s em 6 min e, a seguir, caiu novamente, de forma linear, para,17 m 3 /s, também em 6 min, conforme hidrograma apresentado na Figura 4. O tempo total de simulação foi de 5 h. TABELA 1 - Dados do regime permanente inicial para a simulação do escoamento transiente. Elemento eção Vazão rofund. Elemento eção Vazão rofund. (n o ) (n o ) (m 3 /s) (m) (n o ) (n o ) (m 3 /s) (m) 1 1,17, ,572,191 11,178, ,591, ,1116, ,18, ,1115, ,18, ,935, ,771, ,932,2 11,766, ,17,2 1 1,766, ,17,2 11,768,2 6 1,592, ,572, Vazão (m3/s) FIGUA 4 - Hidrograma de entrada da rede de canais.

6 672 Como resultado da simulação, foram gerados valores de vazão e de profundidade de escoamento em função do tempo para todos os canais da rede. Com esses dados, foram construídos dois grupos de gráficos. O primeiro (Figura 5) apresenta a variação da vazão com o tempo no início (nó 1) e no final da rede (nó 5), durante o tempo de simulação. O segundo (Figura 6) apresenta a variação da profundidade com o tempo nos nós 2, 3 e 4 da rede, durante o tempo de simulação. A Figura 7 é uma reedição dos gráficos dos resultados obtidos por Joliffe (1984) para as profundidades de escoamento nos nós 2, 3 e 4 e para o hidrograma de entrada na ede C, durante o tempo de simulação. Comparando-se os gráficos das Figuras 5 e 6 (resultados do modelo) com os gráficos da Figura 7 (resultados de Joliffe, 1984), conclui-se, por congruência gráfica, que, no exemplo simulado, os resultados gerados pelo presente modelo convergiram para os mesmos resultados obtidos por Joliffe (1984). CONCLUÕE O modelo matemático apresentado produziu resultados compatíveis com os resultados obtidos por Joliffe (1984). O modelo conta com o tratamento de condições de contorno freqüentemente encontradas em redes de canais, tais como: reservatórios, comportas, transições, curvas-chave de jusante e demandas localizadas. Além disso, existe a possibilidade de simulação do escoamento em redes com canais que possuem contribuição lateral de vazão (representada pela variável q na equação 1). Isso é comum nas redes de canais de irrigação e de drenagem. Dessa forma, o modelo matemático desenvolvido constitui-se em um instrumento útil aos profissionais das áreas de irrigação e de drenagem na análise de escoamentos em rede de canais Vazão entrando na rede Vazão saindo da rede FIGUA 5 - Hidrogramas nos nós 1 (entrada) e 5 (saída) da rede de canais.

7 Nó 2.9 Nó 3 Nó FIGUA 6 - Batigramas nos nós 2, 3 e 4 da rede de canais. 3 rofundidade (m) Vazão (m /s) 5, 2,5 1,2,9,6, nó 2 nó 3 nó FIGUA 7 - Gráficos dos resultados obtidos por Joliffe (1984) para a ede C.

8 674 EFEÊNCIA BIBLIOGÁFICA AMEICAN OCIETY OF CIVIL ENGINEE. Unsteady flow modeling of irrigation canals. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, New York, v.119, n.4, p , July/Aug BAKHMETEFF, B.A. Hydraulics of open-channels. New York: McGraw-Hill, p. BATO, E.. Modelo matemático para análise de fluxo transiente em rede de canais. Lavras: UFLA, p. (Dissertação - Mestrado em Irrigação e Drenagem). CHAUDHY, M.H. Applied hydraulic transients. 2.ed., New York: Van Nostrand, p. JOLIFFE, J.B. Computation of dynamic waves in channel networks. Journal of Hydraulic Engineering, New York, v.11, n.1, p , Oct WYLIE, E.B.; TEETE, V.L. Fluid transient. New York: Corrected, p.