12º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECÂNICA Guayaquil, 10 a 13 de Novembro de 2015

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1 2º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECÂNICA Guayaquil, a 3 de Novembro de 25 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA QUADRATURA DIFERENCIAL LOCAL COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL NO PROBLEMA DE INFILTRAÇÃO TRANSIENTE BIDIMENSIONAL Vilela, M. S. C.*, Oliveira, W. +, Manzanares Filho, N. + *PUC Minas Poços de Caldas, Av. Pe. Francis Cletus Cox, 66, CEP , Poços de Caldas, MG, Brasil, + Universidade Federal de Itajubá UNIFEI, Av. BPS 33, CEP , Itajubá, MG, Brasil. * marcia@pucpcaldas.br RESUMO O estudo da infiltração é de importância fundamental para o projeto de estruturas hidráulicas. Diversos métodos numéricos, dentre eles o método de elementos finitos, têm sido aplicados para a análise da infiltração. No entanto, a geração de malhas em problemas multidimensionais e de geometrias complexas é um desafio. Métodos numéricos que não dependem da geração de malhas ( meshless) foram desenvolvidos nas últimas décadas, possibilitando a construção de relações funcionais a partir apenas das informações de dados dispersos. Uma das abordagens possíveis para tais métodos é a utilização de funções de base radial (FBR), que podem ser aplicadas global ou localmente. Dentre as possibilidades de abordagem local, destaca-se o Método da Quadratura Diferencial Local utilizando FBR (MQDL-FBR). Neste trabalho, é aplicado o MQDL-FBR para a solução de um problema bidimensional de infiltração transiente. Inicialmente são avaliadas as influências do parâmetro de forma da FBR e do número de pontos do suporte local. Os resultados obtidos são confrontados com os resultados da solução analítica e de procedimentos numéricos disponíveis na literatura. Na análise transiente do fenômeno, são avaliados esquemas da família alfa para aproximação da derivada temporal. Para a realização dos testes numéricos foi desenvolvido um programa utilizando o software MATLAB TM. PALAVRAS-CHAVE: Método Sem Malha, Quadratura Diferencial, FBR Multiquádrica, Infiltração.

2 INTRODUÇÃO O estudo da infiltração através da fundação de uma barragem é fundamental para o projeto dessa estrutura hidráulica. Diversos métodos numéricos tradicionais, dentre eles o método dos elementos finitos, têm sido aplicados para o estudo da infiltração []. No entanto, a geração de malhas para geometrias complexas não é trivial. Nas últimas décadas, os estudos e as aplicações de métodos numéricos que não necessitam da geração de malhas (meshless) foram intensificados. Tais métodos possibilitam modelos e análises mais simples e permitem a construção de relações funcionais a partir apenas das informações de dados dispersos, entre os quais não existem relações de interconectividade. Uma das abordagens possíveis para tais métodos é a utilização de funções de base radial FBR. A aplicação das FBR para a solução de equações diferenciais parciais foi apresentada por Kansa [2,3] e, em 997, Fasshauer [4] propôs um método alternativo baseado na interpolação de Hermite. Os métodos apresentados por Kansa e Fasshauer aplicam as FBR de forma global, ou seja, os suportes dos nós compreendem todo o domínio. Para problemas que necessitam da colocação de grande número de nós, o mal condicionamento dos sistemas é praticamente inevitável. Em 23, Shu et al. [5] apresentaram o Método da Quadratura Diferencial Local com Funções de Base Radial (MQDL-FBR) que utiliza as FBR como funções interpoladoras no processo de quadratura diferencial local. O trabalho aqui apresentado utiliza o MQDL-FBR na solução de um problema bidimensional de infiltração transiente. As primeiras simulações foram realizadas para o fenômeno permanente, considerando diferentes valores do parâmetro de forma da FBR multiquádrica e duas estruturas de suporte (stencil) diferentes, avaliando a influência desses valores na precisão dos resultados numéricos. Posteriormente, simulações foram realizadas para a solução transiente, avaliando a influência dos métodos Crank-Nicolson, Galerkin e diferenças finitas para a aproximação da derivada temporal. QUADRATURA DIFERENCIAL LOCAL COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL (MQDL-FBR) O Método da Quadratura Diferencial (MQD), inicialmente proposto por Bellman et al. [6], consiste na aproximação das derivadas parciais de uma função desconhecida através de somas ponderadas de valores da função nos pontos discretos do domínio. Quando aplicado localmente, passa a ser conhecido como Método da Quadratura Diferencial Local (MQDL) e, para cada ponto do domínio (nó de referência), define-se uma região de suporte (stencil), conforme ilustrado na Fig.. Seja f (x) Fig. : Suporte local (stencil) em torno de um nó de referência. uma função suficientemente suave. Então, a derivada de m-ésima ordem com relação a x, no ponto x i, pode ser aproximada utilizando o MQDL, conforme a Eq. (). m f ( xi ) m x Ns j w ( m) ij f ( x ), i,2,..., N j () onde x j são os pontos do suporte, f ( x j ) e (m) wij são, respectivamente, os valores da função nestes pontos e os coeficientes de ponderação relacionados. O índice i relaciona o ponto numa discretização global de N nós e o índice j numa discretização local (suporte). Para a determinação dos coeficientes de ponderação é necessário um conjunto de funções de base. No MQDL-FBR, uma função de base radial é utilizada para a determinação desses coeficientes e, neste trabalho, é utilizada a FBR multiquádrica, conforme apresentada na Eq. (2), na qual ( x xk ) é a norma Euclidiana e c é o parâmetro de forma da FBR (c > ).

3 2 k ( x) ( x xk ) c, k,2,...n S (2) Dentre as FBR apresentadas na literatura, a multiquádrica tem sido a mais utilizada por apresentar resultados mais precisos [7]. Substituindo a FBR na Eq. (), obtém-se um sistema de equações lineares, conforme a Eq. (3). m k ( xi ) m x NS j w ( m) ij ( x ), k j k,2,...n S (3) (m) A solução deste sistema fornece os coeficientes de ponderação wij que são utilizados para a aproximação das derivadas da função desconhecida. A matriz dos coeficientes, obtida da FBR, é simétrica e, caso ela seja singular, o sistema não tem solução. Para a FBR multiquádrica, Hon e Shaback [8] mostraram que os casos de singularidade podem ser desconsiderados, uma vez que são raros. O PROBLEMA DA INFILTRAÇÃO BIDIMENSIONAL TRANSIENTE Esse trabalho avalia o fenômeno da infiltração bidimensional transiente sob uma barragem de concreto, conforme ilustrado na Fig. 2. Formulação Matemática Fig. 2: Domínio computacional utilizado no trabalho. A equação governante do escoamento bidimensional em aquíferos, num solo isotrópico e homogêneo [9], pode ser escrita de conforme a Eq. (4). 2h 2h S s F x 2 y 2 K h t (4) Para o regime permanente, com o termo fonte nulo, a Eq. (4) é reescrita de acordo com a Eq. (5). 2 2 h h 2 2 x y (5) Harr [] apresenta soluções analíticas e exatas do problema de infiltração, utilizando mapeamento conforme, para geometrias simples. Aplicação do MQDL-FBR Primeiramente, aplica-se o MQDL-FBR para o regime permanente, com o termo fonte nulo. Discretizando a Eq. (5) pelo MQDL-FBR, para um nó do domínio i, obtém-se a Eq. (6). NS 2x 2 y wij wij ) h j j ( (6)

4 Os resultados obtidos a partir da Eq. (6), para o regime permanente, são assumidos como condições iniciais para a solução do fenômeno transiente. Para o regime transiente, com a discretização das derivadas espaciais pelo MQDL-FBR, a Eq.(4) é então reescrita de acordo com a Eq. (7). NS x 2 y S s h ( w2 ij wij ) h j F (7) K t j Na forma matricial, a Eq. (7) pode ser escrita como S s h onde [ M ] [ I], { h } e { F} é o vetor do termo fonte. K t i [ W ]{ h} [ M ]{ h } { F} (8) Para a discretização no tempo, um dos métodos mais utilizados e de baixo custo computacional é o método alfa de aproximação temporal [], que, para o problema considerado, pode ser expresso conforme a Eq. (9) Utilizando a Eq. (8) para obter { h } n { h} { h}(){ } t { h } t h (9) n n n n e { h } n, e substituindo na Eq. (9), obtém-se a Eq. (). onde e [ P]{ h} n { R} () [ P] [ M ] [ W ] () { R} [[ M ] 2[ W ]]{ h} n 2{ F} n { F} n (2) onde t e 2 () t. A matriz [W] não varia com o tempo, uma vez que os coeficientes de ponderação dependem apenas da distribuição de pontos no domínio, da estrutura do suporte (stencil) e do parâmetro de forma da FBR. A matriz [M] também é invariante com o tempo, uma vez admitidas constantes as propriedades do solo. A Eq. (2) é genérica, na qual se pode variar o valor do parâmetro. Nesse trabalho, são aplicados os esquemas de aproximação temporal Crank-Nicolson ( = /2), Galerkin ( = 2/3) e Euler ou diferença atrasada ( = ). Condições de Contorno Nesse trabalho, admite-se a condição de Dirichlet (carga hidráulica conhecida) barragem, sendo implementada de forma direta. Assim a montante e a jusante da onde = [(x i,y i): x i,5 2,5 x i 3,6, y i =,2]. n hi f ( xi, yi, tn ) ( x i, y i ) (3) Sob a barragem e nos limites laterais e inferior do domínio computacional admite-se a condição de contorno de Neumann, no caso, fluxo conhecido igual à zero. Assim V n ( x i, yi ) 2 (4) onde 2 \, V é o vetor velocidade e n é o vetor unitário normal. Assim, a Eq. (4) torna-se:

5 h h nx n y (5) x y As derivadas da Eq. (5 ) podem ser discretizadas utilizando o MQDL-FBR. No entanto, a forma resultante aproximada pode envolver mais de um ponto de referência, o que dificulta a obtenção de uma expressão explícita para a atualização da carga hidráulica na parede. Uma solução para a discretização dessas derivadas é a utilização do esquema das diferenças finitas convencional, unilateral de segunda ordem [5]. Neste trabalho, a segunda possibilidade é utilizada para a implementação da condição de contorno de Neumann. Parâmetro de forma da FBR multiquádrica Um dos fatores que podem interferir no valor ótimo do parâmetro de forma é o número de nós de suporte. A relação entre o número de nós do suporte e o parâmetro de forma da FBR e suas influências na precisão de resultados foram avaliadas por Shu et al. [5]. Foi verificado que, quando o número de nós de suporte é fixado, o aumento do valor do parâmetro de forma tende a gerar resultados mais precisos. Por outro lado, quando o parâmetro de forma é fixado, o aumento do número de nós de suporte contribui com a precisão. Estudos relatam que o erro numérico se aproxima de zero para grandes valores do parâmetro de forma da FBR multiquádrica []. O problema é que, um grande aumento do parâmetro de forma pode ocasionar mal condicionamento da matriz dos coeficientes. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS No domínio computacional ilustrado na Fig. 2, foram distribuídos uniformemente 48 pontos e, para as simulações em regime permanente, considerou-se a montante da barragem o nível constante igual a,5 metros e a jusante o nível de metro. Foram utilizados dois raios diferentes para definir os stencils, a saber, r =, m e r =,2 m, correspondendo respectivamente a 5 nós de suporte e a 3 nós de suporte. Para nós de suporte fora do domínio computacional, os valores da carga hidráulica ou do fluxo, para os mesmos, foram assumidos iguais aos valores nos pontos dos contornos. A partir dos valores obtidos para a carga hidráulica na fundação da barragem, foram calculados os erros médios quadráticos (EMQ), considerando a solução analítica apresentada por Harr []. A Fig. 3 ilustra a variação do EMQ com o parâmetro de forma, para os stencils considerados. Fig. 3: Variação do EMQ com o parâmetro de forma da FBR e com o stencil. Observa-se uma maior precisão dos resultados com o aumento do número de nós de suporte. Com relação ao valor do parâmetro de forma, os melhores resultados nos stencils de 3 nós e de 5 nós são apresentados para,7 e,9, respectivamente. Para valores acima desses, não há variação significativa do EMQ. As linhas de contorno da carga hidráulica obtidas para o regime permanente, com a utilização do stencil de treze nós de suporte e parâmetro de forma da FBR igual a,7 estão ilustradas na Fig. 4. Regime transiente Para as simulações em regime transiente foram assumidos como condições iniciais os melhores resultados obtidos para a formulação em regime permanente, ou seja, os resultados para o stencil de 3 nós com o valor do parâmetro de forma igual a,7. As primeiras simulações foram realizadas considerando o nível de água a montante submetido a uma variação linear com o tempo e os valores de S s = 5 m e de K =,7 4 m/s, em conformidade com [].

6 Não foram observadas diferenças significativas nos resultados obtidos para as cargas hidráulicas, quando comparados os três esquemas de discretização temporal. Tais resultados são corroborados por Hashemi e Hatam [], que justificam tal comportamento por dois aspectos: os esquemas utilizados para a discretização temporal são incondicionalmente estáveis e a variação do nível a montante é linear e gradual. A Fig. 5 ilustra as linhas de contorno da carga hidráulica obtidas para o tempo de 3 minutos, utilizando o esquema Crank-Nicolson y(m) Fig. 4: Linhas de contorno da carga hidráulica em regime permanente. y(m) Fig.5: Linhas de contorno da carga hidráulica para o tempo de 3 minutos. Utilizando o mesmo domínio computacional, bem como as características do solo adotadas nos primeiros testes, foram realizadas simulações submetendo o nível de água a montante a uma variação exponencial, conforme ilustrado na Fig. 6. As Figuras 7, 8 e 9 apresentam os resultados obtidos para a carga hidráulica no fundo da barragem (y = ), considerando os esquemas Crank-Nicolson, Galerkin e Euler (ou diferença atrasada), respectivamente. Mesmo com uma variação exponencial do nível de água a montante, não foram observadas variações significativas nos resultados obtidos para a carga hidráulica, considerando os três esquemas. Fig. 6: Variação do nível a montante.

7 9 8 7 t = min t = 6 min t = 2 min t = 8 min t = 24 min t = 3 min h(m) Fig. 7: Carga hidráulica em y = (esquema Crank-Nicolson para discretização temporal) t = min t = 6 min t = 2 min t = 8 min t = 24 min t = 3 min h(m) Fig. 8: Carga hidráulica em y = (esquema Galerkin para discretização temporal) t = min t = 6 min t = 2 min t = 8 min t = 24 min t = 3 min h(m) Fig. 9: Carga hidráulica em y = (esquema de Euler para discretização temporal). A Fig. apresenta as linhas de contorno para a carga hidráulica obtidas para o tempo de 3 minutos, utilizando o esquema Crank-Nicolson, quando o nível de água a montante foi submetido a uma variação exponencial.

8 3.766 y(m) Fig. : Linhas de contorno da carga hidráulica para o tempo de 3 minutos CONCLUSÕES O método da quadratura diferencial local utilizando função de base radial (MQDL -FBR) é utilizado nesse trabalho para a solução de um problema de infiltração bidimensional permanente. O método caracteriza-se naturalmente como meshless, uma vez que, dos pontos do domínio, a única informação necessária é a localização dos mesmos. Foram avaliadas inicialmente, em regime permanente, a influência do parâmetro de forma da FBR multiquádrica e a dimensão do suporte local (stencil) na precisão dos resultados. Foram realizadas simulações com stencils de duas dimensões diferentes e a maior precisão foi obtida para o stencil de maior dimensão (3 nós de suporte) com o valor do parâmetro de forma igual a,7. Foi observado que o aumento do parâmetro de forma até esse valor contribuiu para maior precisão dos resultados, mas, após esse valor, não ocorreram diferenças significativas nos resultados. Testes com valores do parâmetro de forma em torno de, provocaram mal condicionamento da matriz dos coeficientes. No regime transiente, foi utilizado o método alfa para a discretização temporal e procurou-se avaliar a influência dos esquemas Crank-Nicolson, Galerkin e Euler, que são incondicionalmente estáveis. O nível de água a montante da barragem foi submetido a uma variação linear e a uma variação exponencial. Nos dois exemplos, não houve diferença significativa nos resultados obtidos. UNIDADES E NOMENCLATURA EMQ erro médio quadrático (m) F termo fonte (m ) {F} n vetor do termo fonte no instante n (N ) {F} n+ vetor do termo fonte no instante n + (N ) h carga hidráulica (m) {h} n vetor das cargas hidráulicas no instante n (N ) {h} n+ vetor das cargas hidráulicas no instante n + (N ) { h } n vetor das derivadas no tempo das cargas hidráulicas no instante n (N x ) { h } n vetor das derivadas no tempo das cargas hidráulicas no instante n (N x ) [I] matriz identidade (N N) i índice dos nós de referência j índice dos nós de suporte k índice dos nós vizinhos K condutividade hidráulica (m/s) [M] matriz das características do solo (N N) n índice para variação no tempo N número de nós de referência

9 N S número de nós de suporte r raio do suporte (m) S S armazenamento específico (m ) t tempo (s) [W] matriz dos coeficientes de ponderação (N N) parâmetro para a discretização no tempo t intervalo de tempo (s) REFERÊNCIAS. M.R. Hashemi e F. Hatam, Unsteady Seepage Analysis Using Local Radial Basis Function-Based Differential Quadrature Method, Applied Mathematical Modelling, vol. 35, pp ,2. 2. E. J. Kansa, Multiquadrics A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid Dynamics I: Surface Approximations and Partial Derivative Estimates, Computers and Mathematics with Applications, vol.9, pp , E. J. Kansa, Multiquadrics - A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid Dynamics II: Solutions to Parabolic, Hyperbolic and Elliptic Partial Differential Equations, Computers and Mathematics with Applications, vol. 9, pp. 47-6, G. E. Fasshauer, Solving Partial Differential Equations by Collocation with Radial Basis Functions, in: A. Le Méhauté, C. Rabut and L. L. Schumaker (eds.), pp. -8, Vanderbilt University Press, Nashville, C. Shu, H. Ding, K. S. Yeo, Local Radial Basis Function-Based Differential Quadrature Method and Its Application to Solve Two-dimensional Incompressible Navier-Stokes equations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 92, , R. Bellman, B. G. Kashef, J. Casti, Differential Quadrature: A Technique for the Rapid Solution of Nonlinear Partial Differential Equations, Journal of Computational Physics, vol., pp.4-52, P. V. Tota, Z. J. Wang, Meshfree Euler Solver Using Local Radial Basis Functions for Inviscid Compressible Flows, 8th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, Miami, Fl, Y. Hon, R. Shaback, On Unsymmetric Collocation by Radial Basis Functions, Applied Mathematics and Computation, vol. 9, pp , J. A. N. Batista, Modelagem de Escoamento em Aquíferos Longos Baseada no Método de Elementos Analíticos. Tese de Doutorado, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo (USP), São Carlos, 26.. M. E. Harr, Groundwater and Seepage, capítulo 4, McGraw-Hill Inc., New York, 962. AGRADECIMENTOS Os autores deste trabalho agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais FAPEMIG e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq, pelo apoio financeiro recebido.