O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A PROBLEMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE

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1 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A PROBLEMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE Gustavo Cunha da Silva Neto Luiz Henrique Carneiro Valda gustavo_csn@hotmail.com lhcv.eng@uea.edu.br Universidade do Estado do Amazonas UEA, Escola Superior de Tecnologia, Departamento de Engenharia Mecatrônica, Av. Darcy Vargas, 1200, Manaus, AM, Brasil. Arlindo Pires Lopes (Orientador) arlindo@unb.br Universidade de Brasília UnB, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Campus Universitário Darcy Ribeiro, Brasília, DF, Brasil. Resumo. Aplica-se neste trabalho o Método das Diferenças Finitas (MDF) em problemas de transferência de calor em regime transiente. O MDF é também utilizado para resolver a equação de difusão de calor, uma equação diferencial parcial de segunda ordem. O método trabalha com soluções aproximadas, já que nem sempre é possível encontrar a solução exata da equação diferencial. O MDF se utiliza de aproximações por diferenças obtidas por séries de Taylor ou utilizando o método do balanço de energia. Utiliza-se o método explicito, e conseqüentemente verificam-se as condições de estabilidade e convergência através do método de Von Neumann e o Teorema da Equivalência de Lax. São resolvidos exemplos numéricos e apresentam-se resultados para ilustrar a aplicabilidade e precisão do método.. Palavras-chave: Diferenças Finitas, Transferência de Calor, Métodos numéricos, Equações diferenciais.

2 1 INTRODUÇÃO Em meados do século XVII surgiu o cálculo diferencial e começou-se o estudo das equações diferenciais. No século XVIII, os pesquisadores de equações diferenciais começaram a aplicar estas em astronomia e ciências físicas. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. Este e muitos outros matemáticos tinham então acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitos tipos de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Leonhard Euler ( ) teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Ele também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para muitas equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Segundo Narasimhan (1999), o século XVIII assistiu também muito ativa evolução da teoria de equações diferenciais ordinárias e parciais, através das contribuições de, além de Euler, Daniel Bernoulli ( ), Jean le Rond d'alembert ( ), John-Louis Lagrange ( ), e outros. Após trabalhos desses grandes matemáticos, Fourier ( ) fez grandes contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em Analytic Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor, 1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. Segundo Özisik (1974) citado por Andrade (1996), no início da década de sessenta, durante o período da corrida espacial, visando minimizar o esforço empregado na elaboração de cálculos, a Rússia e outros países do Leste Europeu proporcionaram um grande avanço no desenvolvimento e aplicação de métodos analíticos (séries e transformadas). Concomitantemente, Estados Unidos e Europa concentravam-se no desenvolvimento de métodos denominados puramente numéricos (diferenças finitas e elementos finitos). Posteriormente, os cálculos desenvolvidos no ocidente requisitavam um crescente esforço computacional, enquanto que as metodologias do Leste Europeu concentravam bastante esforço em extensas manipulações analíticas. Isto permaneceu até meados da década de setenta. Com o desenvolvimento do computador, a tendência foi a utilização maior dos métodos numéricos, pois os métodos analíticos geralmente são utilizados para sistemas de geometria simples, com condições bem comportadas. Porém, grande número dos problemas de importância prática são muito complexos para serem analisados por técnicas clássicas. Para esses problemas, a solução analítica freqüentemente torna-se impossível, e então o problema requer grandes e excessivas simplificações. A pronta disponibilidade de computadores de alta velocidade e poderosos pacotes de softwares tem tido um impacto importante sobre a prática de engenharia e educação nos últimos anos. Desde então muitos trabalhos foram publicados utilizando métodos numéricos, inclusive o método de diferenças finitas.

3 Segundo Silva Neto (2007), os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata das incógnitas da estrutura em todos os seus pontos. Estas soluções, no entanto, são somente conhecidas para alguns casos, que fogem das aplicações práticas encontradas no dia-a-dia. Faz-se necessário utilizar procedimentos aproximados, que podem ser aplicados em caráter geral, independentemente da forma da estrutura e das condições de contorno, desde que dentro da precisão aceitável do problema de engenharia. Este caminho alternativo aos procedimentos analíticos clássicos constitui a idéia central do Método das Diferenças Finitas (MDF). Sua eficiência e desenvolvimento devem-se a dois fatores: aplicações de métodos matriciais na mecânica e mecatrônica e o uso de computadores. 2 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF) A equação da difusão de calor é uma equação diferencial parcial (EDP) uma equação que contém derivadas parciais que pode ser escrita como segue: + + = (1) onde k é condutividade térmica, é a taxa de geração interna de calor, T é a temperatura, t é o tempo, x e y são as coordenadas cartesianas usuais e é a difusividade térmica. Çengel (2002) diz que, hoje, engenheiros têm acesso a um tremendo potencial computacional sob seus dedos. No entanto, eles precisam entender principalmente a natureza física do problema e interpretar os resultados. Os engenheiros também precisam compreender a forma como os cálculos são realizados pelos computadores para desenvolver uma consciência dos processos envolvidos e suas limitações, evitando eventuais armadilhas.. Segundo Hoffman (2001), o método de diferenças finitas é um procedimento numérico que resolve equações diferenciais parciais, por discretização do domínio físico contínuo em uma malha discreta finita, aproximando cada derivada parcial na EDP por aproximações de diferenças algébricas finitas. Ao substituir essas aproximações na EDP, será obtida uma equação algébrica de diferenças finitas para a variável dependente. 2.1 Malha de diferenças finitas O domínio D(x,y) no plano cartesiano para um problema bidimensional é ilustrado na Fig.1. O domínio de solução deve ser coberto por uma rede bidimensional de linhas, chamada de malha ou rede nodal de diferenças finitas. As intersecções das linhas da malha são os nós em que a solução por diferenças finitas para a equação diferencial parcial deve ser obtida. Figura 1 - Domínio D(x,y) R Malha de diferenças finitas

4 Aqui será assumido que o espaçamento entre as linhas verticais e horizontais tem o mesmo valor, ou seja, x = y. Os índices m e n são utilizados para identificar linhas correspondentes dos valores de x e y da rede nodal, ou seja: = e =. 2.2 Aproximações por diferenças finitas Tendo definido o conceito de pontos nodais e rede nodal (malha), se faz necessário o desenvolvimento das aproximações por diferenças finitas para a equação diferencial parcial. Para iniciar as aproximações para Eq.1, é preciso calcular as derivadas parciais. Para tal, será utilizada a expansão por séries de Taylor: ±,,=, ±,=,,+ = ±! ±!!,,,,,, (2) Sendo as duas primeiras truncadas no termo de segunda ordem e a terceira no de primeira ordem, pois na EDP a derivada em relação ao tempo t é de ordem 1. Com isso, obtém-se:, =, +, +, +, +, +1 4, (3) Sendo =, = e = chamado número de Fourier. Segundo Incropera e Dewitt (2003), a Eq.3 é classificada como explícita porque as temperaturas nodais desconhecidas para o tempo futuro são determinadas exclusivamente pelas temperaturas nodais conhecidas no tempo anterior. Se a equação depender do tempo presente, será equação implícita (neste trabalho, serão utilizadas as equações explícitas). Segundo Hoffman (2001), métodos explícitos são computacionalmente mais rápidos que os métodos implícitos, porque não há um sistema de equações de diferenças finitas para resolver. A Eq.3 vale para qualquer ponto dentro do domínio D(x,y), comumente chamado de ponto (ou nó) interior. 2.3 Método do Balanço de Energia Incropera e Dewitt (2003) afirmam que a Equação de Diferenças Finitas (EDF) também pode ser obtida aplicando-se a conservação de energia a um volume de controle em torno da região nodal. Uma vez que a direção real do fluxo de calor é freqüentemente desconhecida, torna-se convenientemente formular o balanço de energia considerando que todo o fluxo de calor esteja no interior do nó. Tal consideração é impossível, mas, se as equações das taxas forem expressas de uma maneira coerente com essa consideração, a forma correta da equação das diferenças finitas é obtida. Sendo assim, o balanço de energia para a Eq.1 será: + = (4) Sendo a Taxa de transferência de calor, a geração de calor, a Massa específica, V o volume do elemento e o Calor específico. Na Tabela 1, são mostradas algumas configurações geométricas e sua respectiva EDF.

5 Tabela 2 - Equações de diferenças finitas para regime transiente (com geração de calor). 1 Nó interno, =, +, +, Estabilidade: +, , Nó em um vértice interno com convecção, = 2 3,+2, +2, Estabilidade: +, , Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme, =, Estabilidade: +, +2, , Nó em uma superfície plana com convecção, =2, +, +, Estabilidade: ,

6 5 Nó no vértice externo com convecção, =2, +, , Estabilidade: 1+ 6 Nó no vértice externo com convecção e isolamento, =2, +, + 2 Estabilidade: , Nó em uma superfície plana isolada, =2, +, +, Estabilidade: , Nó no vértice externo com convecção e fluxo de calor constante., =2, +, + Estabilidade: , Vale ressaltar que = é chamado número de Biot. Definidas as equações de diferenças finitas, é de suma importância saber se a aproximação convergirá para a solução exata do problema. Para o conhecimento da convergência, é necessário, mas não suficiente, determinar se a solução é estável. Na Tabela 1, se encontra o critério de estabilidade para cada equação em regime transiente, o qual será discutido mais detalhadamente a seguir.

7 2.4 Teorema da Equivalência de Lax Inicialmente, é importante definir alguns conceitos como Consistência, Estabilidade e Convergência de uma EDF. Uma EDF é dita consistente com uma equação diferencial parcial, se a diferença entre a EDF e a EDP (ou seja, o erro de truncamento) desaparece conforme os espaçamentos e da rede tendem a zero ( refinamento da rede nodal). Warming e Hyett (1974) citados por Hoffman (2001) desenvolveram uma técnica conveniente para analisar a consistência das equações de diferenças finitas. A técnica envolve a equação diferencial parcial que é resolvida por uma equação de diferenças finitas. A equação obtida é equação diferencial modificada. Seguindo o raciocínio de Warming e Hyett, a EDM é determinada expressando cada termo da equação de diferenças finitas uma série Taylor em um ponto particular. Conseqüentemente, tendendo os espaçamentos a zero, a EDF será transformada em uma EDP. Para a análise da consistência da equação de diferenças finitas apresentada na Eq.1, é necessário fazer as seguintes expansões por séries de Taylor, como segue:, =, ±,,± =, =, +, +, ±,, + ±, +, Substituindo na Eq. 3, têm-se:, ±, ±, + (5) 1, +,, =,,,, , (6) Calculando o limite dessa expressão para 0, 0, 0, obtem-se a Eq. 1. Logo, a Eq.3 é consistente. Uma EDF é estável se produz uma solução limitada para a equação diferencial parcial e instável e se produz uma solução não-limitada. Um método de diferenças finitas é convergente se a solução obtida pelo método de diferenças finitas (isto é, os valores numéricos) se aproxima da solução exata da equação diferencial parcial quando a dimensão dos espaçamentos da rede tende a zero. Vários métodos foram criados para analisar a estabilidade de uma aproximação de diferenças finitas em uma EDP, por exemplo, o método de Von Neumann. Definidos tais conceitos, se faz necessário enunciar o Teorema da Equivalência de Lax: Dado um problema de valor inicial bem-posto e linear e uma aproximação por diferenças finitas que satisfaça às condições de consistência, a estabilidade é a condição necessária e suficiente para a convergência. Vale ressaltar que um problema bem posto é aquele que a solução depende continuamente das condições iniciais. Assim, a questão da convergência de um método de diferenças finitas é atendida por um estudo da consistência e estabilidade das EDF s. Se as

8 diferenças finitas da equação são consistentes e estáveis, então o método de diferenças finitas é convergente. Para ilustrar a convergência das equações de diferenças finitas, considere-se a Eq.3 sem geração de calor. Sua consistência é verificada de forma análoga à já feita anteriormente. Segundo o Teorema da Equivalência de Lax, é preciso verificar a estabilidade da EDF. Para isso, precisa-se utilizar um método dentre os existentes, para analisar a estabilidade. Aqui será utilizado o método de Von Neumann que se utiliza da representação em séries de Fourier na equação de diferenças finitas. Se a equação resultante dessa representação for limitada então a EDF é estável, caso contrário, a EDF será instável. Quanto à classificação das EDF s quanto à estabilidade tem-se: Equações estáveis: a solução permanece limitada e não cresce monotonicamente com a escolha de parâmetros como o espaçamento da malha. Equações instáveis: não interessam, pois sua solução diverge além de apresentar instabilidades Equações condicionalmente estáveis: A solução é limitada e não apresenta instabilidade quando se estabelece a escolha certa de parâmetros. Então, assume-se através das séries de Fourier que:,,=,= =, (7) Sendo, =, = em que L é o comprimento de onda e é o módulo da representação complexa acima. Chamando = e =, obtem-se:, = = (8) Substituindo na EDF, e com simplificações, segue que: = (9) Em que = é chamado fator de amplificação. Para o sistema ser estável: 1. Nas aplicações apresentadas será assumido que = e, conseqüentemente, =. Com essa informação e sabendo que 2cos= +, segue que: (10) A primeira é sempre verdadeira em R. Como 1 cos 1, toma-se o valor extremo cos= 1 donde se chega ao critério de estabilidade. Sendo assim, a solução converge se for respeitado esse critério. Com isso, essa EDF quanto à estabilidade é classificada como condicionalmente estável. Incropera e Dewitt (2003) e Çengel (2002) utilizam outro artifício para encontrar o critério de estabilidade para as equações de diferenças finitas. Afirmam que o critério de estabilidade pode ser mostrado através de um argumento físico baseado na segunda lei da Termodinâmica: o critério é satisfeito se os coeficientes de todos os termos, e, (chamados coeficientes primários) são maiores ou iguais a zero

9 para todos os nós m,n. Vale ressaltar que, na EDF anterior, se chega ao mesmo resultado obtido pelo método de Von Neumann utilizando a análise dos coeficientes primários. 3 APLICAÇÕES Nesta seção se faz uma análise de duas aplicações de transferência de calor sendo uma unidimensional e a outra bidimensional sob condições de regime transiente, ou seja, as temperaturas variam ao longo do tempo até chegar a uma condição estável em regime permanente. No primeiro exemplo, um problema de condução térmica, o resultado obtido através do algoritmo implementado no software MATLAB, é comparado com uma solução já conhecida, com aproximações por séries de Fourier. No segundo exemplo, caso bidimensional, também se é utilizado o software MATLAB para a busca da solução por meio do MDF e comparado com um resultado encontrado em Çengel (2002) que utiliza de uma malha menos refinada. A formulação apresentada parte das equações previamente referenciadas na seção Aplicação 1 Esta é semelhante à encontrada em Boyce & DiPrima (2003). Considere uma haste de comprimento L = 20 cm que está inicialmente a uma temperatura de 25 C exceto em suas extremidades que tem temperatura constante de 0 C e 60 C para todo t > 0. Considerando =0,86 /, mostre a mudança de temperatura no ponto que está a 4 cm da extremidade que está a 60 C (x = 16 cm), encontre a distribuição de temperatura ao longo da haste no estado estacionário e verifique aproximadamente para que valor de t se inicia esse estado. (Não há geração interna de calor). A equação que rege esse fenômeno de condução de calor é =. E sua equação de diferenças finitas será: = (11) Que conforme, os argumentos utilizados na seção anterior, pode-se mostrar que a Eq.11 é consistente e estável para < (condicionalmente estável). Pelo teorema da Equivalência de Lax, satisfeitas essas duas condições, a resposta obtida converge. Como condições de contorno se têm =0, =60, pois a haste foi discretizada em 11 nós. Além disso, temse a condição inicial =,0=25, ; 1<<11. A simulação foi implementada no software MATLAB para o cálculo do campo de temperatura para a aplicação acima com condições iniciais e de contorno constantes. O valor da temperatura para cada instante t é feito de forma iterativa a partir da Equação 4.1. Ao final, por conveniência, é feita a transferência dos dados para uma planilha Microsoft Excel. Apresenta-se abaixo um fluxograma do algoritmo utilizado (que é similar ao utilizado na aplicação 2):

10 Figura 2 - Fluxograma do progra A solução analítica para esse problema de condução de calor é obtida com a suposição de que a função temperatura T(x,,t) é obtida por uma soma de duas componentes, uma representa o regime estacionário e a outra componente, o regime transiente. A componente em regime transiente é encontrada supondo que é um produto de duas funções independentes (uma dependendo somente de x, e a outra somente de t) o que torna a equação similar à ama para cálculo das temperaturas nodais desconhecidas em regime transiente. em duas EDO s cuja solução é encontrada a partir de séries de Fourier. Maiores detalhes são encontrados em Boyce & DiPrima (2003), Greenberg (1998), Figueiredo (2003) e Iório (2007). Partindo desse princípio, tem-se que a solução da aplicação 1 vale:., 3, (12) Ao verificar a Equação 4.4, conclui-se que é impraticável obter tal somatório (até infinito ) para fazer a comparação com a solução obtida com o algoritmoo da Figura 22. Para isso, foi utilizado o software MAPLE para o cálculo dos valores com o índice n do somatório da Equação 4.4 variando de 1 até 500. A seguir, tem-se o gráfico do ponto x = 16 cm, que é representado pelo nó 9 na discretização proposta aqui, descrevendo a variação das temperaturas nodais até se chegar ao estado estacionário:

11 Figura 3 - Comparação dos resultados utilizando o algoritmo proposto e a Equação 12 (nó 9). O estado estacionário (regime permanente) onde as temperaturas se tornam constantes é atingido, aproximadamente, entre 3 e 4 minutos. Quando atingido o regime permanente, as temperaturas nodais serão: Tabela 2 Temperaturas quando atingido o regime permanente. Sendo assim, é possível verificar que os resultados obtidos com o MDF estão de acordo com a solução analítica. A grande vantagem nesse caso é que com a precisão alta obtida, o MDF é construído com equações muito simples, não sendo necessários conhecimentos sofisticados de cálculo e soluções de EDP. 3.2 Aplicação 2 A aplicação seguinte é a mesma encontrada em Çengel (2002). Considere a transferência de calor bidimensional em um corpo sólido em forma de L que está inicialmente à temperatura de 90 C e sua seção transversal é apresentada na Figura 27. A condutividade térmica e difusividade do corpo são =15 / e =3,2 10 / respectivamente. O calor é gerado no corpo a uma taxa de =2 10 /. A superfície esquerda do corpo está isolada e a superfície inferior é mantida a uma temperatura uniforme de 90 C. Para t = 0, todas as superfícies superiores estão submetidas à convecção do ar ambiente =25 com coeficiente de convecção térmica h=80 /, e a superfície direita está submetida a um fluxo de calor à taxa uniforme de =5000 /. Usando o método explícito, determine a temperatura no nó 5 após 1, 3, 5, 10 e 60 min.

12 Figura 4 - Esquema da aplicação transiente bidimensional. Pela Fig.4, observa-se que alguns pontos têm a mesma característica, como por exemplo, os nós 2, 3 e 4. Então, logo abaixo, é relacionada cada equação com seus respectivos nós: Nó 1: Nó num vértice externo com convecção e isolamento (Tabela 1 - Item 6); Nós 2 à 4, 10, 16 à 20: Nó em uma superfície plana com convecção (Tabela 1 - Item 4); Nó 5: Nó num vértice externo com convecção (Tabela 1 - Item 5); Nós 6, 11 e 22: Nó em uma superfície plana isolada (Tabela 1 - Item 7); Nós 7 à 9, 12 à 14 e 23 à 31: Nó interno (Tabela 1 Item 1); Nó 15: Nó em um vértice interno com convecção (Tabela 1 Item 2); Nó 21: Nó no vértice externo com convecção e fluxo de calor constante (Tabela 1 Item 8); Nó 32: Nó em uma superfície plana com fluxo de calor uniforme (Tabela 1 Item 3). Com essas equações e as condições de contorno (convecção na parte superior, 90 C nos nós inferiores) é possível simular o fenômeno em regime transiente com o algoritmo feito no MATLAB mostrado na Figura 28. A estabilidade é encontrada na análise do menor coeficiente primário nas 32 equações, que é o coeficiente da temperatura nodal no nó 5 que corresponde a A metodologia é a mesma mostrada no fluxograma da Fig.2. Com isso, obtém os resultados, tendo a variação de temperatura apresentada com o gráfico da Figura 29 e o comparado com o feito em Çengel (2002): Figura 5 - Variação de Temperatura do nó 5 utilizando diferenças finitas

13 Tabela 3 Comparação entre os resultados encontrados. O estado estacionário é atingido por volta de 5 minutos. Pela Tabela 3, verifica-se que o resultado encontrado está com uma precisão aceitável. Verifica-se que, nesse caso, utilizar um método analítico se tornaria uma opção inviável e que, mais uma vez o MDF se mostra eficiente e com respostas obtidas de forma simples e menos complexas, comparado a outros métodos ou mesmo ao métodoo analítico. 4 CONCLUSÕES Feitas as simulações dos problemas de transmissão de calor através dos algoritmos implementados, respeitando as condições de consistência, estabilidade e convergência, foi possível mostrar a facilidade em obter resultados precisos além da aplicabilidade do método. Muito importante também, além de se determinar as equações de diferenças finitas é necessário verificar se essa equação representa de fato o fenômeno descrito na Equação Diferencial esse é o conceito de consistência. A partir disso, e, utilizando o Teorema da Equivalência de Lax foi possível determinar quais as condições em que a solução numérica se aproxima da solução exata já que em todo esse trabalho foi utilizado o chamado método explícito do MDF. Esses são os conceitos de estabilidade e convergência. É muito importante quando se trabalha com soluções numéricas saber se a solução converge. No entanto, para o método das Diferenças Finitas é mais comum e cômodo utilizar o teorema de Lax que garante a convergência a partir da estabilidade caso a EDF seja consistente. Muitas destas equações de Diferenças Finitas são classificadas como condicionalmente estáveis, então é necessário dentro da modelagem verificar qual condição é a mais estrita e adequar os parâmetros como espaçamento da malha e/ou incremento na variável de tempo para que não se produza soluções incoerentes. Além do teorema de Lax, foi utilizado o método de Von Neumannn que se utiliza de argumentos matemáticos para se obter a estabilidade da EDF. Em alguns casos, se torna mais cômodo utilizar um argumento físico para obter-se o critério de estabilidade para tais equações: os coeficientes primários têm que ser maiores ou iguais a zero. Com os exemplos apresentados, verifica-se que o MDF se mostra uma excelente alternativa. Observando o problema unidimensional, o MDF gerou respostas precisas utilizando um algoritmo simples. Já para se obter a resposta analítica, é necessário conhecimentos de técnicas de soluções de EDP s, os quais dificilmentee são estudados em nível de graduação. Além disso, são poucas as soluções analíticas conhecidas para EDP s. No caso bidimensional, o MDF é recomendado para problemas de geometria com grau baixo a médio de complexidade. Para problemas de geometria simples, mas com condições de contorno não constantes, como no caso da convecção, o MDF tem ótima precisão. Nestes casos de condições de contorno, o método analítico se torna inviável muitas vezes.

14 A utilização de simulações numéricas como as realizadas neste trabalho é de suma importância, visto que a realização de experimentos desses tipos de fenômenos são caros e muitas vezes difíceis de realizar. Com essas simulações é possível, por exemplo, verificar quais são os pontos em que a maior carga térmica incidirá. Isso é de extrema importância para os projetos de engenharia que envolvam transferência de calor. REFERÊNCIAS Andrade, F.E., 1996, Solução de equações diferenciais acopladas pela técnica de transformada integral e computação simbólica. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Ceará. Boyce, W.; DiPrima, R., 2003; Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 7 th Ed. John Wiley & Sons, Inc. Çengel, Y. A., 2002, Heat transfer: a practical approach, 2 nd Ed., McGraw-Hill, Boston. Figueiredo, D. G., 2003, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, 4ª Edição, IMPA-BR. Greenberg, M. D., 1998, Advanced Engineering Mathematics, 2 nd Ed., Prentice Hall. Hoffman, J. D., 2001, Numerical methods for engineers and scientists, Marcel Dekker, Inc. Incropera, F.P., Dewitt, D.P., 2003, "Fundamentos de transferência de Calor e Massa", Editora LTC-Livros Técnicos e Científicos, 5a. Edição. Iório, V. M., 2007, EDP: Um Curso de Graduação, 2ª Edição, IMPA-BR. Narasimhan, T.N., 1999, Fourier's Heat Conduction Equation: History, Influences and Connections. Reviews of Geophysics,Vol.37, pp Özisik, M.N. and Guçeri, S.I., 1977, A Variable Eigenvalue Approach to the Solution of Phase-Change Problems, Can J. Chem. Eng, v.55, pp Silva Neto, G. C. ; Lopes, R. C. ; Lopes, A. P.. O método dos elementos finitos em treliças planas na disciplina de mecânica computacional. Anais do Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, Warming, R. F., & Hyett, B. J., 1974, The Modified Equation Approach to the Stability and Accuracy Analysis of Finite-Difference Methods, Journal of Computational Physics, vol. 14, pp THE FINITE DIFFERENCE METHOD APPLIED TO TRANSIENT HEAT TRANSFER PROBLEMS Abstract. In this work is applied the Finite-Difference Method (FDM) to transient heat transfer problems. MDF is also used to solve the heat diffusion equation, a second order partial differential equation. The method works with approximate solutions, because it is not always possible to find the exact solution of differential equation. The FDM is used by the different approaches taken by Taylor series or by using the energy balance method. Is used the explicit method, and verified the stability and convergence conditions by the Von Neumann method and the Lax Equivalence Theorem. Numerical examples are solved and results are presented to illustrate the applicability and accuracy of the method. Keywords: Finite Difference, Heat Transfer, Numerical Methods, Differential Equations.