Apropriedade de completeza de certas famílias de funções que surgem na solução de equações diferenciais ordinárias

Transcrição

1 Cpítulo 6 Completez de Algums Fmílis de Funções Conteúdo 6. Completez de Polinômios Ortogonis em Intervlos Compctos Completez dos Polinômios de Hermite Completez dos Polinômios Trigonométricos Completez ds Funções de Bessel e Proprieddes de seus Zeros A Equção de Bessel como Problem de Sturm-Liouville O Cso > O Cso > com β β O Cso Conclusões Sobre Completez ds Funções de Bessel e Proprieddes de seus Zeros Apropriedde de completez de certs fmílis de funções que surgem n solução de equções diferenciis ordináris sujeits certs condições de contorno, como no problem de Sturm-Liouville, é um propriedde de importânci essencil n resolução de tis problems. El surge tmbém de mneir relevnte n teori d proximção de funções, como n teori ds séries de Fourier. Neste cpítulo o leitor será presentdo demonstrções d propriedde de completez em espços de Hilbert dequdos de lgums fmílis de funções de interesse. O principl método de demonstrção d propriedde de completez envolve resultdos d teori dos operdores compctos utodjuntos em espços de Hilbert, ssunto desenvolvido no Cpítulo 4 e, especilmente, ns Seções 4.8 e 4., págins 225 e 2289, respectivmente. No entnto, sempre que possível, especilmente ns primeirs seções, presentremos demonstrções de completez que fzem uso de métodos elementres, ou sej, dispensndo teori dos operdores compctos, ms fzendo uso de lguns resultdos d teori de proximções de funções Cpítulo, 38, págin 96 ou eventulmente d teori ds trnsformds de Fourier Cpítulo 39, págin 976. Devido à nturez do problem, serão utilizdos tmbém resultdos d teori de integrção, demonstrdos e discutidos em outros cpítulos deste texto. Nturlmente, de prticulr relevânci são s noções de espço de Hilbert e de conjunto ortogonl completo em espços de Hilbert, discutids no Cpítulo 4, págin 289, cuj leitur é imprescindível pr compreensão do que segue. É tmbém relevnte comentr que propriedde de completez qui discutid é importnte pr Mecânic Quântic, permitindo justificr lgums ds operções mtemátics lá relizds. Por trtr de um propriedde específic de certs fmílis de funções, este cpítulo deve ser nturlmente encrdo como um continução do Cpítulo 5, págin 79, ind que fç uso de instrumentos mtemáticos mis vnçdos. Em um certo sentido histórico, trnsição do Cpítulo 5 o presente cpítulo reproduz trnsição d Mtemátic do finl do Século XIX o início do Século XX, qundo váris ds questões qui trtds form colocds e resolvids pel primeir vez. 6. Completez de Polinômios Ortogonis em Intervlos Compctos Pr o trtmento de polinômios ortogonis em intervlos compctos o teorem seguir, o qul é um consequênci do Teorem de Weierstrss Teorem 38.3, págin 99, é de importânci fundmentl: Proposição 6. Sej [, b] R um intervlo fechdo, com b >, e sej r um função positiv e integrável no intervlo

2 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 777/2435 [, b], ou sej, tl que rxdx sej finit. Sej f um função contínu definid em [, b]. Então, é válid pr todo n N, se e somente se f em [, b]. fxx n rxdx 6. Prov. Precismos provr que se fxxn rxdx pr todo n e f é contínu, então f é identicmente nul. Como f é contínuem um intervlocompcto, f ssume um máximo M nesse intervlo, com M mx x [,b] fx Teorem 34.6, págin 668. Pelo Teorem de Weierstrss, Teorem 38.3, págin 99, existe pr todo ǫ > um polinômio p tl que fx px ǫ pr todo x [, b]. Com esse polinômio p, podemos escrever fx 2 rxdx fxpxrxdx+ fx fx px rxdx. Agor, pel hipótese6., liner finit dos monômios x n. For isso, fx fx px rxdx fxpxrxdx, poisp, comotodopolinômio, podeserescritocomoumcombinção fx fx px rxdx MǫR, onde R : rxdx. Concluímos que fx 2 rxdx MǫR e como ǫ é rbitrário, isso implic fx 2 rxdx. Como f é contínu isso implic que f é identicmente nul, como querímos provr. A Proposição 6. firm que únic função contínu que é ortogonl todos os polinômios em [, b] é função nul. Ortogonliddequi é entendid em relção o produto esclr f, g r : fxgxrxdx definido no espço de Hilbert ds funções de qudrdo integrável em relção à medid rxdx, ou sej, que stisfzem fx 2 rxdx <. Denotremos esse espço de Hilbert por L 2 [, b], rxdx, como de prxe. É clro que s funções contínus definids no intervlo [, b] são tods de qudrdo integrável e, portnto, são elementos do espço de Hilbert L 2 [, b], rxdx. Ms nem tods s funções de qudrdo integrável são contínus. A firmção d Proposição 6. pode, porém, ser estendid o espço L 2 [, b], rxdx. Esse é o conteúdo d proposição que segue. Proposição 6.2 Sej [, b] R um intervlo fechdo, com b >, e sej r um função positiv e integrável no intervlo [, b], ou sej, tl que rxdx sej finit. Sej k, l r : kxlxrxdx o produto esclr definido por r e L 2 [, b], rxdx o correspondente espço de Hilbert de funções de qudrdo integrável. Então, pr g L 2 [, b], rxdx relção é válid pr todo n N, se e somente se g quse em tod prte em [, b]. gxx n rxdx 6.2 Prov. Defin-se Gx : x gyrydy. G é contínu e diferenciável com G x gxrx quse em tod prte. É clro que G e que Gb gyrydy por 6.2 pr o cso prticulr n. Assim, integrção por prtes diz-nos que 6.2 gxx n rxdx G xx n dx Gbb n G n n }{{} Gxx n dx. Portnto, concluímos que Gxxn dx pr todo n. Como G é contínu, podemos plicr Proposição 6., gor pr o cso r, pr concluir que G é identicmente nul. Como G x gxrx quse em tod prte, isso implic que g é nul quse em tod prte.

3 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 778/2435 Sej gor um fmíli de polinômios p n x em [, b] pr todo n N, sendo que cd polinômio p n tem gru n e sendo que os polinômios p n x sejm ortonormis em relção o produto esclr definido por r, ou sej, stisfzem p m, p n r δ m,n pr todos m, n um tl fmíli sempre pode ser obtid prtir de p x : R /2 pelo procedimento de ortogonlizção de Grm-Schmidt. Vide Seção 3.3, págin 28. Como cd polinômios p m x tem gru m, cd monômio x n pode ser escrito como um combinção liner finit de polinômios p m x com m n. É dí evidente que Proposição 6.2 equivle à Proposição 6.3 Sej [, b] R um intervlo fechdo, com b >, e sej r um função positiv e integrável no intervlo [, b], ou sej, tl que rxdx sej finit. Sej k, l r : kxlxrxdx o produto esclr definido por r e L 2 [, b], rxdx o correspondente espço de Hilbert de funções de qudrdo integrável. Sej p n x, com n N, um fmíli de polinômios, cd p n sendo de gru n, que sejm ortonormis em relção o produto esclr, r, ou sej, os polinômios p n stisfzem p m, p n r δ m,n pr todos m, n. Então, pr g L 2 [, b], rxdx relção é válid pr todo n N, se e somente se g quse em tod prte em [, b]. gxp n xrxdx 6.3 De cordo com s definições do Cpítulo 4, págin 289, Proposição 6.3 diz-nos que L 2 [, b], rxdx é um espço de Hilbert seprável e que fmíli de polinômios ortonormis p n form um conjunto ortonorml completo em L 2 [, b], rxdx vide págin 25. Pelos Teorems 4.6 e 4.7, págins 26 e 27, respectivmente, vle pr todo g L 2 [, b], rxdx g p n, g r p n e g 2 r pn, g 2 r, 6.4 n sendo g r : g, g r norm de g em L 2 [, b], rxdx. A convergêncid primeir série em 6.4 se dá em relção à norm r de L 2 [, b], rxdx, ou sej, tem-se lim N n N g p n, g r p n. r n Completez dos polinômios de Legendre Aplicndo os ftos cim os polinômios de Legendre P n, estuddos n Seção 5.2., págin 72, concluímos que os 2n+ polinômios normlizdos Q n x : 2 P n x, n, formm um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], dx pr s relções de ortogonlidde dos polinômios de Legendre, vide Assim, em prticulr, concluímos que tod g L 2 [, ], dx pode ser expndid em um série de polinômios de Legendre como g Q n, g r Q n n n 2n+ 2 [ ] P n ygydy P n, série ess que converge n norm de L 2 [, ], dx. Pr um plicção não-trivil dess expressão, fç o Exercício E. 5.29, págin 773. Completez dos polinômios de Tchebychev Os chmdos polinômios de Tchebychev T m x : cos mrccosx, x [, ] e m N, form introduzidos n Seção 4..5, págin 656 vide, em especil, págin 657 e stisfzem s relções de ortogonlidde dds em 5.27, págin 744. Sbemos que função rx é positiv e integrável no intervlo,. Sbemos que cd T x 2 m é um polinômio de gru m. Devido 5.27, págin 744, sbemos que os polinômios de Tchebychev normlizdos Q n x : T n x/ K n, n N, com K π/2 e K n π pr n, compõe um conjunto ortonorml no espço de Hilbert L 2,, x 2 dx. Assim, plic-se Proposição 6.3, págin 778, e concluímos que os polinômios de Tchebychev normlizdos compõe um conjunto ortonorml completo no espço de Hilbert L 2,, x 2 dx.

4 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 779/2435 Assim, em prticulr, concluímos que tod g L, 2, dx x pode ser expndid em um série de polinômios 2 de Tchebychev como g Q n, g r Q n n K n n série ess que converge n norm de L 2,, x 2 dx. [ T n ygy ] dy T n, y Completez dos Polinômios de Hermite O trtmento que fizemos cim d propriedde de completez de polinômios ortogonis em intervlos fechdos fz uso crucil do Teorem de Weierstrss, Teorem 38.3, págin 99. Infelizmente esse teorem é válido pens em intervlos compctos, e pr o trtmento de relções de ortogonlidde de polinômios ortogonis definidos em regiões não-compcts, como os polinômios de Hermite, outrs ideis têm de ser seguids. Nesse sentido, o seguinte resultdo é essencil: Proposição 6.4 Sej f L 2 R, e x2 dx. Então, s integris xn fxe x2 dx são nuls pr todo n inteiro, n, se e somente se f for nul. Prov. De [68], com dptções. Pr todo z C e todo n inteiro, n, tem-se que função hx : x n e izx pertence L 2 R, e x2 dx, pois x2n e 2izx x 2 dx x2n e Imzx x2 dx <, como é fácil provr. Dess form, se f L 2 R, e x2 dx, então o produto hxfx pertence L R, e x2 dx, ou sej, é integrávelem R em relçãoàmedid dµx : e x2 dx pr todo z C e todo n inteiro, n. Isso pode ser visto pel desiguldde de Cuchy-Schwrz, que grnte que R hf dµ R h 2 dµ /2 R f 2 dµ /2 <. Assim, pr todo n inteiro, n, função de vriável complex F n z : x n e izx fxe x2 dx 2π está definid pr todo z C. De prticulr interesse é função F z 2π e izx fxe x2 dx, que é trnsformd de Fourier de fxe x2 qundo z R. Observe que ess função é de qudrdo integrável pois e 2x2 e x2, x R, o que implic fx 2 e 2x2 dx fx 2 e x2 dx <, pois f L 2 R, e x2 dx. Isso signific que trnsformd de Fourier de fxe x2 existe e é únic em L 2 R, dx, fto que usremos logo dinte. Como o integrndo de F, ou sej, e izx fxe x2, é um função inteir de z e integrl que define F converge bsolutmente e uniformemente em qulquer região compct mostre isso usndo o fto que e izx x2 e Imzx x2, segue que F z é um função inteir de z nlogmente mostr-se que tods s funções F n z são inteirs, ms isso não será usdo. É gor fácil ver que pr todo n d n F dz n z in F n z. Isso pode ser justificdo diferencindo F z sob o signo de integrção, ou usndo fórmul integrl de Cuchy, mbs justificds pel convergênci uniforme d integrl que define F. Agor, como F é inteir, F possui um série de Tylor centrd em que converge pr todo z C, qul é dd por F z n d n F n! dz n zn i n F n z n. n! n Dess relção concluímos que se F n xn fxe x2 dx pr todo n, então F é identicmente nul. Pel invertibilidde d trnsformd de Fourier em L 2 R, dx, isso signific que f é nul. A trnsformd de Fourier é inversível em L 2 R, dx. Vide Seção , págin 2.

5 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 78/2435 Completez dos polinômios de Hermite As proprieddes elementres dos chmdos polinômios de Hermite form estudds n Seção 5.2.3, págin 737, sendo s relções de ortogonlidde presentds em 5., págin 738. Os polinômios de Hermite são ortogonis no espço de Hilbert L 2 R, e x2 dx e mostrremos qui que, devidmente normlizdos, os mesmos formm um conjunto ortonorml completo nesse espço de Hilbert. Como cd polinômio de Hermite H n é de gru n, concluímos que podemos escrever cd monômio x m como combinção liner finit de polinômios H n com n m. Segue diretmente disso que Proposição 6.4 é equivlente à Proposição 6.5 Sej f L 2 R, e x2 dx. Então, s integris H nxfxe x2 dx são nuls pr todo n N, se e somente se f for nul. A proposição 6.5 firm que L 2 R, e x2 dx é um espço de Hilbert seprável e que s funções normlizds 2 n n! π H nx, pr n N vide 5., formm um conjunto ortonorml completo em L 2 R, e x2 dx. onde Como no cso dos polinômios de Legendre, concluímos que se f L 2 R, e x2 dx, então podemos escrever f n H n, f 2 n n! π H n, f H n, 6.5 H n yfye y2 dy é o produto esclr de H n e f em L 2 R, e x2 dx. A convergênci d série em 6.5 se dá no sentido d norm de L 2 R, e x2 dx. Completez dos polinômios de Lguerre Um prov de completez dos polinômios de Lguerre pode ser encontrd em [79]. 6.3 Completez dos Polinômios Trigonométricos De cordo com o Teorem 38.9, págin 94, tod função definid em R que sej contínu e periódic de período 2π pode ser uniformemente proximd por polinômios trigonométricos de período 2π. De mneir semelhnte o que fizemos no cso de proximções de funções contínus por polinômios, podemos concluir desse fto que certs fmílis de polinômios trigonométricos formm um conjunto ortonorml completo em espços de Hilbert como L 2 [, ], rxdx, r sendo um função positiv e integrável em [, b] [ π, π]. A série de resultdos que veremos dinte segue muito de perto os resultdos correspondentes d Seção 6.. Proposição 6.6 Sej r um função integrável no intervlo [, b] [ π, π] com b e positiv em, b, ou sej, tl que rx > pr todo x, b e que rxdx sej finit. Sej f restrição o intervlo [ π, π] de um função contínu e periódic de período 2π. Então, é válid pr todo n Z se e somente se f em [, b]. fxe inx rxdx 6.6 Prov. Como f écontínuemumintervlocompcto, f ssumeummáximom nesseintervlo,comm mx fx. x [ π,π] Pelo Teorem 38.9, págin 94, existe pr todo ǫ > um polinômio trigonométrico p de período 2π tl que fx px ǫ pr todo x [ π, π]. Com esse polinômio trigonométrico p, podemos escrever fx 2 rxdx fxpxrxdx+ fx fx px rxdx.

6 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 78/2435 Agor, pel hipótese 6.6, fxpxrxdx, pois p, como todo polinômio trigonométrico, pode ser escrito como um combinção liner finit dos monômios e inx. For isso, fx fx px rxdx fx fx px rxdx MǫR, onde R : rxdx. Concluímos que fx 2 rxdx MǫR e como ǫ é rbitrário, isso implic fx 2 rxdx. Como f é contínu e rx > em, b, isso implic que f é identicmente nul em [, b], como querímos provr. A Proposição 6.6 firm que um função contínu e periódic de período 2π que é ortogonl todos os polinômios trigonométricos em um intervlo [, b] [ π, π] é identicmente nul em [, b]. A ortogonlidde qui é entendid em relção o produto esclr f, g r : fxgxrxdx definido no espço de Hilbert L2 [, b], rxdx ds funções de qudrdo integrável em [, b] em relção à medid rxdx, ou sej, que stisfzem fx 2 rxdx <. Denotremos esse espço de Hilbert por H r. A firmção d Proposição 6.6 pode ser estendid o espço H r. Esse é o conteúdo d proposição que segue. Proposição 6.7 Sej r um função integrável no intervlo [, b] [ π, π] com b e positiv em, b, ou sej, tl que rx > pr todo x, b e que rxdx sej finit. Sej k, l r : π πkxlxrxdx o produto esclr definido por r e H r L 2 [, b], rxdx o correspondente espço de Hilbert de funções de qudrdo integrável em relção à medid rxdx. Então, pr g H r, relção gxe inx rxdx 6.7 é válid pr todo n Z se e somente se g quse em tod prte em [, b]. Not. A integrl em 6.7 está bem definid pois, por Cuchy-Schwrz, b gx rxdx b /2 rxdx b /2 gx 2 rxdx <, já que g e pertencem H r. x Prov d Proposição 6.7. Defin-se Gx : gyrydy. G é contínu e diferenciável com G x gxrx quse em tod prte. É clro que G e que Gb gyrydy, por 6.7 pr o cso prticulr n. Integrção por prtes diz-nos que 6.7 gxe inx rxdx Como G Gb, concluímos que G xe inx dx Gbe inb Ge in in Gxe inx dx. Gxe inx dx pr todo n. 6.8 Sej gor extensão 2π-periódic de G todo R, definid no intervlo [ π, π] por Gx, se x [, b] Gx :., se x [ π, π]\[, b] Como G nul-se em e em b, G é contínu e 2π-periódic, mesmo se [, b] [ π, π]. Pel definição e por 6.8, vle π π Gxe inx dx pr todo n Z, n. 6.9

7 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 782/2435 Denotndo G : π Gydy, 2π π e definindo Hx : Gx G, concluímos de 6.9 que π π Hxe inx dx, gor pr todo n Z lembrr que pr n, π π G e inx dx G π π einx dx. Como H é contínu e 2π-periódic, podemos plicr Proposição 6.6 dotndo, nquel Proposição, o cso r e [, b] [ π, π], pr concluir que H é identicmente nul. Como H x G x gxrx quse em tod prte em [, b], isso implic que g é nul quse em tod prte em [, b]. Um fmíli de polinômios trigonométricos de período 2π, p n x, n Z, é dit ser norml se todo monômio trigonométrico e imx, m Z, puder ser escrito como um combinção liner finit de polinômios p n. Suponhmos que os polinômios trigonométricosde um conjunto de polinômios normisp n x sej tmbém ortonormisem relçãoo produto esclr definido por r, ou sej, stisfzem p m, p n r δ m,n pr todos m, n um tl fmíli sempre pode ser obtid prtir de p x : R /2 com R : rxdx pelo procedimento de ortogonlizção de Grm-Schmidt. Vide Seção 3.3, págin 28. Como cd monômio e inx pode ser escrito como um combinção liner finit de polinômios p m x, é evidente que Proposição 6.7 equivle à Proposição 6.8 Sej r um função integrável no intervlo [, b] [ π, π] com b e positiv em, b, ou sej, tl que rx > pr todo x, b e que rxdx sej finit. Sej k, l r : kxlxrxdx o produto esclr definido por r e H r L 2 [, b], rxdx o correspondente espço de Hilbert de funções de qudrdo integrável em relção à medid rxdx. Sej p n x, com n Z, um fmíli norml de polinômios ortonormis em relção o produto esclr, r, ou sej, todo monômio e imx pode ser escrito como um combinção liner finit de polinômios p n os polinômios p n stisfzem p m, p n r δ m,n pr todos m, n Z. Então, pr g H r, relção gxp n xrxdx 6. é válid pr todo n Z se e somente se g quse em tod prte em [, b]. De cordo com s definições do Cpítulo 4, págin 289, Proposição 6.8 diz-nos que H r L 2 [, b], rxdx é um espço de Hilbert seprável e que fmíli norml de polinômios trigonométricos ortonormis p n form um conjunto ortonorml completo em H r vide págin 25. Pelos Teorems 4.6 e 4.7, págins 26 e 27, respectivmente, vle pr todo g H r g p n, g r p n 6. e g 2 r n n p n, g r 2, 6.2 sendo g r : g, g r norm de g em H r. A convergênci d série em 6. se dá em relção à norm r de H r, ou sej, tem-se N lim N g p n, g r p n. n N r Nturlmente, o cso mis importnte se dá com [, b] [ π, π] e r, onde fmíli e n x einx 2π, n Z, compõe, de cordo com nossos resultdos cim, um conjunto ortonorml completo em L 2 [ π, π], dx. Tl resultdo é de fundmentl importânci pr teori ds séries de Fourier e o enuncido preciso é presentdo n form do Teorem 38.4, págin 956.

8 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 783/ Completez ds Funções de Bessel e Proprieddes de seus Zeros Trtremosn presenteseçãode estbelecerproprieddesde completezno espçode Hilbert L 2 [, ], xdx dsfunções de Bessel J, sob diverss condições de contorno, e pr. Vários dos resultdos que presentmos são tmbém válidos pr < <, ms os métodos são mis elbordos, prticulrmente no cso < < /2, e não fzem uso de resultdos do problem de Sturm-Liouville e d teori dos operdores compctos, nosso principl instrumento qui. Vide referêncis em [367] que trt pens do cso > /2. Pr s funções J sequer são elementos desse espço de Hilbert, exceto no cso trivil em que é um inteiro negtivo, pois convencion-seque J m x m J m x, m Z. Obteremos tmbém, no processo, certs proprieddes dos zeros ds funções β J x+β 2 xj x pr x,, onde β e β 2 são constntes reis. Usremos notção e os métodos empregdos no cpítulo sobre o problem de Sturm-Liouville regulr, Cpítulo 8, págin 863, ssim como diversos ftos sobre operdores compctos e de Hilbert-Schmidt, discutidos ns Seções 4.8 e 4., às págins 225 e 2289, respectivmente. Proprieddes geris ds funções de Bessel, como relções de ortogonlidde, recorrênci etc., form trtds n Seção 5.2.7, págin 75. O Teorem 6., págin 789, reunirá os resultdos que obteremos. Notção pr zeros de funções de Bessel Recordemos notção que empregmos respeito de zeros de funçõs de Bessel. Sej { Z : y > } J y 6.3 coleção dos zeros reis e positivos d função J. Como veremos, trt-se de um conjunto enumerável, de modo que escreveremos Z : { γ,k >, k N }, que considerremos como um conjunto ordendo em ordem crescente, ou sej, γ,k < γ,l pr k < l. Pr constntes reis β e β 2, não simultnemente nuls, definimos função e denotmos o conjunto dos zeros reis positivos de J β,β2 J β,β2 y : β J y+β 2 yj y β, β2 y por Z : β, β2 Z : { y >, β J y+β 2 yj y }. Como veremos que trt-se de um conjunto enumerável e, ssim, vmos escrevê-lo tmbém n form { β, β2 γ } β Z :, β 2 k >, k N e considerremos esse conjunto como sendo ordendo em ordem crescente: γ Evidentemente, Z β, Z prqulquer β rel não-nuloe γ β, β, β2 k < γ β, β2 l pr k < l. γ k,k pr todo k N, tmbém prqulquer β rel não-nulo. O conjunto Z,β2, com β 2 não nulo, coincide com o dos zeros d função J y n região y,. β, β2, β2/β Comentmos tmbém que cso β tem-se evidentemente Z Z e se β 2 tem-se evidentemente β, β2 Z Z β/β2, A Equção de Bessel como Problem de Sturm-Liouville Vmos gor considerr equção de Bessel sob condições de contorno que trnsformem em um problem de Sturm- Liouville não-regulr com o qul poderemos trtr do problem d completez ds utofunções usndo resultdos d teori dos oprdores de Hilbert-Schmidt. Trtremos qui dos csos > e. Em cd um problem de Sturm- Liouville considerdo é diferente e há, em cd um deles, subcsos especiis se estudr seprdmente, notdmente queles onde ocorrem utovlores nulos.

9 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 784/ O Cso > Considere-se equção de Bessel x 2 u x+xu x+ α 2 x 2 2 ux, 6.4 onde tommos > o cso será trtdo posteriormente α C e x é restrito o intervlo [, ]. No intervlo, ] ess equção pode ser escrit n form de um equção de Sturm-Liouville sendo L o operdor diferencil com s identificções px x, Lu+λru, 6.5 L d px d +qx dx dx qx 2 x, rx x, λ α2. Consideremos o problem de determinr solução de 6.4 no intervlo [, ] sujeit às condições de contorno u e β u+β 2 u, com β e β 2 sendo constntes reis não simultnemente nuls. Pelo dito cim, trt-se clrmente de um problem de Sturm-Liouville não-regulr pois p e r não são estritmente positivs em [, ]. Apesr de não-regulr esse problem pode ser trtdo de form muito similr problems regulres discutidos no Cpítulo 8, págin 863. Aqui, será prticulrmente relevnte obter su equção integrl de Fredholm correspondente. Como bem sbemos, pr > solução desse problem é dd por ux J αx, sendo α um zero d função J β,β2 y β J y+β 2 yj y n região y,, ou sej, α Z β,β2. Vmos determinr função de Green ssocid o operdor L sob s condições de contormo cim. Segundo o que sbemos do Cpítulo 8, págin 863, ess função de Green é determind pels soluções v e v 2 dos problems definidos em, ], respectivmente, Lv com v e A equção Lv é equção de Euler Lv 2 com β v 2 +β 2 v 2. x 2 v x+xv x 2 vx. 6.6 Trtremos primeirmente do cso >, deixndo o cso pr Seção No cso > solução d equção de Euler 6.6 é obtid tomndo-se o Anstz vx x γ e consttndo-se que γ ± verifique!, o que fornece dus soluções independentes, sendo solução gerl em, ] dd por com C e D constntes rbitráris. Obtemos disso que vx Cx +Dx, v x C x e v 2 x C 2 x τx, cso β +β 2 e β β 2, D 2 x, cso β +β 2 e β β 2, ou sej, β β 2, C 2 x, cso β +β 2 e β β 2, ou sej, β β 2,

10 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 785/2435 sendo τ : β +β 2 / β β 2 e C2 e D 2 sendo constntes rbitráris. Not. O cso em que β + β 2 e β β 2 não foi incluido pel seguinte rzão: pr > esss dus condições implicm β e β 2, situção trivil que já excluimos de início. Com isso, o Wronskino Wx : v xv 2 x v 2xv x é ddo por 2C C 2 τ x, cso β +β 2 e β β 2, Wx 2C D 2 x, cso β β 2,, cso β β 2. Note-se que, prβ +β 2 e β β 2, o Wronskinoénão-nuloe, portnto, s soluçõesv e v 2 sãolinermente independentes. Como se vê o cso β β 2 é problemático e será trtdo em seprdo n Seção , págin 786. Nos demis csos temos β +β 2 e podemos expressr função de Green de L sob s condições de contorno em questão. El será dd, segundo 8.38, págin 87, por verifique! x Gx, y xy τ, pr < x y, 2τ y y cso β β xy τ, pr < y x, x e x Gx, y, pr < x y, 2 y y cso β β , pr < y x, x Note que 6.8 pode ser obtid formlmente de 6.7 tomndo-se o limite τ. Isso é consistente com o fto que τ diverge pr β β 2. Positividde dos utovlores Sob luz d Proposição 8.5, págin 883, e levndo em cont que no cso qui considerdo qx 2 /x < no intervlo, ] e α 2 que implic α α 2, podemos firmr que ns situções em que β, ou β 2, ou β β 2 que implic β β 2 β2 2, os utovloresdo problem de Sturm-Liouville ssocido à equção de Bessel são todos positivos. No cso em que β β 2 positividde estrá ssegurd se β β 2. Compcidde do operdor de Fredholm A equção integrl de Fredholm equivlente o problem de Sturm-Liouville que estmos considerndo será, portnto vide Seção 8.3.2, págin 885, com K sendo o operdor integrl Ku λ u, Ku x : kx, yuy dy pr kx, y : Gx, yry. Por 8.95, págin 886, sbemos que K é simétrico no espço de Hilbert H r : L 2 [, ], xdx. Como < x y n região < x y e tmbém < y x n região < y x, concluimos fcilmente que G é limitd e contínu no qudrdo semiberto, ], ]. É fácil ver que G é igulmente limitd e contínu no qudrdo fechdo [, ] [, ]. Segue disso que k é limitd e contínu no qudrdo fechdo [, ] [, ]. Logo, k stisfz condição de Hilbert-Schmidt kx, y 2 xydxdy. 6.9

11 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 786/2435 Pelo Teorem 4.48, págin 237, isso estbelece que K é um operdor de Hilbert-Schmidt no espço de Hilbert H r : L 2 [, ], xdx e, portnto pelo Teorem 4.99, págin 236, K é compcto no mesmo espço de Hilbert. Como K é simétrico, vemos que é tmbém utodjunto. As implicções desses ftos form presentds qundo de noss discussão sobre operdores compctos utodjuntos: os utoveloresλ são reis, enumeráveis, finitmente degenerdos e o conjunto {/λ k, k N} possui pens como ponto de cumulção. Em verdde, por se trtr de um problem de Sturm-Liouville, cd utovlor é simplesmente degenerdo vide Seção 8.3.., págin 877. Apens um subconjunto finito de utovlores pode ser negtivo. Se u k denot utofunção ssocid o utovlor λ k, k N, então {u k, k N} é um conjunto ortogonl em H r L 2 [, ], xdx. Esss utofunções são dds por u k x : J γ,k x, com k N, onde γ,k é o k-ésimo positivo de β J y+β 2 yj y, ou sej, γ,k Z β,β2. Os utovlores λ k são ddos por λ k 2. γ,k O conjunto {u k / u k Hr, k N é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx. Comentremos sobre os ftores de normlizção u k Hr mis dinte. } O Cso > com β β 2 No cso > com β β 2, o problem de Sturm-Liouville consiste em encontrr soluções de 6.4 sob s codições de contorno u e u u. Este é um problem degenerdo pois, como vimos, o Wronskino ds funções v e v 2 é nulo. A rzão por trás dess degenerescênci é o fto de que qui o problem de Sturm-Liouville dmite utovlor nulo, com correspondente utofunção sendo função x verifique ess firmção!. A solução com utovlores não-nulos é ux J αx, com α pertencente Z, +, o conjunto dos zeros positivos de J +. De fto, sbemos que J αx stisfz 6.4 e, como dx d x J x x J + x vide 5.64, págin 754, temos J x xj x xj + x. Assim, vle tmbém u J e u u J α αj α αj +α { γ seα Z, +. JásbemosqueZ, + éum conjuntoenumerável,queescrevemoscomoz, +, } + k γ +,k, k N, e sbemos que o conjunto ds inverss {/γ +,k, k N} possui pens o zero como ponto de cumulção. Denotemos u k x : J γ +,k x, k N. Afirmmos que o complemento ortogonl do conjunto {u k, k N} em H r L 2 [, ], xdx é o subespço unidimensionl ds funções x. De fto, sej f contínu com derivd contínu. Usndo o fto que y + J y d dy y + J + y vide 5.63, págin 754, temos, f, uk H r fxj γ +,k xxdx yγ +,kx γ+,k 2 γ+,k y f y/γ +,k y + J y dy 5.63 γ+,k 2 γ+,k y f y/γ +,k y + J + y dy γ+,k 2 f y/γ +,k yj+ y γ+,k } {{ } γ+,k y d y f y/γ +,k J + yy dy dy xy/γ +,k x d γ +,k dx x f x com v k x : J + γ+,k x. Logo, condição f, u k x f x J + γ+,k x x dx γ +,k h, vk H r, com hx : x d dx H r pr todo k N é válid se e somente se h, v k pr todo k N. Sbemos pelos resultdos nteriores do > pr s condições H r de contorno u e u que { v k / v k Hr, k N } é um conjunto ortogonl completo. Logo, condição

12 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 787/2435 f, uk H r pr todo k N implic que h, que por su vez implic fx κx, onde κ é constnte. Denotndo u x : x, que tem norm u Hr / 2 + em H r verifique!, segue que } { } {u / u Hr u k / u k Hr, k N é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx. Esss funções formm um conjunto ortonorml, pois são utofunções ssocids utovlores distintos problem de Sturm-Liouville O Cso A relção 5.59, págin 753, diz-nos que xj x J x+xj x J, x, que nos ensin que Z Z,. Pr obtermos mis informções sobre função de Bessel J e sus relções de completez seguirmos um estrtégi similr à do cso >. Consideremos o problem de Sturm-Liouville que consiste em encontrr soluções d equção de Bessel de ordem : x 2 u x+xu x+α 2 x 2 ux, ou sej, xu x+u x+α 2 xux, 6.2 onde α C e x é restrito o intervlo [, ]. No intervlo, ] ess equção pode ser escrit n form de um equção de Sturm-Liouville Lu+λru, 6.2 sendo L o operdor diferencil L d dx px d dx +qx com s identificções px x, qx, rx x, λ α 2. Aqui, s condições de contorno serem considerds pr s soluções de 6.2 no intervlo [, ] são u e β u+β 2 u, com β e β 2 sendo constntes reis não simultnemente nuls. Como ntes, trt-se clrmente de um problem de Sturm-Liouville não-regulr pois p e r não são estritmente positivs em [, ]. Há três csos se considerr: o cso β e β 2 ; 2 o cso β e β 2 ; 3 o cso β e β 2.. Cso β e β 2. Nesse cso o problem envolve encontrr soluções de 6.2 sob s codições de contorno u e u. A solução é dd pels funções J γ,k x, k N, com γ,k Z, ou sej, com γ,k sendo o k-ésimo zero em ordem crescente de J em,. Lembrr que J, pois J x J x. Como no cso >, podemos determinr função de Green ssocid o operdor L sob s condições de contorno cim se determinrmos s funções v e v 2 soluções de Lv com v e Lv 2 com v 2. É um exercício elementr obter que solução gerl de Lv é gor vx Clnx+D, onde C e D são constntes. Com isso, é elementr obter-se v x D e v 2 x C 2 lnx, com D e C 2 sendo constntes rbitráris. O determinnte Wronskino desss dus funções é Wx v xv 2 x v 2 xv x D /x. Com isso, e novmente com uso de 8.38, págin 87, obtemos seguinte expressão pr função de Green: lny, pr < x y, Gx, y : 6.22 lnx, pr < y x.

13 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 788/2435 A equção integrl de Fredholm equivlente o problem de Sturm-Liouville que estmos considerndo será, portnto vide Seção 8.3.2, págin 885, Ku λu, com K sendo o operdor integrl Ku x : kx, yuy dy pr kx, y : Gx, yry. Como função slns contínu e limitd no intervlo, ], segue fcilmente que k stisfz condição de Hilbert- Schmidt 6.9. Pelo Teorem 4.48, págin 237, isso estbelece que K é um operdor de Hilbert-Schmidt no espço de Hilbert L 2 [, ], xdx, portnto Teorem 4.99, págin 236, é compcto no mesmo espço de Hilbert. 2. Cso β e β 2. Nesse cso o problem envolve encontrr soluções de 6.2 sob s codições de contorno u e β u+β 2 u. A solução é dd pels funções J γx, com γ sendo um zero de β J x+β 2 xj x. Como ntes, função de Green ssocid o operdor L sob s condições de contorno cim é determind pels funções v e v 2, soluções de Lv com v e Lv 2 com β v 2 +β 2 v 2, respectivmente. É elementr consttr que v x C e v 2 x C 2 β lnx β 2, com C e C 2 sendo constntes. O determinnte Wronskino desss dus funções é Wx v xv 2x v 2 xv x β C C 2. Com isso, e novmente com uso de 8.38, págin 87, obtemos seguinte expressão pr função e Green: β 2 x Gx, y : lny β 2 β, pr < x y, lnx β 2 β, pr < y x A equção integrl de Fredholm equivlente o problem de Sturm-Liouville que estmos considerndo será, portnto vide Seção 8.3.2, págin 885, Ku λu, com K sendo o operdor integrl Ku x : kx, yuy dy pr kx, y : Gx, yry. Novmente, noss conclusão é mesm: como função s lns contínu e limitd no intervlo, ], segue fcilmente que k stisfz condição de Hilbert-Schmidt 6.9. Portnto, pelos mesmos teorems evocdos nteriormente, segue que K é um operdor de Hilbert-Schmidt no espço de Hilbert L 2 [, ], xdx e, portnto, é compcto no mesmo espço de Hilbert. 3. Cso β e β 2. Nesse cso o problem de Sturm-Liouville envolve encontrr soluções de 6.2 sob s codições de contorno u e u. Este é um cso degenerdo, pois mbs s funções v e v 2 são constntes e, portnto, seu Wronskino é nulo. A rzão por trás dess degenerescênci é o fto de que o problem de Sturm-Liouville correspondente dmite utovlor nulo, com correspondente utofunção sendo um constnte rbitrári verifique ess firmção!. A solução com utovlores não-nulos é ux J αx, com α pertencente Z, o conjunto dos zeros positivos de J. De fto, sbemos que J stisfz 6.2 e, como J x J x vide 5.58, págin 753, vle tmbém u αj e u αj α, cso α Z. Já sbemos que Z é um conjunto enumerável, que escrevemos como Z {γ,k, k N} e sbemos que o conjunto ds inverss {/γ,k, k N} possui pens o zero como ponto de cumulção. Denotemos u k x : J γ,k x, k N.

14 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 789/2435 Afirmmos que o complemento ortogonl do conjunto {u k, k N} em H r L 2 [, ], xdx é o subespço unidimensionl ds funções constntes. De fto, sej f contínu com derivd contínu. Temos, f, uk H r fxj γ,k xxdx yγ,kx γ,k 2 γ, k f y/γ,k yj y dy 5.59 γ,k 2 γ,k f y/γ,k yj y dy f y/γ,k yj y γ, k } {{ } γ,k 3 γ,k f y/γ,k J yy dy xy/γ,k γ,k f xj γ,k x x dx γ,k f, v k H r, com v k x : J γ,k x. Logo, condição f, u k pr todo k N é válid se e somente se f, v H k r H r { pr todo k N. Sbemos d nálise do cso > pr s condições de contorno u e u que vk / v k Hr, k N } é um conjunto ortogonl completo em H r. Logo, condição f, u k H r pr todo k N implic que f, ou sej, implic que f é constnte. Denotndo por u função constnte igul, qul tem norm /sqrt2 em H r, segue que } { } {u / u Hr u k / u k Hr, k N é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx. Esss funções formm um conjunto ortonorml, pois são utofunções ssocids utovlores distintos de um problem de Sturm-Liouville Conclusões Sobre Completez ds Funções de Bessel e Proprieddes de seus Zeros Vmos gor reunir todos os resultdos dest seção em um único teorem, incluindo tmbém resultdos já demonstrdos no Teorem 5.7, págin 764. Pr β, β 2 R 2 com β, β 2, sej J β,β2 x : } β J xy +β 2 xj x e sej Z β,β2 o conjunto de seus zeros reis positivos: Z β,β2 : {y > β J y+β 2 yj y. Teorem 6. Então, pr todo e todo β{, β 2 R 2 com β, β 2, o conjunto Z β,β2 é enumerável γ } e, portnto, pode ser escrito n form Z β,β2 β,β 2 k, k N com os zeros γ β,β2, que são todos simples, k ordendos de form crescente: γ β,β2 k < γ β,β2 pr todos k < l. l { O conjunto ds inverss / } γ k β,β2, k N possui pens como ponto de cumulção e os números / 2 γ β,β2 k, k N, são utovlores simples de um operdor integrl de Fredholm, que vem ser um operdor de Hilbert-Schmidt. Portnto, k γ β,β 2 4 < k Ess relção é um indictivo de como os zeros γ β,β2 crescem qundo k. k Pr cd e cd pr β, β 2 como cim, defin-se γ β J,β 2 k x U β,β2,k x : N β,β2,k,

15 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 25 de bril de 29. Cpítulo 6 79/2435 pr k N, onde, N β,β2,k : [ J 2 γ β,β k 2 γ β,β 2 2 k γ β J,β 2 k 2] ,5.68 [ γ β J,β 2 2 k 2 γ β,β 2 J k J + γ β,β 2 k ] De cordo com 5.2, págin 764, são vetores unitários no espço de Hilbert H r : L 2 [, ], xdx : U β,β 2,k Hr. Então, vlem ind s seguintes firmções sobre completez ds utofunções U β,β2,k.. Pr > e β +β 2, o conjunto { } U β,β2,k, k N, é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx. 2. Pr { > e} β β 2 em cujo cso podemos dotr, sem perd de generlidde, β 2, o conjunto U,, U,,k, k N, onde U,, x : 2 +x, é um conjunto ortonorml completo em { } L 2 [, ], xdx. { } 3. Pr e β, o conjunto U β,β2,k, k N, é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx. 4. { Pr } e β e β 2 em cujo cso podemos dotr, sem perd de generlidde, β 2, o conjunto { } U,, U,,k, k N, onde U,, x : 2, é um conjunto ortonorml completo em L 2 [, ], xdx.