IMPLEMENTAÇÃO DE UM GERADOR AUTOMÁTICO DE MALHAS PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 IMPLEMETAÇÃO DE UM GERADOR AUTOMÁTICO DE MALHAS PARA O MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS IMPLEMETATIO OF A AUTOMATIC MESH GEERATOR FOR FIITE ELEMET METHOD Prscla Lgabó Mraroll * Resmo O objetvo deste trabalho é aresetar a mlemetação de m gerador atomátco de malhas ara o método dos elemetos ftos com o tto de acelerar o rocesso de cração de m rodto, ode através de dados cofáves de sa qaldade ode-se verfcar roredades eseradas em se rotóto, determado o comortameto térmco o mecâco do rodto em servço, ermtdo qe os maeadores gerem malhas com m modelo comtacoal. o maeameto trasfto, qe será tlzado, tato as lhas qe descrevem o cotoro de ma serfíce o as serfíces de cotoro de m volme são comletamete cosderadas ara o gerador de malhas. O Softare desevolvdo receberá formações do arqvo de orgem do Softare de Elemetos Ftos e etão gerará a malha das formas geométrcas, sedo assm avalados os resltados, verfcado a qaldade da malha, qado m qadrlátero aroma de m qadrado e qado heaedro aroma de m cbo e as sas característcas. Palavras-Chave: Gerador de Malha. Elemetos Ftos. Maeameto Trasfto Abstract The objectve of ths aer s to reset the mlemetato of a atomatc mesh geerator for fte elemet method order to accelerate the rocess of creatg a rodct here by relable data qalty ca be observed eected roertes the rototye, determg the thermal or mechacal rodct servce, allog maers geerate meshes th a comtatoal model. I the trasfte mag that ll be sed o the les that descrbe the otle of a srface or cotor srfaces of a volme are flly cosdered for the mesh geerator. The develoed softare ll receve formato from the sorce fte elemet softare ad the geerate the mesh of geometrc shaes, ad ths evalated the reslts, checkg the qalty of the mesh, he aroachg a sqare a sqare ad heahedro he aroachg a cbe ad ther characterstcs. Keyords: Mesh Geerator. Fte Elemet Method. Trasfte mag. * Professora da Facldade de Tecologa, Cêcas e Edcação FATECE Prassga/SP. Coordeadora do Crso de Cêca da Comtação. rscla@fatece.ed.br

2 Persectvas em Cêcas Tecológcas Itrodção O scesso ecoômco de emresas de mafatra é caracterzado elo cotío decréscmo do temo ara o desevolvmeto de m rodto, assocado ao acréscmo de sa qaldade. Parte cosderável desse desevolvmeto está a cração do rodto, qe deve satsfazer egêcas cotradtóras. A cração de m rodto dá-se através de m rocesso teratvo, elo qal a forma geometra e a dsosção múta dos comoetes toologa de m rodto é armorada até qe todos os reqstos, tas como fcoaldade, vda útl, segraça, csto, adeqação ao meo ambete, etc., sejam reechdas. Para acelerar-se o rocesso de cração de m rodto, ecessta-se de dados cofáves relatvos à sa qaldade, mtas vezes em ma fase rematra, ates mesmo da estêca de m rotóto. Como alteratva calcla-se as roredades desse rodto baseado-se em métodos mércos. Os cálclos referem-se bascamete à determação do comortameto térmco o mecâco do rodto em servço. Eles são realzados tlzado-se, etre otros, o Método dos Elemetos Ftos MEF. Assm ode-se determar, or eemlo, a dstrbção de temeratras o tesões resltates sob a ação de cargas estátcas e/o dâmcas. Dessa forma ode-se aalsar o comortameto de m comoete, de m cojto o de ma máqa comleta. Uma das tarefas de toda aálse elo MEF é a geração de malha, o seja, a descrção do objeto a ser aalsado através de elemetos ftos, do oto de vsta matemátco sgfca sbdvdr o domío de valdade das formas qe descrevem o comortameto do comoete em sbdvsões reresetado elo elemeto da malha de EF. o etato ates de emregar-se os geradores atomátcos de malhas, os sáros recsam defr o objeto a ser calclado como m modelo comtacoal. esse rocesso é ecessáro levar-se em cota ma sére de restrções geométrcas e toológcas. Os maeadores geram malhas com varação reglar e eqea dstorção dos elemetos, qe aresetam m comortameto mto bom em relação à covergêca WALZ et al., 969, mas em cotraartda a descrção da geometra recsa ser bem mas detalhada. Devdo a qaldade das malhas qe cada vez mas são tlzados os maeadores. 9 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

3 Persectvas em Cêcas Tecológcas o maeameto a dscretzação ocorre em dos assos. A geração de elemetos é semre feta em ma regão dmesoal, bdmesoal o trdmesoal tára. Essa malha gerada a regão tára é, em m asso segte, rojetada ara a geometra, tlzado-se fções de maeameto. O rcal oto desses métodos está a determação e tlzação das fções de maeameto e ão a geração da malha a regão tára. Assm odemos verfcar qe o Maeameto Trasfto rojeta a malha gerada a regão tára ara a geometra real do comoete. o maeameto trasfto tato as lhas qe descrevem o cotoro de ma serfíce o as serfíces de cotoro de m volme são comletamete cosderadas GORDO et al., 97; HABER et al., 98. Dessa forma, lhas de formas lvres, clsve com catos vvos, odem ser tlzadas ara descreverem ma serfíce SHEPHARD et al., 98. o maeameto trasfto a descrção de m qadrlátero é realzada através de terolação blear etre as lhas oostas do cotoro. Além dos cotoros odem ser tlzadas lhas teras WU et al., 979, qe ossbltam a descrção de serfíces com maor gra de comledade. A terolação trasfta de coros trdmesoas sege o mesmo rcío. o caso de m heaedro realza-se ma terolação trlear etre sas serfíces de cotoro. Serfíces e Volmes O coceto de crva demostra a déa de m objeto, ma lha cotía o esaço. Segdo Glecher,., tradção ossa, ma crva aramétrca é m maeameto cotío de m esaço dmesoal ara m esaço -dmesoal. Em meados do séclo XX, desehar crvas bradas ara modelar ma geometra esecífca era cosderado m trabalho dfícl e fastdoso. Em 959, Pal de Faget de Castelja m fcoáro da Ctroë, co a tarefa ara a obteção de crvas e serfíces bradas combado e torado ovas as malhas de olígoos ara modelagem de chasss. Smltaeamete, a Realt, Perre Bézer também rodzra crvas ara o mesmo fm, qe atalmete são cohecdas como crvas de Bézer. Coforme Bézer 97 a crva fco formalmete cohecda com a blcação de se trabalho. O to de crva qe deve ser escolhda deederá do objeto qe se deseja defr, sto é, à sa alcação. Bascamete, traçar ma crva qe asse or m 9 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

4 Persectvas em Cêcas Tecológcas cojto de otos caracterza m roblema de terolação, ao asso qe defr ma crva qe se arome de m determado cojto de otos é m roblema de aromação. Para comreedermos melhor é ecessáro eteder o coceto de terolação qe é m método qe ermte costrr m ovo cojto de dados a artr de m cojto dscreto de dados otas revamete cohecdos; assm também tora-se mortate cohecer m oco sobre a aromação qe é ma reresetação eata de algo qe aesar de tdo ada é sfcetemete róma ara ser tlzada. Os olômos foram ma das rmeras escolhas ara a solção de ambos os roblemas acma ctados, mas sa desvatagem está a sa globaldade, o seja, qado alteramos o valor de qalqer oto, toda a crva é afetada. Isso mlca o úmero redzdo de alcações qe m olômo ode ter em modelages de crvas, restrto a eqeos tervalos o a m úmero bao de otos de cotrole.. Crvas de Bézer A fórmla ara crvas desevolvdas or Per Bezer, qe osterormete recebe o se ome gaho grade mortâca qado estdada or Pal de Castelja o fm da década de 95, com o objetvo de crar m método efcaz ara a modelagem de carros. Baseado os rcíos de Hermte, drate ses trabalhos em rojetos de atomóves ara a emresa fracesa Realt, Bézer acresceto dos otos de cotrole às costates de Hermte determado os dos vetores tagetes os otos cal e fal. aqela éoca, Bézer trabalhava como egehero e cocebe ma ova formlação de crvas ara reresetar carros em comtador. De fato, a crva de Bézer é ma forma aromada de crva olomal, esecalmete cocebda ara ser cotrolada de forma coveete. a sa forma bdmesoal, a crva de Bézer é hoje base ara város rogramas gráfcos como o Adobe Illstrator e Corel Dra. Algmas fotes também como TreTye e Post Scrt Tye também são armazeadas como crvas de Bézer. As formas mas mortates das crvas de Bézer são as qadrátcas e cúbcas. Crvas de gra maor mlcam em m csto mas elevado de cálclo e rocessameto. O método atalmete mas tlzado ara avalar as crvas de Bézer é o algortmo de De Castelja FARI, 99 qe ode-se defr da segte maera 9 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

5 Persectvas em Cêcas Tecológcas Soha qe qeramos aromar ma crva olomal etre dos otos e dados A solção atral é m segmeto de reta qe assa or e cja arametrzação mas comm é + Podemos esar em como ma méda oderada etre e Observe qe os olômos e somam ara qalqer valor de São chamadas de fções de mstra bledg fctos Fgra. Crva Polomal Para geeralzar a déa ara três otos, e cosderamos rmeramete os segmetos de reta e + + Podemos agora realzar ma terolação etre e Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

6 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra. Algortmo de De Castelja. 5 Fgra. Algortmo de De Castelja Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

7 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra. Algortmo de De Castelja. 75 Fgra 5. Algortmo de De Castelja A crva obtda ode ser etedda como a mstra dos otos, e or termédo de três fções qadrátcas: 97 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

8 Persectvas em Cêcas Tecológcas b b b Alcado mas ma vez a déa odemos defr ma cúbca or otos: Fgra 6. Realcação do Algortmo de De Castelja Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

9 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra 7. Realcação do Algortmo de De Castelja. 5 Fgra 8. Realcação do Algortmo de De Castelja Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

10 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra 9. Realcação do Algortmo de De Castelja ovamete temos ma crva dada ela soma de fções de mstra agora cúbcas, cada ma mltlcada or m dos otos b b b b 5 Em geral, ma crva de gra ode ser costrída desta forma e será eressa or o b 6 j j j Assm como a crva de Hermte, a crva de Bézer também oss otos de cotrole, orém qatro P, P, P e P ao vés de dos, como a fórmla de Hermte, e dos vetores tagetes R e R, qe eqvale a T e T em Hermte. Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

11 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra. Crva de Bézer Dado qe P e P são os otos cal e fal da crva, e os otos P e P os otos termedáros, os vetores tagetes são determados como: R R P P P 7 P A de Bézer também é comosta ela oderação de olômos, deomados olômos de Berste Fgra. Fgra. Polômos de Berste: fções de base ara a crva de Bézer Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

12 Persectvas em Cêcas Tecológcas Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9 Para o caso de tercera ordem, o olômo qe descreve a crva de Bézer é: T M G T C d t c t b t a P t B X X ode, [ ] X P P P P G 9 e B M é a matrz de coefcetes da base Bézer 6 B M A fgra mostra qe cada oto de cotrole oss flêca sobre a crva. Para B, a fção de Bézer eade o coceto de oderação e assme caráter olomal, o seja, cotrole ão-local, ode todos os otos de cotrole artcam da formação oderada da crva. [ ] X P P P P P G 5 e M é a matrz de coefcetes da base Bézer M Otra formlação bem cohecda e tlzada da lteratra, é a crva de Bézer aramétrca t b cosderada como a somatóra dos olômos de Berste mltlcados elos otos de cotrole b.

13 Persectvas em Cêcas Tecológcas b t b B t ode é o gra da crva de Bézer. As fções B t t são os olômos de Berste, e são defdos or FARI, 99: B t t t, ode!!! se caso cotráro Para o caso mas comm, ode tem-se: B t t t + t t + B t t. t t 6t t + B + t t. t t t B t t 5 Observa-se qe os coefcetes de t dos olômos de Berste ara o gra são os meos coefcetes da matrz M da Eqação. Cada olômo B t tem B m úco valor de mámo, qe ocorre em t/. Isso casa o qe é chamado de cotrole sedo-local, o seja, ao mover-se m dos otos de cotrole, a forma da crva será afetada mas fortemete a regão róma a este oto, todava, toda a crva é afetada PARETE,. Os olômos de Berste ossem algmas roredades qe são assadas às crvas de Bézer. A rcal delas é qe qalqer olômo é semre ostvo o tervalo de [,] e qe: B 6 B Além dsso, ela Fgra ode-se ver qe a somatóra de todos os olômos reslta a dade: B t 7 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

14 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra. Polômo cúbcos de Berste Com estas roredades, ode-se chegar a ma roredade da crva de Bézer, deomada de cove hll, qe dz qe a crva de Bézer está comletamete detro do maor olígoo coveo formado elos otos de cotrole P a P. Qalqer trasformação de escala, de traslação o de rotação da crva ode ser feta aeas realzado as trasformações dos otos de cotrole. Esta roredade também é tlzada ara a checagem de terferêca etre crvas. Através da terferêca etre crvas ode-se ctar como eemlo de alcação o cálclo de terferêca de braços robótcos. Se as trajetóras de dos braços são descrtas or crvas de Bézer, em vez de se realzar o cálclo de ossíves tersecções, basta fazer o teste do olígoo coveo, qe é mto mas smles FARI, 99. Fgra. Crvas de Bézer Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

15 Persectvas em Cêcas Tecológcas ecesstará r das crvas de Bézer com os segtes otos de cotrole: Crva : P, P, P e P Crva : P, P 5, P 6, P 7, P 8, P 9, P, P, P, P e P Etão, devemos garatr a cotdade aramétrca C e a cotdade geométrca G. G, já qe tedo o oto P em comm, garatmos já a cotdade C é dada or: P P P P5 G é dada or: P P k P P5, ode k > C e Se garatrmos qe estas relações são váldas, etão se tem m método ara r os segmetos de crvas. A obteção das crvas de Bézer ara otos P - P - P - P sege o mesmo racocío descrto aterormete, oderado das crvas, C P - P - P e C P - P - P. O desevolvmeto desta déa é o segte, com base a fgra abao: P C C P P P Fgra. Crvas de Bézer com otos Desta maera, dadas as crvas C e C, defdas arametrcamete, em fção de t, a crva C ode ser eressa or: C + C 8 t * C t * Cjo desevolvmeto reslta em: C + P 9 t t * P + * t * t * P + * t * t * P t * Para t etre e. 5 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

16 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra 5. Crvas de Bézer or otos Dada a eqação 5 odemos dzer qe ara 6 otos ode 5 temos: P t t P + + 5t t P + t t P + t t + 5t t P t P5. Crvas B-Sles Estem famílas de fções de mstra qe odem ser tlzadas ara gerar qalqer crva sle ara m determado vetor de ós. Tas famílas são chamadas de fções base ara as sles, com o sgfcado de qe toda e qalqer crva sle ode ser obtda or ma fórmla geral, com os otos de cotrole adeqados. Estem mtas famílas de fções de mstra qe são fções bases, mas este ma em esecal qe oferece o melhor sorte e coseqüetemete o melhor cotrole local: são as Bass-sles, o aeas B-Sles. As crvas B-Sle são defdas or: L P t. t k k k, m E as fções B-Sle or: t tk tk + m t t. k, m t. k+, m tk + m t + k tk + m t + k + t k, m sedo: t k : os valores do arâmetro; T t, t, t,...: vetor de ós; L k + : úmero de otos de cotrole; m : é a ordem das fções B-Sles. 6 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

17 Persectvas em Cêcas Tecológcas A fórmla acma é ma defção recrsva ara a costrção de ma fção de ordem m a artr de das fções B-Sle de ordem m-. A fção de rmera ordem é gal a detro dos segtes tervalos: k, ara tk t tk + t ara otro tervalo t t t., t +., l l. t Característcas das B-Sles: - Permtem m cotrole local melhor orqe cada oto de cotrole é assocado a ma fção B-Sle. O cotrole local caracterza a caacdade de modfcação de m dos olômos de ma crva sem alterar os demas. Assm, cada oto de cotrole eerce flêca a crva somete o tervalo de ós o qal sa resectva fção base B-Sle ão é la o se sorte; - Possblta a mdaça a ordem da fção base e coseqüetemete o gra da crva, sem modfcar o úmero de otos de cotrole. Um eemlo de fção base é a rmera fção B-sle de ordem m, ara os ós eqüdstates, ode: t t k, t k é m lso traglar deslocado de ma dade de t, t,, t t. t. ara t ara t ara otro tervalo Fgra 6. Fção base ara a sle de rmero gra 7 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

18 Persectvas em Cêcas Tecológcas t t t., t +.,, t Para fções B-sle qadrátcas m baseadas os mesmos ós eqüdstates, é ecessáro obter somete, os as otras fções são somete, t traslações desta: o rmero termo é ma rama vezes o rmero lso traglar, e o segdo termo é ma rama decrescete vezes o segdo lso, rodzdo das arábolas cocdetes em ma etremdade. Qado as das fções em são, t somadas, as etremdades desaarecem e o lso resltate tem ma dervada cotía. O segmeto médo evolve a soma de das qadrátcas resltado: t / t / t / t / ara otro tervalor ara t ara t ara t Fgra 7. Fções base ara a sle qadrátca As otras forma de sle qadrátcas, k são obtdas faclmete qado os, t ós são eqüdstates: se o ó t k k etão t t. k, m, m k 8 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

19 Persectvas em Cêcas Tecológcas A sle cúbca é a sle mas tlzada, cja fção, sedo smétrca ao redor de t e ode ser reresetada comactamete como:, ode os dos segmetos t e v t são dados or: t. t 6. t ara t v. t ara t t v. t ara t. t ara t ara otro tervalo, t 5 v t.. t 6. t Fgra 8. Fções base ara a sle cúbca O cálclo das dervadas mostra qe a rmera e segda dervada da sle cúbca são cotías. Baseado o racocío eosto as fções aterores, a fção m k, t ca em t k e terma em t +, se sorte é [ ] k m t k t k + m,, e é ostva.. Ratoal B-Sle O método Ratoal B-Sle sado ara terolar ode ser eresso da segte maera: 9 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

20 Persectvas em Cêcas Tecológcas S A R 7 S m j j j j, k m A R 8 Qado j k j j, k R, Ratoal B-Sle de ordem k codção k. R mº dervada de RAtoal B-Sle de ordem k. m j, k A dfereça etre o método Ratoal B-Sle e o método B-Sle é sar o método B-Sle de fções báscas sbsttídas elo so da Ratoal B-Sle de fções báscas. R Uma Ratoal B-Sle,, de ordem k é defda como: R j, k j, k W j j, k / W j j, k j 9 Ode W é ma seqüêca com valores ostvos. A B-Sle, j j, k da eqação 76 com kots,,,..., +, é defdo ela relação de reetção como: T j T j T j+ k T j T j+ k j+ k + j+, k T T T T j, k j+ k j j+ k j+ Para k >, e j,...,., T j T j+ j,, otro tervalo Para k A eqação 9 mostra qe m Ratoal B-Sle de ordem k ode ser obtda ela modfcação da B-Sle de ordem k. As eqações 9- rodz valores de ara R j, k m ordem esecfcada, seqüêca kot, e ma mortate seqüêca o domío de teresse ela combação lear de qatdades ostvas. Ratoal B-Sle tem m mero de roredades teressates, algmas são ertetes ara os rocedmetos meras sados em valores estmados e alcações. O valor dferete de zero de R, k j ocorre somete o tervalo [ T j T j + k ], em ma seqüêca kot. Em otras alavras, ma Ratoal B-Sle de ordem k é dferete de zero somete de ovo k de tervalos adjacetes etre kots. Um otra característca de Ratoal B-Sle de ordem k é qe ara qalqer oto determado,, o domío k Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

21 Persectvas em Cêcas Tecológcas adjacete é zero. Valores dferetes de zero a Ratoal B-Sle odem ser R j, k escrtos como: j R j, k de [ ] ote qe, ma mdaça em T j T j + k W j afeta a Ratoal B-Sle semre o tervalo,. Como m resltado, o escoo ode eercer m cotrole local de movmetos característco elo ajstameto artclar de W j.. URBS Um to dervado das crvas B-Sles são os URBS o Uform Ratoal B-Sles sles qe tlzam fções base racoas e m vetor de ós ão forme, demostrado qe é m modelo matemátco sado ara gerar e reresetar crvas e serfíces. Uma fção racoal é defda como a razão de das fções olomas Cho, 99. Uma desvatagem das crvas B-Sles é a dfcldade a reresetação de seções côcas hérboles, elses, arábola em vrtde da reresetação aramétrca destes tos de crvas se dar a forma de fções racoas, ossbltado a reresetação de seções côcas e crvas de formas lvres tlzado fções base racoas e m vetor de ós ão forme, além das característcas aresetadas elas crvas B-Sle. Uma crva URBS Q de gra defe m roto o esaço D com o arâmetro escalar assmdo valores detro de [,]., Q, o qal m cojto de otos de cotrole formam m olígoo de cotrole e são os esos. Um ameto o eso a a crva mas róma ara o oto de cotrole. é a -ésma fção base B-Sle de gra ordem +., As URBS são crvas em + R orqe tem coordeadas homogêeas, R + Q. Um vetor de ós ão-forme, com ma seqüêca ão-decrescete de úmeros reas é defda como: Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

22 Persectvas em Cêcas Tecológcas Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9 { + +,...,,...,,... m b b a a o qal + m e m...,,, úmero de ós. Os ós em ma crva URBS são os otos em arâmetro esaçado ode as crvas olomas racoas são das jtas ara formar m segmeto mltcrva. Cosderado a maera de trodzr coordeadas homogêeas ara ma crva B-Sle qe derva a defção de URBS, através de + otos de cotrole,...,, e vetor de ós { } m,...,, de m+ ós, a crva B-Sle de gra defda or estes arâmetros é a segte: Q, 5 É ecessáro dear o oto de cotrole ser reescrto como m vetor cola com qatro comoetes com o qarto sedo : z y 6 Para coordeadas homogêeas, mltlcado a coordeada de m oto com m úmero ão-lo ão mda sa osção. Pode-se mltlcar a coordeada de com ara obter ma ova forma em coordeadas homogêeas: z y 8 Sbsttdo esta ova forma homogêea a eqação da crva B-Sle ateror, será obtdo o segte: z y z y Q,,,,,, 7

23 Persectvas em Cêcas Tecológcas Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9 Etão, o oto Q também está em ma forma de coordeadas homogêeas. É ossível coverter a fórmla ateror ara coordeada cartesaa dvddo Q elo qarto comoete:,,,,,,,, j z y z y Q 8 Falmete, atg-se a fórmla a segr: Q,, 9 Isto é a crva URBS de gra defda elos otos de cotrole,...,,, vetor de ós { } m,...,,, e esos,...,,. Pode-se observar qe em vrtde do eso ser assocado com o oto de cotrole como se qarto comoete, o úmero de esos e o úmero de otos de cotrole devem ser gas. Podemos etão resltar ela defção de URBS qe: - Se todos os esos forem gas a, ma crva URBS redz ara ma crva B- Sle. este caso, otos de cotrole em formas homogeas são dêtcos ara sa forma cartesaa covecoal e o deomador é. - As crvas URBS são racoas, sedo qe o valor mltlcado ara os otos de cotrole,,, é m olômo de gra. O deomador é a soma de todos os coefcetes e, coseqüetemete, também é m olômo de gra. Como resltado, o coefcete do oto de cotrole é o qocete de dos olômos de gra e a fção Q é racoal.

24 Persectvas em Cêcas Tecológcas Desta maera odemos ver qe as crvas B-Sle são casos esecas de crvas URBS. Além dsso, vsto qe crvas URBS são racoas, círclos, elses, arábolas e mtas otras crvas qe são mossíves com crvas B-Sle são agora ossíves como crvas URBS. Mas é ossível qestoar se as crvas URBS são tos esecas de crvas. a verdade, elas são smlesmete otro to de crvas B-Sle. Cosderado o oto de cotrole, y, z,, este oto revela qatro comoetes e ode ser tratado como m oto o qadro esaço, e coseqüetemete, Q abao tora-se ma crva B-Sle em qatr dmesões:,, y y Q,, z, z, Em ma terolação geométrca de coordeadas homogêeas, dvddo os rmeros três comoetes de coordeadas elo qarto, adqre-se o eqvalete a rojetar m oto em qatro dmesões ara o ao. Tedo em vsta qe a crva acma é covertda em ma crva URBS, dvdedo as três rmeras coordeadas com o qarto comoete, coclí-se qe ma crva URBS o esaço trdmesoal é meramete a rojeção de ma crva B-Sle em qadr dmesões esacas. Determadas roredade mortates de URBS são dado m cojto de otos de cotrole sto é,,..., tem eso URBS de gra é defda como sege:,, cada m é assocado com m eso ão egatvo, e m vetor de ós {,..., } de m+ ós, a crva Q R, o qal R, e defda a segr: R, j j,, j, m Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

25 Persectvas em Cêcas Tecológcas Desta maera odemos destacar qe URBS é ma geeralzação de B-Sle, herdado todas as roredades de B-Sle. As mas mortates ara fções base URBS são: - R, é ma fção racoal de gra em. - ão egatvdade ara todos e, R, é ão egatvo. - Sorte Local - R, é m ão-lo em [, Em qalqer eríodo de ó [, + +., o mámo IPI+ fções base de gra são ão-las, sto é: R,, R +,, R +,,..., e R,. 5- Partção de Udade a soma de todas fções base ão-las de gra o eríodo [ é., Se o úmero de ós é m+, o gra das fções base é e o úmero de fções base de gra é +, etão m Fção base R, é ma crva comosta de fções racoas de gra com., + + otos de acolameto os ós em [ 8- em m ó de mltlcdade k, fção base R, é k C cotío. 9- Se c ara todo, ode c é ma costate ão-la, R,,. Podemos coclr qe fções base B-Sle são casos esecas de fções base URBS qado todos os esos torarem ma costate ão-la. Assm deve-se mecoar em esecal c. as mortates roredades de crvas URBS ode-se erceber qe este a ossbldade de ma URBS estar aberta, sem-fechada e fechada. Como crvas B- Sle, se os rmeros + ós e os últmos + ós são gas ara o fm da esqerda e da dreta do domío, a crva é sem-fechada. - Crva URBS Q é ma crva or artes cotadas com cada comoete ma crva racoal de gra. - A galdade m + + deve ser satsfeta. - Uma crva URBS sem-fechada Q assa elos dos otos de cotrole fas e. - Proredade de Fecho Coveo Forte: a crva URBS é cotda o fecho coveo de ses otos de cotrole. Além dsso, se está o eríodo de ós 5 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

26 [, + + Persectvas em Cêcas Tecológcas, etão Q está o fecho coveo dos otos de cotrole,...,, +. Esse rocesso tem sdo eectado de modo ítdo, ermtdo qe todos os esos devem ser ão-egatvos. Se algs deles são egatvos, a roredade de fecho coveo forte o até a roredade de fecho coveo ão sortará. A segr, a fgra é ma crva URBS de gra com, m 5 e os rmeros três e últmos três ós sem-fechados. Os esos dos dos otos de cotrole termam em ambos e o eso do oto de cotrole do meo é.5. sto é ma arco elítco. O segmeto da crva fca cotdo o fecho coveo. Fgra 9. Crva URBS de Gra A fgra areseta o eso de oto de cotrole do meo cofgrado ara zero, assm este oto de cotrole ão revela ehm efeto, o resltado é o segmeto da lha determada elas etremdades. Ada fca cotdo o fecho coveo. Se o eso é mdado ara -.5, o segmeto de crva ão é cotdo o fecho coveo e coseqüetemete a roredade de fecho coveo falha coforme fgra 5. Fgra. Crva URBS de Gra 6 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

27 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra. Crva URBS de Gra 5- Esqema de modfcação local: mdado a osção do oto de cotrole somete afeta a crva., + + Q o tervalo [ Isto sege da roredade do esqema de modfcação local de fções base B- Sle. Recorde qe R, é ão-lo o tervalo [, + +. Se ão está este tervalo, vsto qe R, é zero e R, ão tem ehm efeto em comtador Q. Por otro lado, se está o tervalo dcado R, é ão-lo, e se R, é mdado, etão deve-se fazer Q. Este esqema de modfcação local é mto mortate o rojeto de crva, orqe ode-se alterar ma crva localmete sem mdar a forma de m modo global. Além dsso, se ma ova defção de forma da crva é egda, ode se serr mas ós e etão mas otos de cotrole de modo qe a regão afetada ossa ser restrgda ara ma mto meos. 6- Q é k C cotío em m ó de mltlcdade k. Se ão é m ós, Q está o meo de m segmeto de crva de gra e é etão ftamete dferecável. Se é m ó o domío ão-lo de cosderado qe R é somete, 7- Proredade Dmdo varação k C cotío, etão é ecessáro fazer R,, Q. 7 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

28 Persectvas em Cêcas Tecológcas A roredade dmdo varação também sorta ara crvas URBS. Se a crva é cotda em m lao, a reta ão terceta ma crva URBS mas vezes qe se olígoo de cotrole. 8- Crvas B-Sle e Crvas Bézer são casos esecas de Crvas URBS. Se todos os esos forem gas, ma crva URBS tore-se ma crva B-Sle. Se, além dsso, sto é, o gra de ma crva B-Sle é gal ara, o úmero de otos de cotrole meos e estem + + ós com + deles semfechados em cada fm, esta crva URBS redz ara ma crva Bézer. 9- Ivarâca Projetva. Maeameto trasfto O maeameto trasfto é ode as crvas de cotoro de ma serfíce o as serfíces de cotoro de m volme são comletamete cosderadas GORDO, 97. Desta forma crvas de formas lvres, clsve com catos vvos, odem ser tlzadas ara descreverem ma serfíce. o maeameto trasfto a descrção de m qadrlátero é realzada através de terolação blear etre as crvas oostas do cotoro. Além dos cotoros odem ser tlzadas crvas teras, qe ossbltam a descrção de serfíces crvas com maor gra de comledade. A terolação trasfta de coros trdmesoas sege o mesmo rcío. o caso de m heaedro realza-se ma terolação trlear etre sas faces. Para descrever este maeameto é ecessáro trodzr o coceto de m rojetor P. Um rojetor é qalqer oerador lear demotete qe maea ma serfíce real ma serfíce aromada, sjeta a certas restrções teroladoras. Deste modo, há ma eorme varedade de ossíves rojetores. O rojetor faz ma terolação lear etre das crvas de cotoro, Ψ e Ψ : P [F] Ps,t-t Ψ s+t Ψ s: s, t ode s é ma coordeada aramétca ormalzada ao logo de Ψ e Ψ, e t é ma coordeada aramétrca qe tem m valor gal a zero em Ψ e m em Ψ. Cojtos destes smles rojetores leares odem ser mstrados ara trasformar rojetores mas comleos qe maearão as crvas de F em todos os ses otos. Um rojetor qe oera ma regão F cotorada elas qatro crvas S t, S t, T s, T s, é mostrado a fgra 6 a. Dos rojetores báscos odem ser formados, m terolado a dreção S e o otro a dreção T: 8 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

29 Persectvas em Cêcas Tecológcas Pss,t-tTs+tTs s, Pts,t-sSt+sSt t 5 Estes rojetores são mostrados a fgra b e c. O rojetor rodto PsPt[F}PtPs[F] é mostrado a fgra d. Este rojetor maea F eatamete os qatro catos com aromações leares ao logo dos qatro lados. Falmete, o rojetor de soma booleaa é defdo tal qe F é maeado em toda a serfíce, fgra e: Ps Pt PstPs+Pt-PsPt 6 Maeameto Trasfto baseado em descrções de crvas dscretas forece ma base efetva ara geração atomátca de malhas de elemetos ftos. Eles são geras, smles de mlemetar e comtacoalmete efcetes. ão há ehma restrção a geometra das crvas de cotoro qado a forma dscreta do maeameto é sada. Restrções toológcas odem ser mostas ao maeameto ara mmzar a qatdade de dados de etrada reqerdos. Fgra. Maeameto Trasfto Blear 9 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

30 Persectvas em Cêcas Tecológcas o etato o trabalho se dará em m esaço trdmesoal qe sege o mesmo rco acma mecoado, sedo tlzado m heaedro o qal realza-se ma terolação trlear etre sas faces. Desta forma se verfca a ecessdade de tlzar-se de métodos matemátcos, trabalhado-se o etato com rodto escalar e rodto vetoral ara ateder as ecessdades de cálclos a geometra do heaedro. Assm sedo: s,, t r Pode-se tlzar de cálclos como: d r dy r dz r r r dr dr dr d s dy s dz s s s ds ds ds d t dy t dz t t t dt dt dt 7 Assm como: t r s. Assm sedo ara se chegar os três rmeros cálclos é recso assar or: Eqação aramétrcas de crva V? r, z y, Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

31 Persectvas em Cêcas Tecológcas Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9 [ ], z y z y f z f y f t r f z r f y r f 8 Objetvo: qal o valor de Φ? Φ,,?? cos.. cos Φ Φ t z y F f r r r f r r f r r f V V V V V V V V V V V 9 C C s t r f r f r f r C? V V

32 Persectvas em Cêcas Tecológcas >. regra da mão dreta <. regra da mão esqerda Podedo assm verfcar o segte método: y z Trasf. versa Trasf. versa B Φ C A Trasf. dreta Ode: dlz C r d r dl B r d r dl A r d r 5 A. B A B cosφ cosφ A. B A B Φ º 6º 6º º º 8º Gerador de Malha As tarefas de m gerador de malhas odem ser sbdvddas em: Etrada e saída de Dados: ecessdade de desevolvmeto de rotas esecífcas caazes de ler o escrever todos os comoetes da estrtra de dados a ser desevolvda. Dessa forma, a troca de dados etre os dversos rocedmetos do Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

33 Persectvas em Cêcas Tecológcas gerador de malha ode ocorrer tato através de arâmetro de métodos, varáves globas como também através de arqvos adrões, o qe facltará o desevolvmeto aralelo dos dversos módlos. Processador Geométrco: drate a rearação da geometra ara a tlzação da geração de malhas é recso o emrego de rocessadores geométrcos como do rocessador qe faz a coversão de formações geométrcas cotdas o modelo ara a estrtra de dados do gerador a ser desevolvdo, o rocessador de sbdvsões qe trasforma ma serfíce em qadrlátero e m volme em heaedros, o rocessador de terferêca qe aalsa a dsosção das lhas, serfíces e volmes etre s, e o rocessador de desdade qe determa a dstrbção de elemetos ftos em cada ma das etdades geométrcas. Gerador Toológco de malhas: ara cada etdade geométrca lha, qadrlátero o heaedro é realzada a geração de malha em m esaço aramétrco táro ordem: ª- reta, ª- qadrado o ª- cbo. A dstrbção de elemetos ocorre levado-se em cota o resltado do rocessador de desdade. Esse rocedmeto é realzado de acordo com a herarqa geométrca. Assm ma reta de comrmetos táro é sbdvdade em dversas lhas, m qadrado táro em qadrláteros e m cbo táro em heaedros. Maeador de malhas: o maeador rojeta as malhas locas geradas toologcamete em lhas, serfíces o volmes localzados o esaço. O maeador a ser tlzado recsa garatr qe otos, lhas e serfíces de cotoros da geometra tára descrta o esaço aramétrco sejam rojetados eatamete em otos, lhas e serfíces da geometra ecldaa. Processador de malhas: aós a geração e maeameto de malhas locas ode-se alterar a malha localmete o como m todo, ode o terolador de elemetos altera o gra de terolação de elemetos soladamete o em gros; o motador de malhas agra as dversas malhas locas em ma malha global, elmado formações reddates, tas como dos ós localzados o mesmo oto; o rocessador de cargas sbdvde evetas esforços defdos sobre lha, serfíces o volmes em forças sobre os ós; o rocessador de codções de cotoro relacoa evetas restrções de movmetos defdas sobre lhas o serfíces aos resectvos ós. Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

34 Persectvas em Cêcas Tecológcas Processador Et/Saída Processador Geométrco Gerador de Malha Processador Toológco Maeador de Malhas Processador de Malhas Letra Iterface c/ ASYS Ger. Tool.. Lhas Maeador. Lhas Iterolador de Elemetos Escrta Processador de Sbdvsões Ger. Tool.. Serfíces Maeador. Serfíces Motador de Malhas Processador de Iterferêca Processador de Cargas Processador de Desdade Processador de Cod. Cot. Fgra. Sbdvsão fcoal de m gerado de malhas O gerador toológco rá trabalhar em m esaço dmesoal reta e m esaço aramétrco bdmesoal qadrado. Fgra. Esaço aramétrco Bdmesoal As varáves,, e são úmeros teros ostvos dferetes de zero. Eles reresetam o úmero de elemetos a serem gerados em cada ma das arestas do qadrado táro. A somatóra dos úmeros de elemetos or aresta deve ser m úmero ar. As varáves A, A, A e A reresetam o to de âglo formado elos qadrláteros da malha ermtdo em cada m dos vértces do qadrado táro. Os âglos ermtdos são: ortogoal e bssetrz. Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

35 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra 5. Restrções de âglos ara geração de malha toológca Baseado-se as restrções acma, obteve-se o cojto de oerações ossíves de se realzar o qadrado aramétrco. Este cojto de oerações é lstrado ela tabela a segr: Tabela. Oerações do qadro aramétrco 5 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

36 Persectvas em Cêcas Tecológcas Otro fato qe mostro-se mortate fo erceber qe o rocesso de geração toológca de malhas em esaços aramétrcos bdmesoas é eretemete recrsvo. A cada oeração realzada sobre o qadrado aramétrco gera m determado úmero de elemetos e m ovo qadrlátero qe ode ser tratado recrsvamete como m ovo qadrado aramétrco, como mostra a fgra a segr: Fgra 6. Geração de malha recrsva Em rmera etaa bsco-se as regras qe determavam a geração toológca em qadrados aramétrcos sem restrções de âglos. Obteve-se a tabela abao: Codção Oeração a ser realzada Se e T elemetos Se > e U9 Se < e U7 Se e > U8 Se > e > L8 Se < e > L7 Se e < U Se e L9 Se < e < L Para lstrar a atalzação desta tabela tomemos como eemlo a geração de malhas o esaço aramétrco bdmesoal com as segtes codções: 5,, 8 e 5. Em rmero lgar costato-se qe a soma dos úmeros de elemetos a serem gerados or aresta é ar, os qe é ar. Temos etão qe < e <, ela tabela a { oeração a ser realzada é L. A fgra abao lstra esta oeração. 6 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

37 Persectvas em Cêcas Tecológcas Fgra 7. Oeração L Como resltado desta oeração obteve-se das áreas dsttas. a rmera tem a malha gerada. Sobre a segda alco recrsvamete as regras da tabela sobre os ovos valores, os como ode-se observar, hove ma dmção de ordem em e qe assaram a ser resectvamete gas a 7 e. Com ovos valores temos < e e ortato alco-se a oeração U7. A fgra lstra sso. Fgra 8. Oeração U7 ovamete alco-se as regras da tabela com o ovo valor de 5, o seja e. Tedo, ortato, qe a oeração e T 5. A fgra 7 mostra esta oeração oeração fal: Fgra 9. Oeração T 7 Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

38 Persectvas em Cêcas Tecológcas Cosderações Fas O gerador de malhas é caracterzado ela ecessdade da descrção geométrca, ode será gerada a malha, através de regões arcas segdo regras rígdas. Cada ma dessas regões é etão reechda elo gerador de malhas com ma malha local. Drate a defção dessas regões, também chamada de redscretzação, o sáro recsa cosderar ma sére de regras e restrções. Qato ao oscoameto relatvo das dversas regões, deve-se observar qe serfíces devem cotactar-se comletamete através de sas crvas e volme, através de sas serfíces de cotoro. Tato cotacto arcal, como tersecção de serfíces o de volmes ão são ermtdos, egdo dscretzação etras, o seja, cração de ovas regões. Efm ode-se observar qe o Softare desevolvdo receberá formações do arqvo de orgem do Softare de Elemetos Ftos e etão gerará a malha das formas geométrcas, sedo assm avalados os resltados, verfcado a qaldade da malha, qado m qadrlátero aroma de m qadrado e qado heaedro aroma de m cbo e as sas característcas. Referêcas BÉZIER, P. Emlo des Maches a Commade merqe. Pars: Edtora Masso, 97. BROSTEI, I..; SEMEDJAJEW, D. A. Taschebch der Mathematk. Lezg: Teber, 98 CAI, J.; TSAI, H. M.; LIU, F. A arallel vscos flo solver o mlt-block overset grds. Comter & Flds. v. 5,.9- CHOI, B. K. Srface Modelg for CAD/CAM. Elsever, 99 EDELSBRUER, H. Geometry ad Toology for Mesh Geerato. Cambrdge: Cambrdge Uversty Press,. FARI, G. Crves ad Srfaces for Comter Aded Geometrc Desg.. ed. Arzoa: Academc Press, 99. FARI, G. URBS from Projectve Geometry to Practcal Use.. ed. Arzoa: AK Peters, 999. FOLEY, J. D. et. al. Itrodcto to Comter Grahcs. USA: Addso-Wesley, 99.. Comter Grahcs rcles ad ractce.. ed. USA: Addso-Wesley, 996. GEORGE. P. L. Atomatc Mesh Geerato: Alcato to Fte Elemet Methods. Pars: Wley, 99. GLEICHER, M. A Crve Ttoral for Itrodctory Comter Grahcs, Deartmet of Comter Sceces, Uversty of Wscos, Madso,. -5, Oct.. Dsoível em: <htt://.cs.sc.ed/grahcs/corses/559-/docs/cs559- sles.df>. Acesso em: 7 Ja Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9

39 Persectvas em Cêcas Tecológcas GORDO, W.J.; HALL, C.A. Costrcto of crvlear co-ordate systems ad alcatos to mesh geerato. mersche Mathematk, v. 7,. 6-77, 97.. Trafte elemet methods, bledg-fcto terolato over arbtrary crved elemet domas. mersche Mathematk, v.,.9-9,97. HABER, R.; SHEPHARD, M. S.; ABEL, J. F.; GALLAGHER, R. H.; GREEBERG, D. P. A geeral to-dmesoal, grahcal fte elemet rerocessor tlzg dscrete trasfte mags. It J m Meth Eg, v. 7,. 5-, 97. KUPP, P., STEIBERG, S. Fdametals of Grd Geerato. USA: CRC Press, 99. MORTESO, M. E. Geometrc Modelg. Caada: Joh Wley & Sos, 985. MYERS, R. H., MOTGOMERY, D. C. Resose Srface Methodology: Process ad Prodct Otmzato Usg Desged Eermets. Caadá: Wley Seres Probablty ad Statstcs, 995. O ROURKE, J. Comtatoal Geometry C.. ed. Cambrdge: Cambrdge Uversty Press, 998. PARETE, E. Jr. Aálse de Sesbldade e Otmzação de Estrtras Geometrcamete ão-leares.. Tese Dotorado em Egehara Cvl - Deartameto de Egehara Cvl da PUC-Ro, Ro de Jaero.. PIEGL, L., TILLER, W. The URBS book.. ed. e York: Srger, 997. SHEPHARD, M. S. The fte elemet modellg rocess ll t be atomated? e ad ftre develomets comercal fte elemet methods,. 5-68, 98. STOLARSKI, T., AKASOE, Y., YOSHIMOTO, S. Egeerg Aalyss th ASYS Softare. USA: Elsever BH, 6. SU, Y.; LEE, K. H.; KUMAR, A. S. Atomatc mesh geerato ad modfcato techqes for med qadrlateral ad heahedral elemet meshes of o-mafold models. Comter-Aded Desg, v. 6, ,. TA, S. T., LEE, C. K. Iversed Ratoal B-Sle for Iterolato. Comters & Strctres. USA, v.,. 5, , 99. THOMPSO, J. F., WARSI, Z. U. A., MASTI, C. W. mercal Grd Geerato. e York: oth-hollad, 985. TILLER, W. Ratoal B-Sles for Crve ad Srface Reresetato. Strctral Dyamcs Research Cororato. USA,. 6-69, se et. al. Hadbook of Grd Geerato. Parallel Mltbock Strctred Grds, CRC Press, 999 TSAY, D. M., HUEY, C. O. JR. Alcato of Ratoal B-Sles to the Sythess of Cam-Folloer Moto Programs. Joral of Mechacal Desg. USA, v , se. 99. YAMAGUCHI, F. Crves ad Srfaces Comter Aded Geometrc Desg. Berl: Srger-Verlag, 988. WALZ, J. E.; FULTO, R. E.; CYRUS,. J.. Accracy ad covergece of fte elemet aormatos. Proc sec cof matr Meth mech, Wrght Patterso AFB, Oho, 969, ZIEKIEWICZ, O. C. The Fte Elemet Method Egeerg Scece. Lodo: McGra-Hll, Persectvas em Cêcas Tecológcas, v.,., fev.,. 9-9