MÉTODO DUAL SIMPLEX COM A REGRA STEEPEST-EDGE PARA RESOLVER PROBLEMAS LINEARES CANALIZADOS

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1 A esusa Oeracoal e os Recursos Reováves 4 a 7 de ovembro de 3, atal-r MÉODO DUAL SIMPLEX COM A REGRA SEEPES-EDGE PARA RESOLVER PROLEMAS LIEARES CAALIZADOS Rcardo Slvera Sousa Marcos ereu Areales Deartameto de Cêcas de Comutação e de Estatístca Isttuto de Cêcas Matemátcas e de Comutação - ICMC - USP Av. rabalhador São-carlese, 4 Cx. Postal 668 São Carlos - São Paulo - rasl CEP {rsouza,areales}@cmc.sc.us.br Resumo O Método Smlex com a regra de Datzg ormalzada têm um ótmo desemeho comutacoal ara roblemas de grade orte e esarsos. Como o método dual smlex lear or artes é muto efcete ara roblemas de otmzação lear caalzado, etão aresetamos este trabalho a regra de Datzg ormalzada ara o algortmo dual smlex lear or artes e os rmeros exermetos comutacoas. Palavras-chave: otmzação lear, método smlex, regra de Datzg ormalzada. Abstract he Steeest-edge Smlex Method has a excellet erformace comutatoal for sarse large-scale roblems. As the ecewse lear dual smlex method s very effcet for roblems two-sde costrat of lear otmzato, so we reseted ths work the steeest-edge rule for the ecewse lear dual algorthm ad the frst comutatoal exermets. Keywords: lear otmzato, smlex method, steeest-edge rule.. Itrodução Um roblema de otmzação lear cosste a mmzação ou maxmzação de uma fução lear, defda sobre um domío descrto or euações e/ou euações leares, sto é, formato adrão: Mmzar f(x) c x Sueto a: Ax b (.) x, ode A é uma matrz m. O roblema de otmzação lear fo formalzado or George. Datzg em 947 ue, em seguda, desevolveu o Método Smlex ara resolvê-lo. Desde etão, um úmero grade de esusadores têm cotrbuído ara o camo da otmzação lear de dferetes maeras, cludo desevolvmetos teórcos e comutacoas e ovas alcações. A regra de Datzg ormalzada é cohecda desde os exermetos de Kuh e Quadt (963) e Wolfe e Cuttler (963), orém, or causa de sua mlemetação dreta, fo calmete reetada como mratcável. o etato, Goldfarb e Red (977) ublcaram o rmero algortmo do to smlex (algortmo ue ercorre vértces assocados as bases) com a regra de Datzg ormalzada ratcável. Os autores reortaram testes comutacoas relmares, mostrado a suerordade do algortmo smlex com esta regra em relação ao algortmo smlex com a regra de Datzg. Forrest e Goldfarb (99) aresetam um estudo mas romssor ara esta regra, ode forecem fórmulas de recorrêca ara atualzação do cálculo das ormas ara as dreções rmal e dual smlex, sea o formato adrão ou ão. Realzaram város testes comutacoas

2 com roblemas da etlb [htt:// e cocluíram ue, em geral, o algortmo smlex com esta regra realza meos terações do ue o método smlex com a regra de Datzg. O artgo está orgazado da segute forma: a seção relatamos sobre a efcêca e a comlexdade comutacoal do método smlex, a seção 3 é descrto o algortmo dual smlex lear or artes (Areales, 984), e a seção 4 a regra de Datzg ormalzada ara o algortmo. Falmete a seção 5, ecotram-se os rmeros exermetos comutacoas.. A Efcêca e a Comlexdade Comutacoal do Método Smlex A uestão da efcêca do método smlex semre fo tema de esusa desde a sua ublcação. o íco, a covergêca fta do método, garatda com regras ue evtassem cclagem, era sufcete ara os esusadores. o etato, o úmero máxmo de terações odera ser muto grade. Um couto de relatos sobre sua efcêca em roblemas rátcos ou gerados de forma aleatóra formou o chamado folclore do método smlex. Shamr (987) faz uma revsão deste folclore. o algortmo smlex, o rcal asso comutacoal é a resolução dos sstemas báscos a ser realzado a cada teração, ue ode ser feto em O(m 3 ) oerações elemetares. Assm, o esforço ecessáro ara resolver (.), elo algortmo smlex ode ser meddo elo úmero de terações. Da exerêca comutacoal com um úmero grade de roblemas resolvdos em város aos (Murty, 983, Shamr 987, azaraa et. al. 99), dcou ue o úmero médo de terações é uma fução lear de m, ue arece ser meor do ue 3m. Realzamos recetemete um estudo comutacoal ara o roblema de corte de eças em estoue (ue evolve mlhares de varáves), ode o úmero de terações é da ordem de m (Sousa, ), forecedo uma classe de roblemas ue reforça o folclore smlex de ue o úmero médo de terações é um olômo de grau baxo do úmero de restrções do roblema, embora ão lear. o etato Klee e Mty (97) aresetaram um exemlar, ara o ual o método smlex ecessta de terações (ode é o úmero de varáves), ercorredo todos os vértces da regão factível do roblema, ue é defda como uma dstorção do hercubo m- dmesoal, o ual têm vértces. Assm, o algortmo smlex ão ertece à classe de algortmos com temo olomal. Varações do método smlex, mas tarde, também se mostraram efcetes, do oto de vsta do estudo do or caso, ecesstado um úmero exoecal de terações (ertsmas e stskls, 997). Portato, a uestão cotíua aberta uato à ossbldade da costrução de um método do to smlex ue sea olomal, ou a rova deftva de ue é mossível costrur um algortmo do to smlex com comlexdade olomal. Segudo Shamr (987), erlaky e Zhag (993) está é a uestão aberta mas desafate a teora da otmzação lear. 3. O Algortmo Dual Smlex Com usca Lear or Partes esta seção aresetamos o roblema dual a artr do roblema rmal o formato geral (Vaderbe, 997), ode o roblema dual é lear or artes e o algortmo dual smlex é etão esecalzado. Defção 3.: Defmos o formato geral como o roblema de otmzação lear caalzado o segute roblema: Mmzar f(x) c x Sueto a: d Ax e, (Formato Geral) (3.) ode A R m ; d, e R m com d e ; c, x R. Suoremos, sem erda de geeraldade, ue osto (A), sto é, comleto or coluas. Para desevolver o roblema dual do roblema (3.) trasformamo-lo um roblema lear o formato adrão sem amlar o úmero de restrções, o ue em geral acarretara em um aumeto do esforço comutacoal. Para sso defmos y Ax, e (3.) é euvaletemete escrto or: Mmzar f(x) c x 98

3 Sueto a: Ax y (Prmal) (3.) d y e. Observe ue o roblema (3.) é uma forma bem geral, os a matrz A ode clur uma matrz detdade, e assm as restrções de ão egatvdade (ou caalzações) as varáves, ue são bastate comus em algus exemlos rátcos, são cosderadas. Ada, restrções de gualdade são reresetadas or d e. Etretato ara efeto de aálse do método ue remos descrever, cosdere o roblema o formato (3.). Podemos determar o roblema dual de (3.) usado o roblema euvalete (3.). Portato, o roblema dual ode ser escrto como: Maxmzar h(λ) Sueto a: A λ c. (Dual) (3.3) A fução obetvo é dada or: m e λ se λ < h(λ ) h (λ ), ode h(λ ) Ou d λ se λ >. sea, o roblema dual é um roblema de otmzação ode a fução obetvo é côcava lear or artes. ote ue o roblema dual semre será factível, os o osto (A) e λ rrestrto de sal. Se este for fto (or cosegute, o rmal factível), haverá uma solução ótma básca. Cosdere uma artção básca ualuer as coluas de A (, ). Uma solução geral do sstema em (3.3) é dado or: A λ c λ λ c. Uma solução artcular chamada solução básca dual assocada à artção básca é dada or: λ ˆ, ode c e (solução básca dual) (3.4) A artção básca forece uma artção as lhas de (3.): y x y x y x y. Da rmera euação acma vem ue: xˆ yˆ, (solução básca rmal) (3.5) substtudo-a a seguda temos: yˆ ˆ y. (3.6) Os valores de ŷ são determados or: ˆ d se λ ( c ) y ˆ ˆ e se λ ( c ) <. (3.7) Observe ue, com λ ˆ c e e usado (3.5): ˆ ˆ h(ˆ) λ λ ˆ y λ y c y c xˆ. Logo, com o ar de soluções rmal e dual defdo or (3.4) e (3.5) ara os roblemas (3.) e (3.3) resectvamete, têm a roredade de ue as fuções obetvos são guas. Observe ue a restrção d y e fo relaxada e, ue ŷ defdo or (3.7), satsfaz d ˆ y e. Se d y e for verfcada, etão a solução básca rmal xˆ y ˆ é factível. Como h( ) é um lmtate feror ara f(x) segue o teorema. 99

4 eorema 3.: Dada uma artção básca A e as soluções báscas assocadas (3.4) e (3.5)- (3.7). Se d yˆ e, etão as soluções báscas rmal e dual são soluções ótmas dos roblemas rmal e dual resectvamete. Em geral, ara alcar o método smlex, é ecessáro a resolução da fase I ue cosste em outro roblema a ser resolvdo. Etretato, o método smlex alcado ao roblema dual (3.3) ão reuer a fase I e ode ser cado a artr de ualuer artção básca. Como é comum restrções do to: l x u (mlctamete cosderadas em d Ax e), uma artção óbva é dsoível. Caso ão haa a caalzação as varáves, ode-se cosderar l -, u e a artção básca cal segue válda. ote ue desevolver o método rmal smlex ara o roblema dual (3.3) é euvalete a desevolver o método dual smlex ara o roblema rmal (3.). Cosdere uma artção básca e suas soluções báscas assocadas (3.4) (3.7). Se as codções do teorema 3. ão são satsfetas, erturbamos a solução básca dual, de modo a aumetar a fução obetvo dual h(λ). A estratéga dual smlex cosste a erturbação de uma varável dual ão básca (comoete de λ ). emos dos casos a cosderar. Por smlcdade, suomos a solução dual ão degeerada, caso cotráro, ara algum. Caso a) λ δ ek, δ e eueo. (Perturbação a dreta) Assm temos ue: λ δ ek c λ ( ) c δ( ) a. K De (3.4), temos ue a ova solução dual ode ser escrta or: λ ( ) a K λ δ, λ ˆ λ ek ou ada, λ δ, (3.8) ( ) ode a K é a dreção dual smlex. Escrevedo a fução obetvo dual ara a ova ek solução (3.8), cosderado δ sufcetemete eueo, de modo ue a fução h(λ) é lear, temos: h( m- λ ) h(ˆ λ δ ) h ( δ ) h ( δ ). Suodo solução ão degeerada,.e.,,,..., e ue,,...,. m e lembrado ue estamos erturbado aeas a k-ésma varável ão básca, temos ue: h(ˆ λ δ ) ŷ ( δ ) δd ŷ δ ŷ d k h(ˆ) λ δ ŷ d k h(ˆ) λ δ( yˆ d ), k Substtudo as comoetes báscas da dreção dual smlex, vem ue: k

5 h(ˆ) λ δ ( yˆ (- ) a d ) (- a xˆ d ) h(ˆ) λ δ K k h(ˆ) λ δ( - ŷ d ). K k (3.9) Portato, se d ˆ a x >, ou sea, se o lmte feror da k-ésma restrção rmal for K k volado, a dreção dual smlex é de subda. A exressão (3.9) é valda desde ue λ ão sofra mudaça de sal, os com a mudaça do sal de λ, o coefcete da fução obetvo dual é alterado. Logo se e, têm o mesmo sal, etão λ ode trocar de sal com o crescmeto de δ. Portato temos as segutes stuações com dos casos a cosderar: Se > e > ão há troca de sal; Caso ) Se > e < δ δ ; Se < e < ão há troca de sal; Caso () Se < e δ δ. > Assm, ara ue ão haa mudaça de sal em λ devemos ter: δ δ. Sea o um ídce básco tal ue: δ m tal ue,...,. (3.) Para δ δ P temos ue: h( λ ) h(ˆ) λ δ ( d ŷ ).. Quado K δ δ k P temos de (3.8) e (3.) ue -ésma restrção básca tora-se ula: λ, o ue sugere uma redefção da P artção básca, ode λ tora-se ão básca e λ δ K P > tora-se básca. A Fgura lustra a stuação. K k h d K ŷ K δ P δ ão há troca de sal em λ Fgura - Gráfco da fução dual o tervalo [, δ P ] Obvamete, como as varáves duas são rrestrtas de sal, o crescmeto de δ ão recsa ser lmtado or λ. Para valores de δ > δ P, a exressão da fução dual se altera,

6 odedo ada crescer. Isto sugere um busca a dreção ue ode ser feta ara a escolha de δ. Esta busca é lear or artes, devdo à característca da fução obetvo dual. Cosdere ue: h( λ ) h(ˆ) λ δh, ode h ( d K ŷ ).. Se dermos um eueo K acréscmo ao valor de δ P, ou sea, δ δp ε, ε e eueo, etão troca de sal. P (Observe ue λ ara δ δ P ). Aalsaremos somete o caso (): > e <, o P outro caso ( < e > ) segue de maera aáloga. Etão, ote ue ara P < δ < δ P a varável > e ue ara δ > δ P P a varável <. Substtudo δ δ ε P P em (3.8) temos: λ (δ ε) λ (ˆ λ δ P P ) ε λ λ ε, ode λ δ P. Observe ue λ δ ε e λ K k. Assm, a fução obetvo dual ode ser exressa or: h h ( (λ ) m ε h ( ) d k ) (δ ε). Suoremos or smlcdade ue λ,, ou sea, ue o mímo em (3.) ocorre somete ara o ídce, aeas a varável λ P se aula com δ δ Lembrado ue λ δ e ε > e eueo, temos ue: P P P h( λ ) ŷ ( ε ) h (ε ) (δ ε)d. P P K Como <, os estamos aalsado o caso (), temos ue h (ε ) εe, logo vem ue: h(λ ) ŷ (λ ) δ d ε λ e d K P P k (3.) As segutes gualdades são asseguradas: h( ˆ I) h( λ ) λ δ P) h (λ ) δ e ; Po II) ŷ ŷ e ; K P P III) ŷ a K xˆ. Portato, a exressão (3.) ode ser reescrta usado (I), (II) e (III). Assm, a fução obetvo dual é dada or: h( λ ) h( λ ) ε(h (e d ) ) P P, ode h ˆ d. P a x K K As exressões descrtas aterormete ara a fução dual são váldas desde ue ε > e sufcetemete eueo. Aalsaremos agora, ual o maor valor ara o cremeto ε, ou sea, determaremos o tamaho do asso de modo ue δ ε ão mude de sal.

7 ote ue o sal de é o mesmo sal de δ ε,. Sea tal δ ue ε δ >. Chamamos δ ε δ. Logo δ > m,. Observe ue, o cálculo do ídce, as razões havam sdo calculadas e fo o ídce ue forece a meor razão, agora é o ídce da seguda meor razão. A Fgura rereseta a relação etre a fução obetvo dual e δ: h h < h > δ P δ P δ ão há troca de sal Fgura Gráfco da fução dual com busca udmesoal Podemos examar o asso dual além de δ : δ > δ de maera aáloga ao ue fo feto até au. Em geral temos: h h (e d ). A busca udmesoal a dreção dual smlex cosste em escolher um ídce l tal ue: h l > e h l, os desta forma a fução dual cresce mas radamete ara a escolha de delta. Caso b) λ δ ek, δ e eueo. (erturbação à esuerda) O rocedmeto é aálogo ao caso (a). Fazedo o mesmo desevolvmeto da fução obetvo dual ara a ova solução e cosderado as devdas mudaças, segue ue: h( λ ) h(ˆ) λ δ( a ˆ x - e ). k Portato, se a ˆ e K x - k K >, ou sea, se o lmte sueror da k- ésma restrção rmal for volado, a dreção dual smlex é de subda. Aalsado de maera aáloga ao caso (a), obtemos a segute exressão ara a fução dual: h( λ ) h(ˆ λ δ ) εh, ode h h (e d ) e h ˆ P e. P P P a x K K A busca udmesoal é realzada da mesma forma ue fo feta ara o caso (a). Escolhdo os ídces ara as varáves ue etra e sa da base, atualzamos e e reetmos o rocesso. Esta busca fo cosderada a mlemetação do algortmo, ara o ual cororamos a regra de Datzg ormalzada (Goldfarb e Red, 977) ue será aresetada a róxma seção. Embora, Maros (3) teha desevolvdo o algortmo dual smlex ara roblemas com varáves caalzadas, baseada a característca da fução dual (lear or artes), o autor 3

8 ão cosdera a caalzação as restrções como fzemos, exlorado as artculardades deste caso. 4. Regra de Datzg ormalzada Para o desevolvmeto das fórmulas de recorrêca ou atualzação ara a regra de Datzg ormalzada (Goldfarb e Red, 977; Forrest e Goldfarb, 99), cosdere o roblema otmzação lear o formato geral (3.) e o método dual smlex com busca lear or artes com as mesmas hóteses da seção 3. Para o método dual smlex esecalzado ao roblema (3.), a escolha da varável ue va etrar a base, segudo a regra de Datzg ormalzada, é a maor razão em módulo, defda ela volação rmal o lmte feror ou sueror (ue são os custos relatvos ara o método dual) sobre a orma da dreção dual smlex, ou sea, escolhe um ídce ão básco ue forece a maor das segutes razões em valor absoluto: d ŷ ŷ e ( ) ou,..., m. Assm, as dreções duas smlex: a, e recsam ser calculadas a cada teração do método ara todo os ídces ão báscos. Para roblemas de grade orte, o cálculo exlícto de todas as ormas das dreções dual smlex em cada teração é robtvamete. Logo, ara mlemetar esta regra de uma maera efcete, Goldfarb e Red (977), dervam fórmulas recursvas ara atualzar os valores de de uma teração ara a outra. Com o roósto de atualzar as dreções duas smlex de uma teração ara outra, cosdere ue a varável de ídce substtu a varável de ídce a base. Observe ue, ode {,..., m }e, ode {,..., }. Sabemos ue de uma teração ara outra, a versa da ova base é dada or: ( w e ) ( ) ( ) e ( ). w (3.) ode é a base atual, a base a teração subseüete e w a. ão remos rovar ( ) ( ) ( a a ) e tal resultado au, mas é smles de se obter. asta observar ue:. ( ) Assm cada ova dreção dual smlex é dada or: a,. Como e recsamos obter as ovas ormas das dreções em fução da ateror, remos desevolver estas ormas ao uadrado, os faclta a maulação algébrca. Portato, α a J ( ) a. Usado (3.) temos ue : α ( ) α ( ) (α ) ( ) ( a w e w e a w e w e ). J Se deotarmos α e a, com α e a, etão ela defção de w, α. Logo, α w α a J ( ) (α ) ( w e w w e w); α a w (α ) ( w J Agora, se deotarmos v w e γ, etão a orma ao uadrado das dreções duas smlex atualzada, é dada or: w). 4

9 (3.3) Se, temos: γ γ α a v α γ,..., m,. J γ γ α (3.4) Observe ue a euação (3.3) exstem dos cálculos a fazer, o ual ão estara dsoível se estvéssemos executado uma teração do método smlex com a regra de Datzg: resolver o sstema v w e o roduto tero das lhas ão báscas da matrz A com o vetor v. Forrest e Goldfarb (99) comararam o algortmo smlex com a regra de Datzg ormalzada com o algortmo smlex usado a regra de Datzg (ou regra usual). Os roblemas foram obtdos de um couto de roblemas teste de otmzação lear da etlb. Os roblemas em méda tveram 34 lhas e 49 coluas, sedo ue o maor deles fo de Para os roblemas utlzados elos autores, o temo (em horas) ara resolvê-los usado o algortmo de Datzg rmal e dual fo resectvamete de,9h e 77,78h, euato o algortmo rmal e dual roosto fo resectvamete de 4,89h e 6,36h. Uma dfereça muto mressoate. Excludo cco roblemas ode o úmero de terações fo exressvamete alto, a méda ara o algortmo de Datzg fo 6,3m euato o algortmo com a regra de Datzg ormalzada realzou em méda,9m terações. Um exemlar desses cco roblemas é o AIR (etlb) com 5654 lhas, 873 coluas e 78 elemetos dferetes de zero. O método rmal smlex com regra de Datzg ormalzada resolveu o roblema com 4.58 terações em 4.94,9 segudos ao asso ue o método rmal smlex com a regra de Datzg (rmal) realzou terações em 95.7, segudos. Portato, o varate smlex com a regra de Datzg ormalzada fo claramete sueror ao método smlex coma regra de Datzg, ara resolver roblemas dfíces de otmzação lear de grade orte. Ressaltamos ue o trabalho de Forrest e Goldfarb (99), os autores dervaram fórmulas de recorrêca ara dferetes formatos de roblema de otmzação lear, o ue ão é ecessáro, os casos geras como o formato geral (3.), odem ter suas fórmulas de recorrêca a artr do dual (3.3), dadas or (3.3) e (3.4) como se fossem as fórmulas rmas ara o formato (.). Motvado rcalmete elo trabalho de Forrest e Goldfarb (99) e o ótmo desemeho do método dual smlex lear or artes comarado ao acote CPLEX, relatvo ao úmero de terações (Sousa, ), mlemetamos a regra de Datzg ormalzada ara o método dual smlex com busca lear or artes, ara resolver algus roblemas de eueo orte. Os resultados comutacoas se ecotram a róxma seção, ode ão obtemos um bom desemeho ara a regra de Datzg ormalzada. 5. Exermetos Comutacoas e Coclusões Daremos a segur os rmeros resultados comutacoas obtdos com o método dual smlex lear or artes, ara as regras de Datzg e Datzg ormalzada, ode são fetas algumas comarações ara 3 tos de estrutura a matrz A. O método dual smlex lear or artes da seção 3. fo mlemetado utlzado a forma roduto da versa ara resolver roblemas o formato (3.). Para cada tamaho (dmesão) do roblema, ue defe um exemlar com m restrções e varáves (vea Fgura 3), foram rodados exemlos com os dados gerados aleatoramete. Os testes foram realzados em um otebook oshba Satellte Celero 65 MHz com 3 Mbytes de RAM. A lguagem C de rogramação fo utlzada, versão 5., com estrutura de dados alocada estatcamete. o etato, estamos mlemetado uma estrutura dâmca, ara exlorar a esarsdade, com obetvo de reduzr o temo comutacoal. O temo (em segudos) e o úmero de terações, reortados a segur, são as médas dos exemlos ara cada tamaho do roblema. Para a aresetação dos resultados, cosdere ue. 5

10 D rereseta o método com a regra de Datzg, D o método com a regra de Datzg ormalzada, m- o úmero de restrções e o úmero de varáves. A abela 5. areseta os resultados ara as duas regras, com % dos elemetos das (m-) restrções dferetes de zero. abela 5. - Datzg Datzg ormalzada Problemas Desos Iterações emo Exemlar (m-) D D D D Da abela 5., observamos ue ara aeas exemlares ( e 4 4) a regra de Datzg ormalzada obteve redução sgfcate o úmero de terações (cotrarado o trabalho de Forrest e Goldfarb, 99), euato o temo comutacoal fo sesvelmete favorável à regra de Datzg. Date dsso, vestgamos uma classe esarsa de roblemas, ara os uas a matrz de restrção é da forma escada. (Vea Fgura 3). A m restrções m m I varáves Fgura 3 Matrz A com 4 blocos as abelas 5. e 5.3, estão os resultados obtdos ara as regras de Datzg e Datzg ormalzada, com a matrz de restrções tedo 4 blocos e blocos resectvamete, ode %Z dca a orcetagem do úmero de elemetos dferete de zero a matrz de restrções defda elos blocos e CC dca o úmero de coluas em comum ara cada blocos, aroxmadamete %. abela 5. Datzg Datzg ormalzada Problemas Esarsos 4 locos Iterações emo Exemlar CC %Z (m-) D D D D

11 Podemos observar da abela 5. com relação ao caso deso (abela 5.), ue ara as regras o úmero de terações cresceu (em méda.) uado o úmero de restrções é maor ue o úmero de varáves e dmuu (em méda.3) uado se têm a sua stuação oosta. Isto talvez sea exlcado, os ode ocorrer váras restrções redudates ara o caso deso, o ue ão deve acotecer ara estrutura escada. ota-se ada, um meor úmero de terações ara regra de Datzg, orém a dfereça dmuu com relação aos resultados da abela 5., com exceção do exemlar, ode a regra de Datzg ormalzada realzou 5% meos terações com relação a regra usual. A abela 5.3 areseta os resultados ara a matrz de restrções tedo agora blocos. abela 5.3 Datzg Datzg ormalzada Problemas Esarsos locos Iterações emo Exemlar CC %Z (m-) D D D D ote ue este caso, muto mas esarso do ue o caso com 4 blocos, o úmero de terações cau sgfcatemete ara as duas regras, o ue dca ue ara roblemas muto esarsos e com a matrz de restrções tedo város blocos eueos, o úmero de terações tede a ão assar de duas vezes do úmero de restrções. De uma maera geral, ara este caso também, a regra de Datzg ormalzada fo feror o úmero de terações e o temo comutacoal. A Fgura 4 forece o gráfco ara o úmero de terações. 7

12 Iterações Exemlar D D Fgura 4 úmero de Iterações - Problemas Esarsos locos Da Fgura 4, ote ue ara os exemlares 6, 7, 8 e 9 ode o úmero de varáves é elo meos vezes o úmero de restrções, o úmero de terações fo muto baxo, e uado se têm a stuação oosta, as terações aumetam, mas ão ultraassado,5 do úmero de restrções. De uma maera geral, a exectatva era do melhor desemeho ara a Datzg ormalzada com relação à regra de Datzg. Isto ode ser um dcatvo ue ara roblemas o formato (3.) de eueo orte a regra de Datzg ormalzada sea mesmo feror à regra usual. Porém, remos fazer outros testes comutacoas com a regra de Datzg ormalzada ara roblemas maores e esarsos. Embora o trabalho de Forrest e Goldfarb (99) aota uma clara suerordade da regra de Datzg ormalza com relação à regra usual, ão fo o ue observamos. alvez ue ara a classe de roblemas ue trabalhamos, tal regra ão teha o mesmo comortameto relatado elos autores. Destacamos au, ue há grades ossbldades de torar o método dual smlex lear or artes mas efcete em termos do temo comutacoal, vestdo-se a efcêca da resolução dos sstemas báscos utlzado a decomosção LU (artels e Goloub, 969) com heurístca de Markowtz (957) e atualzação da base (Red, 98), rocedmetos muto utlzados a rátca ara resolução de roblemas de grade orte e esarsos. O trabalho de Slva () aborda detalhadamete estas téccas. 6. Referêcas blográfcas [] Areales, M.. (984) Otmzação Lear: ovos Métodos e Algus Problemas Partculares ese de Doutorado, FEC-UICAMP. [] artels, R. H. ad Golub, G. H. (969) he Smlex Method of Lear Programmg Usg LU- Decomosto Commucatos of the ACM, ad [3] azaraa, M. S., Jarvs, J. J., Sheral, H. D. (99) Lear Programmg ad etwork Flows d Ed., ew York. [4] ertsmas, D. ad stskls, J.. (997) Itroducto to Lear Otmzato d Ed., Athea Scetfc, Massachusetts. [5] Datzg, G.. (963) Lear Programmg ad Extesos. Prceto Uversty Press, Prceto, J. [6] Datzg, G. ad haa, M.. (997) Lear Programmg Ed. Srger Verlag. 8

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