SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS: Elementos Iniciais para Abordagem no Ensino Médio

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS: Elemetos Iiciais para Abordagem o Esio Médio JOÃO RICARDO VALLIM PEREIRA Siop - MT 08

2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS: Elemetos Iiciais para Abordagem o Esio Médio Dissertação apresetada ao Mestrado Profissioal de Matemática PROFMAT o Polo da Uiversidade do Estado de Mato Grosso UNEMAT, campus Siop como requisito parcial à obteção do grau de Mestre em Matemática Profissioal Orietador: Prof. Dr. Rogério dos Reis Goçalves Coorietador: Prof. Dr. Oscar Atoio Gozalez Chog Siop - MT 08

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5 Dedico este trabalho aos meus orietadores: Dr. Rogério dos Reis Goçalves e Dr. Oscar Atoio Gozalez Chog.

6 AGRADECIMENTOS A todos aqueles que cotribuíram para que fializasse este trabalho e, em especial, aos meus orietadores, professor Dr. Rogério dos Reis Goçalves e Dr. Oscar Atoio Gozalez Chog.

7 Muito estudo ão esia compreesão. Heráclito

8 RESUMO O estudo de sequêcias e séries uméricas a Educação Básica geralmete se dá quado é trabalhado progressões aritméticas e geométrica, torado assim a ivestigação do tema proposto apeas com casos particulares. Neste trabalho foi proposto um estudo de sequêcias e séries uméricas para que o professor possa utilizar em sala de aula, ão ecessariamete com o compromisso de apresetar este estudo de forma sistematizada, coforme vê-se os livros textos tradicioais, mas sempre buscado fazer com que os sujeitos evolvidos sejam curiosos, criativos, façam questioametos e participem do processo, para que haja maior apredizagem. Palavras-Chave: Sequêcias Numéricas, Séries Numéricas, Esio Médio.

9 ABSTRACT The study of sequeces ad umerical series i Basic Educatio usually occurs whe it's doe the study of arithmetic ad geometric progressios, thus the ivestigatio of the proposed theme is oly doe with particular cases. I this work, it was proposed a study of sequeces ad umerical series for the teacher to use i the classroom, ot ecessarily with the commitmet to preset this study i a systematized way, as see i the traditioal textbooks, but always seekig to make the subjects ivolved are curious, creative, ask questios ad participate i the process, so that there is greater learig. Key Words: Number Sequeces, Number Series, High School.

10 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO.... UMA INTRODUÇÃO ÀS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS UMA INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES NUMÉRICAS SÉRIE INFINITA SOMAS PARCIAIS DAS SÉRIES NUMÉRICAS ALGUMAS SÉRIES ESPECIAIS SÉRIES GEOMÉTRICAS A SÉRIE HARMÔNICA UMA SÉRIE CURIOSA UMA SÉRIE TELESCÓPICA CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE SEQUÊNCIAS E SÉRIES: UMA ABORDAGEM NO ENSINO MÉDIO PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA... 48

11 . INTRODUÇÃO O estudo de sequêcias e séries é parte do programa de matemática do Esio Médio, que ormalmete é apresetado ao aluo de forma teórica e breve e, geralmete, apeas os casos particulares que são as progressões aritméticas e geométricas, limitado a exploração do tema, que é de suma importâcia a matemática e em outras áreas do cohecimeto. Segudo Silva (07), outras sequêcias uméricas podem ser estudadas o Esio Médio, tais como, as progressões aritmético-geométricas, os coelhos de Fiboacci, a torre de Haói e a pizza de Steier, detre outros, podem, perfeitamete, ser propostos aos aluos e, posteriormete, discutidos em sala de aula. Neste setido, faremos um estudo sobre sequêcias e séries uméricas apresetado algus coceitos iteressates sobre este assuto e sem a preocupação de apresetar o tema de forma sistematizada. Propomos ao professor algus elemetos que achamos iteressates para o esio de sequêcias e séries uméricas em sala de aula, icluido também uma cocisa discussão sobre covergêcia e divergêcia de uma série por meio de exemplos e estratégias algébricas e/ou geométricas, istigado o aluo e o leitor em geral a aalisar cada exemplo abordado. Dessa forma, etedemos que a partir daí os aluos podem explorar as progressões aritméticas e geométricas, estas que são apeas temas secudários este trabalho. A seguir apresetaremos algus trabalhos ecotrados a literatura que discutem sobre o esio de sequêcias e/ou séries uméricas. Veiga (08) realiza um estudo sobre sequêcias e seus pricipais resultados para o professor de Matemática e leitores em geral, abordado o modo em que este coceito é trabalhado desde o Esio Básico ao Esio Superior. A teoria cotida este trabalho é acompahada de vários exemplos que cotribuem para o embasameto do leitor. Foram apresetados também algus problemas, dos mais variados íveis, com suas respectivas soluções, extraídos de provas de vestibulares, referêcias bibliográficas e olimpíadas matemáticas de vários países, com o ituito de proporcioar aprofudameto ao leitor sobre o que foi dissertado. Silva (07) apreseta como tema cetral as sequêcias recorretes, em especial, as progressões aritméticas e geométricas, que são sequêcias uméricas estudadas o Esio Médio. Destas sequêcias são evideciados os seguites tópicos: defiição, costrução da fórmula do termo geral, costrução da fórmula da soma dos termos e

12 aplicações. Recebe ateção especial o estudo das progressões aritméticas de ordem superior. Neste trabalho, foram apresetados problemas cuja resolução recaiu o cotexto de progressão aritmética, progressão geométrica ou uma sequêcia recorrete qualquer. Problemas cotextualizados, também são abordados. Araújo (07) propôs um estudo sucito, porém, mais aprofudado dos coteúdos relativos a sequêcias e séries do que aqueles geralmete abordados o Esio Médio. Foram apresetamos também algumas aplicações das sequêcias reais que ão precisam de estudos avaçados a área para serem compreedidas, por exemplo, a demostração geométrica da covergêcia de uma série geométrica. O autor apresetou também algus teoremas sobre a teoria de limites, sequêcias, séries e critérios de covergêcia. Titoeli (07) faz uma aálise de padrões que são modelados matematicamete através de coceitos que evolvem as sequêcias uméricas bem como aspectos geométricos. São cosideradas algumas aplicações práticas de coteúdos trabalhados a Educação Básica, muitas vezes estudados de forma mecâica através de fórmulas que toram a Matemática efadoha e até sem setido para os discetes. O objetivo é mostrar que a Matemática traspõe os limites das salas de aula e que sua beleza pode ser vista em áreas diversas. As ideias e coceitos que evolvem as Progressões Aritméticas e Geométricas, por exemplo, são úteis a resolução de várias situações. A arte musical que está evolta em cohecimetos matemáticos desde os primórdios de seu desevolvimeto. Os estudos desevolvidos com a sequêcia de Fiboacci e como está relacioada com a razão áurea e com feômeos aturais que aparetemete ada teriam em comum. Cerqueira (03) apreseta um estudo sobre a teoria de sequêcias e séries uméricas. Foram abordados temas presetes o Currículo de Matemática da Educação Básica e algumas sugestões de propostas didáticas foram sugeridas aos professores de Matemática que lecioam o Esio Médio. Aida, este trabalho também foi explorara as séries de potêcias e as séries de Taylor. Segudo Titoeli (07), o trabalho do professor é importate sempre propiciar para os aluos uma forma de costruir os coceitos e ão apeas recebê-los sem que façam setido algum para o aprediz. Além disso, os aluos sempre se iteressam por

13 3 curiosidades a respeito dos úmeros. É essa perspectiva que etedemos que esta dissertação de mestrado se justifica e que poderá cotribuir para o esio de sequêcias e séries uméricas. Este trabalho está estruturado como segue: No Capítulo apresetamos a itrodução deste. O Capítulo apreseta algus coceitos sobre sequêcias uméricas equato que o Capítulo 3 foram apresetados uma itrodução às séries uméricas com algumas séries especiais. As cosiderações fiais serão apresetadas o Capítulo 4 e, por fim, o Capítulo 5 é composto pelas referêcias bibliográficas.

14 4. UMA INTRODUÇÃO ÀS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS uméricas. Neste capítulo será apresetado algus resultados sobre sequêcias e séries. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Defiição.. Uma sequêcia umérica ifiita a a, a, 3, a, é uma fução cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais., que idicaremos por Muitos livros didáticos apresetam casos particulares de sequêcias, como as progressões aritméticas e geométricas. No etato, há vários tipos de sequêcias que podem ser exploradas em sala de aula. Nesta seção mostraremos algus tipos especiais de sequêcias uméricas e também algumas de suas propriedades, tais como, a lei de recorrêcia, gráficos, covergêcia etc. Note que uma sequêcia umérica pode ser defiida como uma lista de úmeros escritos em uma ordem defiida a, a, a3,, a,. O úmero a é chamado de primeiro termo, a é o segudo termo e a é o -ésimo termo. Exemplo : Cosidere a sequêcia f,,, 3, 5, 8,3,, Note que a partir do segudo termo, cada termo é a soma dos dois termos imediatamete ateriores. Esta sequêcia é cohecida como sequêcia de Fiboacci e é recursivamete defiida por f, f, f f f,,, 3, É iteressate que o professor apresete a sequêcia de Fiboacci em sala de aula, pois além de exigir que o aluo perceba como os termos podem ser obtidos recursivamete, ela podem ser exploradas várias aplicações da atureza, como por exemplo, a reprodução de coelhos, as folhas das Bromélias, as semetes do Girassol, a reflexão da luz em lâmias paralelas, etc. Sugerimos que estas aplicações sejam pesquisadas e apresetadas por um grupo de aluos por meio de semiários. Um estudo mais detalhado sobre a sequêcia de Fiboacci pode ser ecotrado em diversos

15 5 trabalhos, detre eles, (MACENA, E. S. 08); (BARBOSA, F. A. 07), (FULONE, H. D. 07), (MELO, M. I. A. 07), (SILVA, P. E. A. 07), (LEOPOLDINO, K. S. M. 06), (POSSEBON, J. E. 06), (BELINI, M. M. 05), (BORGES, F. P. 05), (CARRION, M. R. 05) e (SILVA, L. S. 05). Exemplo : Seja a defiida por a,,, 3, Assim, tem-se: a,,,,, A Figura mostra o comportameto da sequêcia medida em que aumeta o valor de, os termos a a. Nota-se que à também aumetam e se aproximam de. Figura : Gráfico da sequêcia a,,, 3, Fote: Elaborado pelo autor o software GeoGebra O Exemplo pode ser utilizado para que o professor relembre em sala de aula o coceito de domíio de uma fução, este caso o cojuto dos úmeros iteiros positivos, fução crescete, fução limitada e também defiir assítotas horizotal e vertical. É iteressate que os aluos façam a costrução do gráfico.

16 6 O estudo de sequêcias uméricas também pode se torar algo bastate prazeroso em sala de aula, pois há muitos problemas e desafios evolvedo sequêcias lógicas de úmeros. Mesmo que o objetivo seja o estudo das sequêcias cohecidas por progressão aritmética e geométrica, é plausível que o professor possa primeiramete iserir o cotexto escolar algus problemas curiosos que provavelmete irão istigar os aluos a querer eteder melhor o assuto proposto. A seguir serão listados algus exemplos evolvedo sequêcias lógicas de úmeros. Exemplo 3: Qual úmero correspode a sequêcia a seguir:, 4, 9, 6, 5,...? Resolução: Essa sequêcia é formada pelos quadrados perfeitos, em ordem crescete. Veja que, 4, 9, 6, 5,... pode ser represetada por,, 3, 4, 5, Portato, o próximo termo da sequêcia é igual a 6, ou seja, igual a 36. Observação: O professor pode aproveitar este mometo para relembrar o coceito de quadrados perfeitos, o motivo pelo qual foram deomiados assim (vale solicitar pesquisa via iteret). Iclusive, usar a ocasião para perguta-los como seria uma sequêcia com cubos perfeitos, o que são cubos perfeitos? Exemplo 4: Qual úmero correspode a sequêcia a seguir: 37, 3, 9, 3, 9, 7,...? Resolução: Observe que esta sequêcia é formada pelos úmeros primos meores do que ou igual a 37 e estão em ordem decrescete. Assim, o próximo úmero da sequêcia deve ser o úmero primo 3.

17 7 Observação: Este tipo de problema é muito válido, pois além de ser itrigate, causado a curiosidade dos aluos, pode coter coceitos matemáticos importates. O professor poderia pedir aos aluos que ecotre o décimo segudo termo dessa sequêcia. Ela é fiita ou ifiita? Veja que a lista dos oze primeiros termos dessa sequêcia é dada por 37, 3, 9, 3, 9, 7, 3,, 7, 5, 3,... Logo, qual será o décimo segudo termo? Dúvidas surgirão, pois há muitas dúvidas quato ao úmero ser ou ão ser um úmero primo, visto que, é comum os aluos acharem que basta um úmero ser apeas divisível por e por ele mesmo para ser primo. Sedo assim, eles cocluem erroeamete que é primo. A defiição é mais sutil, pois exclui o úmero (por que?) e, muitas vezes exclui também os úmeros egativos. É importate o professor ter discerimeto sobre a importâcia das discussões geradas o parágrafo aterior e verificar em qual ou quais turmas elas podem ser mais aprofudadas. Talvez o Esio Médio essa discussão pode ocorrer de forma mais superficial, a fim de ão perder o foco do tema pricipal e gerar descofortos por parte dos aluos. Por outro lado, pelo meos os cursos de Matemática, é relevate que seja abordada ou solicitada como pesquisa por parte dos acadêmicos. Exemplo 5: Que úmero correspode a sequêcia a seguir:, 0,,, 3,,...? Resolução: Note que os termos de ordem ímpar (primeiro, terceiro, quito etc) represetam os úmeros iteiros a partir do, os quais são, respectivamete iguais a,, 3,... Os termos de ordem par (segudo, quarto, sexto etc) represetam os iteiros iiciado por 0, os quais são, respectivamete iguais a 0,,,... Como o próximo úmero da sequêcia dada é o sétimo, segue que é um termo de ordem ímpar e, portato, é o quarto iteiro a partir do úmero, ou seja, é o úmero 4. Exemplo 6: Qual úmero correspode a sequêcia a seguir:, 0,, 6, 7, 8, 9...?

18 8 Resolução: Este é um problema clássico, mas também itrigate, pois devido ao aparecimeto dos três primeiros termos dessa sequêcia, parece que ela ão possui qualquer tipo de propriedade característica. De atemão, quem ão cohece este exemplo, pode achar impossível ecotrar uma lógica umérica que sirva para determiar o próximo termo (a saber, ão é igual a 0). Do poto de vista coceitual, é um exemplo cosiderado ível baixo, mas os mostra ideias que podem ser utilizadas em problemas de diversos cocursos o Brasil. Note que todos os termos ão úmeros iteiros positivos cuja deomiação iicia com a letra D e estão expostos em ordem crescete. Assim, o próximo termo é o úmero 00 (verifique!). Exemplo 7: Qual úmero correspode a sequêcia a seguir: 77, 69, 6, 53, 45, 37,...? Resolução: Claramete, cada termo é o aterior subtraído 8 uidades, ou seja, a partir do segudo termo, a difereça etre um termo e o aterior é igual a 8. Assim, o próximo termo é igual a 9. Observação: Esta sequêcia é um exemplo de progressão aritmética (PA) decrescete. Mais exemplos poderão ser dados para que adiate seja itroduzida o coceito formal de PA. Pode ser solicitado aos aluos que ecotrem o décimo quito termo por exemplo. Caso aálogo pode ser obtido com progressões geométricas. Exemplo 8: Qual úmero correspode a sequêcia a seguir: Resolução:,, 6 4 8,, 8 54? Neste exemplo, espera-se que os aluos respodam que o próximo termo seja 6 igual a, talvez por verificar que, a partir do segudo termo, o umerador de cada 6

19 9 termo é multiplicado por equato o deomiador por 3. Este raciocíio está correto e, este caso particular, tem-se um exemplo de progressão geométrica. Observação: Peça para que eles dividam um termo pelo aterior e ote os resultados obtidos. O que se coclui disso? Levar para sala de aula problemas que causam iteresse dos aluos e uma ótima estratégia para prepara-los ao tema cetrar. Talvez esta preparação pode ão ser pela apredizagem direta de tais coceitos, mas sim de motivação. Exemplos como os apresetados acima, podem servir também de um ótimo passatempo extraclasse, devido a ser desafiate e eles acreditarem que poderão resolvêlos a qualquer mometo. Os próprios aluos deverão levar para sala de aula estes tipos de problemas para desafiarem os colegas e, iclusive, o professor. É uma excelete oportuidade para que o raciocíio lógico matemático seja estimulado. Neste trabalho foram apresetados algus exemplos sobre o tema desta seção. No etato, cabe ao professor juto com os aluos discutirem outros tipos de problemas relacioados ao tema, como por exemplo, a Torre de Haói. Neste, é iteressate ecotrar o úmero míimo de movimetos para trasportar todos os discos de uma haste para outra, respeitado as regras impostas. Após uma boa discussão sobre aplicações e problemas de raciocíio lógico evolvedo sequêcias uméricas, sugere-se que possa ser itroduzido o estudo de progressões aritméticas e, em seguida, progressões geométricas. Neste último tema, aparece o coceito de séries ifiitas quado deseja-se calcular a soma ifiita dos termos de uma PG. Sedo assim, da mesma forma como este trabalho sugere que se faça o estudo de sequêcias, também acredita-se que ates de iiciar a discussão sobre soma ifiita de termos de uma PG, deve-se preparar o aluo com o coceito de séries uméricas de um modo geral, levado problemas iteressates e istigado-os a verificar se uma dada série coverge ou diverge. No caso de covergêcia, solicitar o valor de sua soma. Na próxima será apresetado estudo sucito sobre séries uméricas.

20 0 3. UMA INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES NUMÉRICAS 3. SÉRIE INFINITA Vimos a defiição de sequêcia umérica ifiita a, a, 3, a. Ao adicioarmos seus termos, obtemos o que deomiamos de série ifiita, ou simplesmete, série. Notação: a a a a3 Em um primeiro mometo pode parecer estraho aos aluos do Esio Básico pesar em calcular uma soma ifiita, pois provavelmete algus poderão pesar que sempre somado, por exemplo, parcelas positivas, tem-se que sua soma ultrapassa qualquer valor preestabelecido. Se isso acotecer, sugerimos ao professor que istigue ao aluo a pesar em algumas sequêcias uméricas, como, por exemplo, progressões geométricas. Em particular, a progressão geométrica a,,, 4 8. Se a soma dos termos desta sequêcia é fiita, dizemos que a série associada é covergete, coforme defiição a seguir. Defiição de Séries Covergetes: Dizemos que um úmero real S é a soma da série a, ou que a série a coverge para S, se e somete se, lim S (o limite da sequêcia das S somas parciais S,, S, S3, S é S ). Neste caso, escrevemos S a.

21 Quado lim S ão existe, dizemos que a série a diverge. A divergêcia pode ocorrer S tora-se ifiita ou S oscila quado. De acordo com a defiição de série covergete, ote que a série associada à sequêcia citada o parágrafo aterior coverge para e, uma oção geométrica pode ser observada pela Figura, ode um quadrado de lado u.m. (área igual a u.a.) foi particioado em ifiitos retâgulos R, R, R 3, cujas áreas são umericamete iguais aos termos da sequêcia aterior. Dessa forma, tem-se que R R R 3, ou seja, 4 8 Figura - Ilustração geométrica da covergêcia da série. Fote: Elaborado pelo autor o software GeoGebra

22 A defiição de séries geométricas e algus resultados serão estudados mais adiate. Outra maeira de mostrar aos aluos que a série geométrica acima coverge para pode ser dada coforme ilustração apresetada a Figura. Peça aos aluos que peguem uma cartolia quadrada; tome os potos médios M, M, M 3 e M 4 de cada lado; ligue estes potos por segmetos de reta. Assim, a figura obtida é um quadrado (esta propriedade poderá ser explorada por meio de coceitos de geometria plaa). Faça o recorte com uma tesoura e deixe que eles percebam que o ovo quadrado terá área igual a / uidade de área. Cosequetemete, a área que foi descartada terá a mesma medida. Este procedimeto deverá ser feito mais vezes com os ovos quadrados obtidos e eles perceberão que a soma das áreas descartadas se aproxima cada vez mais de e este valor ão poderá ser ultrapassado, o que fica claro pelo procedimeto que está sedo executado. O professor pode aproveitar este mometo para cometar que a ova sequêcia S 0.5,0.75, 0.875, , ,, formada pelas somas das áreas será chamada de somas parciais e que este exemplo tal sequêcia é moótoa crescete e limitada, portato, isso garate que ela coverge. A demostração deste resultado ão é ecessária o Esio Médio. No etato, é iteressate que seja apresetado este resultado e, possivelmete, utilizado. Figura 3 Ilustração geométrica da covergêcia da série meio de recortes em uma cartolia quadrada. por Fote: Elaborado pelo autor o software GeoGebra.

23 3 Acreditamos que estes exemplos istigam ao aluo ao iteresse o estudo de séries uméricas ifiitas. Neste mometo, o professor pode apresetar a série harmôica e pedir para que os aluos aalisem se ela coverge ou ão e, em caso de covergêcia, qual é a sua soma. Acredita-se que algum aluo pesará que esta série é covergete e ão divergete, pois os termos estão decrescedo para zero. Sugere-se que o professor deixe esta aálise para que os aluos a façam como "dever de casa", com o uso também de algum software (há diversos softwares livres que podem ser trabalhados o laboratório da escola, se existir, ou extra-classe, iclusive pode ser istalado o celular, como por exemplo o Geogebra). Espera-se que muitas dúvidas ocorram e é este um dos iteresses do professor, que gere discussão etre os aluos e aluos-professor. Esta série será estudada adiate. 3. SOMAS PARCIAIS DAS SÉRIES NUMÉRICAS Vimos que a série geométrica possui soma igual a Esta série é dita covergete, pois existe um úmero real S tal que em toda série é covergete, como por exemplo a série = a = S. Mas = = Claramete, para todo real S, existe um atural N tal que N é maior do que S. Este tipo de série é classificado como divergete, ou simplesmete, ão covergete. Após apresetar estas duas séries aos aluos, idague-os para que eles próprios defiam quado uma série coverge ou diverge. Provavelmete eles irão cocluir que uma série umérica é covergete quado é possível ecotrar um valor para a soma ifiita e divergete quado o valor da soma ão for fiito. Ao fial de tais discussões, apresete a seguite série: = ( ) = ( ) +. Se existir, qual é o valor da soma dos termos desta série? Esta série coverge ou diverge? É possível que algus aluos digam que coverge para 0 e outros para, isso vai depeder se somarmos um úmero ímpar ou par de termos.

24 4 As discussões apresetadas os parágrafos ateriores mostrarão aos aluos que precisamos ecotrar alguma defiição ou resultado que garate a covergêcia ou ão de uma série. Neste mometo o professor poderá apresetar o coceito de somas parciais e, a partir delas, defiir quado uma série é covergete. Nota-se que é importate que o professor saiba apresetar este estudo de forma istigate, sem excesso de rigor matemático para ão torar o assuto difícil, casativo e, cosequetemete, desiteressate. A seguir será apresetado o coceito de soma ifiita. Numa série ifiita = a primeiros termos, teremos a soma parcial S N = = a + a + a 3 +, se for somado apeas os N N = a. Vamos ecotrar a sequêcia (S ) = (S, S, S 3, ) das somas parciais das três últimas séries apresetadas esta seção. Em seguida, apresetaremos a defiição da covergêcia de uma série por meio da sequêcia das somas parciais. Caso : Dada a série = = Temos que: 4 8 S = a = S = a + a = + 4 = 3 4 S 3 = a + a + a 3 = = 7 8 S 4 = a + a + a 3 + a 4 = = 5 6 S = a + a + a a = = = =

25 5 Veja que à medida que cresce, S se aproxima de ou, utilizado a otação de limite, temos que lim S = Caso : Dada a série = = Temos que: S = a = S = + = 3 S 3 = a + a + a 3 = = 6 S 4 = a + a + a 3 + a 4 = = 0 S = = ( + ) Note que à medida que cresce, S também cresce e lim S =. A expressão (+) para o cálculo dos primeiros iteiros positivos pode ser ecotrada juto com os aluos ou deixado como dever de casa para eles. Note que esta soma deverá também ser apresetada o estudo de progressões aritméticas. Caso 3: Dada a série que: = ( ) = ( ) +. Temos S =, S = 0, S 3 =, S 4 = 0, S 5 =, S 6 = 0,... Esta série tato parece ser igual a - como igual a zero, depededo de como ela é ecarada. Veja:

26 6. Também pode ser escrita da seguite maeira: 0. Veja aida o que pode ser feito. Como segue que Daí, tem-se E agora? é igual a, zero ou? Essa aparete cotradição ocorre, pois, segudo Ávila (005), somar úmeros, sucessivamete, us após outros, é uma ideia cocebida para uma quatidade fiita de úmeros a somar. Ao aplicá-la a somas ifiitas, por mais que somemos, sempre haverá parcelas a somar. O processo de somas sucessivas ão termia; em cosequêcia, ão serve para defiir a soma de uma ifiidade de úmeros. Vimos os três casos ateriores que o primeiro existe o limite, equato que os dois últimos, tal limite ão existe. Em particular, o último a sequêcia das somas parciais oscila e, portato, ão existe o limite.

27 7 Uma discussão como foi apresetada com a última série deve ocorrer cuidadosamete se for feita em turmas do Esio Médio, visto que ela leva a coclusões cotraditórias e o professor deve estar bem preparado para debater como os aluos casos desta atureza. Por outro lado, é imprescidível que seja feita os cursos de cálculo e/ou aálise matemática, pois é um exemplo itrigate e isso deve causar a curiosidade dos acadêmicos em melhor eteder este assuto. Como curiosidade o professor pode ressaltar que matemáticos como Gauss e Euler usaram com sucesso séries ifiitas para obter resultados ateriormete ialcaçáveis. Laplace usou séries ifiitas para provar a estabilidade do sistema solar. Passaram-se muitos aos até que aalistas cuidadosos como Cauchy desevolvessem o fudameto teórico para cálculos de séries, madado muitos matemáticos (iclusive Laplace) de volta para a escrivaiha para verificar seus resultados. Séries ifiitas formam a base para uma técica otável que os permite expressar muitas fuções como "poliômios ifiitos" e, ao mesmo tempo, calcular o erro quado trucamos esses poliômios para torá-los ifiitos. Além de produzir aproximações poliomiais eficazes de fuções difereciáveis, esses poliômios ifiitos (chamados séries de potêcias) tem muitas outras utilidades. As séries ifiitas forecem uma maeira eficiete para avaliar itegrais ão elemetares e resolvem equações difereciais que os permitem compreeder o fluxo de calor, a vibração, a difusão química e a trasmissão de siais. Após essa discussão, espera-se que os aluos percebam que a existêcia deste limite está diretamete relacioada com a covergêcia de uma série. Neste mometo o professor pode apresetar a defiição de covergêcia de uma série. Note que a série apresetada o Caso é covergete, equato que as séries apresetadas os casos e 3 são divergetes.

28 8 3.3 ALGUMAS SÉRIES ESPECIAIS 3.3. SÉRIES GEOMÉTRICAS Ates do professor apresetar em sala de aula o coceito de séries geométricas, sugerimos que verifiquem como os aluos aprederam a ecotrar a geratriz de uma dízima periódica. Provavelmete a maioria dirá que ecotravam por meio de um macete ou deotado a dízima periódica de x, por exemplo, e a partir daí, obtémse duas dízimas periódicas diferetes cujas partes decimais eram iguais, para em seguida subtrair estas ovas dízimas, o que elimiava a parte decimal e, a partir daí, obtiha-se a fração geratriz da dízima dada. Vamos apresetar outra maeira de ecotrar a sua geratriz, valorizado o coceito de somas ifiitas. Exemplo 9: Determie a geratriz da dízima periódica 0, Resolução: Seja a 0, Assim, a 0,7 0,007 0, a 0 Dessa forma,

29 9 a 7 a 0. Isto implica que 0 a 7 a. Logo, 0 7 a e, portato, 7 a 0 Esta estratégia pode mostrar aos aluos que ão há um úico método ou algoritmo para resolver este tipo de problema e, além do mais, pode istiga-los a ter curiosidade as maipulações algébricas. No Exemplo 9 foi mostrado uma proposta para ecotrar a geratriz de uma dízima periódica simples. A ideia utilizada pode ser expadida para o cálculo da geratriz de dízimas periódicas compostas, coforme segue: 7 99 Exemplo 0: Determie a geratriz da dízima periódica 0, Resolução: Seja a 0, Assim, a 0,3 0,005 0,0005 0,

30 Logo, segue que a geratriz da dízima periódica a 0, é igual a. 900 Veja que a resolução deste problema foi utilizado o seguite resultado: Este resultado deverá ser proposto em sala de aula. Sua resolução poderá ocorrer de modo aálogo ao proposto o exemplo aterior. Com isso, os aluos perceberão que 0,. 9 Tedo de atemão o resultado aterior, o professor poderá istigar os aluos a perceberem que a geratriz da dízima periódica a 0, poderá ser obtida da seguite maeira: 9 0, ,3 0, ,3 0, Apresetar diversificados tipos de soluções em certos problemas sobre séries também é uma parte fudametal deste trabalho. Muitas vezes, resolver um problema de apeas uma forma, mesmo que seja cosiderada clara e didática, pode ão atigir algus objetivos, como por exemplo, o de fazer com que o aluo tome gosto pela matemática,

31 3 pela resolução de problemas. Por isso, criar ovas possibilidades para atacar um problema pode ser muito útil o que diz respeito a tomar gosto pela matemática. Na resolução dos exemplos 9 e 0 foi utilizado somas ifiitas as quais pertecem à classe das séries geométricas. Até este mometo, ão é ecessário que o professor utilize o cohecimeto prévio de sua soma ou mostre a fórmula para calculála. Tais somas foram ecotradas por meio de estratégias também covicetes e de certo modo iteressates. No etato, verificar a covergêcia e demostrar como pode ser obtida a soma é imprescidível o estudo das séries geométricas. Isso se justifica também pelo fato de sua demostração ser de fácil compreesão A SÉRIE HARMÔNICA A série 3 4 é cohecida como série harmôica e seu termo geral a tede a zero, ou seja, à medida que cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de zero, o que pode causar uma ituição falha quato à sua covergêcia ou divergêcia, visto que a cotribuição a soma se tora cada vez meor. Após o estudo das séries geométricas covergetes, é atural que os aluos cocluam que a série harmôica também covirja. No etato, é preciso uma aálise bem cuidadosa sobre esta série. O professor pode pedir para que os aluos utilizem algum software e somem os 00 primeiros termos desta série. Em seguida, os 000 primeiros termos. Peça para que verifiquem se houve um aumeto cosiderável esta soma. Eles vão perceber que ão. Pode aida solicitar que vá aumetado o úmero de termos e tabelado os resultados obtidos. O procedimeto acima é a verdade, aálogo ao de ecotrar a sequêcia S das somas parciais, mas, devido à letidão a soma, é meos exaustivo determiar algus termos com passos maiores. A Tabela mostra algus termos ecotrados o software wxmaxima, em que foi cosiderado trucameto de seis casas decimais.

32 3 Tabela : Algus termos da sequêcia das somas parciais da série harmôica S S 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , O uso de um software é uma ferrameta essecial para a obteção dos valores apresetados a Tabela. O wxmaxima é um software gratuito e com uma iterface bastate amigável. Ele pode ser obtido a partir do seguite edereço a web:

33 33 Note que o crescimeto das somas parciais é muito leto, isso causa a falsa ideia de que a série harmôica é covergete. No etato, será mostrado a seguir que tal série é divergete. Cosidere a série harmôica 4 3. Seus termos podem ser agrupados da seguite maeira: Note que e assim por diate, de sorte que Visto que esta última soma represeta uma ifiidade de termos costates diferetes de zero, segue que a série diverge UMA SÉRIE CURIOSA Cosidere a série As iformações que se seguem sobre essa série serão baseadas em ÁVILA (996). Segudo ÁVILA (996), essa série

34 34 foi cosiderada, por volta de 350, por um dos matemáticos de Oxford, Richard Swieshead. O surgimeto desta série se deu cosiderado um movimeto de uma partícula que se desevolve durate o itervalo de tempo [0, ] da seguite maeira: a velocidade da partícula permaece costate e igual a durate a primeira metade do itervalo, ou seja, o itervalo [0, /] de duração /. Neste itervalo, o espaço percorrido é igual a /; durate a primeira metade do itervalo [/, ], a velocidade da partícula permaece costate e igual, ou seja, o itervalo [/, 3/4] de duração /4. Neste itervalo, o espaço percorrido é igual a /4; durate a primeira metade do itervalo [3/4, ], a velocidade da partícula permaece costate e igual 3, ou seja, o itervalo [3/4, 7/8] de duração /8. Neste itervalo, o espaço percorrido é igual a 3/8; Este procedimeto ocorre idefiidamete. Note que os espaços percorridos são umericamete iguais à área dos retâgulos mostrados a Figura 4. Isto ocorre em virtude deste gráfico represetar o gráfico da velocidade v em fução do tempo t. Figura 4: Gráfico da Velocidade em fução do tempo. Fote: Adaptado de Ávila (996).

35 35 Desta forma, o espaço percorrido pela partícula é igual a. Richard Swieshead mostrou que o valor desta soma é igual a por meio de um argumeto logo e complicado. Mas, tempos depois, Oresme apresetou uma explicação geométrica iteressate para a soma desta série. Vimos que essa soma é igual a soma das áreas dos retâgulos verticais que, por sua vez, é igual à soma das áreas dos retâgulos horizotais mostrados a Figura 5. Esta última soma pode ser pesada da seguite maeira: cosideremos uma sucessão ifiita de movimetos, todos com velocidades iguais a ; o primeiro o itervalo de tempo [0,]; o segudo o itervalo de tempo [/, ]; o terceiro o itervalo [3/4, ], e assim por diate. Com este tipo de movimeto, fica claro que os espaços percorridos (que são umericamete iguais as áreas dos retâgulos verticais) são iguais a, assim, sucessivamete. Em cosequêcia disso, a soma dos espaços percorridos pode ser represetada pela série geométrica, a qual possui soma, que é a soma da série origial, coforme foi mostrado geometricamete igualado as áreas mostradas as figuras 4 e 5., 4, 8, 6 e Figura 5: Gráfico da Velocidade v em fução do tempo t Fote: Adaptado de Ávila (996).

36 36 Acabamos de apresetar a ideia que Oresme utilizou para calcular o valor da série, mostrado que sua soma é igual a UMA SÉRIE TELESCÓPICA Os primeiros termos desta série são uma série também iteressate para ser discutida em sala de aula. Em um primeiro mometo, pode ocorrer de algus aluos pesarem que ela diverge, visto que podem associar à série harmôica. É. Por outro lado, se comparada à série geométrica, vê-se claramete que para um atural N fixado, segue que N N, o que é um bom idício que ela seja covergete. Estas duas cojecturas deverão ocorrer por parte dos aluos e isso pode ser istigado pelo professor. Mais uma vez, vamos usar a ideia de somas parciais para o estudo da covergêcia da série. S = S = + 6 = 3 S 3 = = 3 4 S 4 = = 4 5

37 37 Raciociado idutivamete, cocluímos que Como S S = + coverge para um, segue que a série também coverge para, isto é, A forma como foi abordado este problema provavelmete deverá ser aálogo ao dos aluos, visto que este mometo eles já foram apresetados ao coceito de somas parciais. Portato, é esperado que utilizem este coceito. No etato, o professor deverá tetar leva-los à outra forma de aalisar esta série, por meio da decomposição em frações parciais, coforme segue: Primeiramete, podemos otar que Assim, Portato, a a a a S, em que à medida que aumeta, S se aproxima cada vez mais de. Daí, cocluímos que a série coverge para.

38 38 séries Vimos que apesar de para qualquer atural, tem-se, as e covergem para o mesmo valor. Este resultado é bastate curioso e isso mostra como é muitas vezes difícil e ao mesmo tempo istigate o estudo de séries uméricas. A série apresetada acima é um exemplo de uma série telescópica.

39 39 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Atualmete o estudo de sequêcias e séries é abordado de modo superficial o Esio Médio. Geralmete os livros textos dão efoque às progressões aritméticas e geométricas, deixado de lado muitos coceitos que dizem respeito às sequêcias e séries uméricas. Normalmete é feito assim: O que propomos aqui ão é que o professor deixe de utilizar os livros didáticos, em tão pouco que deixe de explorar os coceitos e formalidades matemáticas relacioadas ao tema, mas sim, uma maeira pela qual o professor pode itroduzir o tema, para depois partir para um estudo mas formal (se achar ecessário). Neste trabalho ão foi ossa iteção apresetar uma proposta didáticopedagógica do esio de séries e sequêcias, mas houve a preocupação de mostrar a importâcia de se abordar o assuto quado se trabalha as progressões aritméticas e geométricas. No desevolvimeto desta dissertação foi verificado que se pode trabalhar o tema com aluos utilizado os softwares livres GeoGebra e Maxima. Estes softwares ajudam a fazer cojecturas e torar os problemas aida mais desafiadores e em um cotexto do seu cotidiao, istigado-os a resolvê-los. Isso ocorreu, por exemplo, quado foi discutido a série geométrica e a harmôica, pois foi cocluído que a primeira coverge equato que a seguda diverge, o setido de que sua soma é maior do que qualquer valor preestabelecido. Dessa forma, acreditamos que isso provocará iquietações e questioametos por parte dos aluos, estimulará a imagiação deles e é esta a proposta desafiadora que orteia este trabalho. Esta pesquisa teve grade cotribuição a miha formação, mas também cotribuirá com a de outros professores da área para que eles possam abordar melhor este tema, mostrado aos aluos diferetes formas de se trabalhar um mesmo coteúdo, porém com outra abordagem.

40 40 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARAÚJO J. A. M.; Sequêcias e Séries: uma abordagem mais aprofudada para o esio médio. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal do Amazoas, Maaus - AM, 99 f., 07. ÁVILA, G. As Séries Ifiitas. Revista do Professor de Matemática, São Paulo,. 30, p.0-7, 996. BARBOSA, F. A.; Proposta de abordagem da Sequêcia de Fiboacci e razão áurea o esio médio: teoria e aplicações. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade de Brasíla, UNB, Brasíla, DF, 83 f., 07. BELINI, M. M.; A razão áurea e a sequêcia de Fiboacci. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação, Uiversidade de São Paulo, São Carlos - SP, 67 f., 05. BORGES, F. P.; A Sequêcia de Fiboacci e algumas de suas aplicações. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal de Mato Grosso, Istituto de Ciêcias Exatas e da Terra. Cuiabá - MT, 76 f., 05. CARRION, M. R.; A razão áurea e a sequêcia de Fiboacci como recursos de apredizagem de sequêcias uméricas PA e PG o esio médio. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Istituto de Biociêcias, Letras e Ciêcias, Presidete Prudete - SP, 74 f., 05. CERQUEIRA, A. C. S; Um estudo sobre sequêcias e séries. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Estadual Paulista, Istituto de Geociêcias e Ciêcias Exatas, Rio Claro - SP, 63 f., 03. FULONE, H. D.; Desmistificado a Razão Áurea e a Sequêcia de Fiboacci. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal do ABC. Sato Adré - SP, 38 f., 07. LEOPOLDINO, K. S. M.; Sequêcias de Fiboacci e a Razão Áurea: Aplicações o Esio Básico. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte. Natal - RN, 7 f., 06.

41 4 MACENA, E. S.; Idetidades dos úmeros de Fiboacci: Uma proposta de sequêcia didática para turmas olímpicas de ível. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal de Alagoas. Istituto de Matemática. Maceió - AL, 80 f., 08. MELO, M. I. A.; Razão Áurea e Números de Fiboacci: da teoria à prática através da fotografia. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro, Departameto de Matemática, Rio de Jaeiro - RJ, 80 f., 07. POSSEBON, J. E.; Fiboacci e a razão áurea: Uma abordagem para o Esio Básico. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Federal do Tocatis Campus Uiversitário de Palmas do Amazoas, Palmas - TO, 30 f., 06. SILVA, J. A. L; Uma abordagem selecioada de sequêcias recorretes. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Estadual do Ceará, Cetro de Ciêcias e Tecologia, Fortaleza CE, 57 f., 07. SILVA, L. S.; A razão áurea e a sequêcia de Fiboacci. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação, Uiversidade de São Paulo, São Carlos - SP, 67 f., 05. SILVA, P. E. A.; A Sequêcia de Fiboacci e o úmero de ouro: Cotexto histórico, propriedades, aplicações e propostas de atividades didáticas para aluos do primeiro ao do esio médio. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Uiversidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Vitória da Coquista - BA, 9 f., 05. TITONELI, L. M. B; A observação de padrões: modelagem matemática através de sequêcias uméricas e objetos geométricos. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro, Departameto de Matemática, Rio de Jaeiro RJ, 78 f., 07. VEIGA, E. S; Sequêcias: do esio básico à pós-graduação. (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal), Istituto de Ciêcias Exatas e Naturais, Uiversidade Federal do Pará, Belém - PA, 35 f., 08.

42 4 6. APÊNDICE 6. SEQUÊNCIAS E SÉRIES: UMA ABORDAGEM NO ENSINO MÉDIO Nesta seção será apresetado de forma cocisa um pouco sobre a teoria de sequêcias e séries que geralmete aparecem os currículos de matemática a Educação Básica. As sequêcias costumam ser exploradas o cotexto das progressões aritméticas e geométricas e as séries aparecem quado se estudam as dízimas periódicas e a soma dos "ifiitos" termos de uma progressão geométrica. Toda esta discussão o Esio Médio aparece de maeira pouco precisa e ituitiva, pois, esta etapa de escolarização, os aluos aida ão dispõem da teoria de limites para um estudo aprofudado do tema. Além disso, posteriormete, será apresetada algumas propostas de trabalho com somas ifiitas e as séries de Maclauri das fuções seo, cosseo e expoecial que se adequam ao trabalho do professor o Esio Médio. Não se tratam de propostas ode o processo de apredizagem acotece os moldes tradicioais com o professor explicado e exemplificado os resultados para em seguida desevolver exercícios com a classe. Pelo cotrário: será mostrado propostas de trabalho ode a descoberta por parte dos aluos, o trabalho em grupo e o desevolvimeto de posturas ativas a busca pelo apredizado são privilegiados e destacados detro do processo de esio e apredizagem. 6.. PROGRESSÃO ARITMÉTICA Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética se a difereça etre seus termos cosecutivos for costate. Termo Geral de uma Progressão Aritmética Uma progressão aritmética geérica é uma sequêcia umérica que pode ser escrita da forma (a, a, a3,..., a,...) cuja a razão é r. De acordo com a defiição podemos escrever:

43 43 a = a +.r a3 = a + r = (a + r) + r = a + r a4 = a3 + r = (a + r) + r = a + 3r... Podemos deduzir das igualdades acima que: a = a + ( ).r (deomiada termo geral da PA). Dessa fórmula, temos que: a : é o termo de ordem (-ésimo termo); r : é a razão; a : é o primeiro termo da Progressão Aritmética PA. Propriedades de uma PA ª Propriedade: Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluidose os extremos, é média aritmética etre o seu atecedete e o seu cosequete. Desta forma a P.A. temos: (a, a,..., ak-, ak, ak+,..., a-, a) => a k a k a k Exemplo : P. A. = (, 3, 5, 7, 9,,...) => ; 7 9 ; etc. ª Propriedade: Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos equidistates dos extremos é igual à soma dos extremos. Na P.A. (a, a,..., a-, a) temos Exemplo: PA (,, 3,..., 98, 99, 00) => Temos: + 99 = =... = ª Propriedade: Em toda P.A. de úmero ímpar de termos, o termo cetral ou termo médio é a média aritmética dos termos equidistates a ele. Exemplo: PA (3, 5, 7, 9, ) =>

44 44 Soma dos termos uma Progressão Aritmética (P.A.): Soma dos termos de uma P.A. fiita (ou limitada) é igual ao produto da semissoma dos extremos pelo úmero de termos. Demostração: Se fizermos a soma dos crescete e decrescete os termos teremos: termos de uma PA fiita ordeado de forma S S a a a a a 3 a... a... a a 3 a a a S a a a a a a... a a a a a a 3 3 Como há termos de mesmo valor (a + a), pela propriedade, temos: (a S a ). Exemplo : Calcular a soma dos 0 primeiros termos de uma PA (, 5, 8,...). Solução: Portato, a (0 ) 3 a ( a a ) ( 59) 0 S Iterpolação de uma Progressão Aritmética (PA): Iterpolar ou iserir k meios aritméticos etre dois extremos a e a, sigifica formar uma PA de = k + termos ode a e a são os extremos. Como a e a são dados, basta determiar a razão r.

45 45 Exemplo 3: Isira 4 meios aritméticos etre 3 e 38. Solução. a = 3; a = 38; = 6; r =? a = a + ( )r => r = 7. Logo, PA (3, 0, 7, 4, 3, 38). Progressão Aritmética de ª Ordem A defiição de progressão aritmética utilizada até agora, a verdade é um caso particular chamado progressão aritmética de ª ordem, ode a subtração dos termos cosecutivos é costate. No caso da PA de ª ordem, a seguda subtração de termos cosecutivos é que será costate. Exemplo 4: (, 3, 6, 0,...) ª subtração: 3 = ; 6 3 = 3; 0 6 = 4,... Observe que as difereças ão são costates, mas os resultados (, 3, 4,...) formam uma PA de razão costate igual a. Portato, a sequêcia (, 3, 6, 0,...) é uma PA de seguda ordem. De forma geral, podemos escrever essa situação da seguite forma: i) a, a, a3, a4,..., a represetado a PA de ª ordem. ii) b, b,...,b- represetado a PA de ª ordem. a a = b a3 a = b a4 a3 = b3... a a - = b-

46 46 Adicioado os dois membros etre si, observamos que os termos simétricos do º membro se aulam sobrado (a a) e o º membro forma-se uma soma de PA. Escrevedo essa expressão, temos: a ( b b ) ( ) a Logo, a ( b b ) ( ) a Exemplo 5: Números triagulares são úmeros que podem ser represetados por potos arrajados a forma de triâgulos equiláteros. É coveiete defiir como o primeiro úmero triagular. Apresetamos a seguir os primeiros úmeros triagulares. Se T represeta o -ésimo úmero triagular, etão T =, T = 3, T3 = 6, T4 = 0, e assim por diate. Dessa forma, qual o valor de T00? Solução: a b ( b99).(00 ) ( b99).99 (99 ) Assim, ( 00) 99 a

47 47 Proposta de atividade didática Apresetamos agora uma proposta didática utilizado progressões aritméticas em um problema de matemática fiaceira; especificadamete serão abordados juros simples. Público Alvo: Aluos do Esio Médio. Recursos Pedagógicos: Lousa. Objetivo Geral: Discutir com os aluos o coceito de juros simples, empregado os cohecimetos prévios sobre progressões aritméticas. Objetivos Específicos:. Esiar a liguagem básica de matemática fiaceira aos aluos do Esio Médio;. Desevolver a teoria de juros simples através da aplicação do coceito de progressão aritmética; 3. Aplicar o coceito de juros simples a resolução de problemas. Coteúdo: Progressões aritméticas, matemática fiaceira (juros simples). Desevolvimeto: Esta proposta será realizada em duas aulas. Na primeira das aulas, após itroduzir a liguagem comum de matemática fiaceira e defiir os coceitos de juros, tempo, taxa, motate e outros pertietes, o professor poderá motivar os aluos com o seguite problema: Uma pessoa faz um empréstimo de R$.000, 00 a ser pago segudo uma capitalização de juros simples em 4 parcelas iguais e a uma taxa de,8% ao mês. Qual o valor de cada uma das parcelas? Em grupos, os aluos trabalharão a resolução do problema. O professor supervisioará os grupos verificado as estratégias que os grupos estão cosiderado. Após esta etapa, o professor mediará um debate ode cada grupo socializará as soluções e estratégias. Fechado a discussão, o professor abordará o problema com o uso das progressões, fazedo depois algumas cosiderações teóricas acerca do tema, como as feitas abaixo: Sedo C o capital emprestado, decorrido o primeiro mês, o saldo devedor será igual a C + ic = C( + i).

48 48 No segudo mês, como o sistema é de juros simples, o saldo devedor será igual a C + ic + ic = C + ic. De modo idutivo, percebe-se que a sequêcia formada pelo saldo devedor mês a mês forma uma progressão aritmética de primeiro termo a = C e razão r = ic, ode i é a taxa de juros e C é o capital iicial. Assim, para determiar o saldo devedor o tempo t é ecessário que se determie o t ésimo elemeto desta sequêcia. No problema apresetado, como C =.000, i = 0, 08 e o tempo de pagameto é de 4 meses, é ecessário que se determie o elemeto a4 a PA. Sabemos que: a = ( ).000 0, 08 = ( ) 36 e, assim, a4 = = =.88. Como as parcelas devem ser todas iguais, a prestação mesal é aproximadamete igual a R$7, 83. Na seguda das aulas desta proposta, o professor apresetará uma lista de problemas que deve ser resolvida pelos aluos em grupos com o uso de progressões aritméticas. Ao fial da aula, o professor deduzirá as fórmulas que geralmete são ecotradas os livros didáticos que tratam do tema. Avaliação: A avaliação é um processo cotíuo e terá iício a primeira aula, com a verificação da participação, iteresse e evolvimeto com todas as etapas aqui propostas. Os registros produzidos pelos aluos em grupo serão importates elemetos para o acompahameto de todo o processo. 6.. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Progressão Geométrica é a sequêcia de úmeros ão ulos, ode qualquer termo (a partir do segudo), é igual ao atecedete multiplicado por uma costate. Essa costate é deomiada razão da progressão, sedo idicada por q.

49 49 As progressões geométricas possuem este ome graças à seguite característica de sua formação: Tomado-se 3 termos cosecutivos de uma PG, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois termos. Exemplos simples (3, 9,7, 8,...) é uma P.G. Crescete de razão q = 3. (90, 30, 0,...) é uma P.G. Decrescete de razão q = /3. (-7, 4, -8, 56,...) é uma P.G. Oscilate de razão q = -. (3, 3, 3, 3,...) é uma P.G. Costate de razão q =. A razão de uma PG pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = a / a - ou seja: q = a / a = a3 / a = a4 / a3 = a / a-... Classificação: Quado q > 0, a P.G. é crescete. Por exemplo: (3, 6,, 4, 48,...) q = a / a a = 3 q = 6 / 3 ode a = 6 (a = a. q a = 3. a = 6) q = a3 = (a3 = a. q a3 = 3. a3 = 3. 4 a3 = ) Note que toda PG crescete, partido do segudo termo, qualquer elemeto é maior que o aterior. Quado a < 0 e q > ou a > 0 e 0 < q <, a P.G. é decrescete. Por exemplo: (48,4,,6,.., 3)