Poliedros DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS ROMAN SLAVIK/THINKSTOCK/

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1 149 P Í T U L O 8 Poliedros Introdu o s inúmers obrs de engenri, rquitetur, rtes plástics etc. mostrm imens quntidde de forms que podem ser relcionds com figurs estudds n Geometri. THINKSTOK/GTTY IMGS THINKSTOK/GTTY IMGS LFIM MRTINS/PULSR IMGNS ROMN SLIK/THINKSTOK/ GTTY IMGS MSP, Museu de rte de São Pulo. Obr d rquitet Lin o rdi, construíd em Pirâmide de vidro no Museu do Louvre, em Pris, Frnç, construíd em tedrl Ncionl em rsíli. Obr do rquiteto Oscr Niemeyer, construíd em Plácio Tj Ml, em gr, Índi, construído no século XII. Muits forms reis encontrds em objetos do cotidino, emblgens de produtos, construções, entre outros, lembrm s lidos geomžtricos, os quis são figurs tridimensionis idelizds pel Geometri. ej lgums fotos de objetos que constituem forms reis. o ldo de cd um está desend figur correspondente o sólido geométrico mis próximo d form rel. THINKSTOK/GTTY IMGS forno de micro-onds prlelepípedo retângulo THINKSTOK/GTTY IMGS THINKSTOK/GTTY IMGS lt de tum cilindro THINKSTOK/GTTY IMGS globo terrestre esfer csquin de sorvete cone

2 150 PêTULO 8 prism oblíquo qudrngulr Port d urop em Mdri, spn, 015. PRO SLRRÍ/SY FOTOSTOK/G PHOTO No nosso di di, encontrmos tmbém um grnde vriedde de forms reis tridimensionis que são mis complexs e que, de modo gerl, não estão ssocids os sólidos geométricos mis comuns. Observe s imgens. FILIZ76/THINKSTOK/GTTY IMGS THINKSTOK/GTTY IMGS Hotel urj l rb em ubi, mirdos Árbes, 015. suporte pr fit desiv vso decortivo SHUTTRSTOK Qundo exminmos s forms tridimensionis idelizds pel Geometri, estmos observndo sólidos geométricos. Os sólidos geométricos mis simples podem ser de dois tipos: Poliedros: são sólidos geométricos cujs superfícies são formds pens por polígonos plnos (triângulos, qudriláteros, pentágonos etc.). plvr poliedro vem do grego ntigo, em que poli signific vários, e edro, fce. ej lguns exemplos de poliedros: prlelepípedo poliedro cubo prism exgonl pirâmide tringulr pirâmide qudrngulr

3 Poliedros 151 m um poliedro podemos distinguir: fces: são os polígonos que formm superfície do poliedro. Observe, por exemplo, que o prism exgonl present 8 fces: exágonos e 6 qudriláteros (retângulos). rests: são os ldos dos polígonos que constituem s fces do poliedro. d rest é um segmento de ret determindo pel interseção de dus fces. Observe, por exemplo, que pirâmide tringulr possui 6 rests. vértices: são s extremiddes ds rests. d vértice é interseção de dus ou mis rests. Observe, por exemplo, que, n pirâmide qudrngulr n págin nterior, os 5 vértices são:,,,,. No vértice concorrem rests e o vértice é o ponto de encontro de 4 rests. orpos redondos: são sólidos geométricos cujs superfícies têm o menos um prte que é rredondd (não pln). ej os exemplos: cilindro cone esfer tronco de cone de bses prlels Fremos um estudo dos principis poliedros neste cpítulo. Já os principis corpos redondos serão estuddos no cpítulo 9. Prism Observe o ldo lguns objetos encontrdos em nosso cotidino. d um deles present crcterístics comuns, tis como: sus superfícies são constituíds de polígonos; tem pelo menos dois polígonos congruentes contidos em plnos prlelos; os outros polígonos são prlelogrmos. Sólidos com esss crcterístics são cmdos prisms. iversos objetos comuns em nosso di di lembrm prisms. FOTOS: THINKSTOK/GTTY IMGS onsideremos dois plnos e b, distintos e prlelos entre si, um polígono convexo P, contido em, e um ret r que intersect e b nos pontos X e Y, respectivmente. Por todos os pontos de P, trcemos rets prlels r, conforme mostrdo n figur o ldo. Observe que os pontos de interseção desss rets com e b determinm segmentos congruentes o segmento XY. reunião de todos os segmentos ssim obtidos é um sólido cmdo prism. polígono convexo P b Y X r

4 15 PÍTULO 8 lementos e clssificção onsiderndo o prism representdo n figur bixo, temos: bse ' b ' ' ' ' fce lterl ltur rest lterl bse rest d bse os polígonos e ''''', cmdos bses do prism, são congruentes e estão contidos em plnos prlelos entre si ( e b); os prlelogrmos '', '', '', '' e '' são cmdos fces lteris; os ldos dos polígonos ds bses (,,,,, '', '', '', '' e '' ) são s rests ds bses; os segmentos ', ', ', ' e ' são s rests lteris; distânci entre os plnos e b, que contêm s bses, é ltur do prism. Qunto o número de ldos de cd polígono d bse, os prisms são clssificdos em: tringulr, qudrngulr, pentgonl etc., conforme o polígono d bse sej, respectivmente, um triângulo, um qudrilátero, um pentágono etc. Qunto à inclinção ds rests lteris em relção os plnos ds bses, os prisms são clssificdos em: prism oblíquo: se s rests lteris são oblíqus os plnos ds bses; prism reto: se s rests lteris são perpendiculres os plnos ds bses. Observe que, nesse cso, s fces lteris são retângulos. xemplos: prism oblíquo tringulr ( bse é um triângulo.) prism reto qudrngulr ( bse é um qudrilátero.) prism reto pentgonl ( bse é um pentágono.) prism oblíquo exgonl ( bse é um exágono.) prism reto eptgonl ( bse é um eptágono.) OSRÇÃO Se s bses de um prism reto são polígonos regulres, ele é cmdo prism regulr.

5 Poliedros 15 Prlelepípedo Todo prism cujs bses são prlelogrmos é cmdo prlelepípedo. Su superfície totl é reunião de seis prlelogrmos. prlelogrmo prlelogrmo Prlelepípedo reto: é um prlelepípedo cuj superfície totl é reunião de qutro retângulos (fces lteris) com dois prlelogrmos (bses). prlelogrmo ret ngulo Prlelepípedo retângulo ou retorretângulo: é um prlelepípedo cuj superfície totl é reunião de seis retângulos. retângulo retângulo ubo: é um prlelepípedo cuj superfície totl é reunião de seis qudrdos. Note que o cubo é um prlelepípedo retângulo em que tods s rests são congruentes. qudrdo qudrdo Prlelepípedo retângulo onsidere que o continer mostrdo n imgem tem form de um prlelepípedo retângulo cujs dimensões são: 8 m de comprimento, 4,5 m de lrgur e m de ltur. Supon que Onofre, dono de um empres que lug continer, contrte um pesso pr pintr tod superfície extern do continer d foto o ldo. onsiderndo que ess pesso cobr R$ 4,50 pr pintr um superfície de 1 m, que qunti Onofre terá de desembolsr pr pgr pelo serviço contrtdo? ONIONSTUIO/LMY/FOTORN

6 154 PêTULO 8 álculo d áre totl figur 1 represent um prlelepípedo retângulo, em que e b são s medids dos ldos do retângulo d bse, e c, medid d ltur. figur represent plnificção d superfície desse prlelepípedo. 1 b ' ' ' ' c c b c b 1 b c figur 1 figur c ss plnificção mostr que superfície do prlelepípedo é reunião de seis retângulos, congruentes dois dois. ssim, su áre totl t é igul à som ds áres desses seis retângulos, ou sej: t 5? 1 1? 1? t 5 b 1 c 1 bc XMPLO 1 mos resolver o problem proposto n págin nterior, ou sej, vmos clculr qunti que Onofre deverá pgr à pesso contrtd pr pintr tod superfície extern do continer. omo bse do continer tem 8 m de comprimento por 4,5 m de lrgur e su ltur mede m, então áre d superfície ser pintd é igul à som ds áres de seis retângulos, ou sej, 5 b 1 c 1 bc, em que 5 8 m, b 5 4,5 m e c 5 m. ssim, áre, em metros qudrdos, é: 5 (8? 4,5) 1 (8? ) 1 (4,5? ) omo o pintor cobr R$ 4,50 por metro qudrdo pintdo, então, pelos 147 m de áre ser pintd, ele deverá cobrr de Onofre qunti de 147? R$ 4,50 5 R$ 661,50. álculo d medid d digonl No prlelepípedo d figur seguir, sejm d medid d digonl do prlelepípedo e d 1 medid d digonl d bse. ' ' ' ' d d 1 b c

7 Poliedros 155 Observe que os triângulos e ' são retângulos: ' ' b d 1 c d ssim, temos: No 0: d b d 5 1 b 1 c No 0': d 5 d 1 1 c Logo: d 5 1 b 1 c d 1 '''': prlelepípedo retângulo plno () ' é perpendiculr qulquer ret, do plno (), que contém (ponto de interseção entre ret ' e o plno (). Logo: 0' é retângulo. PNS NISTO: Por que o triângulo ' é retângulo? álculo do volume O volume de um sólido é medid d região do espço limitd por su superfície. Pr expressr o volume de um sólido por meio de um número, devemos estbelecer um unidde pdrão: unidde de volume é o cubo cuj rest mede 1 u.c. (unidde de medid de comprimento). Pr cd unidde de medid de comprimento, temos um correspondente unidde de volume, como mostrdo n tbel seguir: Unidde de medid d rest do cubo Unidde de volume 1 dm 1 dm 1 cm 1 cm 1 m 1 m 1 mm 1 mm e modo gerl: unidde de medid d rest 5 1 u.c. e unidde de volume 5 1 (u.c.) onsideremos um prlelepípedo retângulo com s seguintes dimensões: 5 5 u.c., b 5 u.c. e c 5 u.c. divisão do comprimento, d lrgur e d ltur desse prlelepípedo em cinco uniddes, dus uniddes e três uniddes, respectivmente, nos permite obter 0 cubos unitários (5?? 5 0), conforme mostrdo ns figurs bixo: 1 u.c. u.c u.c. 1 u.c. 5 u.c. u.c. izemos, então, que o volume desse prlelepípedo é: 5 (5 u.c.)? ( u.c.)? ( u.c.) 5 0 (u.c.) e modo gerl, se s medids ds três dimensões de um prlelepípedo retângulo são os números inteiros, b e c, seu volume é ddo por: 5? b? c

8 156 PêTULO 8 N figur 1 d págin 154, como? b é áre d bse ( b ) e c é medid d ltur, temos: 5 (? b)? c 5 b? mos clculr o volume do continer de Onofre (ver págin 15), lembrndo que ele tem form de um prlelepípedo retângulo cujs dimensões são: 8 m de comprimento, 4,5 m de lrgur e m de ltur. onsiderndo 5 8 m, b 5 4,5 m e c 5 m, temos: ubo XMPLO Professor, ns Orientções idátics deste mnul é presentd demonstrção no cso em que s medids ds rests do prlelepípedo retângulo são números rcionis (não inteiros) positivos. Se cr pertinente, leve- pr sl de ul. É um bo oportunidde pr mplir discussão e reflexão. 5? b? c 5 8? 4,5? Logo, o volume do continer de Onofre é 108 m. O cubo é um prlelepípedo retângulo cujs seis fces são qudrdos congruentes. ssim, sus 1 rests são congruentes entre si. omo já sbemos, s fórmuls d áre totl, d digonl e do volume de um prlelepípedo retângulo são: 5 b 1 c 1 bc, d 5 1 b 1 c e 5? b? c, respectivmente. onsiderndo b 5 c 5 em cd um desss fórmuls, obtêm-se s fórmuls d áre totl, d digonl e do volume de um cubo de rest de medid : OSRÇÃO O que presentmos é um cso prticulr d obtenção d fórmul do volume de um prlelepípedo retângulo, em que s medids de sus rests são números inteiros (positivos). Pode-se mostrr que ess fórmul é válid pr prlelepípedos retângulos nos quis s medids ds rests são expresss por quisquer números reis positivos. Áre : 5?? 1?? 1?? 5 6 igonl d: d d 5 d olume : 5?? 5 OSRÇÃO unidde de medid de volume do Sistem Interncionl de Uniddes (SI) é o metro cúbico. pesr de não fzer prte do SI, unidde litro é reconecid como unidde de medid por esse sistem de medids e definid como o volume de um cubo cuj rest mede 1 decímetro, ou sej, 1 L 5 1 dm. PNS NISTO: m quntos cubos de rest 1 cm pode ser decomposto um cubo de rest 1 m? XMPLO omo rest do cubo mede 1 m cm, então cd rest pode ser dividid em 100 prtes de 1 cm cd, gerndo 100? 100? de cubos de rest 1 cm. No exemplo nterior, determinmos o volume do continer de Onofre: 108 m. gor, vmos determinr o mior número de cixs que podem ser trnsportds nesse continer, considerndo que tods têm form de um cubo cuj rest mede 50 cm e que mss totl ds cixs não excede tonelgem máxim que pode ser trnsportd no continer. omo cd dimensão do continer é divisível por 50 cm, temos: Se cd rest d cix mede 50 cm, o volume ocupdo por um únic cix é: 1 5 (50 cm)? (50 cm)? (50 cm) cm 5 0,15 m Se x é o número de cixs que podem ser trnsportds, então devemos ter: x? 1 < 108 m. Logo: x? 0,15 < 108 x < 864 * O mior número de cixs que podem ser trnsportds no continer é o mior número inteiro x que stisfz sentenç *, ou sej, 864.

9 Poliedros 157 XRÍIO RSOLIO 1 m um quário, um tnque pr peixes tem form de um prlelepípedo retângulo de bse qudrd, e águ em seu interior ocup d su cpcidde. onsiderndo que esse 5 tnque tem m de ltur e rest d bse mede 4,5 m, determine quntos litros de águ fltm pr que ele fique totlmente ceio. Solução: Primeirmente, clculemos o volume, em m, do tnque: 5 b? 5 (4,5)? 5 60,75 LOURNS SMK/LMY/FOTORN omo águ existente no tnque ocup?, então águ ser colocd no tnque, pr encê-lo 5 totlmente, deverá ocupr um volume, em m, tl que: 5 5? 5 5? 5 5? 60,75 5 4,0 Lembrndo que 1 m dm e 1 L 5 1 dm, então: 5 4,0 m 5 4,0? dm dm L Logo, são necessários 4 00 litros de águ pr terminr de encer o tnque do quário. XRÍIOS F NO RNO 1 lcule medid d digonl, áre totl e o volume de cd um dos prlelepípedos retângulos representdos bixo: ) c),5 cm,0 cm,5 cm,5 cm,0 cm 1,5 cm b),5 cm 4 lcule áre totl e o volume de um cubo cuj digonl de um fce mede 1, m. 5 figur mostr plnificção d superfície de um prlelepípedo retângulo no qul unidde ds dimensões indicds é o centímetro. etermine: 4 4 x,0 cm,0 cm x etermine o volume de um prlelepípedo retângulo, sbendo que medid de su digonl é 10 dm e dus de sus dimensões medem 4 dm e 7 dm. lcule medid d digonl, áre totl e o volume de um cubo cuj som ds medids ds rests é igul 48 cm. ) x, sbendo que áre totl do prlelepípedo é igul 64 cm ; b) o volume do prlelepípedo pr x 5 4 cm; c) medid d digonl do prlelepípedo pr x 5 6 cm. 4 4

10 158 PêTULO 8 6 Um cix tem form de um prlelepípedo retângulo cujo volume é igul 19 cm. Se s áres de dus de sus fces são iguis cm e 4 cm, determine áre totl desse prlelepípedo. 7 Priscil usou mss de modelr pr construir um prlelepípedo retângulo cujs dimensões erm 0 cm 0 cm 45 cm. m seguid, el desmncou o prlelepípedo que vi construído e proveitou tod mss usd n su construção pr modelr um cubo de x centímetros de rest. om bse nesss informções, determine: ) x; b) medid d digonl do cubo; c) rzão entre áre totl do prlelepípedo e áre totl do cubo. 8 O que ocorre com áre totl e com o volume de um cubo qundo medid d rest: ) dobr? b) é reduzid 1 de seu vlor? c) é reduzid à metde de seu vlor? d) é multiplicd por um número positivo k? 9 Fusto tem em su cs um reservtório de águ com form de um prism reto de bse qudrd, no qul rest d bse e ltur medem, respectivmente, x dm e 8 dm. Se ele pretende reformr tl reservtório, umentndo em 0% s medids ds sus rests e d su ltur, fim de que o novo reservtório ten cpcidde pr 110,4 litros de águ, qul deverá ser o vlor de x? 10 Pretende-se construir um reservtório de águ em form de um prlelepípedo retângulo que tem 4 m de ltur e cujo perímetro d bse é igul 40 m. etermine o comprimento e lrgur desse reservtório pr que ele ten cpcidde pr litros. 11 Um reservtório de águ (R 1 ) tem form de um prlelepípedo retângulo, com s seguintes dimensões: m de ltur, 4 m de lrgur e 6 m de comprimento. Pretende-se construir outro reservtório (R ), com form de um prlelepípedo retângulo cujs dimensões são diretmente proporcionis às respectivs dimensões de R 1. Nesss condições, se R tiver 15 m de comprimento, ) qul será áre totl de su superfície? b) que porcentgem de créscimo sofrerá o volume de R 1? 1 Sej um prlelepípedo retângulo cuj áre totl é igul 846 cm e tl que s medids ds rests, em centímetros, são termos consecutivos de um progressão ritmétic de rzão. Pr esse prlelepípedo, determine: ) medid d digonl, em centímetros; b) o volume, em centímetros cúbicos. 1 Um comercinte comprou 0 blocos de doce de bóbor, cd qul com form de um prlelepípedo retângulo de bse 1 cm 1 cm e ltur medindo 1 do perímetro d bse. O comercinte 11 dividiu cd bloco em cubinos de cm de rest e colocou-os à vend por R$ 0,80 unidde. Se ele pgou o fornecedor R$ 15,00 por bloco, qul será o seu lucro n vend de todos os cubinos obtidos dos 0 blocos? 14 (Unifesp-SP) Um cubo de rest de comprimento vi ser trnsformdo num prlelepípedo retorretângulo de ltur 5% menor, preservndo-se, porém, o seu volume e o comprimento de um de sus rests, como é mostrdo n figur. diferenç entre áre totl ( som ds áres ds seis fces) do novo sólido e áre totl do sólido originl será: ) 1 6 b) 1 c) 1 d) e) O vso mostrdo n figur foi feito com plcs de vidro, cd um com 0,5 cm de espessur. onsiderndo que ele tem form de prlelepípedo retângulo com s dimensões externs indicds, determine: GRPHORM 1 cm 11 cm 4 cm ) cpcidde desse vso em litros; b) o volume do vidro utilizdo n su confecção.

11 plicções 159 O volume do cubo e função liner Pr judr no bstecimento de águ de um região cstigd pel estigem, prefeitur de um cidde bstece dirimente, com litros (ou 1,5 m ) de águ, um pequeno e distnte povodo. ss quntidde de águ é retird de um cminão-pip e despejd, por meio de um bomb, em um reservtório cúbico vzio, com,5 m de rest. No processo de trnsferênci d águ, um funcionário utiliz pens um tren grdud pr verificr ltur que águ tinge no reservtório e, dess form, ele consegue sber o volume de águ trnsferido pel bomb sem que j desperdício de águ. omo isso é possível? O volume de águ (em metros cúbicos) despejdo no reservtório vri de cordo com o nível tingido pel águ, em metros. Pr um certo nível 1, o volume de águ é ddo por 1 5 b? 1 5 (,5)? 1. Pr um outro nível, o volume de águ é ddo por 5 (,5)?, e ssim por dinte. nfim, pr cd nível que águ tinge, o volume trnsferido é: 5 (,5)? omo áre de bse (,5 5 6,5) é constnte, rzão é constnte (e igul 6,5) e, desse modo, s grndezs volume de águ trnsferido e nível d águ são diretmente proporcionis e relção entre esss grndezs é dd por: 5 6,5 5 6,5?, com em m e em m. Trt-se d função liner y 5 6,5? x, cujo gráfico está bixo representdo:,5,5 1 olume (m ) 1,5 1,5 P 9,75 6,5,15 0 0,5 1,0 1,5,0 ltur ou,16 nível (m) ssim, pr que o volume trnsferido sej de L 5 1,5 m, devemos ter: 1,5 5 6,5? x x 5,16 (vej o ponto P). m resumo, o funcionário deve fzer medições sucessivs com tren té que o nível de águ tinj ltur de,16 m, ou sej, metros e 16 centímetros. Nesse ponto, trnsferênci de águ deve ser interrompid, pois o recipiente cúbico já contém os litros.

12 160 PêTULO 8 Princípio de vlieri onseguimos estbelecer um fórmul pr o volume de um prlelepípedo retângulo de mneir intuitiv; entretnto, pr determinr expressão do volume de outros sólidos, o processo não é tão simples. Um mneir que pode ser utilizd pr obtenção do volume de um sólido é dotr como xiom um resultdo formlizdo pelo mtemático itlino onventur Frncesco vlieri ( ), que é conecido como princípio de vlieri. ntes de enuncir o princípio de vlieri, vmos presentr um exemplo pr que ele poss ser compreendido de mneir intuitiv. ispõe-se de um conjunto de cps retngulres de mdeir, tods com s mesms dimensões e, consequentemente, com o mesmo volume. Imgine que els form usds pr formr dus pils diferentes, cd qul com mesm quntidde de cps, como mostrm s figurs 1 e : figur 1 figur Note que, em mbs s pils, quntidde de espço ocupdo pel coleção de cps é mesm, isto é, os sólidos ds figurs 1 e têm o mesmo volume. Imgine gor esses mesmos sólidos com bses contids num mesmo plno e situdos num mesmo semiespço dos determindos por. Qulquer plno b prlelo e secnte os sólidos 1 e determin nesses sólidos superfícies equivlentes, ou sej, de áres iguis. áres iguis 1 b volumes iguis sólido 1 sólido mesm idei pode ser estendid pr dus pils, cd qul com mesm quntidde de moeds de dimensões iguis: superfícies equivlentes b sólidos de mesmo volume

13 Poliedros 161 O que cbmos de presentr de mneir intuitiv é o que cmmos princípio de vlieri. ois sólidos, nos quis todo plno secnte, prlelo um ddo plno, determin superfícies de áres iguis (superfícies equivlentes), são sólidos de volumes iguis (sólidos equivlentes). 1 1 b e modo gerl, su plicção deve ser feit colocndo-se os dois sólidos com bses em um mesmo plno, prlelo àquele em que estrão s seções de áres iguis. seguir, usremos o princípio de vlieri pr clculr o volume de um prism. Áres e volume Áre d bse ( b ) omo bse de um prism é um polígono, áre d bse de um prism é áre de um polígono. Por exemplo, se bse do prism for um qudrdo cujo ldo mede *, então b 5 * ; se bse do prism for um triângulo, em que b e são, respectivmente, s medids d bse e d ltur reltiv ess bse, então b 5 b?. Áre lterl ( * ) omo superfície lterl de um prism é reunião de sus fces lteris, então áre lterl de um prism é som ds áres ds fces lteris. Áre totl ( t ) omo superfície totl de um prism é reunião d superfície lterl com s bses, então áre totl de um prism é dd por: t 5 * 1? b olume ( ) Imginemos um prism P 1 de ltur de medid e áre d bse igul. onsideremos um prlelepípedo retângulo P, em que é medid d ltur e áre d bse é igul. Note que P 1 e P têm s lturs de medids iguis, ssim como são iguis s áres de sus bses.

14 16 PêTULO 8 Suponmos que os dois sólidos tenm s bses contids num mesmo plno e fiquem no mesmo semiespço de origem, conforme mostrdo n figur: P 1 P b 1 Observe que qulquer plno b prlelo e que secione P 1 tmbém secion P. Note tmbém que s seções ( 1 e ) têm áres iguis, pois são congruentes às respectivs bses. ntão, pelo princípio de vlieri, o prism P 1 e o prlelepípedo P têm volumes iguis, ou sej, P1 5 P. omo P 5?, então: P1 5?. ssim, concluímos que: 5 b? O volume de um prism é igul o produto d áre d bse pel medid d ltur. omo exemplo, consideremos P 1 um prism reto tringulr com 1 cm de ltur e áre d bse igul 18 cm e P um cubo cuj rest d bse mede 6 cm. Temos: P1 5 b? P1 5 18? 1 P cm P 5 P 5 6 P 5 16 cm P1 5 P P 1 e P são sólidos equivlentes XMPLO 4 figur o ldo represent um prism reto, em que ltur mede 6 cm e bse é um triângulo retângulo isósceles cuj ipotenus mede cm. mos determinr áre totl ( t ) e o volume () desse prism. álculo de t : onsidere plnificção d superfície do prism ddo, mostrd n figur bixo. cm 6 cm ' ' ' 6

15 Poliedros 16 Observe que áre totl do prism é igul à som ds áres de dois triângulos retângulos isósceles ( e ''') com s áres de três retângulos ('', '' e ''). Temos: 0 é retângulo e isósceles; então: () 1 () 5 () 5 5 cm 5? () 5 ( ) Logo: b 5 1?? 5 4,5 cm b omo áre lterl é som ds áres dos retângulos '', '' e '', então: * 5? 6 1? 6 1? 6 * 5 18( 1 ) cm Portnto: t 5 * 1? b t ? 4,5 t 5 9(5 1 ) cm Logo, áre totl desse prism reto é igul 9(5 1 ) cm. álculo de : omo o volume de um prism é ddo por 5 b?, então: 5 4,5? cm Logo, o volume desse prism reto é 7 cm. XRÍIOS RSOLIOS Um prism reto é tl que su bse é um losngo com 4 dm de perímetro e um dos ângulos internos mede 60, conforme figur. onsiderndo que esse prism tem 18 dm de ltur, determine o seu volume. Solução: Primeirmente, vmos determinr b, áre d bse do prism. Q P 60º R S 18 dm Se o perímetro do losngo d bse é igul 4 dm, então cd ldo mede 6 dm. P' S' Q' R' áre do losngo d bse é igul à som ds áres dos triângulos PSR e PQR, que são congruentes. ssim, temos: b 5? PSR 5? 1? 6? 6? sen 60 b 5 18 dm O volume do prism é ddo por 5 b?. ntão, como 5 18 dm, temos: 5 (18 dm )? (18 dm) 5 4 dm Logo, o volume desse prism é 4 dm. Q P R 6 60¼ 6 S Um rtesão fz peçs mciçs de ltão e s vende por R$ 5,00 o quilogrm. Fbrício comprou um desss peçs, que tem form de um prism regulr exgonl de 10 cm de ltur e cuj rest d bse mede 4 cm. onsiderndo que densidde do ltão é 8,5 g/cm, qunto Fbrício pgou pel peç comprd? Use 1,7. Solução: omo densidde do ltão é 8,5 g/cm, isto é, mss de ltão num volume de 1 cm é 8,5 g, então devemos primeirmente determinr o volume d peç comprd por Fbrício. 4 cm 10 cm

16 164 PêTULO 8 álculo de : peç tem form de um prism regulr exgonl; então, 5 b?, em que 5 10 cm e b é áre de um exágono regulr cujo ldo mede 4 cm. omo um exágono regulr é composto de seis triângulos equiláteros, então: Professor, se cr necessário, presente novmente dedução d fórmul d áre de um triângulo equilátero em função d medid de seu ldo. b 5 6? *? 4 * 5 4 b 5 6? 4? 1,7 4 b 5 40,8 cm omo 5 b?, temos: álculo d qunti pg por Fbrício: 5 (40,8 cm )? (10 cm) cm omo densidde do ltão é 8,5 g/cm, regr de três seguinte permite que se clcule mss d peç comprd: mss (g) volume (cm ) 8,5 1 x 408 8,5 x x g 5,468 kg Se o rtesão vende cd peç R$ 5,00 o quilogrm, então peç comprd por Fbrício custou,468? R$ 5,00, ou sej, R$ 11,8. 4 etermine o volume do prlelepípedo oblíquo mostrdo n figur, sbendo que su bse é um qudrdo cujo ldo mede 8 cm 5 cm e que rest lterl mede 8 cm. Solução: áre d bse do prlelepípedo é: 0 5 cm 5 cm b 5 5 b 5 5 cm Pr determinr medid d ltur do prlelepípedo, note que o triângulo M' é retângulo; ssim: sen 0 5 M ' cm omo o volume do prlelepípedo é ddo por 5 b?, M 8 cm 0 ' ' ' 5 cm ' temos: 5 (5 cm )? (4 cm) cm OSRÇÃO efine-se densidde de um mteril omogêneo como o quociente de su mss pelo seu volume. representção d densidde pode ser feit pel letr greg r (que se lê rô ) e é express, entre outros modos, em grms por centímetro cúbico, quilogrms por metro cúbico, librs por polegd cúbic etc. ssim: r 5 m, em que m é mss e o volume do mteril.

17 Poliedros 165 XRÍIOS F NO RNO 16 lcule áre lterl, áre totl e o volume de cd um dos seguintes prisms: ) prism reto tringulr 4 cm cm b) prism regulr exgonl 1 cm,5 cm,5 cm c) prism oblíquo de bse qudrd 5 cm cm 60¼ 17 onsidere um prism reto cuj bse é um triângulo equilátero de perímetro 1 dm. etermine áre totl e o volume desse prism, sbendo que medid d su ltur é o dobro d medid d ltur d bse. 18 N figur tem-se plnificção d superfície de um prism reto cuj bse é um trpézio isósceles H F 5 G F 1 19 bse de um prism reto de 8 cm de ltur é um qudrdo inscrito em um círculo de 6 cm de diâmetro. etermine áre totl e o volume desse prism. 0 Sbe-se que bse de um prism reto é um exágono regulr cujo pótem mede 6 dm. Se ltur desse prism mede 0 dm, determine su áre totl e seu volume. 1 Um rtesão vende port-jois que têm form de prisms eptgonis regulres. le oferece os clientes opção de revestimento de tod superfície lterl do port-jois com resin e, por esse serviço, cobr sobre o preço mrcdo um dicionl de R$ 0,15 por centímetro qudrdo de superfície revestid. Mfld comprou um desses port- -jois e optou por fzer tl revestimento. ntão, se o port-jois que el comprou tin 4 cm de ltur e rest d bse medi cm, que qunti dicionl el pgou? Um prism exgonl regulr tem 19 m de volume e áre de su superfície lterl é igul 19 m. etermine medid do ldo do exágono e ltur do prism. Sbe-se que bse de um prism é um triângulo equilátero com 1 dm de perímetro e que medid de su ltur é igul 5 d medid d ltur d bse. Reltivmente esse prism, determine: ) áre totl; b) o volume. 4 Um prism exgonl regulr é tl que áre d bse está pr áre lterl ssim como 1 está pr. etermine áre lterl e o volume desse prism, sbendo que ele tem 18 cm de ltur. 5 figur represent um glpão com o formto de um prism reto de bse pentgonl, em que unidde ds medids indicds é o metro. onsiderndo que esse glpão tem 18 m de comprimento, determine o volume de r que ele comport. onsiderndo que unidde ds medids indicds é o centímetro, determine: 5 5 ) o volume desse prism; b) rzão entre áre d bse e áre lterl desse prism, ness ordem

18 166 PêTULO 8 Pirâmide O desenvolvimento d Geometri pode ter sido estimuldo por necessiddes prátics de demrcção de terrs, de construção de edifícios ou por sentimentos estéticos ds rtes em gerl. sse senso estético prece ter sido ltmente desenvolvido entre os egípcios, como mostrm registros de construções de pirâmides (proximdmente ), destinds servir de túmulo pr o fró e su fmíli, bem como gurdr seus tesouros. Pr os egípcios, s pirâmides representvm os rios do sol brilndo em direção à Terr. Tods els form construíds n mrgem oeste do rio Nilo, n direção do sol poente. ntre s inúmers pirâmides construíds no ntigo império egípcio, destcm-se três: de Quéops (conecid como Grnde Pirâmide de Gizé), de Quéfren e de Miquerinos conecids tmbém como Pirâmides de Gizé, mostrds n foto o ldo. tulmente, Grnde Pirâmide de Gizé, lém de ser Ptrimônio Mundil d Unesco, ocup o primeiro lugr n list ds sete mrvils do mundo ntigo. RT KOWLSKY/LMY/FOTORN Grnde Pirâmide de Gizé, o centro, tem mis de nos. É únic mrvil do mundo ntigo que resistiu té oje às intempéries. gito, 004. dos um polígono convexo P contido em um plno e um ponto não pertencente, trcemos todos os possíveis segmentos de ret que têm um extremidde em e outr num ponto do polígono. reunião desses segmentos é um sólido cmdo pirâmide. polígono convexo P lementos e clssific o N pirâmide F, representd o ldo, temos que: o ponto é o vértice d pirâmide. o polígono F é bse d pirâmide. os segmentos,,,, F e F são s rests d bse. os segmentos,,,, e F são s rests lteris. os triângulos,,,, F e F são s fces lteris. distânci de o plno d bse é ltur d pirâmide. fce lterl F bse rest lterl ltur rest d bse

19 Poliedros 167 s pirâmides podem ser clssificds de cordo com o polígono d bse. Por exemplo: pirâmide tringulr ( bse é um triângulo.) pirâmide qudrngulr ( bse é um qudrilátero.) pirâmide pentgonl ( bse é um pentágono.) F G F pirâmide exgonl ( bse é um exágono.) pirâmide eptgonl ( bse é um eptágono.) XRÍIOS 6 m cd cso, identifique pirâmide que possui: ) 5 fces c) 6 rests b) 10 fces d) 16 rests 9 figur seguinte represent plnificção d superfície de um pirâmide: 7 etermine o número de vértices, de rests e de fces de um pirâmide cuj bse é um polígono convexo de 11 ldos. 8 m cd cso, indique clssificção d pirâmide, sbendo que som dos ângulos de sus fces é igul : ) 0 retos b) 56 retos Sugestão: som ds medids dos ângulos internos de um polígono convexo de n ldos é dd por (n )? 180. Qul é o número de vértices, fces e rests d pirâmide? Pirâmide regulr pirâmide regulr é quel cuj bse é um polígono regulr e cujs rests lteris são congruentes entre si. Um pirâmide regulr tem s seguintes crcterístics: projeção ortogonl do vértice sobre o plno d bse é o centro d bse; s fces lteris são triângulos isósceles congruentes; o pótem d pirâmide regulr é ltur de um fce lterl, reltiv à rest d bse.

20 168 PêTULO 8 ejmos esss crcterístics indicds ns pirâmides regulres bixo representds, ns quis e g são s respectivs medids d ltur e do pótem d pirâmide e m é medid do pótem d bse. O m M pirâmide tringulr regulr ( bse é um triângulo equilátero.) g O m pirâmide qudrngulr regulr ( bse é um qudrdo.) g M F O m M pirâmide exgonl regulr ( bse é um exágono regulr.) g Note que, em tod pirâmide regulr, vle, pelo teorem de Pitágors, relção notável: g 5 1 m Áres e volume Áre d bse ( b ) omo superfície d bse de um pirâmide é um polígono, então: b 5 áre do polígono d bse Áre lterl ( * ) omo superfície lterl de um pirâmide é reunião ds sus fces lteris (triângulos), então: * 5 som ds áres ds fces lteris Áre totl ( t ) superfície totl de um pirâmide é reunião do polígono de su bse com os triângulos que compõem su superfície lterl. Logo, áre totl d pirâmide é som d áre do polígono de su bse com áre de su superfície lterl, ou sej: t 5 b 1 * F olume () Primeirmente determinemos o volume de um pirâmide tringulr e, pr tl, consideremos o prism tringulr d figur o ldo, cuj bse tem áre b e cuj medid d ltur é.

21 Poliedros 169 Secionndo esse prism pelo plno (), obtemos um pirâmide qudrngulr P 1 e um pirâmide tringulr P, de bse e ltur de medid. F F pirâmide P 1 ZPT pirâmide P Secionndo P 1 pelo plno (), obtemos dus pirâmides tringulres: P, de vértice F e bse (ou de vértice e bse F), e P 4, de vértice e bse. F ZPT F pirâmide P pirâmide P 1 pirâmide P 4 Note que: P e P são pirâmides de bses equivlentes (0 e 0F) e mesm ltur. P e P 4 são pirâmides que têm o 0 como bse comum e mesm ltur, pois s distâncis de seus respectivos vértices (F e ) o plno d bse são iguis. Pr obter o volume desss pirâmides tringulres vmos, de mneir introdutóri, mostrr o seguinte teorem: us pirâmides de mesm bse e mesm ltur têm o mesmo volume.

22 170 PêTULO 8 emonstrção: onsideremos s pirâmides P e P ', de bse comum e vértices e ', mbs com ltur de medid H. Um plno prlelo o plno d bse () e distndo dos vértices e ' determin em P e P ' s seções S e S', respectivmente, conforme mostrdo n figur. Se é áre d bse, 1 áre d seção S e áre d seção S ', considerndo semelnç entre os triângulos e e entre os triângulos e, temos: H 5 k (rzão de semelnç) 1 5 k Logo, pelo princípio de vlieri, podemos concluir que: P 5 P ' ' S' 1 S 1 H gor, de modo semelnte, podemos mostrr que P 5 P e P 5 P4, então: P 5 P 5 P4 Fzendo P 5 P 5 P4 5 e considerndo que o prism F é reunião ds pirâmides P, P e P 4, o seu volume ( b? ) é tl que: b? ? b? Portnto, concluímos, pr pirâmides tringulres, vlidde do seguinte teorem: O volume de um pirâmide é igul 1 do produto d áre d bse pel medid d ltur. Pr estender o resultdo obtido, observe n figur o ldo que um pirâmide pode ser dividid em pirâmides tringulres que têm mesm ltur que pirâmide originl. ssim, no exemplo d figur, temos seguinte divisão: pirâmides de vértice cujs bses são os triângulos F,, e. onsiderndo tods s digonis do polígono d bse, trçds por um único de seus vértices, note que divisão d pirâmide originl em pirâmides tringulres fic definid por um plno determindo por cd um desss digonis e pelo vértice d pirâmide. Sej, gor, um pirâmide qulquer cuj bse é um polígono de n ldos e, de um mesmo vértice deste polígono, trcemos tods s possíveis digonis que o dividem em (n ) triângulos. Nesse cso, obterímos (n ) pirâmides tringulres de mesm ltur que pirâmide originl e com áres d bse 1,,...,. n omo o volume d pirâmide originl é som dos volumes desss (n ) pirâmides tringulres, temos: F 5 1? 1? 1 1?? ? n? 5 1? ( n )? ou sej, de modo gerl, temos: 5 1? b? O volume de um pirâmide é igul 1 do produto d áre d bse pel medid d ltur.

23 Poliedros 171 XMPLO 5 Qundo pirâmide de Quéops terminou de ser construíd tin 146 m de ltur e rest d bse medi m. tulmente, devido à erosão, su ltur é de cerc de 16 m, e rest d bse mede 0 m. dmitindo-se que ess pirâmide é qudrngulr regulr, vmos determinr: ) áre totl de su superfície, o finl d construção: áre d bse é: b 5 () 5 ( m) b m áre lterl, *, é som ds áres de qutro triângulos isósceles congruentes, um dos quis é o triângulo, de bse 5 m e ltur M. omo o 0MH é retângulo, temos: (H) 1 (MH) 5 (M) (146) 1 5 (M) M 186,78 m ssim, * 5 4? 0 5 4? ()?(M) 5? ( m)? (186,78 m) * 8709,48 m Logo, áre totl d superfície d pirâmide é: t 5 b 1 * m ,48 m t 141 8,48 m b) O qunto diminuiu seu volume, do finl d construção té os dis de oje: M H 1 : volume d pirâmide o ser construíd ,67 m? ( m)? (146 m) : volume tul d pirâmide 5 1? (0 m)? (16 m) 98 1, m Logo, o volume d pirâmide originl diminuiu 4 91,4 m (diferenç entre 1 e ). Tetredro regulr m-se tetredro tod pirâmide de bse tringulr. Se s qutro fces de um tetredro são triângulos equiláteros congruentes, ele é cmdo tetredro regulr. Observe que, em um tetredro regulr: s seis rests são congruentes, ou sej, qulquer fce,, ou pode ser considerd como bse, já que são triângulos equiláteros congruentes. ejmos como obter áre totl t, medid d ltur e o volume de um tetredro regulr cuj rest mede. Áre totl ( t ) superfície totl de um tetredro é reunião ds superfícies de qutro triângulos equiláteros congruentes. ssim, considerndo que medid ds rests do tetredro é, então su áre totl é qutro vezes áre de um triângulo equilátero cujo ldo mede. Logo: t 5 4? fce t 5 4? 4 t 5?

24 17 PêTULO 8 ltur () Pr clculrmos, medid d ltur de um tetredro regulr, consideremos o ponto O, projeção ortogonl do vértice sobre o plno () d bse, como mostr figur. Observe que o triângulo O é retângulo; então, pelo teorem de Pitágors, temos: () 5 (O) 1 (O) 1 omo 5, O 5 e O 5 M (M: ltur do triângulo equilátero ), temos: O 5? O 5 O M Professor, se cr pertinente, deduz novmente fórmul d ltur de um triângulo equilátero em função d medid & de seu ldo. Substituindo em 1 : ? 6 olume () omo temos: Professor, lembre os estudntes de que, no triângulo equilátero, ltur coincide com medin e o ponto O (bricentro) divide medin n rzão de : 1, isto é, O 5? OM. b : áre de um fce (triângulo equilátero) b 5? 4 e 5 6 O M 5 1? b? 5 1?? 4? 6 5? 1 XMPLO 6 do um tetredro regulr cuj rest mede 4 cm, vmos determinr áre totl de su superfície e o seu volume. compne: superfície totl do tetredro é reunião de qutro triângulos equiláteros congruentes. ssim: t 5 4? *? 4 t 5 4? t 5 16 áre d superfície desse tetredro regulr é 16 cm. omo o volume do tetredro cuj rest mede é ddo por 5? 1, temos: 5 4? Logo, o volume desse tetredro é 16 cm. PNS NISTO: Tod pirâmide tringulr regulr é um tetredro regulr? Não, pois em um tetredro regulr tods s fces são triângulos equiláteros, e, em um pirâmide tringulr regulr, bse deve ser um triângulo equilátero e s fces lteris triângulos isósceles (não necessrimente equiláteros).

25 Poliedros 17 XRÍIOS RSOLIOS 5 onsidere um pirâmide regulr exgonl que tem 18 dm de ltur e cuj rest d bse mede 8 dm. Pr ess pirâmide, determine: medid do pótem (g); medid do pótem d bse (m); medid d rest lterl (); áre d bse ( b ); áre lterl ( * ); áre totl ( t ); o volume ( ). Solução: São ddos: 5 18 dm e * 5 8 dm. Pr uxilir n resolução do problem, vmos considerr os seguintes esboços gráficos: pir mide g F bse O fce lterl g F O m * * m M M M * * * figur 1 figur figur Observe, n figur, que o pótem d bse coincide com ltur de um triângulo equilátero. Logo: m 5 * m 5 8? m 5 4 dm Observe, n figur, que o pótem d pirâmide é ltur do triângulo isósceles (reltiv o ldo ) d fce lterl. omo o triângulo OM é retângulo em O (figur 1), temos: g 5 1 m g g 5 85 dm N figur, pode-se ver que rest lterl é ipotenus do triângulo retângulo M. Logo: 5 g 1 * dm omo superfície d bse d pirâmide é reunião de seis triângulos equiláteros congruentes, temos: b 5 6? * 4 b 5 6? 1 4? 8? b 5 dm omo superfície lterl d pirâmide é reunião de seis triângulos isósceles congruentes (vej figur ), temos: * 5 6? *? g * 5 6? 1? 8? dm *

26 174 PêTULO 8 áre totl é som d áre d bse com áre lterl: t 5 b 1 * t t 5 16 ( 1 85) dm omo o volume é ddo por 5 1??, temos: b 5 1?? dm 6 etermine áre totl e o volume de um pirâmide regulr de bse qudrd, sbendo que s medids ds rests lteris e d bse são 15 cm e 18 cm, respectivmente. Solução: onsidere que figur bixo é representção d pirâmide que se refere o problem. 15 cm O 18 cm M áre totl d superfície dess pirâmide é som d áre d bse, que é um qudrdo de 18 cm de ldo, com s áres de qutro triângulos isósceles congruentes. ssim, temos: Áre d bse: b 5 * b 5 18 b 5 4 cm Áre lterl: Pr clculr áre lterl d pirâmide ( * ), devemos primeiro determinr áre 1 do triângulo, cujo esquem está representdo o 15 cm ldo. ssim, temos: 0M é retângulo () 5 (M) 1 (M) (M) M 5 1 cm M 18 cm omo 1 5 ()? (M) 5 18? cm Temos: * 5 4? 1 * 5 4? 108 * 5 4 cm ntão: t 5 b 1 * t cm Logo, áre totl d pirâmide é 756 cm. Pr clculr o volume d pirâmide, devemos determinr, medid de su ltur, já que 5 1? b?. PNS NISTO: Pelo teorem de Pitágors plicdo o triângulo retângulo OM, temos: ntão: ? 4? cm Logo, o volume d pirâmide é 4 7 cm. 7 cm omo você clculri medid usndo o triângulo O? é um qudrdo O 5 * 5 18 O 5 9 cm 0O é retângulo (O) 1 (O) 5 () 5 15 (9 ) 5 7 cm

27 Poliedros 175 XRÍIOS 0 onsidere o cubo representdo n figur e clcule o volume ds pirâmides: Use 1,4. 6 cm ZPT H G F ) de vértice e bse FGH; b) de vértice e bse FGH. 1 bse de um pirâmide de 6 cm de ltur é um qudrdo de 8 cm de perímetro. lcule o seu volume. lcule o volume de um pirâmide de 1 m de ltur, sendo bse um losngo cujs digonis medem 6 m e 10 m. O perímetro d bse de um tetredro regulr é 1 cm. etermine: ) áre totl do tetredro; b) medid de su ltur; c) o volume do tetredro. 4 lcule áre lterl, áre totl e o volume d pirâmide regulr, cujs dimensões estão indicds n figur o ldo. 4 cm 5 bse de um pirâmide de 8 m de ltur é um exágono regulr cujo pótem mede m. etermine o volume dess pirâmide. 10 cm 9 (UF-P) N ilustrção seguir, temos um pirâmide exgonl regulr com ltur igul o ldo d bse e volume 4 cm. Qul é áre totl d superfície dess pirâmide? ) 7( 1 7) cm b) 6( 1 7) cm c) 5( 1 7) cm d) 4( 1 7) cm e) ( 1 7) cm 40 etermine o volume de um pirâmide regulr qudrngulr, sbendo que o pótem d bse mede 6 cm e o pótem d pirâmide mede 6 cm. 41 Sbe-se que áre d bse de um pirâmide é igul à áre d bse de um prism e que o volume do prism é igul o quíntuplo do volume d pirâmide. Nesss condições, medid d ltur d pirâmide é igul que porcentgem d medid d ltur do prism? 4 N figur bixo tem-se plnificção d superfície de um tetredro regulr: 6 etermine o volume d pirâmide qudrngulr regulr cuj rest d bse mede 6 cm e rest lterl mede 10 cm. 7 lcule o volume de um pirâmide exgonl regulr, sendo 4 cm o perímetro d bse e 0 cm som dos comprimentos de tods s rests lteris. 8 Um peso mciço de ppel é feito de vidro e tem form de um tetredro regulr cuj rest mede 6 cm. Sbendo que densidde do vidro é,6 g/cm, qul é mss desse peso de ppel? 1 dm 9 dm etermine áre totl, ltur e o volume desse tetredro. 4 O tmpo d mes mostrd n figur seguir poi-se em qutro pirâmides regulres qudrngulres, feits de grnito. Se áre lterl de cd pirâmide é 0,8 m e o ldo do qudrdo d bse mede 0,0 m, clcule o volume de grnito ds estruturs ds qutro pirâmides.

28 PêTULO 8 JT/ZPT 176 lementos sem proporção entre si. ) Sbendo que o perímetro do triângulo é igul 6 1, qul é ltur d pirâmide? 44 Sulo comprou um brrc de lon pr cmpr. b) Qul é o volume e áre totl d pirâmide? Sbendo que, qundo montd, el tem form de um pirâmide qudrngulr regulr de m de ltur e que áre de su superfície lterl é 46 Pretende-se construir um escultur de concreto, 15 m, determine o volume de r que ess brrc comport. 45 (UF-PR) N figur seguir, está representd um pirâmide de bse qudrd que tem tods s rests com o mesmo comprimento. de form pirmidl regulr, n qul rest d bse qudrngulr meç 6 m e rest lterl meç 5 m. etermine: ) áre totl d superfície d escultur; b) o volume d escultur; c) medid do ângulo, cujos ldos são o pótem d pirâmide e o pótem d bse. Sólidos semelntes H' 1 situção: G H Observe os cubos 1 e, representdos ns figurs o ldo. rzão entre s medids ds rests de 1 e, ness cm 5. ordem, é: cm rzão entre s medids ds digonis ds bses de 1 e, ness ordem, é: G' ' F' F ' ' ' cm ' cm cubo 1 cubo cm 5 5 '' cm rzão entre s medids ds digonis de 1 e, ness ordem, é: H 5 cm 5 H'' cm izemos que o cubo é um mplição do cubo 1. situção: s figurs o ldo representm dus lts de óleo de soj, comercilizds num supermercdo. mbs têm mesm form cilíndric. Note que O e O' são os centros dos círculos ds bses. ' 0 cm 10 cm 4 cm O lt I O' cm ' ' lt II

29 Poliedros 177 mos clculr rzão entre s medids de um segmento d lt I e o correspondente segmento n lt II: 0 cm 5 '' 10 cm 5 ; O 5 4 cm O'' cm 5 ; 5 8 cm '' 4 cm 5 izemos que lt II é um redução d lt I. situção: ej gor s representções de dus emblgens do creme dentl Sorri, mbs em form de prlelepípedo retorretângulo: H 15 cm emblgem I F G cm cm ' ' H' ' 10 cm emblgem II mos clculr rzão entre um dimensão d emblgem I e dimensão correspondente d emblgem II: 15 cm 5 '' 10 cm 5 ; 5 cm '' 1, cm ; G 5 cm 'G' 1 cm 5 mbor s dus emblgens sejm precids, s rzões obtids não são iguis! emblgem II não é um redução d emblgem I. Os sólidos representdos n 1 e n situções são semelntes, ms s dus cixs representds n situção não são semelntes. Pirâmides semelntes Qundo secionmos um pirâmide por um plno prlelo à bse de modo que este plno não conten o vértice d pirâmide, el fic dividid em dois sólidos: o que contém o vértice, que é um nov pirâmide; e o que contém bse d pirâmide dd, que é um tronco de pirâmide de bses prlels. us esfers são sempre semelntes, pois podem ser definids por um únic dimensão (rio). s pirâmides, por su vez, são definids G' por múltipls dimensões e, F' 1 cm portnto, tods els devem ' 1, cm ' ter o mesmo coeficiente de proporcionlidde. O fto de s bses ds pirâmides serem semelntes (pois dois qudrdos quisquer são semelntes) é condição necessári, ms não suficiente. É preciso tmbém que sus lturs obedeçm à mesm proporção existente entre s rests ds bses ds pirâmides. PNS NISTO: us esfers quisquer são semelntes? dus pirâmides regulres de bses qudrds? nov pir mide ' ' ' ' ' ' ' ' ' tronco de pir mide Os troncos de pirâmides serão estuddos n próxim seção deste cpítulo.

30 178 PêTULO 8 mos gor comprr pirâmide obtid d seção e pirâmide primitiv (ou originl). H & L Temos: os polígonos ds bses têm o mesmo número de ldos (vej, nesse exemplo, que mbs são pirâmides exgonis); os ângulos dos polígonos de dus fces omólogs são congruentes dois dois; os elementos lineres omólogos (como rests ds bses, rests lteris, lturs etc.) são proporcionis. nov pirâmide é um cópi reduzid d pirâmide primitiv. s dus pirâmides são semelntes. rzão k entre dois elementos lineres omólogos rests ou lturs é cmd rzão de semelnç entre s pirâmides. scolendo, por exemplo, escrever rzão de semelnç entre pirâmide obtid d seção e primitiv, nest ordem, temos: 5 * L 5 H 5 k onsiderndo dus pirâmides regulres semelntes, temos s seguintes proprieddes: rzão entre s áres ds bses é igul o qudrdo d rzão de semelnç. omo s bses são polígonos semelntes, então p P e x, rzões entre X os respectivos semiperímetros e s medids dos pótems ds bses o- H b mólogs, são tis que: p P 5 x X 5 k ssim: b 5 p? x P? X 5 p P? x X 5 k? k b 5 k rzão entre s áres lteris é igul o qudrdo d rzão de semelnç. omo dus fces lteris omólogs f e F são triângulos semelntes, sbemos que rzão entre sus áres é igul o áre f qudrdo d rzão de semelnç áre F 5 k. Lembrndo que áre lterl de um pirâmide é igul à som ds áres de sus fces lteris, temos: f F * L 5 k em que: * : áre lterl d nov pirâmide L : áre lterl d pirâmide primitiv

31 Poliedros 179 rzão entre s áres totis é igul o qudrdo d rzão de semelnç. e fto, como b 5 k e * L 5 k, decorre b 1 * 1 L 5 k, ou sej: t T 5 k rzão entre os volumes é igul o cubo d rzão de semelnç. Sejm v o volume d nov pirâmide e o volume d pirâmide primitiv (ou originl). Já vimos que b 5 k e H 5 k. mos obter rzão entre seus volumes: v 5 1?? b 5 b? 1?? H H 5 k? k 5 k v 5 k XMPLO 7 Um pirâmide qudrngulr regulr é seciond por um plno prlelo à bse, 4 cm do vértice. pirâmide tem 1 cm de ltur, e su rest d bse mede 9 cm. pirâmide é semelnte à pirâmide ''''. mos clculr s áres ds bses e o volume ds dus pirâmides e consttr vlidde ds proprieddes estudds nteriormente. Observe, inicilmente, que rzão entre os elementos lineres ds dus pirâmides pode ser obtid comprndo-se sus lturs: k 5 H 5 4 cm 1 cm 5 1 Se * é medid do ldo do qudrdo '''', então: * * 5 cm áre d bse ( b ) d pirâmide '''' é b 5 ( cm) 5 9 cm, e áre d bse ( ) d pirâmide é (9 cm) 5 81 cm. Observe que rzão entre b e é: O volume v d pirâmide '''' é ddo por: v 5 b? 1 cm 5 9? 4 4 cm ' 9 cm ' 9 cm 81 cm * v 5 1 cm ' * ' 9 cm 5 k. Já o volume d pirâmide é ddo por: 5? H 5 81? cm rzão entre v e é: 1 cm 4 cm k

32 180 PêTULO 8 OSRÇÃO s proprieddes estudds podem ser estendids pr dois sólidos semelntes quisquer. oltemos os dois cubos presentdos n introdução do tópico Sólidos semelntes. Já vimos que rzão de semelnç entre o cubo menor e o mior é k 5. áre totl do cubo menor é 6? ( cm) 5 4 cm e áre totl do cubo mior é 6? ( cm) 5 54 cm. rzão entre áre do cubo menor e áre do cubo mior é: 4 cm 54 cm k O volume do cubo menor é ( cm) 5 8 cm e o volume do cubo mior é ( cm) 5 7 cm. rzão entre o volume do cubo menor e o volume do cubo mior é 8 cm 7 cm 5 5 k. cm cm XRÍIOS 47 etermine os vlores de x e y, fim de que s cixs seguintes sejm semelntes: 0 cm 50 Sbe-se que ltur de um pirâmide mede 0 cm e su bse é um qudrdo cujo ldo mede 1 cm. lcule medid d ltur e d rest d bse de um pirâmide semelnte à primeir cujo volume é igul 10 cm. 1 cm 5 cm y x 4 cm 51 Um ds rests de um tetredro de volume 80 cm mede 10 cm. etermine o volume de um tetredro semelnte o primeiro, sbendo que rest omólog mede 5 cm. 48 Os cilindros 1 e representdos seguir são semelntes? 1 cm cm cm cilindro 1 cilindro cm 49 Um pequen indústri produz cixs de um único tipo, em form de prlelepípedo retângulo, com s seguintes dimensões: dm, 5 dm e 7 dm. Sbe- -se que, prtir do próximo no, s cixs serão substituíds por outrs semelntes, de modo que cpcidde de cd um sej oito vezes cpcidde d nteriormente produzid. Nesss condições, qul será áre totl d superfície d nov cix? 5 onsidere um pirâmide regulr exgonl, P 1, em que rest d bse mede 6 dm e cuj ltur mede 1 dm. Se um seção trnsversl é feit em P 1, 4 dm de seu vértice, determine: ) áre d seção trnsversl; b) o volume de P, pirâmide obtid d seção trnsversl. 5 ltur de um pirâmide regulr qudrngulr é 45 cm. l é intersectd, 15 cm de seu vértice, por um plno prlelo à bse, que determin um nov pirâmide e um tronco de pirâmide. Sbendo que rest d bse d pirâmide primitiv é 60 cm, determine: ) medid d rest d bse d pirâmide obtid; b) rzão entre s áres totis d pirâmide primitiv e d pirâmide obtid.

33 Poliedros 181 Tronco de pirâmide Observe o vso e cçmb de um crrino de mão que estão representdos ns figurs o ldo. ls são obtids prtir d seção de um pirâmide por um plno prlelo à su bse. sses poliedros recebem o nome de tronco de pirâmide. JT/ZPT STUP lementos sem proporção entre si. mos reconecer os elementos principis de um tronco de pirâmide: bse mior do tronco: é bse d pirâmide originl ou primitiv. bse menor do tronco: é seção determind pelo plno que intersect pirâmide. ss seção é um polígono semelnte o d bse d pirâmide. ltur do tronco (): é distânci entre os plnos ds bses. fces lteris do tronco: são s superfícies plns limitds por trpézios. Áres Áres ds bses ( e b ) Áre d bse mior ( ): é áre do polígono d bse mior. Áre d bse menor ( b ): é áre de um polígono semelnte o d bse mior. Áre lterl ( * ) áre lterl ( * ) é som ds áres ds fces lteris. Áre totl ( t ) Somndo-se s áres ds dus bses com áre lterl, obtém-se áre totl: bse menor bse mior fce lterl t 5 1 b 1 * olume O volume de um tronco de pirâmide pode ser clculdo por meio d diferenç entre o volume d pirâmide originl e o volume d pirâmide obtid prtir d seção.

34 18 PêTULO 8 Tronco de pirâmide regulr O tronco de bses prlels obtido de um pirâmide regulr é denomindo tronco de pirâmide regulr. Num tronco de pirâmide regulr: s rests lteris são congruentes entre si; s bses são polígonos regulres semelntes; s fces lteris são trpézios isósceles congruentes entre si; ltur de qulquer fce lterl cm-se pótem do tronco. fce lterl bse menor (ltur) pótem bse mior rest lterl XMPLO 8 mos clculr áre totl e o volume de um tronco de pirâmide regulr qudrngulr, cujs rests ds bses medem 4 cm e 6 cm e cuj rest lterl mede 10 cm. Áre d bse menor b 5 (4 cm) cm Áre d bse mior 5 (6 cm) cm Áre lterl * 5 4? (áre de um trpézio isósceles) g g: pótem do tronco (ltur do trpézio) plicndo o teorem de Pitágors no triângulo destcdo, obtemos: 10 5 g g 1 6 g 5 8 cm ssim: (6 1 4)? 8 * 5 4? * cm Áre totl t 5 * 1 b cm cm cm 5 8 cm Logo, áre totl desse tronco de pirâmide é 8 cm. olume Pr determinr o volume desse tronco, é necessário conecer medid de su ltur (). Temos: O e O' são centros ds bses; OO' 5 ltur do tronco No triângulo PP'Q, temos: 4 O' O cm 6 P Q OQ O'P PQ 5 g 5 8 O' 1 P O P' 18 Q álculo do volume: mos imginr pirâmide que deu origem esse tronco: : medid d ltur do tronco x: medid d ltur d pirâmide obtid x 1 : medid d ltur d pirâmide originl

35 Poliedros 18 rzão entre os elementos lineres ds dus pirâmides é Podemos, então, escrever: 1 x x 5 x 5 ms 5 7 cm x cm; 1 x cm olume d pirâmide originl: 5 1? 6? cm olume d nov pirâmide: ' 5 1? 4? 4 7 ' cm Logo, o volume do tronco é: 59 7 cm cm cm x É possível clculr o volume de um ds pirâmides, conecendo-se o volume d outr? Sim; se k 5, então k ssim, podemos clculr o volume de um ds pirâmides e usr ess rzão pr obter o volume d outr. PNS NISTO: XRÍIOS 54 lcule áre totl de cd tronco seguinte: ) qudrngulr regulr 1 cm 57 Um suporte de mes, feito de mdeir mciç, é constituído de um prism reto cuj bse qudrd coincide com bse menor de um tronco de pirâmide regulr qudrngulr, como mostr figur. Sbe-se que ltur do prism é 0 cm. 1,5 cm b) exgonl regulr 1 cm cm 6 cm JT/ZPT cm cm 55 4 cm Um vso tem o formto de um tronco de pirâmide regulr de bse qudrd, como mostrdo n figur. Quntos litros de águ são necessários pr 1 cm encer totlmente esse vso? onsidere desprezível su espessur. 56 figur mostr um tronco de pirâmide regulr em que s bses são triângulos equiláteros cujos ldos medem 8 cm e 1 cm. Sbendo que áre lterl do tronco é igul 180 cm, determine: ) su áre totl; b) medid do seu pótem. ' 7 cm ' ' 54 cm 15 cm ) Quntos metros cúbicos de mdeir form usdos n confecção desse suporte? onsidere 7,65. b) esej-se pintr superfície desse suporte com um mteril impermebiliznte cujo preço é R$ 8,00 o litro. Sbendo que cd 1000 cm necessitm de 400 ml do impermebiliznte, determine o custo proximdo dess pintur. 58 s bses de um tronco de pirâmide são dois pentágonos regulres cujos ldos medem 5 dm e dm, respectivmente. Sendo esss bses prlels e medid do pótem do tronco de pirâmide 10 dm, determine áre lterl desse tronco. 59 lcule o volume de um tronco de pirâmide regulr qudrngulr de 4 dm de ltur e cujs áres ds bses são iguis 6 dm e 144 dm.

36 184 PêTULO 8 omplementos sobre poliedros Poliedros convexos Observe os sólidos geométricos seguintes. Todos são exemplos de poliedros. figur 1 figur figur mos lembrr que: superfície de cd poliedro é formd por polígonos plnos, cmdos fces do poliedro; os ldos dos polígonos são cmdos rests do poliedro; os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro. ssim, os poliedros representdos ns figurs 1, e são tis que: figur 1: tem 5 fces, 9 rests e 6 vértices; figur : tem 6 fces, 1 rests e 8 vértices; figur : tem 10 fces, 4 rests e 16 vértices. gor vej os mesmos poliedros representdos cim, nos quis destcmos os plnos, b e g que contêm, cd um, um fce de cd poliedro. b g figur 1 figur figur Note que e b deixm tods s outrs fces dos poliedros em um mesmo semiespço e que isso não ocorre com g, que deix lgums fces em semiespços opostos. Nos poliedros ds figurs 1 e, qulquer plno que conten um fce deix s demis fces no mesmo semiespço. Por isso, esses poliedros são cmdos de poliedros convexos. No poliedro d figur, existe pelos menos um plno que contém um fce ms deix s demis fces em dois semiespços opostos. Por isso, esse poliedro é denomindo poliedro não convexo. OSRÇÃO reunião ds fces de um poliedro convexo recebe o nome de superfície poliédric convex.

37 Poliedros 185 XMPLO 9 São poliedros convexos: poliedro 1 poliedro poliedro poliedro 4 São poliedros não convexos: poliedro 5 poliedro 6 poliedro 7 poliedro 8 m váris prtes do mundo, moderns construções de engenri nos remetem poliedros convexos e não convexos. SSTIN ILLO OÑT/GÊNI MKRO/GTTY IMGS JLS LQUR/FOTORN O edifício à esquerd n foto lembr um poliedro não convexo; já o edifício mis lto, à direit, lembr um poliedro convexo. São Pulo (SP), 016. O edifício em Ls ondes lembr um poliedro não convexo. Sntigo, ile, 015. INGIN/THINKSTOK/GTTY IMGS ss surpreendente construção (sede d Televisão entrl d in) tmbém lembr um poliedro não convexo. Pequim, in, 015.