ANÁLISE BAYESIANA DE FREQÜÊNCIA DE VAZÕES MÁXIMAS ANUAIS COM INFORMAÇÕES HISTÓRICAS:

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DE MIAS GERAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM SAEAMETO, MEIO AMBIETE E RECURSOS ÍDRICOS AÁLISE BAYESIAA DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS COM IFORMAÇÕES ISTÓRICAS: APLICAÇÃO À BACIA DO RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO Feado Alves Lma Belo ozote 005

2 AÁLISE BAYESIAA DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS COM IFORMAÇÕES ISTÓRICAS: APLICAÇÃO À BACIA DO RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO Feado Alves Lma

3 Feado Alves Lma AÁLISE BAYESIAA DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS COM IFORMAÇÕES ISTÓRICAS: APLICAÇÃO À BACIA DO RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO Dssetação apesetada ao Pogama de Pós-gaduação em Saeameto, Meo Ambete e Recusos ídcos da Uvesdade Fedeal de Mas Geas, como equsto pacal à obteção do título de Meste em Saeameto, Meo Ambete e Recusos ídcos. Áea de cocetação: dáulca e Recusos ídcos Lha de pesqusa: Modelos Estocástcos em dologa Oetado: Mauo da Cuha aghett Belo ozote Escola de Egehaa da UFMG 005

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5 AGRADECIMETOS Gostaa de agadece: em especal, aos meus pas, exemplos de dedcação e peseveaça, esposáves po todos os passos de uma joada cada 6 aos atás; aos meus mãos, pelo fote laço que os ue e pelo apedzado que a covvêca dáa me popocoa; à Waessa, ão só pelo amo e caho, que tato me ajudam, mas também pela pacêca e compeesão a etapa fal desse tabalho; ao pofesso e amgo Mauo, pelo exemplo de seedade, compomsso e satsfação com o seu tabalho, pela gade ajuda essa pesqusa, pelas cotbuções à mha fomação pofssoal e pela motvação daquelas palavas fca taqülo! ; à vovó Bevda, que, emboa ão teha ecebdo da vda uma saudação dga de seu ome, é um gade símbolo de foça e coagem; a todos os meus famlaes, ceto de que, lá o fudo, cada um sabe bem a sua mpotâca; aos amgos da sala 909, pos o setmeto de que estávamos todos o mesmo baco me sevu de cetvo; aos pofessoes e fucoáos do Depatameto de Egehaa dáulca e Recusos ídcos, pelas cotbuções dvesas; aos amgos da CPRM, pela pesteza com que sempe me atedeam.

6 RESUMO A detemação da pobabldade de que uma ceta vazão seja gualada ou excedda em um ao qualque, objeto da aálse de feqüêca de cheas, costtu um poblema coete a egehaa. o etato, essa vazão de teesse está feqüetemete assocada a um peíodo de etoo substacalmete mas logo que o dos egstos fluvométcos egulaes. A aálse de feqüêca tadcoal de vazões de echetes, baseada exclusvamete as amostas usualmete cutas de dados sstemátcos, pode coduz a estmatvas pouco ealstas da pobabldade de excedêca de evetos extemos. Paa eduz as cetezas evolvdas e aumeta o ível de cofaça as estmatvas dos paâmetos e quats, deve-se utlza toda a fomação dspoível. Além dos dados sstemátcos, fomações sobe cheas hstócas e paleohdológcas paleovazões podem se ecotadas e copoadas à aálse de feqüêca. Essas fomações pemtem aumeta substacalmete o tamaho da amosta, eduzdo o gau de extapolação e toado meos cetas as feêcas fetas o domío das cheas extemas. A teoa bayesaa também costtu uma feameta estatístca mpotate paa a aálse de feqüêca de cheas. a abodagem bayesaa, os paâmetos do modelo pobablístco são tatados como vaáves aleatóas, modeladas po uma dstbução de pobabldades a po, fomulada, po exemplo, à luz de algum cohecmeto subjetvo acumulado po especalstas ou de fomações poveetes de aálse egoal. Utlzado o teoema de Bayes, essa dstbução a po, que pode se fomatva ou ão, é etão atualzada pelos dados fluvométcos locas, esultado a dstbução a posteo. Assm, usado a dstbução a posteo dos paâmetos e a dstbução de pobabldades das cheas, codcoada aos paâmetos, é possível detema uma dstbução de pobabldades magal paa as cheas, depedete das estmatvas dos paâmetos. Essa dssetação busca avala o gaho, em temos de edução de cetezas, do uso da abodagem bayesaa e das cheas hstócas a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas. Paa sso, um estudo de caso é apesetado, o qual cosste a ealzação da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, utlzado: os egstos sstemátcos de vazão do efedo posto fluvométco, as fomações sobe cheas hstócas coletadas a baca hdogáfca do São Facsco, e 3 a teoa bayesaa, com uma dstbução a po fomatva tato do poto de vsta da pescção do modelo dstbutvo como das estmatvas de seus paâmetos ou ão fomatva.

7 ABSTRACT The estmato of the exceedace pobablty of a ae flood s a cuet poblem egeeg. oweve, ae floods ae assocated to hgh etu peods whch ae much loge tha the tme spa coveed by systematc steamflow ecods. The covetoal flood fequecy aalyss, whch s based o the usually shot systematc steamflow data samples, may yeld uealstc estmates of the sks assocated wth exteme evets. I ode to educe the ucetates ad to poduce moe elable paamete ad quatle estmates, evey pece of avalable fomato should be used. Beyod systematc steamflow data, fomato o hstocal floods ad paleofloods may be foud ad copoated to the flood fequecy aalyss. Such peces of fomato may augmet the sample sze, thus educg the age of extapolato ad yeldg moe elable feeces the doma of exteme floods. Bayesa theoy s also a mpotat statstcal tool fo flood fequecy aalyss. Accodg to the Bayesa appoach, the dstbuto paametes ae teated as adom vaables, beg modeled by a po pobablty dstbuto, whch may be fomulated o the bass, fo stace, of a subjectve po kowledge, as povded by a specalzed pofessoal, o addtoal fomato fom egoal aalyss. By usg Bayes theoem, ths po dstbuto, whch may be fomatve o ot, s the updated by the local steamflow data, thus poducg the posteo dstbuto of the paametes. ece, by usg ths posteo dstbuto alog wth the flood pobablty dstbuto, codtoed to the paametes, t s possble to fd a magal pobablty fucto to floods, depedetly of paamete estmates. The peset MSc thess ams to evaluate the ga, tems of ucetaty educto, fom usg the Bayesa appoach, alog wth fomato o hstocal floods, to the fequecy aalyss of aual flood maxma. I ode to pefom t, a case study fo the São Facsco ve bas, at the locato of São Facsco, s peseted accodg to the followg sceaos: oly the systematc flood ecods ae used; fomato o hstocal floods ae copoated; ad 3 Bayesa theoy s employed, wth ad wthout a fomatve po dstbuto o paametes ad o the pobablstc model.

8 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... VI LISTA DE TABELAS... VIII LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS... I ITRODUÇÃO.... COTETUALIZAÇÃO.... ORGAIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO... 5 OBJETIVOS OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS ITRODUÇÃO TIPOS DE IFORMAÇÕES DISPOÍVEIS PARA A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES DE ECETES O peíodo pé-hstóco paleovazões O peíodo hstóco O peíodo cotempoâeo Classfcação dos dados Dados sstemátcos Dados ão sstemátcos Tatameto estatístco dos dados ão sstemátcos PRESCRIÇÃO DO MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADO APEAS DADOS SISTEMÁTICOS Método dos mometos MMO Método do máxmo de veossmlhaça MVS Método dos mometos-l MML ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADO DADOS SISTEMÁTICOS E ÃO SISTEMÁTICOS Método dos mometos podeados hstocamete MP Método do máxmo de veossmlhaça MVS Cheas de tesdade cohecda, supeo a um lma fxo Cheas de tesdade descohecda, supeo a um lma fxo Cheas de tesdade compeedda em um tevalo, supeo a um lma fxo Geealzação Método do algotmo dos mometos espeados EMA PROBABILIDADES DE ECEDÊCIA EMPÍRICAS POSIÇÕES DE PLOTAGEM Pobabldades empícas sem fomação cesuada Pobabldades empícas com fomação cesuada REDUÇÃO DA ICERTEZA A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DEVIDO AO USO DE DADOS ÃO SISTEMÁTICOS 4 4 ABORDAGEM BAYESIAA A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS ITRODUÇÃO TEOREMA DE BAYES AÁLISE BAYESIAA DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS Ifeêca bayesaa Estmação potual bayesaa Dstbução bayesaa Ifeêca bayesaa paa a dstbução omal Fomulação da dstbução a po e a posteo paa os paâmetos Detemação da dstbução bayesaa das vazões máxmas auas Ifeêca bayesaa paa a dstbução Log-omal paâmetos Exemplo de aplcação: o São Facsco em Maga REDUÇÃO DA ICERTEZA A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DEVIDO AO USO DA TEORIA BAYESIAA... 6 v

9 4.5 O SOFTWARE FLIKE: UMA FERRAMETA COMPUTACIOAL PARA AÁLISE BAYESIAA DE FREQÜÊCIA DE VARIÁVEIS IDROLÓGICAS Fomulação das dstbuções a po e a posteo dos paâmetos Detemação da dstbução bayesaa da vaável hdológca Estmação potual bayesaa e cálculo dos tevalos de cedbldade dos quats ESTUDO DE CASO: BACIA DO RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO ITRODUÇÃO CARACTERIZAÇÃO DA BACIA IDROGRÁFICA DO SÃO FRACISCO COLETA DE IFORMAÇÕES ISTÓRICAS SOBRE CEIAS A BACIA DO RIO SÃO FRACISCO Aspectos da metodologa Apesetação das fomações hstócas de cheas Detemação da amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas FORMULAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO A PRIORI IFORMATIVA Dstbução a po egoal Caactezação da egão Pescção do modelo pobablístco Fomulação da dstbução a po egoal Dstbução a po geofísca AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS O RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO Caactezação dos dfeetes ceáos Apesetação e dscussão dos esultados COCLUSÕES E RECOMEDAÇÕES... 0 REFERÊCIAS A DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES MAIS UTILIZADAS A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VARIÁVEIS IDROLÓGICAS B DISTRIBUIÇÃO BAYESIAA DE PROBABILIDADES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA MODELADA PELA DISTRIBUIÇÃO ORMAL... 7 C FOTES DE IFORMAÇÕES ISTÓRICAS SOBRE EVETOS IDROLÓGICOS E IDROMETEOROLÓGICOS... 0 D AÁLISE REGIOAL DE FREQÜÊCIA DE VARIÁVEIS IDROLÓGICAS: SÍTESE DA METODOLOGIA DOS MOMETOS-L... 3 E SÉRIES DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS DAS ESTAÇÕES FLUVIOMÉTRICAS UTILIZADAS 50 v

10 LISTA DE FIGURAS FIGURA.: Cdade de Bom Jesus da Lapa BA udada pela echete de FIGURA.: Cdade de Malhada BA udada pela echete de FIGURA.3: Cdade de Jauáa MG udada pela echete de FIGURA.4: Cdade de São Facsco MG udada pela echete de FIGURA.5: Ilustação do coceto de sco de udação FIGURA 3.: Classfcação coológca das fomações elatvas às cheas.... FIGURA 3.: Dfeetes tpos de amostas tucadas... 4 FIGURA 3.3: Dagama de quocetes de mometos-l FIGURA 3.4: Esquema dos dvesos tpos de fomações elatvas às cheas, paa um modelo de vazões máxmas auas FIGURA 3.5: Esquema de aplcação do método dos mometos podeados hstocamete FIGURA 3.6: Pocesso teatvo do método do algotmo dos mometos espeados FIGURA 3.7: Esquema paa o cálculo das pobabldades de excedêca dos lmaes... 4 FIGURA 4.: Dagama de Ve paa o Teoema da Pobabldade Total FIGURA 4.: Dfeetes dstbuções a posteo, esultates da combação de dfeetes dstbuções a po e fuções de veossmlhaça FIGURA 4.3: Aplcação do Teoema de Bayes a aálse de feqüêca de cheas FIGURA 4.4: Fução de veossmlhaça fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga FIGURA 4.5: Dstbução a po fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga FIGURA 4.6: Dstbução a posteo fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga FIGURA 4.7: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos FIGURA 4.8: Supefíce da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e foma da GEV e egão de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada FIGURA 4.9: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos e o softwae FLIKE FIGURA 5.: Baca do o São Facsco FIGURA 5.: Tajeto da vagem ealzada po Sat-lae pelas povícas do Ro de Jaeo e Mas Geas FIGURA 5.3: Mapa da Estada Real FIGURA 5.4: Modelagem do techo em que fo ealzada a smulação hdáulca FIGURA 5.5: Seções tasvesas costuídas paa a smulação hdáulca FIGURA 5.6: Resultado da smulação hdáulca paa a vazão de 3.50 m³/s FIGURA 5.7: Amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco FIGURA 5.8: Dagama de quocetes de mometos-l FIGURA 5.9: Dstbução a po geofísca apoxmação da dstbução Beta pela omal v

11 FIGURA 5.0: Aálse de feqüêca tadcoal de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.: Aálse de feqüêca tadcoal de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com dstbução a po ão fomatva, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.3: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com dstbução a po fomatva, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.4: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo FIGURA 5.5: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo FIGURA 5.6: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas e dstbução a po ão fomatva, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.7: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas e dstbução a po fomatva, usado a dstbução GEV ceáo FIGURA 5.8: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo FIGURA 5.9: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo FIGURA 5.0: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de escala e foma da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e FIGURA 5.: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e escala da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e FIGURA 5.: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e foma da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e FIGURA C.: Joal O Resstete São João del Re, fal do século I.... FIGURA C.: Joal O Amgo da Vedade São João del Re, FIGURA D.: Descção esquemátca da medda de dscodâca D FIGURA D.: Dedogama hpotétco 0 dvíduos FIGURA D.3: Descção esquemátca do sgfcado de heteogeedade egoal FIGURA D.4: Descção esquemátca da medda de adeêca Z FIGURA E.: Regessão lea ete as amostas de vazões máxmas auas de São Facsco e de Pedas de Maa da Cuz v

12 LISTA DE TABELAS TABELA 3.: Peso da cauda supeo de algumas dstbuções de pobabldades TABELA 3.: Valoes de α paa as fómulas de pobabldade empíca de excedêca TABELA 4.: Resultado da aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos TABELA 5.: Ifomações sobe cheas hstócas o o São Facsco TABELA 5.: Postos fluvométcos utlzados a aálse egoal de feqüêca TABELA 5.3: Qualdade do ajuste das dstbuções caddatas aos dados TABELA 5.4: Resultados da aálse egoal de feqüêca e ajuste da dstbução omal multvaada aos paâmetos da GEV TABELA 5.5: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos e TABELA 5.6: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos 3 e TABELA 5.7: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos 5 e TABELA D.: Valoes cítcos da medda de dscodâca D TABELA E.: Sées de vazões máxmas auas valoes em m³/s v

13 LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS E [ ] Valo espeado de Va [ ] Vaâca de µ Méda σ Desvo-padão Vaâca C V γ κ Coefcete de vaação Coefcete de assmeta Cutose µ Mometo populacoal cetal de odem ' µ Mometo populacoal de odem em elação à ogem β λ τ τ 3 τ 4 m b l t Mometo populacoal podeado po pobabldade de odem Mometo-L populacoal de odem Coefcete de vaação-l populacoal Coefcete de assmeta-l populacoal Coefcete de cutose-l populacoal Mometo amostal de odem Mometo amostal podeado po pobabldade de odem Mometo-L amostal de odem Quocete de mometos-l amostal de odem EP LO GUM GEV GLO GPA PE3 WEI T x T Dstbução Expoecal Dstbução Log-omal Dstbução Gumbel Dstbução Geealzada de Valoes Extemos Dstbução Logístca Geealzada Dstbução Geealzada de Paeto Dstbução Peaso III Dstbução Webull Peíodo de etoo Quatl de peíodo de etoo T P [A] Pobabldade de ocoêca do eveto A c P [ A ] Pobabldade de ocoêca do eveto A complemeto x

14 P[ A B] Pobabldade de ocoêca da teseção do eveto A com o eveto B P [ A B] Pobabldade de ocoêca do eveto A, dado que o eveto B ocoeu S S < S > S úmeo de aos do peíodo sstemátco úmeo de aos do peíodo sstemátco com cheas de magtude cohecda úmeo de aos do peíodo sstemátco com cheas de magtude feo a um lma de efeêca supeo x U úmeo de aos do peíodo sstemátco com cheas de magtude supeo a um lma de efeêca feo x L <> S úmeo de aos do peíodo sstemátco com cheas de magtude compeedda o tevalo x ; x ] [ L U úmeo de aos do peíodo ão sstemátco úmeo de aos do peíodo ão sstemátco com cheas de magtude cohecda < úmeo de aos do peíodo ão sstemátco com cheas de magtude feo a um lma de efeêca supeo y U > úmeo de aos do peíodo ão sstemátco com cheas de magtude supeo a um lma de efeêca feo y L <> úmeo de aos do peíodo ão sstemátco com cheas de magtude compeedda o tevalo y ; y ] y W ERL MSE MG [ L U Lma de efeêca theshold da amosta cesuada Fato de podeação do método dos mometos podeados hstocamete Tamaho efetvo da amosta Eo quadátco médo Gaho magal F x Fução acumulada de pobabldade f x Fução desdade de pobabldade L Θ Fução de veossmlhaça dos paâmetos, dada a amosta Θ Veto de paâmetos do modelo dstbutvo Θˆ Estmadoes tadcoas dos paâmetos do modelo dstbutvo ~ f x Dstbução bayesaa de pobabldades f Dstbução de pobabldades a po dos paâmetos ou apeas po 0 Θ f Θ Dstbução de pobabldades a posteo dos paâmetos ou apeas posteo x

15 µ Θ Veto das médas dos paâmetos σ Θ R Θ Σ Θ Veto dos desvos-padão dos paâmetos Matz dos coefcetes de coelação dos paâmetos Matz de covaâca dos paâmetos I Θ Dstbução de pobabldades usada a técca mpotace samplg * Θ PaE PoE D Estmadoes bayesaos dos paâmetos do modelo dstbutvo Dstbução dos paâmetos espeados Dstbução da pobabldade espeada Medda de dscodâca Medda de heteogeedade egoal DIST Z Medda de adeêca da dstbução DIST Γ Fução gama x

16 ITRODUÇÃO A pesete dssetação de mestado fo desevolvda o âmbto do Pogama de Pósgaduação em Saeameto, Meo Ambete e Recusos ídcos da Uvesdade Fedeal de Mas Geas UFMG, o qual é coduzdo cojutamete pelo Depatameto de Egehaa Satáa DESA e pelo Depatameto de Egehaa dáulca e Recusos ídcos ER.. Cotextualzação Desde os pmódos da hstóa, é possível costata a pefeêca atual da espéce humaa pela ocupação das áeas stuadas às mages de cusos d água. De fato, essas áeas favoecem o avaço ecoômco e socal das comudades, ofeecedo ão só as codções popícas paa o desevolvmeto de atvdades agícolas, dustas e tuístcas, mas também cotbudo com o bem esta socal, po meo do foecmeto de água e almetos. o etato, as comudades behas podem, algumas vezes, paga um alto peço po esses beefícos, uma vez que, ao ocupaem dscmadamete as plaíces fluvas, estão sujetas aos scos de udação. As echetes mas seveas podem causa vedadeas catástofes atuas, com gaves pejuízos ecoômcos daos mateas, destução da fa-estutua local e petubação das atvdades ecoômcas e socas poblemas de saúde públca e peda de vdas humaas. Um exemplo é a gade echete ocoda em 979 a baca do o São Facsco. Esse o, um dos mas mpotates do Basl, expemetou aquele ao uma chea de gades popoções, levado destução a dvesas cdades veja, po exemplo, as Fguas.,.,.3 e.4. FIGURA.: Cdade de Bom Jesus da Lapa BA udada pela echete de 979. Fote: CPRM, 979.

17 FIGURA.: Cdade de Malhada BA udada pela echete de 979. Fote: CPRM, 979. FIGURA.3: Cdade de Jauáa MG udada pela echete de 979. Fote: CPRM, 979. FIGURA.4: Cdade de São Facsco MG udada pela echete de 979. Fote: CPRM, 979.

18 Vale saleta que o coceto de sco de udação está assocado a dos fatoes dsttos: a aleatoedade do feômeo atual, que está lgada às caacteístcas hdológcas e hdometeoológcas da baca, e a vuleabldade a que se expõe uma ceta comudade, que depede das estatégas de uso e ocupação do solo. Sedo assm, o sco de udação se efee, smultaeamete, à ocoêca de uma vazão de echete, que costtu um pocesso estocástco, e à peseça de daos ecoômcos e socas causados pelo eveto. A Fgua.5 lusta o coceto de sco de udação. VULERABILIDADE Uso e ocupação do solo RISCO DE IUDAÇÃO ALEATORIEDADE Feômeo hdológco FIGURA.5: Ilustação do coceto de sco de udação. Fote: adaptado de AULET, 00. esse cotexto, a detemação da magtude e da feqüêca de ocoêca de vazões de echetes costtu uma das mas mpotates e complexas aplcações da teoa de pobabldades e da estatístca matemátca a hdologa: a chamada aálse de feqüêca. Essa aplcação foece subsídos ão só paa a adoção de meddas que vsam a edução dos scos de udação, dete as quas cta-se a costução de esevatóos, o egumeto de dques de poteção e o odeameto do uso e ocupação das plaíces fluvas, mas também paa o pojeto e a opeação de estutuas hdáulcas destadas ao apovetameto de ecusos hídcos. Em suma, a aálse de feqüêca busca exta feêcas quato à pobabldade com que uma vaável aleatóa á guala ou excede um detemado quatl de teesse, a pat de um cojuto de obsevações daquela vaável. o etato, os métodos covecoas de aálse de feqüêca de vazões de echetes, baseados o ajuste de uma dstbução de 3

19 pobabldades à sée de dados obsevados e a extapolação de sua cauda supeo paa estma a pobabldade de excedêca de evetos extemos, estão sujetos a um elevado gau de cetezas. Segudo Bejamm e Coell 970, as cetezas evolvdas a estmação da pobabldade de excedêca de vazões extemas, as quas tefeem o pocesso de decsão, podem se dvddas em tês categoas: ceteza atual, em vtude da aleatoedade pesete o feômeo hdológco em estudo, caactezado po um pocesso estocástco; ceteza estatístca, assocada à estmação dos paâmetos da dstbução de pobabldades adotada paa modela o pocesso estocástco, utlzado amostas de pequeo tamaho e sujetas a eos de medção ou de extapolação da cuva-chave; 3 ceteza do modelo, devdo à exstêca de les dedutvas paa seleção da dstbução de pobabldades a se empegada, especalmete levado-se em cota que algus modelos dstbutvos, cuja qualdade do ajuste aos evetos odáos ão apeseta vaação sgfcatva, podem exb compotametos bastate dsttos em suas caudas supeoes. Paa obte estmatvas mas cofáves, deve-se teta mmza os efetos das cetezas mecoadas, utlzado, acoalmete, todo tpo de fomação que estve dspoível. Especalmete o caso da aálse de feqüêca de vazões de echetes, as sées de dados sstemátcos são usualmete muto cutas, dfcultado a obteção de estmatvas cofáves da pobabldade de excedêca de vazões extemas. Assm, a utlzação de sées de vazões máxmas auas, costtuídas apeas pelas obsevações fluvométcas egulaes, submetdas à aálse local de feqüêca, pode dexa de cosdea alguma fomação adcoal valosa. Felzmete, estas sées ão são a úca fote de fomação dspoível. Um aumeto do tamaho da amosta pode se obtdo po meo da utlzação de sées de duação pacal peaks ove theshold, da aálse cojuta dos dados fluvométcos de dfeetes estações de medção, empegado téccas de egoalzação hdológca, ou ada da copoação de fomações hstócas e/ou paleohdológcas sobe cheas dados ão sstemátcos. Essa últma alteatva seá aalsada a pesete dssetação, especalmete o que se efee ao uso das cheas hstócas. Um poto delcado quato à utlzação dos dados ão sstemátcos de cheas é o poblema da estacoaedade dos feômeos atuas ao logo do tempo. A esse espeto, Dubad 994 apeseta uma opão cotovesa ao afma que, emboa uma 4

20 evetual mudaça clmátca seja tão mas evdete quato mas loga fo a sée dspoível, seu mpacto é mao em paâmetos meteoológcos, tas como tempeatua e pessão atmosféca. Ada segudo o efedo auto, ao ível das pcpas vaáves hdológcas, chuva e vazão, esultates da teação de úmeos pocessos, essas vaações podem se mpeceptíves. Essa opão está loge de epeseta um coseso o meo técco e cetífco; cetas coetes defedem a posção de que as vaáves chuva e vazão também sejam claamete fluecadas po possíves mudaças clmátcas. Outa feameta mpotate é a teoa bayesaa, que, ao tata explctamete os paâmetos do modelo dstbutvo como vaáves aleatóas, modeladas po uma ceta dstbução, pemte obte, paa as vazões de echetes, uma dstbução magal de pobabldades. Essa dstbução leva em cota todos os valoes possíves dos paâmetos, mmzado as cetezas estatístcas evolvdas. O uso da abodagem bayesaa a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas também seá dscutdo essa dssetação. Falmete, um estudo de caso é ealzado, com o tuto de aplca a uma baca hdogáfca baslea os cohecmetos efeetes à copoação dos dados ão sstemátcos e ao uso da abodagem bayesaa a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas.. Ogazação da dssetação o Capítulo, é feta uma cotextualzação do poblema assocado à ocoêca de gades cheas, apesetado seus mpactos, bem como algumas alteatvas paa o tatameto da questão de foma mas pecsa. o Capítulo, são apesetados os objetvos da pesqusa. O Capítulo 3 costtu uma evsão sobe os pocedmetos de aálse de feqüêca de vazões máxmas auas, efocado, especalmete, o uso de fomações ão sstemátcas sobe cheas. O Capítulo 4 tata do empego da abodagem bayesaa a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas. o Capítulo 5, um estudo de caso é desevolvdo, aplcado-se à baca do o São Facsco os cohecmetos apesetados os capítulos ateoes. O Capítulo 6 efee-se às coclusões e ecomedações do pesete tabalho. 5

21 OBJETIVOS. Objetvo geal O objetvo geal dessa pesqusa é avala o gaho, em temos de edução de cetezas, do empego da abodagem bayesaa e da copoação de cheas hstócas a aálse de feqüêca local de vazões máxmas auas. O empego da abodagem bayesaa vsa pove uma dstbução magal de pobabldades, supostamete lve das cetezas evolvdas a estmação dos paâmetos. esse cotexto, pode-se utlza ou ão alguma fomação qualfcada a po, elatva ão só à pescção do modelo dstbutvo como também às estmatvas de seus paâmetos. Já o uso de cheas hstócas, em cojuto com as obsevações fluvométcas egulaes, busca estede o tamaho da amosta, possbltado a obteção de estmatvas paamétcas mas cofáves e eduzdo o gau de extapolação da cauda supeo da dstbução de pobabldades.. Objetvos específcos Os objetvos específcos dessa pesqusa são: busca, tepeta e pocessa fomações sobe cheas hstócas, de foma a pode utlzá-las a aálse de feqüêca de vazões de echetes; fomula uma dstbução de pobabldades capaz de expessa o que se cohece a po sobe os paâmetos do modelo, utlzado algum cohecmeto subjetvo acumulado po especalstas ou fomações poveetes de aálse egoal; ealza um estudo de caso, utlzado os dados sstemátcos, as cheas hstócas e a teoa bayesaa a aálse de feqüêca local de vazões máxmas auas; avala o mpacto do uso da abodagem bayesaa e das cheas hstócas a detemação do sco assocado a evetos extemos. 6

22 3 AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS 3. Itodução O objetvo da aálse de feqüêca de vazões de echetes é fe a pobabldade de que evetos de detemada magtude sejam gualados ou exceddos em um tevalo de tempo futuo, a pat da aálse de uma sée tempoal da vaável hdológca em questão. As sées tempoas eúem as obsevações ou medções da efeda vaável hdológca, ogazadas seqüecalmete de acodo com sua ocoêca o tempo, egstado, dessa foma, a vaabldade do feômeo atual de teesse. o caso específco de evetos hdológcos extemos, tas como vazões máxmas, as sées tempoas empegadas a aálse de feqüêca podem se auas, quado são costtuídas pelos máxmos egstados em cada ao hdológco em uma detemada estação fluvométca, ou de duação pacal peaks ove theshold, quado são costtuídas po todos os egstos de magtude supeo a um detemado lma de efeêca, depedetemete do úmeo de evetos selecoados po ao hdológco. essa dssetação, seão abodados apeas os cocetos elatvos à aálse de feqüêca de vazões máxmas utlzado sées de duação aual. Maoes detalhes efeetes ao uso das sées de duação pacal podem se ecotados em Todoovc e Zelehasc 970 e Badley e Potte 99. o cotexto da aálse de feqüêca, as sées tempoas costtuem um sub-cojuto com um úmeo lmtado de obsevações amosta, extaído do cojuto de todas as ealzações possíves de uma vaável hdológca população. Pessupõe-se que uma dada amosta teha sdo soteada aleatoamete, dete um úmeo fto de outas amostas que também podeam, com gual chace, se extaídas da população. Além dsso, os dados hdológcos que compõem as sées tempoas devem satsfaze as segutes codções: depedêca, que sgfca a exstêca de coelação ete os elemetos da sée; estacoaedade, que se efee ao fato dos dados seem detcamete dstbuídos, ou seja, teem sdo extaídos de uma mesma população; e 3 epesetatvdade, sto é, capacdade de epeseta adequadamete a vaabldade eete ao feômeo atual de teesse. Uma vez que se dspoha de uma amosta com as caacteístcas desctas ateomete, ela podeá se utlzada a aálse de feqüêca paa exta coclusões sobe o compotameto populacoal da vaável hdológca em questão. a abodagem estatístca clássca, uma 7

23 fução paamétca de pobabldades é pevamete selecoada paa epeseta a dstbução da população; os paâmetos do modelo são, etão, estmados a pat da fomação dspoível, sumaada pela amosta. Esse pocedmeto caacteza os chamados métodos paamétcos de aálse de feqüêca. Estmados os paâmetos, tem-se, potato, uma dstbução de pobabldades patculazada paa uma stuação, que pode, agoa, se usada paa fe sobe pobabldades de ceáos ão obsevados. Em adção aos métodos paamétcos da abodagem estatístca clássca, outas téccas podem se empegadas a aálse de feqüêca, tas como os métodos ão paamétcos e os métodos bayesaos. Os métodos ão paamétcos cosstem o ajuste gáfco de uma fução cotíua aos dados da sée hdológca, os quas, assocados às espectvas pobabldades de excedêca empícas, são plotados em papés de pobabldades. Os métodos bayesaos, que seão apesetados detalhadamete o Capítulo 4, pemtem comba à amosta de dados hdológcos, fomações objetvas e/ou subjetvas, avaladas a po, paa expessa com meo gau de ceteza o compotameto paamétco a posteo. Os pocedmetos de feêca bayesaa foecem ada feametas paa a fomulação de uma dstbução magal de pobabldades paa a vaável hdológca em aálse, levado-se em cota todos os valoes possíves dos paâmetos. Quato à sua abodagem o espaço, a aálse de feqüêca pode se classfcada como local ou egoal. Quado são utlzados apeas dados potuas, egstados em uma úca estação de medção, tem-se a aálse de feqüêca local. Em cotapatda, a aálse de feqüêca egoal, são usados dados poveetes de váos postos hdométcos/hdometeoológcos, assocados a cetas smladades fsogáfcas e/ou clmátcas de uma áea geogáfca, pemtdo assm estma a dstbução de feqüêca da vaável hdológca em locas com amostas muto pequeas ou despovdos de obsevações. o Aexo D, é apesetada uma sítese da metodologa de aálse de feqüêca egoal utlzado mometos-l, poposta po oskg e Walls Tpos de fomações dspoíves paa a aálse de feqüêca de vazões de echetes esse tem, seão apesetados os dfeetes tpos de fomações que podem se exploados ao se ealza uma aálse de feqüêca local de vazões máxmas auas. Cofome ctado ateomete, as sées de duação pacal estão foa do escopo desse tabalho. 8

24 Ouada et al. 998 classfcou a fomação ão cotempoâea, elatva às cheas, em tês categoas: evdêcas geológcas de cheas pé-hstócas paleohdologa, evdêcas botâcas de cheas pé-hstócas, especalmete aquelas ecotadas os tocos das ávoes dedohdologa, e 3 obsevações egstadas em joas, aquvos e outos documetos. Bake 987 popôs uma classfcação dfeete, em fução da odem coológca dos evetos, de foma que o peíodo completo de fomações sobe cheas seja dvddo em tês peíodos dsttos: pé-hstóco, hstóco e cotempoâeo. Essa classfcação seá adotada ao logo da pesete dssetação, e as pcpas caacteístcas de cada um dos tês peíodos seão desctas a segu. 3.. O peíodo pé-hstóco paleovazões Esse é o peíodo de domío da paleohdologa, técca que foece fomações sobe evetos atgos de cheas, os quas ão foam detamete obsevados po sees humaos. Os dados paleohdológcos são obtdos de maea deta, po meo de evdêcas físcas da ocoêca das chamadas paleovazões. As téccas empegadas paa a detemação das paleovazões combam sedmetologa, geomofologa e geobotâca, e se dvdem em dos gupos pcpas: estudos de depóstos de sedmetos e estudos botâcos. Os depóstos de sedmetos são locas em que mateas caacteístcos dos letos dos cusos d água aea, slte e/ou pedegulho, que se ecotavam em suspesão duate a ocoêca de gades cheas, sofeam acumulação, patculamete ode as codções mofológcas favoeceam a edução da velocdade do escoameto. Cavdades ochosas são especalmete valosas devdo à pesevação das camadas de sedmetos depostados ao logo dos aos. Teaços fomados as plaíces de udação também costtuem elemetos mpotates a seem vestgados, pemtdo a detfcação dos íves atgdos pelas cheas pé-hstócas. As fomações botâcas, coletadas ao logo de um cuso d água, esultam da detfcação e tepetação de aomalas os aés de cescmeto das ávoes e de ccatzes em seus tocos, povocadas pela ocoêca de gades cheas. Os estudos de depóstos de sedmetos e os estudos botâcos foecem dcadoes físcos, baseados em evdêcas geológcas e botâcas, da ocoêca de cheas atgas. Esses dcadoes, assocados a téccas de datação paleológca e de modelagem hdáulca, pemtem avala a magtude e a feqüêca de cheas ocodas duate um logo peíodo de 9

25 tempo desde séculos até mlêos, possbltado a costução de uma sée de paleovazões, as quas excedeam, ou ão, dfeetes lmaes de efeêca também chamados lmtes paleohdológcos, em tevalos de tempo específcos. Segudo Beto et al. 004, as pcpas cetezas assocadas às paleovazões são: o ível d água atgdo duate a chea, uma vez que o ível dos depóstos de sedmetos epeseta apeas uma estmatva feo do ível máxmo alcaçado pelo pco da chea, as cetezas eetes ao pocesso de datação das evdêcas físcas, e 3 a cotudade e completude dos egstos de paleovazões, de foma que o peíodo pé-hstóco possa se adequadamete epesetado. Outa dfculdade se efee à estacoaedade da população de cheas pé-hstócas, hpótese dfclmete satsfeta, tedo em vsta as vaações clmátcas que ocoeam em gade escala o plaeta, como, po exemplo, as dfeetes eas glacas. Maoes detalhes a espeto dos cohecmetos da paleohdologa podem se ecotados em Bake 987 e ouse et al O peíodo hstóco Em locas habtados po um logo peíodo de tempo, as fomações sobe cheas hstócas podem esta dspoíves, costtudo o cojuto de dados do peíodo hstóco. Essas fomações se efeem a evetos de cheas detamete obsevados po sees humaos, que ocoeam e foam documetados ates do peíodo elatvamete cuto de obsevações fluvométcas egulaes. A coleta de fomações sobe cheas hstócas eque um tabalho metculoso, que evolve a cosulta a dvesos volumes mausctos, joas e outos peódcos atgos, dáos de vages, ógãos admstatvos locas, aquvos hstócos e, até mesmo, elatos pessoas. É possível, clusve, que téccas auxlaes sejam ecessáas, po exemplo, paa a covesão de udades de medda e paa a coeta tepetação de estlos de escta. Cofome descto po Glase 996, a ecupeação de fomações sobe cheas hstócas pode se depaa com algumas dfculdades. Pmeamete, há o gade volume e vaedade de documetos em que as fomações podem, espoadcamete ou sstematcamete, teem sdo egstadas. Além dsso, essas fomações em sempe descevem detamete um feômeo patcula, mas, ao vés dsso, expõem os seus efetos ou mpactos. Falmete, em todas as 0

26 fomações efletem a ealdade, uma vez que cópas sucessvas, etepetações, taduções e esumos podem dstoce o coteúdo do texto ogal. Assm, paa assegua a qualdade da fomação, a coleta de dados deve, sempe que possível, se basea o documeto pmáo. Em geal, as fomações hstócas podem desde descções dos daos causados pela chea, até a data de ocoêca do eveto, ou a últma vez que uma chea daquela magtude ocoeu, ou, ada, efeêcas ao ível atgdo duate a passagem do pco da chea, o que pode se cofmado po meo de vestgações locas, buscado a peseça de macas em costuções atgas potes, casas, gejas, potões, muos, dete outas. Essas fomações, assocadas à modelagem hdáulca, pemtem avala a magtude e a feqüêca de cheas ocodas duate o peíodo hstóco em geal, algus séculos, possbltado a costução de uma sée de cheas hstócas, as quas, a maoa dos casos, são documetadas especalmete po teem exceddo cetos lmaes de efeêca também chamados lmtes de pecepção em tevalos de tempo específcos. Assm como as paleovazões, as cheas hstócas estão sujetas às cetezas efeetes à cotudade e à completude dos egstos, bem como à estacoaedade da população de cheas hstócas, afetada pelas possíves vaações clmátcas e po ações atópcas, como ubazação, desmatametos e teveções a calha fluval. Maoes detalhes a espeto da utlzação de cheas hstócas a aálse de feqüêca podem se ecotados em Sutclffe 987 e Baylss e Reed O peíodo cotempoâeo As fomações do peíodo cotempoâeo coespodem às obsevações fluvométcas egulaes, poveetes das estações de medção. Essas obsevações são gealmete expessas em temos de elevações do ível d água, as quas são covetdas em vazões po meo das espectvas cuvas-chave. Os dados do peíodo cotempoâeo estão sujetos a eos de medção, que se devem pcpalmete à letua, à tascção ou ao pocessameto coetos. Po sso, ates de seem utlzados a aálse de feqüêca, eles devem se vefcados com o tuto de detfca e elma eos, tedêcas, heteogeedades e depedêca seal, que podem esta pesetes a amosta. Uma descção dos pcpas testes e pocedmetos a seem ealzados duate a etapa de vefcação dos dados cotempoâeos é apesetada po Câddo 003 e aghett e Pto o pelo.

27 A Fgua 3. mosta os dfeetes tpos de fomações elatvas às cheas, de acodo com a classfcação coológca dos evetos descta ateomete. PERÍODO PRÉ-ISTÓRICO ISTÓRICO COTEMPORÂEO Técca de coleta de dados Tpos de dados Icetezas Paleohdologa paleovazões Obsevações ocasoas documetadas ou elatadas cheas hstócas Amostas cesuadas, com evetos de tesdade cohecda ou ão Relatvas à data e à tesdade Relatvas à tesdade Estações de medção cotas e vazões Amostas ão cesuadas FIGURA 3.: Classfcação coológca das fomações elatvas às cheas. Fote: adaptado de AULET, Classfcação dos dados Dados sstemátcos Os dados sstemátcos epesetam as fomações do peíodo cotempoâeo, ou seja, uma seqüêca de obsevações fluvométcas cotíuas, ealzadas em estações de medção, duate um peíodo de S aos. Esses dados seão deotados pela vaável aleatóa, que epeseta a vazão máxma obsevada em cada ao hdológco, cujo cojuto costtu uma sée de vazões máxmas auas. As sées de duação pacal também são costtuídas pelos dados sstemátcos, poém, como ctado ateomete, estão foa do escopo dessa dssetação.

28 3..4. Dados ão sstemátcos Os dados ão sstemátcos epesetam as fomações dos peíodos pé-hstóco e hstóco, compeededo, espectvamete, as paleovazões, detfcadas po meo de evdêcas físcas o ambete atual, e as cheas hstócas, documetadas de foma ão sstemátca po sees humaos. A duação, em aos, do peíodo ão sstemátco seá deotada po aleatóa Y seá usada paa epeseta os evetos desse peíodo., e a vaável Uma vez que a paleohdologa eque vestgações geológcas e botâcas avaçadas, bem como a utlzação de modeas téccas de datação, a detfcação de paleovazões podea se toa um etave faceo e tecológco paa essa pesqusa. Potato, paa a ealzação do estudo de caso apesetado o Capítulo 5, optou-se po exploa apeas as cheas hstócas. o etato, ada que os tes 3.5 e 3.6 sejam usadas as expessões peíodo hstóco e cheas hstócas, os pocedmetos desctos podem se esteddos a um peíodo ão sstemátco composto po fomações pé-hstócas e hstócas, ou seja, a uma stuação em que paleovazões também estejam dspoíves Tatameto estatístco dos dados ão sstemátcos Do poto de vsta estatístco, as fomações paleohdológcas e hstócas são tatadas da mesma maea. Elas pemtem costu amostas tucadas ou cesuadas que, supodo a exstêca de um úco lma de efeêca y, apesetam as segutes caacteístcas: k cheas de tesdade cohecda y j, supeoes ao lma amosta cesuada ou tucada tpo I Fgua 3.a; y fxo, costtudo uma k excedêcas do lma y fxo, cujas tesdade ão são cohecdas, costtudo uma amosta bomal cesuada ou tucada tpo I Fgua 3.b; 3 um úmeo fxo k de cheas supeoes ao lma y, agoa vaável, y y... yk, costtudo uma amosta tucada tpo II o valo do lma passa a depede do úmeo de evetos acma dele: y y, cofome Fgua 3.c. k Maoes detalhes efeetes ao tatameto estatístco dos dados ão sstemátcos, de maea a copoá-los a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas, são apesetados o tem 3.5. Os aspectos efeetes à utlzação de uma amosta tucada tpo II ão seão abodados essa dssetação. 3

29 y fxo y y k y... S a Tucada tpo I y fxo... k S b Tucada tpo I y... k fxo y y y k S c Tucada tpo II FIGURA 3.: Dfeetes tpos de amostas tucadas. Fote: adaptado de AULET, 00. 4

30 3.3 Pescção do modelo de dstbução de pobabldades Uma das etapas mas mpotates da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas é a escolha da dstbução de pobabldades que melho epeseta o vedadeo compotameto populacoal da vaável hdológca. Emboa Câddo 003 afme que ão exstem les dedutvas paa a seleção de uma dstbução de pobabldades patcula ou de uma famíla de dstbuções, algus fatoes subjetvos e testes estatístcos podem se cosdeados paa a pescção do modelo dstbutvo mas adequado. A esse espeto, oskg e Walls 997 e Davs e aghett 00 apesetam as segutes podeações: Lmte supeo: Mesmo que, sob cetas codções, se possa cosdea fscamete mpossível a ocoêca de valoes extemamete elevados paa uma vaável aleatóa dgamos, po exemplo, uma vazão de m³/s em uma baca hdogáfca com áea de deagem equvalete a poucas ceteas de qulômetos quadados, mpo um lmte supeo ao modelo pobablístco pode compomete a obteção de boas estmatvas de quats paa os tempos de etoo que ealmete teessam. Ao se empega uma dstbução lmtada supeomete, as pemssas mplíctas são: que o lmte supeo ão é cohecdo e em pode se estmado com a pecsão ecessáa, e que o tevalo de tempos de etoo de teesse do estudo, a dstbução de pobabldades da população pode se melho apoxmada po uma fução lmtada do que po uma que possua lmte supeo. Cetamete, quado exstem evdêcas empícas de que a dstbução populacoal possu um lmte supeo, ela deve se apoxmada po uma dstbução lmtada supeomete. Sea o caso, po exemplo, do ajuste da dstbução geealzada de valoes extemos a uma ceta amosta, cuja tedêca de possu um lmte supeo estaa efletda a estmatva de um valo postvo paa o paâmeto de foma k. Cauda supeo: O peso da cauda supeo de uma dstbução de pobabldades detema a tesdade com que os quats aumetam, à medda que os tempos de etoo tedem paa valoes muto elevados. Em outas palavas, o peso da cauda supeo eflete a tesdade com que a fução desdade de pobabldade decesce a egão de valoes extemos da vaável aleatóa. Os pesos das caudas supeoes de algumas das pcpas dstbuções de pobabldades são mostados a Tabela 3.. 5

31 Emboa a coeta pescção da cauda supeo do modelo dstbutvo teha mpotâca fudametal a aálse de feqüêca de cheas, os tamahos das amostas de dados hdológcos são vaavelmete sufcetes paa se detema tal caacteístca com exatdão. Assm, é acoselhável utlza um gade cojuto de dstbuções caddatas, cujos pesos das espectvas caudas supeoes se estedam po uma ampla faxa. TABELA 3.: Peso da cauda supeo de algumas dstbuções de pobabldades. Cauda supeo Pesada Foma de f paa valoes elevados de x Dstbução a x GEV, GPA e GLO com paâmeto de foma k < 0. a l x x LO com assmeta postva. exp x 0 < a < WEI com paâmeto de foma λ <. x a exp bx PE3 com assmeta postva. exp x EP e GUM. exp x a > WEI com paâmeto de foma λ >. Leve Lmte supeo GEV, GPA e GLO com paâmeto de foma k > 0 ; LO e PE3 com assmeta egatva. Fote: adaptado de OSKIG e WALLIS, 997. OTAS: a e b epesetam costates postvas. GEV: Geealzada de Valoes Extemos, GPA: Geealzada de Paeto, GLO: Logístca Geealzada, LO: Log-omal, WEI: Webull, PE3: Peaso III, EP: Expoecal, GUM: Gumbel. 3 Cauda feo e lmte feo: Cosdeações semelhates àquelas fetas ateomete se aplcam à cauda e ao lmte feo da dstbução. Poém, se o teesse está cetado em se pesceve a melho apoxmação da cauda supeo, a foma da cauda feo é elevate. A peseça de outles baxos em uma dada amosta pode, clusve, v a compomete a coeta estmação das caacteístcas da cauda supeo RC, 987. Com elação ao lmte feo, seu valo pode, em geal, se cohecdo ou gualado a zeo, e o paâmeto de posção do modelo dstbutvo pode se ajustado de modo a pemt essa mposção. Etetato, oskg e Walls 997 essaltam que, em dvesos casos, a pescção de um lmte feo ulo é útl, e que melhoes esultados podem se obtdos sem ehuma pescção a po. Em geal, a seleção da melho dstbução de pobabldades se basea a qualdade e cosstêca de seu ajuste aos dados dspoíves. esse setdo, dvesos testes de adeêca podem se empegados, sedo o do Qu-Quadado, o de Kolmogoov-Smov, o de Fllbe e o de compaação ete quocetes de mometos-l os mas cohecdos. Emboa os dos 6

32 pmeos sejam mas comus, algus autoes ecomedam o uso dos dos últmos STEDIGER et al., 993; OSKIG e WALLIS, 997; CÂDIDO, 003; AGETTII e PITO, o pelo. Vale essalta que, especalmete o caso das amostas tpcamete cutas ecotadas em hdologa, os testes de adeêca ão são sufcetemete potetes e coclusvos a seleção da dstbução de pobabldades a se utlzada. As caacteístcas dos pcpas testes de adeêca, bem como suas aplcações e lmtações, podem se ecotadas em aghett e Pto o pelo. Câddo 003 desevolveu um sstema especalsta que, utlzado a técca de telgêca atfcal, é capaz de selecoa, dete algumas dstbuções caddatas, aquelas mas apopadas paa modela uma população de evetos hdológcos máxmos auas, da qual fo extaída uma amosta patcula. 3.4 Estmação dos paâmetos utlzado apeas dados sstemátcos esse tem, apeseta-se uma descção sucta dos pcpas métodos exstetes paa a estmação dos paâmetos da dstbução de pobabldades escolhda paa epeseta o compotameto populacoal das vazões máxmas auas, utlzado-se apeas os dados sstemátcos, ou seja, as obsevações fluvométcas egulaes. O Aexo A apeseta as pcpas popedades das dstbuções de pobabldades mas utlzadas paa modela evetos máxmos de vaáves hdológcas, bem como seus estmadoes paamétcos, calculados pelos tês métodos desctos a segu Método dos mometos MMO Os mometos populacoas de odem, em elação à ogem, de uma vaável aleatóa, descta pela dstbução de pobabldades x Θ, cujo veto de paâmetos é Θ, são defdos po: f µ ' E[ ] x f x Θ dx 3. O mometo de odem, em elação à ogem, é gual ao valo espeado de, e epeseta a méda populacoal, ou seja: 7

33 µ µ E[ ] 3. ' Aalogamete, os mometos populacoas de odem, em elação à méda, ou smplesmete mometos cetas, são defdos po: µ E[ µ ] x µ f x Θ dx 3.3 Os mometos cetas de odem, 3 e 4 são patculamete mpotates em hdologa estatístca. O mometo cetal de odem epeseta a vaâca populacoal de, dada pela equação 3.4, e costtu uma medda de dspesão da vaável aleatóa em elação à méda. Outas gadezas capazes de epeseta a dspesão da vaável em too da méda são o desvo-padão e o coefcete de vaação, dados espectvamete pelas equações 3.5 e 3.6. µ σ E [ µ ] E[ ] µ 3.4 σ σ 3.5 σ C V 3.6 µ A pat dos mometos cetas de odem 3 e 4, são defdos os coefcetes de assmeta e de cutose, expessos espectvamete pelas equações 3.7 e 3.8. µ 3 γ σ µ 4 κ σ O método dos mometos paa estmação dos paâmetos de uma dstbução de pobabldades cosste em guala os mometos amostas, calculados a pat de uma amosta de tamaho, aos coespodetes mometos populacoas. Sejam m e µ, espectvamete, os mometos amostas e populacoas de odem, e Θ θ, θ,..., θ o k veto dos k paâmetos descohecdos. O sstema de equações fudametal do método dos mometos é: 8

34 m µ Θ,,..., k 3.9 A solução desse sstema de k equações e k cógtas esulta o veto Θ ˆ ˆ θ, ˆ θ,..., ˆ θ, cujos k elemetos são os estmadoes paamétcos pelo método dos mometos. Rao e amed 000 apesetam uma exposção detalhada das estmatvas pelo método dos mometos paa as pcpas dstbuções de pobabldades empegadas em hdologa Método do máxmo de veossmlhaça MVS O método do máxmo de veossmlhaça cosste em maxmza uma fução dos paâmetos da dstbução de pobabldades. O equacoameto paa a codção de máxmo esulta em um sstema de gual úmeo de equações e cógtas, cujas soluções poduzem os estmadoes paamétcos de máxma veossmlhaça. Seja x, x,..., x uma amosta etada da população da vaável hdológca de teesse, modelada pela segute dstbução de pobabldades, a qual depede do veto de paâmetos Θ θ, θ,..., θ : k f x Θ 3.0 Como os elemetos costtutes da amosta são, po pessuposto, depedetes e detcamete dstbuídos, eles possuem uma dstbução de pobabldades cojuta dada po: f x, x,..., x Θ f x Θ f x Θ... f x 3. Θ Essa desdade cojuta, cohecda como fução de veossmlhaça, é popocoal à pobabldade de que a amosta teha sdo extaída da população dstbuída cofome a equação 3.0. Potato, a fução de veossmlhaça é fomalmete expessa po:, x,..., x f x Θ L Θ x 3. Essa equação é uma fução do veto de paâmetos Θ, exclusvamete. Os valoes dos paâmetos que maxmzam a fução de veossmlhaça são aqueles que também maxmzam 9

35 a pobabldade de que a amosta em questão teha sdo soteada da população dstbuída cofome a equação 3.0. A busca da codção de máxmo paa a fução de veossmlhaça esulta o segute sstema de k equações e k cógtas: L Θ x, x,..., x 0 j,,... k θ j 3.3 A solução desse sstema poduz os estmadoes de máxma veossmlhaça dos paâmetos da dstbução, deotados po θˆ. Uma vez que, em mutos casos, é mas smples maxmza j o logatmo de uma fução, é feqüete a substtução da fução de veossmlhaça pela fução logatmo de veossmlhaça, dada po:, x,..., x l f x Θ l L Θ x 3.4 ão há ehuma estção quato à adoção desse pocedmeto, pos, como a fução logatmo é cotíua, moótoa e cescete, maxmza o logatmo da fução de veossmlhaça é o mesmo que maxmza a pópa fução. Potato, o sstema de equações 3.3 pode se eescto da segute foma: l L Θ x, x,..., x L 0 j,,... k θ L θ j j 3.5 Os estmadoes de máxma veossmlhaça são, gealmete, supeoes àqueles obtdos pelo método dos mometos, especalmete paa dstbuções com mas de dos paâmetos, já que os mometos de odem supeo estão sujetos a um elevado vés quado calculados utlzado amostas de pequeo tamaho. Além dsso, em temos asstótcos, o método do máxmo de veossmlhaça é cosdeado o mas efcete, pos povê estmadoes paamétcos com meo vaâca. Em algus casos, a solução dos sstemas de equações 3.3 e 3.5 pode se bastate complexa, sedo ecessáa a mplemetação de pocedmetos computacoas paa sua esolução uméca. o etato, com a utlzação cescete de computadoes de alto desempeho, essa desvatagem ão costtu mas um poblema sgfcatvo. Maoes detalhes a espeto do método do máxmo de veossmlhaça paa estmação dos paâmetos das pcpas dstbuções de pobabldades usadas em hdologa podem se ecotados em Clake 994 e Rao e amed

36 3.4.3 Método dos mometos-l MML Geewood et al. 979 toduzam os mometos podeados po pobabldades MPP s, dos quas são deduzdos os mometos-l. Os MPP s de uma vaável aleatóa, descta pela fução de pobabldades acumulada F x Θ P[ < x], cujo veto de paâmetos é Θ, são defdos po: p [ x F] F p s s M p,, s E[ F F ] F df ode x F é a fução de quats, e p, e s epesetam úmeos eas. Quado e s são ulos e p é um úmeo ão egatvo, os MPP s M p,0, 0 são guas aos mometos covecoas µ ' p, de odem p, em elação à ogem. Os MPP s M,, 0 são os de utlzação mas feqüete a caactezação das dstbuções de pobabldades. Eles são defdos po: M,,0 β E[ F ] x F F df oskg 986 demostou que os MPP s β, que costtuem combações leaes de, possuem a geealdade sufcete paa a estmação dos paâmetos das dstbuções de pobabldades, além de estaem meos sujetos a flutuações amostas e, potato, seem mas obustos que os coespodetes mometos covecoas. Paa uma amosta de tamaho, odeada de modo cescete, calculadas pela segute expessão: x x... x, as estmatvas ão-evesadas de β podem se b!! ˆβ x x 3.8!! Emboa possam se usados a estmação dos paâmetos, os MPP s β ão são de fácl tepetação como desctoes de escala e foma das dstbuções de pobabldades. Alteatvamete, oskg 990 toduzu o coceto dos mometos-l, que costtuem gadezas detamete tepetáves, obtdas po meo de combações leaes de β.

37 Os mometos-l de odem, deotados po λ, são fomalmete defdos po: k 0 λ p βk 3.9 *, k ode: k * k k k! p, k 3.0 k k k! k! A aplcação das equações 3.9 e 3.0 paa os quato pmeos mometos-l esulta as segutes expessões: λ β 0 3. λ 3. β β0 λ 6β β β λ 0β β β β Os mometos-l amostas, deotados po l, são calculados pela substtução de equações 3. a 3.4, po suas estmatvas b. β, as O mometo-l λ é equvalete à méda µ e, potato, costtu uma medda populacoal de posção. Paa odes supeoes a, os quocetes de mometos-l são patculamete útes a descção de escala e foma das dstbuções de pobabldades. Como medda equvalete ao coefcete de vaação covecoal, defe-se o coefcete τ, dado po: λ λ τ 3.5 Essa gadeza pode se tepetada como uma medda populacoal de dspesão ou de escala. Aalogamete aos coefcetes de assmeta e cutose covecoas, podem se defdos os coefcetes τ 3 e τ 4, dados po:

38 λ 3 τ λ λ 4 τ λ Os quocetes de mometos-l amostas, cujas otações são t, t 3 e t 4, são calculados pela substtução de λ, as equações 3.5 a 3.7, po suas estmatvas l. De acodo com aghett e Pto o pelo, os mometos-l apesetam dvesas vatages em elação aos mometos covecoas, ete as quas destacam-se os lmtes de vaação de t, t 3 e t 4. De fato, se é uma vaável aleatóa ão egatva, pode-se demosta que 0 < τ <. Quato a τ 3 e τ 4, é um fato matemátco que esses coefcetes estão compeeddos o tevalo [, ], em oposção aos coespodetes coefcetes covecoas, que podem assum valoes abtaamete mas elevados. Outas vatages dos mometos-l em elação aos mometos covecoas são dscutdas po Vogel e Feessey 993. Uma maea coveete de epeseta os mometos-l das dvesas dstbuções de pobabldades é o dagama de quocetes de mometos-l, mostado a Fgua 3.3. esse dagama, uma dstbução de dos paâmetos posção e escala é plotada como um úco poto, em decoêca do fato de que duas dstbuções que dfeem ete s apeas pelos valoes dos paâmetos de posção e escala são as dstbuções das vaáves aleatóas e Y a b, com a > 0, cujos quocetes de mometos-l, deotados espectvamete po e Y τ, se elacoam cofome a equação 3.8, e, potato, são guas. τ Y τ sal de a τ Já as dstbuções de tês paâmetos posção, escala e foma são plotadas como cuvas, cujos potos coespodem aos dfeetes valoes do paâmeto de foma. Plotado-se o dagama de quocetes de mometos-l os coefcetes t 3 assmeta-l e t 4 cutose-l, calculados a pat de uma amosta patcula, é possível detfca qual dstbução melho epeseta o compotameto populacoal da vaável hdológca de teesse. 3

39 Cutose-L τ4,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 GPA GLO GEV L3 PE3 UI EP GUM OR -0, -,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Assmeta-L τ 3 GPA: Geealzada de Paeto, GLO: Logístca Geealzada, GEV: Geealzada de Valoes Extemos, L3: Log-omal 3 Paâmetos, PE3: Peaso III, UI: Ufome, EP: Expoecal, GUM: Gumbel, OR: omal FIGURA 3.3: Dagama de quocetes de mometos-l. Fote: adaptado de OSKIG e WALLIS, 997. O método dos mometos-l paa estmação dos paâmetos das dstbuções de pobabldades é semelhate ao método dos mometos covecoas, e cosste em guala os mometos-l amostas, calculados a pat de uma amosta de tamaho, aos coespodetes mometos- L populacoas. De fato, os mometos-l e seus quocetes, a sabe λ, λ, τ, τ 3 e τ 4, podem se expessos como fuções dos paâmetos das dstbuções de pobabldades. Se λ, λ, τ e l, l, t epesetam, espectvamete, os mometos-l e seus quocetes j j populacoas e amostas, e Θ θ, θ,..., θ epeseta o veto dos k paâmetos k descohecdos, o sstema de equações fudametal do método dos mometos-l é: l t j λ Θ τ Θ j, j 3,4,..., k 3.9 A solução desse sstema de k equações e k cógtas esulta o veto Θ ˆ ˆ θ, ˆ θ,..., ˆ θ, cujos k elemetos são os estmadoes paamétcos pelo método dos mometos-l. oskg e Walls 997 mostam que, paa amostas de tamaho pequeo a modeado, o método dos mometos-l é gealmete mas efcete que o do máxmo de veossmlhaça. 4

40 3.5 Estmação dos paâmetos utlzado dados sstemátcos e ão sstemátcos Cofome descto po aulet 00, paa um modelo de vazões máxmas auas, a fomação hdológca dspoível pode se epesetada pelo esquema geal mostado a Fgua 3.4, obsevado-se tês casos dsttos: Ifomação ão cesuada: A tesdade das vazões máxmas auas é cohecda, e os evetos são deotados po x, com a, paa cheas do peíodo sstemátco, e y S j, com j a, paa cheas do peíodo hstóco o poto sobescto dca que a tesdade da chea é cohecda. Ifomação cesuada: A tesdade das vazões máxmas auas ão é cohecda pecsamete, mas dspõe-se de elemetos sufcetes paa cosdeá-la: a feo a um lma de efeêca: < evetos de magtude feo a x U e evetos de magtude feo a y Uj ; < S b supeo a um lma de efeêca: > evetos de magtude supeo a x L e evetos de magtude supeo a y Lj ; > S c compeedda em um tevalo: <> evetos compeeddos o tevalo [x L ;x U ] e evetos compeeddos o <> S tevalo [y Lj ;y Uj ]. 3 Ausêca de fomação: Os aos em que ão se dspõe de fomações sufcetes paa fe sobe a magtude das vazões máxmas auas epesetados pelo símbolo? a Fgua 3.4 ão devem se cosdeados a aálse de feqüêca. A amosta total de vazões máxmas auas seá, etão, costtuída de aos, dstbuídos cofome mostado a equação 3.30: S < S S > S <> S < > <>

41 y U y y L y L y U y x x x S x U x U x L x <> U S x <> L S < > <> S < S > S <> S 3 0 FIGURA 3.4: Esquema dos dvesos tpos de fomações elatvas às cheas, paa um modelo de vazões máxmas auas. Fote: adaptado de AULET, 00. Os dados dos peíodos sstemátco e hstóco costtuem, dessa foma, uma úca amosta tucada. Deve-se essalta que os métodos de copoação de fomação hstóca a aálse de feqüêca pessupõem que as cheas sstemátcas epesetadas pela vaável aleatóa e ão sstemátcas epesetadas pela vaável aleatóa Y sejam detcamete dstbuídas, sto é, que elas sejam desctas pela mesma fução desdade de pobabldade f, cuja fução acumulada de pobabldade é deotada po F. a seqüêca, seão apesetados os pcpas métodos exstetes paa a copoação dos dados ão sstemátcos a estmação dos paâmetos da dstbução de pobabldades escolhda paa epeseta o compotameto populacoal das vazões máxmas auas. Paa sso, seão adotados os ctéos e otações utlzados po aulet 00, cosdeados adequadamete ddátcos. 6

42 3.5. Método dos mometos podeados hstocamete MP O método dos mometos podeados hstocamete, também deomado método dos mometos ajustados, fo apesetado pelo USWRC 98, a edção evsada do Boletm 7 Boletm 7B. Assm como o método clássco dos mometos tem 3.4., o método MP cosste em guala os mometos populacoas aos coespodetes mometos amostas, calculados po meo da atbução de pesos dsttos aos elemetos costtutes da amosta de vazões máxmas auas. Esse pocedmeto esulta em um sstema de equações, cuja solução foece os estmadoes Θˆ dos paâmetos da dstbução. esse método, ão são pemtdos evetos cesuados o peíodo das cheas sstemátcas < > <> 0, em cheas hstócas de tesdade cohecda y j, feoes a um S S S lma de efeêca y U. Além dsso, a amosta é dvdda em evetos de magtude supeo e feo a um úco lma y U, defdo como a meo chea hstóca de tesdade cohecda. Dessa foma, evetos maoes que y U, obsevados o peíodo sstemátco, são tatados como cheas hstócas, e o peíodo de obsevações sstemátcas fca eduzdo aos evetos meoes que y U. A Fgua 3.5 mosta o esquema de tepetação das cheas hstócas e sstemátcas, paa aplcação do método dos mometos podeados hstocamete. Kby 98 afma que todo ao cuja vazão máxma excede o lma y U pode petece ao peíodo hstóco ou sstemátco, e que o ajuste pevsto o cálculo dos mometos amostas vsa, de fato, peeche a poção do peíodo hstóco cujas magtudes dos evetos são descohecdas e, po pessuposto, feoes a y U com um úmeo apopado de cópas da poção feo a y U petecete ao peíodo sstemátco. Esse peechmeto é alcaçado aplcado-se um fato de podeação W às cheas sstemátcas feoes ao lma de efeêca y U, defdo po: > W 3.3 < S > < Cosdeado o exemplo da Fgua 3.5, tem-se: 8, 3 e. Assm, o fato de podeação W seá: S 8 3 W,5 7

43 y j F y U y j > x < x < x p > S < S < > S S FIGURA 3.5: Esquema de aplcação do método dos mometos podeados hstocamete. Fote: adaptado de AULET, 00. Potato, paa o cálculo dos mometos amostas pelo método MP, utlza-se: um fato de podeação W paa os paa epeseta atfcalmete os < S evetos máxmos auas < aos tucados do peíodo hstóco; < x do peíodo sstemátco um fato de podeação gual a paa os > > S evetos maoes que o lma de efeêca y U. Se p deota a pobabldade de ão-excedêca de y U, tal que P[ < y ] P[ Y < y ] p, U U etão, dado que > epeseta a pobabldade empíca de excedêca de y U, p pode se estmado po > pˆ. Calculam-se, etão, as médas das cheas de tesdade cohecda: 8

44 supeoes ao lma y U peíodo hstóco e sstemátco: m > > S > > x y j j 3.3 feoes ao lma y U peíodo sstemátco: < S < < m < x 3.33 S A méda empíca da amosta global, deomada méda podeada hstocamete e deotada po m ~, é obtda podeado-se as médas calculadas ateomete pelas espectvas pobabldades de ocoêca: < m ~ pˆ m pˆ m > < > S S < > m ~ W x x y j 3.34 j Os mesmos agumetos podem se utlzados paa a obteção de mometos de odem supeo, tas como a vaâca e o coefcete de assmeta podeados hstocamete, expessos espectvamete pelas equações 3.35 e 3.36: < > S S ~ < > s W x m~ x m~ y j m~ 3.35 j < > S S < > g~ W x m~ 3 x m~ 3 y j m~ 3 ~ s j Emboa o Boletm 7B USWRC, 98 ecomede a utlzação do método dos mometos podeados hstocamete paa a dstbução Log-Peaso III, estudos demostam sua aplcação a outas dstbuções, tas como a Log-omal paâmetos STEDIGER e CO, 986, a Log-omal 3 paâmetos CO e STEDIGER, 987 e a Gumbel GUO e CUAE, 99. 9

45 3.5. Método do máxmo de veossmlhaça MVS O método do máxmo de veossmlhaça paa estmação dos paâmetos utlzado dados sstemátcos e ão sstemátcos cosste em maxmza uma fução dos paâmetos da dstbução, chamada fução de veossmlhaça. A dfeeça em elação ao pocedmeto apesetado o tem 3.4. método MVS paa estmação dos paâmetos utlzado apeas dados sstemátcos esde, potato, o cojuto de fomações utlzadas paa a fomulação da efeda fução. Dvesos autoes OSKIG e WALLIS, 986a, 986b; STEDIGER e CO, 986; CO e STEDIGER, 987; SUTCLIFFE, 987; GUO e CUAE, 99; FRACÉS et al., 994; KUCZERA, 996; CO et al., 997; MARTIS e STEDIGER, 000, 00a, 00b; O COELL et al., 00; AULET, 00 copoaam os dados ão sstemátcos a fomulação da fução de veossmlhaça e demostaam que esse método, além de apeseta a flexbldade ecessáa paa lda com os dfeetes tpos de fomações elatvas às cheas, poduz estmadoes paamétcos efcetes e elatvamete obustos. Cosdee, calmete, que a fomação hstóca dspoível costtua um peíodo de aos, em que foam obsevadas: k cheas de tesdade cohecda y, y,..., y, supeoes a um lma de efeêca fxo y tem 3.5..; ou k k excedêcas de um lma de efeêca fxo y tem 3.5..; ou k cheas de tesdade compeedda em um ceto tevalo y ; y ], com m,,..., k, supeoes a um lma de efeêca fxo y tem [ Lm Um As fomulações das fuções de veossmlhaça paa essas tês stuações seão desctas a seqüêca. aulet 00 apesetou um modelo geal que pemte copoa: os tês tpos de fomações ctados ateomete ão só paa o peíodo hstóco, mas também paa o peíodo sstemátco e dfeetes lmaes de efeêca sucessvos ao logo dos aos. Essa abodagem geal seá descta o tem Os demas pocedmetos do método MVS são os mesmos apesetados paa o caso em que se utlzam apeas dados sstemátcos tem

46 3.5.. Cheas de tesdade cohecda, supeo a um lma fxo um peíodo hstóco de aos, a amosta é costtuída po k cheas de tesdade cohecda y, y,..., y, as quas foam egstadas exatamete po teem exceddo um ceto k lma de efeêca y, e k cheas de tesdade descohecda, poém feoes a y amosta cesuada, ou tucada tpo I, cofome Fgua 3.a. c Sejam os evetos A: [ y Y < ], A [0 < Y < y ] e B :[ y Y < y dy]. Dada a codção : que as cheas hstócas e sstemátcas sejam desctas pela mesma fução desdade de pobabldade f, as pobabldades de ocoêca dos evetos A e espectvamete po: c A são expessas P[ y Y < ] f y Θ dy F y Θ y 3.37 y P[0 < Y < y ] f y Θ dy F y 0 Θ 3.38 A pobabldade de ocoêca do eveto B, dado que A ocoeu, é expessa po: P[ y Y < y dy y Y < ] P[ y Y < y dy y Y < ] 3.39 P[ y Y < ] ode P[ y Y < y dy y Y < ] P[ y Y < y dy], uma vez que B está cotdo em A. Assm: f y Θ P[ y Y < y dy y Y < ] dy 3.40 F y Θ Cosdeado que os elemetos da amosta são depedetes, a pobabldade obseva, os P C de se aos, exatamete k cheas de tesdade cohecda y m, supeoes a y, e k cheas de tesdade descohecda, feoes a y, é expessa po: 3

47 P P C C k k [ F y Θ] k [ F y Θ] k f y Θ k m m F y Θ k k [ F y Θ] f ym Θ dym 3.4 m dy m Potato, a fução de veossmlhaça L C, que é popocoal à pobabldade de que a amosta descta o paágafo ateo teha sdo obsevada, é dada pela segute expessão: L C k k k [ F y Θ] f ym Θ 3.4 m Cheas de tesdade descohecda, supeo a um lma fxo um peíodo hstóco de aos, a amosta é costtuída po k cheas supeoes e k cheas feoes a um ceto lma de efeêca y. Todos os evetos são de tesdade descohecda amosta bomal cesuada, ou tucada tpo I, cofome Fgua 3.b. Cosdeado as popedades dos evetos A e depedêca ete os elemetos da amosta, a pobabldade c A, desctos o tem ateo, e a P BC de se obseva, os aos, exatamete k cheas supeoes e k cheas feoes a y, é dada pela expessão 3.43, que coespode a uma dstbução bomal: P BC k k k [ F y Θ] [ F y Θ] 3.43 Potato, a fução de veossmlhaça L BC é dada po: L BC k k k [ F y Θ] [ F y Θ] Cheas de tesdade compeedda em um tevalo, supeo a um lma fxo um peíodo hstóco de aos, a amosta é costtuída po k cheas de tesdade compeedda em um tevalo y ; y ], as quas foam egstadas exatamete po teem [ Lm Um 3

48 exceddo um ceto lma de efeêca poém feoes a Fgua 3.a. y, e k cheas de tesdade descohecda, y amosta cesuada em um tevalo, ou tucada tpo I, cofome Sejam os evetos A e c A, cujas popedades foam desctas ateomete, e o eveto C :[ yl Y < yu ]. A pobabldade de ocoêca do eveto C, dado que A ocoeu, é expessa po: P[ yl Y < yu y Y < ] P[ yl Y < yu y Y < ] 3.45 P[ y Y < ] ode yl y e P [ yl Y < yu y Y < ] P[ yl Y < yu ], uma vez que C está cotdo em A. Assm: F yu Θ F yl Θ P [ yl Y < yu y Y < ] 3.46 F y Θ Cosdeado que os elemetos da amosta são depedetes, a pobabldade P CI de se obseva, os aos, exatamete k cheas de tesdade compeedda em um tevalo y ; y ], cujo lmte feo excede y, e k cheas de tesdade descohecda, [ Lm Um feoes a y, é expessa po: P P CI CI k k [ F y Θ] k [ F y Θ] k F y Θ F y k Um Lm m F y Θ Θ k k [ F y Θ] [ F yum Θ F ylm Θ] 3.47 m Potato, a fução de veossmlhaça L CI é dada po: L CI k k k [ F y Θ] [ F yum Θ F ylm Θ] 3.48 m 33

49 Geealzação Os casos patculaes apesetados os tês tes ateoes podem se geealzados, de foma a leva em cota a exstêca de dfeetes lmaes y e dfeetes tevalos y ; y ], j [ Lm, j Um, j assocados a t peíodos hstócos de j aos j,,..., t, tal que k j evetos teham t j j gualado ou exceddo y j e. essas codções, as fuções de veossmlhaça são dadas po: Cheas de tesdade cohecda, supeo a um lma fxo: L C t k j j k j F yj Θ] j k j m j [ f ym, j Θ 3.49 Se cosdeamos váos peíodos sucessvos de um ao, com k ou 0 caso j j o eveto do ao j seja, espectvamete, supeo ou feo ao lma y j, o peíodo hstóco de aos seá composto po: aos de cheas de tesdade cohecda y j, supeo ao lma; < aos de cheas de tesdade descohecda, feo ao lma, o qual, esse caso, é deotado po y Uj. A expessão da fução de veossmlhaça pode, etão, se eescta como: L C < F yuj Θ j j f y Θ 3.50 j Cheas de tesdade descohecda, supeo a um lma fxo: L BC t j k j j k j j k j [ F yj Θ] [ F yj Θ] 3.5 Se cosdeamos váos peíodos sucessvos de um ao, com k ou 0 caso j j o eveto do ao j seja, espectvamete, supeo ou feo ao lma y j, o peíodo hstóco de aos seá composto po: 34

50 > aos de cheas de tesdade descohecda, supeo ao lma, o qual, esse caso, é deotado po y Lj ; < aos de cheas de tesdade descohecda, feo ao lma, o qual, esse caso, é deotado po y Uj. A expessão da fução de veossmlhaça pode, etão, se eescta como: L BC > < j [ F y Θ] F y Θ 3.5 Lj j Uj 3 Cheas de tesdade compeedda em um tevalo, supeo a um lma fxo: L CI t k j j k j F yj Θ] j k j m j [ [ F yum, j Θ F ylm, j Θ] 3.53 Se cosdeamos váos peíodos sucessvos de um ao, com k ou 0 caso j j o eveto do ao j seja, espectvamete, supeo ou feo ao lma y j, o peíodo hstóco de aos seá composto po: aos de cheas de tesdade compeedda o tevalo y ; y ], supeo ao <> lma; [ Lj Uj < aos de cheas de tesdade descohecda, feo ao lma, o qual, esse caso, é deotado po y Uj. A expessão da fução de veossmlhaça pode, etão, se eescta como: L CI < <> j F y Θ [ F y Θ F y Θ] 3.54 Uj j Uj Lj Paa os dados do peíodo sstemátco, as fuções de veossmlhaça podem se obtdas utlzado um acocío aálogo ao desevolvdo paa as cheas hstócas. As expessões 3.50, 3.5 e 3.54 podem se decompostas em expessões elemetaes, que coespodem 35

51 às fuções de veossmlhaça dos dfeetes tpos de fomações apesetadas o esquema geal da Fgua 3.4: Ifomação ão cesuada: f j L S S f L y Θ Peíodo hstóco 3.55 j x Θ Peíodo sstemátco 3.56 Ifomação cesuada: a feo a um lma: L L < < S < j < S F y Θ Peíodo hstóco 3.57 Uj F x Θ Peíodo sstemátco 3.58 U b supeo a um lma: L L > > S > j > S [ F y Θ] Peíodo hstóco 3.59 Lj [ F x Θ] Peíodo sstemátco 3.60 L c compeedda em um tevalo: L L <> <> j <> <> S S [ F y Θ F y Θ] Peíodo hstóco 3.6 Uj Lj [ F x Θ F x Θ] Peíodo sstemátco 3.6 U L Potato, levado-se em cota os dvesos tpos de fomações que podem esta dspoíves, a fução de veossmlhaça da amosta completa, deotada po AULET, 00: L TOTAL, é dada po 36

52 < > <> L L L L L TOTAL 3.63 < > <> LS LS LS LS Vale lemba que, como dscutdo o tem 3.4., ão há estções quato à utlzação da fução logatmo de veossmlhaça, ao vés da fução de veossmlhaça popamete dta Método do algotmo dos mometos espeados EMA O método do algotmo dos mometos espeados, apesetado po Lae e Coh 996 e Coh et al. 997, é um pocedmeto de estmação de paâmetos que, tal como o método dos mometos tem 3.4., tem como pcípo a gualdade ete os mometos populacoas e os coespodetes mometos amostas. Ao cotáo do método MP tem 3.5., o método do algotmo dos mometos espeados as cheas hstócas e sstemátcas são tatadas da mesma maea, e todos os tpos de fomações cesuadas, mostados o esquema geal da Fgua 3.4, podem se utlzados. Paa os evetos de magtude descohecda vazões cesuadas, os mometos são estmados po meo dos valoes espeados da vaável aleatóa, descta po uma fução desdade de pobabldade tucada. Po sso, eles são deomados mometos espeados. Lembado que as cheas sstemátcas e hstócas são desctas pela mesma fução desdade de pobabldade f, os mometos espeados paa os tês casos de fomações cesuadas da Fgua 3.4 são dados po: Peíodo stóco: a chea feo a um lma y Uj : y Uj < µ ',, j E[ Y Y < yuj ] y f y Θ dy 3.64 F y Θ Uj 0 b chea supeo a um lma y Lj : y Lj > µ ',, j E [ Y Y > ylj ] y f y Θ dy 3.65 F y Θ Lj 37

53 38 c chea compeedda em um tevalo [y Lj ;y Uj ]: Θ Θ Θ < < <> Uj Lj y y Lj Uj Uj Lj j dy y f y y F y F y Y y Y E ] [ ',, µ 3.66 Peíodo Sstemátco: a chea feo a um lma x U : Θ Θ < < x U U U S dx x f x x F x E 0,, ] [ ' µ 3.67 b chea supeo a um lma x L : > Θ Θ > x L L L S dx x f x x F x E ] [ ',, µ 3.68 c chea compeedda em um tevalo [x L ;x U ]: Θ Θ Θ < < <> U L x x L U U L S dx x f x x F x F x x E ] [ ',, µ 3.69 Potato, paa a amosta completa, os mometos de odem, em elação à ogem, deotados po m', são calculados somado-se os dados de tesdade cohecda x e y j, cofome é feto paa o cálculo dos mometos amostas com base em uma amosta ão cesuada, e os mometos espeados, dados pelas equações 3.64 a Assm: <> > < <> > < <> > < <> > < S S S S j j j j j j j j S S S y x m,,,,,,,,,,,, ' ' ' ' ' ' ' µ µ µ µ µ µ 3.70 Como a expessão paa o cálculo de m' é fução dos paâmetos descohecdos Θ, o método do algotmo dos mometos espeados costtu um pocesso teatvo, como mostado a Fgua 3.6. o state cal, são utlzados os paâmetos estmados a pat da amosta de dados sstemátcos ão cesuada.

54 Passo Estme os paâmetos cas a pat dos dados sstemátcos cohecdos: z 0 Θ ˆ µ m' 0 ' m' 0 0 S x S Passo m ' com os valoes Θ ˆ z Calcule z estme ovamete os paâmetos: Θˆ z µ m ' ' z Calcule a dfeeça esdual: ε ˆ ˆ Θ z Θ z, e z z ão O ctéo de covegêca fução de ε e z é ateddo? Pae sm FIGURA 3.6: Pocesso teatvo do método do algotmo dos mometos espeados. Coh et al. 997 afmam que, quato à copoação de cheas hstócas a estmação dos paâmetos, o método EMA é mas efcete que o método MP tem 3.5., e se apoxma da efcêca alcaçada pelo método MVS tem 3.5., equeedo, o etato, meo esfoço computacoal. Lae e Coh 996 aplcaam o método EMA paa a dstbução Log- omal paâmetos, equato Coh et al. 997, Eglad 999 e Coh et al. 00 o fzeam paa a dstbução Log-Peaso III. aulet 00 adaptou o método paa as dstbuções Gumbel e GEV. 39

55 3.6 Pobabldades de excedêca empícas posções de plotagem 3.6. Pobabldades empícas sem fomação cesuada As fómulas de posção de plotagem especfcam, com base em uma amosta de tamaho, odeada de maea decescete, a feqüêca com que detemado eveto po exemplo, a -ésma mao vazão da sée é gualado ou exceddo. Essa feqüêca, cohecda como pobabldade empíca de excedêca, é deotada po pˆ P[ x ] Fˆ. Cuae 978 apesetou uma evsão das pcpas fómulas paa cálculo da pobabldade empíca de excedêca sem fomação cesuada. As expessões popostas a lteatua têm a segute foma geal: α p ˆ,...,, S S α 3.7 ode S epeseta o tamaho de uma amosta de dados sstemátcos todos de tesdade cohecda, odeada de maea decescete x x... ; e α é uma costate de geealzação, cujos dfeetes valoes coespodem aos casos patculaes mostados a Tabela 3.. x S TABELA 3.: Valoes de α paa as fómulas de pobabldade empíca de excedêca. α Fómula de Dstbução mas adequada 0 Webull - 3/8 Blom omal 0,4 Cuae - 0,44 Ggote Expoecal, Gumbel 0,5 aze Pobabldades empícas com fomação cesuada sch e Stedge 987 apesetaam uma evsão das dfeetes fómulas exstetes paa cálculo da pobabldade empíca de excedêca com cheas hstócas. Esses autoes popuseam uma fomulação, baseada o coceto de excedêcas, coeete com o método do máxmo de veossmlhaça utlzado fomação cesuada tem Essa abodagem seá descta a pesete dssetação, com algumas modfcações toduzdas po aulet

56 Cosdee que os dados mostados o esquema geal da Fgua 3.4 sejam epesetados pela vaável aleatóa Z, que coespode às vazões máxmas auas da amosta costtuída pelos dos peíodos hstóco e sstemátco. O cálculo das pobabldades empícas de excedêca segue, etão, as etapas desctas a segu: Classfque, em odem decescete, a amosta das costtuída: z z z, cheas... pelas S e cheas sstemátcas x e hstócas y j de tesdade cohecda; pelos valoes médos das cheas de tesdade compeedda os tevalos x ; x ] e [ L U y ; y ] hpótese smplfcadoa paa epeseta o valo de máxma desdade. [ Lj Uj Classfque, em odem cescete, o cojuto dos t lmaes de efeêca dsttos y 0 < y <... < < y t y t, de foma que o lma aos. y j se aplque aos < j 3 Calcule a pobabldade de excedêca do lma j, p P[ Z y ], que, de acodo com e j j a abodagem toduzda po sch e Stedge 987 e modfcada po aulet 00, é dada po: pˆ ˆ ˆ ˆ e pe pc pe j t,,..., 3.7 t j j j j Cofome mostado a Fgua 3.7, p 0 pos y e p pos y 0. A e t pobabldade codcoal p P[ y Z < y Z < y ] é estmada po: ode: c j j t j j ˆ Aj p j t,,..., A B C t c j 3.73 j j j j A é o úmeo de cheas cohecdas o tevalo [ y ; y ]; j j e B j é o úmeo de cheas cohecdas feoes a y j ; j < k k C j é o úmeo de cheas descohecdas feoes a y j. 4

57 4 Falmete, calcule as pobabldades empícas de excedêca p ˆ das A j cheas compeeddas ete os lmaes [ y ; y ], utlzado a segute expessão: j j pˆ α p,,..., e p j t j e j Aj α,,..., pe t j A j 3.74 y t y j A :[ y Z < y ] j j B :[ Z < y ] j B A Ω y j P[ A] P[ A B] pos A B y 0 p e j p e j P[ A B] P[ A B] P[ B] P Z P y p [ ] j e j [ Z < y ] p j e j P [ y Z < y ] [ < < ] j P y j Z y j Z y j j P [ y Z < y < ] [ < ] j Z y j P Z y j j p p c j e j P [ Z y ] p [ ] [ < ] j e P Z y j P y j Z y j j p p p e j c j e j FIGURA 3.7: Esquema paa o cálculo das pobabldades de excedêca dos lmaes. Fote: adaptado de AULET, Redução da ceteza a aálse de feqüêca devdo ao uso de dados ão sstemátcos Os dados ão sstemátcos paleovazões e cheas hstócas podem se bastate valosos a aálse de feqüêca de vazões de echetes. Váos autoes OSKIG e WALLIS, 986a, 986b; STEDIGER e CO, 986; CO e STEDIGER, 987; SUTCLIFFE, 987; GUO e CUAE, 99; FRACÉS et al., 994; CO et al., 997; MARTIS e STEDIGER, 000, 00a, 00b; BAYLISS e REED, 00; O COELL et al., 00; AULET, 00; BEITO et al., 004 demostaam que a copoação de dados ão 4

58 sstemátcos a aálse de feqüêca pode estede sgfcatvamete o peíodo de obsevação, eduzdo o gau de extapolação e melhoado o ível de cofabldade a estmação do sco assocado a evetos aos. Segudo Salas et al. 994, o uso de fomações hstócas e paleohdológcas povê a mas abagete ecostução da magtude e feqüêca das cheas ocodas ates do peíodo de egstos sstemátcos. Paet e Bee 003 afmam que, ada que esses dados sejam espasos e mutas vezes mpecsos, eles povêem valosas fomações sobe o compotameto das dstbuções de feqüêca o domío das cheas extemas. De acodo com Thodycaft et al. 003, a acuáca das estmatvas de vazões deduzdas de evdêcas hstócas e paleohdológcas de cheas tem aumetado ecetemete, com a melhoa da capacdade computacoal e com o desevolvmeto de ovas tecologas paa obteção de dados topogáfcos, o que pemte eleva a efcêca da modelagem hdáulca usado modelos u e bdmesoas. É clao que a edução das cetezas evolvdas a estmação dos paâmetos e quats depede de algus fatoes, dete os quas destacam-se: a dstbução de pobabldades selecoada modelos de dos ou tês paâmetos, o método de estmação dos paâmetos MP, MVS ou EMA, 3 o tpo de fomação ão sstemátca dspoível cesuada, bomal cesuada ou cesuada em um tevalo, e 4 a abodagem usada a detemação da amosta sée de vazões máxmas auas ou sée de duação pacal. De maea geal, os tabalhos ealzados demostam que o valo da fomação ão sstemátca é mao quado tês paâmetos pecsam se estmados, e que, em temos de edução da vaâca dos estmadoes paamétcos, o método do máxmo de veossmlhaça é o mas efcete. Coh e Stedge 987 defam o tamaho efetvo da amosta effectve ecod legth ERL como o úmeo de aos de dados sstemátcos que poduzam, paa um detemado quatl T, o mesmo eo quadátco médo mea squae eo MSE obtdo utlzado-se uma combação de dados sstemátcos e ão sstemátcos. O tamaho efetvo da amosta é dado po: MSE ˆ T S,0 ERL S, S ˆ 3.75 MSE T S, 43

59 ode ˆ ˆ MSE T E[ T T ], S é o úmeo de aos do peíodo sstemátco e é o úmeo de aos do peíodo ão sstemátco. Paa um peíodo sstemátco de tamaho defdo, o tamaho efetvo da amosta ERL cesce de foma apoxmadamete lea à medda que o úmeo de aos do peíodo ão sstemátco aumeta. Coh e Stedge 987 defam ada o gaho magal magal ga MG, que epeseta uma medda da efcêca com que a fomação ão sstemátca é exploada paa eduz a ceteza assocada à utlzação de uma amosta elatvamete cuta de dados sstemátcos. O gaho magal é dado po: ERL S, MG S 3.76 Caso ão se dspoha de dados ão sstemátcos pecsos, melhoas sgfcatvas são alcaçadas com o uso de fomação bomal cesuada. Especalmete quado o peíodo de etoo do lma de efeêca é elevado, a dfeeça ete o gaho obtdo com a utlzação de fomação cesuada ou bomal cesuada é despezível. Mats e Stedge 00b cocluíam que o uso de fomação ão sstemátca pode se de gade mpotâca, e que a escolha da abodagem baseada em sées de vazões máxmas auas ou em sées de duação pacal ão esulta em dfeeças cosdeáves. 44

60 4 ABORDAGEM BAYESIAA A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VAZÕES MÁIMAS AUAIS 4. Itodução Cofome descto o Capítulo, algumas cetezas atual, estatístca e do modelo são eetes aos pocedmetos de aálse de feqüêca de cheas, os quas pemtem fe sobe a ocoêca de vazões futuas, usado um modelo pobablístco coveete, cujos paâmetos descohecdos são estmados a pat de uma amosta patcula. o etato, os métodos clásscos de aálse de feqüêca ão pemtem cosdea adequadamete as cetezas evolvdas, podedo coduz a decsões coetas. Uma maea coeete de lda com esse poblema é utlza os pocedmetos de feêca bayesaa, que pemtem leva em cota a ceteza estatístca e eu toda a fomação dspoível, seja ela hstóca, paleohdológca, egoal ou subjetva. a aálse bayesaa de feqüêca, a dstbução de pobabldades da vaável aleatóa de teesse vazão máxma aual, o caso do pesete estudo é combada com alguma fomação avalada a po, que possa paece petete, paa poduz estmatvas mas cofáves da pobabldade de ocoêca de ceáos futuos. Os pcpas aspectos efeetes à aplcação da estatístca bayesaa a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas seão apesetados esse capítulo. 4. Teoema de Bayes o cotexto da aálse bayesaa de feqüêca, o teoema de Bayes, devdo ao matemátco glês Thomas Bayes 70-76, costtu uma feameta fudametal. Ele esulta de uma teessate combação ete a ega da multplcação e o teoema da pobabldade total. As agumetações de aghett e Pto o pelo, elatvas a esses dos teoemas, são desctas a segu. Supoha que o espaço amostal Ω de um ceto expemeto seja o esultado da uão de k evetos mutuamete excludetes B, B,..., B, todos com pobabldade de ocoêca k dfeete de zeo. Cosdee, também, um eveto A, cuja pobabldade de ocoêca é P A] P[ B A] P[ B A]... P[ B ]. Essa stuação é lustada a Fgua 4.. [ k A 45

61 46 FIGURA 4.: Dagama de Ve paa o Teoema da Pobabldade Total. Usado a defção de pobabldade codcoal, a pobabldade de ocoêca do eveto A é dada pela equação 4., que é a expessão fomal do chamado teoema da pobabldade total: ] [ ] [... ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ k k B A P B P B A P B P B A P B P A P k B A P B P A P ] [ ] [ ] [ 4. Cosdeado ovamete a stuação mostada a Fgua 4., a pobabldade de ocoêca de qualque um dos evetos mutuamete excludetes B, po exemplo, codcoada à ocoêca do eveto A, é expessa po: ] [ ] [ ] [ A P A B P A B P 4. Pela ega da multplcação, o umeado do segudo membo da equação 4. pode se expesso po ] [ ] [ B P B A P, equato o deomado pode se posto a foma do teoema da pobabldade total. A equação esultate é a expessão do teoema de Bayes: ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ k B P B A P B P B A P A B P 4.3 Ω B B A B B 3 B B k A B A B 3 A B k A B A

62 De acodo com Lee 989, a estatístca bayesaa evolve sempe a defção de duas pobabldades paa uma ceta hpótese: uma codcoal a pobabldade a po e outa codcoada a alguma evdêca a pobabldade a posteo. esse setdo, aghett e Pto o pelo agumetam que o teoema de Bayes costtu um quado lógco mpotate paa a evsão ou a atualzação de pobabldades pevamete estabelecdas, à luz de ovas fomações. Paa exemplfca tal possbldade, cosdee a ecessdade hpotétca de se calcula a pobabldade de que a tempeatua míma em um da qualque de Jaeo, um dado local, esteja acma de 5ºC. esse caso, seja B o eveto coespodete às tempeatuas mímas dáas supeoes a 5ºC e mutuamete excludetes e que, potato, c B o eveto complemeta, de tal maea que eles sejam B B c Ω. Se a úca fomação dspoível é que o eveto B ocoeu em 5 dos 3 das do mês de Jaeo, é atual que a pobabldade P [B] seja estmada pela feqüêca elatva dos das de Jaeo em que a tempeatua míma excedeu 5ºC, esse caso 5/ 3 80,65%. Deto do cotexto do teoema de Bayes, essa estmatva é deomada pobabldade a po ou subjetva, dcado o gau de cofaça cal do meteoologsta quato à ocoêca de B. Etetato, a tempeatua míma dáa pode se afetada pela ocoêca de pecptações aquele da e, supodo que se peveja um da chuvoso, tal ceáo cetamete á modfca a pobabldade a po P [B]. Paa copoa essa ova fomação, é pecso cohece as estmatvas de P [A] e P [ A B], que deotam, espectvamete, as pobabldades de ocoe chuva em um da qualque de Jaeo e apeas os das com tempeatua míma mao que 5ºC. Supoha que a aálse de feqüêca dos egstos hstócos esulte a estmatva de 8 das chuvosos em Jaeo, dos quas 5 apesetam tempeatua míma dáa supeo a 5ºC. Assm, P [ A] 8/3 e P [ A B] 5/ 5. Com essas estmatvas a equação 4.3, e lembado que o deomado da efeda equação é, de fato, a P [A], tem-se: P[ A B] P[ B] 5/ 5 5/3 P [ B A] 83,33% P[ A] 8/ 3 Essa é a pobabldade a posteo, evsada pela copoação da fomação de que o eveto A ocoeu. 47

63 4.3 Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas A copoação da estatístca bayesaa a aálse de feqüêca de cheas tem sdo objeto de estudo de váos autoes. Adotado essa abodagem, é possível desevolve uma dstbução magal de pobabldades paa evetos futuos de cheas, que pemte leva em cota as cetezas do feômeo atual, bem como aquelas assocadas à estmação dos paâmetos da dstbução BEJAMI e CORELL, 970; WOOD et al., 974; VICES et al., 975; WOOD e RODRIGUEZ-ITURBE, 975a; WOOD, 978. Algus tabalhos copoam ada as cetezas efeetes à escolha do modelo pobablístco WOOD et al., 974; WOOD e RODRIGUEZ-ITURBE, 975b. Emboa estejam foa do escopo da pesete dssetação, exstem estudos que, sob a ótca bayesaa, estabelecem também pocedmetos paa a detemação de uma vazão de pojeto ótma q T, estmada de foma que um detemado ctéo ecoômco seja obedecdo BEJAMI e CORELL, 970; DAVIS et al., 97, 979; WOOD e RODRIGUEZ-ITURBE, 975a. Em mutos casos, a aálse bayesaa de feqüêca de cheas eque o uso de pocedmetos umécos avaçados, como os mplemetados os softwaes FLIKE KUCZERA, 999 e FLDFRQ3 O COELL et al., 00. O softwae FLIKE, descto bevemete o tem 4.5, seá utlzado paa a ealzação do estudo de caso elatado o Capítulo 5. Os pocedmetos de feêca bayesaa apesetados po Wood et al. 974 e Lee 989 seão adotados essa dssetação e desctos os póxmos tes Ifeêca bayesaa Cosdee a stuação em que um hdólogo é solctado a elaboa estmatvas sobe a feqüêca de ocoêca de vazões extemas. Ates de utlza os dados fluvométcos do local de teesse, ele podeá eu toda a fomação dspoível sobe o cojuto de paâmetos do modelo, epesetado pelo veto Θ θ, θ,..., θ. Essa fomação seá k descta a po po uma dstbução de pobabldades, epesetado aqulo que o hdólogo pôde fe sobe os paâmetos do modelo dstbutvo, à luz, po exemplo, de modelos egoas e/ou de seu cohecmeto acumulado ao logo dos aos. Assm, dado o mesmo cojuto de fomações cas, é bastate plausível que duas pessoas fomulem dstbuções de pobabldades a po dsttas. Quado, calmete, ada se pode fe sobe os paâmetos ou as fomações dspoíves ão são sufcetemete fotes, pode-se 48

64 adota uma dstbução de pobabldades a po ão fomatva, expessa, po exemplo, po uma dstbução ufome. O hdólogo, agoa, podeá laça mão da amosta de vazões máxmas auas do local de teesse, deotada po Q q, q,..., q, a qual pesume-se te sdo etada da população descta pela dstbução f q Θ, codcoada ao veto de paâmetos Θ. É mpotate saleta que a amosta Q deve se costtuída pela mao quatdade possível de fomações sobe cheas, podedo, cofome exposto o Capítulo 3, copoa dados sstemátcos e ão sstemátcos em um cotexto cesuado S. O teoema de Bayes, apesetado o tem 4., pode também se utlzado paa se ealza feêcas sobe uma detemada vaável aleatóa, ao vés de feêcas sobe a ocoêca de evetos específcos. Dessa foma, a dstbução de pobabldades a po dos paâmetos pode se atualzada pelos dados fluvométcos locas, esultado a dstbução de pobabldades a posteo dos paâmetos, como mosta a equação 4.4, que epeseta a expessão do teoema de Bayes paa vaáves aleatóas cotíuas: f q Θ f0 Θ f Θ Q 4.4 f q Θ f Θ dθ Θ 0 essa equação, f Θ é a dstbução de pobabldades a posteo dos paâmetos, Q codcoada aos dados fluvométcos; f q Θ é a dstbução de pobabldades das vazões máxmas auas, codcoada ao veto de paâmetos; e f é a dstbução de pobabldades a po dos paâmetos. 0 Θ o cotexto do teoema de Bayes, as vaáves aleatóas paa as quas busca-se fomula uma dstbução de pobabldades são os paâmetos do modelo. Assm, uma vez que os dados fluvométcos já foam obsevados, a amosta é cosdeada fxa e a dstbução de pobabldades das vazões máxmas auas passa a se deotada po L Θ Q, tepetada como a fução de veossmlhaça dos paâmetos descohecdos, dada a amosta. Cosdeado-se que o deomado da equação 4.4 esulta em uma fução depedete apeas de q, e que, como efatzado ateomete, a aplcação do teoema de Bayes, os 49

65 dados fluvométcos ão são cosdeados vaáves, esse temo pode se tatado como uma costate de omalzação, e a equação 4.4 pode se eescta da segute foma: f Θ Q L Θ Q f Θ Pode-se pecebe que a dstbução de pobabldades a posteo dos paâmetos é obtda po meo de uma combação ete a fomação avalada a po e a fomação foecda pelos dados fluvométcos. Dessa foma, fca clao que, paa uma dada amosta de vazões máxmas auas, a fomulação de dfeetes dstbuções a po esultaá em dstbuções a posteo dsttas veja Fgua 4.. Etetato, à medda que aumeta a quatdade de fomação cotda a fução de veossmlhaça, a utlzação de dfeetes dstbuções a po se toa cada vez meos mpactate, coduzdo a dstbuções a posteo cada vez mas paecdas. Em outas palavas, asstotcamete, a fução de veossmlhaça doma a dstbução a po. Fução de veossmlhaça f Θ Dstbução a posteo Dstbução a po Θ Dstbução a po Dstbução a posteo Fução de veossmlhaça Dstbução a po Dstbução a posteo Θ Fução de veossmlhaça Θ FIGURA 4.: Dfeetes dstbuções a posteo, esultates da combação de dfeetes dstbuções a po e fuções de veossmlhaça. Fote: adaptado de WOOD et al., 974. A Fgua 4.3 mosta como o pocessameto, po meo do teoema de Bayes, da fomação a po sobe os paâmetos esulta em fomações com meo gau de ceteza a posteo. 50

66 Ifomação a po f 0 Θ Ifomação a posteo f Θ Q L Θ Q Θ Teoema de Bayes f Θ Q L Θ Q f 0 Θ Θ Θ Decsão Dados Fução de veossmlhaça FIGURA 4.3: Aplcação do Teoema de Bayes a aálse de feqüêca de cheas. Fote: adaptado de PARET e BERIER, 003. esse mometo, o hdólogo dspõe de duas dstbuções de pobabldades: f q Θ, que modela as vazões máxmas auas e depede do veto de paâmetos, cujos vedadeos valoes populacoas são descohecdos, e f Θ, que epeseta o compotameto dos Q paâmetos do modelo dstbutvo, após a aálse de toda a fomação dspoível. Paa fe sobe a ocoêca de evetos futuos de cheas, o hdólogo deve, etão, possegu com a aálse bayesaa de feqüêca utlzado uma das duas abodages apesetadas a lteatua. A pmea cosste em ecota o estmado potual ótmo ou estmado * * bayesao do veto de paâmetos, deotado po Θ, e utlza a dstbução f q Θ paa modela as vazões máxmas auas. A seguda busca fomula uma dstbução de pobabldades depedete das estmatvas dos paâmetos, chamada dstbução bayesaa ou pedtva. Essas abodages são desctas a segu Estmação potual bayesaa Seja l Θˆ, Θ uma fução que epeseta a peda vefcada quado o estmado Θˆ é usado o luga do veto Θ, que cotém os vedadeos valoes populacoas dos paâmetos. Uma vez que, a aálse bayesaa, os paâmetos são tatados como vaáves aleatóas, a fução de peda também o seá, e o seu valo espeado pode se expesso po: 5

67 E l Θˆ, Θ] l Θˆ, Θ f Θ Q dθ 4.6 [ Θ * O estmado bayesao ótmo Θ é aquele que mmza a peda espeada em todo o domío de Θ, ou seja: Θ * m E [ l Θˆ, Θ] 4.7 Depededo da foma da fução de peda, dfeetes estmadoes bayesaos ão mmza a equação 4.6. Cofome descto em Wood et al. 974, paa uma fução de peda quadátca, do tpo l Θˆ, Θ c Θˆ Θ, ode c é uma costate, o estmado bayesao ótmo é o valo espeado de Θ. Potato: Θ * E [ Θ] Θ Θ f Θ µ Θ Q dθ 4.8 essas codções, como o estmado bayesao mmza uma fução de peda quadátca, ele é cosdeado o estmado ótmo em temos de mímos eos quadados Dstbução bayesaa A dstbução bayesaa ou pedtva pode se ecotada tegado-se, em todo o domío de Θ, a dstbução cojuta das vazões máxmas auas e dos paâmetos, de foma a obte uma dstbução magal de q, ou seja: ~ f q f q Θ f Θ Q dθ 4.9 Θ ~ ode f q é a dstbução bayesaa de pobabldades das vazões máxmas auas dstbução magal de q e f q Θ f Θ Q f q, Θ epeseta a dstbução cojuta de pobabldades das vazões máxmas auas e dos paâmetos do modelo. A dstbução bayesaa de pobabldades pode se vsta como o valo espeado da dstbução f q Θ, levado-se em cota todos os valoes possíves dos paâmetos. Como demostado po Wood et al. 974, apeas a abodagem baseada a fomulação da dstbução bayesaa pemte cosdea adequadamete toda a ceteza elatva aos 5

68 paâmetos do modelo. De fato, o pocedmeto de estmação potual bayesaa, ao empega apeas o pmeo mometo µ, ão utlza todo o cohecmeto dspoível sobe o veto de Θ paâmetos, epesetado pela dstbução f Θ. Isso á esulta a subestmação da Q vaâca das vazões máxmas auas, e as feêcas sobe q ão efletão completamete as cetezas exstetes. Paa a gade maoa das dstbuções de pobabldades utlzadas a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas, algus métodos umécos pecsam se mplemetados paa a esolução da equação 4.9. Etetato, se a dstbução de pobabldades a po dos paâmetos fo expessa em um fomato adequado, defdo como a foma atual cojugada de L Θ Q, f Θ apesetaá o mesmo fomato que f. essas codções, como Q demostado po Wood et al. 974, Stedge 983 e Lee 989, as dstbuções ~ f Θ e f q podem se avaladas aaltcamete paa os casos em que são empegados Q cetos modelos dstbutvos comus, tas como o omal e o Log-omal paâmetos. 0 Θ 4.3. Ifeêca bayesaa paa a dstbução omal Fomulação da dstbução a po e a posteo paa os paâmetos Seja Q uma amosta ão cesuada, costtuída po vazões máxmas auas obsevadas o peíodo sstemátco. Admtdo que essa amosta teha sdo extaída de uma população modelada pela dstbução omal, com méda µ e vaâca σ descohecdas, a fução desdade de pobabldade das vazões máxmas auas seá: f q µ, / exp q µ 4.0 Cosdeado o pcípo da depedêca seal, a fução de veossmlhaça é dada pela equação 4.: L µ, Q f µ, q / L µ, Q exp q µ 53

69 54 / exp, q q q Q L µ µ / exp, q s Q L µ ν µ 4. ode: q q méda amostal q q s vaâca amostal ν Supoha que o cohecmeto a po sobe a vaâca seja expesso po um múltplo da dstbução Qu-Quadado vesa, com 0 0 ν gaus de lbedade, tal que: ~ χ ν ν s 0 0 / 0 exp 0 ν ν s f ] [ > ν ν ν s E ] [ ] [ > ν ν ν ν ν s E VAR 4. Supoha, também, que a dstbução a po da méda µ, codcoada a, seja omal, com méda 0 m e vaâca 0 /, tal que: ] /, [ ~ 0 m 0 µ 0 0 / 0 0 exp m f µ µ 0 ] [ m E µ ] [ > ν ν ν µ s VAR 4.3

70 Potato, paa os paâmetos µ e, a dstbução cojuta a po seá uma omal/qu- Quadado vesa, dada pela equação 4.4, que costtu uma foma atual cojugada da fução de veossmlhaça L µ, Q. f µ, f 0 f 0 µ 0 [ ] s ν [ ν / ] 0 f µ, exp µ m Aplcado o teoema de Bayes paa vaáves aleatóas cotíuas, pode-se, etão, ecota a dstbução cojuta a posteo dos paâmetos, que também seá uma omal/qu- Quadado vesa: f µ, Q L µ, Q f 0 µ, [ ] s ν s ν µ q µ [ ν / ] 0 f µ, Q exp m 0 [ ] s ν [ ν / ] f µ, Q exp µ m 4.5 ode: 0 m 0 m0 q ν ν 0 ν ν 0 s s0 ν 0 s ν 0 m0 q m ν Detemação da dstbução bayesaa das vazões máxmas auas A dstbução bayesaa das vazões máxmas auas é ecotada aplcado-se a equação 4.9. Se a dstbução a posteo dos paâmetos µ e é uma omal/qu-quadado vesa, dada pela equação 4.5, e se as vazões máxmas auas são modeladas po uma 55

71 dstbução omal, cofome a equação 4.0, tal que q ~ [ µ, ], é possível demosta que a dstbução bayesaa de q seá t de Studet veja Aexo B: ~ f q f q, µ µ f µ, Q d dµ ~ f q B ν / / ν q m sν, / 4.6 s ν ode: B ν, / π Γ ν / Γ ν Em coseqüêca, as vazões máxmas auas q seão dstbuídas cofome a equação 4.7: s q m / ~ t ν 4.7 Caso seja adotada uma dstbução a po ão fomatva, m, s, e ν assumão seus valoes amostas q, s, e ν. Dessa foma, feêcas sobe um pocesso omal, com méda e vaâca descohecdas, seão fetas usado uma dstbução t de Studet, que pemte cosdea completamete as cetezas elatvas aos paâmetos. Paa os mesmos dados amostas, a foma da dstbução t de Studet é paecda com a da dstbução omal. A pmea, o etato, possu mao vaâca WOOD et al., Ifeêca bayesaa paa a dstbução Log-omal paâmetos Cosdee, agoa, que as vazões máxmas auas sejam modeladas pela dstbução Log- omal paâmetos. esse caso, os pocedmetos da aálse bayesaa de feqüêca seão aálogos àqueles dscutdos o tem 4.3., que se efee à stuação em que os dados fluvométcos são modelados pela dstbução omal. A úca dfeeça é que a amosta a se utlzada seá costtuída pelos logatmos das obsevações de vazões máxmas auas do local de teesse. 56

72 Exemplo de aplcação: o São Facsco em Maga Com o tuto de demosta a aplcação dos pocedmetos desctos ateomete, fo ealzada a aálse bayesaa de feqüêca de cheas o o São Facsco, em Maga posto fluvométco , com km² de áea de deagem. As fomações dspoíves são: a sée de vazões máxmas auas do efedo posto fluvométco, mostada o Aexo E, e um cojuto hpotétco de fomações a po sobe os paâmetos do modelo dstbutvo, poveetes, po exemplo, de uma aálse egoal. Como, po pessuposto, a vaável aleatóa q é modelada pela dstbução Log-omal paâmetos, fo utlzada uma amosta costtuída pelos logatmos das vazões máxmas auas obsevadas em Maga, tal que x lq. As estmatvas amostas dos paâmetos, obtdas pelo método dos mometos, são: 64 x 8,778 ν 63 s 0,0799 As caacteístcas a po da vaâca e da méda dos logatmos das vazões, supostamete obtdas po aálse egoal, são: E [ ] 0,090 VAR [ ] 0,05 E [ µ ] 8,600 VAR [ µ ] 0,05 Potato, usado as equações 4. e 4.3, tem-se os paâmetos da dstbução a po, dada pela equação 4.4: ν 0 [ 0,090 0,05] 4 5, m 8,600 0 s 0 [0, ] 5 0,054 57

73 Combado as estmatvas amostas e as estmatvas baseadas a fomação a po, como mostado a equação 4.5, tem-se os paâmetos da dstbução a posteo: 70 m 8,757 ν 69 s 0,079 Paa esse exemplo, a fução de veossmlhaça e as dstbuções a po e a posteo dos paâmetos µ e são mostadas as Fguas 4.4, 4.5 e 4.6, espectvamete. Pode-se pecebe que a utlzação de fomações avaladas a po, emboa elatvamete meos pecsas que a fomação cotda a fução de veossmlhaça, esulta em uma dstbução a posteo com meo gau de cetezas Lµ, [x0-5 ] µ 9.0 FIGURA 4.4: Fução de veossmlhaça fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga. 58

74 f 0 µ, µ 8.9 FIGURA 4.5: Dstbução a po fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga f µ, [x0-4 ] µ 9.0 FIGURA 4.6: Dstbução a posteo fomulada paa a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga. 59

75 A dstbução bayesaa dos logatmos das vazões máxmas auas pode se ecotada usado a equação 4.7, e, paa a dstbução a posteo fomulada ateomete, seá expessa po: l q 8,757 0,079 70/ 7 ~ t 69 l q 8,757 ~ t 0, A Tabela 4. apeseta os peíodos de etoo, assocados aos quats de teesse, paa a dstbução bayesaa cosdeado a dstbução a po fomatva ou ão fomatva e paa a dstbução clássca com os paâmetos estmados pelo método dos mometos. As espectvas cuvas de quats são mostadas a Fgua 4.7. TABELA 4.: Resultado da aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos. Tempo de etoo aos Vazão AF bayesaa AF bayesaa AF clássca m³/s Dst. a po Dst. a po MOM ão fomatva fomatva

76 Vazão m³/s Dados sstemátcos L MOM L Bayesaa po fomatva L Bayesaa dados sstemátcos e po ão fomatva L Bayesaa dados sstemátcos e po fomatva Tempo de etoo aos FIGURA 4.7: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos. Pode-se ota que, a egão em que a dstbução esultate do uso exclusvo das fomações avaladas a po apeseta um compotameto coeete com os dados amostas dgamos, até ceca de 00 aos de tempo de etoo, a dstbução bayesaa obtda combado-se os dados sstemátcos e a dstbução a po fomatva é o esultado de uma podeação ete as dstbuções fomuladas usado apeas as fomações a po ou apeas os dados sstemátcos sto é, cosdeado uma dstbução a po ão fomatva. É teessate pecebe ada que, ao se leva em cota a ceteza elatva aos paâmetos, vazões maoes são obtdas paa o mesmo tempo de etoo. Em geal, quado a mesma fomação é utlzada, a abodagem bayesaa coduz a uma dstbução mas cosevadoa. 4.4 Redução da ceteza a aálse de feqüêca devdo ao uso da teoa bayesaa A edução da ceteza devdo ao uso da teoa bayesaa está lgada ao fato de que essa abodagem pemte cosdea adequadamete a ceteza estatístca evolvda em uma aálse de feqüêca. Assm, pode-se dze que a abodagem bayesaa coduz, a vedade, a uma melho descção da ceteza. Ao se cosdea os paâmetos do modelo pobablístco 6

77 como vaáves aleatóas, eles podem se modelados, calmete, po uma dstbução a po epesetado algum cohecmeto avalado um pmeo mometo sobe Θ e, após a aálse dos dados fluvométcos, po uma dstbução a posteo. Os dados fluvométcos são epesetados po uma amosta de dados sstemátcos e, caso teham sdo ecotados, dados ão sstemátcos de cheas. Quado ão estveem dspoíves fomações cofáves sobe Θ, pode-se adota uma dstbução a po ão fomatva, e a dstbução a posteo seá popocoal à pópa fução de veossmlhaça dos paâmetos, dada a amosta obsevada. A dstbução a posteo pode, etão, se usada paa a obteção de uma dstbução magal de q, esultate de uma tegação em todo o domío de Θ. Essa dstbução, lve das cetezas assocadas à estmação dos paâmetos, é chamada dstbução bayesaa. A dstbução bayesaa pemte faze feêcas sobe q, levado-se em cota a ceteza sobe o vedadeo valo populacoal de Θ e a ceteza esdual sobe q, quado Θ é cohecdo LEE, O softwae FLIKE: uma feameta computacoal paa aálse bayesaa de feqüêca de vaáves hdológcas Kuczea 999 desevolveu o softwae FLIKE, que pemte utlza, a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas, dados sstemátcos, dados ão sstemátcos e fomações avaladas a po sobe os paâmetos. Cco dstbuções de pobabldades feqüetemete empegadas em hdologa foam mplemetadas o FLIKE: Log-omal paâmetos, Gumbel, Log-Peaso III, Geealzada de Valoes Extemos e Geealzada de Paeto. Segue uma beve descção dos pocedmetos copoados esse softwae, o qual ecota-se dspoblzado a pat da URL Fomulação das dstbuções a po e a posteo dos paâmetos Uma vez que o FLIKE dspõe de váas dstbuções de pobabldades paa a aálse de feqüêca de cheas, a dstbução a posteo dos paâmetos, ao cotáo do que fo exposto os tes 4.3. e 4.3.3, é obtda po meo da esolução uméca da equação 4.5, com L Θ Q e f fomuladas como apesetado a segu. 0 Θ 6

78 63 Cosdee uma amosta de S vazões máxmas auas dados sstemátcos e t cojutos de dados ão sstemátcos cesuados, cada um deles caactezado po um peíodo hstóco de j aos, os quas um lma de efeêca j y fo exceddo j k vezes, po evetos cuja magtude ão se pode estma com pecsão amosta bomal cesuada. essa stuação, cofome dscutdo o tem 3.5., a fução de veossmlhaça dos paâmetos é dada po: Θ Θ Θ Θ t j k j k j j j j j j S y F y F k q f Q L ] [ ] [ 4.8 ode Θ q f é a fução desdade de pobabldade e Θ < Θ y q P y F é a fução acumulada de pobabldade das vazões máxmas auas. A dstbução de pobabldades a po dos paâmetos é epesetada po uma dstbução omal multvaada, tal que, ~ Θ Θ µ Θ Σ, ode Θ µ é o veto das médas e Θ Σ é a matz de covaâca dos paâmetos, a qual pode se expessa po: T R Θ Θ Θ Θ Σ σ σ 4.9 a equação 4.9, Θ R é a matz dos coefcetes de coelação e Θ σ é o veto dos desvospadão dos paâmetos. Paa um modelo dstbutvo de tês paâmetos, tem-se: Θ Θ Θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ σ µ R s s s m m m 4.0 O FLIKE pemte ealza a aálse bayesaa de feqüêca utlzado uma dstbução de pobabldades a po fomatva ou ão fomatva. Quado, calmete, ão se dspõe de fomações elevates sobe os paâmetos, Θ µ, Θ σ e Θ R são expessos da segute foma: Θ Θ Θ R σ µ 4.

79 4.5. Detemação da dstbução bayesaa da vaável hdológca ~ o softwae FLIKE, a dstbução bayesaa de pobabldades f q é epesetada pela chamada dstbução da pobabldade espeada PoE, que cosste a detemação do valo espeado da pobabldade de excedêca do quatl q, assocado ao tempo de etoo T T. Seja P q q defda po: T P q qt ~ f q dq 4. T q T ~ Como f q é dado pela equação 4.9, pode-se eesceve a equação 4. da segute foma: P q qt Θ f q Θ dq f q T Θ Θ Q dθ P q q P q q Θ f Θ Q dθ 4.3 T T ode P q q T Θ epeseta a pobabldade de excedêca do quatl q, dado o veto de T paâmetos Θ, e P q q deota o valo espeado da pobabldade de excedêca do T quatl q, levado-se em cota todos os valoes possíves de T Θ. Paa tega a equação 4.3, utlza-se uma técca de Mote Calo que pemte a geação de amostas aleatóas de uma dstbução de pobabldades. Essa técca, cohecda como mpotace samplg, poduz uma amosta de vetoes de paâmetos pesos omalzados, expessos po p w j w j Θ e seus espectvos. Paa sua aplcação, é ecessáo def uma fução desdade de pobabldade I Θ mpotace pobablty desty fucto, capaz de pove uma apoxmação azoável de f Θ, tal que w f Θ Q I Θ. Q Kuczea 999 demostou que, expessado-se I Θ como uma dstbução omal multvaada coveete, é possível alcaça apoxmações satsfatóas de f Θ, à Q medda que o peíodo de dados sstemátcos se apoxma de 50 aos. A fução I Θ, dada pela equação 4.4, pode se avalada medate uma apoxmação de seguda odem da 64

80 dstbução f Θ, o que esulta em uma dstbução omal multvaada, cuja matz de Q covaâca deve se multplcada po uma fato de escala γ com valoes típcos a faxa de,5 a,5, paa assegua que I Θ poduza amostas epesetatvas de toda a dstbução f Θ. Q ˆ I Θ ~ [ Θ, γ ] 4.4 Σ Θ o softwae FLIKE, a apoxmação dada po I Θ pode se vefcada vsualmete, como exemplfcado a Fgua 4.8. Essa fgua mosta a supefíce da dstbução a posteo dos paâmetos de posção e foma da dstbução GEV, com o paâmeto de escala fxo em seu valo mas povável. A elpse tacejada é o lmte da egão de 90% de pobabldade, baseada a apoxmação omal multvaada da equação 4.4. O cotoo macado pela leta R egloba a egão de 90% de pobabldade da dstbução a posteo f Θ. Se a Q apoxmação dada po I Θ fo adequada, a elpse tacejada e o cotoo R devem se vtualmete cocdetes. FIGURA 4.8: Supefíce da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e foma da GEV e egão de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada. 65

81 Utlzado a técca mpotace samplg, os quats da dstbução da pobabldade espeada, coespodete à equação 4.3, podem se estmados po: ode: P ˆ q q P q q Θ p 4.5 T T p w j w j w f Θ Q I Θ A Fgua 4.9 mosta a dstbução da pobabldade espeada, calculada usado o softwae FLIKE, paa o exemplo do tem As cuvas apesetadas se efeem à stuação em que ehuma fomação a po sobe os paâmetos fo cosdeada. Como ea espeado, a dstbução bayesaa calculada umecamete pelo FLIKE cocde com a dstbução obtda aaltcamete Vazão m³/s Dados sstemátcos L MOM L Bayesaa - Método aalítco dados sstem. e po ão fomatva L Bayesaa PoE - Método uméco FLIKE dados sstem. e po ão fomatva Tempo de etoo aos FIGURA 4.9: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em Maga, usado a dstbução Log-omal paâmetos e o softwae FLIKE. 66

82 4.5.3 Estmação potual bayesaa e cálculo dos tevalos de cedbldade dos quats o softwae FLIKE, fo mplemetado também um pocedmeto de estmação potual bayesaa, que pemte obte a chamada dstbução dos paâmetos espeados PaE. A técca mpotace samplg é ovamete utlzada, possbltado a esolução da equação 4.8 po meo da segute expessão: ode: Θ * E[ Θ] Θ 4.6 p p w j w j w f Θ Q I Θ * A dstbução f q Θ seá, etão, a dstbução dos paâmetos espeados, cujos quats de * tempo de etoo T são deotados po q Θ. Os tevalos de 00 α% de cedbldade T ou tevalos de cofaça bayesaos são calculados odeado-se os quats q Θ e T ecotado-se aqueles cujas pobabldades de excedêca são apoxmadamete α / e α /. Esses quats seão, espectvamete, o lmte supeo e o lmte feo do tevalo. 67

83 5 ESTUDO DE CASO: BACIA DO RIO SÃO FRACISCO EM SÃO FRACISCO 5. Itodução esse capítulo, um estudo de caso é desevolvdo com o tuto de aplca os cohecmetos efeetes à utlzação dos dados ão sstemátcos e da abodagem bayesaa a aálse de feqüêca de vazões máxmas auas. Paa sso, fo escolhda a baca do o São Facsco, uma das mas mpotates do País, e que, po te sdo exploada desde a época do Basl Impéo, apeseta gade potecal elatvo à dspobldade de fomações sobe cheas hstócas. A metodologa empegada essa pesqusa cosste a ealzação, po meo do softwae FLIKE, da aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, utlzado-se: dos egstos sstemátcos de vazão do efedo posto fluvométco, de fomações sobe cheas hstócas coletadas a egão, e 3 de uma dstbução de pobabldades a po fomatva, tato do poto de vsta da pescção do modelo pobablístco, como das estmatvas de seus paâmetos. 5. Caactezação da baca hdogáfca do São Facsco A baca hdogáfca do São Facsco abage 5 mucípos e 7 udades da Fedeação, a sabe: Baha 48,% da áea de deagem, Mas Geas 36,8%, Peambuco 0,9%, Alagoas,3%, Segpe,%, Goás 0,5% e Dstto Fedeal 0,%. Com.800 km de extesão, e deado uma áea de apoxmadamete km², o o São Facsco asce a Sea da Caasta, em Mas Geas, e escoa o setdo sul-ote pela Baha e Peambuco, quado altea seu cuso paa sudeste, desembocado o Oceao Atlâtco ete Alagoas e Segpe. Devdo à sua extesão e aos dfeetes ambetes pecodos, a baca hdogáfca está dvdda em 4 techos: Alto São Facsco, Médo São Facsco, Sub-Médo São Facsco e Baxo São Facsco veja Fgua 5.. O o São Facsco atavessa egões com codções atuas bastate dvesas. Os extemos supeo e feo da baca apesetam ídces pluvométcos elatvamete altos, equato os techos Médo e Sub-Médo estão sedos em ambetes mas secos. Assm, ceca de 75% do deflúvo do São Facsco é geado em Mas Geas, uma áea coespodete a 37% da 68

84 áea total da baca. A áea compeedda ete a fotea Mas-Baha e a cdade de Juazeo BA epeseta 45% do vale e cotbu com apeas 0% do deflúvo aual. Os ecossstemas obsevados a mao pate da baca do São Facsco são o ceado e a caatga, vefcadose também fagmetos de mata atlâtca que ocoe o Alto São Facsco, pcpalmete as cabeceas e de ambetes costeos. o que se efee às caacteístcas geológcas, os aluvões ecetes, aetos e calcáos, que domam boa pate da baca, fucoam como vedadeas espojas, etedo água a estação chuvosa, e lbeado-a os meses de estagem. Essa baca hdogáfca é de fudametal mpotâca paa o País, devdo ao volume de água taspotado um ambete sem-ádo, o que tem cotbuído paa o desevolvmeto ecoômco da egão. Um aspecto sgfcatvo o ceáo socal e ecoômco da baca se efee à agcultua, tmamete lgada à gação de gades áeas. O o São Facsco é utlzado também paa outas faldades, destacado-se a geação de eega, o abastecmeto de água, a avegação, o tusmo e a pesca. Em gade pate do vale do São Facsco, as áeas mas popícas à utlzação ecoômca stuam-se às mages do o e, po esse motvo, ecotam-se desamete povoadas. Emboa, duate váos aos, o São Facsco fque estto à sua calha em boa pate da baca, peodcamete ocoem gades cheas, as quas as águas extavasam a calha do o, udado as áeas mas baxas e causado gaves pejuízos socas e ecoômcos à egão. O posto fluvométco de São Facsco, localzado o techo médo do o São Facsco, em Mas Geas, cofome lustado a Fgua 5., possu uma áea de deagem de km² e está em opeação desde 934 sua sée de vazões máxmas auas ca com o eveto do ao hdológco de 934/935, ou seja, de 0/0/934 a 30/09/935. Stuado ceca de 370 km a jusate do esevatóo de Tês Maas, com um cemeto a áea de deagem da odem de km², estudos, tas como o ealzado pela Comssão Itemsteal de Estudos paa Cotole das Echetes do Ro São Facsco 980, demostam a fluêca quase ula da opeação desse esevatóo os hdogamas das gades cheas ocodas em São Facsco. Ada de acodo com o estudo da efeda comssão, fo atbuída à baagem de Tês Maas a fução de potege a cdade de Papoa, stuada às mages do o São Facsco, cota echetes de até 50 aos de ecoêca. A exstêca de afluetes caudalosos e sem cotole, a jusate de Papoa, toa aquela baagem efcete paa a poteção de outas cdades, tas como São Facsco. 69

85 SEM ESCALA FIGURA 5.: Baca do o São Facsco. Fote: adaptado de 70

86 5.3 Coleta de fomações hstócas sobe cheas a baca do o São Facsco 5.3. Aspectos da metodologa A pesqusa po dados ão sstemátcos de vazões de echetes fo ealzada po meo da busca de egstos hstócos sobe cheas em aquvos e joas dos séculos VIII, I e íco do século, ecotados o Aquvo Públco Meo e a emeoteca stóca, destacadose os elatóos da Comssão Geogáfca e Geológca do Estado, poduzdos o fal do século I. Foam estudados também os egstos fetos po avetueos duate suas expedções cetífcas a dvesas egões do Basl, especalmete à etão Povíca das Mas Geas, ealzadas a pmea metade de século I. As pcpas efeêcas cosultadas são as obas dos atualstas Auguste de Sat-lae e José de Souza Azevedo Pzao; e do geólogo Wlhelm Ludwg Vo Eschwege. essas obas, os autoes elatam detalhadamete suas vages, apesetado fomações de otável teesse paa a stóa atual, a Geologa, a Geogafa, a dologa, a Etologa e, em meo escala, paa a Ecooma. Maoes detalhes sobe essas fotes de fomações hstócas são apesetados o Aexo B. O elatóo poduzdo pela Comssão Itemsteal de Estudos paa Cotole das Echetes do Ro São Facsco 980, que apeseta detalhes sobe a echete ocoda aquele o em 979, também foece fomações elevates sobe as maoes cheas do São Facsco. Duate a busca po fomações hstócas sobe cheas, pozou-se, a pcípo, a baca do o das Motes, havedo, esse mometo, a expectatva de que tas fomações fossem mas faclmete ecotadas devdo à exstêca de cdades hstocamete mpotates tas como Tadetes e São João del Re a efeda baca. Etetato, muto emboa os elatóos da Comssão Geogáfca e Geológca do Estado algus dados clmatológcos como tempeatua méda mesal, total mesal de pecptação e úmeo de das chuvosos o mês teham sdo ecotados paa locas e aos específcos, como, po exemplo, Damata 894 e Ubeaba 895, costatou-se que, devdo à foma como se apesetavam e às possíves tefeêcas atópcas a baca, úmeas dfculdades seam ecotadas paa tasfoma esses dados em fomações passíves de seem copoadas à aálse de feqüêca de cheas, da maea como fo descto o Capítulo 3. Além dsso, com o desevolve da pesqusa, pecebeu-se que a gade maoa das fomações dspoíves se efeam a aspectos ecoômcos, socas e cultuas da egão. 7

87 Optou-se, etão, po estede a busca à baca do o São Facsco, especalmete às suas cabeceas, ode se localza o posto fluvométco de Iguatama, um dos mas atgos da ede hdométca do Estado. A efeda baca fo exploada po dvesos atualstas, dete os quas destacam-se Sat-lae e Pzao, que desceveam suas pcpas obsevações em cas obas lteáas. Duate pate do peíodo que pemaeceu o Basl 86 a 8, Sat-lae pecoeu, em sua vagem pelas povícas do Ro de Jaeo e Mas Geas elatada com detalhes a oba de mesmo ome, o tajeto mostado a Fgua 5.. esse tajeto, que coespode em gade pate ao Camho ovo da Estada Real veja Fgua 5.3, o efedo atualsta segue do Ro de Jaeo ao Dstto Damato ode hoje se ecota o mucípo de Damata, exploado, também, os vales dos os Doce e Jequthoha. Posteomete, Sat-lae dgu-se à baca do o São Facsco, alcaçado sua magem deta a localdade deomada Capão do Cleto, de ode seguu paa jusate e motate, só abadoado a magem do o paa etoa à egão do Dstto Damato. Algumas peculadades do teáo pecodo a pate fal da vagem são apesetadas os techos tasctos a segu, extaídos de Sat-lae 975:... Iteáo apoxmado desde a etada do setão pelo lado do Pé do Moo até o Ro S. Facsco, passado po S. Elo, Fomgas e Cotedas: léguas Do Jequthoha a Taoba choupaa, ceca de... 6½ Rbeão fazeda... S. Elo fazeda... 4 Veados ao eleto... ½ Pdaíba luga abadoado... 4 Fomgas povoação... 3 Veados choupaa, ceca de... 3 Caçaa habtação... ½ Rachão habtação... 4 Racho de S. Loueço choupaa... 3½ De R. de S. Lou. a Cotedas povoação... 4 De R. de S. Lou. a Tamaduá pequea habtação... 3 De R. de S. Lou. a Tapea choupaa... 3½ De R. de S. Lou. a Capão do cleto, fazeda à magem do Ro S. Facsco Total... 50½ 7

88 ... A ceca de duas ou tês léguas da fazeda chamada Capão do Cleto, desc po uma ecosta ígeme a uma vasta plaíce. O calo toou-se mas fote ada do que os das pecedetes; o céu ão apesetava mas esse matz puo e blhate que adme tatas vezes, mas estava caegado de vapoes avemelhados. Peto de um eto, stuado a mea légua de Capão, a vegetação mudou buscamete; a tea, getada, estava ada extemamete seca, mas ea evdete que pouco ates estvea cobeta de água; duas platas esphosas, que ão ecotaa ada em pate alguma, fomavam aqu e al lagas motas: uma me paeceu dêtca a essa mmosa de floes amaelas e odoífeas, que se cultva o Ro de Jaeo sob o ome de espojea, a outa ea uma espéce de baua de folhas muto pequeas e floes esvedeadas Bauha udata,.. Esses vegetas ão tham peddo o vedo como as ávoes das caatgas, e a mmosa apesetava uma multdão de floes douadas em meo à folhagem de um vede escuo. Algumas espéces de pequeas aves que até etão ão se me tham ofeecdo à vsta, esvoaçavam sobe os abustos. Tudo aucava a fluêca de uma causa que ada ão peceba: chegue, efm, à habtação de Capão do Cleto, à magem do Ro S. Facsco, e ecohec que as mudaças que tato me mpessoavam eam devdas à vzhaça do o Fo, como já dsse, em Capão do Cleto, que adme pela pmea vez o Ro S. Facsco. Fu ecebdo hosptaleamete pelo popetáo de Capão, o S. Captão Cleto, e passe algus das em sua casa. O S. Cleto desceda de um dos paulstas que pmeo se fxaam às mages do o acma e abaxo de Capão. Estes ão fazam pate dos bados que fugam o combate do Ro das Motes. Eam dos pmos, Matas Cadoso e Maoel Facsco de Toledo, homes podeosos, que, depos de mata um ouvdo, fugam de sua páta com a famíla e os escavos. Ecotaam os aedoes de Capão uma tbo dígea, a dos Chcabás ou cabás; fzeam-lhes a pcípo guea; em seguda, poém, tataam com eles e fmaam pazes. O Re cocedeu aos dos pmos a posse de uma e outa magem do Ro S. Facsco em toda a extesão que pudessem pecoe um da, embacado-se o o, e além dsso, deu a um dos pmos o título de meste de campo dos ídos po duas geações. Matas Cadoso e Maoel Facsco de Toledo tham, ao que paece, eduzdo gade úmeo de ídos à escavdão, como etão se patcava; sevam-se desses felzes paa ab fazedas e costu váas gejas, ete outas a de Mohos, de que já fale. Fo a supessão da escavdão dos ídos que deu o pmeo golpe a pospedade de ambas as famílas. Pouco a pouco foam vededo suas mesas possessões, e seu descedete, o Captão Cleto, só me paeceu possu medíoces bes. Igoava em que ao Cadoso e Toledo tham chegado às mages do S. Facsco; mas ecotaa em papés de famíla uma cata datada de 7, que um dos pmos esceva ao outo das pópas mages do o Dexe Capão do Cleto paa dg-me a Salgado, que está stuado mas abaxo, do lado oposto do S. Facsco. O camho ão se estede pela pópa magem do o; todava é-lhe paalelo. Até a povoação de Pedas de Baxo atual mucípo de Pedas de Maa da Cuz, atavesse algumas vezes teeos cobetos das duas platas esphosas a que já me efe; e, de tempos em tempos, avstava o meo desses teeos lagos habtados po gade úmeo de aves aquátcas, o meo das quas se dstguam sempe as gaças bacas, os jabuus e as colheeas

89 ... Salgado ou Bejo do Salgado é a sede de uma paóqua que tem quaeta léguas de compmeto po vte de lagua, cuja população ascede a oto ml almas, e que se estede pela magem do S. Facsco até o Ro Cauhaha, lmte ete as povícas de Mas Geas e de Peambuco Salgado, ode ecote a hosptaldade mas acolhedoa, fo o temo de mha vagem pela pate setetoal do setão. Dexe essa povoação aos 9 de agosto de 87, a fm de me dg ao Dstto Damato, e, até Capão, segu o camho po ode passaa algus das ates Iteáo apoxmatvo de Salgado ao Dstto Damato, passado pelas povoações de Pedas dos Agcos atual mucípo de São Facsco e Coação de Jesus: léguas De Salgado a Pedas de Baxo, povoação... 3½ Capão do Cleto, habtação... 5 Rachão de Caa Bava, hab Pedas dos Agcos, povoação... Logado, habtação... 5 Caoas, d Macaúba, d Rachaa, d Sata Claa, d Coação de Jesus, povoação... 4 S. Beto, habtação... 3 Buaco, d.... 3½ Boa Vsta, cabaa... 3 Fazeda do ego, habtação... 3 Sucuu, cabaa... 5 Catôo, habtação... 6 Cumataí, povoação... 5 Sevço dos Damates do Ro Pado, pmea lava damata Total Tvea, a pcípo, a teção de segu o S. Facsco até a cofluêca do Ro das Velhas, po um espaço de tta e sete léguas, a pat de Rachão de Caa Bava: como, poém, ecotava apeas duas ou tês platas po da, meus empegados e eu os fatgávamos utlmete, e as pópas motaas sofam muto com a seca, decdme a ão além de Pedas dos Agcos, e toma um camho que me coduzsse detamete até o Tjuco. Devo lameta, todava, ão te vsto a povoação de Baa, que está stuada a cofluêca do Ro das Velhas,... Talvez deva lastma ão te poddo vsta o julgado de S. Romão, que se acha à magem esqueda do S. Facsco, a doze ou quze léguas de Agcos,

90 Matas Cadoso Maga R. São Jauáa Facsco Pedas de M a da Cuz Capão do Cleto São Facsco Rota de Sat-lae São Romão Coação de Jesus Motes Claos Papoa R. São Facsco Tês Maas R. das Velhas Damata FIGURA 5.: Tajeto da vagem ealzada po Sat-lae pelas povícas do Ro de Jaeo e Mas Geas. Fote: adaptado de SAIT-ILAIRE,

91 FIGURA 5.3: Mapa da Estada Real. Fote: 76

92 5.3. Apesetação das fomações hstócas de cheas A Tabela 5. apeseta as pcpas fomações elatvas às echetes hstócas o o São Facsco, ecotadas duate a pesqusa. Utlzado essas fomações e cosdeado algumas hpóteses plausíves, é possível costu uma amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas, que seá usada a aálse bayesaa de feqüêca de cheas. TABELA 5.: Ifomações sobe cheas hstócas o o São Facsco. Ao Cometáos - Sat-lae 975 afma, em um dos elatos de suas vages ocodas ete 86 e 8, o segute: a estação das chuvas, que começa pelos fs de setembo e dua até jaeo, o o São Facsco egossa pouco a pouco; acaba po tasboda e, os lugaes em que a Sea ão fca a muto pequea dstâca, as águas se estedem po uma légua e mas até. Em Capão do Cleto, cobem mea légua de teeo, que dze, vão até esse eto, ode ecohec que a vegetação mudava de atueza. A magem esqueda, mas elevada que a deta, é gealmete meos exposta às udações. - Ada o mesmo elato, Sat-lae 975 afma também que: ão podea dze a que dstâca da ascete do S. Facsco começa a udação desse o, em se ela se estede até a foz; etetato, uma passagem do Basl, ovo Mudo, de Eschwege, pova que a udação já se faz set o Poto de S. Mguel, que deve esta stuado, peso, ete os 9 e 0º de lat. S.; e paece, po um atgo do Joual do mesmo auto, que a egão das salas também fca udada. - Eschwege 996, os elatos da vagem ocoda em 86, dz: O o São Mguel e os seus tbutáos ogam-se a sea calcáa, e com a água calcáa gam a egão, boa pate da qual é udada duate a estação chuvosa.... esse poto, o o São Facsco abu um cote de 30 pés em ível feo ao da magem. Sua lagua é apeas de 50 a 60 passos, mas é pofudo. Po ocasão das chuvas cotuadas, tasboda e uda gades extesões, toado a tavessa muto pegosa. 773 Pzao 948, as memóas de uma das suas vages, elata o segute: Supea êste o de S. Facsco a todos os da captaa de Mas Geas a sobeba com que eleva as águas foa do seu leto, quado as udações o volumam; pos que chega a estede-se espaado po mas de ses léguas, e às vezes muto além delas, como acoteceu o ao 773, em que passou a mas de vte, cobdo as fazedas dstates das suas mages dez léguas, e levado cosgo a mao pate do gado que povoava os campos. Po êle avegam as bacas codutoas do sal fabcado os setões de Peambuco, de que se utlzam os povos meos. Abuda de tôda qualdade de pexe, pcpalmete de Suubís, e Douados os mas mostuosos Em outa pate, mas ada os mesmos elatos, Pzao 948 dz: Fotea ao Aaal está uma lha, que se dz de S. Rumão, com mea légua de compdo e quase 400 passos geométcos de lago, ode costa po tadção costate, e ão cotovetda, que houve uma aldea de ídos, os quas a desampaaam depos de destoçados... em da de S. Rumão. ão havedo ceteza do ao dêsse fato, sabe-se cotudo, que fôa ates de 7, poque esta época é bem cohecda dos mas atgos habtates do país, ete quem fcou memoável a gade echete do o São Facsco, que o ao efedo houve, bem como a do ao 790, que fêz outa época, excededo a pmea. Daquele acotecmeto, em da assalado, teve ogem a deomação do dstto, e luga, ttulado de S. Rumão. 77

93 Ao Cometáos o elatóo da Comssão Itemsteal de Estudos paa Cotole das Echetes do Ro São Facsco 980, ecota-se a segute afmação: A echete de 979, ocoda o o São Facsco, cofome fomações obtdas o médo, sub-médo e baxo São Facsco, deve se cosdeada, em magtude, a tecea mas mpotate do século, sedo a mao aquela ocoda em 99, seguda pela de 96. Cabe essalva que, o peíodo de obsevações hdométcas egulaes, que teve íco em 95, ela estava classfcada em segudo luga. - Ada de acodo com o elatóo da efeda comssão: É o médo São Facsco que se obsevam os maoes tasbodametos a 8 vezes o seu leto, epesetado lagua méda de 9 km, atgdo 6 km a egão de Jauáa MG e chegado mesmo à eome lagua de ceca de 4 léguas 84 km póxmo de que-que BA e também as vazates mas letas, com pemaêca de mas de 0 das. Dos tês pmeos elatos mostados a Tabela 5., pode-se pecebe que as echetes do São Facsco, mutas vezes assocadas ao extavasameto da calha pcpal, eam obsevadas em gade pate da baca, desde a egão das salas, coespodete ao setão peambucao e ote baao, passado po Capão do Cleto, já o ote meo, e estededo-se até o Poto de S. Mguel, o Alto São Facsco. Como pode se vsto o pmeo elato, em Capão do Cleto, udações de mea légua 3 km a magem deta eam comus duate a estação chuvosa, e, potato, ão costtuem um lma de efeêca adequado paa a costução da amosta a se utlzada a aálse de feqüêca de cheas. Com o tuto de estma a vazão coespodete à efeda udação, fo ealzada uma smulação hdáulca o techo ete São Facsco e Pedas de Maa da Cuz, usado o modelo EC-RAS EC, 00. esse pocesso, algumas smplfcações foam adotadas, a sabe:. Paa a calha pcpal do o, as seções tasvesas de motate e jusate são aquelas utlzadas como seções meddoas pela Agêca acoal de Águas AA, os postos fluvométcos de São Facsco e Pedas de Maa da Cuz. Além dsso, empegado o balzameto feto em 000 pela Assocação da dova do São Facsco ASFRA, fo costuída uma seção temedáa apoxmada em Capão do Cleto. Já as plaíces de udação, foam estmadas com base em catas topogáfcas da egão veja Fgua A declvdade fo cosdeada costate ao logo do techo, e o valo adotado 6 cm/km fo estmado pela declvdade méda da lha d água, em codções tas que se pudesse assum escoameto pemaete ufome. 78

94 3. o techo em questão, assumu-se pequea vaação do coefcete de ugosdade de uma seção paa outa. Paa as seções de São Facsco e Pedas de Maa da Cuz, o coefcete de ugosdade da calha pcpal fo calbado, utlzado os dados das cuvas-chave dos efedos postos fluvométcos. Os valoes ecotados foam, espectvamete, 0,03 e 0,05. Paa as plaíces de udação, o valo adotado em todas as seções fo 0,040, tedo em vsta a vegetação pedomatemete astea da egão. 4. A smulação fo ealzada em egme de escoameto pemaete, cosdeado-se que, em um ceto tevalo de tempo, duate a passagem do pco da chea, as codções de vazão ao logo do techo ão se alteaam sgfcatvamete. As Fguas 5.4 e 5.5 apesetam, espectvamete, o techo do o São Facsco, modelado paa a ealzação da smulação hdáulca, e as seção tasvesas utlzadas. Pedas de Maa da Cuz 6690 m Capão do Cleto 473 m São Facsco I 6 cm/km FIGURA 5.4: Modelagem do techo em que fo ealzada a smulação hdáulca. 79

95 a São Facsco b Capão do Cleto c Pedas de Maa da Cuz FIGURA 5.5: Seções tasvesas costuídas paa a smulação hdáulca. 80

96 A Fgua 5.6 mosta o esultado da smulação paa um ceáo de vazão gual a 3.50 m³/s, que coduzu à cota coespodete a mea légua 3 km de udação a magem deta, em Capão do Cleto. Etetato, a despeto das úmeas cetezas evolvdas e tedo em vsta as sées de vazões máxmas auas dos postos de São Facsco e Pedas de Maa da Cuz, pode-se coclu que uma vazão da odem de m³/s ão costtu um lma de efeêca com peíodo de etoo sufcetemete elevado paa se empegado a costução de uma amosta bomal cesuada. De fato, o uso de tal amosta com um lma muto baxo pode coduz à subestmação dos quats de teesse. a Pefl logtudal 3000 b Seção tasvesal em Capão do Cleto FIGURA 5.6: Resultado da smulação hdáulca paa a vazão de 3.50 m³/s. 8

97 Ada aalsado as fomações apesetadas a Tabela 5., pode-se detfca dos evetos 99 e 96, cujas tesdades ão se pode estma com pecsão, ecohecdamete maoes que a echete de 979. O eveto de 773, que, cofome elatado, povocou uma udação coespodete a mas de vte léguas de lagua 0 km, também fo mao que o de 979, como demostado a segu. Supohamos, po exemplo, que essas vte léguas de udação teham ocodo o Médo São Facsco, póxmo à cdade de que-que BA, ode, de acodo com o últmo elato da Tabela 5., acotecem os maoes tasbodametos. Mesmo após a echete de 979, a mao udação elatada essa egão coespode a uma lagua de ceca de 4 léguas 84 km, meo que aquela povocada pelo eveto de 773. Com elação ao eveto de 7, descto como uma memoável... gade echete do o,..., e ao eveto de 790, que tea sdo ada mao que o de 7, apesa de ão se te elemetos paa compaá-los à echete de 979, seão cosdeados supeoes a ela, pos, pelos adjetvos que lhes são atbuídos, há dícos de que foam cosdeavelmete gades. Cosdeemos, ada, que os evetos de 7, 773, 790, 99 e 96 coespodam a cheas geealzadas a baca do o São Facsco. Pmeamete, obseve a Tabela 5. a maea como foam elatados os dos últmos evetos. Desceve-se de foma explícta que as fomações foam... obtdas o médo, sub-médo e baxo São Facsco,..., o que pemte coclu que em todos esses techos as cheas de 99 e 96 foam mas seveas que a de 979. Obseva-se também que os tês pmeos evetos, elatados pelo atualsta José de Souza Azevedo Pzao, o qual é efeecado po Auguste de Sat-lae ambos vajates que pecoeam gade pate da baca do São Facsco, ão foam desctos como cheas ocodas em um local específco, o que costtu um díco de que foam obsevadas de maea geealzada a baca. Os evetos de 7 e 790, clusve, tveam claamete popoções acoas, o que se pode fe do techo que dz:..., poque esta época é bem cohecda dos mas atgos habtates do país, ete quem fcou memoável a gade echete do o, que o ao efedo houve,.... Paa a costução da amosta bomal cesuada, é ecessáo agoa def o tevalo de tempo em que as efedas cheas excedeam o lma de efeêca echete de 979. Assm, é possível detema o úmeo de aos os quas os evetos máxmos auas, emboa descohecdos, ão foam alamates o sufcete paa seem egstados hstocamete, e, po sso, seão cosdeados feoes ao lma de efeêca. Como Pzao e Eschwege são ctados po Sat-lae, fca clao que suas vages acoteceam ates do peíodo em que 8

98 Sat-lae esteve vajado pelo Basl. Como esse facês aqu chegou em 86 e pemaeceu até 8, pode-se cosdea que os evetos de 7, 773 e 790 coespodem às excedêcas ocodas ete 7, o mímo, e 8. É clao que algus aos ateoes a 7 podem também te apesetado cheas feoes ao lma, até que se vefcasse ovamete outa excedêca. Poém, essa é uma hpótese que ecessta de vestgações mas pofudas e, po sso, ão seá utlzada essa pesqusa. Ao cosdeamos 7 como o ao cal, estamos adotado uma estmatva míma do tamaho da amosta. Como o elatóo da Comssão Itemsteal de Estudos paa Cotole das Echetes do Ro São Facsco 980 afma que a echete de 979 fo a tecea mao do século, os evetos de 99 e 96 coespodem às excedêcas ocodas ete 90 e o íco do peíodo de medções sstemátcas. Desse foma, ada se cohece sobe os evetos ocodos ete 83 e 900, os quas, po sso, ão faão pate da amosta Detemação da amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas As fomações elatadas o tem ateo vablzaam a costução de uma amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas paa o posto fluvométco de São Facsco, o o São Facsco, cofome lustado a Fgua 5.7. Vale essalta que, uma vez que as fomações hstócas se efeem a echetes geealzadas o São Facsco, ou seja, ocodas em gade pate da baca, e que o peíodo hstóco costtu uma amosta bomal cesuada, com o lma de efeêca gual à vazão máxma aual de 979 em um dado local de teesse, esses dados ão sstemátcos podem se assocados às obsevações sstemátcas de qualque posto fluvométco, localzado a egão exploada pelos autoes dos egstos apesetados a Tabela 5.. Potato, a amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas do posto fluvométco de São Facsco, mostada a Fgua 5.7, é composta po: um peíodo hstóco que va de 7 a aos, sub-dvddo em um peíodo de 78 aos de 83 a 900, sobe o qual ada se pode fe, e um peíodo de 45 aos de 7 a 8 e, depos, de 90 a 934, o qual 5 evetos 7, 773, 790, 99 e 96 gualaam ou excedeam m³/s, que coespode à vazão máxma aual de 979 em São Facsco lma de efeêca: < > <> e k 5 83

99 e um peíodo de obsevações sstemátcas egulaes, cado em 935, epesetado po uma sée de 68 aos de vazões máxmas auas veja Aexo E: S S m³/s Vazão m³/s ? Ausêca de fomações Ao FIGURA 5.7: Amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco. 5.4 Fomulação da dstbução a po fomatva Duas possbldades foam aalsadas paa a fomulação da dstbução a po fomatva. A pmea cosste em utlza os esultados de uma aálse egoal de feqüêca paa fomula uma dstbução capaz de expessa o que se cohece a po sobe os paâmetos dstbução a po egoal. a seguda, é adotada uma adaptação da dstbução poposta po Mats e Stedge 000, po meo da qual busca-se estg os valoes dos paâmetos a tevalos estatstcamete e/ou fscamete plausíves paa o feômeo geofísco em questão dstbução a po geofísca. Ambos os pocedmetos seão apesetados a seqüêca. 84

100 5.4. Dstbução a po egoal oskg e Walls 997 popuseam uma metodologa de aálse egoal de feqüêca, utlzado mometos-l, que ão só foece subsídos paa a escolha do modelo pobablístco, mas também possblta a fomulação da dstbução a po dos paâmetos. Maoes detalhes a espeto dessa metodologa são apesetados o Aexo D. O cálculo da medda de adeêca Z dos dados obsevados às dstbuções caddatas, mplemetado a efeda metodologa, pemte a seleção da dstbução de feqüêca que melho se ajusta aos dados, ou seja, aquela cujo valo de Z mas se apoxma de zeo. Além dsso, os esultados da aálse egoal de feqüêca podem se utlzados paa o ajuste de uma dstbução omal multvaada ao veto de paâmetos Θ, costtudo a dstbução de pobabldades a po fomatva, o fomato equedo pelo softwae FLIKE Caactezação da egão Paa a aálse egoal de feqüêca, foam utlzados os postos fluvométcos apesetados a Tabela 5.. As espectvas sées de vazões máxmas auas dados sstemátcos são mostadas o Aexo E. Todos os postos estão localzados o o São Facsco, em seu techo médo, cofome lustado a Fgua 5.. TABELA 5.: Postos fluvométcos utlzados a aálse egoal de feqüêca. Códgo ome da estação Mucípo Estado Áea de deagem km² São Facsco São Facsco MG Pedas de Maa da Cuz Jauáa MG Maga Maga MG Cahaha Cahaha BA Bom Jesus da Lapa Bom Jesus da Lapa BA Gamelea Síto do Mato BA Pescção do modelo pobablístco Os esultados da aálse egoal demostaam que a egão pode se cosdeada como acetavelmete homogêea, ão apesetado amostas com caacteístcas estatístcas muto dscepates das gupas. Etetato, vale essalta que foam obsevados valoes egatvos da medda de heteogeedade, dcado a possível peseça de coelação espacal ete os dados dos dfeetes postos. Dete as dstbuções caddatas, tês foam selecoadas pelo ctéo da medda de adeêca Z, como mosta a Tabela 5.3. Uma vez que a dstbução omal Geealzada ão fo mplemetada o softwae FLIKE, a dstbução 85

101 escolhda é a Geealzada de Valoes Extemos GEV. A adequação dessa dstbução às caacteístcas egoas pode se vsta o dagama de quocetes de mometos-l, mostado a Fgua 5.8. TABELA 5.3: Qualdade do ajuste das dstbuções caddatas aos dados. Dstbução Medda de adeêca Z Stuação Logístca Geealzada -,93 Descatada Geealzada de Valoes Extemos -0,33 Selecoada omal Geealzada -0,06 Selecoada Peaso III -0,86 Selecoada Geealzada de Paeto -3,34 Descatada GPA GLO GEV L3 PE3 UI EP GUM OR Estações Regão Cutose-L τ Assmeta-L τ 3 FIGURA 5.8: Dagama de quocetes de mometos-l Fomulação da dstbução a po egoal A Tabela 5.4 apeseta um sumáo dos esultados obtdos a aálse egoal de feqüêca, utlzados paa o ajuste da dstbução omal multvaada aos paâmetos da GEV. Tedo em vsta que os paâmetos de posção β e escala α são caacteístcas essecalmete locas, os esultados da Tabela 5.4 seão usados paa fomula uma dstbução a po fomatva apeas a espeto do paâmeto de foma k. Essa dstbução seá uma omal, com méda gual ao valo egoal de k e desvo-padão calculado com base a amosta de paâmetos de foma, cujo tamaho é gual ao úmeo de postos da egão. 86

102 TABELA 5.4: Resultados da aálse egoal de feqüêca e ajuste da dstbução omal multvaada aos paâmetos da GEV. Posto Códgo Q méda m³/s CV-L τ Assmeta-L τ 3 Cutose-L τ 4 Posção β Paâmetos Escala α Foma k , 0,974 0,37 0,877 0,838 0,5665-0, , 0,5 0,788 0,886 0, ,604-0, ,3 0,64 0,694 0,95 0, ,3303-0, ,7 0,55 0,739 0,65 0,870 0,48-0, ,9 0,5 0,05 0,405 0,867 0,0656-0, ,6 0,777 0,304 0,64 0,8479 0,336-0,094 Regão 0,73 0,09 0,596 Méda da amosta de vazões máxmas auas µ Θ 0,8490 0,354-0,0605 σ Θ 0,0898 0,004-0,06337 Potato, a dstbução a po egoal seá uma omal multvaada, com as segutes caacteístcas: Θ β α k µ Θ 0,06 σ Θ 0,0634 R Θ As segutes costatações podem se fetas a espeto dessa dstbução:. O úmeo de postos fluvométcos utlzados paa a aálse egoal de feqüêca é bastate eduzdo, e, possvelmete, apesetam coelação espacal.. Foam obsevadas dscepâcas ete os dados fluvométcos ofcas e as fomações dspoíves o elatóo da Comssão Itemsteal de Estudos paa Cotole das Echetes do Ro São Facsco 980, especalmete paa os evetos coespodetes ao amo supeo das cuvas-chave. Além dsso, patculamete as sées de vazões máxmas auas de Maga e Cahaha paecem apeseta cosstêcas, coduzdo a valoes espeados do paâmeto de foma k. 3. Os valoes ecotados paa a méda egoal e paa o desvo-padão de k esultam uma dstbução omal que estge demasadamete a faxa de vaação do efedo paâmeto. Em outas palavas, o ível de fomação cotdo a dstbução a po egoal está mao que o espeado, o que, o cotexto da aálse bayesaa de feqüêca, é compatível com o caáte subjetvo da fomação a po. 87

103 Po sso, a dstbução a po egoal, fomulada ateomete, ão paece se a mas adequada paa expessa o compotameto a po do paâmeto de foma da GEV, e, potato, ão seá empegada o pesete estudo de caso Dstbução a po geofísca Mats e Stedge 000 demostaam que o método do máxmo de veossmlhaça paa estmação dos paâmetos da GEV, baseado em amostas de pequeo tamaho, pode esulta em valoes absudos do paâmeto de foma k. Esses autoes empegaam a abodagem bayesaa paa estg as estmatvas de k a uma faxa de valoes estatstcamete e/ou fscamete plausíves. A dstbução a po poposta, dta geofísca po poduz valoes do paâmeto k compatíves com a expeêca mudal paa feômeos geofíscos tas como pecptações tesas e vazões de echetes, é uma Beta, com as segutes caacteístcas: p q 0,5 k 0,5 k π k 0,5 k 0,5 5. B p, q ode: Γ p Γ q B p, q Γ p q com p 6 e q 9. Essa dstbução tem E [ k] 0, 0 e Va [ k] 0,. Vale destaca que, paa valoes foa do tevalo 0,4 k 0,, a dstbução Beta epesetada pela equação 5. apeseta valoes patcamete ulos veja Fgua 5.9. Cofome mostado também a Fgua 5.9, uma boa apoxmação da dstbução poposta po Mats e Stedge 000 é obtda po uma dstbução omal, com méda µ 0, 0 e vaâca 0,. Assm, é possível expessa a dstbução a po geofísca como uma omal multvaada, com as segutes caacteístcas: Θ β α k µ Θ 0,0 σ Θ 0, R Θ Essa dstbução a po geofísca seá empegada o pesete estudo de caso. 88

104 πk, k k Dstbução Beta Dstbução omal FIGURA 5.9: Dstbução a po geofísca apoxmação da dstbução Beta pela omal. 5.5 Aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco Uma vez coletados os dados ão sstemátcos e fomulada a dstbução a po fomatva, é possível agega essas fomações suplemetaes à aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco. Paa sso, dfeetes ceáos foam defdos, pemtdo ão só compaa as abodages clássca e bayesaa, mas também avala o gaho poveete da copoação de cheas hstócas. De acodo com o exposto o tem 5.4, a dstbução de pobabldades adotada é a GEV Caactezação dos dfeetes ceáos Ses ceáos dsttos seão aalsados esse estudo de caso, a sabe: Ceáo : Aálse de feqüêca tadcoal, utlzado apeas a sée de vazões máxmas auas do posto fluvométco de São Facsco dados sstemátcos. Os paâmetos do modelo dstbutvo são estmados pelo método do máxmo de veossmlhaça. Ceáo : Aálse de feqüêca tadcoal, utlzado a sée de vazões máxmas auas do posto fluvométco de São Facsco dados sstemátcos e o cojuto de cheas hstócas apesetado o tem 5.3, que costtu uma amosta bomal cesuada dados ão sstemátcos. Os paâmetos do modelo dstbutvo são, mas uma vez, estmados pelo método do máxmo de veossmlhaça. 89

105 Ceáo 3: Aálse bayesaa de feqüêca, utlzado apeas os dados sstemátcos. Cosdeado que, um pmeo mometo, ão se dspõe de fomações sobe os paâmetos, uma dstbução a po ão fomatva é adotada. O softwae FLIKE é empegado paa a detemação das dstbuções da pobabldade espeada PoE dstbução bayesaa e dos paâmetos espeados PaE estmação potual bayesaa. Ceáo 4: Aálse bayesaa de feqüêca, utlzado apeas os dados sstemátcos. A dstbução a po geofísca dstbução a po fomatva, descta o tem 5.4., é adotada, e o softwae FLIKE é ovamete empegado. Ceáo 5: Aálse bayesaa de feqüêca, utlzado os dados sstemátcos e ão sstemátcos. Tal como o ceáo 3, uma dstbução a po ão fomatva é adotada, e o softwae FLIKE é empegado. Ceáo 6: Aálse bayesaa de feqüêca, utlzado os dados sstemátcos e ão sstemátcos. Tal como o ceáo 4, a dstbução a po geofísca é adotada, e o softwae FLIKE é empegado Apesetação e dscussão dos esultados as Tabelas 5.5, 5.6 e 5.7, são apesetados os esultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, paa os ses ceáos desctos ateomete. 90

106 TABELA 5.5: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos e. Tempo de etoo aos AF clássca MVS Dados sstemátcos Dados sstemátcos Cheas hstócas Vazão AIC Vazão AIC m³/s % da vazão m³/s % da vazão % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Ampltude do tevalo de cofaça TABELA 5.6: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos 3 e 4. Tempo de etoo aos AF bayesaa Dados sstemátcos Dstbução a po ão fomatva Dstbução a po fomatva Dstbução PaE Dstbução bayesaa PoE Dstbução PaE Dstbução bayesaa PoE Vazão Vazão AIC Vazão Vazão AIC m³/s m³/s % da vazão m³/s m³/s % da vazão % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Ampltude do tevalo de cofaça 9

107 TABELA 5.7: Resultados da aálse de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV, paa os ceáos 5 e 6. Tempo de etoo aos AF bayesaa Dados sstemátcos Cheas hstócas Dstbução a po ão fomatva Dstbução a po fomatva Dstbução PaE Dstbução bayesaa PoE Dstbução PaE Dstbução bayesaa PoE Vazão Vazão AIC Vazão Vazão AIC m³/s m³/s % da vazão m³/s m³/s % da vazão % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Ampltude do tevalo de cofaça As Fguas 5.0 e 5. mostam as cuvas de quats coespodetes aos ceáos e. Paa os ceáos 3 e 4, as cuvas de quats são apesetadas as Fguas 5. e 5.3, equato as espectvas fuções de veossmlhaça, dstbuções a po e dstbuções a posteo são plotadas as Fguas 5.4 e 5.5. Paa os ceáos 5 e 6, tas fomações são mostadas as Fguas 5.6, 5.7, 5.8 e

108 Dados sstemátcos GEV MVS ICofaça 90% Vazão m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.0: Aálse de feqüêca tadcoal de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, usado a dstbução GEV ceáo Dados sstemátcos Cheas hstócas cesuadas GEV MVS dados sstemátcos GEV MVS dados sstemátcos e cheas hstócas ICofaça 90% Vazão m³/s m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.: Aálse de feqüêca tadcoal de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas, usado a dstbução GEV ceáo. 93

109 Dados sstemátcos GEV MVS GEV PaE GEV Bayesaa PoE ICedbldade 90% Vazão m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com dstbução a po ão fomatva, usado a dstbução GEV ceáo Dados sstemátcos GEV MVS GEV PaE GEV Bayesaa PoE ICedbldade 90% Vazão m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.3: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com dstbução a po fomatva, usado a dstbução GEV ceáo 4. 94

110 Lk Q,β,α [x0-7 ] f0k, fk Q,β,α k Fução de veossmlhaça Dstbução a po Dstbução a posteo FIGURA 5.4: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo 3. Lk Q,β,α [x0-7 ] f0k, fk Q,β,α k Fução de veossmlhaça Dstbução a po Dstbução a posteo FIGURA 5.5: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo 4. 95

111 Dados sstemátcos Cheas hstócas cesuadas GEV MVS dados sstemátcos GEV MVS dados sstemátcos e cheas hstócas GEV PaE GEV Bayesaa PoE ICedbldade 90% Vazão m³/s m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.6: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas e dstbução a po ão fomatva, usado a dstbução GEV ceáo Dados sstemátcos Cheas hstócas cesuadas GEV MVS dados sstemátcos GEV MVS dados sstemátcos e cheas hstócas GEV PaE GEV Bayesaa PoE ICedbldade 90% Vazão m³/s m³/s Tempo de etoo aos FIGURA 5.7: Aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, com cheas hstócas e dstbução a po fomatva, usado a dstbução GEV ceáo 6. 96

112 Lk Q,β,α [x0-8 ] f0k, fk Q,β,α k Fução de veossmlhaça Dstbução a po Dstbução a posteo FIGURA 5.8: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo 5. Lk Q,β,α [x0-8 ] f0k, fk Q,β,α k Fução de veossmlhaça Dstbução a po Dstbução a posteo FIGURA 5.9: Fução de veossmlhaça, dstbução a po e dstbução a posteo paa o ceáo 6. 97

113 Apesetados os esultados desse estudo de caso, algus aspectos podem se cometados. Paa um mesmo cojuto de dados, o uso da abodagem bayesaa, com uma dstbução a po ão fomatva, coduz a dstbuções mas cosevadoas que aquelas obtdas pelo método clássco de aálse de feqüêca, sto é, com quats mas elevados paa um mesmo peíodo de etoo. o etato, à medda que aumeta o tamaho da amosta, o que acotece, po exemplo, quado cheas hstócas são copoadas à aálse, esses pocedmetos apesetam esultados cada vez mas smlaes. Essas obsevações são váldas tato paa a dstbução da pobabldade espeada, que epeseta, de fato, a dstbução bayesaa, depedete de estmatvas paamétcas, como paa a dstbução dos paâmetos espeados. Essa últma se apoxma mas da cuva de quats da aálse de feqüêca tadcoal, pos coespode ao mesmo modelo pobablístco, poém usado os estmadoes bayesaos dos paâmetos. Já as dstbuções obtdas empegado-se a abodagem bayesaa, com uma dstbução a po fomatva, são esultates de uma podeação ete a fomação avalada a po sobe os paâmetos e a fomação cotda a fução de veossmlhaça, poveete da amosta. Sedo assm, o cojuto de fomações utlzadas dfee daquele dspoível paa a aálse de feqüêca tadcoal, e, po sso, ão se cosdea pudete compaa as posções elatvas das espectvas cuvas de quats. Além dsso, os esultados obtdos demostam que, paa um mesmo quatl, a ampltude do tevalo de cofaça sofe apeas uma pequea edução quado a abodagem bayesaa, com uma dstbução a po ão fomatva, é usada a aálse de feqüêca. Como dscutdo o Capítulo 4, esse cotexto, a vatagem pcpal se efee à obteção de uma dstbução magal de pobabldades, lve das estmatvas dos paâmetos. A copoação de fomações adcoas, etetato, tas como as cheas hstócas e a dstbução a po fomatva, eduz, de foma sgfcatva, a ampltude do tevalo de cofaça dos quats, expessado um meo gau de ceteza em elação ao seu valo mas povável. Outa obsevação mpotate se efee à mudaça da posção de plotagem dos elemetos da amosta, quado são utlzados dados ão sstemátcos. Essa mudaça, dscutda o tem 3.6, ofeece codções teessates paa a tepetação de possíves evetos atípcos outles. De fato, se eles peteceem à mesma população da qual foam extaídos os demas evetos, sua posção de plotagem coeete podeá se cogda po uma amosta mas loga. Caso 98

114 cotáo, mesmo sedo em um cotexto apopado de logo temo, seu compotameto dstto seá evdete. A Fgua 5.0 mosta, paa os ceáos coespodetes à aálse bayesaa de feqüêca, a apoxmação, povda pela dstbução omal multvaada I Θ, da dstbução a posteo dos paâmetos de escala e foma da GEV, codcoada ao paâmeto de posção. Pode-se pecebe que, paa os quato casos, a apoxmação é muto boa. o etato, ao se estede o peíodo de obsevações po meo da copoação das cheas hstócas, vefca-se que a dstbução a posteo dos paâmetos se apoxma ada mas da dstbução omal multvaada. Paa os casos em que se cosdea a dstbução a po fomatva, que, o softwae FLIKE, é epesetada po uma dstbução omal multvaada, a apoxmação é patcamete pefeta, já que a dstbução a posteo esulta de uma combação ete a dstbução a po e a fução de veossmlhaça. Os mesmos agumetos são váldos paa as outas duas dstbuções codcoas a posteo dos paâmetos da GEV: posção e escala, dado o paâmeto de foma veja Fgua 5., e posção e foma, dado o paâmeto de escala veja Fgua 5.. FIGURA 5.0: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de escala e foma da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e 6. 99

115 FIGURA 5.: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e escala da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e 6. FIGURA 5.: Supefíces da dstbução codcoal a posteo dos paâmetos de posção e foma da GEV e egões de 90% de pobabldade da apoxmação omal multvaada, paa os ceáos 3, 4, 5 e 6. 00

116 6 COCLUSÕES E RECOMEDAÇÕES essa pesqusa, fo ealzada a aálse bayesaa de feqüêca de vazões máxmas auas o o São Facsco em São Facsco, copoado dados ão sstemátcos de cheas. O softwae FLIKE KUCZERA, 999 fo utlzado paa esse fm. A coleta de fomações sobe cheas hstócas a baca hdogáfca do São Facsco pemtu costu uma amosta bomal cesuada de vazões máxmas auas, costtuída po dados sstemátcos e ão sstemátcos. Com elação à abodagem bayesaa, foam cosdeadas duas possbldades: o uso de uma dstbução a po ão fomatva e da dstbução a po geofísca, poposta po Mats e Stedge 000. As segutes cosdeações podem se fetas a espeto da metodologa empegada esse estudo: ão só a aálse bayesaa de feqüêca, mas também quado são utlzados os métodos clásscos de estmação dos paâmetos aálse de feqüêca tadcoal, a copoação dos dados ão sstemátcos tem o potecal de poduz estmatvas mas cofáves dos quats de teesse, uma vez que as feêcas são baseadas em uma mao quatdade de fomação. Assm, ecomeda-se uma busca mas abagete po dados ão sstemátcos de cheas, o que pode pove fomações adcoas valosas a seem copoadas a aálse. esse cotexto, as vestgações paleohdológcas, desde que váves, seam de gade mpotâca, sevdo clusve paa cofma hpóteses elatvas às cheas hstócas. o etato, cudados especas devem se tomados quado se utlzam dados ão sstemátcos, já que fomações adequadas podem, ao vés de melhoa, poa a qualdade das estmatvas. Equato a aálse de feqüêca tadcoal busca-se ecota os estmadoes mas apopados dos paâmetos do modelo dstbutvo, a abodagem bayesaa ofeece feametas paa a fomulação de uma dstbução magal de pobabldades, que leva em cota todos os valoes possíves dos paâmetos, chamada dstbução bayesaa. Esse pocedmeto pemte lda, de foma coeete, com a ceteza decoete do fato de que os vedadeos valoes populacoas dos paâmetos são descohecdos. O softwae FLIKE pemte ealza a aálse bayesaa de feqüêca utlzado duas abodages dsttas. A pmea, baseada a teoa da dstbução bayesaa, esulta a 0

117 dstbução da pobabldade espeada PoE. A seguda, que usa o pocedmeto de estmação potual bayesaa, foece a dstbução dos paâmetos espeados PaE. Apesa de se vefca, paa um mesmo cojuto de dados, uma dfeeça ete essas duas dstbuções, pcpalmete a cauda supeo, obseva-se que um aumeto da quatdade de fomação copoada à aálse de feqüêca seja pelo aumeto do tamaho da amosta de dados sstemátcos ou pela utlzação de dados ão sstemátcos de cheas faz com que as efedas dstbuções apesetem compotametos mas paecdos. Além dsso, pode-se dze que, quato mas fomação elevate fo utlzada a estmação dos paâmetos do modelo dstbutvo, meo seá a dfeeça ete os estmadoes clásscos obtdos, po exemplo, pelo método do máxmo de veossmlhaça e os estmadoes bayesaos. Dessa foma, asstotcamete, a dstbução clássca e a dstbução dos paâmetos espeados PaE tedem a cocd. Emboa, o cotexto da aálse bayesaa de feqüêca, ão haja estções quato ao empego de uma dstbução a po ão fomatva, o uso de fomações subjetvas avaladas a po, desde que coeetes com o feômeo geofísco em questão, pode esulta em estmatvas mas cofáves a posteo. Coclu-se, potato, que a utlzação dos dados ão sstemátcos e da estatístca bayesaa a aálse de feqüêca de vazões de echetes pemte estede o tamaho da amosta e leva em cota a ceteza estatístca evolvda o pocesso de feêca, coduzdo a estmatvas mas cofáves dos quats de teesse e de suas espectvas pobabldades de excedêca. Falmete, acedta-se que essa pesqusa teha demostado o potecal de se ca e mate um egsto hstóco detalhado dos evetos mas mpotates ocodos em uma baca hdogáfca, de modo que a fomação ão se peca com o tempo e possa se utlzada em feêcas futuas. Esse pocesso deve evolve, clusve, a vestgação e matealzação de macas de cheas, bem como estudos de depóstos de sedmetos. Vale lemba que esse tabalho costtuu um passo cal a evsão dos cohecmetos cetífcos dspoíves e a aplcação, a uma baca hdogáfca baslea, dos pocedmetos de aálse bayesaa de feqüêca de cheas, copoado dados ão sstemátcos. Dessa foma, espea-se te cotbuído com o avaço cetífco e da supote a ovas pesqusas essa áea de cohecmeto. 0

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123 A DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES MAIS UTILIZADAS A AÁLISE DE FREQÜÊCIA DE VARIÁVEIS IDROLÓGICAS esse aexo, são apesetadas as caacteístcas mas mpotates das pcpas dstbuções de pobabldades utlzadas em hdologa, bem como os seus estmadoes paamétcos, calculados pelo método dos mometos MOM, pelo método do máxmo de veossmlhaça MVS e pelo método dos mometos-l MML. Essa descção fo etada de aghett e Pto o pelo. A. Dstbução omal OR otação: ~ µ, σ Paâmetos: µ e σ Fução desdade de pobabldade: f x µ x exp < x < σ π σ Fução acumulada de pobabldade: Fução de quats: x µ Φ σ Méda: E [ ] µ Vaâca: Coefcete de assmeta: γ 0 Cutose: κ 3 Estmação dos paâmetos: Método MOM: µˆ x σˆ s Método MVS: µˆ x σˆ s Método MML: ˆ µ l ˆ σ π l Φ x x ão tem foma aalítca explícta Va [ ] σ exp t σ π dt 08

124 A. Dstbução Expoecal EP otação: ~ E θ Paâmetos: Fução desdade de pobabldade: Fução acumulada de pobabldade: θ f F x x exp x 0 θ θ x x exp θ Fução de quats: x F θ l F Méda: Vaâca: E [ ] θ Coefcete de assmeta: γ Cutose: κ 9 Estmação dos paâmetos: Método MOM: θˆ x Método MVS: θˆ x Método MML: ˆ θ l Va [ ] θ A.3 Dstbução Geealzada de Valoes Extemos GEV otação: ~ GEV α, β, k Paâmetos: α, β e k Fução desdade de pobabldade: f x β x k α α x β exp k α k k se k 0 Ampltude: < x β α / k se k > 0 Tpo III ou Webull β α / k x < se k < 0 Tpo II ou Féchet x β x β f x exp exp α se k 0 α α Ampltude: < x < Tpo I ou Gumbel 09

125 Fução acumulada de pobabldade: x β F x exp k α k se k 0 F x β x exp exp se k 0 α α k Fução de quats: x F β { [ l F] } se k 0 k x F β α l[ l F] se k 0 α Méda: E [ ] β [ Γ k] k Vaâca: Va [ ] α [ Γ k Γ k] k Γ 3k 3Γ k Γ k Γ Coefcete de assmeta: γ sal de k 3 [ Γ k Γ k] Caso especal: dstbução Gumbel k 0 Estmação dos paâmetos: Método MOM: Alteatva : 3 k Resolve paa k a equação do coefcete de assmeta, substtudo γ pelo seu valo amostal Alteatva : g. A solução é teatva, pelo método de ewto. Paa coefcetes de assmeta amostas,396 g < 0 : < kˆ 0,858 0,357983g 0,00604g 4 0,0006g 0,6659 g 5 0,000004g 0,075g 6 3 Paa coefcetes de assmeta amostas < g <, 396 : kˆ 0, ,306g 0,005873g 4 0,0044g 0,06078g 5 0,00005g 6 0,06759g Paa coefcetes de assmeta amostas 0 < g < 0 : kˆ 0, ,0086g 0,00087g 4 0,000065g 0,05497g 5 0,00563g s kˆ Em seguda, ˆ α e ˆ ˆ α β x [ Γ kˆ ]. ˆ Γ kˆ Γ kˆ k 3 3 0

126 Método MVS: Os estmadoes αˆ, βˆ e kˆ são as soluções smultâeas obtdas pelo método de ewto do segute sstema de equações: α kα k exp y k exp y exp y y ky k ky k ky k exp ky 0 y exp y 0 exp ky exp ky exp y 0 exp y x β ode y l k k α A solução desse sstema é complexa; sugee-se a efeêca Pescott e Walde 983 paa algotmo de esolução. Método MML: k ˆ 7,8590C,9554C, ode l ˆ k ˆ α kˆ Γ kˆ ˆ ˆ α β l [ Γ kˆ] kˆ C 3 t 3 l l 3 A.4 Dstbução Gumbel GUM otação: ~ GumMax α, β Paâmetos: Fução desdade de pobabldade: Fução acumulada de pobabldade: α e β x β x β f x exp exp α α α Ampltude: < x < F x β x exp exp α Fução de quats: x F β α l[ l F]

127 Méda: E [ ] β 0, 577α Vaâca: π α Va [ ] 6 Coefcete de assmeta: γ, 396 Cutose: κ 5, 4 Estmação dos paâmetos: Método MOM: ˆ α 0,7797s ˆ β x 0, 45s Método MVS: Os estmadoes αˆ e βˆ são as soluções do segute sstema de equações: l[ L α, β ] α α α l[ L α, β ] β α α x β α x β exp 0 α Mapulado ambas as equações, chega-se a: x F α x exp x α α x x exp 0 α cuja solução, pelo método de ewto, foece αˆ. Em seguda, ˆ β ˆ α l exp x ˆ α. Método MML: l ˆ α l ˆ β l 0,577 ˆ α x β β exp 0 α A.5 Dstbução Log-omal paâmetos L A dstbução Log-omal paâmetos da vaável efee-se à dstbução omal da vaável tasfomada Y l.

128 otação: L µ, σ Paâmetos: Fução desdade de pobabldade: ~ Y Y µ Y e σ Y, com Y l f l x µ Y x exp x > 0 xσ Y π σ Y Fução acumulada de pobabldade: Fução de quats: y l x µ Y Φ Φ y exp t dt σ Y σ Y π ão tem foma aalítca explícta Méda: E[ ] µ σ Y exp µ Y Vaâca: Va[ ] σ µ [exp σ ] Y Coefcete de vaação: CV exp σ Y Coefcete de assmeta: γ 3 3CV CV Cutose: σ Y 3σ Y σ Y σ Y κ 3 e e 3e 6e 6 Estmação dos paâmetos: Método MOM: ˆ σ Y l CV ˆ σ Y ˆ µ Y l x Método MVS: µˆ Y y σˆ Y s Y Método MML: ˆ σ Y ef t ˆ σ Y ˆ µ Y l l ode ef w π w e 0 u du. A vesa ef t é gual a u, com u epesetado a vaável omal padão coespodete t Φ. 3

129 A.6 Dstbução Peaso III PE3 otação: ~ PE3 α, β, ξ Paâmetos: α, β e ξ Fução desdade de pobabldade: f x αγ β x ξ α β x ξ exp α ξ x < Fução acumulada de pobabldade: Fução de quats: Méda: Vaâca: Coefcete de assmeta: F x x G β, ξ α Γ β ão tem foma aalítca explícta E [ ] αβ ξ Va [ ] γ β α β G β, x x 0 t β e t dt Cutose: κ 3 6 β Caso especal: dstbução Expoecal β Estmação dos paâmetos: Método MOM: ˆ β g ˆ α s ˆ β ˆ s ξ x ˆ β Método MVS: Os estmadoes αˆ, βˆ e ξˆ são as soluções obtdas pelo método de ewto do segute sstema de equações: x ξ αβ Ψ β l[ ξ α] α β x x ξ 4

130 ' Γ β ode Ψ β l β Γ β β β 0β 5β 40β 3β Método MML: 3 Paa t / 3 3 e com t m t3, ˆ 0,36067t m 0,5967t m 0,536t m β 3,7886t,56096t 0,77045t Paa t </ 3 3 e com t m 3πt 3, ˆ 0,906t m β 3 t 0,88t 0,044t ˆ α l ˆ ξ l Γ ˆ β π Γ ˆ β 0,5 ˆ αβˆ m m m m m m A.7 Dstbução Log-Peaso III LP3 A dstbução Log-Peaso III da vaável efee-se à dstbução Peaso III da vaável tasfomada Z l. Estmação dos paâmetos: Método MOM: Lembado que soluções de: l m ' ξ β l α l m ' ξ β l α l m ' 3 3ξ β l 3α exp ξ µ ' são estmados po m' β, os estmadoes αˆ, βˆ e ξˆ são as α Paa a solução desse sstema, Kte 977 sugee: seja l m' 3 3l m' B, A 3 e C l m' l m' α B 3 paa 3,5 < B < 6, 0 ; A 3 0,309,656C 0,09C 0,04557C paa 3,0 < B 3, 5 ; A 0,4757, 99955C em seguda, ˆ α, A 3 ˆ l m' l m' β l ˆ α l ˆ α e ˆ ξ l m ' ˆ β l ˆ. α 5

131 Método MVS: Os estmadoes αˆ, βˆ e ξˆ são as soluções obtdas pelo método de ewto do segute sstema de equações: l x ξ αβ Ψ β l[l ξ α ] α β x x l ξ ' Γ β ode Ψ β l β Γ β β β 0β 5β 40β 3β Método MML: As estmatvas pelo método dos mometos-l podem se obtdas po pocedmeto dêtco ao apesetado paa a dstbução Peaso III, com a tasfomação z l x. 6

132 7 B DISTRIBUIÇÃO BAYESIAA DE PROBABILIDADES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA MODELADA PELA DISTRIBUIÇÃO ORMAL Esse aexo, adaptado de Wood et al. 974, apêdce A, apeseta a demostação de que a dstbução bayesaa de pobabldades de uma vaável aleatóa Q, modelada pela dstbução omal, com méda µ e vaâca σ descohecdas, é t de Studet. Cofome mostado a equação 4.6, tem-se: µ µ µ µ d d Q f q f q f,, ~ µ µ µ µ d d Q f Q f q f q f,, ~ B. Paa mao smplcdade, o decoe da demostação seá omtdo o ídce os temos efeetes à dstbução a posteo dos paâmetos µ e. Mudado a odem de tegação a equação B., tem-se: µ µ µ µ d Q f d Q f q f q f,, ~ B. Resolvedo paa µ µ µ µ d Q f q f q f,, ~ e substtudo po ], [, µ µ q f e m Q f µ,,, tem-se: [ ] µ µ µ µ µ π π µ µ π µ π d m q d m q q f exp exp exp ~ -/ -/ / -/ -/ µ µ µ π π d m q m q exp -/ -/ / B.3 esse mometo, cosdea-se opotuo pova que A B : A B

133 8 A m q m m q q m q m q m q m m q q m qm q m q m qm q m q m q m qm q m q m q B µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Resolvedo a equação B.3: µ µ µ µ π µ µ π π µ µ π π d m q f m q d m q m q d m q m q q f, exp exp exp exp ~ / -/ -/ / -/ -/ / / m f m q q f π, exp ~ / B.4 ode: Levado B.4 em B. e sabedo-se que ~ νχ ν s, tem-se: d Q f q f q f ~ ~ χ ν d s f m f q f, /, ~ B.5

134 9 Resolvedo a equação B.5: Γ ν ν ν ν ν π d s s m q q f exp / exp ~ / / / B.6 Substtudo ν ν e ν ν s m q s a equação B.6, tem-se: / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /, ] [,, ]} [ { / exp / / / exp / / / ~ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ν ν ν ν ν ν ν χ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν π ν ν ν ν ν ν ν π ν ν ν π ν ν ν ν m q s s s B s m q s s s B d s f s m q s d s s s s d s s s s q f / / /, ~ s s m q B q f ν ν ν ν B.7 ode: /, / Γ Γ ν ν ν π B e Potato, a dstbução ~ q f, mostada a equação B.7, é t de Studet, com mometos: m q E ] [ ] [ ν ν ν ν s s q VAR Em coseqüêca, a vaável aleatóa Q seá dstbuída cofome a equação B.8: t ν s m q ~ / B.8

135 C FOTES DE IFORMAÇÕES ISTÓRICAS SOBRE EVETOS IDROLÓGICOS E IDROMETEOROLÓGICOS Duate o desevolvmeto dessa pesqusa, as pcpas fotes de fomações hstócas sobe evetos hdológcos e hdometeoológcos foam o Aquvo Públco Meo e a emeoteca stóca. Emboa outos ógãos, tas como o Ceto de Estudos stócos e Cultuas da Fudação João Pheo CEC/FJP e o Isttuto de Geocêcas Aplcadas IGA/MG também sejam mpotates fotes de fomação, os dos pmeos costtuem o poto de patda paa vestgações futuas mas pofudas. Um beve hstóco do Aquvo Públco Meo e da emeoteca Públca é apesetado a segu. As fomações foam extaídas do ste ofcal da Secetaa de Estado da Cultua de MG Algumas caacteístcas dos documetos ecotados também são desctas. C. Aquvo Públco Meo O Aquvo Públco Meo tem po faldade executa a gestão, o ecolhmeto, a guada, a pesevação e o acesso ao acevo aquvístco da Admstação Públca Estadual e aos documetos pvados de teesse públco. Cado em de Julho de 895, pela Le. 6, o Aquvo Públco Meo fo sttuído, em Ouo Peto, como epatção destada a ecebe e coseva todos os documetos coceetes ao deto públco, à legslação, à admstação, à hstóa, à geogafa e às mafestações do movmeto cetífco, lteáo e atístco do estado de Mas Geas. Istalado, calmete, a esdêca de seu fudado e pmeo deto, José Pedo ave da Vega, o Aquvo teve como acevo ogal documetos ecolhdos de dvesas epatções do Estado e de patculaes. Sua tasfeêca deftva paa Belo ozote ocoeu somete em fs de 90, passado a deoma-se Detoa de Aquvo e Estatístca, como 5ª Seção da Secetaa do Iteo. Em aos posteoes, a sttução esteve subodada às Secetaas de Educação e de Goveo e, a pat de 984, passou a tega a estutua da Secetaa de Estado da Cultua. 0

136 O Aquvo Públco Meo está stalado, desde 938, a atga sede da Pefetua de Belo ozote, edfcação destada ogalmete à esdêca do Secetáo das Faças. Em Maço de 975, copoou o pédo cotíguo Rua Amoés,..450, cuja fução é abga o acevo, a admstação e o atedmeto ao públco. O pédo, costuído em 897 e emaescete do úcleo ogal de Belo ozote, fo pojetado a Seção de Aqutetua da Comssão Costutoa da ova Captal, e ecota-se hoje tombado po deceto estadual. O acevo do Aquvo Públco Meo é costtuído po apoxmadamete.400 metos leaes de documetos poduzdos e acumulados po ógãos da Admstação Públca de Mas Geas e dvesos aquvos pvados, abagedo os séculos VIII, I e pate do século. Além de documetos mausctos e mpessos, eúe mapas, platas, fotogafas, gavuas, flmes, lvos, folhetos e peódcos. A Bbloteca, sttuída com a cação do Aquvo, completa o acevo documetal custodado. Possu ete seus títulos uma valosa coleção de obas aas e pecosas que emota ao século VI. A sttução é ada esposável pela publcação da Revsta do Aquvo Públco Meo, que apeseta assutos lgados à stóa de Mas Geas e do Basl, tascções de documetos do acevo, stumetos de pesqusa como vetáos, catálogos, epetóos e bblogafas, bogafas e moogafas dvesas. Dete os váos documetos de teesse paa a pesete pesqusa ecotados o Aquvo Públco Meo, estão os elatóos da Comssão Geogáfca e Geológca do Estado, poduzdos o fal do século I. A Comssão ea vculada à etão Secetaa de Agcultua, Coméco e Obas Públcas, e seus elatóos apesetam dvesas fomações esultates da exploação, àquela época, das pcpas egões do Estado. As fomações se efeem, especalmete, às caacteístcas geogáfcas, geológcas e clmátcas dos locas exploados. As obas dos atualstas Auguste de Sat-lae e José de Souza Azevedo Pzao também fazem pate do acevo bblogáfco do Aquvo Públco Meo. Elas apesetam um elato muto teessate das vages ealzadas po esses autoes a váas egões do Basl, até meados do século I.

137 C. emeoteca stóca A emeoteca stóca de Mas Geas, cada pela Le.., de 0 de Julho de 996, tega a estutua da Bbloteca Públca Estadual e hoje fucoa em pédo pópo, a Aveda Asss Chateaubad,. 67, em Belo ozote. O seu valoso acevo, composto po joas, evstas e peódcos aos, egsta a hstóa de Mas Geas desde meados do século I, elatado, sob um vés joalístco, os mas dvesos acotecmetos daquela época, sejam eles polítcos, socas, ecoômcos, hstócos, cetífcos, ou elacoados à ocoêca de feômeos atuas macates. As Fguas C. e C. mostam algus peódcos ecotados a emeoteca stóca. Pode-se obseva que, apesa de bastate atgos, os documetos ecotam-se em bom estado de cosevação. FIGURA C.: Joal O Resstete São João del Re, fal do século I. FIGURA C.: Joal O Amgo da Vedade São João del Re, 89.