CAPÍTULO 2 A EQUAÇÃO NÃO LINEAR

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1 34 CAPÍTULO A EQUAÇÃO NÃO LINEAR.. INTRODUÇÃO Um dos maios dsaios paa o ghio é a pstação matmática d um sistma a s aalisado buscado obt a sposta do msmo a um dado cojuto d paâmtos d pojto opação. A quas totalidad dos sistmas ísicos ais apsta um compotamto ão lia, potato, dvdo s modlados matmaticamt po quação ou sistma d quaçõs ão lias. Obsva-s também, qu a quação ou sistma d quaçõs sultats, omalmt ão possum soluçõs aalíticas. Assim, é cssáio a busca d uma solução apopiada paa o poblma po algum método uméico. O objtivo dst capítulo é o d apsta algus métodos uméicos paa solução d uma quação algébica ão lia, potato, da dtmiação do valo d uma icógita. Iicialmt, apsta-s a diição matmática d uma tasomação lia. Uma tasomação T( ) b, od b é um vto costat, tal qu,b V, é dita lia quado satisaz os dois postulados a sgui: i) ii) T ( α) αt( ), α R, V T ( y) T( ) T( y),, y V Assim, s T( ) ão satisiz os dois postulados das Eqs. (.) (.), tão, a tasomação é dita ão lia. Assim uma ução ( ) qu admita uma tasomação ( ) b lia é diida como uma ução lia. Outa oma d s pssa o cocito d ução lia sulta da obsvação d uma taa d vaiação m lação à vaiávl idpdt. Uma ução é dita lia quado vaia a uma taa costat m lação à vaiávl idpdt, coom s sgu: a) Em um spaço uidimsioal: od c é uma costat. b) Em um spaço -dimsioal: ( ) c, paa, c R v (.) (.) ' (.3) i j c, R ij,i, j,..., (.4) A Equação (.4) di uma matiz d costats [ ] c ij C. No caso d uma quação algébica costuída com uma ução uidimsioal objtiva-s dtmia o valo da icógita, tal qu:

2 35 No caso d ( ) ( ) (.5) s uma ução ão lia, a Eq. (.5) é domiada quação ão lia. A dtmiação do valo d pa satisaz a Eq. (.5), i.., a aiz da quação, omalmt é mais compla aaliticamt do qu s ( ) oss uma ução lia, ou até msmo impossívl d s dtmiada aaliticamt. Nsts casos, a Eq. (.5) é usualmt domiada como quação tascdtal. Caso a solução ista, a msma dvá s obtida d oma apoimada po um método uméico. Os poblmas ão lias m gal cotiuam a s um gad dsaio. Aida hoj ão há como s pv a istêcia da solução d uma quação ão lia paa todo ( ). Assim, há váios métodos uméicos paa a solução d quaçõs ão lias qu s compotam ditmt coom a diição d ()... O MÉTODO DA BISSEÇÃO O pocdimto paa busca da aiz ou solução da Eq.(.5) plo método da bissção pod s tdido com o auílio da Fig... Nst mplo, obsva-s qu () cuza o io m um dtmiado poto, tal qu ( ), potato, a aiz da quação. () () a a c c b b Figua. Pocdimto d busca da aiz d uma quação plo método da bissção. Assumido qu, tal qu (), o pocdimto s iicia com a stimativa d a, a, dv s um itvalo [ a b ].tal qu [ b ]. Paa tato, o itvalo stimado [ b ] tal qu (a ). ( b ) <, o qu pmit aima qu () [ a, ], caso () C [ a,b ] cuza o io m algum b. Caso st citéio ão sja satisito, um ovo itvalo dv s stimado paa qu o pocdimto sja iiciado. A sgui, o método stima qu a a b /. c povávl localização da aiz sja o poto médio do itvalo stimado, i.., ( ) O valo c cotado dv s viicado atavés do cálculo d (c ), paa avalia s c é uma apoimação acitávl ou ão paa a aiz. Isto ocoá s ( c ) ~ o o qu idicaia qu a aiz oi cotada. Caso cotáio, é cssáio stima m qual dos dois itvalos

3 mtad [ a, ] [, ] c c a aiz s cota. Paa tato, viica-s m qu itvalo mtad b () muda d sial, tstado-s (a ). (c ) <, po mplo. S o vdadio, o itvalo ovo a s scolhido é [ a, b ] od a a b c, i.., o itvalo da squda. Caso cotáio, az-s a c b b, i.., o itvalo da diita. Na Figua., é mostado o sgudo itvalo a s scolhido com o pocdimto i.., [ a, b ], a pati do qual é calculado o poto médio, c ( a b )/. O pocsso é tão ptido até qu ( c ) ~ i, i.., a i-ésima itação, idicado qu c i é uma aiz apoimada acitávl paa a Eq. (.5). O algoitmo a sgui dscv o pocdimto a s implmtado o computado. Um pogama m liguagm FORTRAN oi scito com bas ss algoitmo icluído o CD qu acompaha st livo. Lia u ( a) v ( b),a, b, ε d u v s d >, tão scva stim ovo itvalo [, b] im do pogama paa k até aça c a b a / ( ) ( c) w scva k, w s w ε tão Algoitmo do método da bissção a scva a solução o obtida a itação k, a aiz é c, ( c) im do pogama d w u s d < tão b c são v w a c w u w im do laço k scva ão covgiu m a itaçõs, obtdo c (c) a itação im do pogama No algoitmo apstado, viica-s qu oi utilizada a pssão c a (b a) / ao ivés d c (a b) / paa vita a possívl pda d algaismos sigiicativos quado b>>a. Assim, o objtivo é o d busca a adição d duas quatidads mais póimas, vitado os d adodamto qu possam lva o sultado paa oa do itvalo [ a,b] m uma máquia com pcisão limitada, po mplo. 36

4 37 Citéios d covgêcia É cssáio dii citéios d covgêcia (i.., a solução uméica é satisatóia) ou d paada caso a solução apoimada ão sja satisatóia. A sgui, são diidos dois citéios d covgêcia, basados o o lativo t duas itaçõs sucssivas, o módulo do valo da ução avaliada o poto médio do itvalo, bm como um citéio d paada com bas m um úmo máimo pmitido d itaçõs spciicado plo usuáio. São ls:. c c / c < ε. (c ) < ε (.6) 3. k od ε, ε são dois valos d tolâcia pé-spciicados, k é o cotado d itaçõs, é o úmo máimo d itaçõs. Aális d o Em um método itativo qualqu, é impotat avalia a apidz com qu o método covg paa a solução. A aális d o, ou stimativa do o absoluto do valo da vaiávl calculado m cada itação, pmit ssa avaliação. No método da bissção, a pati do itvalo iicial stimado [ a, b ] qu cotha a aiz, ciam-s as sguits sqüêcias: a b a a... b b b... a (.7) qu são stitamt csct dcsct, spctivamt, ambas limitadas, potato, covgts. Paa uma itação, obsva-s qu: b ( b a ) a (.8) Patido d utilizado a Eq. (.8), scv-s paa qualqu itação : b a ( b a ) (.9) ( ) sá limb lima Potato, lim ( b a ). Assim coclui-s qu a aiz d lima lim b (.) uma vz qu, o limit, viica-s qu ( a ) ( b ) ( ) ( ) ( )

5 38 Em um cto poto do pocsso itativo, o itvalo cosidado é [ a, ] b. A mlho stimativa paa a aiz ss poto é o poto médio do itvalo, coom mosta a Fig.. a quação a sgui: c ( a b )/ (.) Figua. Itvalo [, ] a c b a a -ésima itação do método da bissção. b O o absoluto a -ésima itação é, potato, limitado po c ( ( b a ) ) ( b a ) (.) Dssa maia, pod-s scv c ( ) ( b a ) (.3) A quação (.3) pmit stablc qu s isti plo mos uma aiz paa () o itvalo [ a, b ], o método da bissção apsta covgêcia gaatida, cosqütmt, a pati d um cto valo d tolâcia dsjada, é possívl dtmia a pioi o úmo d itaçõs cssáias paa a covgêcia plo método da bissção. Emplo.) assumido qu [ a, ] tal qu ( ) b, dtmi o úmo d itaçõs cssáias paa obt a solução com o método da bissção, tal qu c ε, ε Solução c ( ) ( b a ) ε ( { ).( b a )} l ε l ( ) l( b a ) l ε l ( ) l l( b a ) l ε l ( b a ) l ε l Comtáio: obsva-s qu o úmo d itaçõs paa a covgêcia é idpdt da a, d ε. ução ( ) cosidada, dpddo apas d [ ] b

6 39 A taa d covgêcia do método da bissção é avaliada, stimado os os absolutos as itaçõs coom s sgu: c c ( ) ( b a ) ( ) ( b a ) tão, paa um valo itio N suicitmt gad ( N) (.4) Assim, m acodo com a classiicação d ods d covgêcia d sqüêcias apstada o Capitulo, o método da bissção apsta uma taa d covgêcia lia..3. O MÉTODO DE NEWTON Cosidado uma quação ão lia ( ), C [ a,b], i.. " ( ) [ a,b], tal qu, tão plo toma d Taylo, m too d um poto póimo à aiz da quação, pod-s scv:. S h <<, o tmo ( ) ( ) ( h) ( ) h '( ) O( h ) (.5) od h O h é dspzívl m psça dos outos tmos. Potato, s é uma apoimação paa, sulta qu: Basado a Eq. (.6), iiciado com scv-s: qu di a itação d Nwto. ' ( ) ( ) ~ (.6) ' paa uma pimia apoimação da aiz d ( ) ( ) ( ) ( ), M M ( ) ( ) (.7) '

7 4 Itptação gomética: () s() Figua.3 Itptação gomética do método d Nwto. A quação da ta tagt à cuva diida po ( ) é: s ( ) s( ) '( )( ) (.8) O poto d itsção da ta s ( ) com o io oco quado s( ) Assim, sulta a itação d Nwto a pati da Eq. (.8), substituido ( ) ( ) ( ) s :. (.9) ' É impotat dstaca qu a pioi ão há gaatia d covgêcia paa a solução, a pati d um valo iicial stimado. No tato, d uma oma gal, pod-s aima qu paa hav covgêcia, dv s suicitmt póimo d. Possívis poblmas Váios poblmas podm s cotados ao s aliza uma itação d Nwto. A Fig..4 dstaca dois pocssos divgts.

8 4 3 L ' L Figua.4 Dois pocssos divgts com a itação d Nwto. A sqüêcia [ ] a Fig..4 caactiza uma itação d Nwto cíclica, comumt domiada d hists. Aida a Fig.4, viica-s qu a sqüêcia [ ] divg logo a pimia itação. Aális d o Cosid a sqüêcia o diida po: ' (.) od ão são cosidados os os d adodamto uitáio do computado. Admitido qu é cotíua, qu é aiz simpls d ( ( ) ), qu '( ), pods scv: paa ξ t ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ' (.) ' A sgui, apoima-s ( ) po uma séi d Taylo coom s sgu: ( ) ( ) ( ) '( ) " ( ξ ) (.). Potato:

9 4 Substituido a Eq. (.) obtém-s : ' (.3) ( ) ( ) ( ) " ξ ( ξ ) ( ) ( ) ( ) " ~ " C (.4) ' ' od C é uma costat ão cssaiamt mo do qu. A Equação (.4) stablc qu a itação d Nwto apsta uma odm d covgêcia quadática, sgudo o citéio d ods d covgêcia d sqüêcias apstado o capítulo. Obsva-s qu a pcisão apoimadamt aumta m ods d magitud a cada itação. A Equação (.4) também mosta uma codição suicit paa a itação d Nwto covgi, i.., paa uma itação N, od N é um itio positivo suicitmt gad: C (.5) Potato, a itação d Nwto dv s iiciada com uma stimativa paa a aiz, tal qu a Eq. (.5) sja satisita. Assim, dv sta suicitmt póima da aiz paa hav covgêcia..4. O MÉTODO DA SECANTE A itação d Nwto diida pla Eq. (.7) volv a divada da ução. Isso pod s um poblma s a divada ão isti ou o d diícil avaliação. Esta costatação motivou o dsvolvimto d um método qu avalia apoimadamt '( ) a pati da diça iita: ' ( ) ( ) ( ) ~ (.6) Assim, stablc-s o método da scat combiado as Eqs. (.7) (.6), obtdo: ( ) ( ) (.7) ( ) ( ) A itação diida pla Eq. (.7) cssita d duas stimativas paa a aiz o iício do pocsso. No tato, a cada ovo passa a qu somt uma ova avaliação d. A ómula da scat, diida pla Eq. (.7) pod também s dduzida a pati d uma itptação gomética, d oma aáloga ao método d Nwto. Est assuto é tatado o poblma poposto.. Aális d o

10 43 Cosidado o o a cada itação, diida pla Eq. (.), i..,, pods scv paa a itação : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.8) Fatoado multiplicado po, scv-s: ( ) ( ) ( ) ( ) / / (.9) É impotat lmba qu o objtivo da aális d o é o d lacioa o o m uma itação postio do pocsso,, com o o a itação atio,. Potato, aida é cssáio limia o tmo, bm como avalia quatitativamt o cotúdo das pssõs t colchts a Eq. (.9). Paa tato, utiliza-s a sguit séi d Taylo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 O " ' mas ( ), tão: ( ) ( ) ( ) ( ) O " ' qu também pod s scita paa a itação como : ( ) ( ) ( ) ( ) O " ' Subtaido a quação paa a itação da quação paa a itação, obtém-s: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O " mas, potato: ( ) ( ) ( ) " ~ / / (.3) Além disso, a pimia pssão t colchts a Eq. (.9) pod s scita como: ( ) ( ) ( ) ' ~ (.3)

11 44 Assim, substituido as Eqs. (.3) (.3) a Eq. (.9), obtém-s: ~ " ' ( ) ( ) C (.3) ( ) ( ) " cohcdo C como um valo costat. ' Potato, paa uma itação covgt com o método da scat, paa suicitmt gads, tal qu (, ), pod-s aima qu: < < (.33) > potato, paa α R, pod-s scv qu: α α < (.34) A Equação (.34) pmit aima qu o método da scat apsta odm d covgêcia α. Como α <, o método da scat tm odm d covgêcia suplia. Apsa do método da scat t covgêcia mais lta qu o método d Nwto (qu apsta odm d covgêcia quadática), o msmo qu apas uma avaliação da ução m cada itação. O método d Nwto qu a avaliação da ução d sua divada m cada itação..5. PONTOS FIXOS E ITERAÇÃO FUNCIONAL Os métodos apstados st capítulo são pocdimtos tais qu uma sqüêcia d potos é gada a oma: ( ) ( ) ( ) F (.35) A Equação (.35) pod ga sqüêcias qu ão covgm. Po mplo, s F, uma sqüêcia divgt é gada. No tato, dsja-s qu: lim s (.36) lim s F, s é domiado um poto io d F. Potato, s F é cotiua, obsva-s qu F ( s) F lim lim F( ) Diição:. Assim, ( s) s F mapia um cojuto chado cotativo, s λ <, tal qu: F C R m si msmo. Um mapamto é dito ( ) F( y) λ y (.37)

12 45 A Figua.5 mosta gaicamt o compotamto d uma ução F qu satisaz a Eq. (.37). obsva-s qu a distacia <, y > é mapada po F sultado m um valo mo, daí a domiação d ução cotativa paa F. F F(y) F() a y b Figua.5 Rpstação gáica d um mapamto cotativo F. Emplo.) Ach a aiz da quação ( ). Sja ( ), ach Solução. Adicioado a ambos os lados da quação, obtém-s: () F() o qu sug o pocsso itativo F( ) paa Assim, paa uma itação covgt lim s Potato s F(s) s (s) Dod s coclui qu (s) Toma. s é a aiz d poto io d F.

13 46 Sja F um mapamto cotativo d um cojuto chado C R m C, tão F tm um úico poto io. Est poto io é o limit d toda sqüêcia obtida pla Eq. (.35), C. Pova: a) Eistêcia: i)utilizado as Eqs. (.35) (.37), scv-s: F( ) F( λ, λ λ 3... λ ii)sja o dsvolvimto: ( ) ( )... ( ) A sqüêcia [ ] covgiá s somt s a séi: ( ) covgi. Pla dsigualdad do tiâgulo, scv-s: ( ) Potato, é suicit pova qu o tmo do lado diito da iquação acima covg. D ato: λ λ Como λ < é iito, λ pogssão gomética iiita, d azão mo do qu, potato [ ] psta a soma dos tmos d uma covg, daí: s lim F s ( ) s (poto io) b) Uicidad: Supoha, y [ a, b], tão: y F() F(y) λ y

14 47 qu, paa s vdad, com λ <, qu qu: Po último Emplo.3) Viiqu s Solução: s C, poqu [ ] C. F() y y 8 cos é cotativa. 5 Aplicado o toma do valo médio (TVM), scv-s: F() F(y) cos cos y 5 4 sξ y 5 4 <, F( ) é cotativa tm um poto io y, od ξ stá t y. Como Emplo.4) Sja p >, qual é o valo d p p p? Solução: Imagi a sqüêcia:, tal qu p, > p Obsva-s qu paa. Assim: F() p Potato: p p p ± p 4

15 48 Como p > >, tão p p 4 F() é um mapamto cotativo? p F( ) F() p Aplicado o toma d valo médio: F() F(y) p p y y (p ) 443 TVM F'() (p ) p p 3 p / p 4, p > p / O cotúdo o itio dos paêtsis o domiado é maio do qu, uma vz qu p 4 / >. Not qu p 4 > p. covg. Assim, (p ) < F() é um mapamto cotativo a sqüêcia [ ]

16 49.6. PROBLEMAS PROPOSTOS.) Dduza a ómula da scat apstada a Eq. (.7) utilizado cohcimtos d Gomtia Aalítica, com bas a Fig. P.. ( ) () ( ) Figua P. Esquma gáico paa o método da scat..) Dduza a ómula d coêcia do método da alsa posição, a pati da itptação gáica da Fig. P. a sgui. Figua P. Esquma gáico paa o método da alsa posição..3) Ecot as aízs (zos) das sguits uçõs, os itvalos dados, atavés dos métodos gáico, da bissção, da alsa posição, d Nwto da scat. Com bas o sultado gáico, dtmi itvalos paa a possívl solução, o caso do método da bissção ou stimativa(s) iicial(is) paa os métodos d Nwto da scat. Not qu, paa algus casos, as uçõs tdm ao iiito paa algum dos limits dos itvalos ocidos. Empgu uma tolâcia d -4, paa o o lativo.

17 5 a) b) c) d).4) Cosid as sguits uçõs. Ao s mpga o método da bissção, paa qual das aízs (zos) o método coduziá? a), paa b) paa c) paa.5) A dtmiação d aízs múltiplas (m spcial, os casos d multiplicidad pa) s costitui m um poblma paa a gad maioia dos métodos uméicos comumt mpgados paa dii zos (aízs) d uçõs. No caso d aízs com multiplicidad pa, o método da bissção alha, uma vz qu ão oco vaiação do sial da ução m um itvalo d valos ao do da aiz. Métodos como os d Nwto da scat, po sua vz, podm s mpgados com stiçõs, uma vz qu tato o valo da ução quato o da divada tdm a zo as poimidads da aiz, mboa a ução tda a zo com maio apidz qu sua divada. Dst modo, mpgu os métodos d Nwto da scat paa cota a aiz da sguit ução,. Utiliz como stimativa iicial paa o método d Nwto paa o método da scat..6) Implmt um código computacioal paa cota a aiz da ução, mpgado os métodos da bissção, alsa posição, Nwto-Raphso scat. Empgu como itvalo iicial paa os métodos da bissção alsa posição; paa Nwto-Raphso o caso da scat. Utiliz uma tolâcia d paa o o lativo. Qual dos métodos mpgados apsta covgêcia mais ápida? Po qu isso oco?.7) Com o ituito d mlhoa a taa d covgêcia do método d Nwto, paa uçõs com aízs múltiplas, váias modiicaçõs oam popostas. As pssõs sultats d duas modiicaçõs, popostas po Ralstom Rabiowitz (978), são apstadas a sgui: sdo a multiplicidad da aiz;

18 5 Empgu ambas as pssõs paa as uçõs dadas os cícios 4 5, matdo-s as msmas stimativas iiciais. Compa os compotamtos obtidos..8) Empgu os métodos da bissção, alsa posição, Nwto scat paa cota a aiz al da sguit ução:. Paa os métodos da bissção da alsa posição, mpgu como itvalo iicial. Paa o método d Nwto, utiliz como stimativa iicial, paa o método da scat, as stimativas iiciais. Paa a ução ocida, a aiz ata pocuada é. D poss dss ato d qu, paa um dtmiado método, sua odm d covgêcia pod s stimada atavés da pssão od o o a k-ésima itação ( ) é dado po: stim, também, as ods d covgêcia paa os métodos mpgados. Sugstão: paa a stimativa das ods d covgêcia, implmt códigos computacioais, mpgado pcisão dupla (ou supio)..9) Com bas a pssão apstada o cício 7, calcul o compotamto das ods d covgêcia dos métodos da Bissção, da Falsa Posição, d Nwto da Scat paa a ução, apstada o cício 6, com as msmas stimativas itvalos iiciais, bm como a msma tolâcia..) Escoamtos compssívis são cotados m váios poblmas d ghaia aospacial, m vitud das altas vlocidads alcaçadas. Els dvm s lvados m cota, po mplo, o pojto aodiâmico d stutuas d aviõs oguts, uma vz qu m ambos os casos têm-s úmos d Mach supios a,3, poddo, m algus casos, alcaça valos supios à uidad (scoamtos supsôicos). Uma idalização bastat útil paa studos iiciais d scoamtos compssívis é o studo do scoamto istópico uidimsioal m bocais do tipo covgt-divgt (Bocal d Laval). Paa tato, cosida-s qu um gás moospéci com popidads costats scoa atavés d um bocal covgt-divgt, apstado aclação ao logo do scoamto, com gims d vlocidads sub, tas supsôicas ao logo do bocal. Nst caso, são obtidas as sguits quaçõs paa a dtmiação das popidads do scoamto:

19 5 sdo: p a pssão; T a tmpatua; ρ a massa spcíica; M o úmo d Mach; k a azão t calos spcíicos a pssão a volum costats; A a áa da sção tasvsal do bocal; a áa cítica (sção tasvsal a sticção ou gagata do bocal); os ídics idicado popidads d stagação, pviamt cohcidos. Nota-s qu, dtmiado o úmo d Mach, todas as popidads podm s calculadas a pati d valos pviamt cohcidos. O úmo d Mach, po sua vz, pod s obtido atavés da última pssão, uma vz qu sjam cohcidas as áas das sçõs tasvsais ts ao scoamto à gagata do bocal (gião d mo áa). Gaicamt, pod-s obsva qu, paa uma dada azão t áas, istm duas possibilidads d úmos d Mach uma, associada a um scoamto subsôico a outa, t a um scoamto supsôico. Nst caso, o scoamto subsôico staá associado aos potos a motat (atios) à gagata do bocal o scoamto supsôico staá localizado a jusat (potos postios) à gagata. Supoha qu, paa o aio d um dtmiado bocal sja diido pla sguit ução: qu scoado po ss bocal sja mpgado a (modlado como um gás moospéci), com as sguits popidads costats: ;. Plot gáicos com a vaiação do úmo d Mach, tmpatua pssão ao logo do io d simtia do bocal. Utiliz passos o io das abscissas iguais a,5..) A tasêcia d calo m gim tasit m uma pad plaa, sm gação d calo, sujita a covcção m suas duas supícis pod s modlada atavés da sguit quação: sdo α a diusividad témica do matial (cosidada costat st caso), T a tmpatua, a coodada spacial t o tmpo. A solução ata d tal quação dicial tm como sultado a sguit pssão: od: é a tmpatua iicial da pad (cosidada costat), é a tmpatua do luido m cotato com as duas supícis da pad, psta o tmpo adimsioalizado, é a posição do poto m qu s dsja obt a tmpatua, avaliada a pati do cto (liha d simtia) da pad, L é a smi-spssua da pad, sdo cospodt às aízs positivas da quação tascdtal

20 53 a qual Bi -s ao úmo d Biot, qu pod s tdido como uma azão t as sistêcias témicas d codução o itio do sólido (pad) d covcção atavés da camada-limit do luido. Calcul os quato pimios valos ão-ulos d m ução d divsos úmos d Biot, iiciado com Bi até Bi, com passo d,.