UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte II - Números reais Notas de aula - Marlene

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1 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Sumário II Números reis 6 2 Operções, xioms e proprieddes dos reis 6 2. As operções Som e Produto e os Axioms Algérios Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Proprieddes lgéris Proprieddes lgéris ásis Outrs proprieddes lgéris importntes Leis de nelmento Lei do nulmento do produto Iguldde de frções Produtos notáveis Implições e equivlênis em expressões e em equções O que é um expressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? O que são expressões equivlentes? O que são equções equivlentes? Simplifir expressões é o mesmo que simplifir equções? Axioms e proprieddes de ordem Axioms de ordem Proprieddes de ordem Podemos tror < por e > por? Representção geométri dos reis A ret numéri ou ret orientd Intervlos Implições e equivlênis em inequções O que é um desiguldde? O que é um inequção? O que é um solução de inequção? Como representr s soluções de um inequção? Podemos simplifir inequções extmente d mesm form que simplifimos equções? Módulo ou vlor soluto Definição e exemplos Exemplos de resolução de equções e inequções om módulo, usndo definição de módulo Módulo: interpretção geométri n ret numéri Proprieddes de módulo Exemplos de resolução de equções e inequções om módulo, usndo proprieddes Exemplos de gráfios de funções om módulo Riz qudrd e riz úi Riz qudrd e riz úi: definições Riz qudrd e riz úi: proprieddes

2 6 Prte II Números reis Introdução Um dos ojetivos do nosso estudo dos reis é onsolidr o onheimento dquirido té qui sore os reis, om um visão mis profundd, fzendo uso do que prendemos em noções de lógi. A plição nturl ds proprieddes dos reis é n resolução de equções e inequções, que surgem nos prolems de diverss áres de onheimento. Ns simplifições ds equções e inequções são usds fortemente s proprieddes dos reis. Infelizmente, é muito omum o luno plir s proprieddes de form equivod, or porque são plids sem os devidos uiddos de verifir s hipóteses em que é possível plir, or porque no fã de simplifir, surgem proprieddes que não existem. Esper-se que o finl do estudo o luno sej pz de identifir orretmente quis proprieddes podem ser usds em simplifições de equções e inequções. Como ess disiplin é ofereid pens pr os lunos do urso de Físi, não há preoupção em provr tods s proprieddes, ms so o luno tenh uriosidde de ver tods els, pode onsultr s nots de ul d disiplin Mtemáti Bási, ofereid pr os lunos do urso de Mtemáti. Historimente os onjuntos numérios, que são os nturis, os inteiros, os rionis, os irrionis, os reis e os omplexos surgirm n mesm ordem em que são estuddos ns esols de Ensino Básio, Fundmentl e Médio. A neessidde de estudo de um novo tipo de onjunto numério sempre esteve de lgum form vinuld à neessidde de mplir s proprieddes dos números pr que pudessem resolver novos prolems. Ess é ordem nturl de estudo e já foi vist por todos os lunos que entrm n Universidde. Agor vmos onstruir xiomtimente os números reis, isto é, os números reis serão definidos omo os números que stisfzem um determindo número de xioms ou postuldos, eitos sem demonstrção. Os outros onjuntos são suonjuntos dos reis e lguns xioms dos reis não se plim nos suonjuntos, destremos quis não se plim. Muits vezes os xioms tmém são hmdos de proprieddes ou proprieddes ásis. É muito importnte que tenhmos em mente esses xioms, são eles que nos permitem enontrr novs definições e proprieddes. 2 Operções, xioms e proprieddes dos reis 2. As operções Som e Produto e os Axioms Algérios Sej R um onjunto, hmdo onjunto dos números reis ou onjunto dos reis. Som e Produto são operções plids sore quisquer dois elementos, R. Úni notção usul d som de e : + (lei-se mis ) Notções usuis do produto de por :, e. (lei-se vezes ) Pr,, R dmitem-se verddeiros os xioms lgérios desritos seguir. Axioms d Som Axioms do Produto Lei do fehmento AS : + R AP : R Lei ssoitiv AS2 : ( + ) + = + ( + ) AP 2 : ( ) = ( ) Lei omuttiv AS3 : + = + AP 3 : = Lei do elemento neutro AS4 : 0 R; + 0 = AP 4 : R; = Lei do elemento simétrio AS5 :, R; + ( ) = 0 (diz se : é o simétrio de ) Lei do elemento inverso AP 5 : 0, R; = (diz se : é o inverso de ) Axiom d Som e Produto Lei distriutiv ASP : ( + ) = +

3 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Oservções: Form truiuíds letrs (AS, AS2, AP5, et) pens pr filitr, qundo for preiso itr referênis os xioms. Qulquer outr propriedde lgéri dos reis pode ser deduzid ou provd prtir desses xioms. Listremos lgums importntes, lgums são triviis de demonstrr, outrs não. Os números reis, que são os elementos do onjunto dos reis, stisfzem esses xioms, ms pens esses xioms não rterizm os números reis, isto é, não são pens os números reis que stisfzem esses xioms. Os números rionis e os números omplexos tmém stisfzem esses xioms. Os números nturis surgirm historimente om o ojetivo de ontr ojetos, onde poderi juntr ojetos e ontr, isto é, somr, poderi juntr por grupos, isto é, multiplir. Isto é, nos números nturis, poderim definir s operções som e multiplição. A lei de formção dos nturis omeçou om o número, depois, somndo o, otém o 2, somndo o 2, otém o 3, depois foi esteleido que todo número nturl pode ser otido omo som de um outro número nturl om o número, isto é, todo número nturl tem um suessor, logo 8 é o suessor de 7, 00 é o suessor de 000, ssim por dinte. E ssim, o onjunto dos nturis é {, 2, 3, 4, 5, }, omo já semos é denotdo por N. No onjunto N dos nturis não existe o elemento neutro d som, nem o elemento simétrio, ms existe o elemento neutro do produto, o únio elemento que possui elemento inverso é o próprio elemento neutro. O onjunto Z dos números inteiros é formdo pelos números nturis, pelo zero e pelos simétrios dos nturis. Isto é, Z = {0,,, 2, 2, 3, 3, }. No onjunto Z dos inteiros, os únios números que possuem elemento inverso são o e o. Agor vmos ver que sutrção, divisão e s potênis nturis podem ser definids usndo os xioms lgérios. Outr notção pr o elemento inverso de é, isto é, =. 2.2 Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Definição (Sutrção) Sejm, R. A sutrção de é denotd por e definid omo som de om o simério de. Em símolos, := + ( ). (lei-se menos ) Definição (Divisão) Sejm, R e 0. A divisão de por é denotd por e definid omo o produto de pelo inverso de. Em símolos, :=. (lei-se dividido por ) Outrs notções: = = / Oservção sore divisão por 0: omo 0 não possui inverso, divisão por zero não é definid. Oservção sore os símolos := e =, onheidos omo por definição. Esses dois símolos têm extmente o mesmo signifido: expressão do ldo esquerdo do símolo é nov, está sendo definid pel expressão do ldo direito, que us lgo onheido previmente. O símolo = é mis usdo em textos mtemátios, o símolo := tmém é usdo em textos mtemátios mis reentes, é o mesmo símolo usdo em progrms omputionis. Definição (Potêni nturl) Sejm, R e n N. A potêni de elevd à n é denotd por n e n :=. }{{} n vezes

4 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Proprieddes lgéris 2.3. Proprieddes lgéris ásis Assim denominds porque são stnte usds, junto om os xioms e s definições, pr demonstrr outrs proprieddes tmém importntes. Ns provs desss proprieddes são usdos pens os xioms, ms isso não signifi de form lgum que é fáil desorir omo provr tods els. Tente provr, provvelmente voê pereerá difiuldde em lgums dels. Afirmção de ráter mis gerl que é usd em demonstrções ds proprieddes: Trnsitividde d iguldde: = e = = =. Propriedde PA Uniidde do elemento neutro d som Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento neutro d som. Propriedde PA 2 Uniidde do elemento neutro do produto Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento neutro do produto. Propriedde PA =, R. Propriedde PA 4 =, R. Propriedde PA 5 Uniidde do elemento simétrio Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento simétrio. Propriedde PA 6 Uniidde do elemento inverso Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento inverso. - Oservção sore notção de existêni e uniidde. O símolo! signifi existe um únio. Pels proprieddes im, Podemos esrever! 0 R; + 0 =, R e tmém! R; =, R. Ddo R, podemos esrever,! R, e se 0 podemos esrever! Propriedde PA 7 + = 0, R. Propriedde PA 8 =, R e 0. Propriedde PA 9 ( ) =, R (lei-se: é o simétrio de ). ( Propriedde PA 0 =, R e 0 lei-se: é o inverso de ). Propriedde PA ( + ) = +,,, R. Propriedde PA 2 0 = 0 = 0, R. Propriedde PA 3 ( ) = = ( ), R. R.

5 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Outrs proprieddes lgéris importntes As demontrções desss proprieddes são mis simples do que s demonstrções ds proprieddes ásis, vmos provr pens lgums, outrs serão deixds omo exeríio. Antes de ver demonstrção de d propriedde, tente provr sozinho. Pr provr d propriedde podemos usr s definições, xioms e proprieddes disponíveis, por esse motivo mneir de provr não é úni. Qunto mis proprieddes fim disponiveis, mior é o número de mneits diferentes de provr. Qundo preer o símolo :=, signifi que usmos lgum definição. Propriedde PA 4 ( ) = ( ) = ( ),, R. Prov d primeir iguldde: ( ) PA3 = ( ) ( ) ssoitiv = (( ) ()) PA3 = ( ) Prov d segund iguldde: ( ) PA3 = ( ) ( ) omuttiv = ( ) ( ) ssoitiv = ( ( )) PA3 = ( ) Propriedde PA 5 ( ) ( ) =,, R. Prov: ( ) ( ) PA4 = ( ( )) PA4 = = ( ( )) PA9 = Propriedde PA 6 = =,,, R, 0 ( ssoitiv Prov d primeir iguldde: := ( ) = ( ssoitiv Prov d segund iguldde: := ( ) = ssoitiv = ( ) := Propriedde PA 7 = =, R, 0 elemento neutro PA6 Prov d primeir iguldde: = = Prov d segund iguldde: Por outro ldo, ( ) Logo ) := ) omuttiv = PA3 = pel lei do elemento inverso, ( ) ( ) PA5 elemento neutro = () =. e são os inversos de. Como o inverso é únio, = = Propriedde PA 8,, R, 0, 0. ( ) Prov: Primeiro vmos verifir ( ) =. ( ) ( ) ( ) ( ) AP3 = AP2 = ( ) Assim, provmos que é o elemento inverso de ( ). Como o elemento inverso de ( ) é únio e é igul ( ) é o elemento inverso de. AP5 = () AP4 = ( ), temos que = AP5 =. Propriedde PA 9 Prov: AP2 = ( d = d := ( ) ) ( ) d := d d PA8 = ( ) d,,,, d R, 0, d 0. ( ) ( AP2 = d ) d ( AP3 = ) d

6 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Propriedde PA 20 Prov: exeríio. + = +,,, R, 0. Atenção: omo est propriedde é muito útil em simplifições, lguns pensm que st tror os numerdores om os denomindores e propriedde ontinu vlendo. Isso não é verdde. Exeríio: dê um ontr-exemplo pr mostrr que iguldde + = + é fls. Propriedde PA 2 ( + ) =,, R. Prov: exeríio. Propriedde PA 22 Prov: exeríio. Propriedde PA 23 Prov: exeríio. Propriedde PA 24 Prov: exeríio. + d Leis de nelmento = = =,,, R, 0.,, R,, 0. d,,,, d R,,, d 0. Propriedde PA 25 A iguldde não se lter qundo som-se ou multipli-se o mesmo número nos dois ldos d iguldde. Sejm,, R. Vlem s seguintes proprieddes: i) = = + = + (preservção d iguldde n som) ii) = = = (preservção d iguldde no produto) Prov: ness prov só é usd lógi, não é usdo nenhum xiom ou propriedde dos reis. i) Semos que + = +,,. Logo, = = = e + = + = + = +. ii) Semos que =,,. Logo, = = = e = = =. Propriedde PA 26 Sejm,, R. Leis de nelmento d som e do produto (implições) Vlem s seguintes proprieddes: i) + = + = = (é reípro d preservção n som) ii) = e 0 = = (não é reípro d preservção no produto) Prov: i) + = + PA25 = + + ( ) = + + ( ) = AS5 + 0 = + 0 AS4 ii) = e 0 PA25 = = = = AP5 = = = AP4 = Oservção. Ess propriedde é onheid omo ort ort, ms é preiso tomr todo o uiddo no produto, só pode ortr se tem ertez que o termo ortdo é não nulo e outr iguldde é verddeir. Vej esse exemplo: 4 x = 3 x, plindo o ort ort, 4 x = 3 x, onluímos que 4 = 3. Ué? o que houve? Respost: iguldde 4x = 3x é verddeir pens qundo x = 0, isto é, hipótese d lei do nelmento (4 x = 3 x e x 0) é fls, não podemos plir propriedde.

7 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Lemre sempre Só podemos plir um propriedde qundo forem verddeirs s hipóteses d propriedde. Propriedde PA 27 Lei de nelmento d som (equivlêni) Sejm,, R. Vle seguinte propriedde: = + = +. Prov: (relei s proprieddes PA25 i) e PA26 i) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA25 i). ( =) Já está provd, é propriedde PA26 i). Oservção: no nelmento do produto vmos preisr resentr 0 n hipótese pr que sej verddeir equivlêni. Isto é, sejm,, R, seguinte firmção, É FALSA PORQUE ( =) É FALSA. = = É FALSA, Contr-exemplo: = 0, = 2, = 0,,, R, hipótese 0 0 = 2 0 é verddeir e tese 0 = 2 é fls. Propriedde PA 28 Lei de nelmento do produto (equivlêni) Sejm,, R, 0. Vle seguinte propriedde: = =. Prov: (relei s proprieddes PA25 ii) e PA26 ii) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA25 ii). ( =) Já está provd, é propriedde PA26 ii) Lei do nulmento do produto Propriedde PA 29 Lei do nulmento do produto Pr, R vle seguinte equivlêni: = 0 = 0 ou = 0 Prov: ( =) Por hipótese, = 0 ou = 0. Anlisndo d um dos dois sos, so = 0 = = 0 = 0 ou so = 0 = = 0 = 0 (= ) Pel lógi, ddo R, = 0 ou 0. Por hipótese, = 0. Assim, temos = 0 = = 0 e ( = 0 ou 0) = ( = 0 e = 0) ou ( = 0 e 0) Anlisndo d um dos dois sos, so ( = 0 e = 0) = = 0 ou so ( = 0 e 0) = = 0 = = 0 = = 0 Propriedde PA 30 Pr, R vle seguinte equivlêni: = = ou = 0 Prov: é simples entender que é um onsequêni d lei do nulmento. = + ( ) = + ( ) = 0 ( ) = 0 PA29 = 0 ou = 0 + = 0 + ou = = ou = 0 = ou = 0.

8 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Iguldde de frções Propriedde PA 3 Teste d iguldde de frções. Pr,,, d R,, d 0 é verddeir seguinte equivlêni: = d d =. Voê prestou tenção ns hipóteses, d 0? Sem esss hipóteses não vle equivlêni porque s expressões d iguldde do ldo esquerdo não estrim definids se tivessem denomindores nulos. Prov: Exeríio. Sugestão: use propriedde PA28. Propriedde PA 32 Simplifições em soms de frções (redução o mesmo denomindor). Pr,,, d, p, q R,, d, p, q 0, vlem s seguintes igulddes: i) ii) + d = d d + d + = d d d = d d d = d d iii) Qundo m=p=dq, + d = p p + q p + q = dq m Provs: Exeríio. Os. Se, d, p, q N, m será um múltiplo omum de e d Produtos notáveis Propriedde PA 33 Prinipis produtos notáveis. Sejm, R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + ) 2 = ii) ( + ) 3 = iii) ( ) 2 = iv) ( ) 3 = v) 2 2 = ( )( + ) vi) 3 3 = ( )( ) vii) = ( + )( ) viii) n n = ( )( n + n n 2 + n ) Prov: exeríio. Provr d i) té viii). Há um produto notável importnte que será estuddo mis dinte, é o produto denomindo Binômio de Newton. O Binômio de Newton estelee um fórmul pr ( + ) n. 2.4 Implições e equivlênis em expressões e em equções Agor temos por ojetivo justifir o uso ds proprieddes lgéris pr simplifir expressões e equções. Primeiro vmos preisr responder às seguintes pergunts: 2.4. O que é um expressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? A plvr expressão em mtemáti é usd qundo onetmos elementos de um onjunto por operções entre esses elementos. Exemplos de expressões são: () 2 (4 π); () ; () 4 + log 0 3; (d) 3 2 x 2 32 ; x R (e) m + log 0 n; m, n Q. No exemplo () podemos vlir expresssão, o resultdo é um número rel em definido. No exemplo () podemos vlir expressão, o logrítmo de um número n se 0 pode ser vlido em qulquer número positivo, o resultdo será um número rel. Já no exemplo () não é possível vlir expressão porque pr

9 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene vlir expressão o denomindor tem que ser não nulo, isto é o resultdo d expressão não está definido. Qundo são olods letrs n expressão, s letrs são hmds de vriáveis ou onstntes e sempre é preiso fir lro em que onjunto universo podemos esolher elementos pr sustituir no lugr d(s) letr(s) pr vlir expressão, ou sej enontrr um resultdo em onheido pr expressão. A letr é hmd de vriável qundo podemos esolher mis que um elemento do onjunto universo pr sustituir no lugr d letr e é hmd onstnte qundo podemos triuir pens um elemento. Um expressão lgéri n vriável x U, que podemos denotr por E(x) ou por qulquer letr no lugr de E, é um expressão em que preem um ou mis ds seguintes operções lgéris: som, produto, sutrção, divisão, potenição ou rdiição entre vlores de um onjunto e vriável x. Exemplos de expressões lgéris em x R: E(x) = 4x 2 x + 2x + x ; F (x) = x + 2 x. x 2 Denominmos domínio de definição d expressão ou simplesmente domínio d expressão, o mior suonjunto do onjunto universo U em que expressão está em definid, ou sej, em que é possível vlir expressão. Num expressão E(x) podem preer váris expressões, neste so o domínio d expressão E(x) é interseção dos domínios de d expressão ontid em E(x). Chmmos de restrições de E(x) s ondições que devem ser stifeits pr que s expressões que preem em E(x) sejm em definids. No exemplo E(x) im, s restrições sâo: x 2 0 e x x 2 0. Pr enontrr os vlores possíveis de x, preismos plir proprieddes lgéris e resolver equções, flremos sore isso n próxim seção. No exemplo F (x) im, s restrições sâo: x 0 e x 0. Aind não fizemos revisão d operção lgéri rdiição, será feit mis dinte. Pr enontrr os vlores possíveis de x, teremos que plir proprieddes de ordem e resolver inequções, que serão vists ns próxims seções. Existem expressões em x que não são expressões lgéris. Exemplo de expressões não lgéris em x: E(x) = 2 sen (x) + 4 os(2x); E(x) = 3 log 0 (2x) + 3 log 2 (3x). As expressões trigonométris e logrítmis serão revisds om detlhes em Mtemáti Bási I. Um equção em x é um iguldde entre dus expressões distints E(x) e F (x) definids em U, ou sej E(x) = F (x), x U. O domínio d equção é interseção dos domínios de E(x) e F (x). Ddo um vlor fixo ou onstnte diz-se que x = é um solução d equção E(x) = F (x), ou simplesmente é um solução d equção E(x) = F (x) se sustituirmos x pelo vlor fixo em E(x) e em F (x), os resultdos forem iguis. Exemplo: n equção 4x 3 0x = 2 + 6x, x R, temos que E(x) = 4x 3 0x e F (x) = 2 + 6x. Pr x = vlimos: E( ) = 4( ) 3 0( ) = 4( ) + 0 = = 6 e F ( ) = 2 + 6( ) = 2 6 = 6. Resultdos iguis impli que x = é solução d equção. Pr x = vlimos: E() = 4() 3 0() = 4 0 = 6 e F () = 2 + 6() = = 8. Como os resultdos são diferentes, x = não é solução d equção.

10 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene O que são expressões equivlentes? Diz-se que dus expressões são iguis ou equivlentes em x A qundo pr todo x A, se sutituirmos o vlor x ns dus expressões, os resultdos otidos ns dus expressões são iguis. Qundo trnsformmos um expressão E(x) em outr expresssão trvés d plição suessiv de proprieddes lgéris sore os termos onstntes e sore o termo vriável x d expressão E(x), otemos um nov expressão F (x) n vríável x. Alguns sos de plição de proprieddes ds operções lgéris em que otemos expressões equivlentes: Se somrmos e sutrirmos um mesm expressão G(x) qulquer expressão H(x) que fç prte d expressão originl E(x) então será otid um nov expressão igul ou equivlente à originl. Justifitiv Sendo H(x) um expressão que fz prte d expressão originl E(x). Somndo e sutrindo um expressão G(x) H(x), otemos H(x) + G(x) G(x) = H(x) + 0 = H(x). Assim não ltermos expressão H(x), onsequentemente não ltermos expressão E(x). Exemplo E(x) = 4x 2 + 8x e vmos somr e sutrir 4 E(x). F (x) = E(x) = 4x 2 + 8x = 4x 2 + 8x = = 4(x 2 + 2x + ) 5 = 4(x + ) 2 5. Assim, s expressões E(x) = 4x 2 + 8x e F (x) = 4(x + ) 2 5 são iguis ou equivlentes. Exemplo 2 E(x) = x 2 x F (x) = x 2 + x e vmos somr e sutrir x 2. = x 2 + x Assim, s expressões E(x) = x 2 x Exemplo 3 E(x) = x2 + x 2 + x + F (x) = x2 + x x + x 2 + x + = x2 + x + x x 2 + x + Assim, s expressões E(x) = x2 + x 2 + x + = x x e F (x) = x = x x x = x. são iguis ou equivlentes. e vmos somr e sutrir x x 2 +. = x2 + x + x 2 + x + e F (x) = x x 2 + x + = x x 2 + x + x x 2 + x +. são iguis ou equivlentes. Se multiplirmos e dividirmos um mesm expressão G(x) não nul em x A por qulquer expressão H(x) que fç prte d expressão originl E(x) então será otid um nov expressão igul ou equivlente à expressão originl em x A. Justifitiv Se H(x) é um expressão que fz prte d expressão originl E(x). Multiplindo e dividindo H(x) por um expressão G(x), onde x é tl que G(x) 0, otemos: H(x) G(x) G(x) = H(x) = H(x), onde x é tl que G(x) 0 Assim não ltermos expressão H(x), onsequentemente não ltermos expressão E(x) que G(x) 0. pr x tl Exemplo E(x) = x x +, vmos multiplir e dividir por ( x ), pr x. (x ) F (x) = ( x + ) ( x ) ( x ) (x ) ( x ) = ( ( ) = x) 2 2 (x ) ( x ) = x pr x. (x ) Assim, s expressões E(x) = x x + e F (x) = x são iguis ou equivlentes pr x.

11 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Vle pen oservr que lgums operções lgéris plids sore um expressão, não onduzem um nov expressão igul ou equivlente à expressão originl, isto é, onduzem um nov expressão que não é equivlente à expressão originl. Somr mesm expressão o numerdor e o denomindor de um expressão não onduz um expressão equivlente. x + Exeríio : Verifique que x x + +, 0. x + Exeríio 2: Sejm P (x), Q(x), H(x) expressões em x tis que H(x) 0 e Q(x) + H(x) 0. Prove que P (x) P (x) + H(x) = P (x) = Q(x). Q(x) Q(x) + H(x) Elevr um expressão o qudrdo não onduz um expressão equivlente. Exeríio: Verifique que x x O que são equções equivlentes? e (x ) 2 x não são equivlentes. Considere dus equções em x A, F (x) = G(x) e K(x) = L(x). Esss equções são dits equivlentes em x A qundo x A é solução de F (x) = G(x) x A é solução de L(x) = K(x). Isto signifi que: x A é solução de F (x) = G(x) = x A é solução de L(x) = K(x) e x A é solução de L(x) = K(x) = x A é solução de F (x) = G(x) Simplifir expressões é o mesmo que simplifir equções? A respost é não. Simplifir um expressão E(x), x A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore expressão E(x), x A pr oter um nov expressão F (x), x A igul ou equivlente à expressão originl E(x), x A. Simplifir um equção E(x) = F (x), x A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore s expressôes E(x) e F (x), x A pr oter um nov equção K(x) = L(x), x A. Oservções importntes sore simplifição de equção: As expressões K(x) e L(x) otids d simplifição d equção E(x) = F (x) não são equivlentes às respetivs expressões E(x) e F (x). Exemplo F (x) = 4x 2 e G(x) = 8x 4 n equção originl 4x 2 = 8x 4. Podemos plir proprieddes de nelmento d som = + = + e d multiplição pr 0, temos = =. E tmém propriedde 2 = 0 = 0 (não foi dd, prove). Aplindo s proprieddes pr simplifir, 4x 2 = 8x 4 +( 8x+4) 4x 2 + ( 8x + 4) = 8x 4 + ( 8x + 4) 4x 2 8x + 4 = 0 4(x 2 2x + ) = (x2 2x + ) = 0 4 x2 2x + = 0 (x ) 2 = 0 x = 0 x =. Assim n simplifição otivemos omo últim equção x =, isto é, temos K(x) = x e L(x) =. F (x) = 4x 2 e K(x) = x não são equivlentes. G(x) = 8x 4 e L(x) = não são equivlentes.

12 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Porque s soluções d últim equção simplifid são s únis ndidts soluções d primeir equção? Isso é um questão de lógi. Ao resolver equções, ns simplifições estremos usndo proprieddes. É muito omum esrevermos um equção emixo d outr, sem expliitr se propriedde usd n simplifição é um propriedde de equivlêni ou se é um propriedde só de implição, isto é, não vle reípro d simplifição. Vej, tnto ns proprieddes de equivlêni qunto ns proprieddes de implição usds ns simplifições, temos: x A é solução d equção E(x) = F (x) = x A é solução d equção K(x) = L(x). Semos que p = q é o mesmo que q = p. Aplindo ess propriedde de lógi, temos que: x A não é solução d equção K(x) = L(x) = x A não é solução d equção F (x) = G(x). Isto é, pr ser solução d equção originl F (x) = G(x) é neessário ser solução d equção simplifid K(x) = L(x). Qundo podemos firmr que tods s soluções d últim equção simplifid são extmente s soluções d equção originl? Respost: qundo tods s proprieddes usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que s soluções d últim equção são tods s soluções d primeir equção. Exemplo No exemplo nterior, tods s simplifições form de equivlêni. Logo, omo úni solução d últim equção é x = então úni solução d equção originl 4x 2 = 8x 4 será x =. Qundo é preiso testr se s soluções d últim equção simplifid são extmente s soluções d primeir equção? Respost: Qundo ns simplifições foi usd pelo menos um propriedde em que só vle implição, isto é, não vle reípro d propriedde usd. Exemplo: Queremos resolver equção x = 6 x. Pr resolver, vmos usr propriedde = = 2 = 2. Exeríio: prove que reípro é fls, isto é, 2 = 2 =. x = 6 x = ( x) 2 = (6 x) 2 x = 36 2x + x 2 x 2 2x + 36 x = 0 x 2 3x + 36 = 0 x = 3 ± x = 3 ± 5 x = 9 ou x = Testndo s soluções n equção originl, Pr x = 4, temos 4 = 2 e 6 4 = 2. Logo equção x = 6 x é verddeir pr x = 4. Pr x = 9, temos 9 = 3 e 6 9 = 3. Logo equção x = 6 x é fls pr x = 9. Assim, úni solução é x = 4. Lemre sempre Pr resolver equções é preiso ser em s proprieddes lgéris.

13 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Axioms e proprieddes de ordem 2.5. Axioms de ordem Os seguintes xioms (ou proprieddes) são eitos, sem demonstrção. Axiom d ordem. Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) é positivo (ii) = 0 (iii) é positivo Conheido omo propriedde de triotomi d ordem. Qundo é positivo, diz-se que é negtivo. Axiom d ordem 2. Ddos, R vle s firmção: é positivo e é positivo = + é positivo e é positivo. Conheido omo propriedde de fehmento d ordem, n som e no produto. Consequêni imedit dos xioms: é positivo e é negtivo. Prov: semos que 0 porque 0 é o únio elemento neutro d som e é o únio elemento neutro do produto, logo pelo xiom, temos dois sos exludentes: so (i) é positivo. so (iii) é positivo. Neste so, pelo xiom 2, onluímos que ( )( ) é positivo. (*) Por outro ldo, por proprieddes lgéris, semos que ( )( ) =)()() = (**). Por (*) e (**), onluímos que o número é positivo. Ess onlusão ontrdiz o xiom, pois não é possivel s dus firmções serem verddeirs simultnemente: é positivo e é positivo. Logo, não é possível supor positivo. Só restou o so (i) é positivo. Ness prov vimos que não é positivo. Como semos que 0, só rest possiilidde ( ) é positivo, isto é, é negtivo. Definição. Ordenção dos números reis. Ddos quisquer, R, Diz-se que é mior do que se é positivo e denot-se por >. Diz-se que é menor do que se é positivo e denot-se por <. Consequêni d definição: so prtiulr, R e = 0: Diz-se que é mior do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é positivo e denot-se por > 0. Diz-se que é menor do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é negtivo e denot-se por < Proprieddes de ordem A prtir dos xioms d ordem, prov-se outrs proprieddes de ordem. Aqui estão listds lgums dels. Outrs, que não estão listds, podem ser demonstrds prtir dos xioms e ds proprieddes listds qui. Só veremos demonstrções de lgums dels, s outrs o luno urioso pode ver no texto Nots de ul d disiplin Mtemáti Bsi oferid pr os lunos do Curso de Mtemáti. Propriedde PO Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) > 0 (ii) = 0 (iii) < 0 Tmém é onheid por triotomi d ordem.

14 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 2 Ddos,, R, vle implição: < = + < +. Conheid omo propriedde de monotoniidde d dição ou lei de preservção d ordem n dição. menor do que Prov: < = > 0 = + 0 > 0 = + + ( ) > 0 = + > 0 = + ( + ) > 0 = + > + = + < +. Propriedde PO 3 Ddos,, R e > 0, vle implição: < = <. Conheid omo propriedde de monotoniidde do produto ou lei de preservção d ordem no produto. Prov: < e > 0 = > e > 0 = > 0 e > 0 xiom 2 = ( ) > 0 > 0 = > = <. Propriedde PO 4 Ddos,, R e < 0, vle implição: < = >. Conheid omo lei de inversão d ordem no produto. menor do que Prov: < e < 0 = > 0 e 0 > 0 = > 0 e > 0 xiom = 2 ( ) ( ) > 0 mior do que ( ) ( ) > 0 = + > 0 = > 0 = >. Propriedde PO 5 Ddos,, R, vle implição: < e < = <. Conheid omo propriedde trnsitiv d ordem. Prov: < e < = > 0 e > 0 xiom 2 = + > 0 = + > > 0 = > 0 = > = <. Propriedde PO 6 (outr triotomi). Ddos, R, um e só um ds possiiliddes é verddeir: (i) < (ii) = (iii) > Prov: Ddos, R, podemos lulr. Aplindo propriedde PO (segund triotomi) em, temos 3 sos distintos: (i) < 0 (ii) = 0 (iii) > 0 Ms, plindo s definições de mior do que e menor do que, d um deles, temos respetivmente: (i) < (ii) = (iii) > Propriedde PO 7 Ddos,, R, vle equivlêni: < + < +. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 2. ( =) + < + PO = ( ) < + + ( ) = + 0 = + 0 = <. Propriedde PO 8 Ddo R; 0, vlem s equivlênis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 Propriedde PO 9 Ddos,, R, > 0, vle equivlêni: < <. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 3. ( =) < e > 0 PO = 8 < e > 0 PO = 3 < = < = <. Propriedde PO 0 Ddos,, R, < 0, vle equivlêni: < >. Prov: Exeríio. Propriedde PO Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) < 0 > 0 (ii) > 0 < 0 (iii) < > (iv) > <.

15 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 2 Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) < 0 ( > 0 e < 0) ou ( < 0 e > 0) Provs: Vmos provr (i). Exeríio: provr (ii) (i) ( =) Hipótese: ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) As dus firmções entre prênteses são exludentes pois são flsos os seguintes sos: ( > 0 e > 0 e < 0) ou ( > 0 e > 0 e < 0) ou ( > 0 e < 0 e < 0) ou ( > 0 e < 0 e < 0). Assim, só restm os 2 sos verddeiros e exludentes: Cso ( > 0 e > 0) xiom2 = > 0. Cso 2 PO ( < 0 e < 0) = > 0 e > 0 xiom2 = ( )( ) > 0 = > 0. (= ) Hipótese: > 0. Pel triotomi d ordem, semos que = 0 ou < 0 ou > 0. Anlisndo d um deles, Cso = 0 = = 0 = 0. Logo o so = 0 e > 0 é flso. Cso 2 > 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, > 0 e > 0. Cso 3 < 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, < 0 e < 0. PO 3 > 0 e > 0 = > 0 = > 0 = > 0. PO 4 < 0 e > 0 = < 0 = < 0 = < 0. Propriedde PO 3 Ddo R, vle implição: > 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; > 0 temos que 2 > 0. Prov: Exeríio. Sugestão: use 2 = e o xiom 2. Propriedde PO 4 Ddo R, não vle reípro d propriedde nterior, isto é, 2 > 0 > 0. Prov: Exeríio. Sugestão: presente um ontr-exemplo. Propriedde PO 5 Ddo R, vle implição: < 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; < 0 temos que 2 > 0. Prov: Exeríio. Sugestão: use 2 = = ( )( ) = ( ) 2, propriedde PO e o xiom 2. Propriedde PO 6 Ddo R, vle equivlêni: 0 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; 0 se e só se 2 > 0. Prov: Exeríio. Sugestão: pr 0 sepre nos dois sos possíveis e exludentes, > 0 e < 0. Propriedde PO 7 Ddo R, vlem s equivlênis: (i) > 0 3 > 0 (ii) < 0 3 < 0. Prov: Exeríio. Sugestão: use 3 = 2, xioms e proprieddes nteriores Podemos tror < por e > por? A respost é SIM, em todos os xioms e proprieddes podemos tror. Ms é preiso entender o que isso signifi. Lemre que signifi = ou <, são sos exludentes. Qundo esrevemos = d signifi que: = = d = = d ou < d. Isto é, = = = d ou < d (ou exlusivo) ou (exlusivo) < = d = = d ou < d. Isto é, < = = d ou < d (ou exlusivo) Ou ind, = = d ou < d (ou exlusivo) Exemplo. Vmos verifir que seguinte firmção é verddeir x 2 = x 3. Prov: x 2 = x = 2 ou x < 2 = (x = 2 ou x < 2) e 2 < 3 = (x = 2 e 2 < 3) ou (x < 2 e 2 < 3) = (x < 3) ou (x < 3) = x < 3 = x 3.

16 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 8 Vle seguinte implição: R = 2 0. Prov: Exeríio. Sugestão: pr x R onsidere os 2 sos possíveis e exludentes x = 0 e x 0 e use proprieddes nteriores. Preste tenção pr grnde importâni dess propriedde. Como é um implição, podemos firmr: pr todo número rel, o seu qudrdo é positivo ou nulo. Ou dito de outr form, o qudrdo de qulquer número rel é positivo ou nulo. Podemos pensr em um outro onjunto que stisfç tods s proprieddes lgéris presentds té qui, ms que não stisfç ess propriedde, isto é, um onjunto onde o seu qudrdo pode ser um número negtivo. É justmente pensndo nisso que historimente surgirm os números omplexos. Isto é, existem outros números que não são os reis, ujo qudrdo é um número negtivo. Estudremos os números omplexos no finl desse período. 2.6 Representção geométri dos reis Qundo há um orrespondêni entre os elementos de dois onjuntos A e B, de form que todo elemento de A orresponde um e só um elemento de B e todo elemento de B orresponde um e só um elemento de A, dizse que há um orrespondêni um um entre A e B ou há um orrespondêni iunívo entre A e B. Há um importnte propriedde que diz que todo ponto d ret orresponde um e só um número rel e todo número rel orresponde um e só um ponto d ret, isto é, existe um orrespondêni um um ou iunívo entre os pontos d ret e os números reis. A prov dess propriedde requer oneitos vistos pens em um urso mis vnçdo de Mtemáti. Os números reis são representdos nos pontos de um semiret espeil desrit n próxim seção A ret numéri ou ret orientd Os números reis são mrds sore um semiret denomind ret numéri ou ret orientd d seguinte form: - esolhe-se um ponto pr representr o número 0; - esolhe-se um ponto à direit do ponto que represent o número 0 pr representr o número ; - unidde de medid é distâni entre os pontos que representm os números 0 e ; - se >, o ponto que represent o número está situdo à direit do ponto que represent o número e dist uniddes do ponto que represent o número ; ou, esrito de outr form, o ponto que represent o número está situdo à esquerd do ponto que represent o número e dist uniddes do ponto que represent o número. Oserve que: - se x > 0 então o ponto que represent x está situdo à direit do ponto que represent o número 0 e dist x 0 = x uniddes do ponto que represent o número 0; - se x < 0 então o ponto que represent x está situdo à esquerd do ponto que represent o número 0 e dist 0 x = x uniddes do ponto que represent o número 0. - omo existe um orrespondêni um um entre pontos d ret e números reis é usul nos referirmos ponto x d ret ou número x d ret, ou sej, não será feit distinção entre ponto ou número d ret numéri. 0 x < 0 x > 0 R

17 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Intervlos Intervlos são suonjuntos espeiis dos números reis e há um orrepondêni um um om suonjuntos de pontos d ret numéri. A seguir listmos os intervlos om sus orrespondênis em três forms distints, símóli, desrição usndo-se notção de onjunto e símolos de mior ou menor ou igul e represetção geométri. Tmém listmos lssifição de d um deles. Considere, R,, onde e são onstntes. Símolo Desriç~o Representç~o geométri Clssifiç~o (, ) {x R; < x < } [, ] {x R; x } [, ) {x R; x < } (, ] {x R; < x } (, ) {x R; x > } (, ) {x R; x < } [, ) {x R; x } (, ] {x R; x } (, ) {x R} [, ] {x R; x } = {} erto e limitdo fehdo e limitdo limitdo (nem erto, nem fehdo) limitdo (nem erto, nem fehdo) erto e ilimitdo erto e ilimitdo fehdo e ilimitdo fehdo e ilimitdo erto, fehdo e ilimitdo fehdo e limitdo (degenerdo, reduzido ponto) 2.7 Implições e equivlênis em inequções D mesm form que oservmos no item 2.4, vmos responder lgums pergunts O que é um desiguldde? O que é um inequção? Ddos dois números, R, semos que = ou. Como signifi que > ou <, nos dois sos, diz-se que há um desiguldde entre e. Considere A R. Um inequção em x A é um desiguldde entre dus expressões E(x) e F (x) definids em x A. Assim, E(x) < F (x), x A e E(x) > F (x), x A são inequções em x A. Oservmos que E(x) F (x), x A é n verdde um form de esrever um equção e inequção simultnemente, ms é usul nos referimos pens omo inequção. Idem pr E(x) F (x), x A. Exemplo de inequção lgéri: x > 4 2 x, x A = {x R; x, x 4}. x 4 Exemplo de inequção não lgéri: sen 2 (2x 3π) < os 2 (2x), x A = R O que é um solução de inequção? Um vlor fixo é um solução de um inequção em x se o triuírmos o vlor fixo à vriável x, desiguldde d inequção é verddeir. A solução de um inequção é o onjunto de tods s soluções d inequção.

18 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene A solução de um inequção é um suonjunto dos números reis, que pode ser o próprio onjunto dos reis, um suonjunto próprio e não vzio dos reis ou o onjunto vzio Como representr s soluções de um inequção? A solução pode ser presentd omo um únio intervlo ou omo um união de dois ou mis intervlos disjuntos. Exemplo: Usr s notções de mior, igul ou menor, por exemplo, {x R; 3 x < 4 ou x > 0}. Usr os símolos de intervlos, por exemplo, [ 3, 4) (0, ). Representr n ret numéri, por exemplo, Podemos simplifir inequções extmente d mesm form que simplifimos equções? A respost é não. Motivo: s proprieddes ds equções e ds inequções nem sempre são s mesms. Exemplo: Resolver equção x x 2 = x + 4 x e inequção x x 2 < x + 4 x. Pr resolver equção, vmos usr propriedde: pr, d 0, = d =. d Assim, pr x 0 e x 2 0, temos que x x 2 = x + 4 x x 2 = (x 2)(x + 4) x 2 = x 2 2x + 4x 8 0 = 2x 8 8 = 2x 4 = x Solução d equção: x = 4 Agor, imginndo que existe um propriedde nálog pr resolver inequção, vmos sustituir = por < em tudo. x x 2 < x + 4 x x 2 < (x 2)(x + 4) x 2 < x 2 2x + 4x 8 0 < 2x 8 8 < 2x 4 < x Solução d inequção: x > 4 Agor, vmos testr se solução d inequção está orret em lguns vlores ritrários de x. 6 Sustituindo x = 6 > 4 nos dois ldos d inequção originl, 6 2 = 3 4 e = = 5 3. De fto, 3 4 < 5 3. Sustituindo x = < 4 nos dois ldos d inequção originl, 2 = e + 4 = 5. Vemos, < 5. Ms, x = < 4 não fz prte d solução enontrd. Logo, solução d inequção está errd. Isto signifi que foi ometido lgum erro n resolução d inequção. Antes de ler oservção ixo, tente desorir onde foi ometido o erro. Aqui está o erro. Foi dito, imginndo que existe um propriedde nálog, ess propriedde não existe!!!. Exeríio: dê pelo menos dois ontr-exemplos pr verifir que pr, d 0, < d < é FALSA. d Exeríio: resolv inequção, usndo s proprieddes lgéris pr simplifir expressões e usndo s proprieddes de implição ou de equivlêni reltivs à ordem dos números reis.

19 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Confir, solução d inequção é {x R; 0 < x < 2 ou x > 4} = (0, 2) (4, ). Qundo podemos firmr que solução d últim inequção simplifid é extmente solução d inequção originl? Respost: qundo tods s proprieddes lgéris e de ordem usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que solução d últim inequção é solução d primeir. Lemre sempre Pr resolver inequções é preiso ser em s proprieddes lgéris e s proprieddes de ordem.

20 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene Módulo ou vlor soluto 2.8. Definição e exemplos Definição (módulo ou vlor soluto) Ddo um número R, o módulo de é indido por e definido por: { se 0 := se < 0 Oserve que: = 0 = = = 0 = 0. se > 0 Logo, definição de módulo poderi ser ssim: = 0 se = 0 se < 0 Oserve tmém que: = 0 = = 0 = 0 = 0 = 0. Logo definição de módulo tmém poderi ser ssim: = { se > 0 se 0 Lemre que ddo um número, pel triotomi d ordem, pens um ds três possiiliddes d definição de módulo é verddeir, isto é, pesr de que n definição não pree o onetivo ou, suentende-se que entre s três linhs há o onetivo ou (exlusivo). Exemplos: = 8 > 0 = 8 = 8 = 3 < 0 = 3 = ( 3) = 3 = π > 0 = π = π = 2π < 0 = 2π = ( 2π) = 2π = π 3 > 0 = π 3 = π 3 = 3 π < 0 = 3 π = (3 π) = 3+π = π Exemplos de resolução de equções e inequções om módulo, usndo definição de módulo.. 3x = 5 Resolução: { { 3x se 3x 0 3x se x 0 3x := 3x se 3x < 0 3x := 3x se x < 0 Logo temos que enontrr: (x 0 e 3x = 5) ou (x < 0 e 3x = 5) - pr x 0, vmos ter que resolver 3x = 5 x = 5. Como 5 > 0, onluímos que x = 5 de fto é um solução. ou - pr x < 0, temos ter que resolver 3x = 5 x = 5. Como 5 < 0, onluímos que x = 5 de fto é um solução. Logo solução S = { 5} {5} = { 5, 5} 2. 3x > 5 Resolução: 3x := { 3x se 3x 0 3x se 3x < 0 3x := { 3x se x 0 3x se x < 0 Logo temos que enontrr: (x 0 e 3x > 5) ou (x < 0 e 3x > 5) - pr x 0 temos que resolver 3x > 5 x > 5. Ms x > 5 e x 0 = x > 5. logo, um prte d solução é S = (5, ) ou - pr x < 0 temos que resolver 3x > 5 x > 5 x < 5. Ms x < 5 e x < 0 = x < 5. logo, um prte d solução é Logo solução S 2 = (, 5). S = S S 2 = (, 5) (5, ).

21 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene x 3 = 5 Resolução: x 3 := { x 3 se x 3 0 (x 3) se x 3 < 0 x 3 := { x 3 se x 3 x + 3 se x < 3 Logo temos que enontrr: (x 3 e x 3 = 5) ou (x < 3 e x + 3 = 5) - pr x 3 temos que resolver x 3 = 5 x = 8. Como 8 > 3, onluímos que x = 8 de fto é um solução. ou - pr x < 3 temos que resolver x + 3 = 5 x = 2 x = 2. Como 2 < 3, onluímos que x = 2 de fto é um solução. Logo solução S = { 2} {8} = { 2, 8} 4. x 3 > 5 Resolução: x 3 := { x 3 se x 3 0 (x 3) se x 3 < 0 x 3 := { x 3 se x 3 x + 3 se x < 3 Logo temos que enontrr: (x 3 e x 3 > 5) ou (x < 3 e x + 3 > 5) - pr x 3 temos que resolver x 3 > 5 x > 8. Semos que x 3 e x > 8 = x > 8, ssim um prte d solução é ou - pr x < 3 temos que resolver x + 3 > 5 x > 2 x < 2. S = (8, ). Semos que x < 3 e x < 2 = x < 2, ssim um prte d solução é S 2 = ( 2). Conlusão: solução é S = S S 2 = (. 2) (8, ) Módulo: interpretção geométri n ret numéri A interpretção geométri de : N desrição d ret numéri, oservmos que: - o ponto O que represent o número 0 é denomindo origem d ret numéri, lém disso, identifimos origem O om o número 0, ssim omo identifimos o ponto om o número ; - se o número > 0 então o ponto se situ à direit d origem O e dist 0 = uniddes de O. - se o número < 0 então o ponto se situ à esquerd d origem O e dist 0 = uniddes de O. - se o número = 0 então o ponto oinide om origem O e dist 0 0 = 0 uniddes de O. Comprndo distâni do ponto ou número té origem O om definição de módulo de, - se > 0 então distâni de té origem O é igul 0 = e tmém = ; - se < 0 então distâni de té origem O é igul 0 = e tmém = ; - se = 0 então distâni de té origem O é igul 0 = 0 0 = 0 e tmém = 0 = 0. Assim, verifimos que em qulquer um dos sos, represent distâni do número ou ponto té origem O. A interpretção geométri de : Oserve que: (i) Se > então o ponto está à direit de e o ponto dist uniddes de. Além disso, > = > 0 = =. (ii) Se < então o ponto está à esquerd de e o ponto dist uniddes de. Além disso, < = < 0 = = ( ) =.

22 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene (iii) Se = então o ponto oinide om o ponto e o ponto dist = = 0 uniddes de. Além disso, = = = 0 = = 0 = 0. Amos de verifir que em qulquer so, represent distâni do ponto o ponto. ou sej, dintâni entre e. Exemplos:. Resolver equção x 3 = 5 signifi enontrr todos os pontos x uj distâni o ponto = 3 é extmente igul 5 uniddes. 2 = = É fáil onluir que o ponto que está à direit de 3 e dist 5 uniddes de 3 é o ponto x = 8, pois 3+5=8. É fáil onluir que o ponto que está à esquerd de 3 e dist 5 uniddes de 3 é o ponto x = 2, pois 3-5=-2. Logo solução dess equção é S = { 2, 5} 2. Resolver inequção x 3 > 5 signifi enontrr todos os pontos x uj distâni o ponto = 3 é mior do que 5 uniddes. 2 = = É preiso enontrr os pontos x que estão à direit de 3 e distm mis do que 5 uniddes de 3. São os pontos x tis que x > = x > 8. É preiso enontrr os pontos x que estão à esquerd de 3 e distm mis do que 5 uniddes de 3. São os pontos x tis que x < 3 5 = x < 2. Logo solução dess equção é Proprieddes de módulo S = {x; x < 2 ou x > 8} = (, 2) (8, ), Resolver um equção ou um inequção onde não pree o módulo em nenhum ds expressões d equção, em gerl, é mis fáil do que resolver um equção ou um inequção onde pree o módulo. Por esse motivo, pr resolver equções e inequções que envolvem módulos, muits vezes primeiro pli-se definição ou s proprieddes de módulo om ojetivo de simplifiá-ls té enontrr outrs equções ou inequções onde não preem o módulo. Aixo estão listds lgums ds prinipis proprieddes de módulo. Ddos, R, vlem s seguintes proprieddes: (i) 0, R e ind = 0 = 0. (ii) =, R. (iii) = = ou = = ± (iv) = e 0 = = = ou = = ± Os. reípro dess firmção não é verddeir, isto é, = ± =, 0. (v) = (vi) =, 0 (vii) Se > 0 temos < < < (viii) Se > 0 temos > > ou < (ix) + + (x) n = n, n N Além disso, n = n, n N, n pr. Demonstrções de lgums ds proprieddes: (i) Temos que verifir que é verddeir: 0, R e ind = 0 = 0. Ddo o ponto R, pelo xiom d ordem, temos dois sos (exludentes): = 0 oinide om origem distâni de té origem é nul = 0.

23 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene está à direit ou à esquerd d origem O distâni de à O é positiv > 0. (ii) Queremos provr: =, R. { se > 0 se 0 := = 0 se = 0 ( ) se < 0 ( ) se < 0 se < 0 { se < 0 = 0 se = 0 = se 0 se > 0 Ms firmção entre hves do ldo direito d últim iguldde im é própri definição de. Logo =. (iii) Vmos verifir se é verddeir: = = ou = = ±. Primeiro vmos verifir se implição é verddeir nos 2 sos possíveis e exludentes: = = 0 = 0 e = 0 = =. ou = > 0. Nesse so semos que 0 e 0 e podemos dividir em 4 sos: > 0 e > 0 e = = = e = e = = =. ou < 0 e < 0 e = = = e = e = = = = =. ou > 0 e < 0 e = = = e = e = = =. ou < 0 e > 0 e = = = e = e = = = = =. Conlusão: = = = ou =. Pr provr reípro, primeiro supomos =, nesse so é lro que =. Logo no outro so d hipótese, temos que =. Nesse so, é lro que =, omo já provmos que =, onluímos que =. iv) Queremos provr: = e 0 = = = ou = = ± De fto: = e 0 = = e = = = (iii) = ou = = ± v) Queremos provr: = Seprndo em todos os sos possíveis: 0 e 0 = 0 = = (*) 0 e 0 = =, = = = (**) Por (*) e (**) verifimos nesse so que =. < 0 e < 0 = 0 = = (*) < 0 e < 0 = =, = = = ( )( ) = (**) Por (*) e (**) verifimos nesse so que =. 0 e < 0 = 0 = = () (*) 0 e < 0 = =, = = = ( ) = (**) Por (*) e (**) verifimos nesse so que =.

24 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene < 0 e 0 = 0 = = () (*) < 0 e 0 = =, = = = ( ) = (**) Por (*) e (**) verifimos nesse so que =. Conlusão: =,, R. vi) Exeríio (vii) queremos provr: se > 0 temos < < <. < signifi geometrimente: são os números reis, uj distâni té origem é menor do que. Verifi-se ess propriedde n ret numéri: (viii) Se > 0 temos > > ou < 0 > signifi geometrimente: são os números reis, uj distâni té origem é mior do que. Verifi-se ess propriedde n ret numéri: 0 ix) Queremos provr que + +,, R. - Primeiro vmos verifir que + = + 0 ( 0 e 0) ou ( 0 e 0). Verifindo, + = + (mos positivos, elevndo o qudrdo, vle equivlêni) ( + ) 2 = ( + ) 2 ( provndo e usndo, x 2 = x x = x x = x 2 = x 2) ( + ) 2 = = = 0. - Supondo que dois números possuem sinis ontrários, ou sej, um é positivo e outro negtivo, vmos hmr o negtivo de e o positivo de. Vmos verifir que < 0 < = + < +. Clulndo o ldo direito d desiguldde: < 0 < = = e = = + = +. Agor, vmos supor os dois sos possiveis e exludentes: I) ou II) 0 0 I) < 0 < = = 0 + = + = + (*) Ms, tmém temos que < 0 < = < = + < + = + (**) Por (*) e (**), + = + < + = + = + < + II) < < 0 < < = < = + < 0 = + = ( + ) = (*) Ms, tmém temos que < < 0 < < = < = < + = + (**) Por (*) e (**), + = < + = + = + < + x) Exeríio: prove propriedde n = n, n N. Além disso, n = n, n N, n pr Exemplos de resolução de equções e inequções om módulo, usndo proprieddes. Resolv s equções ou inequções:. 6x 9 = x 9 = 2 x 3. 6x 9 = 2 (x ) Resoluções: 4. 6x x 9 > x 9 < 2 (x ) 7. 6x 9 2 (x ) 8. 6x 9 < 2 x

25 UFF/GMA - Mtemáti Bási I - Prte II - Números reis - Nots de ul - Mrlene x 9 = 2 3(2x 3) = 2 (v) 3 2x 3 = 2 3 2x 3 = 2 2x 3 = 4 = 4 (iii) I) 2x 3 = 4 ou II) 2x 3 = 4. Resolvendo d equção, I) 2x 3 = 4 2x = 7 x = 7/2. II) 2x 3 = 4 2x = x = /2 solução S = { /2, 7/2} 2. 6x 9 = 2 x (v) 3 2x 3 = 2 x 2x 3 = 4 x (iii) I) 2x 3 = 4(x ) ou II) 2x 3 = 4(x ). Resolvendo d equção, I) 2x 3 = 4(x ) 2x 3 = 4x 4 2x = x = /2. II) 2x 3 = 4(x ) 2x 3 = 4x + 4 6x = 7 x = 7/6 Solução S = {/2, 7/6} 3. 6x 9 = 2 (x ) A equção tem solução se e só se x 0 x, ou sej, equção não tem solução x <, pois x; 6x 9 < 0. Assim vmos supor x 0 e resolver equção. 6x 9 = 2 (x ), x 0 3 2x 3 = 2 (x ), x 0 2x 3 = 4 (x ), x 0 (iv) = I) 2x 3 = 4 (x ) ou II) 2x 3 = 4 (x ) Resolvendo d equção, I) 2x 3 = 4 (x ) 2x 3 = 4x 4 2x = x = /2 II) 2x 3 = 4 (x ) 2x 3 = 4x + 4 6x = 7 x = 7/6 Agor preismos relizr um ds ções: - testr se d solução enontrd stisfz equção originl, pois o resolver foi usd um implição (= ) em que reípro não é verddeir. ou - testr se d solução stisfz restrição, ou sej testr se x. Vmos relizr segund ção: Como x = /2 <, x = /2 não é solução. Como x = 7/6 >, x = 7/6 é solução. Logo, solução S = {7/6} 4. Semos que 2 > 0, logo podemos usr s proprieddes iii) e vii): 6x x x x 2 /2 x 7/2 Logo solução é o intervlo I = [ 2, ] Semos que 2 > 0, logo podemos usr propriedde viii): 6x 9 > 2 I) 6x 9 < 2 ou II) 6x 9 > 2 Resolvendo d inequção, I) 6x 9 < 2 6x < x < 3 x < /2 II) 6x 9 > 2 6x > x > 2 2x > 7 x > 7/2. Logo solução S é união de intervlos, S = ( ) (, 2 7 2, ) 6. Pr que ess inequção tenh solução é preiso que x > 0, pois so ontrário, x 0, terímos 6x 9 < x 0 = 6x 9 < 0, o que é impossível. Assim, vmos supor que x > 0 x > 6x 9 < 2 (x ) 2(x ) < 6x 9 < 2(x ) e plir propriedde vii).