ais: rios Luiz Henry Monken e Silva, Ivo Neitzel e Ed Pinheiro Lima*

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1 Resolução de equações diferenciais por redes neurais arificiais ais: problemas com gradienes elevados e domínios arbirários rios Luiz Henry onken e Silva, Ivo Neizel e Ed Pinheiro Lima* Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química, Universidade Esadual de aringá, Av. Colombo, 5790, , aringá, Paraná, Brasil. *Auor para Correspondência. ed_p_lima@yahoo.com.br RESUO: Nese arigo a habilidade das redes neurais percepron mulicamada em inerpolar foi uilizada para analisar duas classes de problemas de conorno. A primeira classe é formada por equações diferenciais em que a solução pode apresenar gradienes elevados e a segunda classe é formada de equações diferenciais definidas em domínios arbirários. As meodologias proposas por Lagaris e al. (998) foram esendidas para casos de equações diferenciais sujeias às condições de Cauchy e condições de conorno misas. Os resulados fornecidos pelo méodo da rede neural se apresenam precisos quando comparados com os resulados analíicos ou por méodos numéricos de resolução de equações diferenciais. A precisão alcançada nos resulados e a facilidade no manuseio do méodo para resolver eses problemas de conorno encorajaram a coninuidade da pesquisa, paricularmene no ocane à convergência e esabilidade numérica. Palavras chave: redes neurais, equações diferenciais, gradienes elevados. ABSTRACT. Resoluion of differenial equaions wih arificial neural neworks: high gradiens and arbirary domains problems. In his paper, he abiliy of he mulilayer percepron neural nework (LP) in inerpolaion was used o analyze wo classes of boundary value problems. The firs class is formed by differenial equaions, wih soluions which can have high gradiens and he second are parial differenial equaions, defined on arbirary shaped domain. Also, he mehodologies proposed by Lagaris e al. (998) were enlarged for differenial equaions subjeced o Cauchy and mix boundary condiions ype. The resuls of he arificial neural nework mehod are very precise when comparison o he analyical ones or hose of classical numerical mehods o solve differenial equaions. The precision achieved in he resuls and he abiliy o handle he mehod, o solve hose boundary value problems, were encouraging o keep he research, paricularly on an imporan direcion, concerning convergence and numerical sabiliy. Key words: neural neworks, differenial equaions, high gradiens. Inrodução As capacidades de aproximação de funções por meio de redes neurais arificiais são bem conhecidas desde o final da década de 980, como pode ser consaado pelos resulados alcançados por Funahashi (989), Girosi e Poggio (989), Hornik (989) e Cybenko (989). Em sínese, qualquer função mensurável pode ser aproximada por uma rede neural progressiva de camada escondida simples. Apesar desses resulados eóricos e de suas variadas aplicações, são recenes os primeiros rabalhos que usam ais capacidades para resolução de equações ou sisemas de equações diferenciais ordinárias problema de valor inicial e de valor no conorno e de equações diferenciais parciais problemas esacionários, a valor no conorno, como se pode ver em Lagaris e al. (998). Ese rabalho em por objeivo demonsrar a aplicação de redes neurais a problemas de ineresse na engenharia como, por exemplo, aqueles em que as soluções apresenam gradiene elevado e problemas de equações diferenciais parciais com conornos irregulares. Os resulados obidos pela uilização de redes neurais na solução deses problemas são comparados com os de méodos de diferenças finias e de elemenos finios. eodologia Conornos Regulares O méodo de uilização de redes neurais na solução de equações diferenciais proposo por Lagaris e al. (998) é baseado na consrução de uma Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

2 8 Silva e al. função de inerpolação global que saisfaça, exaamene, as condições de conorno do problema, na forma x ( x ) ( x ( x p )), () ( ) = A + F, N,, x D Onde: D = D B, D R n e B é o conorno de D; A é uma função definida em D que saisfaz as condições de conorno do problema; F é uma função consruída de forma a não conribuir com as condições de conorno e que depende de x D e de uma rede neural progressiva N(x, p), consiuída por n unidades de alimenação do veor de enrada x D; H unidades de processameno, resulando H (n+) parâmeros ajusáveis (pesos) em p e uma unidade de saída. A função de inerpolação () é aplicável à problemas de equações diferenciais ordinárias (EDO), sisemas de EDO e a equações diferenciais parciais (EDP). O ermo que saisfaz o conorno, por um lado, melhora qualiaiva e quaniaivamene a aproximação, mas, por ouro lado, é uma fore resrição ao emprego do méodo a qualquer ipo de condição de conorno e a geomerias arbirárias. A rede neural empregada para definir F presene em () cona com pesos e bias incógnios, que serão deerminados para minimizar um funcional formado pela soma dos quadrados dos resíduos, R(x i ) que resulam da subsiuição da função definida em () à equação diferencial, G ( ( ) ( ) ( )) x, x, x, x = 0, x D () colocados nos nós, x i D, de uma malha préesabelecida em D, iso é, ( ( ) ( ) ( )) R( x ) = G x, x, x, x, x D (3) i i i i i i Com definida em () denoando a solução aproximada que saisfaz as condições de conorno, o problema passa a ser de minimização irresria do seguine funcional: { G ( ) ( ) ( ) } i i i i min x, x, p, x, p, x, p. (4) p xi D A minimização do funcional em (4) pode ser considerada como um procedimeno de reinar a rede neural em que o erro correspondene a cada veor de enrada x i será o valor R(x i ) que erá de se ornar zero. Enreano, o cálculo do erro envolve, além da saída da rede, as derivadas da saída em relação à suas enradas. Para chegar às derivadas das redes neurais Lagaris e al. (998) apresenaram um procedimeno onde considera uma rede neural percepron mulicamada com veor de enrada x=(x,..., x n ), uma camada escondida com H unidades sigmoidais e uma saída linear, ou seja H N N ( x, p ) = v iσ w ij x j + u i (5) i = j = Onde: w ij são pesos referenes à unidade de enrada j e à unidade escondida i; v i são pesos referenes à unidade escondida i e a unidade de saída; u i é o bias da unidade escondida i e σ é a função de aivação sigmóide. Para minimizar o funcional em (4), Lagaris e al. (998) sugerem o méodo quasi-newon. Para isso, deve-se calcular o gradiene de N em relação aos parâmeros da rede original, que uiliza o gradiene para cada problema em esudo, um processo que se mosra rabalhoso. De forma alernaiva, podem ser uilizadas roinas de oimização, como as do pacoe ISL, em que o cálculo do gradiene é numérico, o que diminui a precisão, mas aumena a generalidade do méodo. Têm-se ainda méodos de oimização que não necessiam do cálculo do gradiene, como o simulaed annealing, presenes no livro Numerical Recipies que, apesar de não er a vanagem de ser um pacoe oimizado como o ISL, êm o código abero e, com isso, muio mais adapáveis ao problema em consideração. Conornos Irregulares A resrição do méodo a domínios regulares é críica, em paricular, para problemas de equações diferenciais parciais, que em geral são definidos em domínios com geomeria complexa. Levanando esa resrição, Lagaris e al. (000) propuseram um méodo aplicável a domínios cuja geomeria possa er conornos complexos, onde a froneira é definida por um conjuno de ponos perencenes a ela e se apresenam com pequenas disâncias enre si. A função de inerpolação é consruída a parir de duas redes neurais, uma percepron mulicamada e oura de funções-base radiais, RBF. As duas redes funcionam numa forma de sinergia. A rede RBF, mais localizada em seus cenros, é uilizada para saisfazer as condições de conorno nos ponos que o Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

3 Equações diferenciais por redes neurais arificiais 9 define. A LP, por sua vez, aua principalmene no domínio. O méodo é descrio considerando uma equação diferencial parcial L = f, (6) Onde: L é o operador diferencial e =(x), x D Í R n, sendo B sua froneira, sujeia à condições de conorno que podem ser do ipo Dirichle, Neumann ou Cauchy, esa úlima apresenada em Lima (00), podendo a geomeria ser complexa. O conorno será considerado como um conjuno conendo ponos escolhidos para represená-lo. Dessa forma, as condições de conorno serão discreizadas, ficando ( ) b, i,,,, r = = K (7) i i ( ) c, i,,,, n r = = K (8) i i i ( ) ( ) d, i,,,, n r + r = = K (9) i i i i para condições de Dirichle, Neumann e Cauchy, respecivamene, onde n i é o veor normal exerno à froneira no pono r i. A solução da equação diferencial em (6) em início pela discreização do domínio D por meio de uma malha conendo K ponos, iso é, x i D, i K. Em seguida, define-se uma função de inerpolação, como aproximação para a solução, que, subsiuída na equação a ser resolvida e nas condições de conorno resulam, em geral, resíduos que, pelo méodo de colocação, são ponderados por disribuições de Dirac definidas nos nós da malha e conorno, resulando o sisema algébrico e ainda L x, p = f x x D, (0) i i i n ( r ) = b j j, ( r ) = c i j j () ou n r + r = d r B () i j j i onde x i D, r j B, i K e j. O valor da função de inerpolação, (x, p), depende do veor de enrada x e de um conjuno de parâmeros ajusáveis p. Desa forma, o problema de minimização fica sendo: ( ) = ( ( ) ( )) K i i i = min E p L x, p f x, (3) p sujeio às resrições imposas pelas condições de conorno ( ) r, p = b, i =,, K,, (4) i i ou n r, p = c, i =,, K,, (5) ( ) i i i ou ainda n r, p + r, p = d, i =,, K,, (6) i i i i para condições de conorno do ipo Dirichle, Neumann e Cauchy, respecivamene. A forma adoada por Lagaris e al. (000) para resolver ese problema de minimização consise de duas eapas: a primeira usa o méodo da penalidade e a segunda se baseia na sinergia denre duas redes neurais progressivas. Do méodo da penalidade, resulam os parâmeros ajusáveis da rede LP que serão uilizados como pesos iniciais para o procedimeno sinérgico LP-RBF na segunda eapa. Na eapa de penalidade a função de inerpolação y é definida por ( x, p) = N( x, p ) (7) e o funcional erro a ser minimizado é consruído na forma K ( i p i ) η ( ri p i ) (8) E( p, η) = LN( x, ) f ( x ) + N(, ) b, ou i= i= K ( i i ) η ( i i i ) i= i= E( p, η) = LN( x, p) f ( x ) + n N( r, p ) c, (9) ou K ( i i ) η ( i i i i ) E( p, η) = LN( x, p) f ( x ) + n N( r, p) + N( r, p ) d (0) i= i= para condições de conorno do ipo Dirichle, Neumann e Cauchy, respecivamene. Nas equações (8) a (0), o faor de penalidade η pode omar valores posiivos elevados à medida que se desejar que as condições de conorno sejam precisamene saisfeias. Na eapa de sinergia, a função de inerpolação é definida a parir de duas redes neurais progressivas, na forma, λ x α ri + h ( r i, p ) = N ( x, p ) + q l e () l = Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

4 0 Silva e al. onde denoa a norma Euclideana e N(x, p) é um percepron mulicamada (LP) com p sendo o veor de pesos e bias. O somaório em () represena uma rede RBF com unidades escondidas que comparilham o faor exponencial comum λ. Nela aparecem ainda α, que é um escalar e um veor consane h. Os parâmeros λ, α e h são escolhidos de forma apropriada para se er problemas bem condicionados. Para um dado veor p de parâmeros da rede LP, os coeficienes q l são unicamene deerminados fazendo com que as condições de conorno sejam saisfeias nos ponos do conorno, iso é, ou i i l l= λ r α r + h i l b N( r, p ) = q e ; () λ ri αrl + h i i ( i, ) λ l i i l l= ( α ) c n N r p = q e n r r + h (3) para condições de conorno do ipo Dirichle e Neumann, respecivamene, com i=,,...,. Assim, de forma a ober os parâmeros q l que saisfaçam as condições de conorno, deve-se resolver o sisema linear λ r i αrl + h ij γ i i i Aq = γ, A = e, = b N( r, p ) (4) r i αrl + n ( r r h) n r p (5) Kq = δ K = λe α + δ = c N λ, ij i i j, i i i ( i, ) no caso das condições serem do ipo Dirichle ou Neumann, respecivamene. Convém ressalar que os ipos de condições de conorno podem ser esendidos para condições do ipo Cauchy e ainda as condições podem ser do ipo misa, definidas em pares da froneira. Segundo Lagaris e al. (000), o modelo baseado na sinergia LP-RBF saisfaz precisamene as condições de conorno nos ponos que represenam o conorno, mas demanda grande esforço compuacional devido à necessidade da resolução de um sisema algébrico linear a cada ieração. Além disso, o cálculo do gradiene do funcional objeivo implica na solução de um sisema algébrico linear adicional de mesma ordem para cada componene do gradiene como será viso adiane. Por ouro lado, o méodo da penalidade é muio eficiene, mas não saisfaz precisamene as condições de conorno. Por isso o méodo da penalidade é uilizado para ober um modelo razoável que saisfaça aproximadamene as condições de conorno para, em seguida, ser refinado pelo méodo da sinergia com poucas ierações. Resulado e discussão Para a minimização do funcional erro, nese rabalho foram uilizadas as roinas DUCGF e DUINF da biblioeca ISL. A uilização desas duas roinas se deve ao fao da DUINF não aceiar quaisquer pesos iniciais quando o número de parâmeros chega a 40, ou seja, uma rede :0:, a arquieura uilizada em praicamene odos os problemas de equações diferenciais parciais que foram resolvidos. A roina DUINF, de convergência quadráica, apresena um desempenho muio superior em relação ao da DUCGF, ano de velocidade de convergência, quano na precisão. A vanagem da DUCGF é que, ao conrário da DUINF, pesos arbirários podem ser uilizados como pesos iniciais para qualquer número de parâmeros. Para aproveiar as melhores caracerísicas compuacionais de cada uma dessas sub-roinas uilizou-se o processo de execuar poucas ierações, realizadas em pouco empo e, com os pesos finais, iniciar o programa novamene, mas com a roina DUINF. Problemas com Gradienes Elevados Com a finalidade de averiguar o comporameno numérico e compuacional do méodo em problemas que podem apresenar gradienes elevados no domínio da solução, considera-se o seguine problema de equação diferencial ordinária a valor no conorno, assim expresso: ( x) d d a ( x ) + b x dx dx x = f x < x < sendo, a ( x) = + α ( x x ), α b x = 0, ( ), 0 ( ) ( ) = + α ( ) ( α ( )) + ( α ) { } f x x x g x x g x (6) sujeio às condições de conorno: (0)=0 e ()=0, sendo α e x dois parâmeros dados. A solução exaa é: ( ) ( ( )) ( ) ( ) = α + α a x x g x x g x (7) Para um problema de EDO de ordem dois, o funcional erro a ser minimizado é definido por: Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

5 Equações diferenciais por redes neurais arificiais d ( ) ( ) xi d xi E [ p ] = f, ( ),. xi xi i dx dx (8) A função de inerpolação para ese problema é definida consruindo a função A de (). Para um problema de EDO de ordem dois com condições de Dirichle a função de inerpolação pode er a forma: ( ) (, ) x = A x + Bx + x x N x p (9) onde A=(0) e B=(). Para o problema em consideração, em-se,0 ( x) = x x N x, p (30) Duas siuações foram analisadas, variando-se os parâmeros da equação, a saber: i) α = 5, x = 0,; ii) α = 00, x = 0, Para o caso i, a solução analíica sobreposa pela resposa da rede esá mosrada na Figura, junamene com os erros na solução obida, que ficaram na séima casa decimal. Pode-se noar na Figura que o erro aumena na vizinhança do pono onde a solução apresena um gradiene em forma de degrau. O erro máximo é menor do que o que procede da solução dese mesmo problema por elemenos finios. E-07 0,8 8E-08 6E-08 a 0,6 4E-08 E-08 Erro 0,4 0E-0 0, -E-08-4E-08 0,0-6E-08 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 x Figura. Solução analíica, resulado da função de inerpolação e o erro na solução obida pela função de inerpolação (30). No caso ii exise um gradiene elevado em orno do pono x, como é mosrado na Figura.,0 7E-03,8 6E-03,6,4 5E-03 a,,0 4E-03 3E-03 Erro 0,8 E-03 0,6 0,4 E-03 0, 0E-0 0,0 -E-03 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 x Figura. Solução analíica e resulado da função de inerpolação Erro na solução obida pela função de inerpolação (30). Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

6 Silva e al. A rede uilizada para ambos os problemas foi :0:, colocada numa malha com 0 ponos em [0,] e minimizada com a DUINF. Eses mesmos problemas, quando resolvidos pelo méodo de elemenos finios uilizando funções de inerpolação Lagrangeanas, apresenam resulados disanes dos exaos. Esa dificuldade é, em pare, conornada pelo emprego de funções de inerpolação assiméricas, com odas as desvanagens em se er que adapar o méodo para essas funções. esmo assim, os resulados são apenas aceiáveis. Já o emprego de redes neurais não apresenou esa dificuldade, mesmo no caso de elevado gradiene em x. O próximo problema esudado apresena comporameno de camada limie no início do inervalo de ineresse para a solução. Nesse senido, omou-se o problema raado por Laa (964, apud Rice e Do, 995), expresso pela equação diferencial: d d ε + + = 0, ε <<, x (0,) (3) dx dx sujeia as condições de conorno (0)=0 e ()=. A solução exaa é: Sendo Sx S x e + e a ( x) =, S S e e S, ± 4ε =. ε (3) Conforme Rice e Do (995), quando o valor do parâmero ε é pequeno nesa equação, o méodo de perurbação é indicado para resolver ese problema. Conudo, os resulados obidos são disanes dos esperados na região em que há elevado gradiene. Nese caso, a alernaiva a aproximação em duas eapas: uma denominada inerna que raa do comporameno de camada limie e oura exerna que raa da solução longe da região de elevado gradiene na solução para, em seguida, as duas aproximações serem compaibilizadas e assim resular numa aproximação aceiável do problema, que é conhecido como méodo das múliplas escalas. Para o emprego do méodo de rede neural, uma função de inerpolação, parindo de (9), é omada na forma: ( x) = x + x x N x, p (33) Novamene, a malha de ponos de colocação coném 0 ponos eqüidisanes em [0,]. Na Figura 3 esão mosradas a solução analíica, exaa, sobreposa pela solução aproximada obida pela rede neural :0: e o erro enre as soluções exaa e obida pela função de inerpolação. Como se pode consaar, a precisão esá na sexa casa decimal e, inclusive, na região de camada limie os erros são menores do que aqueles nos ponos mais afasados dela. 5 7E-07 6E E-07 4E-07 a 3 3E-07 E-07 Erro E-07 0E-0 -E-07 -E E-07 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 x Figura 3. Solução analíica e resulado da função de inerpolação Erro na solução obida pela função de inerpolação (33). Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

7 Equações diferenciais por redes neurais arificiais 3 Conornos Irregulares Seja uma EDP homogênea, com conorno irregular e condições de Dirichle, expressa por ( ) x, y = 0, x, y Ω (34) sendo Ω a região riangular mosrada na Figura, sujeia às condições de Dirichle (0,y)=0, (x, x)=0 e (x,0)=sen(πx). A função de inerpolação a ser uilizada pelo méodo da penalidade é: (,, ) (,, ) x y p = N x y p (35) enquano que para o méodo da sinergia é: l= x r + h,, =,, + e λ α l x y p N x y p q (36) Para a comparação de resulados obidos pelo méodo da penalidade e da sinergia, o problema foi resolvido pelo méodo de diferenças finias usando l diferenças cenrais. As numerações dos ponos da malha do domínio discreizado uilizadas na rede neural e no méodo de diferenças finias podem ser visas nas Figuras 4 e 5Figura, respecivamene. Os méodos da penalidade e da sinergia uilizaram uma rede :0:, já que com 0 neurônios os resulados não foram precisos. Os resulados para os méodos da penalidade e da sinergia esão mosrados na Tabela. Consaase, ao se comparar os resulados aproximados obidos por rede neural com os de diferenças finias, na coluna DF, que o méodo da sinergia não foi mais preciso que o da penalidade, apesar de que os pesos iniciais da sinergia foram os finais da penalidade. Tano para a penalidade quano para a sinergia foi uilizada a roina DUCGF, o que inclui o cálculo do gradiene, aumenando o empo de oimização e, no caso do méodo da sinergia, insere erros de runcameno no cálculo do veor q l, além dos erros de arredondameno presenes na decomposição LU. Tabela. Resulados dos méodos da penalidade e sinergia. Pono x y DF Penalidade Dif. Relaiva Sinergia Dif. Relaiva 0, 0,,70E-0,779E-0,7000E-03,76E-0,9000E-03 0, 0,,4836E-0,4835E-0-4,600E-05,4549E-0 -,9300E-0 3 0, 0,3 9,767E-0 9,796E-0-7,3300E-04 9,454E-0 -,8300E-0 4 0, 0,4 6,055E-0 5,9774E-0-6,3300E-03 5,9469E-0 -,400E-0 5 0, 0,5 3,469E-0 3,3693E-0 -,3900E-0 3,788E-0 8,8300E-0 6 0, 0,6,7036E-0,680E-0 -,700E-0,488E-0 4,600E-0 7 0, 0,7 6,8077E-03 6,9354E-03,8700E-0,9657E-0,8900E , 0,8,709E-03,09E-03,900E-0,834E-0 9,7800E , 0, 4,45E-0 4,57E-0,9700E-04 4,064E-0 -,00E-0 0 0, 0,,7895E-0,7850E-0 -,6300E-03,7348E-0 -,9600E-0 0, 0,3,8056E-0,8006E-0 -,7300E-03,769E-0 -,000E-0 0, 0,4,098E-0,0867E-0-4,700E-03,0894E-0 -,600E , 0,5 5,9486E-0 5,9003E-0-8,00E-03 6,3839E-0 7,300E-0 4 0, 0,6,766E-0,6797E-0 -,3600E-0 3,6853E-0 3,5700E-0 5 0, 0,7 8,4934E-03 8,3065E-03 -,000E-0,3536E-0,7700E ,3 0, 5,684E-0 5,663E-0-3,7500E-04 5,493E-0 -,500E-0 7 0,3 0, 3,7545E-0 3,7463E-0 -,900E-03 3,6564E-0 -,600E-0 8 0,3 0,3,3683E-0,3605E-0-3,800E-03,3099E-0 -,4600E-0 9 0,3 0,4,3654E-0,3596E-0-4,00E-03,3566E-0-6,3900E ,3 0,5 6,746E-0 6,7009E-0-6,800E-03 7,43E-0 7,400E-0 0,3 0,6,3648E-0,393E-0 -,900E-0 3,567E-0 4,8700E-0 0,4 0, 6,545E-0 6,5087E-0-8,9500E-04 6,3089E-0-3,600E-0 3 0,4 0, 4,49E-0 4,34E-0 -,4800E-03 4,0956E-0-3,4500E-0 4 0,4 0,3,5476E-0,539E-0-3,3400E-03,46E-0-3,3900E-0 5 0,4 0,4,37E-0,39E-0-3,500E-03,305E-0 -,6600E-0 6 0,4 0,5 5,0033E-0 4,9964E-0 -,4000E-03 5,5080E-0,000E-0 7 0,5 0, 6,687E-0 6,6775E-0 -,4500E-03 6,457E-0-4,0600E-0 8 0,5 0, 4,50E-0 4,398E-0 -,6900E-03 3,965E-0-4,5400E-0 9 0,5 0,3,53E-0,45E-0-3,4900E-03,377E-0-5,00E ,5 0,4 8,9504E-0 8,944E-0-8,9000E-04 8,5343E-0-4,6500E-0 3 0,6 0, 6,0833E-0 6,074E-0 -,8000E-03 5,775E-0-5,0700E-0 3 0,6 0, 3,47E-0 3,44E-0-3,000E-03 3,069E-0-6,800E ,6 0,3,487E-0,48E-0-4,8300E-03,780E-0-9,900E ,7 0, 4,738E-0 4,7070E-0 -,4400E-03 4,400E-0-6,4400E ,7 0,,0339E-0,074E-0-3,800E-03,883E-0 -,0600E ,8 0,,6479E-0,648E-0 8,5600E-05,3944E-0-9,5800E-0 Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

8 4 Silva e al. No caso da EDP expressa por:. ( x y), = 0, x, y Ω R (37).0 0 inerior conorno sendo Ω a região riangular mosrada na Figura 4, sujeia à condição de conorno misa, iso é, de Dirichle (0,y)=0, (x, x)=0 e Neumann y (x,0)=sen(πx). Para a comparação dos resulados da penalidade, o problema foi resolvido pelo méodo de diferenças finias, com diferenças cenrais. Nese problema não foi uilizado o méodo da sinergia pelas razões descrias no problema anerior. A Figura 6 mosra os ponos de colocação para a enrada da rede assim como os veores normais, uilizados no méodo da penalidade no caso de condições de Neumann, como viso em (9). A função de inerpolação para o méodo da penalidade é definida por: (,, ) (,, ) x y p = N x y p (38) Os resulados obidos pelo méodo da penalidade para duas redes, :0: e :0:, esão mosrados na Tabela, onde são comparados relaivamene com os de diferenças finias, na coluna DF. O oal de incógnias na resolução por diferenças finias foi de 66 parâmeros, enquano que para a rede neural foi de apenas 40 parâmeros para 0 neurônios e 80 para 0 neurônios. Pôde-se observar que o maior número de neurônios não raz melhora significaiva se for levado em consideração o empo maior para reinameno, o que indica que um aumeno no número de neurônios não implica uma melhora nos resulados inerior conorno Figura 4. Discreização do domínio riangular para rede neural Figura 5. Discreização do domínio riangular com ponos numerados para DF. (-,0) elemeno elemeno (0,-) elemeno 66 inerior conorno (0.707,0.707) Figura 6. Discreização do domínio riangular com veores normais para rede neural. Conclusão No presene rabalho, ano a meodologia da penalidade para inserção das condições de conorno no funcional, onde se em um problema de oimização sem resrições, como a de sinergia LP-RBF, em que as condições de conorno são saisfeias num conjuno de ponos represenaivos do conorno, foram esadas numericamene. Nesa úlima, o cálculo do gradiene do funcional objeivo implica na solução de um sisema algébrico linear para cada componene do gradiene e de ordem igual ao número de ponos do conorno. Iso se mosra inviável de ser realizado compuacionalmene pelos auais equipamenos com as configurações usuais de mercado Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

9 Equações diferenciais por redes neurais arificiais 5 Tabela. Comparação dos resulados do méodo da penalidade e DF. Pono x y DF 0 neurônios 0 neurônios Valor Dif. Relaiva Valor Dif. Relaiva 0, 0, 6,87E-0 6,6457E-0 5,7008E-0 5,834E-0 7,345E-0 0, 0, 4,8E-0 4,3650E-0 5,9008E-0 3,949E-0 4,365E-0 3 0, 0,3,699E-0,8009E-0 6,906E-0,564E-0,950E-0 4 0, 0,4,5869E-0,6936E-0 6,700E-0,5747E-0 7,6980E , 0,5 8,9046E-03 9,4904E-03 6,5790E-0 8,9030E-03,6964E , 0,6 4,43E-03 4,799E-03 8,585E-0 4,476E-03 -,035E , 0,7,7600E-03,0045E-03,3890E-0,7564E-03,0667E , 0,8 4,400E-04 5,9464E-04 3,54E-0 4,365E-04 7,9346E , 0,,650E-0,60E-0 4,3785E-0,034E-0 5,89E-0 0 0, 0, 7,580E-0 8,047E-0 6,60E-0 7,400E-0,3740E-0 0, 0,3 4,7708E-0 5,333E-0 7,5964E-0 4,750E-0 3,9465E-03 0, 0,4,8374E-0 3,0675E-0 8,09E-0,858E-0-7,887E , 0,5,5336E-0,656E-0 7,9936E-0,557E-0 -,847E-0 4 0, 0,6 6,9880E-03 7,539E-03 7,6684E-0 7,0689E-03 -,568E-0 5 0, 0,7,870E-03,3380E-03 6,90E-0,047E-03-8,0905E ,3 0,,504E-0,6066E-0 5,676E-0,494E-0,734E-0 7 0,3 0, 9,778E-0,0575E-0 8,494E-0 9,8877E-0 -,0E-0 8 0,3 0,3 6,0459E-0 6,600E-0 9,398E-0 6,978E-0 -,54E-0 9 0,3 0,4 3,458E-0 3,7858E-0 9,4754E-0 3,5604E-0 -,9567E-0 0 0,3 0,5,7077E-0,864E-0 9,005E-0,755E-0 -,787E-0 0,3 0,6 6,06E-03 6,463E-03 7,4306E-0 6,55E-03 -,496E-0 0,4 0,,6094E-0,7967E-0,637E-0,7066E-0-6,0394E-0 3 0,4 0,,083E-0,607E-0,88E-0,035E-0-7,353E-0 4 0,4 0,3 6,766E-0 6,9507E-0,533E-0 6,6058E-0-6,9488E-0 5 0,4 0,4 3,46E-0 3,643E-0,807E-0 3,4390E-0-6,0890E-0 6 0,4 0,5,373E-0,3757E-0,8E-0,980E-0-4,904E-0 7 0,5 0,,384E-0,7660E-0 3,94E-0,73E-0 -,8900E-0 8 0,5 0, 9,084E-0,0974E-0,083E-0,0608E-0 -,6795E-0 9 0,5 0,3 5,360E-0 5,999E-0,6684E-0 5,7677E-0 -,98E ,5 0,4,0944E-0,435E-0,534E-0,3003E-0-9,839E-0 3 0,6 0,,3676E-0,595E-0,08E-0,507E-0 -,00E-0 3 0,6 0, 7,669E-0 8,676E-0,37E-0 8,534E-0 -,896E ,6 0,3 3,907E-0 3,6589E-0,4674E-0 3,5730E-0 -,983E ,7 0,,0606E-0,0909E-0,853E-0,39E-0-5,07E ,7 0, 4,5583E-0 4,883E-0 7,50E-0 4,90E-0-7,7593E ,8 0, 5,4947E-0 5,488E-0 -,796E-03 5,8398E-0-6,790E-0 Também se observou que, apesar de se er uilizado os pesos resulanes do méodo da penalidade, o méodo da sinergia não apresenou uma melhora significaiva. Os valores obidos são próximos aos dos do méodo da penalidade. Podese aribuir isso à roina de oimização, que faz o cálculo do gradiene numericamene, o que pode acumular erros na solução do sisema linear. O méodo da penalidade, no enano, se mosrou de adapação rápida e simplificada a novos problemas. Para a resolução de equações diferenciais parciais com conornos irregulares, o méodo da penalidade se apresenou preciso, assim como para conornos regulares. Nos problemas de equações diferenciais ordinárias os resulados foram precisos, aé mesmo para casos de gradiene elevado, onde apresenaram comporameno melhor do que ouros méodos de aproximação. Para conornos irregulares, os resulados foram precisos para penalidade e para a sinergia, mas com as observações feias acima. O que se pode consaar do méodo de resolução de equações diferenciais por redes neurais arificiais é que é um méodo de inerpolação global. Após o reinameno da rede neural, em-se uma função de inerpolação que descreve, para qualquer pono do domínio, a solução aproximada da equação diferencial, sem a necessidade de procedimenos de pósprocessameno, que em alguns méodos chegam a ser complexos. Além disso, do que foi observado, a resrição na aplicabilidade do méodo pode ser associada à roina de oimização, que no caso dese rabalho foi adoado o pacoe fechado ISL. De forma alernaiva, a uilização de roinas disponíveis grauiamene, como o caso do Numerical Recipes, pode dar a flexibilidade de ajuses necessários para vários ipos de problemas. Por fim, uma caracerísica imporane em relação à uilização de redes neurais para a resolução de equações diferenciais é em relação à linearidade ou não dos problemas. As redes neurais raam, por assim dizer, problemas lineares e não lineares da mesma forma, como se fossem do mesmo ipo. Aca Sci. Technol. aringá, v. 7, n., p. 7-6, Jan./June, 005

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