SIMULAÇÃO E COMPARAÇÃO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA OBTENÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES A POSTERIORI

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1 SIMULAÇÃO E COMPARAÇÃO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA OBTENÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES A POSTERIORI Flávo Bambrra Gonçalves, Vnícus Dnz Mayrnk e Rosangela Helena Losch Deartamento de Estatístca ICEx - Unversdade Federal de Mnas Geras Av. Presdente Antôno Carlos, 667, Camus Pamulha, Belo Horzonte, Mnas Geras, CEP: 7-9 E-mal: fbg@ufmg.br, mayrnk@ufmg.br, losch@est.ufmg.br Resumo: Neste trabalho, descreve-se e estuda-se a efcênca de três métodos ara obtenção de uma aroxmação da dstrbução a osteror: Gbbs Samlng, Método da Rejeção e SIR. Para sto, consdera-se uma análse conjugada e amostras geradas de duas dstrbuções: Normal com méda e varânca desconhecdas e Posson. Também consderam-se dos tamanhos amostras, n= e. Em ambos os casos, comara-se o resultado com a dstrbução a osteror exata, através de gráfcos e estatístcas descrtvas. De uma manera geral, os três métodos foram efcentes na geração da dstrbução a osteror do arâmetro σ. Consderando o arâmetro µ, notou-se que o Gbbs Samlng gerou dstrbuções a osteror com varabldade maor que os demas métodos em relação à dstrbução exata. O método Gbbs Samlng fo o que melhor aroxmou as dstrbuções a osteror exatas de µ. No caso Posson, observou-se que os métodos SIR e MR não são efcentes em stuações onde a dstrbução a ror do arâmetro de nteresse está to afastada da realdade. Quando sto não ocorre, tas métodos se mostraram bem efcentes ara aroxmar a dstrbução a osteror exata do arâmetro. Palavras-chave: Métodos comutaconas, Dstrbução Normal, Dstrbução Posson. Abstract: In ths study, t s descrbed and studed the effcency of three methods for an aroxmaton of osteror dstrbutons: Gbbs Samlng, Rejecton Method and SIR. It s done by consderng a conjugated analyss and generatng samles of two dstrbutons: Normal wth unknown average and varance and Posson. Two samle szes are consdered, n= and. In both cases, the results are comared wth the exact osteror dstrbuton, by usng grahs and descrtve statstcs. As general, the three methods had been effcent n generatng the arameters osteror dstrbuton. For µ, Gbbs Samlng generated osteror dstrbutons wth hgher varance than the other methods accordng to the exact dstrbuton. The Gbbs Samlng Method had better erformance on aroxmatng the exact osteror dstrbutons. In Posson case, notced that SIR and MR methods are not effcent when the arameter s ror dstrbuton s far from real. If t doesn t haen, such methods are effcent to aroxmate the arameter s exact osteror dstrbuton. Keywords: Comutatonal methods, Normal Dstrbuton, Posson Dstrbuton. Introdução A Estatístca Bayesana é uma abordagem que vem sendo cada vez mas reconhecda e utlzada devdo à sua grande efcênca em resolver roblemas comlexos que são, tas vezes, dfíces de serem tratados com técncas da Estatístca Clássca. Uma das vantagens de se utlzar a Estatístca Bayesana é a ossbldade de ncororar no rocesso de nferênca nformações não caturadas elo modelo estatístco através da função de verossmlhança. A dferença básca entre Estatístca Clássca e Estatístca Bayesana é que na Estatístca Clássca, o conceto de aleatoredade está assocado a varabldade. Já na Estatístca Bayesana, ara que algo seja consderado aleatóro, basta que ele seja desconhecdo. Na da Estatístca Bayesana, exstem alguns concetos báscos que descreveremos a segur: as dstrbuções a ror e a osteror e a função de verossmlhança. A dstrbução a ror f (θ ) é aquela que resume a nformação sobre θ antes de observar-se os dados. A função de verossmlhança f ( X θ ) é aquela que resume a nformação sobre θ fornecdas elos dados e a dstrbução a osteror f ( θ X ) é a dstrbução atualzada de θ aós a observação dos

2 dados. A manera mas com de se obter a dstrbução a osteror é através do Teorema de Bayes: f ( X θ ). f ( θ ) () f ( θ X ) = f ( X θ ). f ( θ ) dθ Θ Porém, na maora das vezes se torna (quase) mossível resolver a ntegral do denomnador analtcamente, o que fez com que a Estatístca Bayesana fosse rvada de ser utlzada na maora dos roblemas durante to temo. As mas recentes soluções desenvolvdas, foram técncas de slações usadas ara gerar amostras da dstrbução a osteror. O maor obstáculo ara a mlementação de técncas bayesanas no assado fo a dfculdade comutaconal. Hoje em da esse obstáculo fo suerado com o desenvolvmento dos comutadores que se tornaram mas rádos e efcentes, além do desenvolvmento de softwares que facltam a mlementação e o uso dessas técncas. Neste estudo serão alcados três métodos comutaconas ara gerar amostras da dstrbução a osteror. O rmero deles é um esquema de slação do to Monte Carlo va Cadea de Markov (M.C.M.C.) conhecdo como Gbbs Samlng. As déas orgnas do método são de Metrools et al (9) e foram generalzadas or Hastngs (97). Geman e Geman (984) rouseram um esquema de amostragem da dstrbução de Gbbs dentro de conceto de reconstrução de magens. Gelfand e Smth (99) mostraram a alcabldade estatístca do método. O segundo método a ser estudado, chamado de Método da Rejeção (Gelfand e Smth, 99), é uma técnca smles que gera uma amostra a osteror a artr de uma amostra a ror. O tercero método SIR (Samlng Imortance Resamlng) é um Bootstra onderado de uma amostra da dstrbução a ror também roosto or Gelfand e Smth (99). Pretende-se então descrever cada um destes métodos e estudar sua efcênca. Aós defnr os algortmos e analsar as roostas de cada técnca na seção, elas serão comaradas na seção. Para a realzação dessa comaração, os métodos serão adatados ara alcação na análse de dados, rovenentes de uma dstrbução Normal com méda e varânca desconhecdas e de uma dstrbução de Posson com arâmetro desconhecdo. Utlzaremos em ambos os casos, dstrbuções a ror conjugadas naturas ara tornar fácl o comuto da dstrubução a osteror exata. Também foram consderados dos tamanhos de amostras. Analsar a efcênca dos métodos sgnfca verfcar se é boa a aroxmação entre as dstrbuções a osteror exatas e aquelas geradas or cada método, além de observar se as estmatvas dos arâmetros estão róxmas dos valores reas que são conhecdos. A mlementação dos métodos fo feta em lnguagem de rogramação C. Este trabalho está organzado da segunte manera: na Seção será aresentada a metodologa utlzada, na Seção os resultados obtdos, na Seção as rncas conclusões.. Algortmos ara obtenção da dstrbução a osteror Nesta Seção descrevemos de forma geral os algortmos a serem utlzados no trabalho... O método Gbbs Samlng O método Gbbs Samlng (Hastng 97) é um esquema teratvo de amostragem de uma cadea de Markov cujo núcleo de transção é formado elas dstrbuções condconas comletas dos arâmetros a serem estmados. Suonha que se retende estmar os arâmetros θ,...,θ e admta que as dstrbuções condconas comletas f ( θ θ,..., θ ), f ( θ θ, θ,..., θ ),..., f ( θ θ,..., θ ) são conhecdas. Dadas as dstrbuções condconas comletas, o algortmo Gbbs Samlng tem a segunte forma:. Incalze o contador de nterações da cadea de Markov fazendo j = e arbtre valores ncas () () () θ = ( θ,..., ) ; θ ( j ). Obtenha o j-ésmo valor θ = ( θ,..., θ ), j =,,...,n a artr de θ através de sucessvas gerações de valores como segue, ( j ) ( j ) θ ~ f ( θ θ,..., θ ) 74

3 ( j ) ( j ) θ ~ f ( θ θ, θ..., θ ) (...) (.) θ ~ f ( θ θ,..., θ ) ;. Mude o contador j ara j + e retorne a (.); Desreze as m rmeras amostras ara burn-n (garanta de convergênca) e selecone uma amostra de l em l das n-m restantes ara formar a amostra que rá aroxmar a dstrbução a osteror... O Método da Rejeção O Método da Rejeção (Gelfand e Smth 99) selecona valores rovenentes da dstrbução a ror ara formar uma amostra da dstrbução a osteror. Esse rocedmento ossu a grande vantagem de ser smles ara a mlementação e de fácl entendmento. Aresenta-se a segur o algortmo do método da rejeção. Suonha que ( X,..., X n ) é um conjunto de dados observados sendo que X ( =,...,n) é rovenente de uma dstrbução de robabldade ndexada elo arâmetro θ. Os assos a serem realzados são:. Gerar θ da dstrbução a ror f (θ ) ;. Gerar u de uma dstrbução Unforme(,);. Teste ara acetação ou rejeção: Se u f ( X θ ) ~, acetar θ ara formar a amostra a osteror. Caso contráro, reta os Mf ( θ ) assos, e. O elemento M reresenta uma constante que ode ser dentfcada. Sabe-se que M > e f ( X θ ) M ~, onde f ( X θ ) reresenta a função de verossmlhança. Para gerar uma amostra a f ( θ ) ~ osteror a artr de uma amostra a ror deve-se consderar ara o algortmo que M = f ( X θ = ˆ θ ) onde θˆ é o estmador de máxma verossmlhança ara a dstrbução de onde θ é rovenente. Dessa forma o teste ara a acetação ou rejeção de um valor de θ gerado a ror, será: f ( X θ ) Se u ~, acetar θ ara formar a amostra a osteror e deve-se rejetar caso f ( X θ = ˆ) θ ~ contráro. É mortante salentar que, se θ (gerado da dstrbução a ror) for um valor róxmo de θˆ (estmador de máxma verossmlhança) a robabldade de acetação de θ é grande. Se θ for um valor dstante de θˆ, a robabldade de acetação de θ é equena... O método SIR O método SIR (Gelfand e Smth 99) é um método de reamostragem com a utlzação de esos que segue o segunte algortmo:. Gere uma amostra θ,...,θ n de tamanho n da dstrbução a ror de θ.. Calcule o valor w = f ( X θ ) ara cada um dos ontos θ ' s gerados.. Para cada valor θ gerado, calcule: w = n q 4. Selecone uma amostra θ *,..., θ n * de tamanho m, com reosção, da amostra ( θ,..., θ n ) consderando a dstrbução dscreta com robabldades ( q,..., qn ) onde P ( θ = θ ) = q. Essa amostra será a amostra que rá aroxmar a dstrbução a osteror. = w ~ 7

4 . Resultados das slações O algortmo utlzado fo mlementado na lnguagem C. Para o estudo comaratvo dos métodos serão geradas as amostras de tamanhos e tanto da dstrbução Normal (, 4) quanto da dstrbuão Posson (). Para verfcar se os métodos aroxmam bem a dstrbução a osteror exata, serão exbdos, em um mesmo gráfco, a dstrbução a osteror exata e o hstograma da amostra obtda elos métodos. Além dsso, serão aresentadas tabelas com as estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e das amostras das dstrbuções a osteror geradas elos métodos... Esecfcações a ror No caso da dstrbução Normal, retende-se estmar os dos arâmetros da dstrbução. Os dados foram gerados de uma dstrbução Normal (, 4). Para a análse assummos que a µ σ ~ Normal ( m, σ ) e σ ~ GamaInversa, d. m a d Caso 4 68, 4,6 Caso 4 46,66 4, 4 46,66 4, 8 4,6,77 4 Tabela Dstrbuções e estatístcas descrtvas a ror ara o caso Normal. Note que ara o Caso e fo escolhdo uma dstrbução a ror Normal com méda ara µ. Os esqusadores que utlzam essa escolha a ror, ossuem uma déa rum sobre qual é o verdadero valor da méda da dstrbução real dos dados. Lembre-se que os dados são rovenentes de uma dstrbução Normal com méda. Para os Casos e 4 a dstrbução a ror ara µ está centrada justamente no valor real do arâmetro µ. Portando os dos últmos Casos são melhores em relação à onão exressa sobre µ. O elemento que dferenca os Casos e e os Casos e 4 é a onão a reseto da varabldade dos dados: o arâmetro σ. No caso da dstrbução de Posson, retende-se estmar o arâmetro desta dstrbução. Os dados foram gerados de uma dstrbução de Posson (). Para a análse assummos que λ ~ Gama ( α, β ). Caso α β E(λ) Var(λ) Moda(λ) 9, Caso,, --- Tabela Dstrbuções e estatístcas descrtvas a ror ara o caso Posson. No caso a dstrbução a ror de λ está to longe da realdade, os tem méda e varânca equena. No caso a dstrbução a ror de λ está bem róxma de realdade, os tem méda (valor real) e varânca bem equena... Gbbs Samlng: Análse das slações Para a obtenção das dstrbuções a osteror dos arâmetros µ e σ² va Gbbs Samlng, serão geradas amostras, tomando-se as rmeras ara burn-n e com um lag de ara obtenção da amostra fnal. Ou seja, a amostra fnal será comosta de 8 elementos. Para uma amostra de tamanho n= observe, através dos gráfcos mostrados nas Fguras e, que as dstrbuções a osteror exata e obtda va Gbbs Samlng, concentram maor arte de suas massas em ntervalos arecdos. Veja elas Tabelas e 4 que a méda, moda e varânca da dstrbução obtda va Gbbs Samlng está bem róxma dos valores exatos. As melhores aroxmações ocorrem no onde assummos uma dstrbução a ror mas nformatva (menor varânca) e que, a ror, estma bem tanto µ quanto σ. Perceba ela Fgura que em todos os 76

5 casos o formato do hstograma reresentando a dstrbução a osteror obtda va Gbbs Samlng ara o arâmetro σ, acomanha quase erfetamente o formato da curva contínua da dstrbução exata. Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Gbbs Samlng (hstograma) ara µ. Caso Caso, 6,8, 9 8,6, ,, 8 6,, Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Gbbs Samlng (hstograma) ara σ. Caso Caso 7,, 6,, ,,, Exata Gbbs Exata Gbbs Exata Gbbs Caso,7,69 9, 8,,7 7,878 Caso,7,86 6,4 9,7,7 7,64 9,6 9,6 6,,96 9,6,449 9,6 9,94,,9 9,6 8,8 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va Gbbs Samlng ara µ. Exata Gbbs Exata Gbbs Exata Gbbs Caso 8,7 8, 9,8 7,9 6,6 7,79 Caso 6,8,6 9,66 4,94 96,97 7,6,67, 9,88 4 9,689,98 4, 4,,9,9,68,8 Tabela 4 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va Gbbs Samlng ara σ². Aumentando o número de observações de n= ara n=, observamos uma melhora na aroxmação em todos os casos. Perceba que ara µ, os valores médos a osteror ara dstrbução exata e aroxmadas estão bem róxmos entre s e também estão bem róxmos do valor real, sendo que os valores da dstrbução aroxmada estão em geral mas róxmos anda de. O mesmo não se ode dzer sobre a moda a osteror, onde vê-se que a dstrbução aroxmada tem valor modal em geral nferor ao valor da dstrbução a osteror exata. Nota-se também, ara n=, que a varânca da dstrbução aroxmada é um ouco maor que a observada ara a dstrbução exata. Para a varânca, nota-se, ara n=, que as dstrbuções a osteror exatas e obtdas va Gbbs Samlng estão bem róxmas. Nota-se anda uma melhora nas estmatvas de σ², como era de se eserar. 77

6 Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Gbbs Samlng (hstograma) ara µ. Caso Caso,,, ,,,,, Fgura 4 Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Gbbs Samlng (hstograma) ara σ. Caso Caso,,,6,8,,7,,,4,,,6,,4,,,, Exata Gbbs Exata Gbbs Exata Gbbs Caso,,6,44 9,9, 7,64 Caso,,44,,89,,,4 76,9,9,4 8,864,4,6,8 4,8,4 9,8 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va Gbbs Samlng ara µ. Exata Gbbs Exata Gbbs Exata Gbbs Caso,88,94, 4,89 9,8,699 Caso,464,8 8,9 8,8 9,7 8,99,8,94,,6 4,987 6,74 4,76 4,8,68,9,9 4,88 Tabela 6 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va Gbbs Samlng ara σ²... Método da Rejeção (MR) : Análse das slações (caso normal) Para a obtenção das dstrbuções a osteror dos arâmetros µ e σ² va MR, serão geradas amostras. Da Fgura é ossível notar que também ara o Método da Rejeção exste, uma melhor aroxmação entre as dstrbuções a osteror exata e aroxmada ara o arâmetro σ. São mostrados aenas gráfcos e estatístcas descrtvas referentes aos Casos e 4 cujas dstrbuções a ror são mas justas ara reresentar os valores reas de µ e σ. As dstrbuções a ror estabelecdas ara os Casos e não reresentam bem os valores reas desse arâmetros. Consequentemente, a robabldade de rejetar um valor gerado da dstrbução a ror ara comor a amostra a osteror é to grande. Para essas escolhas a ror, ao executar o rograma ara o Método da Rejeção não fo seleconado qualquer elemento ara a amostra a osteror. Veja na Fgura que a aroxmação das dstrbuções exatas e geradas va Método da Rejeção ara o não é boa, os a amostra a osteror é equena. 78

7 Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Método da Rejeção (hstograma) ara µ e σ². (µ) (µ) (σ²) (σ²),6,8,,6,,7,6,4,,4,,,,4,,,,4,,,,,,, Exata MR Exata MR Exata MR 9,6 9,7 6,,496 9,6, 9,6 9,66,,67 9,6 9,4 Tabela 7 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR ara µ. Exata MR Exata MR Exata MR,67 4,6 9,88,88 9,689 4, 4,4,9,94,68,97 Tabela 8 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR ara σ². Quando a amostra se torna maor (n=), a tendênca é que as dstrbuções a osteror sejam mas recsas no sentdo de adqurr menor varabldade. A dstrbução a ror estabelecda ara o gerou valores que são atícos ara a nova dstrbução a osteror. Assm todos os valores gerados foram rejetados e a amostra a osteror fnal fcou vaza ara este caso. É or sso que somente o é mostrado. Lembre-se que no caso n=, a amostra a osteror do era equena o que favoreca a mrecsão nas estmatvas. Os comentáros a serem fetos aqu são semelhantes àqueles dscutdos nas slações anterores ara o método da Rejeção com amostra de tamanho. Fgura 6 Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va Método da Rejeção (hstograma) ara µ e σ². (µ) (σ²),9,8,7,6,,4,,, Exata MR Exata MR Exata MR,4,,8 4,4 9,99 Tabela 9 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR ara µ. Exata MR Exata MR Exata MR 4,76 4,7,68,67,9,7 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR ara σ². 79

8 .4. SIR: Análse das slações (caso normal) Para a obtenção das dstrbuções a osteror dos arâmetros µ e σ² va SIR, serão geradas amostras, tomando-se dessas amostras ara formar a amostra a osteror. Para uma amostra com n=, a dstrbução a osteror de µ não fo bem aroxmada elo método SIR nos casos e. Isso aconteceu orque a amostra a osteror das dstrbução a ror, nestes casos estavam bem dstantes do valor real de µ. O caso é um ouco melhor os, aesar de, a ror, estmar mal o valor de µ, temos mas ncerteza. Nos casos e 4 a amostras geradas elo método SIR fcaram centrados nos mesmos valores da dstrbução a osteror exata, orém com uma varânca menor. No caso, a amostra a osteror de σ² fo degenerada, sso aconteceu orque, de todos os valores gerados da dstrbução a ror de σ², um deles teve eso q to róxmo de (, ) e todos os outros tveram eso q ratcamente gual a zero. No caso a aroxmação entre as dstrbuções aroxmadas é um ouco melhor, aresentando valores relatvamente róxmos ara méda, moda e varânca. Nos casos e 4 as amostras a osteror geradas elo SIR aroxmaram to bem a dstrbução a osteror exata de σ². Fgura 7 Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va SIR (hstograma) ara µ. Caso Caso,,9,,9,4,7,8,7,6,,4,,,,8,7,6,,4,,,,,,,6,,4,,, Fgura 8 Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va SIR (hstograma) ara σ². Caso Caso,,,9,,8,4,7,6,,4,,,,,, sgma sgma sgma sgma Exata SIR Exata SIR Exata SIR Caso,7,684 9,,7,687 Caso,7,788 6,4 6,9,7,874 9,6 9,7 6,,4 9,6 9,4 9,6 9,4,,6 9,6 9,9 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va SIR ara µ. Exata SIR Exata SIR Exata SIR Caso 8,7 9,6 9,8 6,6 9,6 Caso 6,8 4,8 9,66 97,8 96,97 78,7,67,6 9,88 9,46 9,689 4,787 4, 4,,9,966,68, Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va SIR ara σ². 7

9 Para uma amostra de tamanho, o caso, o rograma ara obter a dstrbução a osteror de µ e σ² elo método SIR não rodou. A dstrbução a osteror de µ não fo bem aroxmada elo método SIR no caso, ela fo degenerada elos mesmos motvos que a dstrbução de σ² fo degenerada no caso ara a amostra de tamanho. Nos casos e 4 a amostras geradas elo método SIR fcaram centrados nos mesmos valores da dstrbução a osteror exata, orém com uma varânca bem menor que a da dstrbução exata. No caso, a amostra a osteror gerada elo método SIR fo degenerada e bem dstante dos valores onde a dstrbução a osteror exata õe massa. No caso, a amostra gerada fcou concentrada na cauda dreta da dstrbução a osteror exata. E no caso 4, a amostra a osteror gerada elo método SIR aroxmou bem a dstrbução a osteror exata de σ². Fgura 9 Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va SIR (hstograma) ara µ. Caso,,9,8,7,6,,4,,, Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va SIR (hstograma) ara σ². Caso,,9,8,7,6,,4,,,,9,8,7,6,,4,,, 4 sgma sgma sgma Exata SIR Exata SIR Exata SIR Caso,,874,,,874,4,,9 4,4,74,4,9,8 4,4 9,94 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va SIR ara µ. Exata SIR Exata SIR Exata SIR Caso,464 78,7 8,9 9,7 78,7,8,794,,6 4,987,4447 4,76 4,9,68,7,9,688 Tabela 4 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va SIR ara σ²... SIR e Método da rejeção: Análse das slações (caso Posson) Para uma amostra de tamanho, no caso, o MR não seleconou nenhum dado ara formar a dstrbução a osteror elos mesmos motvos ctados no caso normal. Já no caso, o MR fo bem 7

10 efcente. No caso, a dstrbução a osteror exata de λ não fo bem aroxmada elo método SIR, os a amostra a osteror gerada elo método SIR está concentrada na cauda dreta da dstrbução a osteror exata e tem varânca menor que esta. No caso o método SIR fo bem efcente ara aroxmar a dstrbução a osteror exata de λ. Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va MR e SIR (hstograma) ara λ. MR - Caso SIR Caso SIR Caso,, densdade,, densdade densdade,, 4 E(λ) Var(λ) Moda(λ) Exata MR SIR Exata MR SIR Exata MR SIR Caso,44 ---, ,49 ---,4 Caso,9,9,9,,8,,9,974,7 Tabela Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR e SIR ara λ. Para uma amostra de tamanho os resultados foram: Fgura Comaração entre a dstrbução a osteror exata (curva contínua) e a dstrbução a osteror obtda va MR e SIR (hstograma) ara λ. MR - Caso SIR Caso SIR Caso 4 4 densdade densdade densdade,,,,,,, E(λ) Var(λ) Moda(λ) Exata MR SIR Exata MR SIR Exata MR SIR Caso,6 ---,48 ---, ---,4 Caso,89,9,9,79,64, Tabela 6 Estatístcas descrtvas das dstrbuções a osteror exatas e geradas va MR e SIR ara λ. As mesmas observações e conclusões da amostra de tamanho são váldas ara a amostra de tamanho. Acrescentando-se que ara a amostra de tamanho o caso do método SIR fo or que ara o tamanho de amostra, os a amostra gerada elo método SIR está mas afastada da dstrbução a osteror exata de λ.. Conclusões Neste trabalho, descreveu-se e estudou-se a efcênca de três métodos ara obtenção de uma aroxmação da dstrbução a osteror: Gbbs Samlng, MR e SIR. Para sto, consdera-se uma análse conjugada e amostras geradas de duas dstrbuções: Normal com méda e varânca desconhecdas e Posson. Também consderam-se dos tamanhos amostras, n= e. Em ambos os casos, comara-se o resultado com a dstrbução a osteror exata. 7

11 De uma manera geral, os três métodos foram efcentes na geração da dstrbução a osteror do arâmetro σ. Percebe-se sto dos gráfcos que mostram uma erfeta aroxmação com a dstrbução a osteror exata e também através da roxmdade dos resumos de ambas dstrbuções exata e aroxmadas. Consderando o arâmetro µ, notou-se que o Gbbs Samlng gerou dstrbuções a osteror com varabldade maor, enquanto que os demas métodos com menor varabldade, em relação à dstrbução exata. O método Gbbs Samlng fo o que melhor aroxmou as dstrbuções a osteror exatas de µ. A justfcatva é smles os a geração deste arâmetro, em todos os modelos, deende do valor gerado ara σ. Há então uma herança de erros de estmação. Aesar desse roblema com a varabldade fo observado que a dstrbução a osteror de µ, gerada elos modelos, está centrada ratcamente no mesmo onto que a dstrbução exata. O uso de dstrbuções a ror que não reresentavam bem os arâmetros µ e σ mlcaram na obtenção de estmatvas ontuas afastadas dos valores reas dos arâmetros ara o modelo Gbbs Samlng, orém tal comortamento ocorreu também nas dstrbuções exatas, ou seja, o método fo bem efcente ara aroxmar as dstrbuções a osteror exatas. Para o Método da Rejeção e o SIR, nestes casos, amostras equenas ou contendo nenhum elemento eram formadas a osteror. Isso condcona a boa alcação destes dos métodos aenas em casos onde a dstrbução a ror não está em desacordo com a função de verossmlhança. Sugere-se então que os modelos sejam usados em conjunto. Caso o SIR ou o Método da Rejeção selecone amostras equenas, exstrá a ndcação de que a nformação a ror não é boa, assm as estmatvas a osteror obtdas va Gbbs Samlng odem não ser consstentes. Caso contráro todos os métodos são consderados efcentes e odem ser usados na realzação de nferêncas. No caso Posson, observou-se que os métodos SIR e MR não são efcentes em stuações onde a dstrbução a ror do arâmetro de nteresse está to afastada da realdade. Aconselha-se então, em stuações onde não se tem nformações razoáves sobre o arâmetro de nteresse a ror, a se usar dstrbuções a ror bem ouco nformatvas. Para os casos em que a dstrbução a ror do arâmetro de nteresse está róxma da realdade, tas métodos se mostraram bem efcentes ara aroxmar a dstrbução a osteror exata do arâmetro. Vale destacar, orém, que o Método Gbbs Samlng nem semre ode ser utlzado, os exge que as dstrbuções condconas comletas sejam conhecdas, o que não ocorre semre. Aconselha-se então, ara casos semelhantes aos estudados, utlzar o método Gbbs Samlng semre que as dstrbuções condconas comletas forem conhecdas. Agradecmentos Flávo Bambrra Gonçalves e Vnícus Dnz Mayrnk são bolsstas do rograma Pbc-CNPq. A esqusa de Rosâgela Helena Losch é arcalmente fnancada elo CNPq (/-7). Frederco R. B. da Cruz agradece ao CNPq (89/96-8 e 46/94-6) e FAPEMIG (CEX 89/98 e CEX 8/98). Referêncas Bblográfcas Gelfand, A. E. e Smth, A. F. M. (99) Samlng based aroaches to calculatng margnal denstes. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. V. 8 Pg Gelfand, A. E. e Smth, A. F. M. (99) Bayesan Statstcs Wthout Tears: A Samlng Resamlng Perectve. The Amercan Statstcan. V. 46 Pg Geman, S. e Geman, D. (984) Stochastc relaxaton, Gbbs dstrbutons and the Bayesan restoraton of mages. IEEE transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence. V.6. Pag Hastngs, W. K. (97) Monte Carlo samlng methods usng Markov chans and ther alcatons Bometrka. V.7 Pg Metrools, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H. e Teller, E.(9) 7