MODELO DE SUSPENSÃO MacPHERSON UTILIZANDO TRANSFORMADORES CINEMÁTICOS

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1 MODELO DE SUSPENSÃO MacPHESON UTILIZANDO TANSFOMADOES CINEMÁTICOS Jorge A. M. Gós e-mal: Clódo A. P. Sarzeto e-mal: Insttuto Mltar de Engenhara, Deartamento de Engenhara Mecânca Pça Gal Tbúrco, 8, Praa Vermelha, o de Janero J, CEP: 9-7 esumo Este trabalho objetva modelar uma susensão automotva do to MacPherson utlzando Transformadores Cnemátcos (T.C.), que ermte a obtenção do modelo em um número mínmo de coordenadas corresondentes aos graus de lberdade (G.L.) do sstema, bem como ossblta a obtenção de modelos de solução fechada ara a cnemátca, ocasonando uma redução, em geral drástca, no número de equações de movmento, obtdas exlctamente. Há então necessdade de uso de métodos numércos aenas ara a ntegração do sstema de equações da dnâmca, que se torna rígdo necesstando o uso de métodos esecas. Palavras chave: Cnemátca, Dnâmca, Transformadores, susensão MacPerson. INTODUÇÃO A análse da cnemátca e dnâmca da susensão MacPherson utlzando Transformadores Cnemátcos torna ossível obter um modelo retendo todas as característcas não lneares da geometra da susensão, modelo este gerado em n o mínmo de coordenadas. Fgura Modelo mult-coros (susensão dant. dr.). EPESENTAÇÃO MULTI-COPOS Segundo a numeração da Fgura, o sstema é modelado tomando como referencal o coro, odendo assm deos ncororar-se a susensão a um modelo do veículo. Examnando o modo de nterconeconexão dos coros, modela-se estas lgações através de juntas cnemátcas, mostradas na Tabela, bem como seus graus de lberdade e arâmetros.

2 TABELA Juntas Cnemátcas do modelo To Parâmetros G.L. evolução Exo OA Esférca Centro B * Clíndrca Exo BC Unversal Centro C Esférca Centro D Unversal Centro E Translação Exo y evolução Exo HG Da Tabela, ela alcação do Crtéro de Grübler, vê-se que o sstema de susensão solado ossu um total de três graus de lberdade, como mostra a Equação : f n B 6 n ( 6 f ) 6 6 ( ). () B G onde n B é o número de coros do mecansmo e f G o número de G.L. restrngdos ela junta, sendo tomadas como varáves de entrada o ângulo da bandeja em relação à vertcal, a rotação da roda em torno da manga de exo e o deslocamento da cremalhera da dreção.. TANSFOMADOES CINEMÁTICOS As equações da dnâmca ara sstemas mult-coros são obtdas a artr das equações de Neton-Euler ara cada coro rígdo, utlzando os rncíos de D Alembert e dos Trabalhos Vrtuas, chegando à forma abaxo n B e [ (. s b ) ] Ξ. δs T () onde s é o vetor de osção e orentação de um referencal fxo no centro de massa do coro em relação ao referencal nercal, Ξ é o tensor de nérca do coro b reresenta o efeto das forças groscócas, e as forças externas alcadas e δs os deslocamentos vrtuas. Os deslocamentos vrtuas devem ser admssíves (comatíves com as restrções cnemátcas do roblema), odendo-se (na maora das vezes), escrever uma relação de deendênca entre eles (Hller Kecskeméthy, 986) do to δs J.δq, onde q é um conjunto de varáves ndeendentes e J é a matrz jacobana da cnemátca. Estendendo esta relação a velocdades e acelerações, substtundo na Eq. (), chega-se às eqs. de movmento reduzdas N B T B( q, q) J.( Ξ. J. q b ) M ( q). q B( q, q ) Q( q, q ) M ( q) N B Q( q, q ) N J B T J. Ξ. J T e. ()

3 A matrz jacobana é obtda a artr da equações de fechamento de cadeas cnemátcas revamente seleconadas como Transformadores Cnemátcos. Tas cadeas formam uma base caaz descrever a toologa do sstema. 4. MODELAGEM DA SUSPENSÃO Na Fgura é vsto o grafo equvalente (Kecskeméthy, Hller Kru,997) ao sstema, montado or meo de juntas elementares (círculos brancos), coros fctícos (elses brancas) entre as juntas elementares que fazem arte de uma mesma junta físca e coros reas (elses cnzas). Fgura Grafo da susensão Sendo n G o número de juntas elementares do mecansmo são seleconadas n L n G n B 8 (7-) transformadores cnemátcos. A artr do grafo equvalente mostrado na Fgura, onde os coros reas são vértces, e as juntas, arestas (de comrmento gual ao n o de graus de lberdade da junta físca corresondente), selecona-se os camnhos mínmos entre vértces: TABELA Camnhos mínmos K , 5, ,6,7 --,5,54,5,6,7, , ,5 45,5, ,6 4, , 54, ,6 54,4, , 6 6,4 6,5 -- 6,7 7 7,6,6 7, 7 7,4 7,4,45 7,6 -- Tomando cada ar de vértce e aresta são montadas os cclos mínmos conectando-se este ar or meo dos camnhos mínmos, surgndo assm 4 cclos, dos quas são desconsderando cclos reetdos (os não são ndeendentes) e degenerados, obtendo-se: C 6 coros 6 e comrmento 8; C 5 coros, 5, 4,, 6 e comrmento ; C 64 coros, 6,, 4, 5 e comrmento. Desses deve-se retrar os ndeendentes, sendo então seleconada a base de cclos mínmos, comosta elas cadeas C 6 e C 64 e ara os quas são estabelecdas coordenadas relatvas (Gos, ) conforme a Fgura. O rmero transformador C 6 é ertnente ao movmento vertcal da susensão, o qual ossu G.L., um dos quas corresonde à rotação relatva entre os coros e 6, que é calculada no o transformador C 64, o qual refere-se bascamente ao sstema de esterçamento. No o há G.L., tomando-se e 5 como coordenadas ndeendentes deste cclo. A coordenada rege o movmento vertcal da susensão, enquanto 5, a rotação da roda. No o há um total de coordenadas relatvas nesta cadea, onde 4 são ndeendentes.

4 Fgura - Coordenadas relatvas do o (esq.) e de o (dr) transformadores 4. Prmero Transformador Com auxílo da Tabela, Escolhe-se um ar característco de juntas, onde a cadea é aberta ara formular equações de fechamento (Hller Woernle,988). O ar que roorcona maor elmnação de coordenadas é formado ela junta unversal em C e a esférca em B, fornecendo aenas equação característca. Consderando as coordednadas ndeendentes e o elemento de sotroa de dstânca entre ontos, tem-se: g q (4) g 5 5 q (5) g BC ( ) BC MC MB sen( ) MB cos( ) (6) sendo q e q dretamente as entradas do sstema, é o comrmento máxmo que o telescóo ode assumr, MC e MB constantes, e são matrzes de rotação dos sstemas locas.. Esta equação rovem do fato da dstânca entre os centros das juntas do ar característco ser a mesma medda or qualquer dos ramos em que fo aberta a cadea. A equação característca dada ela eq. 6 ode ser resolvda analtcamente como um função de e ortanto, ara esta cadea, não há necessdade do uso de métodos teratvos de solução. O restante das coordenadas são obtdas or equações de formuladas recursvamente utlzando ângulos de Euler ara a orentação dos coros. Sendo n o untáro na dreção BC : g sen( ) - n z (7) nx g4 sen( 4 ) (8) 4.. Segundo Transformador Coordenadas do o transformador assam a ser entradas ara o o. A quarta coordenada ndeendente é 9, o deslocamento da cremalhera.assm: 4

5 g (9) g () g () g 9 9 q () Das 6 coordenadas deendentes, aenas uma é de nteresse ara a defnção da cnemátca do cclo: a rotação relatva no exo na junta clíndrca, dada or. Escolhe-se como ar característco as juntas unversal em E e esférca em D, elmnando do equaconamento as cnco coordenadas relatvas a estas juntas. Com DE, CI, FD e FB trados dretamente da geometra da susensão, utlza-se o elemento de sotroa de dstânca entre os ontos D e E, levando à segunte equação característca: g CF FD CI IE DE () que toma forma mostrada em eq. 4 com solução na dada or eq. 5, ermtndo extrar a exressão de no ntervalo (-π, π) como mostrado em eq. 6. a ( 6, 7, 8, 9 ). cos( ) a ( 6, 7, 8, 9 ). sen( ) a ( 6, 7, 8, 9 ) (4) a.a ( ).a. a a a x [cos( )] a a, a.a ( ).a. a a a y [ sen( )] a a (5) ( ) ( 6, 7, 8, 9) [sgn{ y} ] acos[sgn{ y} x ] π (6) Tomando todas as retrções aresentadas forma-se o vetor de restrções deste transformador de todo o sstema que dervado arcalmente em relaçõ às coordenadas relatvas fornece a jacobana da cnemátca relatva. 4.. Cnemátca Absoluta Devem agora ser estabelecdas as equações da cnemátca absoluta, defnndo-se os coros relevantes ara a dnâmca do sstema (Slva, 985), de modo que a jacobana global relacone as coordenadas destes coros às entradas do sstema, sendo seleconados, e 7. Sendo H o centro de massa da roda, G o do coro, e Q o da bandeja, obtendo-se os comrmentos de HG e de HB dretamente da geometra da susensão, bem como o ângulo χ entre eles: H C HB (7) 5

6 6 HG H G (8) MB M O A B O A Q (9) que, dervando em relação ao temo, fornece as velocdades lneares absolutas. No entanto, a obtenção dreta das velocdades angulares é, neste caso, mas smles, sendo: H sen ω cos () 5 H G ω ω () Q ω () de modo que a matrz jacobana absoluta é montada a artr das velocdades absolutas, tomando-se os coefcentes das velocdades relatvas. O roduto desta ela matrz jacobana da cnemátca relatva fornece a matrz jacobana global DINÂMICA Tomando como base as Eqs. 4 e 5 ara montar as equações de movmento, resta defnr as forças e torques externos alcados e. São consderados os esos de cada coro, a força de contato do neu e a força devdo ao conjunto mola / amortecedor, dada or: ( ) c k l s () onde k é o módulo de elastcdade da mola da susensão, l é o comrmento lvre da mola e c, a constante de amortecmento do amortecedor da susensão; sendo todos os elementos de força da susensão consderados lneares. O neu é modelado como uma mola elástca lnear, levando em conta o efeto dos ângulos de camber δ, e de esterçamento γ, obtdos a artr da cnemátca, sendo a força no referencal global dada or: δ γ δ γ δ cos cos sen sen sen cosδ z l G k (4)

7 sendo que a força do conjunto mola / amortecedor é consderada atuando entre os coros e 6, e força de contato do neu sobre o coro ESULTADOS Utlzando rocessadores smbólcos foram montadas as equações de movmento do sstema, osterormente traduzdas ara FOTAN. Para estudar a cnemátca varou-se a osção vertcal do centro da roda de ±,5m em torno da sua osção de equlíbro (,m), mantendo-se a entrada da cremalhera nula. Nas Fgura 4 se mostra o comortamento não lnear da susensão devdo à sua geometra. Fgura 4 Projeção x-z da osção da roda (esq.), rojeção y-z da osção da roda (dr.) Fgura 5 Ângulo de camber (esq.), ângulo de esterçamento (dr.) Na Fgura 5 ode-se ver as varações dos ângulos de camber e esterçamento em função da osção vertcal, sendo notóros a nversão no snal do camber e o comortamento sobre esterçante da susensão. Fgura 6 Posção (esq.), velocdade (meo), aceleração (dr.) vertcas da roda 7

8 Na Fgura 6 são vstos os resultados de osção, velocdade e aceleração obtdos a artr da smulação da dnâmca do sstema. Parte-se de velocdades e acelerações ncas nulas, exceto ela rotação da roda que é de 4,8 r..s., sendo a osção ncal do centro da roda de,5m e as forças alcadas aquelas menconadas no tem 4. Utlzando o método de unge-kutta de 5 a ordem ara ntegração, obteve convergênca com asso de ntegração de elo menos -4 s, utlzando um asso nterno varável. Ele levou mas de 6mn em um comutador Pentum de MHz e 8Mb de memóra AM ara smular o comortamento do sstema durante s, utlzando a rotna DIVPK em FOTAN, da bbloteca de rotnas numércas IMSL (IMSL Math / Lbrary User s Manual). Isto deve-se ao fato de que a reresentação do sstema em um número mínmo de coordenadas torna o modelo bastante rígdo, sendo necessáro então o uso de métodos esecas de ntegração, sendo utlzado então o método de Gear, a artr da rotna DIVPAG também do acote IMSL, ocorrendo convergênca também ara asso gual a -4 s, com asso nterno varável e controle de erro relatvo. Com sso, ara a smular s do sstema recsa-se de um temo de máquna de s. O emrego dos Transformadores Cnemátcos mostra-se efcaz ara obtenção de um modelo não lnear que descreva comletamente a geometra do sstema (Sarzeto, 995), ermtndo anda a nclusão de restrções não holonômcas, além de ser baseado nos graus de lberdade do sstema; o que mutas vezes faclta o rojeto do sstema de controle, deendo das varáves vsadas. Os resultados obtdos são comatíves com outros trabalhos (Slva, 985), mostrando a valdade do modelo. 6. EFEÊNCIAS. GOIS, Jorge A. M. Modelagem de Susensão atva utlzando Transformadores Cnemátcos. Tese de Mestrado, De. de Eng. Mecânca e de Materas / IME, o de Janero J/B,.. HILLE, M. WOENLE, C. The Characterstc Par of Jonts - An Effectve for Inverse Knematc Problem of obots. IEEE, 988, CH IMSL Math / Lbrary User s Manual. Mcrosoft Cororaton, KECSKEMÉTHY, A., HILLE, M., KUPP, T. Symbolc Processng of Multloo Mechansm Dynamcs Usng Closed-Form Knematcs Solutons. Multbody Systems Dynamcs, 997,, SAZETO, C. A. P., Transformadores Cnemátcos ara Mecansmos Báscos. Anas COBEM/CIDIM, B, SILVA, M. S. Alcação de arâmetros de Euler em modelagem de susensão do to MacPehrson. Tese de Mestrado, De. de Eng. Mecânca e de Materas / IME, o de Janero - J/B,