FELIPE RICARDO SANTOS DE GUSMÃO UMA ABORDAGEM BAYESIANA PARA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL INVERSA GENERALIZADA

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1 FELIPE RICARDO SANTOS DE GUSMÃO UMA ABORDAGEM BAYESIANA PARA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL INVERSA GENERALIZADA RECIFE-PE - DEZ/2008

2 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA UMA ABORDAGEM BAYESIANA PARA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL INVERSA GENERALIZADA Dssertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Bometra e Estatístca Aplcada como exgênca parcal à obtenção do título de Mestre. Área de Concentração: Modelagem Estatístca e Computaconal Orentador: Prof. Dr. Eufrázo de Souza Santos Co-orentador: Prof. Dr. Gauss M. Cordero RECIFE-PE - DEZ/2008.

3 FICHA CATALOGRÁFICA G982a Gusmão, Felpe Rcardo Santos de Uma abordagem Bayesana para dstrbução Webull nversa generalzada / Felpe Rcardo Santos de Gusmão f. : l. Orentador : Eufrázo de Souza Santos Dssertação (Mestrado em Bometra e Estatístca Aplca - da) - Unversdade Federal Rural de Pernambuco. Departa mento de Estatístca e Informátca. Inclu apêndce e bblografa. CDD Webull 2. Verossmlhnça 3. Bayesana 4. Inferênca 5. Estmação 6. Sobrevvênca I. Santos, Eufrázo de Souza II. Título

4 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA UMA ABORDAGEM BAYESIANA PARA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL INVERSA GENERALIZADA Felpe Rcardo Santos de Gusmão Dssertação julgada adequada para obtenção do título de mestre em Bometra e Estatístca Aplcada, defendda e aprovada por unanmdade em 19/12/2008 pela Comssão Examnadora. Orentador: Banca Examnadora: Prof. Dr. Eufrázo de Souza Santos Unversdade Federal Rural de Pernambuco Prof. Dr. Borko D. Stosc Unversdade Federal Rural de Pernambuco Prof. Dr. Marnho Gomes de Andrade Flho Unversdade de São Paulo Prof a. Dr a. Rosel Aparecda Leandro Unversdade de São Paulo

5 Dedco, a todos que de alguma forma tornaram a realzação deste trabalho possível.

6 Agradecmentos Agradeço a todos que de forma dreta ou ndreta, por ter me conceddo a graça de nascer do amor dos meus pas e ao longo de mnha vda ter permtdo chegar até aqu. À mnha mãe Sôna Gusmão, mnha esposa Crstna e ao meu flho Vítor que são a razão da mnha vda e luta. Ao meu Orentador Eufrázo de Souza Santos pela sua pacênca e ajuda no decorrer do meu período como mestrando e como aluno de ncação centífca. Ao Prof. Gauss Moutnho Cordero pela sugestão dada a mm sobre este trabalho. Ao Prof. Edwn M. M. Ortega pelo seu apoo, ajuda, pela orentação e dedcação dados a mm. A Prof a Rosel Aparecda Leandro por ter nos guado no camnho do mundo bayesano. Ao Prof. Borko Stosíc por sua constante transmssão de conhecmentos. Ao Secretáro Marco Antôno dos Santos pela sua amzade e ajuda durante todo o decorrer deste período. Ao meu amgo Ernaldo Lete de Squera Júnor por seu apoo durante todo o decorrer da nossa vda como mestrandos. Ao meu amgo Kleber por seu apoo durante os últmos momentos de elaboração deste trabalho. Ao meu amgo Rcardo por seu apoo e amzade durante todos estes anos. A mnha amga Edlede Brto que enfrentou comgo a jornada em São Paulo. A doutora Julana Cespedes por seu apoo quando tve dfculdades em mnha estada em São Paulo. A todos meus amgos do mestrados pela nteração produtva e harmonosa durante nosso convívo.

7 Aos professores e funconáros do Departamento de Estatístca e Informátca pela convvênca agradável durante esse período.

8 v "O mundo é um lugar pergoso de se vver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas sm por causa daqueles que observam e dexam o mal acontecer." Albert Esnten

9 Resumo A dstrbução Webull nversa tem a habldade de modelar funções de rsco com forma unmodal que são bastante comuns em estudos bológcos e de confabldade. Uma nova dstrbução Webull nversa generalzada tr-paramétrca com taxa de falha decrescente e unmodal é proposta. Um compreensvo tratamento das propredades matemátcas de Webull nversa generalzada é provdo e fo encontrado expressões para suas funções geradoras de momentos e o r-ésmo momento generalzado fo determnado. Também dscutmos a estmação de máxma verossmlhança e as fórmulas para os elementos da matrz de nformação observada. Uma abordagem bayesana para esta nova dstrbução fo proposta e exemplfcada, modelando um conjunto de dados agráros pelos métodos clássco e bayesano. Palavras-chave: Webull, verossmlhança, Bayesana, Inferênca, Estmação, Sobrevvênca.

10 Abstract The dstrbuton nverse Webull s sutable for modelng falure rates whch are qute common n relablty and bologcal studes. In ths work a new three-parameter dstrbuton generalzed nverse Webull wth decreasng and unmodal falure rate s ntroduced. We provde a comprehensve treatment of the mathematcal propertes of the generalzed nverse Webull and derve expressons for ts moment generatng functon and the rth generalzed moment. We also dscuss maxmum lkelhood estmaton and we provde formulae for the elements of the Observed nformaton matrx, we also made an bayesan approach for ths new dstrbuton and an appled was made for a real data set for the methods classc and bayes.

11 Lsta de Fguras 1 (a) Função densdade da DWI. (b) Função de rsco da DWI. (c) Função de Sobrevvênca da DWI p Função densdade da DWIG p Função de Sobrevvênca da DWIG p Função Taxa de Falha da DWIG p mstura de duas dstrbuções webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, p mstura de duas funções de sobrevvênca da webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, 5 p mstura de duas funções taxa de falha da webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, 5.. p Hstograma, funções densdade da Webull nversa e da Webull nversa generalzada e densdade empírca p Comparação entre sobrevvêncas geradas pelo método clássco, bayesano e Kaplan-Meer esboçadas no esquema S(t) versus tempo. As curvas tracejadas são os ntervalos de confança 95% para o Kaplan-Meer.... p Comparação entre sobrevvêncas geradas pelo método clássco, bayesano e Kaplan-Meer esboçadas no esquema de lnearzação p Gráfco de autocorrelação para os parâmetros alfa, beta e gama p Gráfco das densdades a posteror e do traço para o vetor de parâmetros. p. 49

12 Lsta de Tabelas 1 Algumas funções de dstrbução geradas a partr da dstrbução Webull nversa generalzada p Valores estmados dos parâmetros α, β e γ pelo método de máxma verossmlhança para os dados do gado da raça Nelore p Resultados da abordagem bayesana para dstrbução Webull nversa generalzada p. 46

13 Sumáro 1 INTRODUÇÃO p. 1 2 REVISÃO DE LITERATURA p. 2 3 METODOLOGIA p Inferênca Estatístca p Função de Verossmlhança p Função Escore p Estmatva de Máxma Verossmlhança p Métodos Iteratvos p Momentos e Cumulantes p Identfcabldade p Análse de Sobrevvênca p Censura p Funções do Tempo de Sobrevvênca p Função de Sobrevvênca p Função Taxa de Falha p Algumas Relações entre as Funções p Técncas Não-Paramétrcas p Estmador de Kaplan-Meer p Função de Verossmlhança em Análse de sobrevvênca..... p. 12

14 3.3 Inferênca Bayesana p Teorema de Bayes p Informação a Pror p Densdades a Pror Subjetvas p Densdades a Pror Conjugadas p Pror de Laplace p Pror de Jeffreys p Estmação Pontual p Avalação da Convergênca do Método de Amostragem Gbbs p Dagnóstco de Geweke p A Dstrbução Webull Inversa p Dstrbução Webull Inversa Generalzada p Função Densdade da Dstrbução Webull Inversa Generalzada..... p Função de Sobrevvênca da Dstrbução Webull Inversa Generalzada.. p Função Taxa de Falha da Dstrbução Webull Inversa Generalzada... p Relação com outras dstrbuções p Momentos p Função Geradora de Momentos e Cumulantes p Estmação de Verossmlhança para DWIG p Estmação de Máxma Verossmlhança com Dados Censurados..... p Mstura de duas Dstrbuções Webull Inversa Generalzada p Propredades p Identfcabldade p. 37

15 5 ABORDAGEM BAYESIANA p Dstrbuções a pror para DWIG p Função de verossmlhança para DWIG p Densdadea a posteror para DWIG p Méda a posteror e vetor das medanas a posteror para DWIG p APLICAÇÃO p Função Taxa de Falha p Estmação de Parâmetros p Estmação Através do Método de Máxma Verossmlhança.... p Estmação Através do Método Bayesano p CONCLUSÃO p. 50 Referêncas p. 51 APÊNDICE p. 53

16 1 1 INTRODUÇÃO Nos estudos em análse de sobrevvênca, as dstrbuções usadas para estmar os tempos de sobrevvênca de ndvíduos, como a dstrbução exponencal, a Webull, a log-gama generalzada, acomodam algumas formas de rsco, como a forma constante (dstrbução exponencal) e a forma crescente e decrescente (dstrbução Webull), este gráfcos descrtos anterormente são facés de encontrar em lvros sobre análse de sobrevvênca, como o lvro do Colosmo e Golo (2006) por exemplo. Porém, na prátca é comum encontrarmos dados de sobrevvênca com função de rsco de dferentes formas, como por exemplo, em forma de U ou banhera e unmodal como no artgo do Jang et. al. (2001). Os modelos conhecdos para essas stuações, em geral, têm como orgem o modelo Webull, que tradconalmente pode modelar funções de rsco com formas constantes, crescentes e decrescentes. A dstrbução Webull é bastante utlzada em estudos assocados ao tempo de falha, devdo a grande aplcabldade na área médca como na área de confabldade, bem como na análse de sobrevvênca. Dentro do contexto da taxa de rsco ter forma unmodal, a dstrbução Webull nversa atende a este requsto ver Jang et. al. (2001). No sentdo (unmodaldade na função de rsco), fo proposto uma nova dstrbução nomeada de Webull nversa generalzada. Esta nova dstrbução, devdo a flexbldade em acomodar algumas formas de rscos, apresenta-se como uma mportante dstrbução pos pode ser utlzada nos mas varados problemas de modelagem de dados na análse de sobrevvênca oferecendo a vantagem de modelar funções de rsco crescentes, decrescentes e unmodal. Outra característca desta nova dstrbução é a de possur como caso partcular as dstrbuções Webull nversa, exponencal nversa e Raylegh nversa.

17 2 2 REVISÃO DE LITERATURA De acordo com Cordero (1999) a nferênca busca adqurr procedmentos adequados de forma centífca com base em dado conjunto de dados, tas como: obter uma estmatva de um parâmetro θ desconhecdo, construr um conjunto de valores possíves de θ que tenha uma confabldade especfcada. Logo, as atvdades da nferênca são: a estmação, a construção de regões de confança e o desenvolvmento de testes de hpóteses. A análse de sobrevvênca pode ser defnda como um conjunto de técncas e modelos estatístcos que analsa dados tal como o tempo de ocorrênca de determnado evento de nteresse, este método se faz pecular devdo às característcas especas, devdo aos tpos de dados que são geralmente utlzados para esta análse como dados contendo censura, por exemplo. Este método exge a ntrodução de uma varável extra na análse, que ndca se o valor do tempo de sobrevvênca de um dado ndvíduo fo observado ou não. Louzada-Neto et. al.(2001). De acordo com Colosmo e Golo(2006) um dos métodos que dspomos para testarmos se nosso modelo está bem ajustados aos dados consste na comparação da função de sobrevvênca do modelo paramétrco proposto com o estmador de Kaplan-Meer. Tendo em mãos as estmatvas dos parâmetros do modelo, estma-se a função de sobrevvênca. E para o mesmo conjunto de dados, obtém-se a estmatva de Kaplan-Meer para a função de sobrevvênca. Daí, comparam-se grafcamente as funções de sobrevvêncas estmadas para o modelo paramétrco proposto com o de Kaplan-Meer. Se o modelo for adequado ele deverá ter uma curva de sobrevvênca que se aproxme da curva de sobrevvênca do estmador de Kaplan-Meer. Outro método consste em esboçarmos a função de sobrevvênca do modelo paramétrco versus a estmatva de Kaplan-Meer para a função de sobrevvênca, se esta curva estver próxma da reta y = x teremos um bom ajuste. Jang et. al. (2001) mostraram que a função densdade de probabldade da dstrbução

18 3 Webull nversa tem a propredade de unmodaldade e também propuseram modelos de msturas entre duas dstrbuções Webull nversa. Gupta e Kundu (1999) fzeram uso da generalzação da dstrbução exponencal calculando a máxma verossmlhança para dados completos e censurados. Mudholkar et. al. (1996) propõem uma generalzação da dstrbução Webull para estudos de dados de análse de sobrevvênca. Xe e La (1995) estudaram um modelo baseado da soma de duas dstrbuções Webull. Choudhury (2005) estudou sobre os momentos da dstrbução Webull exponencada. La et. al. (2003) fzeram uma modfcação na dstrbução Webull e compararam com outras modfcações já exstentes. Rajarsh e Rajarsh (1988) fzeram uma revsão sobre taxas de falha que apresentam a forma de banhera. Xe et. al. (2002) propõem uma extensão da dstrbução Webull modfcada, dscutem a forma da taxa de falha do mesmo e estudam métodos de estmação de parâmetros. De acordo com Pollard (1986) a abordagem bayesana é um método para pôr no mesmo contexto a nformação a pror e da amostra. Ele advoga como esta nformação a pror deve ser corrgda pelos novos dados. De acordo com Box e Tao (1973) não exste um estado de gnorânca total a respeto de uma dada stuação ou do parâmetro, sempre se sabe algo, mesmo que este conhecmento seja mínmo. De acordo com Paulno (2003) uma probabldade subjetva é uma medda de um certo grau de crença pessoal de um dado ndvíduo. O subjetvsmo é o fundamento flosófco predomnante da nferênca bayesana, embora na prátca densdades a pror não nformatvas (construdas sobre alguma regra formal) são bastante usadas. Kass e Wasserman (1996)

19 4 3 METODOLOGIA 3.1 Inferênca Estatístca De acordo com Gauss(1992) a nferênca é a parte fundamental da Estatístca e é tão antga quanto a teora dos métodos que formam a Estatístca atual. As prmeras técncas de nferênca surgram a mas de 200 anos com os trabalhos de Bayes, DeMovre, Gauss e Laplace. Sr Ronald Fsher em 1912 prôpos uma nferênca estatístca baseada dretamente na função de verossmlhança, porém a ntensfcação da proposta de Fsher só fo feta no período de 1930 à 1940, devdo as aplcações em problemas agrícolas. A nferênca tem por objetvo prover regras apropradas de natureza centífca baseando-se em um certo conjunto de dados para executar algumas tarefas como: 1) estmação; 2) construção de ntervalos de confança; 3) desenvolvmento de testes de hpóteses Função de Verossmlhança Sendo Y = (Y 1,..., Y n ) T uma varável aleatóra caracterzada por uma função de probabldade ou densdade de probabldade com forma analítca f(y; θ) conhecda e um vetor de parâmetros desconhecdos θ = (θ 1,..., θ k ) T e θ Θ em que Θ é o espaço paramétrco e Θ R k, em que R k é o conjunto dos reas.

20 5 A função de verossmlhaça L(θ) é gual a f(y; θ), daí L(θ) = f(y; θ). (3.1) Assm, a função de verossmlhaça quando nferda obtém-se nformação sobre o vetor de parâmetros θ. Daí L(θ) depende de y e não de θ. Se Y tem componentes mutuamente ndependentes para f(y ; θ), 1 n, tem-se L(θ) = n f(y ; θ) (3.2) =1 O logartmo da verossmlhaça é conhecda como função suporte e no caso de varáves aleatóras ndependentes é dada por [ n ] n l(θ) = logl(θ) = log f (y ; θ) = log [f (y ; θ)] (3.3) =1 =1 dentre város vetores θ s aquele que sobre o mesmo conjunto de dados tver a maor verossmlhaça será o vetor θ mas plausvel ou o mas próxmo de θ 0 (o vetor de parâmetros verdaderos) Função Escore Por defnção a prmera dervada da função suporte é denomnada função escore também conhecda por vetor escore e é dada por: U (θ) = l (θ; y) = l (θ; y) θ A função escore é um vetor com dmensão k. = l (θ) θ. (3.4) A prmeras dervadas da função escore com snal negatvo é chamada de matrz de nformação observada e é dada por: J (θ) = UT θ = l (θ) = 2 l (θ) θ θ T. (3.5)

21 Estmatva de Máxma Verossmlhança Para estmar os parâmetros usamos uma técnca de cálculo para encontrar máxmos e mínmos, que consste em dervar uma função e gualar o resultado à zero, então para nosso caso dervamos a função suporte e gualamos à zero. ) U (ˆθ = 0. (3.6) Métodos Iteratvos Os métodos teratvos são usados quando a as equações de máxma verossmlhança gera equações que não tem soluções analítcas ou quando a dmensão k do parâmetro é ) muto grande, ao expandr U (ˆθ em sére multvarada de Taylor até a prmera ordem ao redor de um ponto qualquer θ pertencente a uma vznhaça de ˆθ, tem-se, aproxmadamente ) como U (ˆθ = 0, então ) U (ˆθ = U (θ) T U (θ) + θ ( θ ˆθ ) (3.7) ˆθ θ = [J (θ)] 1 U (θ) (3.8) O método de Newton-Raphson consste em usar a equação obtda anterormente de forma teratva, assm ˆθ (m+1) = θ (m) + [ J ( θ (m))] 1 U ( θ (m) ) (3.9) em que as quantdades com superescrto (m) são avaladas na m-ésma teração. Repetese o procedmento até a dferença entre ˆθ (m+1) e θ (m) se tornar desprezível ou menor que uma certa quantdade defnda Momentos e Cumulantes A função geratrz de momentos (f gm) é defnda por: M(t) = E(e ty ), (3.10)

22 7 a função geratrz de momentos M(t) pode ser representada também pela expansão dada por: M(t) = 1 + k µ t k k k! (3.11) suposta convergente para todo t sufcentemente pequeno. A função geratrz de cumulantes (f gc) é defnda por: K(t) = log M(t) (3.12) e anda a função geratrz de cumulantes pode ser expandda como K(t) = k κ k t k k!. (3.13) Os quatros prmeros cumulantes são dados por: κ 1 = µ 1, (3.14) κ 2 = µ 2 µ 2 1 (3.15) κ 3 = µ 3 3µ 2 µ 1 + 2µ 3 1 (3.16) κ 4 = µ 4 4µ 3 µ 1 3µ µ 2 µ 2 1 6µ 4 1 (3.17) Identfcabldade Defnção: Seja φ uma transformação assocada com cada F Φ tendo o domíno defndo por D Φ com mapa lnear M : F φ. Se exste uma ordem total ( ) de Φ tal que: ) F 1 F 2, (F 1, F 2 Φ) D Φ D Φ ; φ ) para cada F 1 Φ, exste algum s 1 D Φ1, φ 1 (s) 0 tal que lm 2 s s1 φ 1 = 0 for F 1 < F 2, (F 1, F 2 Φ). Então a classe Λ de todas as msturas fntas de dstrbuções é dentfcável relatva a Φ. Ver Sultan et. al. (2006))

23 8 3.2 Análse de Sobrevvênca A análse de sobrevvênca é uma das áreas da estatístca que vem apresentando o maor crescmento nas duas últmas décadas do século passado de acordo com Colosmo e Golo (2006), sto devdo ao avanço tecnológco nos computadores e com o aprmoramento e desenvolvmento das técncas estatístcas. A análse de sobrevvênca é uma técnca estatístca usada em casos em que, geralmente, a varável resposta é o período de tempo até o acontecmento de um evento de nteresse e a este tempo é dado o nome de tempo de falha. O tempo de falha pode ser por exemplo a duração do funconamento de um equpamento elétrco até sua quema, pode ser o tempo de vda de um pacente do momento que fo dagnostcado a doença até a morte do mesmo ou até cura, também pode ser o tempo de desmame de um bezerro. A característca prncpal dos dados em análse de sobrevvênca é a censura, que consste em uma observação parcal da resposta. Sem a presença de censura técncas estatístcas como análse de regressão e planejamentos de expermentos seram aplcadas sem nenhum problema nestes dados. Os dados de sobrevvênca são bascamente caracterzados pelos tempos de falhas e pelas censuras Censura As observações ncompletas ou parcas são comuns em estudos clncos, mesmo tendo estes longos períodos de duração, a estas observações dar-se o nome de censuras e podem ocorrer devdo a dversas causas, por exemplo se estvermos analsando um grupo de pacentes com câncer alguns destes podem abandonar o estudo antes do térmno por uma razão qualquer que não seja o evento de nteresse. Embora alguns dados dentro do estudo de análse de sobrevvênca sejam censurados eles não devem ser descartados, pos mesmo sendo parcas fornecem nformações sobre o tempo de vda dos ndvduos em estudo e o não uso dos dados parcas pode ocasonar conclusões vcadas. Há tpos de mecansmos de censuras dferencados como as censuras tpo I, II e a aleatóra. A censura do tpo I consste em dar um fnal ao estudo num período de tempo pré-estabelecdo, a censura tpo II consste em termnar o estudo quando um número determnado de eventos de nteresse tverem acontecdo e censura aleatóra pode acontecer quando a

24 9 retrada da observação no estudo em questão for antes do evento de nteresse ocorrer. Para fazer uma representação smples do mecansmo de censura aleatóra duas varáves aleatóras serão usadas. Seja T e C varáves aleatóras ndependentes a prmera representando o tempo de falha e a segunda a censura, respectvamente. Daí o tempo de uma observação é dado por t = mn(t, C) e o ndcador de censura é dado por δ = { 1, para o tempo de falha 0, para a censura (3.18) Funções do Tempo de Sobrevvênca Seja T uma varável aleatóra não-negatva, geralmente contnua, que representa o tempo de falha, é comumente especfcada em análse de sobrevvênca pelas suas funções de sobrevvênca e de taxa de falha Função de Sobrevvênca A função de sobrevvênca é uma das prncpas funções probablístcas usadas em estudos de análse de sobrevvênca. Defnda como a probabldade de uma observação não falhar até um tempo t e dada por S(t) = P(T > t) = 1 P(T t) (3.19) em que P(T t)=f(t), daí a função de sobrevvênca pode ser defnda como S(t) = 1 F(t), (3.20) que tem as seguntes propredades: 1) t = 0 S(t) = 1;

25 10 2) t S(t) 0; 3) d[s(t)] dt = f(t) Função Taxa de Falha É defnda como sendo a probababldade de que a falha ocorra em um ntervalo de tempo [t, t + t) dado que não ocorreu antes do tempo t, dvdda pelo comprmento do ntervalo de tempo. Se assumrmos que t é muto pequeno h(t) representa a função taxa de falha nstantânea e é dada por P(t T < t + t T t) h(t) = lm t 0 t (3.21) Funções de sobrevvênca dstntas podem ter formas semelhantes, porém podem dferr bastante nas funções taxa de falha. Daí a mportânca da função taxa de falha em análse de sobrevvênca Algumas Relações entre as Funções Seja T uma varável aleatóra contínua e não-negatva, algumas relações podem ser obtdas em termos das funções defndas anterormente e são elas h(t) = f(t) S(t) (3.22) em que f(t) é a função densdade de probabldade da dstrbução a qual T esteja assocada, { } S(t) = exp Λ(u) (3.23) em que Λ(u) é a função de taxa de falha acumulada que é defnda como: Λ(u) = t 0 h(u)du. (3.24)

26 Técncas Não-Paramétrcas A análse estatístca envolvendo dados de sobrevvênca geralmente estão relaconadas as respostas às perguntas de nteresse obtdas a partr de um conjunto de dados de sobrevvênca, o passo ncal de uma análse estatístca consste em uma descrção dos dados. Para as técncas convenconas de análse descrtva, dados contendo censuras geralmente são um problema para obtenção de médas, desvo-padrão e técncas gráfcas como hstograma, entre outras. O prncpal componente da análse descrtva envolvendo dados de tempo de vda é a função de sobrevvênca. Neste caso, o procedmento ncal é encontrar uma estmatva para esta função de sobrevvênca e então, a partr dela, estmar as estatístcas de nteresse que usualmente são o tempo médo ou medano, alguns percents ou certas frações de falhas em tempos fxos de acompanhamento Estmador de Kaplan-Meer Em geral conjuntos de dados amostras de tempos de falha contém censuras, e daí se faz necessáro utlzar técncas estatístcas especalzadas para acomodar a nformação contda nestas observações. A observação censurada nforma que o tempo até a falha é maor do que aquele que fo regstrado. De acordo com Colosmo e Golo (2006) para fazer a estmação da função de sobrevvênca, este estmador não-paramétrco de Kaplan- Meer é também conhecdo por estmador lmte-produto. O estmador consste em uma adaptação da função de sobrevvênca empírca que é defnda por: Ŝ(t) = n N (3.25) em que n=número de observações que não falharam até o tempo t e N=número total de observações no estudo. O estmador de Kaplan-Meer consdera o número de ntervalos guas ao número de falhas dstntas e os lmtes dos ntervalos são os própros tempos de falhas da amostra. Consderando os tens abaxo: t 1 < t 2...< t k, os k tempos dstntos e ordenados de falha,

27 12 d j o número de falhas em t j, j = 1,..., k, e n j o número de ndvíduos sob rsco em t j, ou seja, os ndvíduos que não falharam e não foram censurados até o nstante medatamente anteror a t j. Podemos agora defnr a expressão geral do estmador de Kaplan-Meer, que é dada por: Ŝ(t) = ( ) nj d j = ( 1 d ) j. (3.26) n j n j j:t j <t j:t j <t A consstênca e normaldade assntótca de Ŝ(t) foram provadas, sob certas condções de regulardade Função de Verossmlhança em Análse de sobrevvênca De forma geral a verossmlhança é dada por L(θ) = n [f(y ; θ)] δ [S (y ; θ)] 1 δ =1 (3.27) em que δ é o ndcador de censura, se δ = 1 ocorre tempo de falha e se δ = 0 ocorre tempo de censura. 3.3 Inferênca Bayesana Em estatístca é fundamental a nformação sobre a quantdade desconhecda θ ou seja o vetor de parâmetros θ = (θ 1, θ 2,..., θ n ) T. Como já fo dto θ é um valor desconhecdo e a estatístca busca nvestga-lo para tentar dmnur a ncerteza sobre ele. Este desconhecmento sobre θ pode ter graus dstntos de ncerteza. Para os bayesanos este grau de desconhecmento assume uma dstrbução de probabldade para θ, então alguns pesqusadores podem dferr quanto o modelo probablístco a ser usado, pos o modelo adotado tem haver com o conhecmento pessoal do pesqusador, daí para o mesmo problema pesqusadores podem assumr modelos probablístcos dstntos para θ.

28 Teorema de Bayes Se consderarmos dos eventos A e B em um espaço de probabldade. Sendo P(B) > 0, a probabldade condconal do evento A ocorrer dado que o evento B já ocorreu é dada por: P(A B) = P(A B), (3.28) P(B) consderando agora os eventos X 1, X 2,..., X n em um espaço de probabldade que formam uma partção do espaço amostral e P(X ) > 0 para todo = 1, 2,..., n. Daí, para qualquer evento A, temos: P(A) = n P(X )P(A X ) (3.29) =1 em que a descrção acma é chamada de Le da Probabldade Total e agora utlzando o que fo apresentado chegaremos no Teorema de Bayes. Suponha que X s em que = 1, 2..., n estão em um espaço de probabldade, formam uma partção do espaço amostral e P(X ) > 0 para todo = 1, 2,..., n. Seja A um evento qualquer com P(A) > 0. Para todo j = 1, 2,..., n, o Teorema de Bayes é dado por: P(X j A) = P(A X j)p(x j ) n =1 P(A X )P(X ). (3.30) Supondo que se observa Y = y. Seja f(y θ) a verossmlhança e a dstrbução a pror do nvestgador h(θ), O teorema de Bayes para densdades leva a expressão: h(θ y) = f(y θ)h(θ) Θ f(y θ)h(θ)dθ (3.31) em que h(θ y) é densdade a posteror de θ dado que conhecemos x. Tendo um espaço-paramétrco fnto, Θ = θ 1,..., θ m, temos h(θ 1 y) = f(y θ 1)h(θ 1 ) f(y θ 1)h(θ 1 ) (3.32) em que = 1,..., m. Sendo o denomnador da expressão 3.32 gualado a uma constante c, pode-se escrever a expressão 3.30 como: P(θ y) = c 1 P(y θ)p(θ) (3.33) ou P(θ y) P(y θ)p(θ) (3.34)

29 14 e como c 1 não altera o conhecmento relatvo a respeto de θ fca assm justfcado a proporconaldade. P(θ y) é uma função densdade de probabldade e por sto tem que ntegrar 1, mesmo que a pror, caso partcular da unforme, não ntegre 1. P(θ), chamada de pror, representa o que se sabe sobre θ antes da observação dos dados e P(y θ) representa o conhecmento sobre θ depos de observados os dados ou seja atualzado pelos dados. Com P(y θ) e P(θ) tendo sdo especfcado o Teorema de Bayes fornece solução para um dado problema através do aprendzado com os dados. A verossmlhança L(θ y) representada no Teorema de Bayes por P(y θ) tem vtal mportânca, pos é ela que atualza o conhecmento sobre θ Informação a Pror A dstrbução a pror representa o conhecmento prévo do pesqusador antes de se observar os dados, devdo a este acréscmo de nformação o método bayesano geralmente fornece conclusões mas fortes que o método freqüentsta para um mesmo conjunto de dados. De acordo com Leandro (2001) devdo, em geral, a subjetvdade da escolha das densdades a pror, estatístcos freqüentstas se opõem ao uso desta nformação adconal e se sustentam no fato de que a função densdade de probabldade a posteror ser bastante sensível a escolha de prors dstntas. Porém os estatístcos bayesanos tem apoo em alguns argumentos, por exemplo este feto por Gelman et. al. (1997): Todos os métodos estatístcos que usam probabldades são subjetvos no sentdo que se baseam em dealzações matemátcas do mundo Densdades a Pror Subjetvas Uma pror subjetva representa únca, dreta e smplesmente a esperança subjetva do pesqusador sobre o parâmetro, assm o sentmento do pesqusador é colocado na dstrbução a pror. Algumas vezes a posteror não se apresenta correspondente as expectatvas do pesqusador e nestes casos a escolha da dstrbução a pror terá que ser revsta. Na escolha desta dstrbução a pror poderemos ter dstrbuções própras (que ntegradas no espaço parâmetrco resulta 1) e dstrbução mprópras (que ntegradas no espaço parâmetrco não necessaramente resulta 1), porém a dstrbução a posteror tem

30 15 que ntegrar 1 não mportando se a pror escolhda é própra ou mprópra. Anda temos temos que verfcar o domíno da dstrbução a pror escolhda e ver se há compatbldade com o espaço paramétrco do parâmetro em questão Densdades a Pror Conjugadas A defnção de pror conjugada de acordo com Lee (2004) é: Seja L(θ) uma função de verossmlhança. Uma classe Φ de dstrbuções a pror é chamada geradora de uma famíla conjugada se a densdade posteror está na classe Φ para todo t sempre que a densdade a pror está em Φ, ϕ(θ t) ϕ(θ)l(θ t). (3.35) Pror de Laplace Na ausênca de razão sufcente para prorzar umas possbldades em detrmento de outras, devdo a pouca nformação decorrente a pror, deve-se adotar a equprobabldade, gerando assm densdades a Pror não nformatvas. A este processo deu-se o nome de Prncípo da Razão Insufcente. Para o caso em que o espaço paramétrco é fnto, Θ = (θ 1,..., θ k ), a dstrbução a pror é uma dstrbução Unforme dscreta, que é expressa por: ϕ(θ) = 1, θ Θ. (3.36) k Para o caso em que o espaço paramétrco é nfnto numerável, não há dstrbução de probabldade que seja compatível com a equprobabldade de todos os valores possíves de θ, produzndo uma dstrbução mprópra. Agora, quando o espaço paramétrco é nfnto não numerável, conduz a uma dstrbução Unforme contínua, que é uma dstrbução mprópra se θ não pertencer a um ntervalo.

31 Pror de Jeffreys O conceto de escolher uma pror por convenção, ou seja adotar uma referênca padrão é devdo ao físco Jeffreys. Ele tnha a crença na exstênca de um estado de gnorânca e que o prncípo da razão nsufcente era uma manera formal de expressar tal gnorânca. De acordo com a déa de Jeffreys para um dado conjunto de dados dzemos que uma certa proposção está relaconada a este conjunto de dados com uma e somente uma probabldade. Se cada pesqusador atrbur uma probabldade dstnta para dstrbução a pror, ela smplesmente está equvocada. Das dversas stuações consderadas por Jeffreys para formular regras objetvas para escolha de uma pror, a mas smples é o caso de um espaço paramétrco fnto na qual ele utlzou o prncípo da razão nsufcente a atrbução de probabldades guas para cada valor do parâmetro. Daí fo consderado os casos em que o espaço paramétrco tvesse um ntervalo lmtado, consderando um ntervalo (-, ) ou o ntervalo (0, ). Tentando assegurar a nvarânca sobre transformações njetvas Jeffreys advoga sobre um procedmento que se basea no uso da medda de nformação de Fsher sobre θ Θ, [ ] 2 l (θ) I (θ) = E θ. (3.37) θ 2 Para qualquer transformação real njetva de θ Θ, tem-se: ( ) d 2 θ I (ρ) = I (θ (ρ)). (3.38) dρ 2 Isto mostra que Jeffreys propõe uma dstrbução a pror (no caso unparamétrco) que é dada por: e tem a propredade de nvarânca. ϕ ( theta) Agora no caso multparamétrco, temos: I,j (θ) = E [ ] I (θ) 1 2 (3.39) [ ] 2 l (θ) θ, (3.40) θ θ j daí a dstrbução a pror é proporconal a raz quadrada do determnante da matrz de nformação de Fsher, ϕ (θ) I (θ) 1 2. (3.41)

32 Estmação Pontual As estmatvas para o vetor de parâmetros θ = (θ 1,..., θ k ) depende da forma da posteror h(θ t), como dos objetvos de seu uso. As estmatvas mas usadas são a méda a posteror, moda a posteror e a medana a posteror. Neste trabalho fo dado enfâse a méda a posteror e ao vetor das medanas a posteror, em que a méda é dada por: ˆθ = E[θ t] = θ h(θ t)dθ, (3.42) Θ em que = 1,..., k e Θ é o espaço paramétrco. O vetor das medanas a posteror é dado por: P { θ ˆθ } t 1 2 (3.43) e P { θ ˆθ } t 1 2 (3.44) em que = 1,..., k e ˆθ = ˆθ 1..., ˆθ k Avalação da Convergênca do Método de Amostragem Gbbs Seja g(θ) a função do parâmetro a ser estmado. Fazendo a smulação dos vetores de θ t pelo método de Gbbs em uma determnada cadea de Markov. O valor esperado a posteror de g(θ) estmado é dado pela méda ergódca dos g(θ j ). Então a função real g(θ) e sua trajetóra g 1, g 2,...construída a partr de g t = g(θ t ), defne uma sére temporal.

33 Dagnóstco de Geweke O método de Geweke consste em observar um número N bastante longo em terações e calcula-se a méda g a = g(θ t ) n a à custa de n a das prmeras teradas, também calcula-se a méda g b = g(θ t ) n b à custa de n b das últmas teradas. Se a cadea é estaconára, então a méda g a deve ser semelhante à g b. n a + n b < N (3.45) Com esta comparação pode averguar-se se há ou não convergênca. Uma boa descrção do algortmo Gbbs pode ser vsto no lvro do Paulno et. al.(2003). 3.4 A Dstrbução Webull Inversa Através da função de rsco ou taxa de falha, podemos caracterzar algumas classes nteressantes de dstrbução de tempo de sobrevvênca, conforme seu comportamento em função do tempo. A função de rsco pode asssumr comportamento constante, crescente, decrescente, etc... A dstrbução Webull é bastante conhecda da lteratura estatístca, seu uso em questões de confabldade (como é conhecda nas engenharas) ou análse de sobrevvênca (como é conhecda na lteratura médca) é amplamente dfunddo. Na prátca, os dados podem ser esboçados das mas varadas formas gráfcas e novas dstrbuções são propostas na tentatva de modelá-los. Ultmamente vem sendo observado um grande nteresse em estudar modfcações e generalzações da dstrbução Webull em dversos artgos centífcos e uma de suas modfcações é dstrbução chamada de Webull nversa que tem a característca de unmodaldade na função de rsco. Utlzando uma dstrbução Webull padrão b-paramétrca que tem como função de probabldade acumulada: [ ( ] t β Q(t) = 1 exp α) (3.46) em que α, β são postvos e t 0, sendo o prmero o parâmetro de escala e o segundo o parâmetro de forma, respectvamente, no artgo de Jang, J e Murthy(2001) podemos ver a segunte modfcação:

34 19 Seja X uma varável aleatóra contínua não-negatva com dstrbuçãoo Webull, defnse Y como sendo: e cuja função acumulada para Y é dada por: Y = α2 X G(t) = exp [ ( α ) ] β t (3.47) (3.48) em que α, β > 0 e t> 0 e sua função densdade é dada por: [ ( α ) ] β g(t) = βα β t (β+1) exp t (3.49) e as funções de rsco e sobrevvênca são dadas, respectvamente, por: [ ( α ) ] β { [ ( α ) ] β } 1 h(t) = βα β t (β+1) exp 1 exp (3.50) t t { ( α ) β } S(t) = 1 exp, t > 0; (3.51) t e a expressão geral para os Momentos é dada por: E ( ( T k) = α k Γ 1 k ). (3.52) β Os gráfcos produzdos pela dstrbução Webull nversa para as funções densdade, sobrevvênca e rsco; são exbdos nas fguras 1a, 1b e 1c; respectvamente:

35 20 (a) (b) Comparação entre fdp s alfa=1 e beta=2 alfa=2 e beta=3 alfa=3 e beta=4 Comparação entre funções de rsco alfa=1 e beta=2 alfa=2 e beta=3 alfa=3 e beta= Tempo Tempo Comparação entre S(t) s alfa=1 e beta=2 alfa=2 e beta=3 alfa=3 e beta= (c) Tempo Fgura 1: (a) Função densdade da DWI. (b) Função de rsco da DWI. (c) Função de Sobrevvênca da DWI.

36 21 4 Dstrbução Webull Inversa Generalzada Neste trabalho fo proposto uma modfcaçao para dstrbução Webull nversa; que consste em elevar a função acumulada da dstrbução Webull nversa a uma constante γ postva ao qual a esta nova função acumulada expressamos por F(t) que é dada por: { } γ { [ ( α ) ] β }γ [ ( α ) ] β F(t) = G(t) = exp = exp γ (4.1) t t em que γ > 0 e para suposta função densdade de probabldade, temos: [ ( α ) ] β f(t) = γβα β t (β+1) exp γ, t > 0. (4.2) t A ntrodução deste novo parâmetro γ, como fo mostrado acma, tem por fnaldade aumentar a flexbldade desta nova dstrbução. Agora precsamos mostrar que f(t) é realmente uma função densdade de probabldade, para sto duas propredades devem ser satsfetas: 1)f(t) 0, x R; 2) 0 f(t)dt=1. Para 1 a propredade, temos: f(t) = γβα β t (β+1) exp [ ( α ) ] β γ I (0, ) (t) (4.3) t como todos os parâmetros são postvos e a varável ndependente também é postva, então f(t) é postva e se a varável ndependente tender ao nfnto f(t) tende à zero. Daí 1 a propredade é satsfeta.

37 22 Para 2 a propredade, temos: f(t) = 0 [ ( α ) ] β γβα β t (β+1) exp γ dt = 1 (4.4) t Utlzando a técnca de ntegração por substtução, fazendo u = γα β t β teremos t (β+1) dt = du ( γα β β ) 1 f(t) = Logo, a 2 a propredade também é satsfeta. 0 γβα β eu du [ ( )] γβα = β eu = exp γα β βt β 0 = 1 (4.5) 4.1 Função Densdade da Dstrbução Webull Inversa Generalzada A função densdade de probabldade da DWIG é dada por: [ ( α ) ] β f(t) = γβα β t (β+1) exp γ t (4.6) Através da análse da monotoncdade de uma função podemos determnar se ela é unmodal, bmodal, etc. Para esta fnaldade utlzamos a técnca para encontrar extremos relatvos, esta técnca consste em estudar o crescmento da função, o qual será realzado analsando-se o snal de sua dervada de prmera ordem. f (t) = f(t)t (β+1) [ γβα β (β + 1) t β] = 0 (4.7) agora resolvendo a equação acma e solando t, temos t = α (γ) 1 β ( ) 1 β β (4.8) Se t < t m f (t) > 0 e se t> t m f (t) < 0, logo f(t) é unmodal.

38 23 f(t) a=1,b=2,g=1 a=4,b=1,g=1 a=4,b=2,g=4 a=3,b=5,g=3 a=4,b=4,g=8 a=7,b=13,g= tme Fgura 2: Função densdade da DWIG. 4.2 Função de Sobrevvênca da Dstrbução Webull Inversa Generalzada Usando a relação S(t)=1-F(t) é fácl encontrar [ ( α ) ] β S(t) = 1 exp γ t (4.9)

39 24 S(t) a=1,b=2,g=1 a=4,b=1,g=1 a=4,b=2,g=4 a=3,b=5,g=3 a=4,b=4,g=8 a=7,b=13,g= tme Fgura 3: Função de Sobrevvênca da DWIG. 4.3 Função Taxa de Falha da Dstrbução Webull Inversa Generalzada A função taxa de falha é dada por: [ ( α ) ] β { [ ( α ) ] β } 1. h(t) = γβα β t (β+1) exp γ 1 exp γ (4.10) t t Dferencando h(t), temos: h (t) = h(t)t (β+1) { { 1 exp γβα [ β ( γ α t ) β ] } (β + 1) t β }. (4.11)

40 25 h(t) a=1,b=2,g=1 a=4,b=1,g=1 a=4,b=2,g=4 a=3,b=5,g=3 a=4,b=4,g=8 a=7,b=13,g= tme Fgura 4: Função Taxa de Falha da DWIG. Vemos que h(t) é unmodal e tem pco em t = t M em que t M é solução da equação abaxo ( ) β α γ t M [ ( ) β ] = e γ α β t M (4.12) e que lm h(t) = lm h(t) = 0 (4.13) t 0 t 4.4 Relação com outras dstrbuções A dstrbução Webull nversa generalzada apresenta a dstrbução Webull nversa como caso partcular. Quando o parâmetro γ é gual a 1(um), a dstrbução Webull nversa

41 26 generalzada assume a forma da dstrbução Webull nversa, quando β e γ são guas a 1 (um) temos a dstrbução exponencal nversa e se γ é gual a 1 (um) e β gual a 2 (dos) temos a dstrbução Raylegh nversa. O Tabela 1 resume estas relações Tabela 1: Algumas funções de dstrbução geradas a partr da dstrbução Webull nversa generalzada Dstrbução Parâmetros Webull nversa γ = 1 exponencal nversa β = 1, γ = 1 Raylegh nversa β = 2, γ = Momentos É necessáro enfatzar a mportânca e a necessdade dos momentos em qualquer análse estatístca especalmente em trabalhos aplcados. Algumas das mas mportantes característcas de uma dada dstrbução pode ser estudada através dos momentos como: méda, varânca, assmétra e curtose. Seja T uma varável aleatóra com função densdade de probabldade dada pela dstrbução Webull nversa generalzada(dwig) o k- ésmo momento de T é dado por M k = t k g(t)dt = 0 γβα β t k β 1 e γ( α t ) β dt (4.14) Fazendo u = γα β t β e du = γβα β t β 1 dt quando t 0 u e quando t u 0, daí M k = usando a segunte relação t k = ( t β) ( k β = M k = 0 ( ) k u β e u du = ( γα β) k β γα β 0 ) u γα β 0 t k e u du (4.15) k β, então u [(1 k 1)] ( β e u du = γ k β α k Γ 1 k ) β (4.16)

42 Função Geradora de Momentos e Cumulantes Sendo o k-ésmo momento de T dado por: E ( T k) = γ k β α k Γ ( 1 k ) β (4.17) A função geradora de momentos é M t (z) = n [ z k k! E ( T k) ] k=0 (4.18) A função geradora de cumulantes é { K (z) = log M t (z) = n [ z k k! E ( ] } T k) (4.19) k=0 então o prmero cumulante é a dervada da função geradora de cumulantes e em seguda guala-se z à zero(z em nosso caso) [ ( ] n 1 K k=0 γ k β k! α k Γ 1 )kz k k 1 β (z) = [ ( ] (4.20) n 1 k=0 γ k β αk Γ 1 )z k k! β k expandndo os somatóros e em seguda gualando z à zero, temos: ( K (z) = k 1 = γ 1 β αγ 1 1 ) β (4.21) que satsfaz a relação ( k 1 = E (T) = γ 1 β αγ 1 1 ), (4.22) β os próxmos 3 cumulantes são dados pelas seguntes relações k 2 = E ( T 2) [ E ( T 1)] 2 (4.23) k 3 = E ( T 3) 3E ( T 2) E ( T 1) + 2E ( T 3) (4.24) k 4 = E ( T 4) 4E ( T 3) E ( T 1) 3 [ E ( T 2)]2 + 12E ( T 2) E ( T 1) 6 [ E ( T 1)]4. (4.25)

43 28 Daí para DWIG, temos: k 3 = γ 3 β α 3 { Γ k 2 = γ 2 β α 2 { Γ ( 1 2 ) [ ( Γ 1 1 )] } 2 β β ( 1 3 ) ( 3Γ 1 2 ) ( Γ 1 1 ) [ ( + 2 Γ 1 1 )] } 3 β β β β (4.26) (4.27) ( k 4 = γ 4 β α 4 Γ 3γ 4 β α 4 [ Γ ( 1 1 β 1 4 β ) ( 4γ 4 β α 4 Γ )] γ 4 β α 4 [ Γ ) 1 3 β ( 1 2 β ( Γ )] 2 [ Γ ) 1 1 β ( )] 2. (4.28) 1 1 β 4.7 Estmação de Verossmlhança para DWIG Sejam T 1, T 2,..., T n varáves aleatóras, ndependentes e dentcamente dstrbudas segundo uma DWIG em que o vetor de parâmetros é θ = (α, β, γ) T e a função de verossmlhança para DWIG é dada por L(θ) = n =1 [ γβα β t (β+1) exp γ ( α t ) β ] = [ γβα β] n n =1 t (β+1) [ ( α ) ] β exp γ t (4.29) O logartmo da função de verossmlhaça conhecda como função suporte como é descrta acma é dada por: n l(θ) = logl(θ) = nlogγ + nlogβ + nβlogα (β + 1) log (t ) γα β =1 n =1 t β. (4.30) Então para estmar os parâmetros utlzamos a equação escore, que é defnda como: ) U (ˆθ = l (θ) θ = 0 (4.31) para DWIG, temos l (θ) α = nβ 1 α γβαβ 1 n =1 t β = 0, (4.32) l (θ) β n = n1 β nlogα log (t ) γ =1 n =1 [ log ( α t ) t β α β ] = 0 (4.33)

44 29 e l (θ) γ = n 1 γ αβ n =1 t β = 0 (4.34) As equações 4.32, 4.33 e 4.34 não têm forma fechada, então para soluconá-las podemos utlzar o método teratvo de Newton-Raphson ˆθ θ = [J (θ)] 1.U (θ) (4.35) Mas para sto precsamos encontrar a matrz de nformação observada J (θ) L αα (θ) L αβ (θ) L αγ (θ) J (θ) = L βα (θ) L ββ (θ) L βγ (θ) L γα (θ) L γβ (θ) L γγ (θ) para a DWIG tem como elementos ρ dstrbução em questão e θ o vetor de parâmetros, então [ ] l(θ) = L σ ρσ (θ) em que ρ e σ são parâmetros da L αα (θ) = nβα 2 + (β 1)γβα β 2 n =1 t β L αβ (θ) = nα 1 + γ n [ =1 t β α β 1 (1 + βlogα) βα β 1 t β logt ] L γβ (θ) = n =1 ( α ) α β t β log t L αγ (θ) = βα β 1 n =1 t β

45 30 L γγ (θ) = nγ 2 em que L ββ (θ) = nβ 2 + γ ( α β t β ) n ( α ) ( ) log α β t β t β =1 ( α ) = α β t β log t 4.8 Estmação de Máxma Verossmlhança com Dados Censurados Seja T uma varável aleatóra segundo uma DWIG com o vetor de parâmetros θ = (α, β, γ) T. Os dados encontrados em estudos de análse de sobrevvênca e confabldade são censurados e então a função suporte é dada por l(θ) = r [ log(γ) + log(β) + β log(α) ] (β + 1) F + { [ α ) ] β } log 1 exp γ(, t C log(t ) γα β F t β A função escore para os parâmetros α, β e γ é dado por U α (θ) = rβα 1 γβα β 1 F { 1 exp t β [ ( α ) ] } 1 β γ t + γβα β 1 C t β [ ( α ) ] β exp γ t

46 31 U β (θ) = rβ 1 F ( t β + C logt β α β t β ( γ F [ ( α ) ]{ [ β ( α ) ]} β 1 log(αt 1 ) exp γ 1 exp γ t t α β t β log(αt 1 ) + U γ (θ) = rγ 1 α β F t β + α β C t β [ ( α ) ]{ [ β ( α ) ]} β 1 exp γ 1 exp γ t t matrz J(θ) é J(θ) = L αα L αβ L αγ. L ββ L βγ.. L γγ, L αα (θ) = rβα 2 + (β 1)γβα β 2 F γβα 2β 2 t β α 2β 2 γβt β γβ C [ ( α ) ] ] { [ β α ) ]} β 1 exp γ 1 exp γ( t t t β [ ( α ) ]{ [ β ( α ) ]} β 2 exp 2γ 1 exp γ t t { [ [ ( α ) ] β t β (β 1)α β 2 exp γ t L αβ (θ) = rα 1 + γ F γ C [ t β α β 1 (1 + βlogα) βα β 1 t β logt ] [( { ( α ) β }) { { ( α ) β } } 1 βα β 1 t β exp γ 1 exp γ t t βγlogαα 2β 1 t 2β { α ) β } exp 2γ( { { ( α ) β } } 2] 1 exp γ t t

47 32 em que ( { ( α ) β }) βα β 1 t β exp γ = (t β t βt β { ( α ) β } βt β logt )(α β 1 exp 2γ ) + t { [ α β 1 logαexp { γα β 1 exp ( α ) β } γ t ( α ) β }( )] γ (α β ) t α β (t β ) t e ( (α β ) t α β (t β ) ) ( α ) = α β t β log t L γβ (θ) = ( α ) α β t β log [ { ( α ) β α β t β }] exp γ t F t C { { ( α ) β } } 1 1 exp γ + t α β t β { α ) β }[ exp γ( { { ( α ) β } } 1] 1 exp γ t t em que [ { ( α ) β α β t β }] exp γ t { = exp ( α ) log t ( α ) β } γ t [ α β t β 1 γα β t β ] e [ { 1 exp { ( α ) β } } 1] γ t { ( α ) β } = exp γ t γα β t β { { ( α ) β } } 2 1 exp γ t ( α ) log t L αγ (θ) = βα β 1 F t β { { ( α ) β } t β α β t β exp γ t βα β 1 C { { ( α ) β } } 1{ { ( α ) β } 1 exp γ 1 + exp γ t t { { ( α ) β } } 1}} 1 exp γ t

48 33 L γγ (θ) = rγ 2 α { { α ) β } β t β α β t β exp γ( { { ( α ) β } } 1 1 exp γ t t C [ { α ) β } 1 + exp γ( { { ( α ) β } } 1] } 1 exp γ t t ( ) L ββ (θ) = rβ 2 + γ ( α ) α β t β log γ t F β C { ( ) { ( α ) β } α β t β exp γ β t { { ( α ) β } } 1 exp γ t ( α ) log t em que { { α β t β exp γ { { 1 exp γ ( α t ) β } ( α t ) β } } 1} { α ) β } = α β t β exp γ( {{ { ( α ) β } } 1} 1 exp γ + t t { { α ) β } α β t β exp γ( } { { ( α ) β } } 1 1 exp γ, t t { { α ) β } α β t β exp γ( } { ( α ) β } ( α ) = exp γ log α β t β t t t [ 1 γα β t β ], {{ { ( α ) β } } 1} 1 exp γ t { ( α ) β }( = γ exp γ α β t β t [ { ( α ) β }] 2 1 exp γ t ) e ( α β t β ) ( α ) = α β t β log t Sob condções que são cumprdas pelos parâmetros no nteror do espaço paramétrco,

49 34 mas não no lmte, a dstrbução assntótca de n (ˆθ θ) é N 3 (0, I(θ) 1 ), em que I(θ) é a matrz de nformação esperada. Este comportamento assntótco é váldo se I(θ) é substtuído por J( θ),.e., a matrz de nformação observada evoluu a ˆθ. A normal multvarada assntótca N 3 (0, J(θ) 1 ) dstrbução pode ser usada para construr ntervalos de confança aproxmados e regões de confança para os parâmetros ndvduas e para as funções de sobrevvênca e rsco.

50 Mstura de duas Dstrbuções Webull Inversa Generalzada Mstura de dstrbuções tem sdo consderadas extensvamente por mutos autores; por uma excelente técnca de estmação em sobrevvênca, dscussão e aplcações, ver Sultan, Ismal e Al-Mosheer(2006) e Bucar, Nagode e Fajdga (2003). Recentemente, tem sdo revstas propredades e técncas de estmação de msturas fntas de alguns modelos de tempo de vda. Neste trabalho, nós defnmos a mstura de duas dstrbuções webull nversa generalzada (MDDWIG) que tem como fdp f(t; θ) = 2 p f (t; θ ) (4.36) =1 em que 2 p = 1, θ = (θ T 1, θt 2 )T, θ 1 = (p 1, γ 1, α 1, β 1 ) T, θ 2 = (p 2, γ 2, α 2, β 2 ) T, e f (t; θ ), a =1 função densdade do -ésmo componente, é dado por: { f (t; θ ) = γ β α β t (β +1) exp A função acumulada da MDDWIG é dada por: ( α ) β } γ, t, γ, α, β > 0, = 1, 2. (4.37) t F(t; θ) = 2 p F (t; θ ), (4.38) =1 em que F (t; θ ), a função acumulada do -ésmo componente, é dado por: { F (t; θ ) = exp ( α ) β } γ, t, γ, α, β > 0, = 1, 2. (4.39) t Alguns gráfcos da MDDWIG são apresentados nas fguras 5, 6 e Propredades Nesta subseção, nós analsamos algumas propredades para a DWIG por extensão dos resultados correspondentes da DWIG.

51 36 fdp tempo Fgura 5: mstura de duas dstrbuções webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, 5 O k-ésmo momento de T para DWIG é E(T k ) = 2 p γ k β α k Γ(1 kβ 1 ). (4.40) As correspondentes funções de sobrevvênca e taxa de falha são, respectvamente, e h(t) = S(t) = 2 2 =1 p γ β α β { p {1 exp t (β +1) exp 2 p { 1 exp ( α ) β }} γ t (4.41) { ( ) β } α γ t { ( ) β }} (4.42) α γ t Se γ = 1 e α = 1 δ nós temos os resultados dscutdos por Sultan,Ismal e AL-Mosheer(2006)

52 37 Mstura de funções de sobrevvênca tempo Fgura 6: mstura de duas funções de sobrevvênca da webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, Identfcabldade Se a função densdade do -ésmo componente, é dado por: t 0; α, β, γ > 0 e = 1, 2,..., n { ( ) f (t; θ ) = γ β α β t (β +1) β } exp γ α t ; (4.43) A função de probabldade acumulada é dada por: { ( ) β } F (t; θ ) = exp γ α t ; (4.44) t 0; α, β, γ > 0 e = 1, 2,..., n Seja φ uma transformação assocada com cada F Φ tendo o domíno de defndo por D Φ com mapa lnear M : F φ. Se exste uma ordem total ( ) de Φ cada que

53 38 Mstura de funções taxa de falha tempo Fgura 7: mstura de duas funções taxa de falha da webull nversa exponencalzada com α 1 = 1, β 1 = 2, γ 1 = 4, α 2 = 2, β 2 = 3, γ 2 = 10, 5 e p 1 = p 2 = 0, 5 ) F 1 F 2, (F 1, F 2 Φ) D Φ D Φ ; φ ) para cada F 1 Φ, exste algum s 1 D Φ1, φ 1 (s) 0 cada que lm 2 s s1 φ 1 = 0 for F 1 < F 2, (F 1, F 2 Φ). Φ. Então a classe Λ de todas as msturas fntas de dstrbuções é dentfcável relatva a Usando o mostrado acma, nós provamos a segunte proposção. Proposção: A classe de todas as msturas fntas de dstrbuções relatvas a DWIG são dentfcáves. Prova: Seja T uma varável aleatóra tendo o fdp e função de probabldade acumulada da DWIG dadas por (4.43) e (4.44), respectvamente. O s-ésmo momento da -ésmo