Manuel Vaz Guedes CORRENTE ALTERNADA. sistemas polifásicos assimétricos. Faculdade de Engenharia Universidade do Porto

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1 Mnuel Vz Guedes CORRENTE ALTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Fculdde de Engenhri Universidde do Porto 005

2 i CORRENTE ALTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Mnuel Vz Guedes FACULDADE de ENGENHARIA UNIVERSIDADE do PORTO Índice Introdução. O Método ds Componentes Simétrics. Componentes Simétrics Trifásics.. Sistems Componentes.. Redução ds Grndezs de Fse às Componentes Simétrics. Medid ds Componentes Simétrics.. Medid d Intensidde d Corrente num Circuito Trifásico.3 Sistems Trifásicos Não Sinusoidis.4 Outros Sistems Polifásicos de Componentes Simétrics.4. Sistem Hexfásico.4. Sistem difásico. Aplicção ás Máquins Eléctrics. Grndezs Eléctrics. Máquins Eléctrics Estátics.3 Máquin Eléctric Rottiv motor de indução.3. Estudo do Motor de Indução.3. Consequêncis do Regime Assimétrico.3.3 Análise Crític.3.4 Conclusão Bibliogrfi A Representção ds Grndezs Alternds Sinusoidis (resumo) B Sistem Trifásico Simétrico C Circuito Trifásico Equilibrdo pp. 34 Texto de poio pr s disciplins de Máquins Eléctrics

3 CORRENTE ALTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Mnuel Vz Guedes FACULDADE de ENGENHARIA UNIVERSIDADE do PORTO No estudo dos sistems de energi eléctric polifásicos ocorrem situções em que é necessário determinr s grndezs eléctrics crcterístics respectivs, qundo ocorrem regimes de funcionmento ssimétricos permnentes. Tmbém n nálise do funcionmento ds máquins eléctrics de corrente lternd polifásics existe necessidde de estudr os regimes de funcionmento ssimétricos, provocdos pel form como é feit respectiv limentção, ou pels crcterístics do circuito eléctrico de crg d máquin ou, ind, por spectos construtivos d máquin eléctric. d i c b c d b d b i c i o b o c o sistem ssimétrico sistem directo sistem inverso sistem homopolr Fig.. Sistem trifásico ssimétrico e sistems componentes simétricos Pr efectur, de um form simples, um nálise envolvendo um regime ssimétrico permnente de funcionmento de um máquin eléctric polifásic é utilizd Teori ds Componentes Simétrics, investigd por C. L. Fortescue prtir de 93 e formuld e publicd em 98. Qundo procedi estudos sobre compensdores de fse pr redes de limentção monofásics de sistems de trcção eléctric, Fortescue consttou que solução reduzi-se sempre à som de dus ou mis soluções simétrics ; dí estbeleceu um trnsformção pssiv, reversível e unívoc entre o sistem polifásico ssimétrico e os sistems polifásicos simétricos. Essencilmente, o Texto de poio pr s disciplins de Máquins Eléctrics

4 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos - - método de resolução consiste em reduzir um problem envolvendo um sistem polifásico ssimétrico à solução de um problem envolvendo dois ou mis sistems simétricos seprdos (segregdos), que, por isso, são resolvidos pens pr um fse componente. No estudo dos sistems polifásicos consider-se que, sistem trifásico simétrico é um sistem de três grndezs sinusoidis, com mesm frequênci com o mesmo vlor eficz, e tl que dus grndezs consecutivs estão esfsds, um reltivmente à outr, por um múltiplo inteiro do intervlo ngulr (π/3). No sistem trifásico pode-se decompor um sistem de grndezs trifásics ssimétrico num som de sistems de grndezs trifásics simétrics que são s sus componentes simétrics. Um sistem trifásico ssimétrico pode-se decompor n som de três sistems sinusoidis: um sistem trifásico simétrico directo, um sistem trifásico simétrico inverso e um sistem homopolr. A crcterizção d ssimetri de um sistem trifásico ssimétrico é, normlmente, feit pelo vlor do gru de ssimetri, que é rzão entre o vlor eficz d componente invers e o vlor eficz d componente direct: ε G = Gi/Gd. Est definição pressupõe o conhecimento ds componentes simétrics em grndez (mplitude) e em fse (ângulo de fse). Ms n norm CEI 34. pr Máquins Eléctrics Rottivs, crcterizção do desequilíbrio de tensões é feit trvés d relção entre o excedente d componente invers sobre componente direct, expresso em percentgem: [00 (Ui Ud)/Ud] %. Pr se determinr quele vlor é necessário um conjunto complexo de medids e de cálculos. Por isso, publicção CEI 89 estbelece um método expedito de crcterizção do desequilíbrio do sistem de tensões. Nest publicção, crcterizção do desequilíbrio de tensões é feit trvés de um grndez: percentgem do desequilíbrio d tensão. Est grndez dá o vlor, expresso em percentgem, d relção entre o fstmento máximo reltivmente o vlor médio dos vlores eficzes ds tensões e o vlor médio dos vlores eficzes ds tensões: [(00 Mx(Uf U med ))/U med ]%, com U med = = (UA+UB+UC)/3 e f = A,B,C. Este vlor, expedito, pode diferir muito do vlor do gru de dissimetri pelo que própri publicção CEI 89 conselh que em situções em que percentgem de desequilíbrio d tensão sej superior 5% é necessário efectur um estudo completo d componente invers d corrente eléctric. A decomposição do sistem trifásico ssimétrico num conjunto de sistems com sequêncis (ordem de sucessão) de fse diferentes provoc simplificções no estudo ds

5 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos máquins eléctrics, porque máquin submetid à cção de um sistem trifásico ssimétrico pss ser estudd desde que se poss plicr o Teorem d Sobreposição por um modelo diferente, e independente, pr cd sistem trifásico simétrico componente. E o estudo do comportmento d máquin submetid à cção de um sistem trifásico simétrico de grndezs eléctrics fz-se pelo estudo de pens um fse, devido o equilíbrio dos circuitos d máquin. Desde que o circuito eléctrico trifásico d máquin sej equilibrdo, sendo crg distribuíd igulmente entre os condutores do sistem trifásico, plicndo o Método ds Componentes Simétrics, consegue-se efectur seprção (ou segregção) dos diferentes sistems simétricos componentes, e depois efectur o estudo nlítico d máquin em cd sistem simétrico de um form independente do estudo feito pr os outros sistems. E o estudo do comportmento d máquin submetid à cção de um sistem trifásico simétrico de grndezs eléctrics fz-se pelo estudo de pens um fse, devido o equilíbrio dos circuitos d máquin. Considerndo que s relções que regem o funcionmento d máquin eléctric são lineres pode-se considerr que o comportmento d máquin sob cção do sistem trifásico ssimétrico result d som dos comportmentos devidos cd um dos sistems simétricos; isto é, plic-se o Teorem d Sobreposição. Algums ds grndezs crcterístics d máquin eléctric num determindo sistem simétrico componente podem ser s mis indicds pr crcterizr certos fenómenos no funcionmento d máquin; o quecimentos exgerdo de um motor de indução trifásico limentdo por um sistem trifásico ssimétrico de tensões é explicdo pelo comportmento do motor qundo limentdo pelo sistem simétrico componente trifásico inverso, desde que se poss considerr que o circuito eléctrico trifásico d máquin é equilibrdo. As diverss potêncis eléctrics, que crcterizm o funcionmento de um máquin, tmbém podem ser decomposts nos diferentes sistems de componentes simétrics; ms definição desss grndezs é delicd e está em discussão. A miori ds máquins eléctrics são construíds de form presentrem equilíbrio nos orgãos eléctricos e mgnéticos (máquins equilibrds). No entnto, existe sempre possibilidde de funcionrem instlds em redes eléctrics que presentem ssimetri no sistem trifásico ds sus grndezs eléctrics crcterístics. Existem, porém, csos em que s máquins eléctrics presentm um desequilíbrio estruturl intrínseco. Tods ests situções são cus d necessidde de plicção do Método ds Componentes Simétrics no estudo ds Máquins Eléctrics.. Método ds Componentes Simétrics No estudo do Método ds Componentes Simétrics é importnte o conhecimento ds forms de representção ds grndezs lternds sinusoidis; essencilmente, representção fsoril e representção simbólic. Ver o pêndice A Representção ds grndezs Alternds Sinusoidis No estudo do Método vão encontrr-se s expressões, que é possível dr um form

6 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos mtricil, que permitem reduzir um sistem polifásico ssimétrico os seus sistems polifásicos simétricos componentes. Pr plicção do Método no estudo ds máquins eléctrics são importntes os sistems de grndezs trifásicos, os sistems difásicos, e, têm um importânci reltiv menor, os sistems hexfásicos de grndezs lternds.. Componentes Simétrics Trifásics A plicção do Método ds Componentes Simétrics um sistem trifásico ssimétrico de grndezs eléctrics, consistirá n obtenção de três sistems trifásicos equivlentes: um sistem de três fsores iguis e sinfásicos formndo o sistem homopolr; e num conjunto de dois sistems trifásicos simétricos com diferente sucessão de fses, um sistem directo, e um sistem inverso. Cd um dos sistems componentes, directo ou inverso, é formdo por fsores com mesm mplitude e esfsdos entre si de 0 (π/3 rd); ordem de sucessão desses fsores sucessão ou sequênci de fses é diferente em cd um dos sistems componentes. Sistem Simétrico Directo Este sistem simétrico de grndezs trifásics é crcterizdo pelos fsores sucessivos,,b,c terem igul mplitude e estrem esfsdos entre si de 0, ou π/3 rd. A sucessão de fses result de os fsores sucessivos estrem esfsdos de 0 em trso. Utilizndo notção simbólic (exponencil e polr) pr representr s grndezs de fse, ver fig.., Gd = Gd exp(j0) = Gd ( /0) Gbd = Gd exp(j(4π/3)) = Gd ( /4π/3) (. ) Gcd= Gd exp(j( π/3)) = Gd ( /π/3) Este sistem trifásico simétrico recebe designção de sistem directo (ou de sequênci positiv) porque sucessão dos máximos ds grndezs do sistem ocorre n ordem nturl, ou direct, ds letrs representtivs ds respectivs fses, b, c. c d d sistem directo d d b d d Fig.. Sucessão de fses num sistem trifásico directo Pr ssinlr rotção de um fsor de π/3 rd no sentido directo, ou trigonométrico, multiplic-se o fsor por exp(jπ/3); est expressão comport-se, ssim, como um operdor mtemático operdor de sequênci. O operdor de sequênci, neste tipo de estudos, é representdo pel letr ; portnto, o operdor

7 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos = exp(j(π/3)) = ( /π/3), qundo plicdo o fsor representtivo de um grndez fsoril provoc-lhe um rotção de 0 no sentido directo ou trigonométrico. Atendo à fórmul de Euler o operdor de sequênci = exp(j(π/3)), pode ser representdo por um número complexo, = exp(j(π/3)) = cos (π/3) + j sen(π/3) = (/) + j ( 3 /) (. ) e verific-se que possui, entre outrs, s seguintes proprieddes, = exp(0) = + j0 Proprieddes do operdor de sequênci = exp(jπ/3) = exp(jπ/3) = (/) + j( 3 /) = exp(j4π/3) = (/) j( 3 /) 3 3 = exp(jπ) = + j0 = 4 = exp(j8π/3) = exp(jπ/3) = (/) + j( 3 /) = 3 5 = exp(j0π/3) = exp(j4π/3) = (/) j( 3 /) = + + = 0 = 0 + j0 = j 3 = j 3 = exp(jπ) exp(jπ/3) = exp(j5π/3) * = * = = exp(jπ) exp(j4π/3) = exp(jπ/3) Desde que estej fixd posição, e mplitude, do fsor ds grndezs eléctrics de um fse do sistem directo, imeditmente estão determindos os fsores (módulo e fse) ds outrs fses dess grndez. Pr o sistem trifásico directo verific-se que: Gd = Gd Gbd = Gd Gcd = Gd (. 3) Justificr, com o uxílio de um figur, cção do operdor. Sistem Simétrico Inverso Este sistem de grndezs trifásics é crcterizdo pelos fsores sucessivos,,b,c terem mesm mplitude e estrem esfsdos entre si de 0, ou π/3 rd. A sucessão de fses result de os fsores sucessivos estrem esfsdos de 0 em vnço. Utilizndo notção simbólic, e o operdor, pr representr s grndezs de fse, ver fig..3, Gi = Gi exp(j0) = Gi ( /0) Gbi = Gi exp(j(π/3)) = Gi ( /π/3) = Gi (. 4) Gci = Gi exp(j(4π/3)) = Gi ( /4π/3) = Gi Este sistem é chmdo de sistem inverso (ou de sequênci negtiv) porque sucessão dos máximos ds grndezs do sistem ocorre n ordem invers ds letrs representtivs ds respectivs fses c,b,.

8 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos b i i sistem inverso i i c i i Fig..3 Sucessão de fses num sistem trifásico inverso Note-se que o sistem trifásico inverso result do sistem trifásico directo por troc de dus fses {dí expressão inversão de fses }. Sistem Homopolr Este sistem componente é crcterizdo pelos seus três fsores terem igul mplitude e terem um esfsmento nulo entre si: têm igul ângulo de fse (sinfásicos). Por isso, um ds crcterístics do sistem homopolr (ou de sequênci nul) é que todos os respectivos fsores estão em fse, portnto, formm um sistem sinfásico. G o = G bo = G co (. 5) sistem homopolr o b o c o o b o c o Fig..4 Sucessão de fses num sistem trifásico homopolr Crcterizdos os diferentes sistems simétricos componentes, rest determinr relção ds componentes simétrics que determinm s grndezs ssimétrics de fse. O sistem trifásico homopolr de tensões e de correntes tem um comportmento crcterístico nos circuitos trifásicos de crgs monofásics: N Fig..5 Tipos de ligções de um sistem trifásico de crgs monofásics s tensões homopolres não podem existir ns tensões composts, ms podem existir ns tensões simples independentemente d ligção do neutro. s correntes homopolres não podem precer ns linhs de um ligção em triângulo, ou nos rmos de um estrel com o neutro isoldo. s correntes homopolres podem circulr n mlh de um circuito

9 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos trifásico ligdo em triângulo, e podem circulr ns linhs de um ligção em estrel com o neutro ligdo (à terr por exemplo). U Cd U Ai U Ao U Ad U Bi U Bo U Co U Bd U Ci Fig..6 Sistems simétricos componentes d tensão ver pêndice B Ns norms mericns os sistems componentes são designdos por outros índices: sistem directo (positive sequence) índice, (U =U d ); sistem inverso (negtive sequence) índice, (U = U i ): e sistem homopolr (zero sequence) índice o, (U o = U o ). Redução ds Grndezs de Fse às Componentes Simétrics As grndezs de fse presentm-se como um composição ds correspondentes componentes simétrics. Um grndez ssimétric num determind fse é igul à som ds correspondentes componentes simétrics ds diferentes sequêncis dquel fse: G = G d + G i + G o G b = G bd + G bi + G bo (. 6) G c = G cd + G ci + G co Atendendo os respectivos vlores, como form definidos em (. ), (. 4), e (. 5) recorrendo o operdor, podem-se escrever s expressões em função d grndez que serve de referênci o ângulo de fse G = G exp(j0) = G ( /0): G = G d + G i + G o ) G b = G d + G i + G o ) (. 7) G c = G d + G i + G o 3) Est expressão (.-7) trduz plicção do Teorem de Stockvis-Fortescue: Três fsores quisquer tomdos num determind ordem podem sempre obter-se por composição (sem repetição) de três sequêncis de três fsores: um direct, outr invers e terceir homopolr. A est expressão (.-7) pode dr-se um form mtricil, {G, G b, G c } T = [F] {G d, G i, G o } T,

10 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos com F = (. 8) Somndo membro membro {) + ) + 3)} s equções d expressão (. 7), e tendendo à propriedde do operdor, + + = 0, obtém-se: G o = (/3) (G + G b + G c ) (. 9) Multiplicndo segund equção do sistem (. 7) por, { eq. }, e terceir equção por, { eq 3)}, somndo s dus equções ssim obtids e simplificndo, tendendo às proprieddes do operdor, obtém-se pr componente direct: G d = (/3) (G + G b + G c ) (. 0) Multiplicndo segund equção do sistem (. 7) por, { eq }, e terceir equção por, { eq 3}, somndo s dus equções ssim obtids e simplificndo, tendendo às proprieddes do operdor, obtém-se pr componente invers: G i = (/3) (G + G b + G c ) (. ) Obtém-se, ssim, expressão gerl de redução ds grndezs de um sistem trifásico ssimétrico às respectivs componentes simétrics: G d = (/3) (G + G b + G c ) G i = (/3) (G + G b + G c ) (. ) G o = (/3) (G + G b + G c ) A est expressão de trnsformção pode-se dr um form mtricil, {G d, G i, G o } T = [F] - {G, G b, G c } T, com F - = 3 (. 3) Pode-se, portnto, estbelecer relção, n expressão (. 8), entre mtriz de trnsformção [F] e mtriz [C 3 ] -, utilizd nos estudos d Teori Generlizd ds Máquins Eléctrics, embor lguns utores tribum ess expressão designção [C 3 ]! Conhecido um elemento de cd um dos sistems componentes, {G d, G i, G o }, podemse determinr os restntes elementos, {G bd, G bi, G bo } e {G cd, G ci, G co }, tendendo às crcterístics do respectivo sistem trifásico, conforme (. ), (. 4) e (. 5). A redução de um sistem trifásico ssimétrico de correntes eléctrics ás sus componentes simétrics é feit medinte expressão (. ). {I dio } = [F] - {I bc } {I bc } = [F] {I dio } (. 4) Neste cso ds correntes eléctrics é importnte notr que componente homopolr d corrente é igul (/3) d som ds correntes eléctrics em cd fse:

11 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos I o = (/3) (I + I b + I c ). Qundo som ds correntes ns fses do sistem trifásico é igul zero, cso de um ligção em estrel sem neutro cessível, componente homopolr ds correntes não pode existir. Exemplo_. Considerndo um sistem ssimétrico de correntes eléctrics trifásics {I = 8 j6, I b = 3 j0, I c = + j0} A, pretende-se determinr s respectivs componentes simétrics. Com form mtricil d expressão (. 5), {I dio } = [F] - {I bc }, e tendendo à definição do operdor = /0, ssim como os meios de cálculo disponíveis, determin-se: I d = 6, /, A, I i = 7,6 / 37,3 A, I o = 7,9 / 4,6 A A correcção d respost pode ser vlid trvés d determinção ds componentes de fse ssimétrics com expressão {I bc } = [F] {I dio } _ _ Chrles L. Fortescue ( ) Chrles LeGeyt Fortscue licenciou-se em Engenhri Electrotécnic em 898 pel University of Kingston, em Ontário, Cndá, e em 90 começou trblhr no projecto de circuitos induzidos pr gerdores e motores n empres mericn Westinghouse Electric nd Mnufcturing Compny, de Pittsburgh, empres onde se desenvolveu tod su crreir técnic. Em 93 iniciou o estudo d limentção ssimétric de motores de indução trifásicos, destindos o ccionmento de locomotivs pesds, e limentdos por conversores mono-trifásicos. Ness ltur detectou que solução reduzi-se sempre à som de dus ou mis soluções simétrics. Apresentou em 98 o resultdo d su investigção num vsto e profundo rtigo mtemático Method of Symmetricl Co-Ordintes Applied to the Solution of Polyphse Networks, que complementou em 90 com publicção de um rtigo sobre Polyphse Power Representtion by Mens of Symmetricl Coordintes. Outros engenheiros d Westinghouse desenvolverm e plicrm o Método n solução de problems de sistems eléctricos polifásicos. Surgiu em 933 o primeiro livro, publicdo por C. F. Wgner e R. D. Evns Symmetricl Components. O trblho de C. Fortescue n Westinghouse envolveu investigção e desenvolvimento no domínio d teori do isolmento, do isoldor de trvessi com predes cpcitivs, e d teori d protecção contr o rio. É considerdo o mentor d plicção do fio de gurd ns linhs de trnsmissão de energi. A redução de um sistem trifásico ssimétrico de tensões tmbém poderi ser feit utilizndo um expressão nálog à expressão (. ). No entnto no estudo ds Máquins Eléctrics interess que trnsformção entre os sistems trifásico ssimétrico e o sistem ds sus componentes simétrics pr um fse, sej feit com invriânci do vlor d potênci: P dio = P bc. Pr stisfzer est restrição, é necessário que redução d tensão obedeç à expressão: {U dio } = [F*] T {U bc }, porque P dio = {U dio } T {I* dio } = P bc = {U bc } T {I* bc } = {U bc } T [F*] {I* dio } {U dio } T = {U bc } T [F*] {U dio } = [F*] T {U bc } (. 5) Atendendo às equções (. 4) e (. 5), pr que potênci se mntenh invrinte

12 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos n plicção d trnsformd ds componentes simétrics é necessário que {I dio } = [F] - {I bc } e {U dio } = [F*] T {U bc }, e pr que expressão de trnsformção sej mesm pr redução ds correntes eléctrics e ds tensões é necessário que mtriz de trnsformção sej tl que [F] - = [F*] T, ou que [F*] T [F] = = [F] - [F]. Isto é, tornse necessário que verifique condição de ortogonlidde. No estudo ds Máquins Eléctrics trifásics, frequentemente, lguns utores utilizrm sistems de componentes polifásics em que mtriz de trnsformção ds componentes simétrics utilizd [F ] é mesm pr s tensões e pr s correntes eléctrics, e que conserv s potêncis complexs no sistem originl e no sistem trnsformdo. Trt-se dos sistems com componentes normlizds, tl que [ F'] = ( / 3 ) [ F] ; mtriz de trnsformção ds componentes simétrics normlizd pss ter form: F - = 3 (. 6) É trnsformd normlizd de Fortescue, pr qul se verific que [F ] - = [F *] T, isto é, stisfz condição de ortogonlidde. Um sistem trifásico de impedâncis é desequilibrdo qundo está distribuído desigulmente entre os condutores ds fses, resultndo que s impedâncis de cd fse têm mplitude diferente ou que os seus ângulos de fse são diferentes, Z Z b Z c. Um sistem de impedâncis desequilibrds tmbém pode ser reduzido um sistem de impedâncis equilibrds. Recorrendo, gor, às expressões pr redução ds correntes eléctrics, (. 5) e pr redução ds tensões, (. 6), mntendo invrinte potênci, é possível determinr expressão de redução pr s impedâncis. Atendendo que {U dio } = [Z dio ] {I dio } e que {U bc } = [Z bc ] {I bc }, result: {U dio } = [F*] T {U bc } = [F*] T [Z bc ] {I bc } = [F*] T [Z bc ] [F] {I dio } {U dio } = [Z dio ] {I dio } = [F*] T [Z bc ] [F] {I dio } [Z dio ] = [F*] T [Z bc ] [F] (. 7) Qundo n redução ds componentes simétrics se utiliz um mtriz de trnsformção não ortogonlizd (. 3), expressão pr redução d mtriz ds impedâncis é: [Z dio ] = [F] - [Z bc ] [F] (. 8) Exemplo_. A equção eléctric pr o circuito esttórico de um motor de indução trifásico é {U bc } = [Z] {I bc }. A mtriz ds impedâncis [Z] é constituíd pelos elementos d digonl que têm form Z = R s + jωl s, e pelos elementos que trduzem influênci mútu dos fluxos cridos pels diverss bobins. Surgem ssim impedâncis que trduzem influênci d indução mútu ds bobins que estão esfsds de 0, Z, e ds bobins que estão esfsds de 40,

13 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos - - Z 3. Devido o equilíbrio, crcterístico dest máquin eléctric, mtriz ds impedâncis, impedâncis de fse é cíclic, porque em cd linh os elementos se sucedem num sequênci constnte e cíclic: Z, Z, Z 3. Z Z Z 3 Z 3 Z Z Z Z 3 Z A redução d equção eléctric esttóric às componentes simétrics permite obter pr mtriz impedânci trnsformd impedâncis de sequênci, Z' = F* T Z F = Z d o o o Z i o com Z d = Z + Z + Z 3 Z i = Z + Z + Z 3 o o Z o Z o = Z + Z + Z 3 Com est trnsformção s equções eléctrics pr s três fses do esttor, que estvm ligds trvés d mtriz ds impedâncis [Z] ficm seprds (segregds) em três equções independentes: {U d } = [Z d ] {I d }, {U i } = [Z i ] {I i }, {U o } = [Z o ] {I o }. Podem, ssim, resolver-se s três equções mtriciis lineres {que regem o funcionmento d máquin num sistem de coordends fictício} e depois plicr trnsformção invers pr obter os vlores reis ds grndezs em estudo. _ _ Pode-se concluir que: ns prtes de um estrutur que são equilibrds, s tensões e s correntes de um sequênci não têm influênci ns tensões e ns correntes de outr sequênci; se tribuem ás máquins impedâncis distints pr cd sequênci impedâncis de sequênci, impedâncis que são quntiddes fixs e independentes ums ds outrs e independentes do gru de ssimetri. A redução de um sistem trifásico ssimétrico ás sus componentes simétrics tmbém pode ser feit pr potênci em considerção num máquin eléctric trifásic. Num máquin eléctric trifásic (,b,c) potênci totl bsorvid pel máquin é dd por P t + jq t = U I* + U b I* b + U c I* c. Atendendo à redução de cd grndez de fse às sus componentes simétrics, pr fse b, result: U b I* b = (U d + U i + U o ) (I* d + I* i +I* o ) = = U d I* d + U d I* i +U d I* o + = U i I* d + U i I* i +U i I* o + = U o I* d + U o I* i +U o I* o (. 9) Resultm expressões nálogs pr potênci ds outrs dus fses (, c). Nest expressão (. 9) precem prcels de dois tipos: U r I* r e U r I* s com r,s {d,i,o}. As prcels do tipo U r I* r têm tods o coeficiente. As prcels do tipo U r I* s

14 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos - - são fectds pelos coeficientes,,, conform fse (,b,c) ds respectivs grndezs componentes. N expressão globl pr potênci totl existem, portnto, três termos d form 3 U r I* r, e existem seis termos d form ( + + ) U r I* s, que são nulos, devido à propriedde do operdor. Assim, P t + jq t = 3 (U d I* d + U i I* i + U o I* o ) (.. 0) A potênci totl bsorvid pel máquin é som ds potêncis fornecids por cd um dos sistems componentes: P d + jq d = 3 U d I* d P i + jq i = 3 U i I* i P o + jq o = 3 U o I* o A potênci de um componente por fse é potênci resultnte d cção d respectiv componente de tensão com respectiv componentes de corrente. A potênci de um componente do sistem trifásico é o triplo d potênci dess componente por fse. Se num montgem direct existir um potênci (ctiv ou rectiv) invers ou homopolr, então montgem está desequilibrd. Considerndo potênci flutunte, como prte rel d som dos produtos dos vlores simbólicos, ou sej P f = U I + U b I b + U c I c, que se reduz às componentes simétrics como P f = 3 U d I i + 3 U i I d + 3 U o I o, verific-se que num montgem equilibrd em tensões e correntes eléctrics ess potênci flutunte tem um vlor nulo; porque, nesse cso, U i = I i = I o = 0.. Medid ds Componentes Simétrics Existem váris montgens de prelhos de medid convencionis que permitem detectr s componentes direct, invers ou homopolr ds tensões, intensidde de corrente, e potêncis. Medid d Intensidde d Corrente num Circuito Trifásico Sem Neutro Acessível Como o circuito trifásico não tem neutro cessível não é possível circulr componente homopolr d corrente eléctric. Assim, est montgem pens permitirá detectr componente direct e invers d intensidde de corrente eléctric. 3 Z Z Com o uxílio de dois trnsformdores de medid de intensidde (TI) liment-se um circuito formdo por dus impedâncis de vlor conhecido em série; cd trnsformdor liment um ds impedâncis. Um voltímetro mede tensão nos terminis d série de impedâncis. Pr simplificr, e pr um melhor compreensão, consider-se V z que rzão de trnsformção dos trnsformdores de intensidde é unitári k =. Neste cso corrente que pss no mperímetro é I = I + I. U = k I Z + k I Z = I Z + I Z Como não existe componente homopolr, U = Z ( I d + I i ) + Z ( I d + I i ) = I d ( Z + Z ) + I i ( Z + Z ) Com um escolh criterios do vlor ds impedâncis de form que um dos fctores sej nulo, pode-se medir o vlor d outr componente: Pr determinr I d fz-se ( Z + Z ) = 0,

15 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos ou Z = (Z /) ou Z = Z = Z ((/) + j( 3 /)). Se for Z = R + j0, isto é um resistênci purmente óhmic, será Z constituíd por um bobin com resistênci R e inductânci L tl que Z = R + jωl = R ((/) + j( 3 /)) com R = R/ e ωl = R ( 3 /) Verific-se que neste método de medid há necessidde de previmente construir um resistênci e um bobin de form que rzão ds resistêncis respectivs sej / e que o ângulo de esfsmento crido pel indutânci sej de π/3. Tl pode ser feito utilizndo um ponte de medid de resistênci e um fsímetro. Como o voltímetro mede U = I d R(-) e mplitude de I d = U/(R 3 ) De um form nálog proceder-se-i pr determinr mplitude d componente invers I i. Pr determinr I i fz-se ( Z + Z ) = 0, ou Z = (Z / ) ou Z = Z o que fisicmente se trduz por permutr s impedâncis Z e Z. Pr não ter de permutr os dois componentes Z e Z fz-se um montgem com um comutdor limentr o voltímetro, e que servirá pr determinção de I d e de I q. A expressão coordends simétrics é preferível à expressão mis comumente utilizd componentes simétrics. A primeir é mis lógic num sentido mtemático porque se refere os eixos de referênci {referencil}, ms o último nome é provvelmente mis descritivo do processo pr o leigo. C. L. Fortescue, Sistems Trifásicos Não Sinusoidis As máquins eléctrics podem encontrr-se num regime de funcionmento envolvendo um sistem trifásico simétrico de grndezs periódics não sinusoidis. Tendo máquin um comportmento liner, e obedecendo s grndezs g(t) às condições de Dirichlet: função g(t) é finit; função g(t) tem um número limitdo de pontos de descontinuidde e de pontos extremos, cd grndez pode ser representd por um série de termos hrmónicos série de Fourier. Assim, existirá um sistem trifásico, formdo pelos mesmos termos hrmónicos ds grndezs cd um ds três fses. Apesr de n miori dos csos reis existirem pens hrmónicos de ordem ímpr, devido o cmpo mgnético d máquin ter um lternânci de pólos, nlisr-se-ão s crcterístics dos sistems trifásicos hrmónicos pr tods s ordens. M g k (t k ) = A o + A h cos (h ωt k + ϕ h ) h = Atendendo que cd termo hrmónico tem um ângulo de fse igul o produto d ordem do hrmónico pelo ângulo de fse fundmentl d grndez não sinusoidl ( (ωτ α)= n (ω α), e o esfsmento ds diferentes grndezs do sistem trifásico simétrico é de π/3 rd; result:

16 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos o termo fundmentl h = tem um ordem de sucessão de fses (sequênci de sucessão) / R = ( ωt ϕ ); / S = ( ωt ϕ) ( π/ 3 ); / T = ( ωt ϕ) ( 4π/ 3 ) de um sistem trifásico simétrico directo.. o termo de segund ordem h = tem um ordem de sucessão de fses (s equênci de sucessão) / R = ( ωt ϕ ); / S = ( ωt ϕ) ( 4π / 3) = ( ωt ϕ ) + ( π / 3) ; / T = ( ωt ϕ) ( 8π / 3) = ( ωt ϕ ) + ( 4π / 3) de um sistem trifásico simétrico inverso.. 3. o termo de terceir ordem h = 3 tem um ordem de sucessão de fses (sequênci de sucessão) / R = 3 ( ωt ϕ ); / S = 3 ( ωt ϕ) ( 6π / 3) = 3 ( ωt ϕ ) ( π) ; / T = 3 ( ωt ϕ) ( π / 3) = 3 ( ωt ϕ ) ( 4π) nálog à de um sistem trifásico simétrico homopolr. E, procedendo-se d mesm form, verific-se que os termos hrmónicos, cuj ordem fosse um múltiplo d ordem do sistem trifásico ( m = 3), formvm um sistem trifásico de fsores sinfásicos, como se o sistem trifásico fosse um sistem com um ordem de sucessão (sequênci de sucessão) homopolr. Pr os restntes termos hrmónicos 4º, 5º, 6º,... repetir-se-á série de ordens de sucessão de fse (sequênci de fse) directo, inverso e homopolr. Note Bem que pens ordem de sucessão (sequênci de sucessão) de fses de um grndez simétric coincide com ordem de sucessão (sequênci de sucessão) de fses de um sistem trifásico componente simétrico d mesm grndez ssimétric pr quel frequênci do hrmónico. A mplitude e o ângulo de fse terão vlores diferentes! h Sist. d i h d i h d i h d....4 Outrs Sistems Polifásicos de Componentes Simétrics Ns Máquins Eléctrics podem ser utilizdos sistems polifásicos, como o sistem difásico e o sistem hexfásico. Tmbém pr estes sistems é possível obter um decomposição do sistem ssimétrico nos sistems simétricos de grndezs, recorrendo um trnsformção pssiv. Sistem Hexfásico O sistem hexfásico foi utilizdo nlgums máquins eléctrics rottivs comuttrizes e em trnsformdores de número de fses trifásico-hexfásicos ssocidos rectificdores. sistem hexfásico simétrico é um sistem de seis grndezs sinusoidis, com mesm frequênci com o mesmo vlor eficz, e tl que dus grndezs consecutivs estão esfsds, um reltivmente à outr, por um múltiplo inteiro do intervlo ngulr (π/6) = (π/3) rd. A plicção do Método ds Componentes simétrics lev que um sistem hexfásico ssimétrico {A, B, C, D, E, F} de grndezs sej decomponível em seis sistems

17 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos hexfásicos simétricos {0,,, 3, 4, 5}; pr cd sistem hexfásico simétrico s grndezs têm mesm mplitude e um diferenç de fse uniforme que é um múltiplo inteiro do ângulo crcterístico (π/6) = (π/3) rd. D E C F sistem ssimétrico A B A o B o C o D o E o F o D E C C 5 B 5 B B A D C E A D 4 4 F E D A F 4 C 4 E F 5 5 F B A C F E B D A Fig..7 Sistem hexfásico ssimétrico e os seis sistems componentes simétricos O sistem hexfásico ssimétrico é decomponível (ver fig..7) em: um sistem hexfásico homopolr (sequênci zero), com índice zero 0 {o ângulo de diferenç de fse é 0 = 0 (π/3)}; é um sistem hexfásico directo (sequênci um) com índice {o ângulo de diferenç de fse é (π/3) = (π/3)}; dois sistems trifásicos directos (sequênci dois) {dois sistems trifásicos sobrepostos} com índice {o ângulo de diferenç de fse é (π/3) = (π/3)}; dois sistems trifásicos homopolres {em oposição de fse}, com índice 3 {o ângulo de diferenç de fse é (π) = 3 (π/3)}; dois sistems trifásicos inversos (sequênci qutro) {dois sistems trifásicos sobrepostos} com índice 4 {o ângulo de diferenç de fse é (4π/3) = 4 (π/3) ou ( π/3)}; um sistem hexfásico inverso (sequênci cinco) com índice 5 {o ângulo de diferenç de fse é (π/3) = 5 (π/3) ou ( π/3)}. Considerndo que pr o sistem hexfásico de grndezs lternds sinusoidis o operdor tem por expressão = /π/3, e efectundo um conjunto de operções nálogs ás que form feits pr o sistem trifásico, obtem-se mtriz de trnsformção [F 6 ], tl que {G A, G B, G C, G D, G E, G F } T = [F 6 ] {G o, G, G, G 3, G 4, G 5 } T [ F6 ] = trnsformção invers [F 6 ] -, tl que {G o, G, G, G 3, G 4, G 5 } T = [F 6 ] - {G A, G B, G C, G D, G E, G F } T

18 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Sistem Difásico [ F6 ] 4 4 = ( ) É importnte notr que pr construir um sistem difásico de grndezs lternds sinusoidis simétrics pode-se considerr um sistem polifásico simétrico com dus fses (m = ) e com um ângulo crcterístico de diferenç de fse π/ = π. Nesse cso verificv-se que potênci instntâne fornecid pelo sistem p = u i + u i não é constnte, ms tem um ndmento pulstório em torno de um vlor médio. result que : Se i u = UI cos( ωt) e = UI cos( ω t π), e = UI cos( ωt) e = UI cos( ωt π ϕ) p u i u i u = + i = UIcos( ϕ ) + UI [cos( ω t ϕ ) + cos( ω t ϕ π )] Dest form o sistem considerdo não seri um sistem de crgs equilibrds su potênci instntâne não é constnte. Ms, se tomrmos m=4 e pens considerrmos dus fses consecutivs sistem hemi-tetrfásico potênci instntâne será constnte. Considerndo um sistem tetrfásico simétrico, com um ângulo crcterístico de π/4 = = π/, diferenç ngulr entre dus fses consecutivs é π/, e será: e u i u i u = UI cos( ωt); = UI cos( ωt ( π / )) i = UI cos( ωt); = UI cos( ωt ( π / ) ϕ) u p = + i = UIcos( ϕ) + UI [cos( ωt ϕ) + cos( ωt ϕ ( π / ))] = UI cos( ϕ) Neste cso potênci instntâne é constnte e igul à potênci médi ests dus fses consecutivs formm um sistem hemi simétrico. As grndezs de fse formm um sistem de crgs equilibrds, ou sistem equilibrdo. C D B A sistem ssimétrico A o B o C o D o C D B A B D A C C 4 B 4 D 4 A 4 Fig..7 Sistem tetrfásico ssimétrico e os qutro sistems componentes simétricos

19 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Um sistem tetrfásico ssimétrico decompõe-se em qutro sistems tetrfásicos simétricos: um sistem tetrfásico homopolr (sequênci zero), com índice zero 0 {o ângulo de diferenç de fse é 0 = 0 (π/)}; é um sistem tetrfásico directo (sequênci um) com índice {o ângulo de diferenç de fse é (π/) = (π/)}; dois sistems difásicos homopolres {em oposição de fse}, com índice {o ângulo de diferenç de fse é (π) = (π/)}; um sistem tetrfásico inverso (sequênci três) com índice 3 {o ângulo de diferenç de fse é (3π/) = 3 (π/) ou ( π/}. Considerndo que pr o sistem tetrfásico de grndezs lternds sinusoidis o operdor tem por expressão = /π/ = j, e efectundo um conjunto de operções nálogs ás que form feits pr o sistem trifásico, obtinh-se mtriz de trnsformção [F 4 ], tl que {G A, G B, G C, G D } T = [F 4 ] {G o, G, G, G 3 } T. [ ] = F4 j j j j e F4 ( ) 4 [ ] = j j j j tl que {G o, G, G, G 3 } T = [F 4 ] - {G A, G B, G C, G D } T Como no estudo ds Máquins Eléctrics Difásics reis como no estudo do motor de indução monofásico, ou fictícis como no estudo pel Teori Generlizd do modelo d-q ds diferentes máquins eléctrics rottivs de corrente lternd s componentes homopolres (sequênci 0 e sequênci ) não tomm prte n conversão electromecânic de energi. Assim só interessm s componentes simétrics direct (sequênci ) e invers (sequênci 3). Num máquin eléctric rottiv de corrente lternd polifásic só surgem cmpos girntes se existirem bobins esfsds no espço de π/m rd e percorrids por correntes esfsds no tempo de π/m rd. Assim, como s componentes homopolres não contribuem pr crição de cmpos girntes, e não contribuem pr crição de binário, ou pr conversão electromecânic de energi Considerndo num sistem tetrfásico pens dus fses consecutivs, verific-se que GC = GA e GD = GD. O que plicdo á equção {G o, G, G, G 3 } T = [F 4 ] - {G A, G B, G C, G D } se trduz por {G o, G, G, G 3 } T = [F 4 ] - {G A, G B, G A, G B }, de onde result que tendeno à definição do operdor j = /π/ = : G o = 0 ; G = (/) (G A + jg B ) = G d ; G = 0 ; G 3 = (/) (G A jg B ) = G i O que permite obter trnsformção invers d componente simétric difásic {G d, G i } T = [F ] - {G A, G B } T, com [ F ] = ( ) j j A A d B i A i B B d Fig..8 Sistem difásico ssimétrico e os dois sistems componentes simétricos

20 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos Outr form de obter est mtriz de trnsformção seri tender que o operdor tem por expressão = /π/ = j, e efectundo um conjunto de operções nálogs ás que form feits pr o sistem trifásico, obtinh-se primeiro mtriz de trnsformção [F ], tl que {G A, G B } T = [F ] {G d, G i } T, com [ F ] = j j e depois mtriz de trnsformção invers [F ] -, tl que {G d, G i } T = [F ] - {G A, G B } T, com [ F ] = ( ) j j N Teori Generlizd ds Máquins Eléctrics mtriz de trnsformção[ F ] represent mtriz [C 3 ] que se junt um linh e um colun,, dndo origem à mtriz [C 3 ], pr se efectur operções em csct com mtrizes 3 x 3.. Aplicção ás Máquins Eléctrics O Método ds Componentes Simétrics permite efectur o estudo ds Máquins Eléctrics qundo funcionm em regime permnente ssimétrico. Ness situção plicção do Método permite decompor um sistem trifásico de tensões ssimétrico em três sistems trifásicos simétricos de tensões: um sistem directo, um sistem inverso e um sistem homopolr. Anlisndo o comportmento d máquin eléctric qundo limentdo por cd um dos sistems componentes isoldmente, é possível prever os efeitos de um situção de funcionmento num regime permnente ssimétrico. A nálise dqueles efeitos permite estbelecer norms ou guis, como publicção CEI 89, e permite, tmbém, deduzir regrs de plicção ds protecções usr n previsão dquel situção de limentção. Prioritrimente o Método ds Componentes Simétrics é plicdo no estudo ds máquins eléctrics simétrics limentds por grndezs trifásics ssimétrics ou limentdo crgs desequilibrds. No entnto o Método pode ser plicdo máquins eléctrics desequilibrds por construção. Máquin Eléctric Equilibrd é um máquin que possui conjuntos de enrolmentos trifásicos esttóricos e rotóricos simétricos e um relutânci mgnétic que é independente d posição reltiv do esttor e do rotor. No cso ds máquins eléctrics síncrons, o turbolterndor (máquin de rotor cilíndrico) é um máquin eléctric equilibrd, enqunto que o lterndor com rod polr é um máquin eléctric desequilibrd. O Método ds Componentes Simétrics, qundo plicdo o estudo ds máquins eléctrics, provoc seprção (segregção) ds diferentes vriáveis trvés de um trnsformção liner sobre s equções de funcionmento d máquin eléctric. Dest form, reduz-se o estudo globl do funcionmento d máquin eléctric limentd por um sistem de tensões não equilibrdo o estudo ds consequêncis d plicção de cd um dos seus sistems de tensões simétricos componentes à máquin eléctric. Trt-se de um método, cuj plicção se bsei em três hipóteses (simplifictivs) de estudo ds máquins eléctrics:

21 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos o circuito mgnético tem proprieddes lineres, existindo um relção constnte entre o fluxo mgnético e corrente eléctric que o cri; máquin eléctric tem conjuntos equilibrdos de enrolmentos rotóricos e de enrolmentos esttóricos, e relutânci do circuito mgnético é independente d posição reltiv do esttor e do rotor ns máquins eléctrics rottivs.. Grndezs Eléctrics A Teori ds Máquins Eléctrics de Corrente Alternd desenvolveu-se com bse n considerção bsolut de que s grndezs físics erm exclusivmente grndezs lternds sinusoidis. No entnto necessidde de considerção do funcionmento ds máquins de corrente lternd polifásics em regime ssimétrico, e utilizção sistemátic do Método ds Componentes Simétrics, levou à detecção de situções em que conceitos nteriormente definidos já não erm plicáveis. As grndezs físics relcionds com potênci potênci ctiv, potênci rectiv e fctor de potênci são conceitos que ficrm desctulizdos qundo deixou de se considerr pens um regime de funcionmento permnente, sinusoidl e equilibrdo e se pssou considerr um regime de funcionmento permnente, sinusoidl e ssimétrico. Ocorrendo mesm situção qundo se pssou considerr que s grndezs físics lternds embor periódics tinhm um ndmento não sinusoidl. Vej que situção é semelhnte à pssgem d corrente contínu pr corrente lternd sinusoidl. Em corrente contínu potênci é o produto d Tensão pel Intensidde d Corrente (ou sej o produto d leitur do voltímetro pel leitur do mperímetro), enqunto que em corrente lternd já não é sempre ssim. E dí surgir necessidde d introdução do conceito de fctor de potênci A procur de um nov definição pr os ntigos conceitos ou crição de novos e complementres conceitos criou situções em que é necessário crir novos métodos e novos instrumentos de medid, isto qundo s novs definições podem ser utilizds no projecto de instrumentos de medid. Num sistem trifásico sinusoidl em regime ssimétrico s grndezs eléctrics tensão simples e intensidde de corrente representds pelos respectivos fsores têm diferente mplitude e diferente ângulo de fse. u = U cos( ωt α) ub = Ub cos( ωt αb ( π/ 3)) uc = Ub cos( ωt αc ( 4π/ 3)) i = I cos( ωt ϕ) ib = Ib cos( ωt ϕb ( π/ 3)) ic = Ic cos( ωt ϕc ( 4π/ 3)) A potênci instntâne que trduz vrição d energi no tempo num determindo ponto do circuito eléctrico. continu ser representd pel som lgébric ds potêncis instntânes por fse: p = u i + ub ib + uc ic [W]. A potênci ctiv [W] é som lgébric ds potêncis ctivs de cd fse e represent o vlor médio d potênci instntâne no intervlo de um período (T) no momento de observção (t o ). P to + T = p dt T t o

22 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos P = P + P b + P c Qundo se trblh com componentes simétrics trifásics com tensões simples U d, U i, U o, intensidde de corrente eléctric I d, I i ; I o, e ângulos de esfsmento ϕ d, ϕ i, ϕ o podem considerr-se potênci ctiv direct (P d ), potênci ctiv invers (P i ) e potênci ctiv homopolr (P o ): Pd = 3 Ud Id cos( ϕ d) ; Pi = 3 Ui Ii cos( ϕ i) ; Po = 3 Uo Io cos( ϕo) potênci ctiv totl é: P = P d + P i + P o. A energi rectiv oscil entre fonte e s bobins, e os condensdores e s msss em movimento que fzem prte do sistem electromecânico. O vlor médio dest vrição de energi é nulo, portnto trnsferênci de energi entre fonte e crg é nul. Considerndo que potênci rectiv [vr] é mplitude d vrição no tempo d potênci instntâne oscilnte. Pr um fse: t Q v di i dv o + T v di T dt dt to + T i dv f T dt dt to + T = = = = = v( idi) dt π π t o t o T t o t Q o + T f = i( vdv) dt = U I sen( T t ϕ f ) o A potênci rectiv totl será dd por Q = Q + Q b + Q c. Qundo se utilizm s componentes simétrics, existirá um potênci rectiv direct (Q d ), um potênci rectiv invers (Q i ), e um potênci rectiv homopolr (Q o ). Qd = 3 Ud Id sen( ϕ d) ; Qi = 3 Ui Ii sen( ϕ i) ; Qo = 3 Uo Io sen( ϕo) potênci rectiv totl é: Q = Q d + Q i + Q o. A potênci prente por fse [VA] que em máquins eléctrics se trduz pelo produto do vlor eficz d tensão nominl pelo vlor eficz d intensidde de corrente nominl { potênci prente é um grndez esclr} e que represent máxim potênci que máquin pode converter, é dd pelo produto d tensão simples e d intensidde de corrente em cd fse. = = + b = b b b = b + b c = c c c = c + c S U I S P Q S U I S P Q S U I S P Q Ms, devido o crácter ssimétrico do regime de funcionmento, consider-se um potênci prente ritmétic [VA], som d potênci prente ds fses tl que SA = S + Sb + Sc ms pr potênci prente ritmétic verific-se que S A P + Q. N situção de sistems ssimétricos tmbém se consider potênci prente vectoril [VA], pr o qul se consider:

23 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos - - SV = P + Q e S P P P Q Q Q V = + + b c + j( + + ) = P + jq b c Qundo se utilizm s componentes simétrics, existirá um potênci prente vectoril (S V ). S P P P Q Q Q V = SV = d + i + o + j( + + ) d i o Note bem que se trt do módulo de um grndez vectoril, resultnte d representção num referencil ortonormdo com dois eixos (i,j) e com coordends potênci ctiv segundo o eixo i, e potênci rectiv segundo o eixo j j S V S b Q b S c P c Q c S Q P b P i Agor já é possível definir potênci prente vectoril pr s componentes simétrics [VA]: potênci prente vectoril direct (S d ), potênci prente vectoril invers (S i ), potênci prente vectoril homopolr (S o ). Sd = Sd = Pd + jqd ; Si = Si = Pi + jqi ; So = So = Po + jqo SV = Sd + Si + So ms S A Sd + Si + So Ests diferentes definições levm à construção de instrumentos de medid diferentes, que no mesmo circuito presentm vlores diferentes prs s grndezs. Note-se que no estudo dos Sistems Eléctricos se consider o sistem trifásico como um unidde: S sis = U I, pelo que S sis S A S V. No estudo ds Grndezs Alternds Sinusoidis simétrics definiu-se fctor de potênci como um rzão entre potênci ctiv e potênci prente λ = (P/S) {que com grndezs lternds sinusoidis é igul o coseno do ângulo de esfsmento entre tensão e intensidde d corrente eléctric λ = cos(ϕ)}. Qundo se consider um regime ssimétrico podem-se considerr um fctor de potênci ritmético (λ A ), e um fctor de potênci vectoril (λ V ). fctor de potênci ritmético λ A = (P/S A ) fctor de potênci vectoril λ V = (P/S V ) normlmente será especificdo o fctor de potênci vectoril; e verific-se que: λ A λ V λ

24 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos - - No entnto pode-se utilizr pens o fctor de potênci directo, definido como λ d = (P d /S d ), que pens permite vlir s condições de fluxo de potênci direct no circuito. Um sistem formdo por um fonte de energi eléctric com grndezs sinusoidis e formndo um sistem trifásico simétrico directo {U, U b, U c }, e limentndo um crg liner e desequilibrd, é possível substituir crg desequilibrd por um crg equilibrd equivlente, isto é um crg equilibrd que limentd com mesm tensão d fonte utiliz mesm energi ctiv e rectiv. Est crg equivlente (virtul) tem, portnto, s mesms perds de energi, que crg ssimétric (rel). Pr ess crg será: Tensão equivlente U e = + b + c 3 U U U I Intensidde de corrente equivlente + Ib + Ic I e = 3 Pode-se gor definir potênci prente equivlente [VA]: S e = 3 U e I e O fctor de potênci equivlente é λ e = P/S e Os estudos de Qulidde de Serviço Eléctrico e considerção no estudo ds Máquins Eléctrics d situção ctul de funcionmento ds redes eléctrics obrigm considerr existênci simultâne de ssimetri no regime de funcionmento d máquin e o ndmento não sinusoidl ds grndezs físics. Por isso há que considerr decomposição ds grndezs físics com ndmento não sinusoidl trvés d su decomposição em série de Fourier de termos hrmónicos simultnemente com decomposição dos sistem ssimétrico ns sus componentes simétrics. Esse tipo de estudo requer definição de outrs grndezs principlmente novs componentes d potênci prente que, embor ind em discussão devem ser tomds em considerção.. Máquins Eléctrics Estátics Pr lém do trnsformdor, n plicção útil d Electricidde utilizrm-se o longo do último século outrs máquins eléctrics estátics como o mplificdor mgnético. A plicção do Método ds Componentes Simétrics no estudo ds máquins eléctrics estátics plic-se pens o estudo de curto-circuitos ssimétricos e à determinção ds impedâncis pr s componentes simétrics. O rciocínio feito sobre o comportmento dos trnsformdores em regime ssimétrico é do tipo: Qundo máquin eléctric está submetid um sistem de grndezs ssimétrics, como s máquins por construção presentm simetri nos respectivos circuitos de fse e se consider que estão num regime de funcionmento liner, pode-se considerr que o seu funcionmento result d

25 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos cção simultâne, ms independente, de três sistems de grndezs um sistem com ordem de sucessão direct, um sistem com sequênci invers e um sistem homopolr. Ms sendo máquin eléctric estátic não existe qulquer diferenç no funcionmento com um sistem de grndezs trifásics simétrico directo ou com um sistem de grndezs trifásics simétrico inverso pens há um troc de dus fses no sistem trifásico de limentção (inversão de fses). Num trnsformdor com um circuito mgnético de fluxos ligdos continu verificr-se que φ + φ + φ 3 = φ + φ 3 + φ = 0. Como consequênci verific-se que um máquin estátic simétric não pode distinguir entre limentção por um sistem simétrico directo ou por um sistem simétrico inverso, por isso, impedânci de sequênci direct é igul à impedânci de sequênci invers Z i = Z d. {ms existe diferenç entre s dus impedâncis ns máquins eléctrics rottivs} Já impedânci que máquin oferece o estbelecimento ds correntes homopolres impedânci homopolr é muito diferente d impedânci direct e d impedânci invers. E tmbém tem vlores diferentes conforme corrente circul num únic ds bobins (situção nálog à do trnsformdor em vzio) ou circul ns dus bobins (situção nálog à do trnsformdor em crg). Se o circuito trifásico do trnsformdor é ssimétrico como n ligção Scott de trnsformdores monofásicos ou n ligção em V (triângulo berto) surgirá um conjunto de impedâncis de sequênci mis complicdo. Exemplo_. Um utotrnsformdor trifásico tem ligção dos enrolmentos YNy. Pretendendo conhecer impedânci homopolr do trnsformdor, verific-se que s correntes homopolres só podem circulr no ldo primário (estrel com neutro ligdo). Dess form impedânci homopolr do enrolmento do primário, único em que s correntes homopolres podem circulr, é impedânci de mgnetizção. No secundário, o trnsformdor ctu como um circuito berto pr s correntes homopolres. R S Z o T N Fig.. Impedânci homopolr de um trnsformdor YNy Existem situções ns redes de energi eléctric em que, sendo relção entre tensão primári e tensão secundári pequen, utiliz-se um utotrnsformdor trifásico n ligção de dus redes {exemplo: 30 kv e 50 kv}. Procur-se um vntgem como um menor tmnho ou um menor custo d unidde. Um tipo de utotrnsformdor com lgums vntgens é o utotrnsformdor com ligção em zigue-zgue dos enrolmentos prciis que formm o enrolmento de cd fse.

26 CORR ENTE A LTERNADA sistems polifásicos ssimétricos R S T r s N t Fig.. Autotrnsformdor com ligção dos enrolmentos prciis em zigue-zgue. Em cd colun do núcleo mgnético existem dois semi-enrolmentos, onde se desenvolvem forçs electromotrizes sinfásics, ms esfsds de 0 (π/3 rd) com s forçs electromotrizes que se desenvolvem ns outrs coluns. R S T N r s t S t r N s T N R = (N s) + ( (s R)) = (N s) + -(N r) = (N s) + (r N) R Fig..3 Determinção d estrel de tensões simples primáris [R, S, T] prtir d estrel de tensões simples secundári [r, s, t] Considerndo que ligção dos enrolmentos é feit, tendendo o sentido de desenvolvimento ds forçs electromotrizes no enrolmento {indicdo pel pequen set em linh interrompid}, de form subtrir s forçs electromotrizes de dois semi-enrolmentos situdos em coluns distints, result estrel de tensões simples no primário [R, S, T], obtid prtir d estrel de tensões simples no secundário [r, s, t]. Com construção doptd pr os enrolmentos result que: num situção de crgs equilibrds, o utotrnsformdor não é percorrido pel corrente de crg d instlção cpcidde do utotrnsformdor, qundo o neutro está ligdo à terr, depende pens d tensão d linh e d corrente de curto-circuito dmissível; com um sistems de crgs desequilibrds corrente de desequilíbrio que percorre o circuito do neutro divide-se igulmente pels três fses {um terço por cd fse}; ligção entre os enrolmentos pr corrente que pss no circuito do neutro é prticmente não indutiv {slvo pr rectânci de fugs, que é pequen}, como se torn evidente considerndo que forç mgnetomotriz em cd colun é diferenç d forç mgnetomotriz crid em cd semi-enrolmento {que são iguis}. Assim em cd colun forç mgnetomotriz crid por um semi enrolmento é nuld pel forç mgnetomotriz que se desenvolve no outro, sem produzir fluxo mgnético no núcleo ferromgnético, pens produzindo fluxo mgnético de fugs no espço (r) entre os dois semi enrolmentos. Dí correspondente rectânci de fugs. Este tipo de utotrnsformdor é utilizdo pr fzer ligção do neutro á terr.