Introdução à Programação Linear

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1 CAPÍTULO. Definição Um problem de PL consiste em determinr vlores não negtivos pr s vriáveis de decisão, de form que stisfçm s restrições imposts e que optimizem (minimizem ou mimizem) um função (rel) liner desss vriáveis.. Formlizção e modelção mtemátic de problems de PL Eistem forms diferentes de presentr o modelo, conforme se pretend mimizr ou minimizr, que são s seguintes : Mimizr (Minimizr) Z = c + c + L + cnn (.) Sujeito + + L+ nn + + L+ nn... {, =, } {, =, } b b (.) m + m + L+ mn n {, =, } bm,, L, n 0 onde, ij (i =,...,m; j =,...,n) coeficientes técnicos ou tecnológicos, (.3) b, b,..., b m termos independentes (constntes de restrição ou segundos membros), c, c,..., c n coeficientes d função objectivo (coeficientes de custo),

2 4 Formlizção e modelção mtemátic de problems de PL,,..., n vriáveis de decisão (principis ou controláveis), (.) função objectivo (económic ou critério), (.) restrições (restrições funcionis), em que pens se verific um ds relções, (.3) condições de não negtividde. No entnto, o modelo é frequentemente presentdo ns seguintes forms típics : Mimizr (Minimizr) Z = c + c + L + c (.) Sujeito + + L+ n nn n ( ) b L+ n n ( ) b (.) m + m + L+, mn n, L, n ( ) b 0 m (.3) Ests dus forms são tão geris qunto (.), (.) e (.3), pois, medinte operções convenientes, é sempre possível dr qulquer problem um dquels forms. Com efeito, qulquer problem pode ser reduzido um dests forms, d seguinte mneir : qulquer problem de minimizção pode converter-se num de mimizção, pois Minimizr Z = Mimizr ( Z) restrições do tipo ( ) pode ser convertid em restrições do tipo ( ), medinte multiplicção por (- ) de mbos os membros, i + i + L + inn bi i i L inn bi restrições do tipo (=) pode ser convertid em do tipo ( ) equivlentes, em conjunto, àquel, + + L + = b i i in n i i + i + L + inn i + i + L + inn b b i i i + i + L + inn bi i i L inn bi vriável livre (sem restrição de sinl) pode ser substituíd pel diferenç de vriáveis não negtivs ( dests vriáveis. j ' j = ' j com ' j ' j, 0 ), formulndo-se de novo o problem em termos Qulquer número pode ser obtido como diferenç de dois números não negtivos.

3 Formlizção e modelção de lguns problems de PL 5 3. Formlizção e modelção de lguns problems de PL Problem : Um empres de mobiliário de escritório pretende lnçr um modelo de secretáris e estntes. Pens-se que o mercdo pode bsorver tod produção de estntes, ms conselh-se que produção mensl de secretáris não ultrpsse s 60 uniddes. Ambos os produtos são processdos ns uniddes de estmpgem (UE) e de montgem e cbmento (UMA). A disponibilidde mensl em cd um dests uniddes é de 70 hors máquin (h m) n UE e 880 hors homem (h h) n UMA. s estntes. lucro. Cd secretári necessit de h m n UE e de 4 h h n UMA. Cd estnte necessit de 4 h m n UE e de 4 h h n UMA. As mrgens de lucro unitáris estimds são de 6 contos pr s secretáris e de 3 contos pr Qul o plno de produção mensl pr s secretáris e estntes que mimiz mrgem de Formlizção do problem : Vriáveis de decisão : quntidde de secretáris produzir por mês ( ) quntidde de estntes produzir por mês ( ) Função objectivo : mimizr mrgem brut totl por mês (Z = ) Restrições : disponibilidde mensl n unidde de estmpgem disponibilidde mensl n unidde de montgem e cbmento produção mensl de secretáris Secretáris Estntes Cpcidde disponível UE 4 70 UMA Mercdo 0 60 Lucro 6 3

4 6 Formlizção e modelção de lguns problems de PL Modelção mtemátic : Reltivmente o Deprtmento de Estmpgem, sbe-se que : cd secretári necessit de h m, pelo que o nº totl de h m necessáris à produção de secretáris é de ; cd estnte necessit de 4 h m, pelo que o nº totl de h m necessáris à produção de secretáris é de 4 ; disponibilidde mensl é de 70 h m. Logo, restrição reltiv este Deprtmento é : Totl de h m gsto ns secretáris + Totl de h m gsto ns estntes Disponibilidde em h m que se trduz lgebricmente n desiguldde liner : D mesm form se determinm s restntes restrições. Resumindo, o problem consiste em determinr e por form Mimizr Z = (lucro mensl em contos) sujeito (UE) (UMA) 60 (mercdo), 0 (não negtividde) Problem : Um cridor de porcos, pretende determinr quntidde de cd tipo de rção dr dirimente cd niml, pr conseguir um dd qulidde nutritiv custo mínimo. Os ddos reltivos o custo de cd tipo de rção, às quntiddes mínims diáris de ingredientes nutritivos básicos fornecer cd niml, bem como às quntiddes destes eistentes em cd tipo de rção (g/kg) constm do qudro em bio. Grnuldo (gr/kg) Frinh (gr/kg) Quntidde mínim requerid Hidrtos de crbono Vitmins Proteíns Custo (esc./kg) 0 5

5 Formlizção e modelção de lguns problems de PL 7 Formlizção do problem : Vriáveis de decisão : quntidde (Kg) de grnuldo eistente n rção diári ( ) quntidde (Kg) de frinh eistente n rção diári ( ) Função objectivo : minimizr o custo d rção diári (Z = ) Restrições : quntidde mínim diári de hidrtos de crbono quntidde mínim diári de vitmins quntidde mínim diári de proteíns Modelção mtemátic : Pretende-se determinr e de modo Problem 3 : minimizr Z = (custo diário) sujeito (hidrtos de crbono) quntidde fornecer dirimente quntidde mínim necessári por di (vitmins) (proteíns), 0 (não negtividde) As Crvns Mrco Polo L.d. usm dromedários ( boss) e cmelos ( bosss) pr trnsportr figos secos de Bgdde pr Mec. Um cmelo pode levr no máimo 000 lbs e um dromedário 500 lbs. Durnte vigem um cmelo consome 3 frdos de feno e 00 glões de águ. Um dromedário consome 4 frdos de feno e 80 glões de águ. As estções d Mrco Polo, situds em vários oásis o longo do cminho, pens têm disponíveis 600 glões de águ e 60 frdos de feno. Os cmelos e os dromedários são lugdos um pstor perto de Bgdde pzuzs por cmelo e 5 pzuzs por dromedário. Se s Crvns Mrco Polo L.d. tiverem um crg de 0000 lbs de figos pr trnsportr, quntos cmelos e dromedários devem ser usdos pr minimizr rend pgr o pstor? Formlizção do problem : Vriáveis de decisão : quntidde de cmelos usr ( ) quntidde de dromedários usr ( ) Função objectivo :

6 8 Representção e resolução gráfic de problems de PL minimizr rend pgr o pstor (Z = + 5 ) Restrições : cpcidde d crvn disponibilidde de feno disponibilidde de águ Cmelos Dromedários Cpcidde disponível Cpcidde Feno Águ Rend pgr 5 Modelção mtemátic : Pretende-se determinr e de modo Minimizr Z = + 5 (rend) sujeito (cpcidde) (feno) (águ), 0 (não negtividde) 4. Representção e resolução gráfic de problems de PL A representção gráfic de problems de PL só é possível, qundo os problems têm ou 3 vriáveis de decisão. No entnto, qui, pens serão nlisdos os problems com vriáveis, os quis são representdos trvés de um gráfico D. Pr representr grficmente um problem de PL, começ-se por construir um sistem de eios crtesinos e. O psso seguinte consiste em identificr os vlores de e que stisfçm tods s restrições construção do espço ds soluções. Por último, procurm-se os pontos situdos nest região que mimizem (minimizem) o vlor de Z. Est fse vi proceder-se por tenttivs (mis dinte será enuncid um regr prátic que permite resolver est questão de um form quse utomátic). O processo bsei-se n representção gráfic d rect Z = F (, ) = constnte pr um conjunto de vlores. A idei é trçr rects Z = constnte, té que contenh pelo menos um ponto d

7 Representção e resolução gráfic de problems de PL 9 região dmissível e estej o mis distnte possível d rect Z = 0 (mimizr) ou o mis perto possível (minimizr). Resolução gráfic do Problem : Solução óptim do problem : opt = (60, 60) Z opt = 40.

8 0 Representção e resolução gráfic de problems de PL Resolução gráfic do Problem : Solução óptim do problem : opt = (, 5) Z opt = 45

9 Form pdrão ou stndrd de um problem de PL Resolução gráfic do Problem 3 : Solução óptim do problem : opt = (4, ) Z opt = Form pdrão ou stndrd de um problem de PL Um PL diz-se estr n form pdrão, se tods s restrições proprimente dits (não incluindo s de não negtividde) são equções. Todo o PL pode escrever-se n su form pdrão, por introdução de vriáveis folg ( slck ) ns restrições que são inequções, d seguinte form : f() b f() + = b, 0 ( vriável slck ) f() b f() = b, 0 ( vriável slck ) A form pdrão present seguinte estrutur : Mimizr Z = c + c + L+ cnn (3.) Sujeito + + L + n n = b L + n n = b (3.) m + m + L + mn n = b m,, L, n 0 (3.3)

10 Terminologi ssocid às soluções do PL A redução à form pdrão do problem de PL Mimizr Z = c + c + L + cnn Sujeito + + L + n n b + + L + n n b... m + m + L + mn n bm,, L, n 0 conduz o seguinte problem equivlente : Mimizr Z = c + c + L + cnn + 0 n+ + 0 n+ + L + 0 n+ m Sujeito + + L + n n + n+ = b + + L + n n + n+ = b... m + m + L + mn n + n+ m = bm,, L, n, n+, n+, L, n+ m 0 em que,,, L, n são s vriáveis de decisão (principis) n+, n+, L, n+ m são s vriáveis folg ( slck ) Tmbém é frequente o modelo de PL ser presentdo em form mtricil : Mimizr Z = C X Sujeito A X = b X 0 em que, C = [ c c... c n ] é mtriz dos custos A = [ ij ] (m n) é mtriz ds restrições X = [... n ] T é mtriz ds vriáveis b = [ b b... b m ] T é mtriz dos termos independentes 0 = [ ] T ( m) é mtriz nul 6. Terminologi ssocid às soluções do PL Solução qulquer conjunto de vlores ssumidos pels vriáveis de decisão stisfzendo s restrições funcionis (3.). Solução dmissível solução que stisfz s condições de não negtividde (3.3). Região dmissível é o conjunto de tods s soluções dmissíveis.

11 Tipos de soluções 3 Solução óptim é solução dmissível que tem o melhor vlor d função objectivo. Solução não limitd não eiste um vlor máimo (mínimo) pr função objectivo. 7. Tipos de soluções óptim únic : problem tem pens um solução (Problems, e 3). óptims lterntivs : o vlor óptimo d função objectivo pode ser obtido trvés de infinits combinções de recursos. não limitd : não eiste um vlor máimo finito pr função objectivo (Z ).

12 4 Tipos de soluções óptim (com região dmissível não limitd) : fcto do conjunto ds soluções dmissíveis ser não limitdo, não implic necessrimente que solução sej não limitd (Z ). vlor óptimo d FO finito (vriáveis podem ssumir vlores rbitrrimente grndes) : conjunto ds soluções é não limitdo e o vlor óptimo de Z é finito, com s vriáveis de decisão poderem ssumir vlores rbitrrimente grndes n solução óptim.

13 Análise conve 5 ineistente (problem impossível) : est situção, normlmente deriv de erros de formlizção. Isto pode contece por não eistirem vlores ds vriáveis stisfzerem s restrições do problem ou s condições de não negtividde, ou mbs simultnemente. 8. Análise conve Chm-se combinção liner conve de um nº finito de pontos,..., n o ponto λ + λ λ n n com os esclres λ i 0 e λ + λ λ n =. O segmento de rect que une pontos do espço, é o conjunto de tods s combinções conves desses pontos. Conjunto conveo X, é um conjunto tl que o segmento de rect que une dois quisquer dos seus pontos, está contido no conjunto. Por outrs plvrs, X é um conjunto conveo, se quisquer que sejm e, X e 0 λ, se tem λ + ( - λ) X Um conjunto conveo é fechdo se compreende su fronteir. Conjunto conveo Conjunto não conveo Resultdo : A intersecção finit de conjuntos conveos é um conjunto conveo.

14 6 Proprieddes fundmentis Ponto etremo de um conjunto conveo X, é um ponto que não pertence o segmento de rect unir dois outros pontos quisquer de X. Por outrs plvrs, um ponto etremo de X não pode ser obtido por combinção liner conve positiv de pontos de X. Algebricmente : = λ + (-λ), com λ ]0, [ e, X = = Um conjunto conveo d form X = { : A = b, 0 } (X é o conjunto de soluções dmissíveis do PL) chm-se um politopo conveo. Um politopo conveo limitdo, chm-se poliedro conveo. Em R, um poliedro conveo chm-se polígono conveo. Chm-se vértice (ou ponto etremo) dum politopo ou poliedro conveo X, um qulquer ponto X que não poss ser epresso como combinção liner de outros pontos y X (y ). 9. Proprieddes fundmentis O conjunto conveo (politopo ou poliedro) X, tem um nº finito de vértices v(x) ( C m n ). Todo o ponto dum poliedro conveo X R n é combinção conve dos vértices de X. O conjunto ds soluções dmissíveis, X, de um problem de PL é um conjunto conveo fechdo (compreende su fronteir). Optimlidde num vértice : O óptimo dum função liner num poliedro conveo X R n é obtido em, pelo menos, um vértice de X; Se ele for obtido em mis que um vértice, então será obtido em todo o ponto que é um combinção liner conve desses vértices. Se X é um politopo conveo, então eiste pelo menos um ponto etremo de X que optimiz função objectivo.