CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Débora Mara Coelho Santiago Rodolfo Cabral da Cunha

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Débor Mr Coelho Sntigo Rodolfo Cbrl d Cunh Ferrment Computcionl pr Cálculos de Impedâncis Crcterístics, Funções de Propgção e Impedâncis de Seqüêncis de Linhs de Trnsmissão Aéres Trifásics, Considerndo os Efeitos dos Cbos Pár-rios e do Solo Belo Horizonte, gosto de 8

2 INTRODUÇÃO O principl meio de trnsporte de energi elétric em píses de dimensões continentis, como o Brsil, são s linhs de trnsmissão (LT) éres trifásics. Devido à extensão dests linhs, s mesms são bstnte vulneráveis interções com fontes de distúrbios eletromgnéticos indesejáveis, tis como descrgs tmosférics e curto-circuito. N ocorrênci de tis distúrbios, os isoldores ds linhs de trnsmissão podem ser dnificdos, ocsionndo ssim interrupção d trnsmissão d energi elétric, crretndo prds de processos produtivos de consumidores industriis e residenciis. Ddos recentes indicm que s descrgs tmosférics são responsáveis pel miori dos desligmentos não progrmdos n trnsmissão de energi elétric, conforme descrito em Schroeder, M. A. O., Sores, A., iscro, S., Cherchigli, L. C. L., Souz,. J. (4). Portnto, é de fundmentl importânci o desenvolvimento de ferrments computcionis que contenhm modelos eletromgnéticos fisicmente consistentes que trduzm respost ds linhs de trnsmissão dinte de surtos eletromgnéticos indesejdos. Pr tl, o modelo deve brnger o espectro de freqüênci crcterístico de tis surtos que vri de 6 Hz (solicitções típics de curto-circuito) té, proximdmente, MHz (solicitções típics de descrgs tmosférics). Pr nálise ds sobretensões resultntes d incidênci de descrgs tmosférics em linhs de trnsmissão é necessári obtenção d impedânci crcterístic e ds funções de propgção. O método dos componentes simétricos é comumente utilizdo ns nálises dos níveis de curto-circuito ds linhs de trnsmissão. Os cálculos dos níveis de curto-circuito são relizdos utilizndo s impedâncis de seqüêncis positiv, negtiv e zero. Tnto s impedâncis crcterístics e s funções de propgção, qunto s impedâncis de seqüêncis, são funções dos prâmetros longitudinis e trnsversis d linh de trnsmissão. Os prâmetros longitudinis são representdos pelos efeitos resistivo (R) e indutivo (L), e os trnsversis pelos efeitos cpcitivo (C) e condutivo (G). Pr obtenção de um modelo eletromgnético que brnge mpl fix de freqüêncis dos distúrbios eletromgnéticos que podem intergir com s linhs de trnsmissão, é necessári considerção d vrição dos prâmetros com freqüênci devido o efeito peliculr e presenç do solo subjcente os condutores. O efeito peliculr decorre do fto d energi eletromgnétic ser trnsmitid pens em um cmd superficil do mteril, chmd profundidde de penetrção peliculr. A profundidde de penetrção peliculr diminui à medid que freqüênci ument. O efeito do solo no cálculo dos prâmetros d linh de trnsmissão ocorre porque su presenç lter s distribuições do cmpo eletromgnético gerdo pels correntes nos condutores d linh de trnsmissão. Assim, n ocorrênci de um trnsitório eletromgnético existirão correntes de retorno pelo solo. Dest form, há necessidde de incluir o efeito do solo nos prâmetros longitudinis d linh, que depende d freqüênci e ds crcterístics eletromgnétics do solo, Durte, N. F., Ros, C. K., Schroeder, M. A. O. (6), Kurokw, S., Filho, J.P., Tvres, M.C., Portel, C.M., Prdo, A.J. (5). Os trblhos mis conhecidos e ceitos n litertur pr inclusão do efeito solo são os desenvolvidos por Crson e Pollczek. O método de Crson possui séries infinits de difícil convergênci e é válido somente pr linhs de trnsmissão éres, Crson, J. R. (96). O método de

3 Pollczek é válido tmbém pr linhs subterrânes, Kurokw, S., Filho, J.P., Tvres, M.C., Portel, C.M., Prdo, A.J. (5). Em 98, A. Deri, G. Tevn, A. Semlyen e A. Cstnheir desenvolverm fórmuls nlítics cujos resultdos são stisftorimente próximos dos resultdos oriundos ds séries infinits de J. R. Crson, pr fix de freqüêncis de interesse (6 Hz MHz), Deri, A., Tevn, G., Semlyen, A., Cstnheir, A. (98). Em decorrênci deste fto, será utilizdo neste trblho o Método de A. Deri. Nos trblhos desenvolvidos por J. R. Crson e A. Deri são considerdos pens corrente de condução no solo. Tl proximção é fisicmente consistente pr bixs freqüêncis (té dezens de khz). Todvi, pr o espectro superior de freqüênci (e dependendo d permissividde e condutividde elétrics do solo) corrente de deslocmento pode ssumir vlores significtivos (d ordem dos vlores d corrente de condução) e, dest form, não pode ser desprezd. A inclusão dest prcel de corrente no solo nos cálculos dos prâmetros longitudinis corresponde à principl contribuição deste trblho. Neste trblho são presentdos resultdos dos cálculos d impedânci crcterístic, funções de propgção e impedâncis de seqüêncis de um configurção rel de um linh de trnsmissão ére trifásic do sistem de trnsmissão d CEMIG. Foi desenvolvido um progrm computcionl, com o uxílio do MATLAB 7., pr proceder às nálises de sensibilidde dos efeitos do solo, dos cbos pár-rios e d inclusão d corrente de deslocmento nos cálculos ds mtrizes de impedâncis crcterístics, ds funções de propgção e ds impedâncis de seqüêncis. le frisr que um prcel significtiv d litertur consider o solo como um condutor elétrico perfeito (condutividde infinit), lém de desprezr, n composição d corrente totl no solo, prcel d corrente de deslocmento; este trblho mostr que tis proximções são fisicmente inconsistentes. Como será demonstrdo o longo do trblho, ferrment computcionl elbord é bstnte versátil e precis pr os cálculos ds mtrizes de impedâncis crcterístics, funções de propgção de tensão e corrente e impedâncis de seqüêncis de linhs de trnsmissão éres, que são de fundmentl importânci no estudo de trnsitórios eletromgnéticos estbelecidos ns mesms. ALIDADE DOS RESULTADOS Pr o desenvolvimento d modelgem eletromgnétic contid n ferrment computcionl form ssumids s seguintes premisss: A superfície do solo é considerd perfeitmente pln. N fix de freqüêncis de interesse, tl proximção é fisicmente consistente, um vez que os comprimentos de ond são miores que s eventuis rugosiddes existentes; O solo é considerdo homogêneo, liner, isotrópico e não dispersivo. Assim, seus prâmetros eletromgnéticos (permissividde elétric ε, condutividde elétric σ e permebilidde mgnétic µ) não vrim com posição, não dependem d intensidde do cmpo eletromgnético, não dependem d direção/sentido do cmpo eletromgnético e nem d freqüênci, respectivmente. Ademis, su permebilidde mgnétic é igul à do vácuo (µ = µ = 4 π x -7 H/m);

4 3 Os condutores d linh de trnsmissão (condutores fse e párrios) são considerdos perfeitmente cilíndricos e os efeitos mgnéticos dos cbos pár-rios (lig de ço) são desprezdos. As ctenáris dos condutores fse e pár-rios são considerds n ltur médi dos mesmos, ssumid como H M = H T (/3) f, onde H M é ltur médi de determindo condutor, H T é ltur do topo d torre e f é flech do condutor em questão. Assim, estes condutores são considerdos prlelos à superfície do solo. A tensão trnsversl dos cbos pár-rios é considerd nul. Tl suposição é consistente nos csos em que: ) os cbos pár-rios forem conectdos o solo em tods s torres; b) s torres possuírem bom sistem de terrmento e c) distânci entre sistems de terrmento consecutivos for menor que ¼ do comprimento de ond pr freqüênci dos sinis de tensão e corrente sob nálise. O modo de propgção dominnte do cmpo eletromgnético n linh de trnsmissão é o Trnsverso Eletromgnético (TEM). SISTEMA SOB ESTUDO Pr presentção dos resultdos, neste trblho o sistem sob estudo é um linh de trnsmissão ére trifásic de 5 k do sistem de trnsmissão d CEMIG. A LT possui circuito simples, dois cbos pár-rios, seus condutores fse são subdividos em três sub-condutores, conforme mostrdo n Figur, e está situd sobre um solo de resistividde igul Ω.m (ρ S ). A Figur ilustr configurção d estrutur predominnte n linh em questão. Contudo, é oportuno frisr que qulquer configurção de linh de trnsmissão, incluindo circuitos duplos, pode ser simuld com ferrment computcionl desenvolvid. FIGURA - Configurção geométric d linh de trnsmissão trifásic sob estudo.

5 4 MODELAGEM ELETROMAGNÉTICA DA LINHA DE TRANSMISSÃO As LTs possuem impedâncis longitudinis (resistênci e indutânci) e trnsversis (cpcitânci e condutânci), própris e mútus entre os condutores, conforme presentdo n Figur. A condutânci de LTs éres pode ser desprezd, pois os condutores estão imersos no r, que é considerdo um bom dielétrico. N Figur é present modelgem de um LT trifásic sem os cbos pár-rios, porém neste estudo os cbos pár-rios não form desprezdos. Figur : Impedâncis longitudinis e trnsversis de um linh de trnsmissão trifásic. Nest seção são descritos os principis spectos físicos considerdos pr constituição do modelo eletromgnético utilizdo pr representr linh de trnsmissão ére trifásic (sistem sob estudo). le frisr que tl modelo tem su plicbilidde limitd pels premisss presentds nteriormente. Impedânci Longitudinl (Z L ) Os efeitos longitudinis do cmpo eletromgnético que propg em um linh de trnsmissão ére possuem nturez resistiv (R) e indutiv (L). No domínio d freqüênci, estes efeitos são representdos pel impedânci longitudinl d linh (Z L = R + j ω L, onde ω corresponde à freqüênci ngulr). O efeito resistivo é composto por dus prcels, um ssocid o cmpo eletromgnético interno o condutor (R INT ) e outr à contribuição do cmpo eletromgnético no solo (retorno de corrente - R S ), Durte, N. F., Ros, C. K., Schroeder, M. A. O. (6). Portnto, R = R INT + R S. O efeito indutivo é composto por três prcels, primeir ssocid o cmpo eletromgnético interno o condutor (L INT ), segund o cmpo eletromgnético externo o condutor (L EXT ) no r e terceir à contribuição do solo no retorno de corrente (L S ), Durte, N. F., Ros, C. K., Schroeder, M. A. O. (6). Portnto, tem-se que L = L INT + L EXT + L S.

6 5 Prcels Devido o Cmpo Eletromgnético Interno A impedânci intern dos condutores (resistênci e indutânci interns) é um prcel constituinte d impedânci dos condutores. Cso sej desprezd vrição dos prâmetros com freqüênci, o cálculo dos mesmos torn-se extremmente simples. Porém, nem sempre ess proximção pode ser relizd, principlmente neste estudo onde são vlidos fenômenos de lts freqüêncis. Devido o efeito peliculr, em corrente lternd densidde de corrente present um distribuição não uniforme trvés d seção do condutor. O efeito peliculr ocorre porque em um mteril condutor energi eletromgnétic é trnsmitid pens em um cmd superficil. Devido ess distribuição não uniforme d corrente tnto resistênci qunto à indutânci intern são lterds com freqüênci. A resistênci e indutânci interns dependentes d freqüênci são clculds por meio de Funções de Bessel. A impedânci intern considerndo o efeito peliculr é dd pel equção (). i E I( ρ) K( ρ) + K( ρ) I( ρ) Z INT = z = = i I ( ρ ) K ( ρ ) I ( ρ ) K ( ρ ) = R INT + j ω L INT () onde: ρ = r μσ jω e I, K, I, K são séries infinits, Schelkunoff, S. A. (936). Prcels devido o cmpo eletromgnético no solo e no r Devido o fto d presenç do solo lterr s distribuições dos cmpos eletromgnéticos gerdos pels correntes nos condutores d linh de trnsmissão, tl efeito deve ser considerdo no cálculo dos prâmetros d mesm. Os métodos mis utilizdos pr o cômputo do efeito do solo são os métodos de Crson e de Pollczek, sendo que o último método pode ser utilizdo pr linhs éres e subterrânes, enqunto o método de Crson é usdo pens em linhs éres, Crson, J. R. (96), Kurokw, S., Filho, J.P., Tvres, M.C., Portel, C.M., Prdo, A.J. (5). Porém, o método de Crson possui séries infinits de difícil convergênci. As impedâncis própris e mútus deduzids por Crson são expresss ns equções e 3, respectivmente. ( ) h' Z = Rint + iω Lint + i ω.log( ρ''/ ) + 4ω μ + i μ e μ d ( h' + hb') ( ) μ Z = i ω.log( ρ''/ ρ') + 4ω μ + i μ e cos x' μdμ b onde: ( ) ρ = h + h + x ; ( ) h h x '' b h ' = h e x ' = x. b b ρ = + ; α = 4πσω ; h ' = h ; ' b μ () (3) Em decorrênci ds dificulddes numérics n obtenção de soluções ds integris de Crson, foi utilizdo neste estudo o Método ds Imgens Complexs,

7 6 que corresponde um simplificção do método de Crson, desenvolvid por Deri, A., Tevn, G., Semlyen, A., Cstnheir, A. (98). Esse método consiste n concepção de um plno complexo de retorno de corrente pelo solo. Este plno possui condutividde infinit e está situdo bixo do solo um distânci igul à profundidde de penetrção complex dd pel equção 4. p = = jωμ σ ρ jωμ (4) onde: σ = condutividde do solo, ρ = resistividde do solo (ρ = /σ), µ = permebilidde mgnétic do vácuo e ω = freqüênci ngulr. Aplicndo o método ds imgens complexs, o sistem físico equivlente é formdo pelos condutores situdos um distânci h+p cim do plno e sus imgens situds à mesm distânci bixo do plno complexo, conforme ilustrdo n Figur 3. FIGURA 3 - Configurção do sistem físico rel equivlente - método ds imgens complexs. A equção (4) lev em cont pens corrente de condução. Porém, em lts freqüêncis corrente de deslocmento ssume vlores consideráveis e ess proximção torn-se fisicmente inconsistente. Portnto, crescentou-se um termo n equção (4) pr inclusão d corrente de deslocmento no cálculo d profundidde complex. A nov equção obtid pr profundidde de penetrção complex é dd pel equção (5). p = jωμ ( σ + jωε) (5) onde: ε = permissividde elétric do solo. A prtir do conceito do plno complexo obtêm-se fórmuls simples pr o cálculo ds indutâncis própri e mútu, dds pels equções 6 e 7, respectivmente. A Figur 4 present configurção utilizd pr obtenção de tis fórmuls.

8 7 FIGURA 4 - Configurção pr formulção ds equções ds Indutâncis própri e mútu. L ii ( hi + p) μ = ln H π Dis m (6) onde: = rio médio geométrico do feixe de condutores. D is L ij μ = ln π ( Δ xij ) + ( hi + hj + p) ( Δ xij ) + ( hj hi ) H m (7) As grndezs geométrics presentes ns equções (6) e (7) estão representds ns Figurs 3 e 4. É importnte slientr que s prtes reis ds equções (6) e (7) representm s prcels d indutânci devido o cmpo eletromgnético no r e no solo (própri e mútu), enqunto s prtes imgináris referem-se às prcels d resistênci decorrentes do cmpo eletromgnético no solo (própri e mútu), Durte, N. F., Ros, C. K., Schroeder, M. A. O. (6). Impedânci Trnsversl (Z T ) A impedânci trnsversl de um LT é formd pel cpcitânci e pel condutânci, porém pr LTs éres condutânci pode ser desprezd, pois os condutores estão imersos no r que é considerdo um bom dielétrico. Assim, Y T = /Z T = j ω C, onde Y T é dmitânci trnsversl. O efeito cpcitivo entre condutores e entre condutores e o solo, se deve s crgs elétrics nos condutores e no solo e existênci de um dielétrico (r) entre os mesmos. Pr obtenção ds fórmuls pr cálculo ds cpcitâncis de linhs de trnsmissão consider-se que os condutores são muito longos, desprezndo ssim o efeito do cmpo elétrico ns extremiddes, e que distribuição de crgs nos condutores não é fetd pel presenç de outros condutores ns proximiddes. Pr o cálculo d mtriz de cpcitâncis d LT o solo pode ser considerdo um condutor elétrico perfeito, por isso utiliz-se o método ds imgens com

9 8 superfície do solo como o plno de reflexão. O sistem físico equivlente pr o cálculo d mtriz de cpcitâncis é o mesmo presentdo n Figur 3, porém pr o solo com resistividde nul profundidde de penetrção complex tmbém é nul. A diferenç de potencil entre um condutor e su imgem, é ddo pel equção 8. e e Hkm D kk ' = qmln qmln D H πε m= km m= km km (8) Simplificndo equção 8, tem-se H e km kk ' = qmln πε m = D km (9) D onde, kk = rk, ou sej, o rio do condutor. Devido à simetri, diferenç de potencil entre um condutor e o solo ( kn ) é metde d diferenç de potencil entre um condutor e su imgem, ou sej, H = = () e km kn kk ' qmln πε m = D km D equção, define-se que P km H = ln πε D km km () Pode-se escrever equção que represent diferenç de potencil entre os condutores e o solo trvés d seguinte equção mtricil n P Pb Pc Pd Pe q bn Pb Pbb Pbc Pbd P be q b cn = Pc Pcb Pcc Pcd P ce q c P dn d Pdb Pdc Pdd Pde qd P en e Peb Pec Ped P ee q e () Pré-multiplicndo os dois ldos d iguldde pel mtriz invers de P, obtêmse s seguintes relções q = P (3) Outr relção entre crg e diferenç de potencil é dd pel seguinte equção q = C (4)

10 9 Comprndo s equções 3 e 4, conclui-se que C = P (5) Portnto, mtriz invers de P é mtriz ds cpcitâncis d linh de trnsmissão. SISTEMAS MATRICIAIS QUE DESCREEM O COMPORTAMENTO DA LINHA DE TRANSMISSÃO Após relizção dos cálculos ds impedâncis longitudinl e trnsversl d linh de trnsmissão é possível obter mtriz de impedânci longitudinl e mtriz de impedânci trnsversl d mesm pr cd vlor de freqüênci. Neste item é presentdo um método de redução d ordem d mtriz de impedânci longitudinl. Esse método fcilit s resoluções ds equções mtriciis que descrevem linh de trnsmissão, porém result em lterções nos elementos d mtriz que serão vlidos no próximo cpítulo. Um formulção semelhnte tmbém pode ser utilizd pr redução d ordem d mtriz de impedânci trnsversl. Atrvés ds mtrizes de impedâncis longitudinis e trnsversis tmbém é possível obter mtriz de impedâncis crcterístics e mtriz de impedâncis de seqüenciis d linh de trnsmissão. Representção implícit dos cbos pár-rios de um linh de trnsmissão trifásic A presenç dos cbos pár-rios interfere diretmente nos prâmetros ds linhs de trnsmissão, um vez que circulm correntes induzids nos mesmos. Pr representr os cbos pár-rios de form explícit, o sistem é descrito por um mtriz de impedâncis de dimensão (m+n) x (m+n), onde m é o número de fses e n o número de cbos pár-rios. No cso do sistem sob estudo (Figur ), m = 3 e n =. Pr simplificr s nálises, freqüentemente desej-se diminuir dimensão dess mtriz. Pr tl utiliz-se o método de redução dos cbos pár-rios, Kurokw, S., Filho, J.P., Tvres, M.C., Portel, C.M., Prdo, A.J. (5). Esse método consiste em obter um mtriz de dimensão m x m, onde os cbos pár-rios são representdos de form implícit. O sistem composto por um linh de trnsmissão trifásic contendo dois cbos pár-rios é representdo pel Equção 6 (vide Figur ), Glover, J. D., Srm, M. S. (). Δs Z Zb Zc Z I d Ze bs Z I b Zbb Zbc Zbd Z Δ be Δ =Z Z Z Z Z I Δ Z Z Z Z Z I cs c cb cc cd ce cs ds d db dc dd de ds Δ Z es e Zeb Zec Zed Z ee Ies s bs (6)

11 As mtrizes que compõem Equção (6) podem ser grupds em mtrizes menores como mostrdo n Equção (7). Δ Z Z I = F A B F PR ZC Z Δ D IPR (7) Δs Δ F = Δ bs Δds Δ PR = Δ cs onde, i) Δ es, são s mtrizes ds queds de tensão ns fses (, b e c) e nos cbos pár-rios (d e e), respectivmente; ii) fses; Z Zb Zc Z A = Zb Zbb Z bc Z c Zcb Z cc é mtriz ds impedâncis própris e mútus ds Zd Ze ZB = Zbd Z be Zd Zdb Zdc ZC = Zcd Z ce iii) Ze Zeb Z ec, são s mtrizes ds impedâncis mútus entre fses e cbos pár-rios; Z iv) pár-rios; D Z Z dd de = Zed Z ee é mtriz ds impedâncis própris e mútus dos cbos I I F = I b Id IPR = I v) c I e, são s mtrizes ds correntes ns fses e nos cbos pár-rios, respectivmente. Se os cbos pár-rios estiverem conectdos em tods s torres, s estruturs possuírem um bom sistem de terrmento e distânci entre esses sistems de terrmento forem menores que um qurto do comprimento de ond d freqüênci sob estudo, pode-se considerr Δ PR igul zero; ssim sendo, tem-se: Δ F = ZAIF + ZBIPR Δ PR = ZCIF + ZDIPR I = Z Z I PR D C F (8) (9) ()

12 Substituindo Equção () n Equção (8), tem-se: onde: ( ) Δ = Z Z Z Z I F A B D C Δ = Z I F F F Zeq Zbeq Z ceq ZF = Zbeq Zbbeq Zbceq Zceq Zcbeq Z cceq F () () (3) A mtriz Z F é mtriz ds impedâncis longitudinis equivlentes de um linh de trnsmissão ére trifásic, onde o efeito dos cbos pár-rios nos prâmetros d linh está sendo representdo de form implícit. Um procedimento semelhnte pode ser utilizdo pr representção implícit dos cbos pár-rios n mtriz de cpcitâncis d LT. le slientr que tnto n form explícit d representção dos cbos párrios Equção (6) qunto n form implícit Equção (3) cd elemento d correspondente mtriz de impedânci é clculdo com bse no que foi presentdo n modelgem eletromgnétic de linhs de trnsmissão. Impedânci Crcterístic e Funções de Propgção de Tensão e Corrente A impedânci crcterístic de um linh de trnsmissão é vriável que relcion tensão e corrente n mesm. A função de propgção de tensão é vriável que relcion tensão à su vrição longitudinl. E função de propgção de corrente é vriável que relcion corrente à su vrição longitudinl. Pr definir tis vriáveis, é necessário obter-se s equções diferenciis que descrevem tensão e corrente n LT Funções de propgção de tensão e corrente A vrição longitudinl d tensão em um LT trifásic contendo dois cbos pár-rios é dd pel Equção 4. v r rb rc rd re i l lb lc ld le i v b rb rbb rbc rbd r be i b lb lbb lbc lbd l be i b v c = rc rcb rcc rcd r ce i c + lc lcb lcc lcd l ce i c x t vd rd rdb rdc rdd rde id ld ldb ldc ldd lde id v e re reb rec red r ee i e le leb lec led l ee i e (4) A vrição longitudinl d corrente n fse é dd pel Equção 5. i = C v + C v v + C + + ( ) ( v v ) C ( v v ) C ( v v ) t b b c c d d e e x t (5)

13 Simplificndo Equção 5, obtêm-se i = [ Cv Cbvb Ccvc Cdvd Cev e ] x t (6) A Equção 7 present expressão pr C e s cpcitâncis própris dos demis condutores, similrmente. C = C + C + C + C + C t b c d d C = C + C + C + C + C bb tb b bc bd be C = C + C + C + C + C cc tc c cb cd ce C = C + C + C + C + C dd td d db dc de C = C + C + C + C + C ee te e eb ec ed (7) A vrição longitudinl d corrente ns fses e nos cbos pár-rios é representd pel Equção 8. i C Cb Cc Cd Ce v i b Cb Cbb Cbc Cbd C be vb i c = Cc Ccb Ccc Ccd C ce v c x t id Cd Cdb Cdc Cdd Cde vd i e Ce Ceb Cec Ced C ee v e (8) Pr simplificr s equções cim se trnsform s equções do domínio do tempo pr o domínio d freqüênci (plicndo trnsformd de Lplce). Com isso obtêm-se s seguintes equções: Y () s = sc f Z () s = R + sl f f f f (9) (3) ( x, s) = Z f ( s) I( x, s) x (3) I ( xs, ) = Yf ( s ) ( xs, ) x (3) 34. Derivndo s Equções 3 e 3 em relção à x, obtêm-se s Equções 33 e ( x, s) = Z ( ) (, ) f s I x s x x (33)

14 3 I( xs, ) = Y( ) (, ) f s xs x x (34) Atrvés de mnipulções lgébrics ds equções 33 e 34, obtêm-se s Equções 35 e 36. ( x, s) = Z ( ) ( ) (, ) f s Yf s x s x (35) I( xs, ) = Y( ) ( ) (, ) f sz f sixs x (36) As Equções 35 e 36 são s equções diferenciis prciis de segund ordem que descrevem o comportmento d tensão e d corrente em relção à posição n linh de trnsmissão e à freqüênci. As soluções dests equções diferenciis prciis são dds pels Equções 37 e 38. [ γ ( )] [ γ ( )] s x + s x v v ( x, s) = e (, s) + e (, s) [ γ ( )] [ γ ( )] s x + s x i i I ( xs, ) = e I (, s) + e I (, s) (37) (38) Derivndo dus vezes s Equções 37 e 38 obtêm-se s Equções 39 e 4. ( x, s) = [ γ v ] ( x, s) x I( xs, ) = [ γ i ] I( xs, ) x (39) (4) Comprndo s Equções 39 e 4 com s Equções 35 e 36, conclui-se que [ ] γ = [ ] Z Y v f f γ i = YZ f f (4) (4) A Equção 4 define função de propgção de tensão, e Equção 4 define função de propgção de corrente. Ambs s funções dependem ds mtrizes de impedâncis longitudinis e trnsversis d linh de trnsmissão. Em um linh monofásic, onde os prâmetros não são representdos por mtrizes, s funções de propgção de tensão e corrente são iguis. Porém, pr linhs trifásics, onde os prâmetros são representdos por mtrizes, ests funções podem possuir vlores diferentes, pois mtrizes não possuem propriedde d comuttividde.

15 4 Impedânci Crcterístic A impedânci crcterístic de um linh de trnsmissão trifásic é mtriz que relcion tensão e corrente o longo d mesm. Pr obtenção de tl mtriz é necessári encontrr um equção que relcione tensão e corrente n linh de trnsmissão. Pr tl, substitui-se Equção 38 n Equção 3, obtendose ssim Equção 43. [ γ ] I( xs, ) = Y( xs, ) i f (43) Pr obter-se um equção em que tensão estej isold, é necessário prémulitplicr os dois ldos d iguldde n Equção 43 pel mtriz Y f -. Com isso, obtêm-se Equção 44. [ γ ] ( x, s) = Y I( x, s) f i (44) Por meio ds Equções 44 e 4 conclui-se que Z = Y ( Y Z ) / f f f (45) Portnto, Equção 45 present mtriz de impedânci crcterístics de linhs de trnsmissão, que depende dos prâmetros longitudinis e trnsversis d mesm. Por meio dess mtriz de impedâncis crcterístics é possível obter s sobretensões o longo d linh de trnsmissão qundo d incidênci de um descrg tmosféric, por exemplo. Impedâncis de Sequêncis O método dos componentes simétricos desenvolvido por C. L. Fortescue é extensmente utilizdo em nálises de circuitos desequilibrdos, tis como, cálculos de curtos-circuitos simétricos e ssimétricos em sistems de energi elétric. Esse método consiste em decompor um sistem com k fses em k conjuntos de fsores equilibrdos que possuem o mesmo módulo de defsgem ngulr igul entre si. Pr obtenção dos fsores equilibrdos ds seqüêncis, define-se o ângulo crcterístico do sistem que é ddo pel Equção π θc = k (46) Por meio do ângulo crcterístico, define-se o operdor, conforme Equção = θ c (47) Cd fsor desequilibrdo do sistem é definido como som dos k fsores equilibrdo ds k seqüêncis, conforme mostrdo n Equção 48.

16 5 ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = k k k k k k c c c c k b b b b k k c b L M M M M L L L M (48) O primeiro conjunto de fsores equilibrdos é o de seqüênci zero, onde os fsores possuem o mesmo módulo e defsgem de entre si. O último conjunto é o de seqüênci negtiv, onde os fsores possuem o mesmo módulo, defsgem de θ c e sentido nti-horário de rotção. Os demis conjuntos são de seqüêncis positivs, onde os fsores possuem o mesmo módulo, defsgem de ângulos múltiplos de θ c e sentido horário de rotção. Por meio d utilizção do operdor, Equção 48 pode ser reescrit com todos os fsores de seqüêncis em função dos fsores d primeir fse, conforme mostrdo n Equção 49. = ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( k k k k k k k e d c b M K M O M M M L L L (49) Escrevendo Equção 49 de mneir condensd, obtém-se F S Q = ~ (5) Pré-multiplicndo os dois ldos d Equção 5 por Q -, obtém-se Equção 5. S F Q = ~ (5) Anlogmente, pr s correntes, tem-se S I F Q I = ~ (5) A Equção 53 e 54 relcionm s tensões e correntes ns fses do sistem. F F F I Z = ~ (53) F F F Z I = ~ (54) Substituindo s Equções 5 e 5 n Equção 54, obtém-se

17 6 ~ Q S ~ = Z F ~ Q I S (55) Pré-multiplicndo os dois ldos d Equção 55 por Q -, obtém-se mtriz de impedâncis de seqüêncis d linh de trnsmissão, conforme mostrdo n Equção 56. ~ ~ ~ = Q Z F Q (56) ~ ZS Ess mtriz de impedâncis de seqüêncis é bstnte útil em diverss nálises de sistems de energi. Conforme observdo n equção cim ess mtriz de impedânci é função d mtriz de impedâncis de fses; com isso s vrições de tis prâmetros devido à representção implícit dos cbos pár-rios, o efeito do solo e à inclusão d corrente de deslocmento influencim diretmente os elementos dess mtriz. Qundo linh de trnsmissão não é trnspost, mtriz de impedâncis de seqüêncis possui elementos mútuos, e com isso s nálises necessitm d resolução de sistems de equções copldos. Ao considerr-se linh completmente trnspost, mtriz de impedâncis de seqüêncis resultnte possui elementos nulos for d digonl, resultndo ssim em sistems descopldos de fácil resolução. RESULTADOS COMPUTACIONAIS Neste trblho desenvolveu-se um progrm computcionl que execut o cálculo ds mtrizes de impedâncis longitudinl e trnsversl de linhs de trnsmissão, e trvés desss mtrizes o progrm clcul s mtrizes de impedâncis crcterístics, funções de propgção de tensão e corrente, e impedâncis de seqüêncis. Nesses cálculos consider-se vrição dos prâmetros com freqüênci, influênci d resistividde do solo e d corrente de deslocmento. O progrm computcionl reliz os cálculos tnto com representção explícit qunto com representção implícit dos cbos pár-rios. A seguir são presentdos resultdos obtidos pr nálise d considerção d representção implícit dos cbos pár-rios, do efeito do solo e d considerção d corrente de deslocmento nos cálculos ds mtrizes. Impedânci Crcterístic e Funções de Propgção Análise d Representção Implícit dos Cbos Pár-rios Pr nálise d representção implícit dos cbos pár-rios, clculou-se s mtrizes de impedâncis crcterístics e funções de propgção de tensão e corrente, pr um mplo espectro de freqüêncis que vri de 6 (solicitções de curto-circuito) MHz (solicitções de descrg tmosféric), considerndo-se inicilmente representção explícit dos cbos pár-rios e posteriormente representção implícit. A seguir, em decorrênci d enorme quntidde de

18 7 resultdos, são presentdos resultdos pens d comprção do primeiro elemento desss mtrizes (elemento ). N Figur 5 é presentdo o gráfico com comprção do módulo d impedânci crcterístic própri d fse A considerndo representção explícit e implícit dos cbos pár-rios. Observ-se nesse gráfico que representção implícit dos cbos pár-rios result em menores vlores do módulo d impedânci crcterístic pr todo o espectro de freqüêncis clculdo. 55 Representção explícit Representção implícit 5 45 R(ohms) FIGURA 5 Módulo d impedânci crcterístic com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. O gráfico d fse d impedânci crcterístic com s dus representções dos cbos pár-rios é mostrdo n Figur 6. Por meio d nálise do gráfico, verific-se que com representção implícit o ângulo d impedânci crcterístic torn-se mis negtivo do que n representção explícit té proximdmente khz, e menos negtivo pós ess freqüênci Representção explícit Representção implícit X(ohms) FIGURA 6 Fse d impedânci crcterístic com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. N Figur 7 é presentdo gráfico com comprção d prte rel d função de propgção de tensão própri com s dus representções dos cbos pár-rios. Observ-se nesse gráfico que pr bixos vlores de freqüênci (em torno de 6

19 8 Hz) representção explícit lter pouco prte rel d função de propgção de tensão, porém pr freqüêncis miores representção implícit result em menores vlores. 8 x -4 7 Representção explícit Representção implícit 6 5 R(ohms) FIGURA 7 Prte rel d função de propgção de tensão com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. O gráfico d prte imginári d função de propgção de tensão própri é mostrdo n Figur 8. Conforme pode ser visto no gráfico, prte imginári d função de propgção de tensão própri prticmente não é lterd com representção implícit dos cbos pár-rios..5. Representção explícit Representção implícit.5 X(ohms) FIGURA 8 Prte imginári d função de propgção de tensão com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. O gráfico d prte rel d função de propgção de corrente própri com s dus representções dos cbos pár-rios é presentdo n Figur 9. Observ-se que representção implícit dos cbos pár-rios lter prte rel d função de propgção de corrente própri pr os vlores miores de freqüênci.

20 9 8 x -4 7 Representção explícit Representção implícit 6 5 R(ohms) FIGURA 9 Prte rel d função de propgção de corrente com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. N Figur é presentdo o gráfico d prte imginári d função de propgção de corrente própri. erific-se nesse gráfico que representção implícit dos cbos pár-rios prticmente não lter os vlores d prte imginári d função de propgção de corrente própri..5. Representção explícit Representção implícit.5 X(ohms) FIGURA Prte imginári d função de propgção de corrente com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. Análise do Efeito do Solo N nálise do efeito d resistividde do solo no cálculo ds mtrizes de impedâncis crcterístics e funções de propgção de tensão e corrente, form relizdos os cálculos desss mtrizes, em um mplo espectro de freqüêncis, considerndo o solo com resistividde nul e posteriormente considerou-se o solo com resistividde homogêne de Ωm. Form trçdos gráficos comprndo o primeiro elemento próprio ds mtrizes com resistividde nul e resistividde de Ωm. O gráfico do módulo d impedânci crcterístic com os dois solos considerdos é mostrdo n Figur. erific-se nesse gráfico que considerr o

21 solo um condutor elétrico perfeito result em menores vlores do módulo d impedânci crcterístic resistividde = resistividde = R(ohms) FIGURA Módulo d impedânci crcterístic com solos de resistividdes nul e de Ωm. N Figur é presentdo o gráfico d fse d impedânci crcterístic pr os dois solos. Observ-se que considerção do solo com resistividde nul implic em ângulos menos negtivos, ou sej um linh de trnsmissão menos cpcitiv. -.5 resistividde = resistividde = - X(ohms) FIGURA Fse d impedânci crcterístic com solos de resistividdes nul e de Ωm. N Figur 3 é presentdo o gráfico d prte rel d função de propgção de tensão considerndo os dois solos. Conforme pode ser visto nesse gráfico, considerção de um solo condutor elétrico perfeito não lter significtivmente os vlores d prte rel d função de propgção de tensão pr freqüêncis próxims de 6 Hz, porém result em menores vlores pr s demis freqüêncis.

22 8 x -4 7 resistividde = resistividde = 6 5 R(ohms) FIGURA 3 Prte rel d função de propgção de tensão com solos de resistividdes nul e de Ωm. O gráfico d prte imginári d função de propgção de tensão é mostrdo n Figur 4. Observ-se nesse gráfico que considerr o solo com resistividde nul não lter significtivmente prte imginári d função de propgção de tensão..5. resistividde = resistividde =.5 X(ohms) FIGURA 4 Prte imginári d função de propgção de tensão com solos de resistividdes nul e de Ωm. Ns Figurs 5 e 6 são presentdos os gráficos ds prtes rel e imginári d função de propgção de corrente, respectivmente. Conforme pode ser visto nesses gráficos, função de propgção de corrente present o mesmo comportmento d função de propgção de tensão em relção à resistividde do solo.

23 8 x -4 7 resistividde = resistividde = 6 5 R(ohms) FIGURA 5 Prte rel d função de propgção de corrente com solos de resistividdes nul e de Ωm..5. resistividde = resistividde =.5 X(ohms) FIGURA 6 Prte imginári d função de propgção de corrente com solos de resistividdes nul e de Ωm. Análise d Inclusão d Corrente de Deslocmento n Profundidde de Penetrção Complex A formulção originl d profundidde de penetrção complex, utilizd pr o cômputo do efeito do solo no cálculo de prâmetros de linhs de trnsmissão, somente consider corrente de deslocmento. Porém, pr lts freqüêncis ess considerção torn-se fisicmente inconsistente, um vez que corrente de deslocmento ssume vlores significtivos, d ordem d corrente de condução. Pr nálise do efeito d inclusão d corrente de deslocmento n profundidde de penetrção complex form clculds inicilmente s mtrizes de impedâncis crcterístics e funções de propgção, em um mplo espectro de freqüêncis, com formulção originl d profundidde de penetrção complex. Posteriormente, clculrm-se s mesms mtrizes, porém considerndo formulção de profundidde de penetrção complex desenvolvid pr inclusão d corrente de deslocmento. Form trçdos gráficos comprndo um elemento desss mtrizes considerndo s dus formulções (elemento ).

24 3 N Figur 7 é presentdo o gráfico do módulo d impedânci crcterístic considerndo s dus formulções. Conforme observdo nesse gráfico, inclusão d corrente de deslocmento não lter os vlores do módulo d impedânci crcterístic té freqüênci de proximdmente khz, no entnto prtir desse vlor ess inclusão result em menores vlores do módulo d impedânci crcterístic. 55 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento 5 45 R(ohms) FIGURA 7 Módulo d impedânci crcterístic com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. N Figur 8 é mostrdo o gráfico d fse d impedânci crcterístic com s dus formulções de profundidde de penetrção complex. Observ-se nesse gráfico que fse d impedânci crcterístic present vlores semelhntes com s dus formulções pr freqüêncis em torno de 6 Hz, e pr freqüêncis miores formulção originl implic em vlores menos negtivos dos ângulos, ou sej, um linh de trnsmissão menos cpcitiv s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento Ângulo (Grus) FIGURA 8 Fse d impedânci crcterístic com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. O gráfico d comprção d prte rel d função de propgção de tensão com s dus formulções de profundidde de penetrção complex é mostrdo n Figur 9. erific-se nesse gráfico que té freqüênci de proximdmente

25 4 khz s dus formulções resultm em vlores semelhntes. Pr freqüêncis entre khz e,7 MHz inclusão d corrente de deslocmento present miores vlores d prte rel d função de propgção de tensão. Pr freqüêncis superiores formulção originl result em miores vlores. 8 x -4 7 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento 6 5 R(ohms) FIGURA 9 Prte rel d função de propgção de tensão com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. N Figur é presentdo o gráfico d prte imginári d função de propgção de corrente. Observ-se nesse gráfico que s dus formulções presentm vlores semelhntes té freqüênci de proximdmente khz. Após ess freqüênci inclusão d corrente de deslocmento result em vlores um pouco menores d prte imginári d função de propgção de corrente..5. s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento.5 X(ohms) FIGURA Prte imginári d função de propgção de tensão com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. Ns Figurs e são presentdos os gráficos ds prtes rel e imginári d função de propgção de corrente, respectivmente. Por meio d nálise desses gráficos verific-se que função de propgção de corrente possui comportmento semelhnte o d função de propgção de tensão em relção inclusão d corrente de deslocmento.

26 5 8 x -4 7 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento 6 5 R(ohms) FIGURA Prte rel d função de propgção de corrente com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex..5. s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento.5 X(ohms) FIGURA Prte imginári d função de propgção de corrente com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. Impedâncis de Seqüêncis Análise d Representção Implícit dos Cbos Pár-rios Pr nálise d influênci d representção implícit dos cbos pár-rios no cálculo ds mtrizes de impedâncis de seqüêncis, relizou-se o cálculo ds mtrizes, pr o espectro de freqüêncis de 6 MHz, considerndo inicilmente representção explícit e pós representção implícit. Form trçdos gráficos comprndo s impedâncis de seqüêncis zero e positiv entre s dus representções. Não foi necessári nálise d impedânci de seqüênci zero, pois em linhs de trnsmissão impedânci zero é igul de seqüênci positiv. N Figur 3 é presentdo gráfico d comprção d prte rel d impedânci de seqüênci zero com s dus representções dos cbos pár-rios. Conforme observdo no gráfico não há diferenç significtiv entre s dus

27 6 representções pr freqüêncis bixs (próxims de 6 Hz), e pr freqüêncis miores representção implícit result em menores vlores d prte rel d impedânci de seqüênci zero..5 Representção explícit Representção implícit.5 R(ohms/km) FIGURA 3 Prte rel d impedânci de seqüênci zero com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. O gráfico d prte imginári d impedânci de seqüênci zero é mostrdo n Figur 4. Conforme observdo no gráfico, prte imginári d impedânci de seqüênci zero possui o mesmo comportmento d prte rel em relção à representção implícit dos cbos pár-rios. 8 6 Representção explícit Representção implícit 4 X(ohms/km) FIGURA 4 Prte imginári d impedânci de seqüênci zero com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. N Figur 5 é mostrdo o gráfico d prte rel d impedânci de seqüênci positiv com s dus representções dos cbos pár-rios. Pode-se observr nesse gráfico que representção implícit dos cbos pár-rios result em menores vlores d prte rel d impedânci de seqüênci positiv em todo o espectro de freqüêncis.

28 7.6.5 Representção explícit Representção implícit.4 R(ohms/km) FIGURA 5 Prte rel d impedânci de seqüênci positiv com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. O gráfico d prte imginári d impedânci de seqüênci positiv é mostrdo n Figur 6. Por meio d nálise desse gráfico, observ-se que representção implícit não lter significtivmente prte imginári d impedânci de seqüênci positiv pr vlores de freqüênci té proximdmente khz, porém present menos vlores pr s demis freqüêncis. 8 7 Representção explícit Representção implícit 6 5 X(ohms/km) FIGURA 6 Prte imginári d impedânci de seqüênci positiv com representções explícit e implícit dos cbos pár-rios. Análise do Efeito do Solo Form relizdos cálculos ds mtrizes de impedâncis de seqüêncis considerndo o solo com resistividde nul e com resistividde homogêne de Ωm pr nálise d influênci d resistividde do solo ns impedâncis de seqüêncis zero e positiv de linhs de trnsmissão. N Figur 7 é presentdo o gráfico d prte rel d impedânci de seqüênci zero considerndo o solo com resistividde nul e o solo com resistividde de Ωm. Por meio d nálise desse gráfico, verific-se que pr bixos vlores de freqüênci não há grnde diferenç d prte rel d impedânci

29 8 de seqüênci zero pr os dois solos, porém pr freqüêncis miores considerr o solo como um condutor elétrico perfeito implic n obtenção de menores vlores..6.4 resistividde = resistividde =. R(ohms/km) FIGURA 7 Prte rel d impedânci de seqüênci zero com solos de resistividdes nul e de Ωm. O gráfico d prte imginári d impedânci de seqüênci zero considerndo os dois solos é mostrdo n Figur 8. Conforme pode ser visto nesse gráfico, ssim como n prte rel, prte imginári d impedânci de seqüênci zero é pouco influencid pelo solo em bixs freqüêncis, e present vlores menores pr freqüêncis mis elevds qundo se consider o solo com resistividde nul. resistividde = resistividde = 8 X(ohms/km) FIGURA 8 Prte imginári d impedânci de seqüênci zero com solos de resistividdes nul e de Ωm. N Figur 9 é presentdo o gráfico d prte rel d impedânci de seqüênci positiv com os dois solos considerdos. erific-se nesse gráfico que pr freqüêncis té proximdmente khz os dois solos resultm em resultdos semelhntes, porém pr freqüêncis superiores o solo com resistividde nul implic em menores vlores.

30 resistividde = resistividde = R(ohms/km) FIGURA 9 Prte rel d impedânci de seqüênci positiv com solos de resistividdes nul e de Ωm. O gráfico d comprção d prte imginári d impedânci de seqüênci positiv considerndo os dois solos é mostrdo n Figur 3. Observ-se nesse gráfico que prte imginári d impedânci de seqüênci positiv é pouco influencid pel resistividde do solo. 6 5 resistividde = resistividde = 4 X(ohms/km) FIGURA 3 Prte imginári d impedânci de seqüênci positiv com solos de resistividdes nul e de Ωm. Análise d Inclusão d Corrente de Deslocmento n Profundidde de Penetrção Complex Como já menciondo, formulção originl d profundidde de penetrção complex somente lev em cont corrente de condução. Nesse trblho desenvolveu-se um nov formulção que consider tmbém corrente de deslocmento n profundidde de penetrção complex. Pr nálise d influênci d inclusão d corrente de deslocmento no cálculo ds mtrizes de impedâncis de seqüêncis, s mesms form clculds primeirmente com formulção originl, e posteriormente com nov formulção. Form trçdos gráficos comprndo s impedâncis de seqüêncis zero e positiv com s dus formulções.

31 3 N Figur 3 é presentd prte rel d impedânci de seqüênci zero com s dus formulções de profundidde de penetrção complex. Por meio d nálise desse gráfico, verific-se que té freqüênci de proximdmente khz s dus formulções presentm resultdos semelhntes. Pr freqüêncis entre khz e,6 MHz nov formulção de profundidde de penetrção complex result em miores vlores d prte rel d impedânci de seqüênci zero. Pr freqüêncis superiores formulção originl present miores vlores..5 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento.5 R(ohms/km) FIGURA 3 Prte rel d impedânci de seqüênci zero com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. O gráfico d prte imginári d impedânci de seqüênci zero com s dus formulções é mostrdo n Figur 3. Observ-se que pr freqüêncis té proximdmente 5 khz s dus formulções presentm resultdos semelhntes. Após ess freqüênci, inclusão d corrente de deslocmento n profundidde de penetrção complex result em menores resultdos d prte imginári d impedânci de seqüênci zero. 8 6 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento 4 X(ohms/km) FIGURA 3 Prte imginári d impedânci de seqüênci zero com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. O gráfico d comprção d prte rel d impedânci de seqüênci positiv com s dus formulções d profundidde de penetrção complex é presentdo

32 3 n Figur 33. Pr freqüêncis té proximdmente 7 khz s dus formulções implicm em resultdos semelhntes. Pr freqüêncis superiores utilizção d formulção originl result em menores vlores d prte rel d impedânci de sequenci positiv..9.8 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento.7.6 R(ohms/km) FIGURA 33 Prte rel d impedânci de seqüênci positiv com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex. N Figur 34 é mostrdo o gráfico d prte imginári d impedânci de seqüênci positiv pr s dus formulções d profundidde de penetrção complex. Conforme pode ser visto nesse gráfico, inclusão d corrente de deslocmento não lter significtivmente os vlores d prte imginári d impedânci de seqüênci positiv. 8 7 s/ corrente de deslocmento c/ corrente de deslocmento 6 5 X(ohms/km) FIGURA 34 Prte imginári d impedânci de seqüênci positiv com s formulções originl e nov (com corrente de deslocmento) d profundidde de penetrção complex.

33 3 CONCLUSÃO Nesse trblho teve-se como objetivo vlir influênci d representção implícit dos cbos pár-rios, d resistividde do solo e d inclusão d corrente de deslocmento no cálculo ds mtrizes de impedâncis crcterístics, funções de propgção de tensão e corrente e impedâncis de seqüêncis de um configurção rel de linh de trnsmissão d CEMIG. Pr tis nálises foi desenvolvid um ferrment computcionl pr o cálculo ds mtrizes considerndo influênci dos diversos ftores. N nálise d influênci d utilizção d representção implícit dos cbos pár-rios conclui-se que result em vlores menores do módulo d impedânci crcterístic própri pr todo o espectro de freqüêncis clculdo. N fse d impedânci crcterístic própri representção implícit dos cbos pár-rios implic em vlores mis negtivos do ângulo pr freqüêncis té proximdmente khz e vlores menos negtivos pr freqüêncis superiores. Tnto prte rel ds funções de propgção de tensão e corrente qunto s prtes rel e imginári d impedânci de seqüênci zero sofrem pouc influênci d representção implícit dos cbos pár-rios pr bixs freqüêncis (em torno de 6 Hz) e resultm em vlores menores pr s demis freqüêncis. N impedânci de seqüênci positiv representção implícit dos cbos pár-rios result em vlores menores d prte rel em todo o espectro de freqüêncis clculdo, e n prte imginári pouc influênci té proximdmente khz e vlores menores pr s demis freqüêncis. As prtes imgináris ds funções de propgção de tensão e corrente não sofrerm influênci significtiv devido à representção implícit dos cbos pár-rios. Por meio dos resultdos obtidos ns nálises de sensibilidde ds mtrizes clculds em relção à resistividde do solo pode-se concluir que impedânci crcterístic própri present menores vlores de módulo e ângulos menos negtivos, pr tod fix de freqüêncis, qundo se consider um solo com resistividde nul. Ns funções de propgção de tensão e corrente observou-se que s prtes reis sofrem pouc influênci d resistividde do solo pr freqüêncis em torno de 6 Hz e presentm vlores menores qundo se consider o solo com resistividde nul pr s demis freqüêncis, porém s prtes imgináris são pouco lterds pel resistividde do solo. As prtes reis e imgináris d impedânci de seqüênci zero são pouco influencids pel resistividde do solo pr freqüêncis em torno de 6 Hz e considerção do solo como um condutor elétrico perfeito implic em vlores menores pr s demis freqüêncis. N impedânci de seqüênci positiv, prte rel present result semelhnte pr os dois solos ns freqüêncis té khz, e pr freqüêncis superiores considerção do solo com resistividde nul result em menores vlores, no entnto prte imginári sofre pouc influênci d resistividde do solo. Ns nálises de sensibilidde ds mtrizes clculds em relção inclusão d corrente de deslocmento n profundidde de penetrção complex, pode-se concluir que no módulo d impedânci crcterístic s dus formulções de profundidde de penetrção complex presentm resultdos semelhntes pr freqüêncis té khz, e formulção originl implic em miores vlores pr freqüêncis superiores. A fse d impedânci crcterístic não é lterd pel inclusão d corrente de deslocmento pr freqüêncis em torno de 6 Hz, e formulção originl result em vlores de ângulos menos negtivos. N nálise ds

34 33 funções de propgção de tensão e corrente, verificou-se que s prtes reis sofrem pouc influênci d corrente de deslocmento pr freqüêncis té khz, e desconsiderção d corrente de deslocmento implic em menores vlores n fix de freqüêncis entre khz e,7 MHz, e miores vlores pr freqüêncis prtir de,7 MHz. No entnto, s prtes imgináris ds funções de propgção de tensão e corrente são pouco influencids pel corrente de deslocmento. N impedânci de seqüênci zero verificou-se que corrente de deslocmento não lter prte rel té freqüênci de khz, e que desconsiderção d corrente de deslocmento implic em menores vlores ns freqüêncis entre khz e,6 MHz, e miores vlores pr freqüêncis superiores,6 MHz. Já prte imginári, não é lter pel corrente de deslocmento pr freqüêncis té 5 khz, e formulção originl d profundidde de penetrção complex result em miores vlores pr s freqüêncis superiores 5 khz. A prte rel d impedânci de seqüênci positiv não é lterd té freqüênci de 7 khz, e present vlores menores qundo corrente de deslocmento é desprezd. Porém, prte imginári d impedânci de seqüênci positiv não sofre influênci significtiv d corrente de deslocmento. De cordo com s nálises de sensibilidde conclui-se que considerção d representção explícit dos cbos pár-rios, do efeito d resistividde do solo e inclusão d corrente de deslocmento são de fundmentl importânci no cálculo ds mtrizes de impedâncis crcterístics, funções de propgção de tensão e corrente e impedâncis de seqüêncis, pois ignorr tis ftores implic em erros no cálculo de tis mtrizes. Esses erros podem levr nálises indequds de problems de engenhri elétric, tis como, sobretensões ocsionds por descrgs tmosférics, cálculo de correntes de curto-circuito de linhs de trnsmissão, entre outros. le ressltr que modelgem utilizd n ferrment computcionl desenvolvid consider esses ftores. Finlmente, é interessnte notr que um prcel significtiv d litertur consider o solo como um condutor elétrico perfeito (condutividde infinit), lém de desprezr, n composição d corrente totl no solo, prcel d corrente de deslocmento. De cordo com os resultdos e conclusões descrits cim verificse que tis proximções são fisicmente inconsistentes. Ademis, ferrment computcionl elbord é bstnte versátil e precis pr os cálculos ds mtrizes de impedâncis crcterístics, funções de propgção de tensão e corrente e impedâncis de seqüêncis de linhs de trnsmissão éres, que são de fundmentl importânci no estudo de trnsitórios eletromgnéticos estbelecidos ns mesms. AGRADECIMENTOS Aproveit-se oportunidde pr grdecer o CEFET-MG, DES (Deprtmento de Ensino Superior) e o CNPq pel oportunidde e poio finnceiro.