I F S P - Câmpus São Paulo - E a D

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1 I F S P - Câmpus São Paulo - E a D M A T E M Á T I C A F I N A N C E I R A Prof. Ms. José Maria Carlii 1) INTRODUÇÃO O estudo do assuto que iiciaremos somete é ecessário porque a riqueza que as pessoas têm em sempre é suficiete para suprir seus sohos, aseios e ecessidades. Supoha que o govero de um determiado país cosiga realizar o desejo da grade maioria de seus cidadãos de modo que à zero hora de um certo dia todos os idivíduos tivessem os seus bolsos e cotas corretes a mesma quatidade do vil metal. Você pode apostar que, à zero hora e um miuto, já haveria algum idivíduo com mais posses que outro. Isto acotece porque as vidas das pessoas são diferetes, e suas realizações também. A Matemática Fiaceira é a ciêcia matemática que trata do comércio de uma mercadoria que, em si, ão tem valor, mas que é procurada por todos, pois, sem ela, ão os é possível obter os bes, quer sejam produtos ou serviços, e que podem ser alcaçados com a sua troca pela quatidade correta daquilo que desejamos. Esta é a quatidade que deomiamos preço. Tal mercadoria sem valor será o cetro das ossas preocupações ao estudar este assuto, e seu ome, como já percebeu o leitor, é diheiro, seja lá qual for a uidade moetária que esteja em uso! Sua importâcia varia de pessoa para pessoa, de mometo a mometo, e de local para local. Por outro lado, é imprescidível compreedermos a importâcia social do diheiro, seja ele papel, seja ele metal. É ele que permite que o produtor de tomates compre fragos, sem a preocupação de saber com quatos tomates vedidos, pode-se adquirir um frago, ou vice-versa. Para uma ação e seu povo, quato mais uma moeda circula, mais útil ela é, e mais riqueza gera. Logo, guardar diheiro em cofriho ão é socialmete perfeito, pois o diheiro lá cotido ão está favorecedo a iguém, em ao próprio doo do cofriho. A produção de diheiro o Brasil está a cargo da Casa da Moeda, situada o Estado do Rio de Jaeiro. A ossa Casa da Moeda, além do osso diheiro, produz diheiro para outros países, imprime passaportes, selos e outros documetos, e até cuha medalhas. Já ão existe mais a produção de R$ 1,00 em papel moeda por causa de seu alto custo e baixa durabilidade. Por isso podemos dizer que a ota de R$ 1,00 custava mais que o seu valor 1

2 omial, e, apesar de a moeda que a substituiu ser mais cara que ela, a sua durabilidade é tata que seu custo se dilui bem mais que o do papel moeda. Com a sua altíssima circulação, esta moeda se torou muito popular e prestará aida muitos bos serviços à sociedade. Como estamos falado este assuto, me vem à mete algo que muito me icomoda: É ver otas de diheiro amassadas, rasgadas, riscadas, maltratadas efim de forma proposital. Ifelizmete, há quem julgue ser proprietário daquele pedaço de papel, quado, verdadeiramete, o proprietário é o povo, a sociedade, que são represetados pelo govero, que possui etre as fuções que lhe são peculiares, a de imprimir o diheiro em papel ou cuhar as moedas. Isto sigifica que o diheiro que está a sua cota bacária, a sua carteira ou o seu bolso ão pertece a você, mas ao povo, o que você possui é, efim, o poder de compra que aquele documeto fiaceiro lhe cofere. 2) PORCENTAGEM O símbolo %, que se lê por ceto, represeta uma fração cujo deomiador 32 é cem e cujo umerador é. Ou seja, 32% é o mesmo que, e que a forma decimal 100 passa a ser 0,32. Etão se quisermos calcular 26% de R$ 6800,00 deveremos agir da seguite maeira : 26% de R$ 6800,00 = 26%. R$ 6800,00 = 0, = R$ 1768,00 Devemos sempre respoder, se a uidade moetária for o Real, de acordo com a lei. Isto é : R$ 1768,00, com duas casas após a vírgula. Durate a resolução ão é ecessário utilizar o símbolo R$. Neste trabalho usaremos sempre a uidade Real de diheiro, tato os dados como as respostas dos exercícios. Curiosamete, há mais de 80 aos, a ossa uidade moetária também chamada Real, porém o plural de Real era Reis e ão Reais como hoje, e aturalmete o seu valor ão era o da moeda atual. foi Exercícios : Calcular 2

3 1) 8% de R$ 400,00 6) 4,2% + 64,08% - 39,146% 1) 160 % de pessoas 7) ( 2,4%. 0,05% + 6,42) de pessoas 2) 2,04 % de kg 8) [6,80% + 0,2. 6,84% - 0,2%.6,84] de 240 3) 280% de R$ 620,50 9) 4%.[0,6 +2,5% - 1,25%.(42,5%+68)%]% 4) 25% de 80% de pessoas 10) Descase!... Resp. : (1) R$ 32,00; 2) pessoas ; 3) 52028,16 kg; 4) R$ 1737,40; 5)800000pessoas ; 6) 29,134% ; 7) pessoas ; 8) ; 9) 0, ; 10) OK!) 3) LUCRO E PREJUÍZO Em toda trasação comercial, devemos levar em cota o seguite : A mercadoria que está sedo egociada tem um preço de custo C e um preço de veda V. A difereça etre os valores de C e V será chamada lucro L se C < V, ou prejuízo P se C > V. Muitas vezes, o calculo de L ou P pode ser feito como percetual sobre os valores de custo ou de veda, depededo de cada caso, e etão, se for sobre o custo, este equivalerá a 100% ou se sobre a veda, será dela a equivalêcia aos 100%. Os exemplos a seguir deixarão mais claras as idéias que expusemos : Exemplos : 1) Comprei um objeto por R$ 600,00 e desejo vedê-lo com um lucro de 22 % sobre o seu preço de custo. Ache o lucro e o preço de veda. Resolução: É coveiete motarmos um rápido esquema para os deixar os dados do problema bem à mão : Assim : C = 600,00 ; V = - ; L : 22% sc (sobre o custo) = - Por ser sobre o custo, este é proporcioal a 100%, equato o lucro é proporcioal a 22%. e escrevemos a proporção, e após, lembremos que o valor do custo é 600,00 : C L 600 L L 132. Como V = C + L etão V = = Resposta : L = R$ 132,00 e V = R$ 732,00 3

4 2) Comprei por R$ 600,00 algo que desejo veder com um lucro de 22% sobre o preço de veda. Calcule o lucro e por quato devo efetuar a veda. Resolução : C = 600,00 ; L = 22% sv (sobre a veda) = - ; V = - Nesta questão o lucro é calculado como 22% sobre a veda, e ela agora é proporcioal a 100%, portato: V V C V V V V 78V Logo, V = R$ 769,23 e o lucro será L = R$ 769,23 600, etão L = R$ 169,23. 3) Vedi por R$ 4500,00 algo que me custou R$ 6200,00. Calcular : a) Porcetagem do prejuízo sobre o custo b) Porcetagem do prejuízo sobre a veda Resoluções : a) V = 4500,00 ; C = 6200,00 ; Logo, P = C V = 1700,00 = - % sc. C , 42% 100 P x x x 100 x 6200 b) V = 4500,00 ; C = 6200,00 ; Logo P = C V = 1700,00 = - % sv V , 78% 100 P x x x 100 x 45 4) Calcule o preço de veda que devo obter para auferir um lucro de 22% sobre o custo e que paguei pelo objeto o valor de R$ 8600,00. Resolução: V = - ; C = 8600,00 ; L : 22% sc C P 8600 P P R$1892, Como V = C P etão : V = 8600, ,00 = R$ 6 708, 00 Exercícios: 4

5 1) Quero veder com lucro de 22% sobre o custo algo que me custou R$ 840,00. Calcule o préço de veda e o valor do lucro obtido. 2) Vedi por R$ 4600,00 um objeto e sofri um prejuízo de 22% sobre o preço de veda. Obteha o valor de meu prejuízo e quato paguei por ele. 3) Vedi por R$ 4 600,00 um objeto e sofri um prejuízo de 22% sobre o preço de custo. Calcule o valor do preço de custo e o do prejuízo. 4) Ache por quato vedi algo que me custou R$ 2648,00, se cosegui obter lucro de 15% sobre o preço de veda. 5) Calcule o preço de veda praticado por um comerciate que comprou feijão por R$ 4,00 o quilograma, se o mercado em que ele trabalha permite um lucro de 15% sobre a veda. 6) Um comerciate de uma lachoete compra saduíches protos para o cosumo por R$ 84,00 a dúzia e deseja vedê-los com lucro de 35% sobre o custo. Porém, a admiistração do cetro comercial ode se situa a lachoete cobra do comerciate um aluguel que é igual a 15% do valor de sua veda. Calcule etão o preço de veda e o valor a ser pago ao cetro por cada saduíche. 7) Comprei por R$ 1500,00 uma máquia que vedi por R$ 1200,00. Calcule : a) A porcetagem do prejuízo sobre a veda b) A porcetagem do prejuízo sobre o custo. Resp.: ( 1) L = R$ 184,80, V = R$ 1024,80 ; 2) P = R$ 1012,00, V = R$ 2588,00 ; 3) P = R$ 1297,44, C = R$ 5897,44 ; 4) V = R$ 3115,30 ; 5) V = R$ 4,21 ; 6) V = R$9,45, Taxa do cetro : R$ 1,42 ; 7 a) 25% sv ; 7 b) 25% sc.) 5

6 4) JUROS SIMPLES Um aplicador empresta uma quatia de diheiro, deomiada Capital C, a uma taxa igual a i% relativa a determiado tempo (ao mês, à semaa, ao ao...) durate um certo úmero de períodos de tempo, coforme idica a taxa (meses, semaas, aos, etc), e o fial de cada período (de cada mês, ou de cada semaa, ou ao...) ele retira o juro obtido, permaecedo com o tomador apeas o capital iicial. Esta aplicação fiaceira caracteriza o regime de juro simples. É coveiete lembrar que o aplicador ou fiaciador é a pessoa física ou jurídica que tem codições de efetuar os empréstimos a alguém, também físico ou jurídico, que é chamado de tomador do empréstimo. O total dos juros simples assim gerados pode ser visualizado a tabela a seguir : Juros Simples C i J 0 C i 0 1 C i Ci 2 C i Ci.2 3 C i Ci C i Ci. Coclusão : J = C. i. Além desta fórmula, defiimos Motate M de uma aplicação : Motate M é igual à soma do capital e do juro evolvidos a mesma aplicação fiaceira: M = C + J. Assim, temos : M = C + C.i., logo, M = C.(1 + i.), que é a seguda fórmula que se refere a esta aplicação fiaceira. Coclusão : M = C. (1 + i.) É importate lembrar que, em qualquer uma das fórmulas desevolvidas, a taxa i perce- tual e o úmero de períodos da aplicação devem se referir à mesma uidade de tempo. 6

7 J = C. i. M = C. (1 + i.) Exemplos : 1) Calcule os juros, o regime de juros simples, gerados pela aplicação de R$ 4800,00 durate 8 meses à taxa de 20% ao ao. Resolução : j = - ; C = 4800 ; = 8 m ; i = 20% aa = 20 % 12 am = am J = C.i. = = R$ 640,00 2) Calcular o capital que, aplicado a juro simples durate 250 dias, à taxa mesal de 1,2%, re- de juros de R$ 480,00. Resolução : C = - ; = 250 dias ; i = 1,2 % am ; J = 480 J = C.i.. Etão 480 = C. 0, Portato C = R$ 4800, ) Calcule em quatos dias a aplicação a juro simples do capital de R$ 45000,00 rede o Motate de R$ ,00 se obtivermos a taxa aual de 18%. Resolução : C = ; M = ; = - dias ; i = 18% aa = aa = ad A cotiuação desta resolução pode se dar com o uso de qualquer uma das duas fórmulas : Se usarmos a primeira, j = c.i., e sabedo que j = M C = 15000, teremos a equação = que é facilmete resolvida e os forece = 666,6 dias. Ocorre que a meor uidade de tempo a Matemática Fiaceira é 1 dia. Etão, devemos arredodar a resposta para 667 dias. Por outro lado, se usarmos a seguda fórmula, poderemos escrever : M = C.(1 +i.), e assim, 7

8 60000 = ( ), que é uma outra equação de resolução simples e que os dá como resposta o valor = 666,66 dias, que como vimos, deve ser arredodado para 667 dias. 4) Obteha o Motate da aplicação de Cr$ durate 1 ao 3 meses e 20 dias, à taxa de 1,2 % ao mês. Resolução : M = --- ; C = 2600 ; i = 1,2 % am; = 1a 3m 20d = 15, 667 m Obs : A trasformação que acabamos de apresetar ão é a úica possível para que o problema seja solucioado, como já acoteceu o do exemplo 3. M = C.(1+ i.) ; logo : M = (1 + 0, ,667) = ,87999 = R$ ) Obteha a taxa quizeal de uma aplicação que faz o capital de R$ 6250,00 reder o juro simples de R$ 2680,00 decorridos 1,5 ao. Resolução : i = -% a quizea ; C = 6250 ; j = R$ 2680 ; = 1,5 a = 18m = 36 quizeas J = C.i., logo : 2680 = i. 36 que é uma equação de 1º grau a icógita i, que é de reso- lução imediata e os dará o seguite valor para a taxa : i = 1,8 % a quizea. 6) Uma aplicação dos juros simples extremamete utilizada é a que se refere a um serviço de crédito oferecido pelos bacos e chamada Cheque Especial. Uma cota correte com cheque especial ou com garatia de cobertura de cheques, outra deomiação o comércio bacário, tem como característica o fato de horar o cheque apresetado mesmo que ão haja fudos até um certo limite. Naturalmete este empréstimo gera uma despesa a ser paga pelo corretista e o cálculo deste valor utiliza os juros simples. Para etedermos com mais facilidade, faremos um exemplo : Como todos os bacos, a Casa Bacária Cadê o Meu evia aos seus corretistas a cada fim de mês um documeto cotedo as movimetações a sua cota correte. Este documeto se chama extrato bacário, e possui mais ou meos a seguite aparêcia 8

9 CASA BANCÁRIA CADÊ O MEU LTDA. Extrato mesal da CC º , Agêcia 000, Corretista : Sr José Mallassorte Furtado Movimetação da CC durate o mês de Março de 2017, taxa de juro: 6 % ao mês. DATA HISTÓRICO DOCUMENTO VALOR SALDO trasporte fev, , farmácia cheque 180,00-530, supermercado chequc 220,00-750, salário depósito 2400, , juros fev. doc 150, , prest. casa boleto 1700,00-200, parc.cosórcio boleto 640,00-840, comissões depósito 1200,00 360, despesas carro cheque 400,00-40, Presete amorada cheque 230,00-270, restaurate cheque 120,00-390,00 Calculemos agora o juro simples devido pelo corretista à casa bacária. A taxa cobrada é i = 6% am = 0,06 am = 0,06 ad = 0,002 ad 30 Vemos que a cota correte ficou egativa em certos valores durate algus dias, e assim devemos usar a igualdade J = C.i.. Logo, teremos : J = 0,002. ( ) Etão, J = 0,002. ( ), e assim : J = 0, = R$ 18, 74 referetes ao mês de março e que serão pagos provavelmete em 13 de abril. É importate atetar para o fato de a taxa ser posta em evidêcia por ser ela sempre a mesma, 9

10 e assim o produto i., que varia em cada movimetação da cota ser calculado à parte e, a- pós, somados tais produtos, calculamos a percetagem sobre eles. 7) Calcule o juro simples pago durate o mês de setembro do ao que está de passagem. A taxa de juro cobrada pelo baco é 8% ao mês, além do que o Baco ão cobra taxa ehuma durate os 4 primeiros dias do mês em que a cota estiver descoberta : SOCIEDADE BANCARIA DÍVIDA ATRÓS DATA DOCUMENTO HISTÓRICO VALOR D.C SALDO trasporte 450, , cheque supermercado 700,00 D depósito salário 4300,00 C cartão débito restaurate 600,00 D boleto prestação imóvel 3600,00 D boleto codomíio 850,00 D cheque combustível 250,00 D depósito PLR 4 100,00 C DOC pesão da ex 2 600,00 D carê cosórcio carro 1 200,00 D caixa multa trâsito 380,00 D cheque loja de roupas 450,00 D Calcule os saldos após cada movimetação fiaceira do corretista e o juro que ele pagará em outubro referete a este documeto. Resp.: ( Juro fial = R$ 30,45) 8) Uma aplicação fiaceira a juros simples faz com que um capital dobre em 4 aos. Se fi- zermos uma outra aplicação, esta de R$ ,00, à mesma taxa durate 20 meses, ache qual será o Motate gerado. Resp.: (M = R$ ,33) 9) Um pai dividiu R$ 12000,00 em 3 partes iguais a seus 3 filhos madado-os cuidarem bem do diheiro. O filho mais ovo, aida muito jovem, decidiu-se por aplicar toda a quatia rece- 10

11 bida a juros simples a 10% ao ao, e devolveu ao pai a quatia de R$ 6 000,00 o mometo de prestar cotas. O filho do meio, aplicou a sua parte do diheiro a 8 % ao ao durate 3 aos e o resultado desta aplicação ele reaplicou a 12% ao ao durate o tempo restate. Já o mais velho aplicou toda a sua parte durate 4 aos a juros simples de 6 % ao semestre, e o tempo restate aplicou o resultado da primeira operação a 12% ao ao, porém pagado Imposto de Reda de 20% do valor do juro obtido. Respoda qual é o filho que melhor cuidou dos iteresses do pai, e por que. Resp.:( Motates : Filho mais ovo : R$ 6000,00 ; Filho do meio : R$ 6150,00; Filho mais velho : R$ 5924,00. Quem cuidou melhor do diheiro do pai foi o do meio.) 10) Um corretista mateve saldo devedor de R$ 4 200,00 em sua cota bacária durate 4 meses seguidos, e a cada mês eram debitados da cota os juros correspodetes. As taxas eram iguais a 6% o primeiro mês, 8% o segudo, 5% o terceiro e 4% o último. Calcular: a) Valor do juro que o corretista deve depositar para quitar sua dívida ; b) Valor da taxa de juro simples que equivaleria às taxas citadas. Resp. : ( a) R$ 748,57 ; b) 4,46% ao mês.) 5) JUROS COMPOSTOS O osso corretista cotiuava feliz e traqüilo com a sua aplicação a juros simples a casa bacária quado o seu amigo gerete o chamou para uma coversa. Ele explicou que, com a retirada dos juros a cada fial de período, ele perdia a oportuidade de auferir juros maiores. Para coseguir amealhar estes juros maiores, disse pacietemete o gerete, o corretista deveria matê-los a aplicação, e etão, a cada iício de período ao seu capital iriam sedo a- crescetados os juros correspodetes. 11

12 guir : Com a preocupação de se fazer eteder com clareza, o gerete rascuhou a tabela a se- Juros Compostos C i M 0 C i C 1 C i C + Ci = C.(1 + i) 2 2 C(1 + i) i C(1+i) + C(1+i). i = C(1+i).(1+i) = C.(1 + i) C(1 + i) i C(1+i) + C(1+i). i = C (1 +i). (1 + i) = C.(1 + i) C(1 + i) i C.(1 + i) + C(1 +i). i = C.(1 + i). (1 + i) = C.(1 + i) C(1 + i) i C.(1+ i) + C (1+i). i = C.(1 +i). (1+i) = C.(1 + i) Coclusão : No regime de juros compostos, M = C. (1 + i) Neste regime, como o dos juros simples, a taxa e o úmero de períodos se referem à mes- ma uidade de tempo. Impressioate! Este gerete sabe matemática! Precisamos coversar mais com ele! Exemplos : Para a resolução dos problemas a seguir, o estudate deverá ter à sua disposição uma calculadora cietífica. 1) Calcule os juros, o regime de juros compostos, que os R$ ,00 de capital geram se forem aplicados a 20 % ao ao durate 14 meses. Resolução : j = - ; C = ; i = 20 % aa ; = 14 meses = 14 ao 1, ao 12 12

13 1, , M = C. (1 + i) = (1 +0,20) = ,2 = , M = ,75. Como j = M C, etão j = R$ 8699,75 2) Obteha o capital que a juros compostos de 1,2 % ao bimestre de taxa, gera o motate de R$ ,00 decorridos 3 semestres. Resolução : C = - ; M = ; i = 1,2% ao bimestre ; = 3 semestres = 9 bimestres 9 M = C. (1 + i), logo : = C. 1,012, e assim, = C. 1, e podemos calcu- lar facilmete o capital : C = R$ 24116,80. 3) Ache os juros que, à taxa trimestral de 4 % de juros compostos, durate 10 meses, foram ge- rados a partir do capital de R$ ,00 Resolução : J = - ; C = ; i = 4 % ao trimestre ; = 10 meses = 3, trimestres 3, M = C.(1 + i), portato : j = ,04, ou j = 74078,33 e po- demos afirmar que j = R$ 9 078, 32 4) Calcule a taxa bimestral de juros compostos que faz com que um capital qualquer dobre após o prazo de 21 meses de aplicação. Resolução : i = - % ao bim ; M = 2C, = 21meses = 10,5 bim. M C.(1 i), portato 10,5 2.(1 ), C C i etão 1 10,5 10,5 i, e assim 1+ i = 2 2 (1 ), e chega- mos a 1+i = 2 0, , ou seja : 1 + i = 1,1, e, já a forma percetual, i = 6,82 % ao bimestre. 5) Ache em quatos dias a aplicação de um capital triplica seu valor, a juros compostos e à ta- xa aual de 20 %. 13

14 Resolução : = - dias ; M = 3C ; i = 20% aa = 0,20 aa M = C. (1 + i), etão : 3C = C. 1,20 e caímos a seguite equação expoecial : 1,20 = 3. Para resolver tal equação devemos recorrer aos logaritmos em qualquer base. Assim utilizare- mos os logaritmos aturais ou eperiaos : l 1,20 = l 3. Agora apliquemos a propriedade do logaritmo de uma potêcia :.l 1,20 = l 3 e etão : = l 3 1, , aos = 2170 dias l1, 20 0, ) Calcular há quatos meses foi efetuada uma aplicação a juros compostos de 4 % ao semestre da quatia de R$ 6200,00 de modo que seu motate se iguale ao motate obtido pela aplicação de R$ 8600,00 a juros simples com taxa igual a 5% ao quadrimestre durate 3 aos. Resp.: (107 meses) 7) Obteha a taxa bieal equivalete à taxa de 3,8 % ao quadrimestre o regime composto de juros. Resp.: ( 25,12 % ao biêio) 8) Calcule a taxa semestral de juros compostos que equivalha à taxa quadrimestral de 4,3% o mesmo regime. Resp.: ( 6,52% ao semestre) 9) Devo aplicar a quatia de R$ 9400,00 à taxa de juros compostos de 2,4% ao bimestre para reder o mesmo motate da aplicação à taxa de juros simples de 3,0% durate um ao e 3 mesés. Ache o úmero de dias da aplicação a juros compostos. Resp.:( 378 dias) 14

15 Aplicações a diferetes taxas Exemplo : Imagie que um aplicador em ações solicite ao seu corretor do fudo de ivestimetos em jaeiro de 2017 uma tabela com a valorização das ações da empresa que a corretora lhe vedera em dezembro do ao de O corretor vai ao computador e extrai dele a seguite tabela : EMPRESA XPTO S.A. TABELA DA VARIAÇÃO PERCENTUAL DOS VALORES DAS AÇÕES EM 2016 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 0, ,2 0,0-1,3 4,3 0,0 5,8 3,6 0,0-2,3 1,5 Exercícios : Com os dados da tabela apresetada, 1) Obteha a taxa equivalete o primeiro semeste ; 2) Obteha a taxa equivalete o segudo semestre ; 3) Obteha a taxa equivalete o ao. Resp.: ( 1) 29,44% ; 2) 4,9% ; 3) 7,9 %) 6) DESCONTO Vamos supor que você seja o proprietário de um poto comercial e que todas as vedas da semaa que foram pagas com cheques predatados ou cartão de crédito geraram uma razoável quatidade de documetos que, embora teham favorecido as vedas, sacrificaram a sua capacidade de compra futura, ou seja, dimiuíram o seu capital de giro, e este proble- 15

16 ma corriqueiro mas urgete deverá ser resolvido por você com a ajuda do Baco. Uma solução do problema será procurar uma istituição de crédito, que poderá ser o seu próprio baco, a empresa de cartões de crédito, ou alguém que troque os seus papéis por diheiro ates do seu vecimeto. A esta operação fiaceira damos o ome de Descoto. Você, em suma, vai tratar com a istituição escolhida sobre descotar seus documetos de crédito atecipadamete e, aturalmete, pagará por este serviço, de acordo com a taxa cobrada pelo baco, que será chamada taxa de descoto. Eteda que, se ão houvesse tal serviço bacário, muitos comerciates fechariam suas portas, causado desemprego, queda de produção as fábricas, fechameto de platas idustriais, dimiuição da arrecadação de impostos, e outros males. Covém portato ão fazer os costumeiros julgametos apresetados a impresa. É de grade importâcia utilizarmos a Matemática Fiaceira para etedermos com clareza o fucioameto da sociedade, pricipalmete o que tage à Ecoomia, pois será o seu uso como ferrameta de cotrole social e pessoal que orteará as ações admiistrativas dos bos gestores idustriais, comerciais e políticos da sociedade, e assim haverá progresso e bem estar geeralizado. Este será etão osso próximo assuto a tratar. Ates disso vejamos a omeclatura e a simbologia que são usadas em qualquer documeto de crédito para que todas as iformações ecessárias sejam cohecidas : Valor Nomial N: É o valor que vem declarado o documeto e dá ome a ele. Quado você se refere a um cheque ou ota promissória, você diz o valor declarado. Um cheque predatado de dez mil reais tem valor omial N = R$ ,00; Data e local da assiatura do documeto, quado se realiza o aceite da dívida; Assiatura do devedor, comprometedo-se a horar o pagameto a data de vecimeto,e pagado por ele o valor omial N; Data de vecimeto : É o dia em que o pagameto de N deverá ser efetuado. 16

17 Além destes dados escritos o documeto, caso o descoto se realize teremos que cosiderar o prazo de adiatameto, a taxa i percetual de descoto, o valor do descoto cobrado pelo baco, e o Valor Atual A do documeto, que vem a ser igual ao Valor Nomial meos o Descoto d. Ou seja : A = N d, qualquer que seja a egociação realizada. A respeito do Valor A, quato meor o prazo de adiatameto, mais próximo de N ele será e, claro, meor será o valor d que será cobrado pelo baco. O comércio fiaceiro oferece dois tipos de descoto, o Descoto por Detro (D), e o por Fora (D ). Estudemos cada um deles : Descoto por Detro : D Supoha que você vá descotar hoje um cheque bom para daqui a dias. Se por detro, o descoto D será obtido com a aplicação da taxa i multiplicada pelo Valor Nomial N, levado em cosideração o prazo de adiatameto. Valerá portato a fórmula: D = N. i. Naturalmete, a taxa e o tempo devem se referir à mesma uidade croológica. Como vimos, D = N A e D = N.i., etão podemos escrever a igualdade : N A = N. i., etão : A = N N. i., ou aida : A = N. (1 - i.). Descoto por Fora : D Na mesma situação do comerciate com documeto de crédito vecível em dias, se o descoto for por Fora, ou seja, D, a taxa i será multiplicada pelo valor atual A, também sedo cosiderado o prazo de adiatameto e etão a fórmula, com i e a mesma uidade de tempo, será : 17

18 D = A. i. Como D = N - A, e D = A. i., etão, aalogamete ao descoto por detro, pode- remos afirmar que N A = A. i., e assim N = A + A. i., e fatorado o segudo mem- bro da igualdade, teremos : N = A. ( 1 + i. ). O Descoto D, por fora, também pode ser chamado de Descoto Bacário. O Descoto D, por detro, tem o ome de Descoto Racioal. Exemplos : 1) Um comerciate de móveis domésticos descotou em um baco um cheque pré-datado o valor de R$ 4 600,00 45 dias ates do seu vecimeto, e o baco cobrou uma taxa de descoto de 4% ao mês. Calcular o valor do Descoto cobrado pelo baco e o valor atual do documeto. Resolução : N = 4600 ; = 45 dias = 1,5 mês ; i = 4% am ; A = - ; D = - Como a istituição que efetuou o descoto é um baco, estamos tratado de D, descoto por fora ou bacário : D = N. i., logo : D = ,04. 1,5 = R$ 276,00. Como A = N D, etão: A = = R$ 4 324,00. Assim, o valor recebido pelo comerciate foi R$ 4 243,00 e o baco ficou com R$ 276,00 a título de taxa de serviço de descoto. 2) Vamos supor que o mesmo comerciate do exemplo aterior procurasse um aplicador que fizesse o descoto por detro, do mesmo documeto, à mesma taxa e mesmo prazo de adiatameto. Assim, o descoto será : D = A. i., e teremos: D = (N D ).i. = N.i. D.i. Resolução : N = 4600 ; = 45 dias = 1,5 mês ; i = 4% am ; A = -- ; D = --, 18

19 D = ,04. 1,5 D. 0,04. 1,5, ou seja : D = 276 0,06D, que os remete ao seguite valor : 1,06 D = 276. Assim, D = R$ 260,38, e A = N D = R$ 4 339, 22 OBS - É fácil perceber que o descoto por fora foi mais egócio para o comerciate. Isto é atural, pois o descoto por fora a taxa icide sobre o valor omial e o por detro ela recai sobre o valor atual que, como há descoto, só pode ser meor que o que está escrito o cheque. o documeto. 3) A proprietária de uma loja de roupas femiias leva ao gerete de seu baco um borderô de cheques pré-datados o dia 9 de março com os seguites dados : Cheque º -- --Valor-- -- Vecimeto-- -- Prazo de Atecipação ,00 10 de abril 32 dias ,00 24 de março 15 dias 00338A 4 500,00 9 de julho 4 meses ,00 17 de março 8 dias Ache o valor líquido que ela receberá o baco, se a taxa de descoto for 6% ao mês. Resolução: Novamete a egociação foi realizada em um baco, logo o descoto é bacário ou por detro : D = N. i., e assim, como i será aplicada em todos os valores omiais, os des- cotos serão aplicados também eles, e ficaremos com : D = N. i.. Taxa de descoto : i = 6% am = 0,06 am = (0,06:30) ad = 0,002 ad D = ( ). 0,002 = D = ,002 = R$ 1199,69 Valor Nomial : N = 1250, , , ,00 = R$ 7373,00 19

20 Valor líquido, ou atual: A = N D = 7373, ,69 = R$ 6 173,31. OBS- Pode parecer estraho que etre 9 de março e 10 de abril teham decorridos 32 dias (croologicamete correto - cheque ), e os 4 meses do cheque 00338A se trasformarem em 120 dias ( croologicamete icorreto), porém, esta trasformação depederá do cotrato firmado etre as partes. Exercícios : 1) Uma empresa descota em um baco uma duplicata de R$ 9 200,00, 27 dias ates do vecimeto. Se a taxa de descoto cobrada é 4,6 % ao mês, obteha o valor atual do documeto. ( Resp,: R$ 8 819,12) 2) O açougueiro do meu bairro descotou a promissória que recebeu do restaurate da miha rua cujo valor omial era R$ 12850,00 e recebeu o valor atual de R$ 11900,00. Calcule a da- ta de vecimeto da promissória se hoje é 15 de abril e a taxa de descoto por detro foi 8 % ao mês. Resp.: ( 13 de maio) 3) Cosidere o problema aterior a taxa de descoto por fora, e ache a data de vecimeto. Resp.: (15 de maio) 4) Um aplicador cobra as operações de descoto por fora a taxa i mesal. Calcule a taxa de descoto mesal por detro que oferece o mesmo valor do descoto o mesmo prazo. Resp.: ( N. i i ' ) A 5) O Departameto de cobraça de uma metalúrgica apreseta ao baco um borderô com as seguites duplicatas o dia 30 de abril, uma seguda-feira : 20

21 METALÚRGICA VAI QUE É MOLE LTDA. Duplicata Valor Vecimeto Empresa Lab de serviços auxiliares R$ 3 200,00 18 de maio Oficia mecâica Agoréois R$ 4 000,00 30 de juho Sr. Um Dois Três da Silva Quatro R$ 1 250,00 90 dias Sr. Geraldo Satos R$ 650,00 10 dias úteis Cia. Arquibacada do São Paulo R$ 2 400,00 2 meses Calcular os Valores Atuais Totais do borderô os seguites casos : a) Descoto por fora com 6% de taxa mesal ; Resp.: ( R$ ,00) b) Descoto por detro com taxa de 6,8% mesais. Resp.: ( Este fica totalmete a cargo do dileto e esforçado aluo!) 6) Um comerciate descota os cheques de R$ 3 000,00, R$ 3 600,00 e R$ 4 200,00 à taxa de 3,2 % ao mês, com atecipações respectivamete de 20 dias, 28 dias e 1,4 mês. Calcular : a) O valor atual se os descotos forem por detro; b) O Motate se o comerciate dispusesse do diheiro iicialmete e aplicasse a juros simples os capitais à mesma taxa cobrada os descotos. Resp.: (a) R$ 1 440,32 ; b ) R$ ,68 ) 21

22 7) VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE CAPITAIS Um comerciate adquiriu uma partida de açúcar e deverá pagar por ela detro de 60 dias a quatia de R$ ,00. Porém, ele possuía uma determiada quatia em diheiro que apli- cou a juros compostos a uma taxa mesal de 1,5 % a mesma data que comprou o açúcar. A questão proposta é saber o valor desta quatia que, o vecimeto da dívida, possa quitá-la. Resolvedo esta questão, simplesmete teremos : M = C.(1 + i), fórmula dos juros com- 2 já ossa cohecida, etão : = C. 1,015 ou = C. 1,030225, etão o Capi tal procurado será : C = = R$ , , Isto mostra que, se o prazo de pagameto fosse 3 meses, teríamos C, e assim 3 1,015 por diate. Vamos agora supor que, além do açúcar, o comerciate tivesse adquirido também uma ou- tra quatidade de óleo de milho o valor de R$ ,00 cujo vecimeto iria ocorrer detro de 3 meses. Na mesma situação de possuir capital para aplicar como o caso do açúcar, o o vo cálculo será, como acabamos de ver : C = R$ , ,015 Etão, para quitar as duas dívidas o mometo correto são ecessários R$ 31816, 66, qua- tia que é deomiada Valor Atual A das dívidas cotratadas as compras das mercadorias. Podemos geeralizar o cálculo do Valor Atual A de uma seqüêcia de capitais que à ta- xa percetual i costate, gera as redas M1, M 2, M 3,... M, da seguite maeira : Exemplo : M1 M 2 M 3 M A A1 A2 A3... A i (1 i) (1 i) (1 i) Um oivo, para impressioar sua amada, adquiriu de presete para ela um ael de oivado e um colar de pérolas. Para pagar suas compras ele se edividou assiado duas otas promissórias de R$ 8 200,00 22

23 e R$ 9 500,00 vecíveis em 2 meses e 5 meses respectivamete. Se a taxa em vigor o mometo da compra era 2,5 % ao mês, ele deverá aplicar a juro composto este mesmo istate para quitar os compromissos assumidos uma quatia, já que ão tem certeza total de se ecotrar em codições de horar a dívida o seu vecimeto. Ache o seu valor. Resolução : i = 2,5%am ; M1 8200, 00; M , 00, prazos de 2 e 5 meses. M1 M 2 A A1 A2 = 2 5 (1 i) (1 i) = 7804, , 62 R$16201, , 025 1, 025 1, , Exercícios : 1) Calcule a quatia a ser aplicada hoje a juros compostos e a 1,4% ao mês para quitar uma dívida de R$ 3 600,00 detro de 90 dias e outra de R$ 8 700,00 detro de 150 dias. Resp.: ( R$ ,70) 2) Esta é para quem está pesado em fiaciar a compra de um bem : Você quer comprar à vista um automóvel lido, zero, com rodas, ar, som, air bags à votade, etc, e se dispôe a pagar à vista por ele a quatia de R$ ,00. Porém o pagameto pode ser realizado a prazo do seguite modo : Etrada de 20% e mais 5 parcelas mesais de R$ 6 000,00. Veja portato qual é a melhor alterativa para pagar o carro. Resp.:( O Valor Atual do pagameto a prazo é R$ ,10, que é iferior ao iferior ao preço à vista, logo é melhor fiaciar a compra estas codições). 3) (UNICAMP) O IPVA de um carro cujo valor é R$ 8 400,00 é de 3 % de seu valor e pode ser pago de uma das 3 formas a seguir : a) À vista o dia 15 de jaeiro com descoto de 5 %. Calcule este valor do imposto; b) Em 3 parcelas iguais sem descoto, com a primeira delas vecedo em 15 de jaeiro, a seguda em 15 de fevereiro e a terceira em 15 de março. Calcule o valor de cada parcela ; c) À vista em 15 de fevereiro sem descoto. Calcule o valor do imposto. Resp.: ( a) R$ 239,40 ; b) R$ 83,54 ; c) R$ 252,00 ) 23

24 8) SEQUÊNCIAS DE PAGAMENTOS Chamamos de Fluxo de Caixa de uma etidade (pessoa, família, empresa, govero, etc) durate um certo período de tempo, ao cojuto de movimetos fiaceiros de etrada (créditos) e saída (débitos) ocorridos o citado período. O fluxo pode ser represetado por um diagrama composto por um eixo horizotal (eixo x) ode marcamos o tempo, e a cada movimetação de diheiro traçamos, o mometo em que ela ocorreu, um segmeto perpedicular ao eixo horizotal e de comprimeto proporcioal ao seu valor, e aida devemos cosiderar que as etradas são cosideradas diheiro positivo e, para represetá-las, os segmetos devem ser desehados acima do eixo. Naturalmete, as saídas serão etedidas como diheiro egativo e serão represetadas por segmetos abaixo do eixo x. Damos como exemplo o fluxo de caixa de uma família durate um certo mês : dias Podemos ver claramete que, os dias 1, 2,4 e 10, iício do mês, etrou o caixa da família o total de R$ ,00 em quatro depósitos de valores diferetes, mostrado estar ela bem estabelecida como pertecete à classe média do país. Vamos ler agora suas despesas durate o mês em questão: Dia 7, R$ 2700,00; dia 13, a quatia de R$ 2400,00; dia 17, R$ 1700,00; dia 22, R$ 1800,00; dia 26, R$ 400,00 e, fialmete, o dia 29, R$ 1100,00, perfazedo assim um total de R$ ,00 (idicado pelo sial egativo). Na ossa opiião, esta família soube cotrolar seu caixa, por ão tê-lo zerado em egativa- 24

25 do, e assim foram poupados o mês R$ 4600,00. Um bom exercício para você fazer, meu aluo, é motar o seu fluxo de caixa mesal, e verificar que muitos dos gastos que você talvez faça sejam supérfluos. Vamos apostar a alteração radical de seu relacioameto com o vil metal, e é preciso que ehuma despesa, por meor que seja, deixe de ser aotada o seu Fluxo de Caixa!! Veja bem: De que adiata você apreder bem Matemática Fiaceira se ão coseguir aplicá-la para melhorar a sua vida e a da sua família! 9) FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO - Que carro lido! Vamos comprar aquele azul metálico que eu vi a rua e gostei tato! - Nós podemos fiaciar a compra! A taxa de juros ão está tão alta assim! E lá foi o casal, feliz da vida, realizar seu mais ovo soho! Escolhido o carro, vamos às complicações de documetação e fiaciameto: O preço do carro à vista é A, Valor Atual, que pode ser pago sem etrada e em prestações mesais iguais, coforme o fluxo de caixa a seguir, ode i é a taxa mesal, R é o valor de cada parcela ou prestação, e é o úmero de parcelas mesais. Uma curiosidade : Empréstimo e Fiaciameto, embora matematicamete sejam tratados da mesma forma, ão são exatamete a mesma coisa. No empréstimo, o tomador pode utili- zaro diheiro como quiser, a fialidade ão é importate, já o fiaciameto o tomador deve iformar qual será a fialidade da quatia evolvida. No primeiro caso temos o cheque espe- cial utilizado para pagar a cota de um restaurate, e o segudo a compra fiaciada de um aparelho doméstico. Em muitos casos, o fiaciameto exige a alieação do bem adquirido para garatir que, se houver falta de fudos para pagar o bem, ele seja devolvido ao agete fiaceiro. 25

26 Fiaciameto Postecipado Se a primeira parcela mesal for paga somete um mês após a compra, dizemos que o fi- aciameto em questão é postecipado ou de parcelas vecidas, e teremos o seguite fluxo : A... _ meses Perceba que o istate zero foi feito o fiaciameto e o carro foi recebido pelo comprador ( flecha ascedete). Nos mometos 1, 2,...,,, foram realizados os pagametos das prestações (flechas descedetes) de valor R. Feito o -ésimo pagameto o processo se ecerrará. Podemos ver que este fluxo mostra uma série fiita de pagametos iguais. Etão, como já fizemos em casos assim, escrevemos a seguite igualdade : R R R R R A (1 ) (1 ) (1 ) i i i i (1 i), que vem a ser a soma de uma PG fiita R com elemetos, cujo primeiro elemeto é igual a 1 i e cuja razão é 1 1 i. Se aplicarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG fiita, obteremos: R [( ) 1] [( ) 1] 1 i 1 i. 1 i 1 i A R 1 11 i 1 1 i 1 i = Assim, A = 1 (1 i) R. i 1. Podemos melhorar a expressão para A = 1 (1 i) (1 i) 1 R. R. i(1 i) (1 i). i (Fiaciameto postecipado) Portato, o caso do casal que foi adquirir aquele carro, teremos : A = Preço à vista do carro : R$ ; i = taxa mesal cobrada pela fiaceira : 2,3 % ; 26

27 = úmero de parcelas mesais : 24 ; Etrada : zero ; Valor da parcela mesal R = , , , = R....18, R R R 1, 023.0, 023 1, , 023 ; 0, Logo, o valor de cada parcela será : R = R$2843, 61 18, OBS : Covém efetuar uma pequea aálise deste caso que ão é absolutamete imagiário. a) Valor fiaciado : R$ ,00 b) Totais dos Valores pagos : 24. (2843,61) = R$ ,73 Difereça etre b e a = ,73 que represeta o valor dos juros evolvidos o processo. O casal percebeu que, embora pudesse ecarar a dívida, ela se revelou razoavelmete mais alta do que eles imagiavam o iício. Surgiu aí a ideia de, o lugar de fiaciar o carro em 24 parcelas mesais, fazerem uma ecoomia as despesas durate os 24 meses, e ivestirem mesalmete a juros compostos, uma quatia que resultasse, passado este prazo, o valor do carro pretedido. Isto é o que veremos a seguir : Ivestimeto Postecipado Passamos agora a uma outra situação ode são feitos pagametos postecipados de valor R, a uma taxa i percetual, de modo a coseguir o fim do cotrato um valor futuro M. O correspodete fluxo vem a seguir. Estamos tratado agora de um Ivestimeto postecipado : M R R R R R R Note que o istate zero ão há diheiro evolvido. Neste mometo são assiados os do- 27

28 cumetos, ou cotratos, que garatirão a lisura da trasação. O Motate será pago ao aplicador o mometo em que ele realizar o último pagameto da série. Este motate ou valor futuro M ada mais é que uma soma de motates meores que surgem a cada vez que uma parcela R é paga, e teremos etão : M M1 M 2 M 3... M 1 M e, de acordo com o cálculo dos juros compostos : M R i R i R i R i R i (1 ) (1 ) (1 )... (1 ) (1 ) Temos aqui também uma soma de PG com elemetos ode o primeiro deles é R(1+i) e a razão é (1+i), e assim temos a seguite soma para o valor do motate M: M R.(1 i). (1 i) 1 R.(1 i) (1 i) 1, que os dá o Motate ou Valor Futu- 1 i 1 i ro de um Ivestimeto Postecipado ou de parcelas vecidas. Vejamos agora o que pode ocorrer o caso que estamos abordado : O casal deseja ecoomizar mesalmete 24 parcelas R para coseguir comprar à vista um carro cujo preço, ou valor futuro ou Motate é R$ ,00, a uma taxa de 2,3 % am. Assim, se aplicarmos a úl- tima fórmula obtida, teremos : = 24 R.1,023. 1, ,023 OBS: Se resolvermos esta equação simples, teremos R = R$ 1 610,57. Se ão houver ecessidade de a compra do carro ser imediata e for adiada por dois aos, as 24 parcelas de R$ 2 843,62 se trasformarão em 24 de R$ 1 610,57! É uma ecoomia eorme! Covém pesar ela. Queremos com esta comparação mostrar a difereça existete etre as operações fiaceiras estudadas. Não estamos fazedo ehum juízo de valor tetado favorecer uma ou outra, mas apeas mostrado alterativas que podem ser utilizadas depededo das ecessidades que as pessoas podem ter em determiados mometos de suas vidas. 28

29 O mercado fiaceiro aida oferece alterativas de Fiaciameto e de Ivestimeto, que podem ser iteressates ao cliete. Covém cohecê-las : Fiaciameto Atecipado No Fiaciameto Atecipado, a primeira parcela vece o mometo da compra, como se fosse uma etrada, porém com valor igual ao das outras parcelas. É o caso que o comércio trata como sedo de uma mais tatas parcelas. Observe o fluxo de caixa : A R R R R R R Mais uma vez temos uma série de elemetos em PG, que, somados são iguais a A, e etão A A0 A1 A2... A 2 A 1, e assim : A R R R R... R i (1 i) (1 i) (1 i). Esta dedução que estamos realizado os leva à soma de uma PG ode o primeiro elemeto é R, o úmero de termos é, pois eles vão do istate zero ao istate -1, a razão é igual a 1 1 i, e o Valor Atual será à soma da PG correspodete: A = A0 A1 A2... A 2 A 1 Etão A = R R R R... R = i (1 i) (1 i) (1 i) brismo relativamete simples os dá a seguite fórmula : 1 R 1 1 i i que, com um alge- (1 i) 1 A R. 1 (Valor Atual do Fiaciameto Atecipado) (1 i). i 24 R. 1,023 1 Se voltarmos ao caso iicial do casal, teremos : 52000, e daí, obtemos o 23 1, 023.0,023 29

30 valor da parcela mesal, que é R = R$ Ivestimeto Atecipado Deixamos a dedução deste caso para o esforçado aluo que os acompaha. Se partir do Fluxo de Caixa adequado, e aplicar coveietemete a Soma dos termos da P.G. que surgirá, a fórmula a ser obtida poderá ser a seguite : M (1 i) 1 R. i Verifique agora, como exemplo, a ova situação proposta para o osso casal amigo. Em resumo, temos os seguites casos de séries de pagametos iguais : FINANCIAMENTO INVESTIMENTO (1 i) 1 PARCELAS A R. 1 (1 i). i ANTECIPADAS M (1 i) 1 R. i (1 i) 1 PARCELAS A = R. (1 i). i POSTECIPADAS (1 i) 1 M R.(1 i) i Exercícios : 1) Um jovem se decidiu por adquirir um automóvel cujo preço à vista era R$ ,00. Ele recorreu a uma empresa fiaceira que, tedo aprovado a sua ficha cadastral, propôs a taxa de 2,8% ao mês. Calcule o valor da parcela mesal os seguites casos : a) 24 parcelas iguais sem etrada ; b) Uma mais 19 parcelas iguais. Resp.: (a) R$ 2 808,23 ; b) R$ 3119,24 ) 30

31 2) Uma pessoa, após coversa com o gerete de seu baco, resolveu aplicar mesalmete a quatia de R$ 1 250,00 à taxa mesal de 0,82 % em um fudo de ivestimeto. Calcule o valor que ela irá auferir após : a) 30 aplicações postecipadas ; b) 30 aplicações atecipadas. Resp.: (a) R$ ,72 ; b) R$ ,10) OBS : Se o caso do fiaciameto houver um valor a ser pago de etrada, etão esta qua- tia deve ser obviamete retirada do Valor Atual e o fiaciameto será cosiderado como de parcelas postecipadas. 3) Comprei uma máquia de lavar roupas cujo preço à vista foi R$ 3 600,00. O fiaciameto oferecido poderia ser realizado de uma das seguites maeiras : a) 20% de etrada e 10 parcelas mesais iguais à taxa de 2,0% ao mês; b) Uma mais ove parcelas iguais a 2,4% ao mês; c) 8 parcelas iguais, sem etrada a 2,8% ao mês ; d) 3 parcelas iguais sem juros e sem etrada. Calcule o valor da parcela mesal de pagameto em cada caso. Resp.: ( a) R$ 320,62 ; b) R$ 409,21 ; c) R$ 508,53 ; d ) R$ 1200,00) Obs.: Esta última alterativa deixa claro que há sim juro embutido o preço à vista. Propoha um descoto se você fizer a compra realmete estas codições. Carêcia Há fiaciametos que apresetam a ovidade chamada carêcia, que é um período de tempo aterior à primeira parcela, em que ehum pagameto é efetuado, como os mostrados em casos ocorridos pricipalmete em promoções de vedas de fim de estoque e que ecotramos 31

32 a impresa a todo mometo : Compre hoje seus móveis de quarto e sala e comece a pagá-los somete após 3 meses!! Estes 3 meses em que aida ão ocorreu ehum pagameto são chamados Carêcia, e equato eles passam, o vededor do bem adquirido poderá cobrar juro composto, aplicado a taxa usada o fiaciameto. Termiada a Carêcia, teremos Fiaciameto Atecipado. Exemplo : Um agricultor adquiriu uma máquia colheitadeira por R$ e deverá pagá-la em 48 parcelas mesais iguais à taxa de 0,84% ao mês. Como há carêcia de 6 meses, obteha o valor das parcelas. Resolução : Durate o período de carêcia (juros compostos): M = C.(1 + i), etão teremos o ovo Valor Atual : M = , = R$ ,00 e este será o valor a ser pago com par- (1 i) 1 celas atecipadas : A R. 1 (1 i). i R 48 1, , ,0084 que é uma equação de primeiro grau a variável R, cuja solução é R = R$ 9 005,22 para valor das 48 par- celas mesais iguais a serem pagas. Exercícios : 1) Um pai de família tem salário mesal de R$ 8 400,00 e deseja realizar uma reforma em seu apartameto, mesmo sem ehuma ecoomia iicial. Suas despesas permitem que ele se utilize de até 35 % do seu salário para esta empreitada. Depois de vários estudos, ele chegou à coclusão que o preço total da obra, icluido aí mão de obra e materiais, será R$ ,00, foi ao baco coversar com o seu gerete que iformou as possibilidades de fiaciameto : a) Etrada de 15% do total e o restate em 12 parcelas mesais iguais, à taxa de 18% ao ao: 32

33 b) Quize parcelas mesais iguais, a 2,0% ao mês, sem etrada: c) Uma mais quize parcelas mesais iguais, a 1,8% ao mês: d) Vite parcelas mesais iguais, carêcia de 4 meses e taxa igual a 2,4% ao mês: Calcular em cada caso o valor da parcela e o total pago a título de juros. Resp: (a) Impossível pois a etrada é maior que 35% do salário ; b) R$ 3073,19 e R$13591,80 ; c) R$ 2491,64 e R$ 4874,58 ; d) Esta é sua, caro pupilo!) 2) A taxa de fiaciameto do Baco Quebrou, Pagou, S.A. é 3,4 % ao mês, e a de ivestimeto é 1,4% ao mês. Dois clietes, o Sr. Otário Furtado quer receber um fiaciameto, e o Sr. Esberto Larábio deseja realizar um ivestimeto, calcular o Capital (Valor Atual) ou Motate (Valor Fial) de cada trasação, coforme o caso : a) ao Sr. Otário se ele pagar 18 parcelas mesais de R$ 2 600,00; b) ao Sr. Otário se ele pagar uma mais 16 parcelas mesais de R$ 2 500,00; c) ao Sr. Otário se ele der R$ 4 000,00 de etrada e pagar 15 mesalidades de R$ 2 000,00 ; d) ao Sr. Esberto se ele pagar 18 parcelas mesais de R$ 2 600,00; e) ao Sr. Esberto se ele pagar uma mais 16 parcelas mesais de R$ 2 500,00. Resp.:(a) R$ ,20 ; b) R$ ,71 ; c) R$ ,50 ; d) R$ ,75 ; e) R$ ,68 ). 33

34 10) SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Quado alguém paga uma parcela ou prestação de uma operação fiaceira, esta pessoa, a verdade está quitado duas gradezas costates a parcela, que são a Amortização e o Juro e- la embutidos. Logo, temos que: Parcela = Amortização + Juro A Amortização é a fração da parcela que será abatida da dívida total, e o Juro é a fração do Juro total do fiaciameto que a parcela está quitado aquele mometo. O fiaciameto será horado segudo um Plao de Amortização que a istituição bacária adota, e etre eles os cocetraremos em estudar a Tabela Price e o S A C, Sistema de Amortização Costate : Tabela Price A Tabela Price, ou Sistema Fracês de Amortização, foi ivetado por Richard Price, mate- mático que, embora iglês, viveu a Fraça apoleôica. Neste sistema todas as parcelas são iguais. Claro está que em todas elas há amortização e ju- ro, cujos valores variam iversamete etre si. Isto é : Equato a fração da amortização au- meta com o passar do tempo, a do juro dimiui. Naturalmete, quato maior o valor da amor- tização, e meor o do juro, as coisas ficam mais favoráveis ao devedor. Como exemplo, supohamos a tabela de pagametos que um tomador de R$ ,00 de- verá quitar em 10 parcelas mesais à taxa de 1,2 % ao mês, sem etrada. (1 i) 1 De acordo com a fórmula de fiaciameto postecipado, já sabemos que: A = R. (1 i). i Etão, se A = R$ ,00 ; = 10 ; i = 1,2 % am, o valor de R que você poderá calcular facilmete, será : R = R$ 1 280,62. Podemos, a partir deste cálculo iicial, motar a plailha : Os cálculos a realizar para a motagem desta prática tabela levam em cosideração o valor de de, ordem da parcela paga. Assim, se = 1, o juro será j 1, a amortização será a 1 e a parce- la, p 1. Lembre-se que, este caso, as parcelas ão mudam, ou p1 p2... p. 34

35 Os valores por exemplo, para = 1 serão : Parcelas todas iguais coforme dito o parágrafo aterior, j1 i. 0, etão, j4 i. 3, e a amortização, por exemplo, a3 p3 j3. O saldo deve- dor será, também como exemplo, S4 S3 a3 : T A B E L A P R I C E Saldo devedor juro amortização parcela , ,38 144, , ,12 130, , , ,56 116, , , ,53 102, , , ,86 88, , , ,89 74, , , ,43 59, , , ,82 45, , , ,40 30, , , , , ,62 Exercícios : 1) Mote a plailha de pagametos de 6 parcelas semestrais, de acordo com a Tabela Price, de um fiaciameto de R$ ,00 à taxa semestral de 12 %. Resp.:( ) Saldo juro amortização parcela , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,63 204, , , ) O gerete de uma fiaceira iformou ao cliete que buscava um fiaciameto ode ele daria uma etrada de 30 % do valor total de um imóvel de R$ ,00 que a taxa mesal cobrada pela istituição este caso seria de 0,84%. O cliete acrescetou que pretedia saldar o empréstimo em 18 meses. A plailha dos pagametos seria etregue a ele o dia seguite 35

36 pelo Departameto de Crédito, para o cliete ficar ciete e dar o de acordo. O estagiário é o de- dicado leitor que os hora com a sua ateta leitura. Cotiue portato os seus cálculos, e com urgêcia! Afial, o seu trabalho já está iiciado, basta dar cotiuidade a ele! Resp.: ( ) saldo juro amortização parcela , , , , , , , , Propriedades importates : Não deve ser difícil imagiar o trabalho que dará ao pobre estagiário a motagem solicita- da de 180 parcelas de um fiaciameto imobiliário a Tabela Price. Para evitar toda esta mão de obra, examiemos a tabela já motada. Lembre-se que o estagiário é você! Observado com ateção a tabela de exemplo, perceberemos que os elemetos da colua de amortizações a1, a2, a3,..., a,... formam uma PA crescete cujo primeiro membro é igual a : a R j R A. i, e cujo segudo membro é a2... 2( R A0i). Portato a razão é facilmete obtida, e, em coseqüêcia, qualquer um de seus membros. Se você preferir, obser- 36