CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA AULA 09

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1 1 AULA 09 Olá, amigos! Chegamos hoje ao osso peúltimo simulado! Com mais esta aula, completaremos 8 (ceto e oito) questões resolvidas e miuciosamete aalisadas (54 de cada matéria). Teho a impressão de que este curso, se levado a sério, será capaz de os elevar a um bom ível de cohecimeto, as duas disciplias. Peso que a hora de aproveitar o tempo é agora, equato aida ão tem edital publicado! Quem me cohece mais de perto, sabe que sou um otimista iveterado, de sorte que eu acredito que as questões das próximas provas de Matemática Fiaceira e de Estatística da Esaf dificilmete estarão distates destas resolvidas por ós este curso. Ademais, aida que o estilo da questão seja outro, uma iovação, é certo que com essas questões que estamos resolvedo, teremos codições de desevolver ovos raciocíios! Claro! Não somos robôs e em estamos aqui aprededo a decorar ada (a ão ser as fórmulas!). Estamos aprededo a pesar esses vários assutos. Já quase em tom de despedida, uma vez que a próxima aula é a saideira, peço a todos, siceramete, que ão desperdicem essa chace de revisar cada questão deste curso, e assim torá-lo (por que ão dizer?) um marco defiitivo a sua preparação de Estatística e de Matemática Fiaceira. Seguem as questões de hoje. Marque o tempo e pode começar! Q U E S T Õ E S 7. (AFRF 003) Cosidere a tabela de freqüêcias seguite correspodete a uma amostra da variável X. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias Acumuladas (%) Assiale a opção que correspode à estimativa do valor de X da distribuição amostral de X que ão é superado por cerca de 80% das observações. a).000 b) c) d) e) (AFRF-00) Um atributo W tem média amostral a 0 e desvio padrão positivo b 1. Cosidere a trasformação Z=(W-a)/b. Assiale a opção correta. a) A média amostral de Z coicide com a de W. b) O coeficiete de variação amostral de Z é uitário. c) O coeficiete de variação amostral de Z ão está defiido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiete de variação amostral de W e o de Z coicidem. - Prof. Sérgio Carvalho

2 35. (AFRF-00/) Uma variável cotábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresetado os resultados seguites: Grupo Média Desvio padrão A 0 4 B 3 Assiale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y etre os Grupos A e B é medida pelo quociete da difereça de desvios padrão pela difereça de médias. e) Sem o cohecimeto dos quartis ão é possível calcular a dispersão relativa os grupos. 45. (AFRF-00) Etede-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatameto em geral medido em relação à distribuição ormal. Uma medida de curtose é dada pelo quociete k Q = P 90 P ode Q é a metade da distâcia iterquartílica e P 90 e P represetam os percetis de 90% e %, respectivamete. Assiale a opção que dá o valor da curtose к para a distribuição de X. a) 0,63 b) 0,50 c) 0,300 d) 0,4 e) 0, (FISCAL DO INSS-00) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüêcias de um atributo X para uma amostra de tamaho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamaho 5. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamete. Assiale a opção que dá o valor do coeficiete de assimetria de Pearso que é baseado a média, a mediaa e o desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,6 - Prof. Sérgio Carvalho

3 3 31. (AFRF-001) Uma empresa deve pagar R$0.000,00 hoje, R$.000,00 ao fim de trita dias e R$31.00,00 ao fim de oveta dias. Como ela só espera cotar com os recursos ecessários detro de sesseta dias e pretede egociar um pagameto úico ao fim desse prazo, obteha o capital equivalete que quita a dívida ao fim dos sesseta dias, cosiderado uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ 63.3,00 d) R$ 6.00,00 b) R$ ,00 e) R$ ,8 c) R$ 6.03, (AFRF-001) Um idivíduo faz um cotrato com um baco para aplicar mesalmete R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$.000,00 mesalmete do quito ao oitavo mês, R$3.000,00 mesalmete do oo ao décimo segudo mês. Cosiderado que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o motate ao fim dos doze meses, cosiderado uma taxa de juros compostos de % ao mês (despreze os cetavos). a) R$ 1.708,00 d) R$.663,00 b) R$ 9.760,00 e) R$ 6.116,00 c) R$ 35.50,00 5. (ANALISTA SERPRO 001) Um país laçou bôus o mercado iteracioal de valor omial, cada bôus, de US$ 1.000,00, com dez cupos semestrais o valor de US$ 50,00 cada, vecedo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamete até o décimo semestre, quado o país deve pagar o último cupom jutamete com o valor omial do título. Cosiderado que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referêcia levou o país a pagar uma taxa fial de juros omial de 1% ao ao, calcule o deságio sobre o valor omial ocorrido o laçameto dos bôus, abstraido custos de itermediação fiaceira, de registro, etc. a) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bôus b) US$ 5,00 por bôus e) 5,94% c) 8,43% 56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, o mometo zero, das quatias que compõem o seguite fluxo de valores: um desembolso de R$.000,00 em zero, uma despesa o mometo um de R$ 3.000,00 e ove receitas iguais de R$ 1.000,00 do mometo dois ao dez, cosiderado que o itervalo de tempo decorrido etre mometos cosecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar aida a coveção de despesa egativa e receita positiva, e desprezar os cetavos. a) R$.511,00 d) R$.646,00 b) R$ 0,00 e) R$.873,00 c) R$ 3.617,00 - Prof. Sérgio Carvalho

4 4 58. (ANALISTA SERPRO 001) Cosiderado o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de % ao período a),44 b)8,91 b) 31,18 c) 43,33 d) 50,5 60. (AFRF-00-) Cosiderado a série abaixo de pagametos o fim de cada ao, obteha o úmero que mais se aproxima do valor atual total destes pagametos o iício do ao 1, a uma taxa de descoto racioal de % ao ao, juros compostos. Ao Valor a).08,87 b).7,91 c).48,43 d).73,33 e).300,5 ª Etapa) Resolução das Questões Acompahemos jutos as resoluções de hoje! 7. (AFRF 003) Cosidere a tabela de freqüêcias seguite correspodete a uma amostra da variável X. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias Acumuladas (%) Assiale a opção que correspode à estimativa do valor de X da distribuição amostral de X que ão é superado por cerca de 80% das observações. a).000 b) c) d) e) Prof. Sérgio Carvalho

5 5 Sol.: Este euciado trouxe uma distribuição de freqüêcias, mas ão disse, em mometo algum, quato vale o (úmero de elemetos do cojuto)! Quado isso ocorrer, usaremos =0. Isso será feito para facilitar as ossas cotas e, portato, a ossa vida! Sabedo disso, tudo fica fácil. Pois, se o =0, etão para trasformarmos a Fi (Freqüêcia Relativa Simples) em fi (freqüêcia absoluta simples), basta tirar o sial de porcetagem (tirar o %). O mesmo vale para as seguites trasformações: Para trasformar a Fac (Freqüêcia Relativa Acumulada Crescete) em fac (freqüêcia absoluta acumulada crescete); Para trasformar a Fad (Freqüêcia Relativa Acumulada Decrescete) em fad (freqüêcia absoluta acumulada decrescete). Em suma: para fazer as seguites alterações: Fi para fi Fac para fac Fad para fad Sedo =0, etão basta tirar o sial de porcetagem (%)! Daí, teremos: Classes Fac fac % % % % % % 0 Na verdade, só falei dessa dica para o caso de uma ecessidade, mas para essa questão especificamete, ão era ecessário outra colua, seão a própria Fac que já foi forecida pelo euciado. Queremos saber qual o valor, detro de uma das classes, que correspode exatamete a 80% dos elemetos do cojuto. Vamos pegar um atalho para resolver esse problema. É fácil verificar que ao limite superior da quarta classe (.000), correspode a Fac de 77%. Vejam: Classes Fac % % % % % % Se avaçarmos toda a próxima classe (.000 a 1.000), chegaremos a 89%. Cofira: - Prof. Sérgio Carvalho

6 6 Classes Fac % % % % % % Nosso ituito é chegar aos 80%, de sorte que só teremos que avaçar mais 3%, detro da quita classe (.000 a 1.000). Está claro isso? De 77%, para chegarmos aos 80%, restam 3%. Coclusão: ossa resposta está, ecessariamete, iserida esta quita classe (.000 a 1.000). Certo? Pois bem! Vamos aalisar as opções de resposta, uma a uma. a).000 b) c) d) e).500 Será que a letra a (.000) pode ser ossa resposta? Claro que ão, uma vez que o limite.000 correspode a 77% dos elemetos do cojuto. Vejam: Classes Fac % % % % % % E a letra b (1.000)? Também ão, uma vez que correspode ao percetual 89%. Vejam: Classes Fac % % % % % % E quato à letra c (1.500)? De jeito ehum! Esse valor, 1.500, sequer pertece à quita classe, a qual ós sabemos que está ossa resposta! Seria a letra d (11.000) a ossa resposta? Vejamos: é exatamete o Poto Médio da quita classe. Ora, esta quita classe tem 1% dos elemetos do cojuto (89%-77%=1%). Se a classe tem 1%, etão metade da classe terá 6%. Até a classe aterior já acumulamos 77% dos elemetos do cojuto. Avaçado mais 6%, chegaremos a 83% (77%+6%=83%). Ou seja, está descartada a opção d. Por via de exceção, chegamos à resposta certa: Letra e (R$.500,00) Resposta! - Prof. Sérgio Carvalho

7 7 33. (AFRF-00) Um atributo W tem média amostral a 0 e desvio padrão positivo b 1. Cosidere a trasformação Z=(W-a)/b. Assiale a opção correta. a) A média amostral de Z coicide com a de W. b) O coeficiete de variação amostral de Z é uitário. c) O coeficiete de variação amostral de Z ão está defiido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiete de variação amostral de W e o de Z coicidem. Sol.: O segredo para acertarmos essa questão sem maiores dificuldades é o seguite: substituiremos as letras trazidas pelo euciado (para represetar média e desvio padrão) pela omeclatura com a qual já estamos acostumados! Assim, teremos: Média de W = a = W Desvio Padrão de W = b = Sw. Proto! A trasformação da variável apresetada pelo euciado foi a seguite: 1ª)- W ª) Sw W Z ª)+W 1ª) Sw Aalisemos item por item: a) A média amostral de Z coicide com a de W. Vamos partir do lado de cá (do W), com a média W, e seguirmos o camiho de cima (em azul). Teremos: 1ª operação) W -W =0 ª operação) 0 Sw = 0 Daí: Z =0 Uma vez que foi dito pelo euciado que W é diferete de zero, cocluímos que a Média de W ão pode ser igual à Média de Z. Ou seja: (W Z ). A letra a está descartada! b) O coeficiete de variação amostral de Z é uitário. Vejamos! A defiição de coeficiete de variação (CV) é a seguite: CV = Desvio Padrão Média Ora, sabemos que a média de Z é igual a zero! Foi o que descobrimos a letra a. Daí, o CV de Z será o seguite: CVz = Sz/0 - Prof. Sérgio Carvalho

8 8 Ora, quato vale uma divisão por zero? É possível realizar tal operação? Não! Trata-se de resultado que ão está defiido! A letra b perguta se esse CVz é igual a 1. Não é! Este CVz é um valor que ão está defiido! É exatamete o que os diz a letra c. Portato, cocluímos: Letra c Resposta! 35. (AFRF-00/) Uma variável cotábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresetado os resultados seguites: Grupo Média Desvio padrão A 0 4 B 3 Assiale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y etre os Grupos A e B é medida pelo quociete da difereça de desvios padrão pela difereça de médias. e) Sem o cohecimeto dos quartis ão é possível calcular a dispersão relativa os grupos. Sol.: Questão facílima! Este tipo de euciado foi muito explorado atigamete pela Esaf. Eu mesmo julgava que ão mais veria questão como essa as provas atuais. Mas a Esaf como sempre surpreede. Nesse caso, para o bem! Aqui só precisaremos cohecer o sigificado de dois termos: Dispersão Absoluta é o mesmo que Desvio Padrão. Dispersão Relativa é o mesmo que Coeficiete de Variação. E mais: o Coeficiete de Variação é dado por: CV=(desvio padrão/média). Daí, podemos compor uma ova tabela, com esses siôimos e com o cálculo do CV dos dois grupos A e B. Teremos: Grupo Média Desvio padrão Dispersão Absoluta CV Dispersão Relativa A 0 4 (4/0)=0,0 B 3 (3/)=0,30 Proto! Só isso. Não há mais como errarmos essa questão! Até sem maior perda de tempo, chegaremos à coclusão que a resposta certa é a opção c. Vejamos: c) A dispersão relativa do Grupo B (0,30) é maior do que a dispersão relativa do Grupo A (0,0). Resposta! - Prof. Sérgio Carvalho

9 9 45. (AFRF-00) Etede-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatameto em geral medido em relação à distribuição ormal. Uma medida de curtose é dada pelo quociete k Q = P 90 P ode Q é a metade da distâcia iterquartílica e P 90 e P represetam os percetis de 90% e %, respectivamete. Assiale a opção que dá o valor da curtose к para a distribuição de X. a) 0,63 b) 0,50 c) 0,300 d) 0,4 e) 0,000 Sol.: No euciado, o elaborador tetou complicar um pouco a compreesão da fórmula do ídice percetílico de Curtose. Além disso, usou Percetis em lugar de Decis. Todavia, sabemos perfeitamete que Décimo Percetil (P) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Noagésimo Percetil (P90) é a mesma coisa que Noo Decil (D9). Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para ecotrar esta resposta, o Ídice Percetílico de Curtose, exatamete da forma como o cohecemos: ( Q3 Q1 ) ( D ) C = D Obviamete que todos sabemos que há um trabalho prelimiar a ser realizado, que é exatamete o de chegarmos à colua da freqüêcia absoluta simples fi. Como já foi falado exaustivamete sobre este procedimeto de usar o Camiho das Pedras para chegarmos às freqüêcias desejadas, expomos a seguir o resultado destas operações e, fialmete, a colua da fi. Classes Fac Fi fi % 5% % % % 5% % 30% % 15% % % % 5% 9 1 Cálculo do Primeiro Quartil Q1: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (/4): Xi 70! ! ! ! ! ! !--- fi =00 Daí, achamos que =00, portato, (/4)=50 - Prof. Sérgio Carvalho

10 º Passo) Costruímos a fac: Xi fi fac 70! ! ! ! ! ! ! =00 3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (/4), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao primeiro quartil: Xi fi fac 70! ! ! ! ! ! ! =00 é maior ou igual a 50? NÃO! 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 80 é maior ou igual a 50? SIM! Como a resposta foi afirmativa a terceira fac, procuramos a classe correspodete (1! ) e dizemos que esta será ossa Classe do Primeiro Quartil. 4º Passo) Fazemos o deseho que os auxiliará a compor a regra de três que os fará chegar ao primeiro quartil. Teremos: 0 (=130-1) X 1 Q (=80-30) Daí, compodo ossa regra-de-três, teremos: 0 X = 50 0 E, fialmete: X=(0x0)/50 X=400/50 X=8,0 Daí: Q1=118,00 - Prof. Sérgio Carvalho

11 11 Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (3/4). Já sabemos que =00 e, portato, (3/4)=150. º Passo) Costruímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (3/4), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: Xi fi fac 70! ! ! ! ! ! ! =00 é maior ou igual a 150? NÃO! 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 170 é maior ou igual a 150? SIM! Como a resposta SIM surgiu a fac da quita classe (150! ), diremos que esta será ossa Classe do Terceiro Quartil. 3º Passo) Fazemos o deseho que os auxiliará a compor a regra de três que os fará chegar ao terceiro quartil. Teremos: 0 (= ) X 150 Q (= ) Daí, compodo ossa regra-de-três, teremos: Daí: 0 X = 30 X=(0x)/30 X=00/30 X=6,67 Daí: Q3=156,67 - Prof. Sérgio Carvalho

12 1 Cálculo do Primeiro Decil: D1 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (/). Sabemos que =00 e, portato, (/)=0. º Passo) Costruímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao primeiro decil: Xi fi fac 70! ! ! ! ! ! ! =00 é maior ou igual a 0? NÃO! 30 é maior ou igual a 0? SIM! Achamos, portato, que a classe correspodete (90!--- 1) será ossa Classe do Primeiro Decil! 3º Passo) Fazemos o deseho que os auxiliará a compor a regra de três que os fará chegar ao terceiro quartil. Teremos: 0 (=1-90) X 90 D (=30-) Daí, compodo ossa regra-de-três, teremos: Daí: 0 X = 0 X=(0x)/0 X=00/0 X=,00 Daí: D1=0,00 - Prof. Sérgio Carvalho

13 13 Fialmete, ecotraremos o Noo Decil D9: 1º Passo) Ecotraremos e calcularemos (9/). Sabemos que =00 e, portato, (9/)=180. º Passo) Costruímos a fac e comparamos os valores da fac com o valor de (9/), fazedo a perguta de praxe, adaptada ao oo decil: Xi fi fac 70! ! ! ! ! ! ! =00 é maior ou igual a 180? NÃO! 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 190 é maior ou igual a 180? SIM! Achamos, portato, que a classe correspodete (170! ) será ossa Classe do Noo Decil. 3º Passo) Fazemos o deseho que os auxiliará a compor a regra de três que os fará chegar ao oo decil. Teremos: 0 (= ) X 170 D (= ) Neste caso, em precisaríamos fazer regra de três, pois fica evideciado que os limites da classe (170 e 190) coicidem com as freqüêcias acumuladas associadas (170 e 190). Daí, cocluímos que o X=0. Daí: D9=180 Agora sim! Chegou o mometo de reuirmos os valores ecotrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portato: ( Q3 Q1 ) ( D ) C = D 9 1 C = ( 156,6 118) ( 180 0) C = 0, 4 Resposta! - Prof. Sérgio Carvalho

14 (FISCAL DO INSS-00) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüêcias de um atributo X para uma amostra de tamaho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamaho 5. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamete. Assiale a opção que dá o valor do coeficiete de assimetria de Pearso que é baseado a média, a mediaa e o desvio padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,6 Sol.: Precisaríamos aqui idetificar qual foi a fórmula pedida pelo euciado, para o cálculo da Assimetria! Ora, o euciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula a qual costarão a Média, a Mediaa e o Desvio-Padrão. Trata-se, obviamete, do º Coeficiete de Assimetria de Pearso, dado pelo seguite: ( X Md ) A = 3 S Temos que o euciado já os foreceu o valor do deomiador (S=). Restaos, pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediaa! Comecemos pela Média: Classes fi PM ( PM,5) 6 fi.yi = Yi , , , , , , , , , =13 Calculado a Média da variável trasformada Y, teremos: 13 Y = = 3, Prof. Sérgio Carvalho

15 15 Daí, fazedo as operações do camiho de volta da trasformação da variável, teremos: 3,7 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 =,64 Daí: Média =,64 Passado ao cálculo da Mediaa, faremos: (/)=33. Costruiremos a colua da fac, e compararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos: Classes fi Fac é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? SIM! Daí, faremos o deseho que os ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos o valor da Mediaa. Teremos: 5 (=4-19) X 19 Md (=39-4) Daí, compodo ossa regra-de-três, teremos: Daí: 5 X = 15 9 X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Daí: Md=,00 Agora, aplicado a equação da Assimetria, teremos: (,64,00) 3 A = A=0,191 Resposta! - Prof. Sérgio Carvalho

16 (AFRF-001) Uma empresa deve pagar R$0.000,00 hoje, R$.000,00 ao fim de trita dias e R$31.00,00 ao fim de oveta dias. Como ela só espera cotar com os recursos ecessários detro de sesseta dias e pretede egociar um pagameto úico ao fim desse prazo, obteha o capital equivalete que quita a dívida ao fim dos sesseta dias, cosiderado uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a)r$ 63.3,00 b)r$ ,00 c)r$ 6.03,00 d) R$ 6.00,00 e) R$ ,8 Sol.: Primeiramete, como idetificamos que se trata de uma questão de Equivalêcia de Capitais? Ora, havia uma forma origial de cumprir uma determiada obrigação. (Essa forma origial de pagameto, a propósito, está explicitada a primeira frase do euciado!) Ocorre que por estar sem codições de cumprir a obrigação (os termos origialmete cotratados), a devedora vai querer alterar a forma origial de pagameto! Proto! Já é o suficiete! Neste euciado, idetificamos que a Equivalêcia é composta pela última iformação que foi trazida:...cosiderado uma taxa de juros compostos...! Sabemos que a resolução da questão de equivalêcia é uma receita de bolo. Iiciemos pelos passos prelimiares de resolução. Teremos: # Passos Prelimiares de Resolução: Primeiro Passo: Desehar a questão! Para esse euciado, teremos: X 31.00, 0.000,.000, 0 30d 60d 90d Segudo Passo: Defiir os valores de Primeira e de Seguda Obrigação, desigado-os, respectivamete, por (I) e (II). Teremos: - Prof. Sérgio Carvalho

17 17 X 31.00, 0.000,.000, 0 30d 60d 90d (I) (I) (II) (I) Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos a mesma uidade. Aqui a taxa forecida é mesal, logo, chamaremos 30 dias, 60 dias e 90 dias, de 1, e 3 meses, respectivamete. Teremos: X 31.00, 0.000,.000, 0 1m m 3m (I) (I) (II) (I) Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Descoto! Neste caso, a equivalêcia é composta e o descoto é o composto por detro. Quito Passo: Defiir a localização da Data Focal. Podemos escolher qualquer uma, já que equivalêcia composta a escolha da data focal é livre! Aqui, escolheremos a data dois meses como sedo ossa data focal. Teremos: - Prof. Sérgio Carvalho

18 18 X 31.00, 0.000,.000, 0 1m m 3m (I) (I) (II) (I) DF Cocluídos os passos prelimiares de resolução, passemos aos passos efetivos! # Passos Efetivos de Resolução da Equivalêcia Composta: Primeiro Passo: Trasportar para a Data Focal os valores da Primeira Obrigação! Comecemos com a parcela de 0.000, que se ecotra a data zero. Levado-a para a data focal, por meio de uma operação de descoto composto por detro, teremos: E 0.000, 0 m (I) DF E=0000.(1+i) E=0000.(1+0,04) Daí: E=0000x1,0816 E=1.63,00 Trabalhado agora com a parcela R$.000,00 que está sobre a data 1 mês, teremos: F.000, 1m (I) m DF - Prof. Sérgio Carvalho

19 19 F=000.(1+i) F=000.(1+0,04) 1 Daí: F=000x1,04 F=.400,00 Acabou o segudo passo? Aida ão! Falta a parcela de R$31.00,00 a data 3 meses. Levemo-a para a data focal. Teremos: G 31.00, m DF 3m (I) 30=G.(1+i) G=30/(1+0,04) 1 G=30/1,04 E: G=30.000,00 Tem mais alguém que seja primeira obrigação para que ós o levemos para a data focal? Não, iguém! Etão, sigifica que termiou o osso primeiro passo! Passemos ao segudo passo efetivo de resolução. Segudo Passo: Trasportar para a Data Focal os valores da Seguda Obrigação! Vejamos de ovo o deseho completo da ossa questão: X 31.00, 0.000,.000, 0 1m m 3m (I) (I) (II) (I) DF - Prof. Sérgio Carvalho

20 0 Ora, se o objetivo agora é o de levar para a data focal quem for seguda obrigação, etão percebemos que este segudo passo já está cocluído, sem que precisemos fazer ada! Estão vedo? De seguda obrigação ós só temos o valor X, o qual já se ecotra sobre a data focal. Daí, ão terá que ser levado para lugar ehum, uma vez que já está ode queremos que ele esteja! Ou seja, o resultado do segudo passo efetivo é o próprio X! Resta passarmos ao terceiro e último passo efetivo, o arremate de toda questão de equivalêcia de capitais! Terceiro Passo: Aplicar a Equação de Equivalêcia : Este passo fial da resolução, coforme estamos lembrados, é a forma pela qual se ecerram todas as questões de Equivalêcia de Capitais, seja qual for o regime (simples ou composto)! É a seguite: (I) DF = (II) DF Somete recordado: a primeira parte da equação, ates do sial de igualdade, represeta os valores da primeira obrigação, depois de levados para a data focal. Ou seja, a primeira parte da equação ada mais é que a soma dos resultados do primeiro passo efetivo de resolução! Equato que a seguda parte da equação, após o sial de igualdade, será a soma dos resultados do segudo passo efetivo. Teremos: =X Daí: X=6.03,00 Resposta! 48. (AFRF-001) Um idivíduo faz um cotrato com um baco para aplicar mesalmete R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$.000,00 mesalmete do quito ao oitavo mês, R$3.000,00 mesalmete do oo ao décimo segudo mês. Cosiderado que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o motate ao fim dos doze meses, cosiderado uma taxa de juros compostos de % ao mês (despreze os cetavos). a)r$ 1.708,00 d) R$.663,00 b)r$ 9.760,00 e) R$ 6.116,00 c)r$ 35.50,00 Sol.: Mais uma questão de Redas Certas, o mesmíssimo modelo já osso cohecido! Aqui teremos três séries de aplicações: quatro parcelas de R$00, quatro de R$000 e mais quatro de R$3000. Daí, o euciado perguta o motate que resulta destas doze aplicações, a data da última de R$3000, cosiderado uma taxa de juros compostos. Só teremos que desehar a questão e utilizarmos o artifício de defiir íveis, por meio de simples tracejados. Teremos, efim, que: - Prof. Sérgio Carvalho

21 1 X 1º Nível º Nível º Nível Proto! Agora que já fizemos os tracejados e dividimos osso deseho em três íveis, ossa resolução será quase que imediata! Trabalharemos cada ível separadamete! Para o primeiro ível, teremos que: T=P. S i T=00. S 1 % TABELA III Cosultado a Tabela Fiaceira das Redas Certas, ecotraremos: FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS s i ( 1+ i) 1 = i i 1% % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % 1 1, , , , , , , , , ,000000,0000,00000,030000,040000,050000,060000,070000,080000,090000, ,0300 3, , , , , , , ,780 3, , , , , ,315 4, , , , , ,05 5, , ,4163 5, , , , ,9847 6,50 6 6, , ,4684 6, , , , , , , , ,49 14, , , , , , , , , ,4131 3, , , , , , , , Daí, o resultado do primeiro ível será: T =00x13,49 - Prof. Sérgio Carvalho

22 E: T =13.41,09 1º Nível Esse resultado ficará guardado, de molho, para o fial da questão! Vamos trabalhar agora somete com as parcelas do º ível. Teremos: T=P. S i T=00. S 8 % Cosultado a Tabela Fiaceira das Redas Certas, ecotraremos: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS s i ( 1+ i) 1 = i i 1% % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % 1 1, , , , , , , , , ,000000,0000,00000,030000,040000,050000,060000,070000,080000,090000, ,0300 3, , , , , , , ,780 3, , , , , ,315 4, , , , , ,05 5, , ,4163 5, , , , ,9847 6,50 6 6, , ,4684 6, , , , , , , , , , ,146 9,5499 9,897468,5980, , , , ,4131 3, , , , , , , , Daí, o resultado do segudo ível será: T =00x8,58969 E: T =8.58,69 º Nível Para fializar, trabalharemos com as parcelas do terceiro ível. Teremos: T=P. S i T=00. S 4 % Cosultado a Tabela Fiaceira das Redas Certas, ecotraremos: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS s i ( 1+ i) 1 = i i 1% % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % 1 1, , , , , , , , , ,000000,0000,00000,030000,040000,050000,060000,070000,080000,090000, ,0300 3, , , , , , , ,780 3, , , , , ,315 4, , , , , , ,4131 3, , , , , , , , Daí, o resultado do terceiro ível será: T =00x4,11608 E: T =4.11,60 3º Nível - Prof. Sérgio Carvalho

23 3 Fialmete, compodo o resultado das três séries de aplicações, teremos: T +T +T =X=13.41, , ,60 X=6.116,38 Resposta! 5. (ANALISTA SERPRO 001) Um país laçou bôus o mercado iteracioal de valor omial, cada bôus, de US$ 1.000,00, com dez cupos semestrais o valor de US$ 50,00 cada, vecedo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamete até o décimo semestre, quado o país deve pagar o último cupom jutamete com o valor omial do título. Cosiderado que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referêcia levou o país a pagar uma taxa fial de juros omial de 1% ao ao, calcule o deságio sobre o valor omial ocorrido o laçameto dos bôus, abstraido custos de itermediação fiaceira, de registro, etc. d) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bôus e) US$ 5,00 por bôus e) 5,94% f) 8,43% Sol.: Esta ão é a primeira questão de país e bôus que resolvemos! Pelo que já cohecemos, o deseho desta questão será o seguite: X 1.000,00 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, Qual o osso objetivo? Trasportar todos os valores em vermelho (cupos e valor omial do título) para a data zero! A taxa da operação é uma taxa omial, de 1% ao ao, com capitalização semestral, uma vez que o período etre os cupos é o semestre! Trasformado a taxa omial em efetiva, teremos: 1% ao c/ capitalização semestral = (1/) =6% ao semestre! Trabalhemos primeiramete com os doze cupos semestrais. Temos aí parcelas de mesmo valor, em itervalos de tempo iguais, e uma taxa o regime composto. Com essas três características, podemos trabalhar uma operação de Amortização, trazedo todos esses cupos para a data zero (um período ates da primeira parcela)! Teremos: T=P.A i T=50. A 6% T=50x 7, T=368,00 Este valor T represeta todos os doze cupos de U$50,00. Resta agora levar para a data zero o valor do bôus de 00 dólares! Faremos isso, coforme sabemos, por meio de uma operação de descoto composto por detro. Teremos que: - Prof. Sérgio Carvalho

24 4 00=E.(1+0,06) E=00/(1+0,06) Daí: E=00/1, E=558,40 Agora, estamos protos para compor o resultado fial da ossa questão: Resultado do ível dos cupos de 60: US$ 368,00 Resultado do bôus de 00: US$558,40 Daí: X=368,00+558,40 X=96,40 Em relação ao valor omial do bôus, que é de US$1, esse valor ecotrado apreseta um deságio de: ,40 = 73,60 Resposta! 56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, o mometo zero, das quatias que compõem o seguite fluxo de valores: um desembolso de R$.000,00 em zero, uma despesa o mometo um de R$ 3.000,00 e ove receitas iguais de R$ 1.000,00 do mometo dois ao dez, cosiderado que o itervalo de tempo decorrido etre mometos cosecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar aida a coveção de despesa egativa e receita positiva, e desprezar os cetavos. a)r$.511,00 d) R$.646,00 b)r$ 0,00 e) R$.873,00 c)r$ 3.617,00 Sol.: Trabalharemos esta questão (e a próxima!) com o chamado fluxo de valores! Fluxo de valores ada mais é do que uma liha do tempo, sobre a qual, em diferetes datas, estarão dispostos valores positivos e valores egativos. Valor positivo é qualquer quatia que se eteda estar etrado o osso bolso, o osso caixa! É qualquer valor moetário que estamos recebedo. Nas provas, podem vir com o ome receitas, etradas, gahos etc. Pode ser também qualquer outro ome, cotato que os faça eteder que é um diheiro que está chegado (e ão saido) do osso bolso! Valor egativo, ao cotrário, é toda quatia que esteja sedo retirada do osso bolso, ou seja, que esteja saido de ossa mão! As questões podem chamar esses valores egativos de desembolsos, saídas, retiradas, despesas, ou qualquer outro que traga o mesmo etedimeto. Daí, via de regra, uma questão de Fluxo de Valores, que é o mesmo que Fluxo de Caixa, dirá exatamete quais são os valores positivos e egativos, e ode eles se localizam a liha do tempo. Etão, quado já tivermos codição de desehar a questão, o euciado os irá pedir o quato valem todas aquelas parcelas (sejam positivas, sejam egativas) em uma determiada data que será estabelecida. Ou seja, teremos que trasportar todas as parcelas que compõem o fluxo de caixa para uma mesma data, que será dita pela questão. Uma coisa importate é a seguite: quado formos desehar o osso fluxo de caixa, seguiremos a seguite regra: Os valores positivos (receitas, etradas, gahos) serão todos desehados com uma seta para cima! - Prof. Sérgio Carvalho

25 5 Os valores egativos (despesas, desembolsos, saídas, retiradas) serão todos desehados com uma seta para baixo! De posse dessas iformações, vamos reler o osso euciado, e tetar desehar o fluxo de caixa (fluxo de valores) que ele apreseta:... o seguite fluxo de valores: um desembolso de $.000,00 em zero, uma despesa o mometo um de $3.000,00 e ove receitas iguais de $1.000,00 do mometo dois ao dez, cosiderado que o itervalo de tempo decorrido etre mometos cosecutivos é o mês... Vamos lá, façamos o deseho. Ora, o euciado falou que são dez mometos, e depois disse que esse mometo é o mês! Tracemos logo esse prazo total de meses. Teremos: Daí, o euciado começou logo falado em desembolso de R$000 a data zero. A data zero, coforme já sabemos, é ode começa a liha do tempo. E desembolso é uma palavra iequívoca: trata-se de um valor egativo, de modo que o deseharemos com uma seta para baixo. Teremos: 000 Na seqüêcia, a questão fala de uma despesa de R$3000 o mometo um. Despesa também é uma palavra que ão deixa qualquer margem de dúvida: é um valor egativo, e gahará uma seta para baixo. Teremos: Após isso, vem-se falado em ove receitas. Ora, receita é um valor positivo, e por isso, receberá sempre uma seta para cima. Neste caso, serão ove receitas, todas o mesmo valor de R$00, do mometo dois ao mometo dez. Teremos: - Prof. Sérgio Carvalho

26 Eis o osso fluxo de caixa! Uma vez desehado, resta-os saber para qual data o euciado quer que ós trasportemos todos os valores positivos e egativos! E isso foi dito logo o iício da questão: Calcular a soma dos valores atuais, o mometo zero, das quatias que compõem o seguite fluxo de valores.... Ou seja, a ossa data de iteresse da questão será a data zero. Essa data de iteresse é como se fosse uma data focal, as questões de equivalêcia de capitais! A rigor, uma questão de fluxo de caixa é uma questão de Equivalêcia, em que se pretede calcular uma úica parcela, que é equivalete a todas as outras que formam o fluxo de caixa. A iformação que os falta é a que fala da taxa da operação. Disse o euciado que...a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Proto! Estamos preparados para iiciar a questão! Demos logo uma rápida olhada as parcelas que compõem os valores positivos de fluxo: O que vemos aí? São parcelas de mesmo valor? Sim! Estão dispostas em itervalos de tempo iguais? Sim! Estão sujeitas a uma taxa de juros compostos? Sim ovamete! Coclusão: com estas parcelas, poderemos trabalhar tato uma operação de Redas Certas, quato uma de Amortização! E quem vai decidir isso? Você, obviamete! Ora, de acordo com o que está sedo pedido pelo euciado, haverá sempre uma destas opções que será mais coveiete e que torará a resolução mais rápida, portato, mais eficiete! Se quiséssemos trabalhar esses valores positivos uma aplicação de Redas Certas, o osso T da fórmula das Redas Certas estaria, em osso deseho, a seguite posição: - Prof. Sérgio Carvalho

27 7 T(Redas Certas) Por outro lado, se quisermos trabalhar os valores positivos uma operação de Amortização, o T da fórmula de Amortização apareceria, o deseho da questão, a seguite posição: T (Amortização) Ora, se a data de iteresse da questão é a data zero, ficou fácil exergar que o T que ficará mais perto dessa data é o da Amortização. Por esse simples motivo, optaremos por trabalhar as parcelas de R$00, em uma operação de Amortização. Teremos: T=P. A i T=00. A 9 3% Cosultado a Tabela Fiaceira da Amortização, acharemos que: Daí: T=00. 7,7869 E: T=7.786, Apredemos que o T da amortização, uma vez calculado, represeta todas aquelas parcelas de mesmo valor, mesma periodicidade e taxa composta! Sabedo disso, osso deseho da questão agora se resumirá ao seguite: - Prof. Sérgio Carvalho

28 , Aqui recordaremos outra coisa: percebamos que a data um mês estão presetes dois valores: um positivo (7.786,) e um egativo (3000). Sempre que isso ocorrer, teremos de fazer a chamada soma algébrica, que sigifica pegar o valor maior, e subtrair do valor meor. Se o valor maior for um valor positivo (seta para cima), o resultado da subtração também ficará com a seta para cima; se o maior dos dois valores for o egativo (seta para baixo), o resultado da subtração também ficará com seta para baixo! Neste caso, o valor positivo (7.786,) é maior que o valor egativo (000) que está a mesma data. Logo, ao subtrairmos o maior do meor, o resultado será uma parcela com seta para cima! Teremos: 4.786, 000 Qual o osso objetivo? Trasportar todos os valores do fluxo de caixa para a data zero. Ora, a parcela egativa 000 já se ecotra exatamete ode queremos que ela esteja! Ou seja, ão precisaremos levá-la para lugar algum. Já o valor positivo 4.786, está a data um mês, e precisa ser recuado (projetado) para a data zero! O regime é composto? Sim. Etão, faremos um descoto composto por detro! Teremos: 4.786, E - Prof. Sérgio Carvalho

29 9 Daí: 4.786,=E.(1+0,03) 1 E=(4.786,)/1,03 E=4.646,69 Feito isso, o osso fluxo de caixa passa a ter a seguite cofiguração: 4.646, Repete-se aqui a situação que vimos há pouco: uma mesma data do fluxo de caixa, um valor positivo e um valor egativo. O que faremos? A soma algébrica. A maior das parcelas é o valor positivo (4.646,69), logo, o resultado da subtração será uma seta apotado para cima. Desprezado os cetavos da cota fial, teremos que: 4.646,69.646, Resposta! (ANALISTA SERPRO 001) Cosiderado o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de % ao período a),44 b)8,91 c)31,18 d)43,33 e)50,5 Sol.: Desehemos logo como será este osso fluxo de caixa. Teremos: - Prof. Sérgio Carvalho

30 O objetivo é levar todas essas parcelas para a data zero, a uma taxa composta de % ao período! Percebamos que cabe aí um tracejado as parcelas positivas. Teremos: Esse tracejado defiiu um ível de ove parcelas de R$300,00. Trabalhado-as uma operação de amortização, teremos: T=P. A i T=300. A 9 % Cosultado a Tabela Fiaceira da Amortização, acharemos que: Daí: T=300. 5,75904 E: T=1.77,70 - Prof. Sérgio Carvalho

31 31 O deseho do fluxo agora é este: 1.77, Veja que temos a data um período um valor positivo e um egativo. Já sabemos o que fazer esses casos. Nosso ovo deseho será, pois, o seguite: 97, Com duas operações de descoto composto racioal, traremos para a data zero (que é a de osso iteresse!) os valores positivos desse fluxo de caixa. Teremos: 1.000,00=E.(1+0,) E=(1.000,00)/,59374 E=385,55 97,70=F.(1+0,) 1 E=(97,70)/1, E=843,36 Somado esses dois valores a data zero, teremos: R$1.8,91 (positivos!) Feito isso, osso deseho se resume agora ao seguite: - Prof. Sérgio Carvalho

32 3 1.8,91 8,91, Resposta! (AFRF-00-) Cosiderado a série abaixo de pagametos o fim de cada ao, obteha o úmero que mais se aproxima do valor atual total destes pagametos o iício do ao 1, a uma taxa de descoto racioal de % ao ao, juros compostos. Ao Valor a).08,87 b).7,91 c).48,43 d).73,33 e).300,5 Sol.: Questão parecidíssima com a aterior! Passemos ao deseho deste fluxo de caixa. Teremos: X 400, Só para efeitos didáticos, colocamos as setas para baixo! A questão diz que a taxa é composta, e quer que descubramos o valor desse fluxo de caixa a data zero, que correspode ao iício do primeiro ao. Vamos ver se é possível criar tracejados e dividir essas parcelas em diferetes íveis? Comecemos com um tracejado o valor de 00, que é a meor parcela. Teremos: - Prof. Sérgio Carvalho

33 33 X , Agora façamos mais um tracejado, pegado as parcelas de R$400. Teremos: X , Com isso, criamos dois íveis de parcelas: 1º ível) parcelas (=) de R$00 cada; º ível) 4 parcelas (=4) de R$00 também! 0 E será que é só isso? Será que esses dois íveis já abragem todas as parcelas? Basta olhar para o deseho e respoder: Não! A última parcela, o valor origial de R$0 só foi tocada pelo primeiro tracejado. Dessa forma, após trabalharmos com as parcelas do primeiro e segudo íveis, aida teremos que pegar o restate da última parcela, que vale exatamete R$00, e trasportá-lo para a data zero! Por que a última parcela que era de R$0 vai ser trabalhada como se fosse apeas de R$00? Porque uma parte dela (R$00) já está sedo trabalhada o primeiro ível. - Prof. Sérgio Carvalho

34 34 As parcelas que compõem ambos os íveis, coforme apredemos a aula passada, serão trabalhadas em operações de Amortização. Chamado T o resultado do primeiro ível, e T o resultado do segudo, teremos: T =P.A i T =00. A % T =P.A i T =00. A 14 % Fazedo logo a soma de T e T, teremos que: T +T =(00. A % )+(00. A 4 % ) Colocado os 00 (fator comum) em evidêcia, teremos que: T +T =00 ( A % + A 4 % ) Para gaharmos tempo, faremos uma úica cosulta à Tabela Fiaceira da Amortização. Teremos: TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a (1 + i) 1 i = i.(1 + i) i 1% % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % 1 0, , , , , , , ,9596 0, , , , , , ,8594 1, , , , , ,940985,883883,88611,775091,7348,67301,64316,577097,53195, , , , , , ,4655 3, ,3117 3,3970 3, , , , ,1896 7, , , ,7081 6, , , , , , ,689587,87604, , , ,0141 Daí, teremos que: T +T =00 (6, ,169865) T +T =1.86,89 Resta aida levarmos os R$1.000 da data dez aos para a data zero! Faremos aqui uma operação de descoto composto racioal. Teremos que: 00=E.(1+0,) E=00/(1+0,) Ecotraremos que: E=00/(1+0,) E=00/,59374 E=385,54 Agora, sim, somos capazes de compor o resultado fial da ossa questão: Resultado dos dois íveis de parcelas: R$1.86,89 Resultado da última parcela: R$385,54 Daí: X=186,88+385,54 X=.48,43 Resposta! - Prof. Sérgio Carvalho

35 35 É isso, meus amigos! Espero que teham todos se saído muito bem este simulado de hoje! Na seqüêcia, apreseto-lhes o Resumão das fórmulas de Estatística! O de matemática fiaceira ficarei devedo. Para a próxima semaa, se Deus quiser! Um abraço forte a todos. Fiquem com Deus e até a semaa que vem! RESUMÃO DAS FÓRMULAS DE ESTATÍSTICA Média Aritmética: Xi X = ou Xi fi X = ou X PM. fi = Média Geométrica: Xg = Xi ou Xg = Xi ou fi Xg = PM fi Média Harmôica: Xh = 1 Xi ou Xh = ou fi Xi Xh = fi PM Moda: Classe Modal(>fi). Daí: (Czuber) a Mo = l if + h a + p ou (Kig) Mo = l if + fpost h fpost + fat Mediaa: fac Md l = if + fi ANT h Relação Empírica de Pearso: X - Mo = 3( X - Md) Primeiro Quartil: fac Q l 4 1 = if + fi ANT h - Prof. Sérgio Carvalho

36 36 X-ésimo Quartil: QX X fac l 4 = if + fi ANT h Primeiro Decil: fac D l 1 = if + fi ANT h X-ésimo Decil: DX X fac l = if + fi ANT h Primeiro Percetil: fac P l 0 1 = if + fi ANT h X-ésimo Percetil: PX X fac l 0 = if + fi ANT h Desvio Quartílico (Amplitude Semi-iterquartílica): Dq = ( Q3 Q1) Desvio Médio Absoluto: Xi X DM = ou DM Xi X. fi = ou DM = PM X. fi Desvio-Padrão: ( Xi X ) S = ou ( Xi X ). fi S = ou S = ( PM X ). fi ( Xi X ) S = ou 1 ( Xi X ). fi S = ou 1 ( PM X ) S = 1. fi - Prof. Sérgio Carvalho

37 37 Desvio-Padrão - Fórmulas Desevolvidas: 1 S = Xi ( Xi) ou 1 S = Xi 1 ( Xi) 1 S = Xi. fi ( Xi fi). ou 1 S = Xi 1. fi ( Xi fi). 1 S = PM. fi ( PM fi). ou 1 S = PM 1. fi ( PM fi). Variâcia: ( Xi X ) S = ( Xi X ) ou S = ou 1 ( Xi X ). fi S = ou ( Xi X ). fi S = ou 1 ( PM X ) S = S ( PM X ) = 1.. fi fi Variâcia - Fórmulas Desevolvidas: S = Xi 1 ( Xi) ou S 1 = Xi 1 ( Xi) S S 1 = Xi. fi ( Xi fi). 1 = PM. fi ( PM fi). ou ou S S 1 = Xi 1. fi ( Xi fi). 1 = PM 1. fi ( PM fi). Coeficiete de Variação: S CV = X - Prof. Sérgio Carvalho

38 38 Mometo Natural de Ordem r : m r ( Xi) = ou r m r ( Xi) r. fi = ou m r = ( PM ) r. fi Mometo Cetrado a Média Aritmética: m r r ( Xi X ) = ou m r Ídice Quartílico de Assimetria: A = Ídice Decílico de Assimetria: ( Xi X ). fi = ou A = r m ( Q3 + Q1 Md ) ( Q3 Q1) ( D9 + D1 Md ) ( D9 D1) ( X Mo) Primeiro Coeficiete de Assimetria de Pearso: r A = = r ( PM X ) ( X Md ) Segudo Coeficiete de Assimetria de Pearso: m3 Ídice Mometo de Assimetria: A = A = 3 S ( ) ( ) Q3 Q1 Ídice Percetílico de Curtose: C = D D m4 Ídice Mometo de Curtose: C = C = 4 S Ídices de Laspeyres: ( p t q o ) ( p o q o ) Lp = ou 0,t 9 1 Lq A = 3 o,t S S ( PM X ) 3 ( PM X ) ( PM X ) ( PM X ) =. fi. fi 4. fi 3. fi ( p o q t ) ( p o q o ). fi Ídices de Paasche: ( p t q t ) ( p o q t ) Pp = ou o,t Pq o,t = ( p t q t ) ( p t q o ) - Prof. Sérgio Carvalho

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades:

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: CURTOSE O que sigifica aalisar um cojuto quato à Curtose? Sigifica apeas verificar o grau de achatameto da curva. Ou seja, saber se a Curva de Freqüêcia que represeta o cojuto é mais afilada ou mais achatada

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