t g t dv a dt Aplicação: Lançamento Oblíquo: t 2 v v sen v v g t Vetor Posição: Vetor velocidade média Vetor Velocidade instantânea:

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1 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete MNT eenoliento e plicção d equçõe etoii que elcion ái gndez cineátic enolid no etudo do oiento de ólido. lificção do oiento do ólido. plicção do pincípio e equçõe cineátic no oiento de dipoitio copoto po áio ólido e ínculo. OJTIVOS GRIS eenole no luno u ião fctíel d ecânic, cindo no eo u "intuição" coet do fenôeno ecânico. pcit o etudnte de engenhi entende e eole poble que enol cineátic do ólido e dipoitio, que ão coun no execício d pofião de engenheio. OJTIVOS SPÍFIOS tbelece o conceito báico obe ineátic do Sólido. Pep o luno p entende o dipoitio ecânico coun à id do ngenheio. Fonece feent o etudnte p entende e copnh e bo níel diciplin epecífic do cuo, e epecil quel ligd à cineátic de dipoitio, ibçõe e out. ONTÚO PROGRMÁTIO 1. ineátic d Ptícul; () Veto Poição; (b) Veto Velocidde; (c) Veto celeção; i. celeção tngencil; ii. celeção nol;. ineátic do Sólido; () lificção do Moiento; (b) Moiento de Tnlção; i. equçõe etoii de elocidde e celeção; (c) Moiento Plno; (d) Rotção co ixo Fixo; i. equçõe etoii de elocidde e celeção; (e) Moiento Plno e gel; i. equçõe etoii de elocidde e celeção; (f) ento Intntâneo de Rotção; (g) Moiento Gel; ILIOGRFI áic R, F. P.; JOHNSTON JUNIOR,. R. Mecânic etoil p engenheio: cineátic e dinâic 5ª ed.. São Pulo: Mkon, HILR, R.. inâic: Mecânic p ngenhi. 8.ed. Rio de Jneio Pentice Hll il, 4. KRIG,L.G.;MRIN,J.L. Mecânic: dinâic. Rio de Jneio: LT,4. FRNÇ, L.N.F.;MTSUMUR,.Z. Mecânic Gel.dg luche, 5. GR, J. Mecânic do teii. São Pulo: Pionei Thoon Lening, 3 KMINSKI, P.. Mecânic gel p engenheio. dg luche,. SRS,F.;YOUNG H.. Fíic. ol.1, Mecânic. ddion Weley, 8. ineátic do Sólido,Unip, Veão, 9. Veto Poição: Veto elocidde édi xiˆ y z t Veto Velocidde intntâne: Veto celeção édi: Veto celeção intntâne: : d t d plicção: Lnçento Oblíquo: ixo x: MU: x x x t t ixo y: MUV: y y t g y g t y ecopoição d elocidde inicil : co en y x y Tepo de ubid: t y g lcnce: x en ltu áxi: g y h g 1

2 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete Moiento cuilíneo MU e MUV ineátic do opo Rígido Moiento: Tnlção. Rotção obe u eixo fixo. Moiento Gel obe u plno Moiento obe u ponto fixo Moiento Gel qulque. MU R t N t t e N MUV R N T pependicule Função ngul hoái t 1 Velocidde ngul cte Velocidde line celeção ngul t t t t t t t t t t celeção eultnte R cp celeção tngencil T cte R cp T d T T celeção centípet e Foç centípet R F R cp cp cp Tnlção Rotção obe u eixo fixo

3 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete 1e 36 d d P P en d en en ˆk Velocidde ngul: oo o ângulo ente é, lebndo d popiedde do ódulo do poduto etoil: en en e d d d d d celeção ngul: d Rotção de u plc e tono de u eixo fixo: Reuo: Rotção co eixo fixo: 1. Todo o ponto peent tjetói cicule.. Todo o ponto peent e elocidde ngul, e et te dieção do eixo de otção: d eˆ eˆ dieção do eto elocidde ngul é otogonl o plno fodopelo oiento do ponto P, poui dieção do eixo de otção do ólido. O entido do eto elocidde ngul é ddo pel eg d ão dieit: o ponto P, delocndo-e no entido ntihoáio, copnh-e o entido do oiento de P o longo de u tjetói cicul, co o quto dedo d ão dieit; 3 co exceção do poleg que indicá eu entido, pontndo p o ponto. 3. Todo o ponto peent e celeção ngul, e et te dieção do eixo de otção: d eˆ eˆ 4. O eto elocidde intntâne no ponto P é ddo po: d P P P P 5. O eto celeção do ponto P é ddo po: d P P P P xeplo Reolido 1. che o etoe elocidde e celeção do ponto 1.1 O dico indicdo p cd co, e cd intnte de tepo. O dico pte do epouo e t =. () α = / ; =4/, t = 3 ; Ponto e. Sendo ˆk oo ˆk ˆ ˆ ˆ k k k u w u w u w k ˆ ˆ k celeção tngencil: T celeção nol N T N (b) α = / ; t = 3 ; ; Ponto e, e Ponto :. co 3iˆ. en3.173iˆ.1

4 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete ˆ k t ˆ k 6.173iˆ ˆ ˆ 6.1 k i iˆ.6 ˆ 1.38 ˆ i j T N T.173iˆ.1 T.173 ˆ ˆ.1 k i T ˆ ˆ T.i.346 j N 6.6iˆ 1.38 N 6.6 ˆ ˆ iˆ k i T iˆ ˆ ˆ N.88 i 3.6 j. iˆ iˆ 3.6 T N ˆ ˆ 1.8 i 3.54 j 1. O ite iluto, copoto po plc oldd u eixo fixo, gi e tono dete, co elocidde ngul = 5 /, que cece tx de 4 /. No intnte iluto, o ponto etá decendo. Pede-e: () o eto elocidde ngul. (b) o eto celeção ngul. (c) elocidde do ponto. z.178 y x.15.3 Ponto x y z (x,y,z).3 (,.3,).15 (,,.15).178 (.178,,),.3,,,.15,.3,.15 iˆ ˆ.3 ˆ.15 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ iˆ eˆ 5 iˆ ˆ iˆ k eˆ 4 iˆ iˆ iˆ k ˆ.178,,,.3,.178,.3,.178 iˆ.3 iˆ iˆ ˆ.533 ˆ.71 ˆ i j k iˆ.47 57

5 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete iˆ iˆ iˆ ˆ ˆ ˆ i j 3.3 k. No poble nteio, deteine elocidde e celeção no étice, upo que elocidde ngul é = 5 / e uent à zão de /. ˆ iˆ k eˆ iˆ ˆ ˆ ˆ i 16 j k iˆ iˆ ˆ.533 ˆ.71 ˆ i j k.178 iˆ.3 iˆ iˆ ˆ.533 ˆ 71 ˆ i j k iˆ iˆ iˆ iˆ ˆ ˆ ˆ i.3144 j.415 k 3. peç ígid ot n figu conite de u eixo olddo u plc etngul FH. O conjunto gi unifoeente u elocidde ngul de 9 /, e tono do eixo. Sbendo que o oiento qundo ito de é nti-hoáio, deteine elocidde e celeção do étice F. Ponto P x y z P(x,y,z).1 (,.1,) (.175,,.1) (.35,-.1,.).35 (.35,,) F. (,,.).35,.1,.,.1,.35,.,..35 iˆ ˆ. ˆ. eˆ eˆ i j k ˆ eˆ.778 iˆ eˆ 9.778iˆ ˆ ˆ,,.,.1, 7. iˆ j k F F F

6 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete F,.1,. F iˆ.1. F F 7. ˆ ˆ ˆ ˆ.1 ˆ. ˆ i j k i j k ˆ 1.4 ˆ 7 ˆ F i j k F F F F F F iˆ F F F ˆ ˆ ˆ 8.39 i 3.34 j k 4. No poble nteio, ue = 9 / e decece à zão de 13.5 /, enconte elocidde e celeção do étice H. 5. Sbe-e que foç de tito etátic ente o bloquinho e plc eá encid e o bloco delizá qundo u celeção lcnç 3 /. Se plc pte do epouo e t = e cele unifoeente à zão de 4 /, deteine o intnte t e elocidde ngul d plc qundo o bloco coeç ecoeg; =. α R N T R 3 T T 4. T.8 F 3 N T N 9.8 N.891 N.891 N t t t t O bloquinho epou obe plc hoizontl que gi e tono de u eixo fixo. plc pte do epouo e t = e cele à zão contnte de.5 /. Sbendo-e que =, detein o ódulo d celeção totl do bloco qundo: () t =. (b) t = 1 e (c) t =. R N T T T.5. T.1 t N N R T R.1 t 1 t.51.5 t 1 N N.5. N.5 T T.1 R R N T R.5.1 R.118 N T.1 tg tg ctg N.5 t T T.1 t.5 1 t N N 1. N. R R N T R..1 R.36 T.1 1 tg tg ctg N R N R T T 6

7 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete 7. peç ígid ot n figu conite de u eixo olddo u plc etngul. O conjunto gi unifoeente u elocidde ngul contnte de 1 /, e tono do eixo. Sbendo que o oiento qundo ito de é nti-hoáio, deteine elocidde e celeção do étice. 8 ˆ 3.6 ˆ 4.8 ˆ ˆ ˆ.3 ˆ i j k i j k ˆ.4 ˆ ˆ i j k F iˆ Ponto P x y z P(x,y,z).5 (,.5,).5.3 (.5,,.3).3 (,,.3) (,,).5 (.5,,).5,,.3,.5,.5,.5,.3.5 iˆ ˆ.5 ˆ.3 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ.8 iˆ eˆ 1.8iˆ ˆ ˆ.5,,.5,,.3,,.3 8iˆ 3.6 j 4.8 k iˆ.3 ˆ ˆ ˆ 11.5 i j 3.88 k 8. tiidde 1: nconte elocidde e celeção do ponto conidendo que elocidde ngul é 1 / e decece tx de /. 9. O oto de u oto elético te feqüênci de 18 p qundo é deligdo. O oto pá pó execut 65 olt. Supondo oiento unifoeente etddo, pede-e: () celeção ngul do oto. (b) o tepo totl do oiento. 18 f 18p f Hz f 3Hz 6 f n

8 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete t t t t tiidde 1: Suponh que u oto de u oto execute 4 p e 4 qundo ligdo e qundo o oto é deligdo ele eton o epouo e 4. uindo que celeção do oiento é unifoe, deteine o núeo de olt ddo pelo oto: () qundo é ligdo té tingi 4 p. (b) etndo e 4 p, té p. 11. N figu, o dico inicilente e epouo, é poto e contto co o dico que gi inicilente no entido hoáio co feqüênci 45 p. pó o contto, ocoe ecoegento co upefície, dunte 6 e dunte o qui, o dico peent celeçõe ngule difeente, b contnte. o téino do ecoegento, o dico peent feqüênci contnte de 14 p. Pede-e: () celeçõe ngule de cd dico. (b) elocidde finl do ponto de contto. ngul 1.17 P f f f.1 f 9.75 Ou ej, pte do epouo e tinge e elocidde f e 6 : f f t t N poli dupl, ligd po fio inexteníei, upeno pelo bloco e, o fio não ecoeg obe 8 poli. O bloco pte no intnte t =, co celeção contnte = 3 / e elocidde inicil = 4 /, b de bixo p ci. eteine: () o núeo de eoluçõe executd pel poli e t = 3. (b) elocidde e poição de e 3. (c) celeção do ponto d poli e t =. 1 8 eteinndo feqüênci ngul inicil e finl do dico : 45 f f f f f f 6 ico : MUVR: decele de 45 p 14 p. epoi fic co MU 14 p: MUVR: MU: P f P P ico poui o oiento: 1. Pte do epouo e cele unifoeente po 6. MUV.. Mnte oiento unifoe. MU. MU: Nete egundo oiento, elocidde tngencii de e eão igui: P 1.17 P P MUV: Poli eno: T T.5. 1 t t 1 t t 1 t t

9 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete e Poli io: t t t celeção e : T.5 T.5.18 T.45 T N N.18.7 N R R T N T R.849 T tg tg N.45.7 ctg.65 3 R N 13. O ite iluto, copoto po plc oldd u eixo fixo, gi e tono dete, co elocidde ngul = 5 /, que cece tx de 4 /. No intnte iluto, o ponto etá ubindo. Pede-e: () elocidde no ponto. (c) celeção do ponto. z Ponto x y z (x,y,z).56 (,.56,).8 (,,.8).56 (.56,,),.56,,,.8,.56,.8 iˆ ˆ.56 ˆ.8 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ iˆ oo o ponto etá ubindo (hoáio): eˆ 5 iˆ ˆ iˆ k eˆ 4 iˆ ˆ ˆ ˆ i.9 j 3.76 k.56,,,.56,.56,.56,.56 iˆ.56 ˆ.865 ˆ 4.95 ˆ.56 ˆ.56 ˆ ˆ i j k i j k ˆ.93 ˆ ˆ i j k.56 y.8.56 x 9

10 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete iˆ iˆ iˆ iˆ ˆ ˆ ˆ i j k 14. O conjunto iluto é contituído po u dico olddo u eixo eticl e gi no entido nti-hoáio pti do epouo. celeção ngul é contnte e de lo α = 1 /. U bloco poi-e no dico.35 do eixo e não ecoegá e elção o eo té que u celeção totl tinj 6.5 /. Pede-e: () celeção 1. pó o início do oiento do dico. (b) o intnte que o bloco delizá. y.35 ˆk ĵ î 1 ˆ.35 ˆ 1 ˆ.35 ˆ j i t j t k iˆ t t ˆ ˆ.35 k.35 t i.35 t i.35 k ˆ.35 ˆ t i k ˆ ˆ t 1.35 i.35 k ˆ ˆ.35 k.35 t i T N iˆ t T N t t 4.15 t t t t O ite iluto é copoto po du od e de io igui 3, que gi e tono de eixo fixo e po u nel, encixdo ente e. O nel te io inteno 7 e io exteno 76 (epeu 4 ). Não ocoe ecoegento ente upefície de contto. od upeio, gi co feqüênci contnte f = 4 p no entido nti-hoáio. Pede-e: () elocidde do nel ; (b) elocidde ngul d od infeio. (c) celeçõe do ponto d od e contto co o nel. 4 ˆ ˆ 1 z x y 1 1 ˆ ˆ t j 1t j.35 iˆ 1t.35iˆ 1t.35 iˆ.35 t T N z x f 4p f Hz f ext ext ext int int int ˆ j N N

11 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete ˆ T R N j ˆ j N N ˆ T R N j 16. N figu etão epeent du engengen e, co eixo fixo e co io = 8 e = 384, epectiente. engenge pte do epouo, cele unifoeente no entido hoáio e tinge feqüênci de otção 1 p e 5, que té dí po dinte. Pede-e: () celeção ngul d engengen; (b) elocidde ngul finl d engenge ; (c) elocidde finl do ponto petencente à engenge, que fz contto co engenge,. (d) celeção do ponto citdo no ite nteio, n e condiçõe. y x ˆ j T R N N N N.384 ˆ N 6.98 i ^ 17. O ite iluto é fodo po u plc 11 de dienõe. x. 4 oldd o eixo fixo ; no intnte iluto, o ite gi e tono do eixo fixo co elocidde ngul de 15 /, que decece tx de 7 /. Qundo obed de u ponto, plc gi no entido nti-hoáio. P o intnte iluto, pede-e: () elocidde do ponto ; (b) celeção do ponto. 1 f 1 p f Hz f f 4 f t t ˆ k f 6.17 t t o negtio é deido o entido hoáio. Ponto x y z (x,y,z).1 (,.1,) (.4,-.1,.).4. (.4,,.).4,.1,.,.1,.4,.,..4 iˆ ˆ. ˆ. eˆ eˆ i j eˆ.8165 iˆ nti-hoáio: eˆ iˆ ˆ iˆ k

12 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete eˆ iˆ iˆ ,,.,.1,.4,.1,..4 iˆ ˆ 6.13 ˆ 6.13 ˆ.4 ˆ.1 ˆ. ˆ i j k i j k ˆ ˆ 1.5 ˆ i j k iˆ iˆ iˆ iˆ ˆ ˆ ˆ i j 1.3 k 18. O ite iluto, copoto po plc oldd u eixo fixo, gi e tono dete, co elocidde ngul contnte de = 5 /. No intnte conideo o ponto etá decendo. Pede-e: () o eto elocidde ngul. (b) elocidde do ponto n fo etoil. (c) celeção do ponto n fo etoil. Ponto x y z (x,y,z).3 (,.3,).15 (,,.15) (.178,.3,).178 (.178,,),.3,,,.15 z.178 y,.3,.15 iˆ ˆ.3 ˆ.15 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ iˆ eˆ 5 iˆ ˆ iˆ 4 3 k eˆ.178,.3,,.3, 1.178,,.178 iˆ iˆ iˆ ˆ.53 ˆ.71 ˆ i j k.3 x.15

13 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete iˆ iˆ 4.43 iˆ ˆ 4.43 i 19. O ite iluto, copoto po plc oldd u eixo fixo, gi e tono dete, co elocidde ngul contnte de = 5 /. No intnte iluto, o ponto etá decendo. Pede-e: () o eto eloidde ngul. (b) elocidde do ponto n fo etoil. (c) celeção do ponto n fo etoil. z Ponto x y z (x,y,z).5 (,.5,).5 (,,.5).4.1 (.4,.1,),.5,,,.5 y.,.5,.5 iˆ ˆ.5 ˆ.5 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ iˆ eˆ 5 iˆ F G x ˆ iˆ k eˆ.4,.1,,.5,.4,.4,.4 iˆ.4 ˆ ˆ ˆ.4 ˆ.4 ˆ ˆ i j k i j k ˆ ˆ ˆ i j k iˆ 5 5 iˆ 1iˆ 5 5 ˆ ˆ ˆ 1i 5 j 5k. U ped de eeil, de foto cilíndico, co io R =.45, gi co feqüênci contnte f = 18 p; qundo e delig o oto elético do eeil, ped gt 1 té p; conidendo oiento unifoeente ido, pede-e: () celeção ngul α d ped; (b) elocidde de u ponto P d bod d ped qundo feqüênci é 18 p; (c) celeção de u ponto P d bod d ped, qundo feqüênci é 18 p. z

14 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete x R 3 18 f 18p f Hz f t t P P P 84.8 P N P N P N é cte P T PR PN PT PR PN 1. oi dico de io R = 45 e R = etão e contto e ecoeg. O dico (infeio) pte do epouo e cele de fo unifoe co celeção α = 3 /. P o intnte e que elocidde ngul do dico tinge lo = /, pede-e: () celeção ngul do dico. (b) elocidde ngul do dico. (c) elocidde de u ponto n bod do dico. (d) celeção de u ponto n bod do dico. P P ico : MUV: t 3t t 3 ico : 6.67 y R R R R t R T R T T N N N R.45 R 1.33 R N T R N T R. O dico de io R = 8 pte do epouo e cele de nei unifoe, tingindo elocidde ngul = 3 / e 1 olt. Pede-e: () celeção ngul do dico; (b) o tepo gto ne 1 olt inicii. 8 ico: MUV: 1 t t t t 3 t t hte gi poid n ticulçõe e ; no intnte iluto, elocidde ngul d b é 95 /, que decece à tx de 38 /. o ponto etá ubindo. Pede-e: () elocidde do ponto, p o intnte iluto; (b) celeção do ponto, no intnte iluto.

15 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete z Ponto x y z (x,y,z)..1 (,.,.1).3..1 (.3,.,.1).3 (.3,,),.,.1.3,,.3,.,.1.3 iˆ ˆ. ˆ.1 eˆ eˆ i j k ˆ eˆ.789 iˆ nti-hoáio: eˆ iˆ ˆ 75iˆ 5 3 k eˆ iˆ ˆ ˆ ˆ 3 i j 1k.3,.,.1,.,.1.3,,.3 iˆ 75 ˆ 5 ˆ 3 ˆ.3 ˆ ˆ ˆ i j k i j k x ˆ 9 ˆ 15 ˆ i j k iˆ iˆ iˆ iˆ ˆ ˆ ˆ 1 i 4545 j 55 k 3. O ite de engengen iluto, dee upende o bloco lçndo-o po 6.1. engenge pte do epouo e, ntendo celeção ngul contnte, tinge feqüênci de 1 p e 5, ntendo-e contnte pó tingí-l. Pede-e: () o núeo de otçõe d engenge; (b) o tepo gto n opeção ngenge : f t 5 15

16 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete N o MUV o de pecoido e 5 eá: i i i t 5 Flt: Nee 4.1 engenge pecoe e elocidde ngul contnte; o tepo gto eá de: 4.1 i t t 4.1 t t poli gtá 5 e MUV e e MU: t MU MUV: 1 MUV t t 1 t MUV MUV MU MUV MU MUV MU MUV e MU MUV 15.7e t t t T MUV MU 4. poli ilut n figu poui io R =.3 e é ciond po u oto elético, co o intuito de upende o bloco. Qundo poli peent feqüênci de otção f = 1 p, o oto é deligdo. Meo i, o bloco ind obe h =.8, nte de p. Pede-e: () celeção ngul d poli; t T (b) o tepo gto té p. 1 f h.8 h R.5 R.3 F F t t t t figu figu ilut u coei que oe-e ente du poli e, de io R =.6 e R =., epectiente, e que oco ecoegento ente upefície e contto. elocidde d coei uent unifoeente, dede 1 =.8 / té =.4 /, e 5. Pede-e: () celeção ngul de cd poli; (b) o núeo de olt efetud po cd u d poli, no 5. R R R 16

17 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete.4.8 c c c.3 t 5 c R R c R R R R.4 1. R R e 63.7 R R R R e 6. U poli dupl, de io R 1 = 1.5 e R =.8, gi ob ção de doi bloco e, confoe iluto. O bloco peent celeção = 4 /², co elocidde inicil (e 1. t = ), = 5 /. onidendo o intelo de tepo de, pede-e: () o núeo de olt d poli; (b) coepondente elocidde e pecuo do bloco ; (c) celeção centípet de u ponto d bod i exten d poli (R 1 = 1.5 ). R R t R1 R R 1 R R1 R e 1.91e R R R 17

18 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete R cp cp cp R engengen ilut, e, te epectiente io R =.4, R =.16 e R =.3 e peent eixo fixo. engenge gi co elocidde ngul contnte = 5 /, no entido hoáio. Pede-e: () elocidde ngule d engengen e ; (b) celeção de u ponto peiféico d engenge. xecício 1. U poli etá conectd po cbo inexteníei confoe ot figu. O oiento d poli é contoldo pelo cbo o qul te u celeção contnte de 9 in/ e u elocidde inicil de 1 in/, b p dieit.eteine: () o núeo de eoluçõe executdo pel poli e. (b) elocidde e udnç n poição do copo pó. (c) celeção do ponto d poli inteio no intnte t =. Solução: 18 R R R ; t e 14.3 e t t t in y y 514 y 7in 9in t 34 48in n n n tn ctn in en en79.4

19 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete. O oiento de u copo é ddo po: t t 3 9t 15 t SI. eteine poição ngul, elocidde ngul e celeção ngul no intnte: () t = (b) t =3. 3. No poble nteio, deteine poição ngul e celeção no intnte e que elocidde ngul e nul. 4. cint conect od do uto. O eixo poui celeção ngul contnte de 1 / e entido ntihoáio, l etá inicilente e epouo, eteine celeção d cint no ponto, qundo: () t =.5 (b) t =. N 37.5 tn tn 9 T 37.5 ctn dob gi obe u linh que une o ponto e co u elocidde ngul contnte de 9 /. Sbendo que otção obed do ponto é no entido hoáio, deteine elocidde e celeção de U éie de coponente pequeno etão endo oido po u tnpotdo. O cinto p po u poli teno de 6 in de io. No intnte oto, elocidde do ponto é 15 in/ p equed e u celeção le 9 in/ p dieit. etein: () elocidde ngul e celeção ngul d poli, (b) celeção totl d áquin coponente e T 9 T in N 37.5 N N 6 N T N T in 38.6 Ob.: eˆ ê poi Logo, tnto fz ecolhe o ponto ou!!! (,.4,.); (,.15,); (.4,,) (,.15,) (,.4,.) iˆ.5. n ˆ,.4,..4,,.4 iˆ nˆ ˆ ˆ ˆ i j k n ˆ.4 ˆ.4 ˆ. 9 ˆ i j k iˆ 6 3

20 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete 6 ˆ 6 ˆ 3 ˆ ˆ.5 ˆ. ˆ i j k i j k ˆ 1. ˆ 6.5 ˆ.45 iˆ i j k iˆ celeção ngul de u dico ocilndo é definid pel elção: k eteine: () o lo de k p o qul = 8 / qundo = e = 4 qundo =. (b) elocidde ngul do dico qundo = 3. () 4 - (b) 5.9 / 8. Reol o poble encontndo poição ngul e celeção ngul qundo elocidde ngul fo nul. 9. No poble 6, deteine elocidde e celeção do ponto. u que elocidde ngul é 9 / e uent u tx de 45 /. 1. Te fz u olt coplet cd 3h e 56 in. Sbendo que o eu io é 396 i, deteine elocidde line e celeção line e u ponto obe o equdo. 11. O nel poui io inteno de 55 e io exteno de 6 e etá poiciondo ente du od e, cd u de io exteno de 4. Sbendo que od gi co feqüênci 3 p e que não ocoe delizento, deteine: () elocidde ngul do nel e d od. (b) celeção do ponto e que etão e contto co. ext ext f f ext ext f 3 4 f f f 1 p 6 ext f f int int f 1 55 int f f f 75 p 4 3 f f U cilindo etá e oendo p bixo u elocidde de 9 ft/ qundo u beque é plicdo epentinente no tbo. Sbendo que o cilindo e oe 18 ft p bixo nte de p, e, uindo oiento co celeção unifoe, deteine: () celeção ngul d od. (b) o tepo que le p o cilindo p.

21 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete t t 1 4 1t 3 t 3t 4t 48 t 8t 16 b b c t t t U poli e doi peo ão conectdo po u cod inexteníel. O peo te u celeção contnte de 3 / e u elocidde inicil de 4 /, bo diigido p ci. eteine: () o núeo de eoluçõe executdo pel poli e 3. (b) elocidde e poição do peo pó 3. (c) celeção do ponto n bod d poli, e t =. 15. O nel te u io inteno e exteno 3. b de io 1 gi co elocidde ngul contnte. Não há ecoegento ente upefície. eteine elçõe ente o io 1,, 3 e p: () elocidde ngul do nel ; (b) celeção do ponto ente b e o nel que etão e contto. 16. U dico cicul de io =.16 gi e elção u eixo fixo O co elocidde ngul = / e celeção ngul = 3 / co entido indicdo n figu. eteine o loe intntâneo d elocidde e d celeção no ponto d figu U chp cicul etá inicilente e epouo. Sbendo que = e que plc poui celeção ngul contnte de.3 /, deteine gnitude d celeção totl no ponto qundo: () t =, (b) t =, (c) t = 4. y 4 O x co O coiˆ en 1 4 en 1co 1 en en en iˆ iˆ

22 .4 ˆ ˆ i j.4iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k i k j ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete iˆ no intnte t = 1, e função do etoe unitáio î e.8 ˆ.3976 ˆ.3976 ˆ.8 ˆ j i i j 3 3.4iˆ k ˆ.3976 i ˆ.8 ˆ j.1 ˆ ˆ.4646 ˆ ˆ k i k j.6194 iˆ iˆ iˆ iˆ iˆ.346iˆ P tet eitênci de u deio, é colocdo u bloco de =.3 kg e u dico que gi pti do epouo e t = co celeção ngul unifoe = /. Se fit e olt depoi de 3 do oiento do dico, qunt olt o dico execuitá? 19. O ponto d poli etá n poição ngul = e t =. O dico te elocidde ngul inicil =.1 / e t = e é celeo co u celeção ngul contnte = /. eteine elocidde e celeção do ponto,. U fit gnétic utilizd p g ddo e u coputdo conite no ite indicdo. Se elocidde d fit é contnte e gnitude d celeção do ponto é 4/3 celeção do ponto, deteine o io de. 1. ccteític de u ite de engengen é iluto egui: ĵ. 18. coei copld o conjunto de poli fz gi o ite uentndo u elocidde ngul. Nu ceto intnte, elocidde d coei é 1.5 / e celeção totl do ponto é 75 /.P ee intnte, deteine: () elocidde ngul e celeção ngul d poli. (b) celeção totl do ponto. (c) celeção do ponto. engenge etá gindo no entido hoáio, co 3 e/in, qundo u toque é plicdo n engenge, e t =, foçndo- gi no entido nti-hoáio co u celeção ngul que i co o tepo confoe o gáfico indicdo, dunte 4. eteine elocidde d poli, qundo t = 6.

23 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete 3. potênci de u oto elético qundo ligdo o fz gi 33 p e 6, e qundo é deligdo ele eton o epouo e 8. uindo celeção unifoe, deteine o núeo de eoluçõe ddo pelo oto qundo: () é ligdo e tinge áxi otção; (b) é deligdo pti d áxi otção té tingi o epouo. 3 1 /.318 / 4. uindo que Te gi e tono de eu eixo e 3h e 56 in e eu io é poxidente 64 k, deteine elocidde de otção obe u ponto d upefície do qudo. nu ponto n ltitude de 4 N? 5. No ite de poli bixo, o dico etá e epouo qundo é colocdo e contto co o dico que etá gindo no entido hoáio 45 p. pó 6 de delizento, cd dico te u celeção ngul contnte e o dico poui u feqüênci de 14 p no entido hoáio. eteine celeção ngul de cd dico dunte o peíodo de delizento. 7. O codão de diâeto d é enoldo e tono do tbo funildo que te dienõe ilut. Se o tbo etá gindo u tx contnte de, detein celeção p ci do bloco. Negligenci o pequeno delocento hoizontl do bloco. 6. eido o pfuo e, o tudo fonece oiento line p o bço e F qundo o oto gi engenge e. Se engengen tê o io litdo n figu e o pfuo e te u po de p =, deteine elocidde e F qundo o oto gi. Sugetão: O po do pfuo indic quntidde de nço do pfuo p cd olt coplet. - 1 x L 1 x L L x x n d x d dx 1 d d x 1 1 L 1 1

24 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete d 1 dx 1 L d d d d d d d d 1 dx 1 L d 1 1 d 1 d L 1 L 8. O ecnio é utilizdo p conete o oiento cicul de contnte d hte no oiento de tnlção d hte n fend eticl nex. eteine elocidde e celeção de p qulque ângulo de. xl co dx d l en l en d d d l co l en l co 9. O oto gi engenge de odo que u feqüênci uent unifoeente de zeo 3 e/in depoi que o eixo gi e. eteine elocidde ngul d engenge qundo t = 3. O io d engengen,, e ão: = 5, = 1, = 4 e = 1, epectiente. d Ponto P de contto de e : P f f f f 5 f f f 3 f 75 p 1 75 f Hz f ixo do oto é o eo d enfenge : n = n f TP Meo eixo e : t = 3: t Ponto P de contto de e : 4

25 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete P niel etá gindo u elocidde ngul contnte de = 15 /. eteine elocidde do pitão P no intnte e que = 3. 5 x.co.75. en x.co.75.4 en 1 en x.co.75.4 dx en d.75.4 en.4 en co d d.8 en co dx d 1. en en dx en co. en en d Poi ; P = 3 e = 15 /: dx en3 co3 15. en en 3 dx dx ft

26 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete Moiento Plno Gel U oiento plno gel pode e conideo coo o de u tnlção e de u otção: Moiento gel = Tnlção + Rotção Moiento de u copo decopoto e u tnlção e u otção: Obee que: tg / l l co / co / l co / 6 Velocidde bolut e elti: : : / : / elocidde bolut do ponto. tnlção d plc co. elocidde elti ocid à otção d plc o edo do ponto, edid e elção eixo co oige e e de oientçõe fix. enotndo po : / : eto de poição de e elção : / ˆk : elocidde ngul e elção o eixo de oientçõe fix. ˆ / k / / Moiento plno = Tnlção co + Rotção e tono de. heg-e o eo eultdo ecolhendo coo pono de efeênci. ecopondo-e o oiento ddo e u tnlção co e u otção o edo de (ide figu), teeo: Moiento plno = Tnlção co + Rotção e tono de. / Obee que: l / / / / O entido d elocidde elti deponde do ponto de efeênci ecolhido e deeá e cuiddoente deteind pti do dig iluto. Finlente, obeeo que elocidde ngul d b e u otção o edo de é e que e u otção o edo de. bo o co é edid pel deid tepol do ângulo : d

27 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete te eultdo é gel; i, epe elocidde ngul de u copo ígido nido de oiento plno é independente do ponto de efeênci. io pte do ecnio ecânico cont não de u, de áio eleento e oiento. Qundo ti eleento e encont ticuldo, pode-e etudá-lo conidendo cd u coo u copo ígido, e, contudo, equece que o ponto de ticulção de doi dele dee te e elocidde bolut. U etudo eelhnte pode e feito qundo e tt de engengen, já que o dente e contto dee te e elocidde bolut. ntetnto, e o eleento de u ecnio poue u delizento eltio ente i, dee-e le e conideção elocidde elti d pte e contto. xeplo eolido 1. engenge dupl ot n figu ol obe celhei infeio etcionái; elocidde do eu cento é de 1. / p dieit. etein: () elocidde ngul d engenge, (b) elocidde d celhei upeio R e do ponto d engenge. i, elocidde d celhei upeio é elocidde do ponto : R 1.iˆ 8.1 iˆ 1.iˆ.8 1. ˆ.8 ˆ. ˆ i i i Velocidde do ponto : 1.iˆ 8.15 iˆ 1.iˆ 8.15 iˆ 1. ˆ 1. ˆ i j tn ˆ 1. ˆ i j oo engenge ol obe celhei infeio, eu cento pecoeá u ditânci igulo copiento d cicunfeênci exteio, 1, p cd otção coplet d engenge. oo 1 e = e, qundo ol p dieit, (x > ), engenge gi e entido hoáio ( < ), eceeo: x 1 dx d ˆ 8 ˆ k k. No ite eboçdo, niel poui u elocidde ngul contnte de p (feqüênci f) no entido hoáio. etein p poição d niel indicd n figu: () elocidde ngul d biel. (b) elocidde do pitão P. O olento é decopoto e doi oiento: u de tnlção do cento e outo de otção o edo dete cento. N tnlção, todo o ponto d engenge deloc-e co e elocidde. N otç, cd ponto P d engenge e deloc o edo de co elocidde: P P P P qui P é o eto de poição de P e elção.

28 1 1 f p f Hz f Hz 6 3 ineátic do Sólido Pof. láudio S. Stoi Not de ul 1 1 iete f Moiento d iel : plicndo lei do eno: en en en en en.41 cen Obee que elocidde do ponto, onde biel e une o pitão, dee e hoizontl. ecopondo o oiento de : 8 Moiento plno de = Tnlção + otção Fzendo o dig etoil de elção: en53.9 en5 en en5 en53.9 en5 en76.1 en en en76.1