O MODELO DE LEONTIEF E O MÉTODO RECÍPROCO DO CUSTEIO POR ABSORÇÃO

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1 O MODELO DE LEONTIEF E O MÉTODO RECÍPROCO DO CUSTEIO POR ABSORÇÃO Ademir Clemete Alceu Souza Resumo: Este trabalho apreseta uma aalogia etre o Modelo de Leotief e o Método Recíproco de trasferêcia de CIFs utilizado o Custeio por Absorção. Demostra-se que o processo de solução do Método Recíproco, quado feito por procedimetos iterativos, é uma geeralização dos Métodos Direto e Gradativo de trasferêcia dos CIFs etre os cetros de custos. Demostra-se também que a abordagem matricial para o Método Recíproco é apeas uma forma mais simplificada de solução para evitar os efadohos procedimetos iterativos. Por fim, demostra-se que há uma aalogia gerecial etre a Abordagem Matricial e o Modelo de Leotief, também cohecido como Matriz Isumo- Produto para explicar o equilíbrio geral da ecoomia por meio do fluxo de produção etre os diversos setores que a compõe. Área temática: Desevolvimetos teóricos em custos

2 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 O modelo de Leotief e o método recíproco do custeio por absorção Resumo Este trabalho apreseta uma aalogia etre o Modelo de Leotief e o Método Recíproco de trasferêcia de CIFs utilizado o Custeio por Absorção. Demostra-se que o processo de solução do Método Recíproco, quado feito por procedimetos iterativos, é uma geeralização dos Métodos Direto e Gradativo de trasferêcia dos CIFs etre os cetros de custos. Demostra-se também que a abordagem matricial para o Método Recíproco é apeas uma forma mais simplificada de solução para evitar os efadohos procedimetos iterativos. Por fim, demostra-se que há uma aalogia gerecial etre a Abordagem Matricial e o Modelo de Leotief, também cohecido como Matriz Isumo-Produto para explicar o equilíbrio geral da ecoomia por meio do fluxo de produção etre os diversos setores que a compõe. Palavras-chave: Método Recíproco. Modelo de Leotief. Custeio por Absorção. Área Temática: Desevolvimetos teóricos em custos. Itrodução No processo de apropriação dos custos aos produtos, quado a empresa produz vários produtos, ocorre a ecessidade de rateio dos custos idiretos de fabricação (CIFs). A forma de ratear os custos idiretos de fabricação deve surgir da observação e aálise do processo: cohecer custos é cohecer processo. Os custos ocorrem ao logo do processo e ão o Departameto de Cotabilidade. Existem variações do Custeio por Absorção. A mais cohecida é o Custeameto Pleo ou Itegral ode toda a carga dos recursos dispoibilizados para o período é atribuída aos produtos. Outra variate, mais refiada, é o Custeameto Ideal. No Custeameto Ideal, a carga de custos plaejada e dispoibilizada para o período é atribuída aos produtos a proporção em que são utilizados. A parcela ão utilizada é atribuída a custos de ociosidade ou de ieficiêcia de processos. Se além dos custos, também as despesas forem apropriadas aos produtos etão o Custeio por Absorção recebe o ome de RKW (Reichskuratorium für Wirtschaftlichkeit). Qualquer que seja a variate do Custeio por Absorção utilizada, a questão crucial se resume em dois procedimetos: defiição dos critérios de rateio e elaboração do Mapa de Localização dos Custos Idiretos. Os critérios de rateio devem se basear o cohecimeto dispoível sobre o processo produtivo e deveriam ser costatemete atualizados e revistos. A Figura apreseta a estrutura do Mapa de Localização de Custos.

3 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 CENTROS DE CUSTOS CENTROS AUXILIARES CENTROS PRODUTIOS CUSTOS INDIRETOS CA CA CA CP CP CP Aluguel Eergia elétrica Materais idiretos Mão-de-obra idireta Ecargos sociais Depreciação - istalações Depreciação - máquias e equipametos... Figura Mapa de Localização dos Custos Idiretos de Fabricação No Mapa de Localização de Custos as lihas represetam as espécies de custos idiretos (salários; aluguel de fábrica; eergia;...) e as coluas represetam os Cetros de Custos Auxiliares (Admiistração Geral de Fábrica, Mauteção, Plaejameto e Cotrole da Produção...) e Cetros de Custos Produtivos (Usiagem, Corte, Estamparia, Pitura; Acabameto...). Caracteriza-se Cetro de Custos como Cetro de Resposabilidade. Assim, em um mesmo departameto fucioal, segudo a forma de gestão adotada, podem existir um ou mais cetros de custos. No limite, uma úica máquia pode ser caracterizada como um Cetro de Custos. Em resumo, a qualidade das iformações geradas pelo Custeio por Absorção depede de se adotarem critérios adequados de rateio e de o Mapa de Localização de Custos Idiretos ser represetativo da realidade da empresa. A segmetação do processo de produção em Cetros de Custos permite a coleta de iformações úteis para moitorar cada fase em termos de volume (eficiêcia), tempo produtivo (ociosidade), recursos cosumidos (custo/hora do cetro produtivo), desperdício, retrabalho, refugos etc. O Custeio por Absorção é muito valioso para o moitorameto do processo de produção, compreededo acompahameto, cotrole, comparação, correção e ajuste. RATEIO CENTROS AUXILIARES PRODUTO A CUSTO DIRETO DO PRODUTO A CUSTOS INDIRETOS RATEIO PRODUTO B CUSTO DIRETO DO PRODUTO B RATEIO CENTROS PRODUTIOS RATEIO PRODUTO C CUSTO DIRETO DO PRODUTO C Fote: Souza et alli (00) Figura Esquema do Custeio por Absorção com Cetros de Custos

4 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 Para atribuir os CIFs aos produtos são utilizados três estágios: Mapa de Localização dos Custos Idiretos de Fabricação ( CIFs); Trasferêcia de todos os custos dos Cetros Auxiliares para os Cetros Produtivos; Mapa de Apropriação dos Custos aos Produtos (Figura ) PRODUTOS CUSTOS DIRETOS CUSTOS INDIRETOS MATERIAL MOD CP CP... CP A B C... Figura Mapa de Apropriação dos Custos aos Produtos CUSTO A trasferêcia dos CIFs dos Cetros Auxiliares aos Cetros Produtivos deve ser realizada segudo critérios de rateio decorretes da observação e da aálise do processo produtivo, critérios que devem ser justos tato para quem trasfere como para quem recebe. Existem três métodos de trasferêcia dos custos dos Cetros Auxiliares para os Cetros Produtivos:. Direto - É utilizada por empresas de pequeo porte, iteressadas apeas em uma estimativa do custo uitário de produção. Justifica-se seu uso pela simplicidade operacioal. Neste método ão há trasferêcia de custos etre Cetros Auxiliares, isto é, a lógica subjacete do método é que ão há troca de serviços etre Cetros Auxiliares. A Figura 4 apreseta essa lógica. Cetro Auxiliar Cetro Auxiliar Cetro Produtivo Cetro Produtivo Figura 4 Lógica de trasferêcia dos CIFs etre os Cetros de Custos pelo Método Direto. Gradativo (step-by-step) É o mais utilizado por empresas iteressadas em moitorar a eficiêcia do processo produtivo. Tal como o método aterior, também é de fácil operacioalização. Neste método é permitida a trasferêcia de custos dos Cetros Auxiliares mais geéricos para os mais específicos, isto é, os Cetros Auxiliares podem trasferir custos para todos os Cetros que estão a sua direita. A lógica subjacete do Método Gradativo é a da trasferêcia dos custos dos Cetros Auxiliares para os Cetros Produtivos de forma escaloada. Iiciado-se pela elimiação do Cetro Auxiliar mais a esquerda (trasferêcia de custos), em um úmero fiito de iterações (igual ao úmero de Cetros Auxiliares) todos os Cetros Auxiliares estarão elimiados

5 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 e todos os CIFs estarão etão trasferidos para os Cetros Produtivos. Comparativamete ao método aterior, a trasferêcia gradativa é mais realista porquato efetivamete há a troca de serviços etre Cetros Auxiliares. A Figura 5 apreseta essa lógica. Cetro Auxiliar Cetro Auxiliar Cetro Produtivo Cetro Produtivo Figura 5 Lógica de trasferêcia dos CIFs etre os Cetros de Custos pelo Método Gradativo. Recíproco É o que melhor represeta a iteração etre os Cetros de Custos e, por coseqüêcia, espera-se que apresete resultados meos distorcidos. Neste método é permitido qualquer tipo de relacioameto etre os Cetros de Custos. Diferetemete dos métodos ateriores, o Método Recíproco cosidera a possibilidade de um Cetro de Custos prestar serviços a ele mesmo. A operacioalização do método ão é tão simples quato dos ateriores e, por isso, é pouco utilizado. A difereça básica etre este método e os ateriores é que, equato os Métodos Direto e Gradativo, para uma situação em que existam Cetros de Custos, a cada iteração apeas um Cetro de Custos atua como distribuidor de custos equato os - restates atuam como receptores dos custos trasferidos, o Método Recíproco todos os Cetros de Custos atuam simultaeamete como distribuidores e receptores de custos. Assim, equato os outros métodos o úmero de iterações é igual ao úmero de Cetros Auxiliares, o Método Recíproco o úmero de iterações depede da esparsidade da matriz dos coeficietes de rateio. A Figura 6 apreseta essa lógica. Cetro Auxiliar Cetro Auxiliar Cetro Produtivo Cetro Produtivo Figura 6 Lógica de trasferêcia dos CIFs etre os Cetros de Custos pelo Método Recíproco A lógica operacioal do Método Recíproco é a trasferêcia dos custos dos Cetros Auxiliares para os Cetros Produtivos de forma iterativa. Pelo fato de existir a possibilidade de um Cetro de Custos prestar serviços para qualquer outro Cetro de Custos (iclusive para si mesmo), ao fial de cada iteração existirão resíduos de custos os Cetros Auxiliares que deverão ser ovamete trasferidos para os Cetros Produtivos. Este procedimeto cotiua

6 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 até que ão restem mais resíduos para serem trasferidos. Para evitar esse procedimeto efadoho recorre-se a solução, via tratameto matricial, de um cojuto de equações simultâeas represetativas das relações de trasferêcias etre os cetros de custos. O objetivo deste artigo é demostrar que há uma aalogia etre o Método Recíproco de trasferêcia de custos idiretos etre cetros de custos e a cosagrada Aálise Iputoutput, cohecida como Matriz Isumo-Produto, desevolvida por Wassily Leotief para Plaejameto Ecoômico. O Método Recíproco: Abordagem iterativa A Figura 7, a seguir, é utilizada para ilustrar o processo de solução do Método Recíproco tato pela abordagem iterativa como pela abordagem matricial. CENTROS DE CUSTOS AUXILIARES PRODUTIOS CC CC CC CC 4 CC 5 CC 6 CIFs Total dos CIFs ates da trasferêcia Y Y Y Y 4 Y 5 Y 6 Matriz dos Coeficietes de Rateio Y c c c c 4 c 5 c 6 Y c c c c 4 c 5 c 6 Y c c c c 4 c 5 c 6 Y 4 c 4 c 4 c 4 c 44 c 45 c 46 Y 5 c 5 c 5 c 5 c 54 c 55 c 56 Y 6 c 6 c 6 c 6 c 64 c 65 c 66 Total de trasferêcias recebidas X X X X 4 X 5 X 6 Total de CIFs (próprios e recebidos) Figura 7 Mapa de localização dos CIFs sob o Método Recíproco O procedimeto iterativo parte da matriz trasposta dos coeficietes de rateio (C). Os resíduos, a k-ésima iteração, são obtidos por: x j (k) = yc k ode x j (k)cotém a soma dos resíduos do j-ésimo Ceto de Custos a k-ésima iteração; y é um vetor represeta os valores iiciais de cada Cetro de Custos ates do processo de trasferêcia e C é a trasposta da matriz dos coeficietes de rateio. Assim, os valores de cada Cetro de Custos após o processo de trasferêcia recíproca podem ser obtidos por: ou v = y.i + y.c + y.c + y.c y.c k- + y.c k v = y (I + C + C + C C k- + C k ) Como os elemetos da matriz C são proporções e, por coseqüêcia, meores do que ou iguais a zero tedem para zero a medida que aumeta o úmero de iterações. Assim, pode-se reescrever a relação acima como:

7 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 v = (I - C) -. y Método Recíproco: Abordagem Matricial Para evitar o procedimeto efadoho de trasferêcia de custos etre os Cetros de Custos por meio de iterações, pode-se represetar a iteração etre os Cetros de Custos através de um cojuto de equações simultâeas tal como apresetado a seguir: = Y + c * + c * + c * c * = Y + c * + c * + c * c * = Y + c * + c * + c * c * = Y 4 + c * + c * + c * c * ode, por exemplo, o Cetro de Custos iicia com Y e recebe carga de custos dele mesmo a proporção de c, do Cetro de Custos a proporção de c e assim por diate. O cojuto de equações pode ser represetado por otação matricial, isto é, por (I -C)v = y ode C é uma matriz de dimesão igual ao úmero de cetros de custos e represeta a matriz trasposta da Matriz dos coeficietes de rateio, y é o vetor de costates (represetados pelos valores iiciais de cada cetro de custos ates de qualquer trasferêcia) e v é o vetor de resultados após a trasferêcia. A operacioalização dessa abordagem é obtida por: v = (I -C) - y que é o mesmo resultado obtido por sucessivas iterações. 4 Matriz Isumo-Produto de Leotief Wassily Leotief (906, 999), Prêmio Nobel de Ecoomia de 97, otabilizou-se por desevolver e empregar um modelo de equilíbrio geral da ecoomia com base a álgebra matricial, publicado em 94 o livro The Structure of the America Ecoomy. Leotief cosiderou iicialmete que a ecoomia é composta de vários ramos de atividade, por ele deomiados idústrias e que o alor Bruto da Produção de certa idústria i, represetado por i, compreede o alor da Produção Itermediária, X i, e o alor da Produção Fial Y i ( CLEMENTE ; HIGACHI, 000): X + Y = i i i O alor da Produção Itermediária da idústria i é composto pelos bes e serviços que esta forece a si mesma e às demais idústrias e pode, portato, ser represetado como segue: X = c + c + c c i i i i i Nesta equação, os c ij, deomiados coeficietes técicos, são defiidos como a demada por bes e serviços itermediários que cada idústria j faz à idústria i por uidade de alor Bruto de Produção:

8 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 c = ij X ij j Dessa forma, a equação iicial do alor Bruto da Produção da idústria i pode ser reescrita como: ci + ci + ci ci + Yi = i ; i =,,..., E o cojuto das idústrias que compõem o setor produtivo da ecoomia pode ser represetado por um sistema de equações lieares, como segue: c + c c... c + c + c + c + c + c c c c + Y + Y + Y = = = Rearrajado o sistema, tem-se: ( c ) + c c + ( c... c + c ) + c c + c c + c ( c ) = Y = Y = Y A represetação matricial do sistema produtivo da ecoomia pode, etão, ser formulada como: Y = (I C) Nesta equação, C é a matriz dos coeficietes técicos, I é uma matriz Idetidade de ordem, é o vetor de alor Bruto da Produção e Y é o vetor de Demada Fial. Com base esse sistema, é possível dimesioar a repercussão de variações a Demada Fial sobre cada idústria: = (I C) Y A aalogia com o Método Recíproco Matricial de trasferêcia dos custos idiretos de fabricação - CIFs dos cetros auxiliares aos cetros produtivos é quase imediata: Em vez de idústrias, têm-se cetros de custos. A demada itersetorial por bes e serviços dá lugar à demada por serviços que os cetros de custos fazem a si mesmos e us aos outros. Assim como as idústrias do setor produtivo da ecoomia demadam bes e serviços de si mesmas e umas das outras, os cetros de custos demadam serviços de si mesmos e us dos outros.

9 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 Os CIFs alocados iicialmete aos cetros auxiliares o Mapa de Alocação de Custos são comparáveis aos compoetes do vetor de Demada Fial. Os coeficietes técicos de Leotief correspodem aos coeficietes de rateio para a trasferêcia de custos. A Demada Itermediária é comparável ao cojuto de efeitos sobre si mesmo e sobre os demais cetros de custos, dos quais resultou o CIF iicialmete alocado a certo cetro de custo. O alor Bruto da Produção, essas codições, correspode ao vetor que represeta a soma dos CIFs e de todas suas repercussões oriudas da iteração etre os cetros de custos. A Figura 8, a seguir, mostra as semelhaças ateriormete descritas. CENTROS DE CUSTOS AUXILIARES PRODUTIOS C C C C 4 C 5 C 6 CIFs alor da Produção Fial ou Demada Fial Y Y Y Y 4 Y 5 Y 6 Matriz dos Coeficietes de Rateio Y c c c c 4 c 5 c 6 Y c c c c 4 c 5 c 6 Y c c c c 4 c 5 c 6 Y 4 c 4 c 4 c 4 c 44 c 45 c 46 Y 5 c 5 c 5 c 5 c 54 c 55 c 56 Y 6 c 6 c 6 c 6 c 64 c 65 c 66 alor da Produção Itermediária ou Demada Itermediária X X X X 4 X 5 X 6 alor Bruto da Produção Figura 8 Aalogia etre o Mapa de Localização dos CIFs e a Matriz Isumo-Produto de Leotief A semelhaça seria completa se, em pricípio, ão houvesse distição etre cetros de custos, como ocorre com as idústrias. Etretato, os cetros auxiliares, por sua atureza, ão demadam serviços dos cetros produtivos, os quais, em cojuto, costituem o destio fial dos serviços de produção. Nessas codições, o sistema de Leotief pode ser reespecificado como: C matriz trasposta da matriz dos coeficietes de rateio para trasferêcia de CIFs. Y vetor dos CIFs alocados aos cetros auxiliares o Mapa de Localização de Custos. vetor dos totais de CIFs de cada cetro e de suas respectivas repercussões sobre o cojuto de cetros. A matriz trasposta da matriz dos coeficietes de rateio deve ser completada para icluir os cetros produtivos, obtedo-se matriz quadrada de ordem ( a + p ), sedo a o úmero de cetros auxiliares e p o de cetros produtivos. Etão, a matriz trasposta da matriz dos coeficietes de rateio pode ser particioada como segue:

10 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 C = C ax C px Os subscritos a e p se referem a cetros auxiliares e produtivos, respectivamete. As propriedades das sub-matrizes que compõem a matriz trasposta da matriz dos coeficietes de rateio para trasferêcia de CIFs podem ser assim euciadas: As primeira a coluas de C, que costituem C ax, têm soma uitária. As p últimas coluas de C, que costituem a matriz C px, são vetores ulos e portato C px é ula. A matriz C px pode, aida, ser particioada em duas sub-matrizes relevates para dar cota de um caso especial em que setores produtivos prestam serviços a outros setores produtivos: C px = C C pa pp A matriz C pa é ecessariamete ula, pois ão se admite que setores produtivos possam prestar serviços aos setores auxiliares. Etretato, C pp poderá coter elemetos diferetes de zero, referetes à troca de serviços etre cetros produtivos. 5 Coclusões O Método Recíproco, ao cotrário do Método Direto e do Método Gradativo, também utilizados o Custeio por Absorção, é o úico capaz de dimesioar com exatidão os reflexos dos critérios de rateio para apurar a resposabilidade de cada cetro o processo de geração do perfil observado de CIFs. Leotief, preocupado em plaejar a ecoomia para que certas metas de produção fial fossem atigidas, perscrutou o fucioameto do sistema produtivo, dado-se cota de que os diversos ramos de atividade, por ele deomiados idústrias, iteragem etre si, cosumido parte do que produzem, produzido para outras idústrias e produzido bes e serviços fiais. O forecimeto de bes e serviços etre idústrias costitui processo semelhate ao do forecimeto de serviços etre cetros de custos e ambos podem ser formulados matematicamete através da álgebra matricial. O perfil de Demada Fial do modelo de Leotief pode ser assimilado ao perfil de cargas iiciais de CIFs alocadas aos cetros de custos, de tal forma que o alor Bruto da Produção passa a correspoder ao valor total dessas cargas iiciais e de suas repercussões sobre o cojuto de cetros de custos. Quato ao aspecto geral, percebe-se que a ferrameta desevolvida para o plaejameto em ível macroecoômico apreseta propriedades úteis para a gestão de custos as empresas, uma vez que o Método Recíproco avalia com precisão as solicitações de serviços aos cetros de custos idividualmete: assim como o alor Bruto da Produção represeta o esforço total requerido a certa idústria para se obter um perfil desejado de Demada Fial, a soma do CIF iicial e das repercussões recebidas costitui medida do evolvimeto ecessário de certo cetro de custo para se alcaçar o perfil de CIFs iiciais. Na aalogia, a matriz de coeficietes técicos de Leotief cede lugar à trasposta da matriz de coeficietes de rateio para trasferêcia de CIFs. Essas duas matrizes são semelhates, mas guardam algumas distições: a sub-matriz referete aos cetros auxiliares equato forecedores de serviços apresetam coluas com soma uitária, equato a sub-

11 XIII Cogresso Brasileiro de Custos Belo Horizote - MG, Brasil, 0 de outubro a 0 de ovembro de 006 matriz de cetros produtivos como forecedores de serviços aos cetros auxiliares é ecessariamete ula. Outra distição importate diz respeito à atureza dos coeficietes que costituem essas matrizes. Os coeficietes técicos de Leotief podem ser calculados com base em valores observados e são praticamete isetos de subjetividade. Este ão é o caso dos coeficietes de rateio para trasferêcia de CIFs dos cetros auxiliares para os cetros produtivos. Os critérios de rateio e os coeficietes resultates são, em geral, sujeitos a subjetividade. Isso sigifica que o a exatidão do Método Recíproco Matricial ão deveria criar ilusões sobre a exatidão fial dos resultados. Também é relevate fazer a distição etre os mometos em que se aplicam os dois métodos e o tipo de iformação que cada um produz. O modelo de Leotief é uma técica de plaejameto equato o Método Recíproco Matricial é uma ferrameta de cotrole embora também possa ser usado para elaboração orçametária. Ao dimesioar o esforço que será solicitado a certa idústria, o modelo de Leotief idica os ivestimetos ecessários, equato ao dimesioar o efeito global de certo perfil iicial de CIFs o Método Recíproco permite aquilatar a resposabilidade de cada cetro. No Método Recíproco Matricial, como o Modelo de Leotief, a questão sobre a ordem da matriz de coeficietes permaece aberta. Na matriz de Leotief, quato mais detalhados forem os dados sobre trasações etre idústrias e, portato, mais específicas forem estas, mais acurados serão os resultados. Na formulação matricial do Método Recíproco, os coeficietes são estabelecidos da forma meos arbitrária possível, mas geralmete ão são observáveis. Por isso, tetativas costates de especificar cetros de custos meores para aumetar a precisão dos resultados podem represetar uma armadilha. Referêcias CLEMENTE, Ademir e HIGACHI, H. Y. Ecoomia e desevolvimeto regioal. Atlas, São Paulo: p. LEONTIEF, Wassily. The structure of the america ecoomy. Oxford Uiversity Press, New York: 95, º editio. SOUZA, Alceu.e CLEMENTE, Ademir. Gestão da Iformação de Custos: usos estratégicos e operacioais. No prelo., 60p. SOUZA, A. et alli. Estratégias competitivas e métodos de custeio. I: X CONGRESSO BRASILEIRO DE CUSTOS, 00, Guarapari. Aais do X Cogresso Brasileiro de Custos, Guarapari: UFB, 00