Disciplina: Matemática para o Ensino Básico I Prof. Hélio Pires de Almeida Curso de Matemática UFPBVIRTUAL

Transcrição

1 Disciplia: Matemática para o Esio Básico I Prof Hélio Pires de Almeida Curso de Matemática UFPBVIRTUAL helio@matufpbbr Colaboradores: Prof Edso de Figueirêdo Lima Juior (Tratameto da Iformação) Prof Leimar Nues de Adrade (Geometria) Ambiete Virtual de Apredizagem: Moodle ( wwweadufpbbr ) Site do Curso: ( wwwmatufpbbr/ead ) Site da UFPBVIRTUAL wwwvirtualufpbbr Telefoe UFPBVIRTUAL (83) Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Emeta Descrição Aritmética Geometria Plaa Tratameto da Iformação Nesta disciplia apresetaremos algus tópicos de Aritmética, Geometria Plaa e Tratameto da Iformação, que já são estudados o Esio Básico, mas ão será uma mera repetição do que foi feito lá Aqui eles serão abordados de um modo mais amplo e mais crítico, sob a forma de resolução de problemas, para que o aluo amplie e cosolide os seus cohecimetos sobre esses assutos, capacitado-o para esiá-los as séries do Esio Básico Objetivos Ao fial da disciplia o aluo deverá ser capaz de: Efetuar cálculos de máximo divisor comum ou de míimo múltiplo comum, usado o Teorema Fudametal da Aritmética; Efetuar cálculos de máximo divisor comum, usado o Algoritmo da Divisão; Resolver problemas que evolvam os coceitos de máximo divisor comum e míimo múltiplo comum; Resolver problemas que evolvam proporcioalidade, juros simples ou compostos, valor atual e valor futuro; Idetificar os pricipais elemetos da geometria plaa; Recohecer uma relação de semelhaça etre dois triâgulos; Utilizar, a resolução de problemas, as relações métricas um triâgulo retâgulo; Calcular área de polígoos, círculo e de setor circular; 97

2 Usar o Teorema de Pitágoras e a fórmula de Herão a resolução de problemas; Idetificar os pricipais tipos de tabelas e gráficos; Ler e iterpretar dados cotidos em tabelas e gráficos simples; Recolher e orgaizar dados e iformações; Produzir textos a partir da iterpretação de gráficos e tabelas; Elaborar tabelas e gráficos elemetares para apresetação de cojutos de dados; Formular e resolver problemas evolvedo o coteúdo programático desta disciplia, e Esiar o coteúdo desta disciplia as séries do Esio Básico Uidades Temáticas Itegradas Uidade I Aritmética Propriedades das operações com úmeros iteiros Produtos otáveis Poteciação Múltiplos e divisores Algoritmo da divisão Números primos Máximo divisor comum Míimo múltiplo comum Razão e proporção Regra de três Progressões Progressões aritméticas o Fórmula do termo de ordem o Fórmula da soma dos primeiros termos Progressões geométricas o o o Fórmula do termo de ordem Fórmula da soma dos primeiros termos Soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita Matemática fiaceira o o o o o Porcetagem Juros simples Juros compostos Valor atual e Valor futuro Taxa efetiva 98

3 Uidade II Geometria Plaa Itrodução Poto, Reta e Plao Objetos cogruetes Posições relativas de retas Segmetos, Semi-retas e Âgulos Polígoos Triâgulos Círculo e Circuferêcia Semelhaça Triâgulos semelhates Relações métricas um triâgulo retâgulo Razões Trigoométricas Áreas Áreas de polígoos Área de um retâgulo Área de um paralelogramo Área de um triâgulo Área de um trapézio Área de um losago Área de um polígoo Área de um círculo Área de um setor circular O Teorema de Pitágoras Fórmula de Herão Exemplos Uidade III Tratameto da Iformação Trabalhado com tabelas e gráficos Cohecedo coceitos e características Desevolvedo atividades 99

4 Uidade I Aritmética Situado a Temática Nesta uidade estudaremos algus tópicos de Aritmética que já são estudados o Esio Fudametal ou Médio, mas aqui eles serão abordados de uma forma mais crítica, com o objetivo de ampliar e cosolidar os seus cohecimetos sobre esse coteúdo, dado-lhe codições para, etre outras coisas, desempehar de modo satisfatório a fução de professor Apresetaremos defiições e resultados básicos seguidos de algus exemplos ou exercícios ilustrativos Os resultados serão apresetados, a sua maioria, sem demostrações, mas se você tiver iteresse em estudá-las poderá ecotrá-las as referêcias bibliográficas Uma justificativa para a omissão das demostrações é torar o texto cociso e também porque este ão pretede ser auto-suficiete Este texto complemeta-se a plataforma moodle, ode estão as listas de exercícios e atividades relacioadas com o texto Problematizado a Temática Quado fazemos operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, poteciação, porcetages, etc, estamos explorado um dos ramos da matemática, chamado Aritmética Podemos dizer que a aritmética é o ramo da matemática que trata das propriedades dessas operações Na aritmética também são estudadas as propriedades dos iteiros relativas a oções de úmero primo, divisibilidade e resolução de equações com soluções iteiras Daí percebe-se que o uso da Aritmética está presete ão somete em toda a Matemática, mas as outras ciêcias e também o osso cotidiao, pois, o osso dia-a-dia, a todo istate, temos ecessidade de tomar algum tipo de decisão que evolve operações aritméticas, das mais elemetares, como uma simples adição, até àquelas mais sofisticadas como, por exemplo, calcular os juros cobrados uma veda a prazo Vejamos a situação do exemplo seguite Exemplo: Paulo vai comprar cerâmica para revestir o piso de uma sala retagular medido 6 m 5m O pagameto pode ser feito à vista, com 5% de descoto, ou em duas parcelas iguais sem descoto, sedo a primeira paga o ato da compra Qual é a taxa de juros embutida a veda a prazo? Se o diheiro de Paulo está aplicado a uma taxa de 0% ao mês, qual é a melhor opção de pagameto? Numa situação como esta, precisamos de cohecimetos de aritmética para calcular a área do piso da sala e saber a quatidade ecessária de cerâmica, e também para calcular a taxa de juros embutida o pagameto a prazo para, a partir daí, escolher a melhor opção de pagameto 3 Cohecedo a Temática 3 Propriedades das operações com úmeros iteiros A seguir, listamos algumas propriedades básicas das operações de adição e multiplicação com úmeros Z =, 3,,,0,,,3, iteiros, isto é, aqueles que pertecem ao cojuto { } Comutatividade: ab, Z, a+ b= b+ ae ab = ba Associatividade: abc,, Z, a+ ( b+ c) = ( a+ b) + ce ( ab) c = a( bc) 3 Existêcia de elemetos eutros: a Z, a+ 0= a e a = a 4 A multiplicação é distributiva em relação à adição: abc,, Z, ab ( + c) = ab+ ac 5 Itegridade: Se ab Z,, etão ab = 0 a = 0 ou b = 0 00

5 6 Tricotomia: Dados a, b Z, ocorre uma, e somete uma, das possibilidades seguites: ou a = b ou a < b ou b < a 7 abc,, Z, se a b e b c, etão a c 8 Leis de Cacelameto: Ateção: Observe que o item (c) a abc,, Z, a b a+ c b+ c os setidos das desigualdades são b abc,, Z, c> 0, a b ac bc opostos Isto ocorre porque c < 0 c abc,, Z, c< 0, a b ac bc d abc,, Z, a+ c= b+ c a= b e abc,, Z, c 0, ac= bc a= b Observação: Quado estamos resolvedo uma equação ou iequação e passamos um termo de um membro para outro, ivertedo o seu sial, o que os permite fazer isso são as propriedades listadas acima São as leis do cacelameto que permitem que uma equação ou iequação permaeça válida após somarmos ou subtrairmos uma mesma quatidade a ambos os seus membros Resultado semelhate se obtém quado se multiplica ou divide ambos os membros por uma mesma quatidade ão-ula, lembrado que, o caso de iequação, quado a quatidade é egativa o setido da desigualdade se iverte Exemplo: Vejamos o uso dessas propriedades quado resolvemos uma simples equação do tipo 5x 7= 5 3 Produtos otáveis Operação Propriedade 4x 7= 5 (4x 7) + 7 = 5+ 7 Lei do cacelameto (8d) 4 x + ( 7+ 7) = Associatividade 4x + 0= 4x = 4 3 Elemeto eutro da adição x = 3 Lei do cacelameto (8b) Usado propriedades das listadas acima podemos verificar, facilmete, as igualdades seguites, para quaisquer úmeros reais a e b Essas expressões são cohecidas como produtos otáveis ( a+ b) = a + ab+ b ( a b) = a ab+ b ( a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b 4 ( a+ b)( a b) = a b ( a b)( a + ab+ b ) = a b ( a+ b)( a ab+ b ) = a + b 33 Poteciação Se a é um úmero real qualquer e um úmero iteiro positivo, ou seja,, o produto de a por ele mesmo vezes é a -ésima potêcia de a e é deotado a Se a 0, defiimos 0 a = e a = ( ) a 0 Cuidado! A potêcia a é defiida somete quado a 0 A partir das defiições e das propriedades listadas acima, as igualdades seguites podem ser verificadas, * m, Z, ab, R 0

6 a = a m a a m+ = a 3 m ( a ) m m = ( a ) = a 4 a b = ( ab) 5 a a = b b 6 a b = b a Exemplos 0 = = = 0, = = = = 3 3 = 3 = 3 = = = = ( ) ( ) = = = = ( 3 5) = 5 = ( ) 3 5 ( ) = 4 3 = 3 3 = 3 = 3 = = Múltiplos e divisores Defiição: Sejam ab Z, Se existir q Z tal que a = qb, diremos que a é um múltiplo de b Se b 0, também dizemos que b é um divisor de a ou que b é um fator de a, e deotamos isto por b a (Lê-se b divide a ) Quado b a também dizemos que a é divisível por b ou que a divisão de a por b é exata Se b 0 a e a = qb também escrevemos a b = q ou = q b Neste caso, dizemos que a é o dividedo, b o divisor, e q o quociete da divisão de a por b A otação b ł a sigifica que b ão divide a, ou seja, ão existe úmero iteiro q para o qual acotece a = qb Em símbolos, b ł a a qb, q Z Exemplo: 3 6 mas 3ł5 Observação: O úmero 0 é múltiplo de qualquer úmero iteiro, pois 0= 0 b, b Z Observe também que todo úmero iteiro ão-ulo divide 0 Dado a Z, deotado por M (a) e D (a), respectivamete, o cojuto dos úmeros iteiros múltiplos M( a) = 0, ± a, ± a, ± 3 a, é um cojuto ifiito, ao passo que de a e o dos divisores de a Temos que { } 0

7 D (a) é sempre fiito, desde que a 0 Quado = 0 como já observamos, todo iteiro ão-ulo divide 0 M = e D (0) é um cojuto ifiito pois, a, (0) { 0} Exemplo: Os cojutos de múltiplos e de divisores de 6 são, respectivamete, ( 6) = { 0, ± 6, ±, ± 8, } D ( 6) = { ±, ±, ± 3, ± 6} Proposição: Sejam abc Z,, Se a b e b c etão a c ; Se a b e b a etão a = ± b ; Se a b e a c etão a ( bx + cy), x, y Z M e Exemplo: Como 3 6 e 6 60, etão 3 60 Isso pode ser verificado diretamete, assim: 6 = 3 e 60 = = 0( 3) = (0 ) 3 = 0 3 Exemplo: Como 3 6, 3 e4 = , etão Algoritmo da divisão Se b divide a, vimos que a = qb, ode o iteiro q é o quociete da divisão de a por b Por exemplo, como 6 divide 4 podemos escrever 4 = 7 6 e 7 é o quociete da divisão de 4 por 6 Quado b ão divide a, ão existe iteiro q tal que a = qb porque a divisão de a por b ão é exata Mas, mesmo assim, podemos relacioar a e b por meio de uma expressão Por exemplo, 6 ão divide 45, mas podemos escrever 45 = É fácil perceber o que ocorre essa expressão De fato, 45 = = = 7 6 Sabemos que quado dividimos 45 por 6 obtemos um quociete 7 e um resto 3 Estes são os úicos úmeros, além de 45 e 6, que aparecem a expressão acima Daí, cocluímos que, apesar de 45 ão ser divisível por 6, é possível relacioá-los por meio do quociete e do resto da divisão de 45 por 6 Isto que acabamos de ver é apeas um caso particular de uma situação mais geral, cuja validade é garatida pelo teorema seguite, cohecido como Algoritmo da Divisão Teorema: Se a e b pertecem ao cojuto = { 0,,,3 } N, dos úmeros aturais, sedo b 0, etão existem qr N,, chamados respectivamete de quociete e resto da divisão de a por b, tais que ode 0 r < b Além disso, os úmeros q e r são determiados de modo úico a = qb + r, Observe que b divide a se, e somete se, a = qb = qb + 0, ou seja, se, e somete se, o resto da divisão de a por b é r = 0 Ateção: O teorema acima também vale para úmeros iteiros quaisquer a e b, desde que b 0 Esse caso mais geral será tratado em outra disciplia, mais adiate Exemplo: Deseja-se colocar dois litros e meio de refrigerate em copos de 00 ml Quatos desses copos são ecessários? Uma solução: Sabemos que,5 l = 500 ml e 500 = Etão, são ecessários + = 3 copos, pois echedo-se copos aida restam 00 ml 03

8 No Moodle Na plataforma Moodle você ecotrará vários exercícios evolvedo múltiplos, divisores e o algoritmo da divisão 36 Números primos Todo úmero iteiro 0 é divisível por ± e por ± Esses divisores serão chamados divisores triviais de Se existirem outros divisores de, eles são chamados de divisores ão-triviais Os divisores de que são diferetes de ± são chamados divisores próprios de Algus úmeros iteiros possuem apeas divisores triviais Por exemplo, os úmeros 5 e 7 têm essa propriedade, pois D ( 5) = { ±, ± 5} e D ( 7) = { ±, ± 7} Um úmero iteiro, diferete de e de, é chamado primo se os seus úicos divisores são os triviais Caso o iteiro possua divisor ão trivial, ele é chamado de úmero composto Assim, um úmero iteiro é composto se, e somete se, existem úmeros iteiros a e b tais que a ±, a ± e = ab Também podemos dizer que é primo se, e somete se, para a, b Z, = ab acarreta a = ± ou a = ± Dialogado e Costruido Cohecimeto Como os divisores de são ± e ±, temos que é um úmero primo Verifique que todo primo maior do que é ímpar Observação: É um fato matemático que p é primo se, e somete se, p é primo Assim, podemos restrigir o estudo dos úmeros primos aos úmeros iteiros positivos É o que faremos De agora em diate, vamos euciar algus resultados apeas para úmeros aturais, mas deve ficar bem claro que resultados aálogos também valem para iteiros egativos Um úmero pode dividir o produto de dois úmeros sem que divida algum desses úmeros Por exemplo, 6 divide 7 = 8 9, mas 6 ão divide 8 e 6 ão divide 9 De acordo com o teorema seguite, isso ão acotece quado é um úmero primo Teorema: Se p é um úmero primo e p ab, etão p a ou p b Corolário: Se p,, p, p, pk são úmeros primos e p p p pk etão p = pi, para algum i =,,, k Exemplo: Se p é um primo e p 8 etão p = ou p = 7, uma vez que 8 = 7 Todo úmero atural maior do que ou é primo ou é um produto de fatores primos Isso é o que afirma o seguite teorema, cohecido como Teorema Fudametal da Aritmética Teorema: Se é um úmero atural maior do que, etão existem úmeros primos = p p p k p, p,, p k tais que 04

9 A expressão = p p pk é chamada decomposição (ou fatoração) de em fatores primos e p, p,, pk são os fatores primos de Podem ocorrer fatores primos iguais Por exemplo, 500 = O teorema acima também pode ser euciado assim: Teorema: Se > é um úmero atural etão existem úmeros primos p,, pr úicos, com p < < pr, e úmeros aturais, r também úicos, tais que = p p r, r A fatoração do úmero 500, de acordo com essa expressão, é = 3 5 Do teorema acima, coclui-se que se b divide a etão todo fator primo de b também é fator primo de r a Isso é equivalete a dizer que se a p k kr = pr etão b = p pr, ode 0 ki i, i =,, r Daí segue o seguite teorema: r Teorema: Se a = p p r, ode p,, pr são úmeros primos distitos e,, r N, etão a quatidade de divisores positivos de a é ( + ) ( r + ) 3 s Exemplo: Como 500 = 5, todo divisor positivo de 500 é da forma 5 t, com 0 s e 0 t 3 Também podemos afirmar que o úmero de divisores positivos de 500 é igual a ( + )(3 + ) = Esses divisores são,,,5,5,5, 5, 5, 5, 5, 5 e 5 O Teorema Fudametal da Aritmética mostra que todo úmero atural > decompõe-se em fatores primos Isso, por si só, já mostra a importâcia dos úmeros primos a aritmética Essa importâcia ão se restrige apeas ao aspecto teórico, ela está presete o osso cotidiao Quado efetuamos uma trasação bacária, seja um termial de atedimeto ou pela iteret, forecemos iformações sigilosas Para que o sigilo dessas iformações seja matido elas são criptografadas por processos baseados em úmeros primos Nesses processos são utilizados úmeros extremamete grades Quato maiores forem os úmeros usados, mais difícil se torará a quebra do sigilo Daí o iteresse e a importâcia de se descobrirem úmeros primos cada vez maiores Além de trasações bacárias, muitas outras iformações sigilosas trocadas pela iteret também são criptografadas Ampliado o seu Cohecimeto A criptografia é o ramo da matemática que estuda técicas de codificação (ou cifragem) de mesages, isto é, técicas que toram as mesages acessíveis apeas a quem está autorizado O processo de codificação também é chamado de criptografia Você pode saber mais sobre criptografia acessado: < < < Ampliado o seu Cohecimeto Pode-se provar que o cojuto dos úmeros primos é ifiito No etato, se cohece apeas uma quatidade fiita deles O maior úmero primo cohecido atualmete foi descoberto em agosto de , é o úmero Este úmero é formado por algarismos 05

10 Defiição: Um úmero atural é chamado perfeito se ele é igual à soma dos seus divisores positivos próprios Se é maior do que essa soma, recebe a deomiação de deficiete e, se é meor do que tal soma, é dito abudate Exemplo: Os úmeros 6 e 8 são perfeitos; 8 e 5 são deficietes, já e 0 são abudates De fato, Número Divisores próprios positivos Soma dos divisores próprios positivos 6,, 3 ++3=6 8,, 4, 7, =8 8,, 4 ++4=7 5, 3, =9,, 3, 4, =6 0,, 4, 5, = Ampliado o seu Cohecimeto Todos os úmeros perfeitos cohecidos até hoje são pares Não se sabe aida se existe úmero perfeito ímpar São cohecidos apeas 46 úmeros perfeitos, todos eles da forma ( ) Pode ser provado que todo úmero perfeito par é dessa forma Não se sabe aida se o cojuto dos úmeros perfeitos é fiito ou ifiito Atualmete, o maior úmero perfeito que se cohece foi descoberto em agosto de 008, é o úmero ( ) Ampliado o seu Cohecimeto Mari Mersee foi um matemático fracês Ele asceu o dia 8 de setembro de 588 a pequea cidade de Oizé, provícia de Maie, a Fraça, e morreu o dia de setembro de 648 em Paris, a Fraça Você pode saber mais sobre Mersee, úmeros primos, úmeros de Mersee, úmeros perfeitos, etc acessado: < < < < < < Em [4], você ecotra algus fatos e curiosidades sobre esse assuto 37 Máximo divisor comum Vamos cosiderar a seguite situação: desejamos recortar uma folha de papel retagular, medido 30 cm 45cm, em pedaços quadrados todos com as mesmas dimesões Como determiar as dimesões desses pedaços de modo que eles teham a maior área possível? Uma solução: Se x é a medida dos lados destes quadrados, etão x deve ser um divisor de 30 e também de 45 Como os divisores positivos de 30 e de 45 são D ( 30) = {,,3,5, 6,0,5,30} e D ( 45) = {,3,5,9,5, 45}, x deve ser um elemeto da iterseção destes dois cojutos, ou seja, x D( 30) D(45) = {,3,5,5} Como queremos que os pedaços de papel teham a maior área possível, devemos tomar x = 5 cm Nesse problema, o valor que tomamos para x é o maior iteiro positivo que divide 30 e 45 simultaeamete e, por isso, é chamado de máximo divisor comum de 30 e 45 Vamos deotá-lo por mdc { 30, 45}, ou seja, mdc { 30, 45} = 5 O máximo divisor comum de dois úmeros pode aida ser defiido assim: 06

11 Defiição: Sejam a e b iteiros, sedo pelo meos um deles ão-ulo Um iteiro positivo d é chamado máximo divisor comum de a e b, que vamos deotar por mdc { a, b}, se as duas codições seguites são satisfeitas d a e d b se c Z é tal que c a e c b etão c d A codição () afirma que d é um divisor comum de a e b, equato a codição (), além de dizer que d é o maior divisor comum de a e b, também garate que d é divisível por qualquer divisor comum de a e b mdc a, b = dizemos que a e b são relativamete primos ou primos etre si Defiição: Se { } Ateção: Observe que dois úmeros são relativamete primos se, e somete se, eles ão têm fatores primos em comum Exemplo: Os úmeros 9 e 40 são relativamete primos, pois 9 = 3² e 40 = ³ 5 Observação: Dados dois iteiros a e b, às vezes é coveiete usar os mesmos primos para decompô-los em fatores primos Isto é possível podo expoete ulo em cada primo que aparece uma decomposição e ão divide o úmero correspodete a esta decomposição Isto também pode ser feito com mais de dois úmeros Exemplo: 8 = 3 e 40 = 3 5 mas podemos escrever 8 = e 40 = 3 5 Este recurso é muito útil para calcular o mdc De fato, se a = p p r m mr e b = p p, ode m m,, m,,,, 0, temos que mdc r Exemplo: Para calcular mdc{050,936}, escrevemos 050 = 3 5² e 936 = ² 3² Etão, mdc{050,936} = = 6 kr { a, b} = p k p r, ode ki míimo{ mi, i }, i =,, r r =, r r Exercício: Um terreo plao, de forma retagular, medido 70 m de comprimeto por 040 m de largura, foi dividido em lotes quadrados, com dimesões iguais Em quatos lotes, o míimo, esse terreo foi dividido? Solução: Quato maior for a área de cada lote, meor será a quatidade deles Etão, a quatidade será míima quado a área deles for máxima, e isso ocorrerá quado as medidas dos seus lados forem iguais ao mdc { 70,040} = 80 Como 70 = 80 9 e 040 = 80 3, segue que o terreo foi dividido em, o míimo, 9 3 = 4 lotes Teorema: Se a, b, q, r Z e a qb + r = etão mdc { a b} mdc{ b, r}, = Este teorema, combiado com o algoritmo da divisão, os forece um algoritmo para calcular o mdc de dois úmeros, cohecido como Algoritmo de Euclides ou Algoritmo Euclidiao, que vamos apresetar o exemplo seguite Exemplo: Vamos ecotrar mdc { 050,936} usado o Algoritmo de Euclides Esse algoritmo faz uso de aplicações repetidas do algoritmo da divisão, da seguite maeira 07

12 050 = = = = = Pelo teorema acima temos que 050 = mdc 050,936 Daí, cocluímos que 936 = = mdc 4 = mdc 8 = mdc { } = mdc{ 936,4} mdc{ 936,4} = mdc{ 4, 4} { 4, 4} = mdc{ 4,8} { 4,8} = mdc{ 8,6} { 8,6} = mdc{ 6,0} = 6 mdc{ 050,936} = mdc{ 936,4} = mdc{ 4, 4} = = mdc{ 4,8} = mdc{ 8,6} = mdc{ 6,0} = 6 Observe que { 050,936} mdc é o último resto ão-ulo da sequêcia de aplicações do algoritmo da divisão Em algus casos o cálculo do mdc pode ser simplificado pelo teorema seguite Teorema: Seja k 0 Se a = km e k b = etão { a, b} k( mdc{ m, }) Como cosequêcia imediata deste teorema temos o corolário seguite: Corolário: Se a e b são ão-ulos e mdc { a b} = d Exemplo: { 00,7} = 4mdc{ 5,8} = 4 = 4 mdc mdc =,, etão d a e d b são relativamete primos A defiição de mdc pode ser estedida, aturalmete, para três ou mais úmeros iteiros O máximo divisor comum de,,, r é o maior iteiro que divide cada um destes úmeros Aalogamete ao que já foi feito para dois iteiros, também podemos usar a defiição seguite Defiição: Sejam,,, r úmeros iteiros Dizemos que d é o máximo divisor comum de,,, r se as duas codições seguites são satisfeitas d i, i =,,, r se c i, i =,,, r, etão c d O método de fatoração em primos pode ser usado para calcular mdc {,,, r } de forma aáloga à usada para o cálculo do mdc de dois úmeros O Algoritmo Euclidiao também pode ser usado para calcular mdc,,, r, desde que aplicado recursivamete { } De fato, observemos que mdc { a b, c} mdc{ a, mdc{ b, c }, = No caso geral, temos o teorema seguite: Teorema: mdc {,,, r, r } = mdc{,, r, mdc{ r, r } 08

13 Este teorema mostra que o cálculo de mdc {,,, r } pode ser feito por meio de mdc de dois úmeros Etão podemos aplicar o Algoritmo de Euclides para calcular mdc {,,, r } bastado, para tato, aplicá-lo em cada um dos r cálculos de mdc de dois úmeros Exemplo: { 45,8,} = mdc{ 45, mdc{ 8, } = mdc{ 45,6} = 3 mdc r cálculos de, Você pode verificar esse resultado calculado o mdc diretamete, por fatoração dos três úmeros Faça isso! Exemplo: Vamos calcular mdc { 45,8,} usado o algoritmo de Euclides Iicialmete aplicamos o algoritmo para calcular mdc { 8,} e depois para calcular mdc { 45, mdc{ 8, } Vejamos: 8 = + 6 = mdc 8, = mdc,6 = mdc 6,0 = mdc 45,6 45 = = 3+ 0 mdc 45,6 = mdc 6,3 = mdc 3,0 = Etão { } { } { } 6 Agora aplicamos o algoritmo para calcular { } Etão { } { } { } 3 38 Míimo múltiplo comum Cosidere a seguite situação: José e Maria sacaram uma mesma quatia um caixa eletrôico José recebeu apeas cédulas de R$ 0,00 e Maria apeas cédulas de R$ 50,00 No míimo, quato cada um sacou? Para respoder essa perguta, devemos observar que a quatia sacada por José tem que ser um múltiplo de 0 e a de Maria, um múltiplo de 50 Logo, como os dois sacaram a mesma quatia, ela deve ser múltiplo de 0 e de 50 Sedo múltiplo de 0, só pode ser 0, 40, 60, 80, 00, 0, e sedo múltiplo de 50, só pode ser 50, 00, 50, Daí se coclui que cada um sacou, o míimo, R$ 00,00 Dados ab Z,, qualquer iteiro que seja múltiplo de a e de b é chamado múltiplo comum de a e b Observe que ab e todos os seus múltiplos são múltiplos comus de a e b O meor iteiro positivo que é múltiplo comum de a e b é chamado de míimo múltiplo comum de a e b, e vamos deotá-lo por mmc a, b Essa defiição é equivalete à seguite { } Defiição: Dados ab Z,, um iteiro positivo m é chamado de míimo múltiplo comum de a e b, que vamos deotar por mmc { a, b}, se as duas codições seguites são satisfeitas m é múltiplo comum de a e b Se Z é múltiplo comum de a e b etão é múltiplo de m Da codição (), cocluímos que m, garatido que o míimo múltiplo comum é úico Exemplo: Vamos calcular mmc { 4,6} positivos de 4 e 6, temos Deotado por M(4) e M(6), respectivamete, os cojutos dos múltiplos { } { } M (4) = 4,8,,6,0,4, M (6) = 6,, 4,30,36, 4, Um iteiro positivo é um múltiplo comum de 4 e 6 se, e somete se, M ( 4) M (6) =, 4, mmc 4,6 = { } Daí segue que { } 09

14 Observação: Também podemos calcular { a b} s s a p p r t t = r e b = p p r r, em que s,, sr, t,, t r 0 k = máximo s, t, i =,, r que { } i i i Exemplo: Vamos calcular mmc { 60,50} Como 60 = 3 5 e 50 = 3 0 5, segue-se que { 60,50} = 3 5 = 300 mmc Exercício: Um terreo plao quadrado que mede meos de ha foi dividido em lotes quadrados Metade dele foi dividida em lotes quadrados que medem 04m e a outra metade foi dividida em lotes, também quadrados, que medem 576m Calcule a área desse terreo Solução: A metade da área desse terreo deve ser múltiplo de 04 e de 576 Portato, deve ser múltiplo de mmc {04,576} = 96 Etão a área deve ser múltiplo de 843 = 96 Como o terreo mede meos de ha, e ha = 0000m, cocluímos que a área desse terreo mede 843 m O teorema seguite estabelece uma relação etre mmc e mdc Teorema: Se, mmc, usado a decomposição de a e b em fatores primos De fato, se k kr, temos que { } ab Z etão mmc { a, b} )( mdc{ a, b} ) = ab ( mmc a, b = p p, em r mmc, = Corolário: Se a e b são iteiros relativamete primos etão { a b} ab Exercício: Determie os valores de de modo que mdc{80, } = 5 e mmc{80, } = 560 Solução: Pelo teorema acima, temos que 80 = = 800 Daí segue que 80 = 800 ou 80 = 800 Portato, = 35 ou = 35 A defiição de míimo múltiplo comum pode ser estedida aturalmete para três ou mais úmeros e o cálculo de mmc {,,, r, r } pode ser feito por meio da decomposição desses úmeros em fatores primos ou por repetidos cálculos de mmc de dois úmeros, pois mmc,,, = mmc,,, mmc, {, r r } { r { r r } No Moodle Na plataforma Moodle você ecotra vários exercícios que complemetam este assuto 39 Razão e proporção No dia-a-dia fazemos uso dos coceitos de razão e de proporção as mais diversas situações Por exemplo, a coziha, preparado um bolo ou um simples cafeziho; o supermercado, comparado os preços de um mesmo produto que é apresetado em embalages diferetes; comparado quatidades de uma mesma gradeza ou de gradezas diferetes; calculado o redimeto de uma aplicação fiaceira, etc Quado dizemos que uma certa comuidade existem quatro mulheres para cada três homes, sigifica que se deotarmos por m o úmero de mulheres, e por h o úmero de homes dessa comuidade, temos que 4 m = 3 h ou m 4 h = Por isso dizemos que essa comuidade a razão etre o úmero de mulheres e o de homes 3 4 é de 3 ou aida que o úmero de mulheres e o de homes estão uma razão de 4 para 3 0

15 Defiição: A razão etre duas gradezas a e b é o quociete a b Também se usa a otação a : b para deotar a razão a b A porcetagem é um dos exemplos mais comus de razão Quado dizemos que 40% dos idivíduos de certa comuidade são egros, sigifica que existem 40 egros para cada 00 idivíduos dessa comuidade, ou 40 seja, a razão etre o úmero de egros e o total de idivíduos é de 00 = Daí se vê que 40% é equivalete a 5 uma razão de 5, ou seja, para cada 5 idivíduos dessa comuidade, em média, são egros Também podemos cosiderar razão etre gradezas diferetes Por exemplo, quado dizemos que um carro faz quilômetros por litro ( km/l) sigifica que para cada quilômetros ele cosome litro de combustível Neste caso, a razão etre a distâcia percorrida e a quatidade de combustível cosumida é de para, ou = Também são razões etre gradezas diferetes: desidade demográfica, velocidade, etc Exercício: Para obter uma determiada coloração um pitor mistura tita vermelha com amarela a razão de 3 Em 5 litros de tita com essa coloração foram usados quatos litros de tita vermelha? Solução: Como a razão é de 3, são usados litros de tita vermelha para cada 3 litros de tita amarela Assim, em cada 5 litros dessa mistura, tem litros de tita vermelha e 3 litros de tita amarela Portato, em 5 litros dessa mistura são usados 6 litros de tita vermelha Exercício: A plata baixa de um loteameto foi desehada a escala de :300 Qual é a área real de um lote que essa plata tem área de 00cm? Quais são as dimesões, essa plata, de um lote retagular cujas dimesões reais são 5 m 30m? Solução: Como a razão é de para 300, cada cm a plata equivale a 300cm = 3m o loteameto Etão, cm a plata equivale a 9 m o loteameto Como o lote tem área de 00cm a plata, a área real desse lote é 900m Se x é uma medida, em cm, a plata, etão a medida correspodete o loteameto é y = 300cm Etão, cada cm o loteameto equivale a 300 cm a plata Como 5 m 30m = 500cm 3000 cm, um lote com essas dimesões o loteameto, é represetado a plata com as dimesões cm 300 cm = 5cm 0cm Agora cosideremos os dois exemplos seguites Exemplo: Uma copiadora cobra R$ 0,0 por cópia, idepedete do úmero de cópias A tabela seguite mostra o custo de algumas quatidades de cópias TABELA DE PREÇOS Número de cópias Valor (R$) 5 0,50 0,00 5,50 0,00 5, ,00

16 Exemplo: Supoha que um prêmio de loteria de R$ 00000,00 vai ser rateado etre o(s) gahador(es) A tabela seguite mostra algumas possibilidades de rateio desse prêmio Rateio do prêmio Número de gahadores Valor do rateio (R$) 00000, , , , ,00 No primeiro exemplo, à medida que se aumeta a quatidade de cópias o custo também aumeta, a mesma proporção, equato o segudo exemplo, ocorre o iverso, à medida que o úmero de gahadores aumeta, o valor do rateio dimiui, a mesma proporção Observe que o primeiro exemplo o úmero de cópias e o custo estão a razão de 5 cópias para cada R$ 0,50, equato o segudo exemplo, as gradezas ão obedecem alguma razão Mas, em ambos os casos, temos proporcioalidade No primeiro, a proporcioalidade é direta e, o segudo, iversa Em ambos, dizemos que as gradezas evolvidas são proporcioais Vamos torar esses coceitos mais precisos as defiições seguites Defiição: Duas gradezas ou varáveis x e y são ditas diretamete proporcioais se à medida que uma aumeta (respectivamete dimiui) a outra também aumeta (respectivamete dimiui), a mesma proporção Isto equivale a dizer que existe uma costate positiva k, chamada fator de proporcioalidade, tal que y = kx ou y = k x Defiição: Duas gradezas ou variáveis x e y são ditas iversamete proporcioais se à medida que uma aumeta (respectivamete dimiui) a outra dimiui (respectivamete aumeta), a mesma proporção Isto k equivale a dizer que existe uma costate positiva k, chamada fator de proporcioalidade, tal que y = ou x xy = k Voltemos aos dois exemplos ateriores No primeiro, se y é o preço de x cópias etão y = 0, 0x Logo, o fator de proporcioalidade é k = 0, 0 No segudo, se houver x gahadores e y for o valor do rateio, etão y = ou xy = Logo, k = x Ateção: Se duas gradezas x e y são diretamete proporcioais, etão quado se multiplica (ou divide) x por uma costate c 0 o valor correspodete de y também fica multiplicado (ou dividido) por essa mesma costate Vejamos porque isso acotece Se k é a costate de proporcioalidade etão y = kx Assim, se y = kx etão x y y = kx = k( cx) = c( kx) = cy x y

17 De modo aálogo, se duas gradezas x e y são iversamete proporcioais, etão quado se multiplica x por uma costate c 0 o valor correspodete y fica dividido por c ou, equivaletemete, y fica multiplicado por c Ampliado o seu Cohecimeto Ouvimos, com freqüêcia, alguém falar que duas gradezas são proporcioais, pelo fato de uma aumetar (ou dimiuir) sempre que a outra aumeta (ou dimiui) Isso em sempre é verdade, pois ão há garatia de que as gradezas aumetam (ou dimiuem) a mesma proporção, isto é, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma delas por uma costate, a outra também ficará multiplicada (ou dividida) por essa mesma costate Por exemplo, a área de um quadrado ão é proporcioal ao comprimeto do seu lado; o etato, se o comprimeto do lado aumeta, a área também aumeta, mas ão aumeta a mesma proporção que o comprimeto do lado De fato, se o lado de um quadrado mede cm, a sua área mede 4cm, mas se multiplicarmos o lado por 3, a área passa a ser 36cm, ou seja, fica multiplicada por 9 Vamos cosiderar duas gradezas, x e y, diretamete proporcioais cujo fator de proporcioalidade é * a c k Se a, b, c, d R etão a = kb e c = kd se, e somete se, = De fato, b d a c a c a = kb e c = kd = k e = k = b d b d Daí cocluímos que a = kb e c = kd se, e somete se, a razão de a para b é igual à de c para d De modo aálogo mostra-se que se as gradezas são iversamete proporcioais com fator de proporcioalidade k, etão ab = k e cd = k a = d a = c c b d b Isso mostra que gradezas proporcioais podem ser relacioadas por igualdade de frações, também chamadas de razões Daí, cocluímos que propriedades de proporções podem ser deduzidas por meio de propriedades de operações com frações O teorema seguite mostra algumas propriedades de proporções expressas por meio de igualdade de frações Teorema: Se * abcd,,, R, com a b, c d e a = b c d Etão: a b a b c d ) ad = bc 3) = 5) = c d b d b d a + b c + d a + b c + d ) = 4) = 6) = a c b d a b c d 30 Regra de três * a c Se abcd,,, R são gradezas proporcioais e = etão, cohecedo-se três dessas gradezas, b d pode-se determiar a quarta Esse cálculo é cohecido como regra de três simples Exemplo: Uma distâcia d pode ser percorrida em duas horas a uma velocidade média de 60 km h Qual é a velocidade média para percorrê-la em três horas? Aqui ós temos um caso de duas gradezas iversamete proporcioais, velocidade ( v ) e tempo (t ), pois quato maior for a velocidade meor será o tempo para percorrer a mesma distâcia d Etão 3

18 t (horas) v ( km h) 60 3 x x = 3x = 60 x = Portato, para percorrer a distâcia d em três horas, a velocidade média deve ser de 40 km h Problemas de proporcioalidade geralmete são resolvidos por meio de regra de três, como fizemos o exemplo aterior Mas eles também podem ser resolvidos por meio de equações algébricas Vejamos o caso do exemplo acima Usado a fórmula d = vt, ecotramos d = 0 Etão, para t = 3, temos 0 = 3v v = 40 Dialogado e Costruido Cohecimeto Essa solução parece mais simples do que aquela que usa regra de três No etato, devemos observar que ela usa um igrediete a mais, que é a fórmula d = vt, emprestada da Física, equato a outra solução, aparetemete, ão usa Mas só aparetemete, porque essa fórmula está implícita quado afirmamos que v é iversamete proporcioal a t, o que equivale a dizer que existe uma costate k > 0 tal que vt = k Essa costate é k = d Podemos ecotrar situações evolvedo várias variáveis em que uma delas é proporcioal às demais, podedo ser diretamete proporcioal a algumas e iversamete proporcioal às outras Defiição: Se as variáveis z, x, x,, xm, y, y,, y estão relacioadas por uma equação do tipo xx xm z = k yy, ode k é uma costate positiva, dizemos que z é diretamete proporcioal a x, x,, xm y e iversamete proporcioal a y, y,, y Observe que essa defiição geeraliza as duas ateriores Para ver isto, basta fixar todas as variáveis do lado direito da equação, com exceção de uma delas Exemplo: João, Maria e José abriram uma loja com R$ 30000,00 tedo João participado com R$ 6000,00, Maria com R$ 5000,00 e José com R$ 9000,00 Depois de um certo período eles obtiveram um lucro de R$ 5000,00 Como deve ser dividido esse lucro etre eles? É claro que o lucro deve ser dividido proporcioalmete ao ivestimeto de cada um, ou seja, diretamete proporcioal à respectiva quatia ivestida e todos a mesma proporção Etão, deotado por l, l e l 3 os lucros de João, Maria e José, respectivamete, existe uma costate k tal que l = 6000k, l = 5000k, e l 3 = 9000k 5000 Como l + l + l 3 = 5000, temos que 30000k = 5000, ou seja, k = 3000 = Daí cocluímos que 6 l = 000, l = 500 e l 3 = 500 Portato, o lucro deve ser dividido assim: R$ 000,00 para João, R$ 500,00 para Maria e R$ 500,00 para José Também podemos resolver este problema observado que João, Maria e José participaram, respectivamete, com, e 3 do capital Logo, o lucro deve ser dividido essa proporção 5 0 Exemplo: O gerete de uma loja distribuiu um prêmio de R$ 3000,00 com seus três fucioários, Mário, Simoe e Carla Esse prêmio foi dividido etre eles em partes iversamete proporcioais ao úmero de faltas ao trabalho durate o ao Sabedo que Mário, Simoe e Carla tiham, respectivamete, 8, 6 e 9 faltas, como foi dividido o prêmio? 4

19 Vamos deotar por p, p e p 3 as partes de Mário, Simoe e Carla, respectivamete Etão existe uma costate k tal que k k k p =, 8 p = e 6 p 3 = 9 k k k 6000 Como p+ p + p3 = 3000, temos que = 3000 Logo, k = Daí cocluímos que p = 9 8 = 93,03, p = 9 6 = 4,38 e p 3 = 9 9 = 87,59 Portato, o prêmio deve ser dividido assim: R$ 93,03 para Mário, R$ 4,38 para Simoe e R$ 87,59 para Carla Exemplo: O gerete de uma loja distribuiu um prêmio de R$ 5000,00 com seus três fucioários, Carlos, Atôio e Gorete Esse prêmio foi dividido etre eles em partes diretamete proporcioais ao tempo de serviço a loja e iversamete proporcioais ao úmero de faltas ao trabalho durate o ao Sabedo que Carlos tiha 5 aos de tempo de serviço e 8 faltas, Atôio, 3 aos e 6 faltas, e Gorete, 6 aos e 9 faltas, como foi dividido o prêmio? Vamos deotar por p, p e p 3 as partes de Carlos, Atôio e Gorete, respectivamete Etão existe 5k 3k 6k uma costate k tal que p =, p = e p = Como p+ p + p3 = 5000, temos que 5 k 3 k 6 k = 5000 Logo, k = Daí, cocluímos que p = 43 8 = 744,9, p = 43 6 = 395,35 e p 3 = 43 9 = 860, 46 Portato, o prêmio deve ser dividido assim: R$ 744,9 para Carlos, R$ 395,35 para Atôio e, para Gorete, R$ 860,46 Exercício: Em 0 dias, 4 máquias operado durate 6 horas por dia produzem 600 peças Em quato tempo, em dias, 5 máquias idêticas a estas, operado 8 horas por dia, produzem 900 peças? Solução: Neste caso temos 4 variáveis, d, h, m e p, ode d = úmero de dias h = úmero de horas que cada máquia opera por dia m = úmero de máquias p = úmero de peças Temos que d é diretamete proporcioal a p e iversamete proporcioal às variáveis h e m De fato, se fixarmos o úmero de máquias e a quatidade de horas de operação por dia, etão a quatidade de peças produzidas é diretamete proporcioal ao úmero de dias Por outro lado, se fixarmos o úmero de peças a serem produzidas e o úmero de máquias, etão o úmero de dias ecessários para produzir essa quatidade de peças é iversamete proporcioal ao úmero de horas que essas máquias devem operar por dia, ou seja, d iversamete proporcioal a h De modo aálogo, vemos que d também é iversamete proporcioal a m Etão, de acordo com a defiição, existe uma costate positiva k tal que p d = k mh Para determiarmos o valor dessa costate k, usamos a iformação que em 0 dias, 4 máquias operado 600 durate 6 horas por dia produzem 600 peças Substituido esses valores, segue que 0 = k 4, e cocluímos que 6 p 900 k = Logo, d = Etão, quado 5 5 mh m = 5, h = 8 e p = 900, temos que d = = 9 Portato, 5 máquias operado 8 horas por dia, durate 9 dias, produzem 900 peças Observação: Podemos ecotrar o valor de k a primeira equação e, uma vez ecotrado esse valor, podemos determiar o valor de qualquer uma das quatro variáveis da seguda equação, desde que sejam cohecidos os valores de três delas Vamos resolver esse mesmo problema usado regra de três composta, pelo método das setas 9 5

20 Vamos dispor os dados do problema a tabela a seguir d m h p x O setido da seta a colua de d igual ao da seta a de p e cotrário as coluas de m e h, sigifica que d é diretamete proporcioal a p e iversamete proporcioal a m e h Nessa tabela, cada colua represeta uma fração cujo umerador é o valor para o qual a seta apota, e a fração da colua de d é igual ao produto das x demais Assim, = x = Esse é o método de resolução de problemas evolvedo proporcioalidade que a maioria dos professores esia a seus aluos Etão é preciso que ele seja esiado de modo que o aluo saiba por que ele fucioa Vamos usar esse exemplo para explicar o fucioameto desse método Para isto, vamos resolver este problema por etapas, usado apeas regra de três simples em cada uma Em cada etapa vamos deixar explicitadas as operações usadas para ecotrar o valor da icógita, para, o fial da solução, explicar o fucioameto do método das setas Vamos dispor os dados do problema a tabela a seguir m d h p x Na primeira etapa, duas das variáveis m, h e p são matidas fixas e a terceira varia Por exemplo, vamos fixar m e h e variar p Assim, ficamos com a seguite situação m d h p z que pode ser descrita assim: se em 0 dias 4 máquias operado 6 horas por dia fabricam 600 peças, em quatos dias essas máquias, operado as mesmas codições, fabricam 900 peças? Como o úmero de peças depede apeas do úmero de dias, temos aí um problema de regra de três simples direta, cuja solução é e z z 900 = z = 5 ( z = 0) Etão o osso problema iicial está reduzido a este: se em 5 dias 4 máquias operado 6 horas por dia fabricam 900 peças, em quatos dias 5 máquias operado 8 horas por dia fabricam esse mesmo úmero de peças? Vamos dispor os dados desse ovo problema a tabela seguite m d h p x Observe que elimiamos uma variável, pois agora p é costate Repetimos o processo, matedo uma das variáveis m ou h costate, por exemplo, m = 4, e ficamos com a situação idicada a tabela seguite m d h p y

21 Aqui temos um caso de regra de três simples iversa, cuja solução é y = y = ( y = 5 = z = 0) O osso problema iicial está reduzido a este: se em 4 45 dias 4 máquias operado 8 horas por dia fabricam 900 peças, em quatos dias 5 máquias operado 8 horas por dia fabricam esse mesmo úmero de peças? Vamos dispor os dados desse problema a tabela m d h p x Mais uma vez temos um caso de regra de três simples iversa, cuja solução é x = x = x = 9 ( x = y = 0) Portato, 5 máquias operado 8 horas por dia durate 9 dias produzem 900 peças x Observe que x = y = 0 =, que é a expressão obtida pelo método das setas Também podemos usar o "método de redução à uidade" para resolver problemas de regra de três Vamos aplicá-lo a este osso problema, cujo euciado vamos repetir para etedê-lo melhor e, em cada etapa, vamos dispor o resultado obtido uma tabela e, mais uma vez, vamos deixar explicitadas as operações realizadas para explicar o método das setas Em 0 dias, 4 máquias operado durate 6 horas por dia produzem 600 peças Em quato tempo, em dias, 5 máquias, idêticas a estas, operado 8 horas por dia, produzem 900 peças? Dispodo os dados em uma tabela, temos m d h p x Em 0 dias, 4 máquias operado durate hora por dia produzem 600 = 00 peças 6 m d h p = Etão, em 0 dias, 4 máquias operado durate 8 horas por dia produzem 600 = 800 peças 6 m d h p = Daí, em 0 dias, máquia operado durate 8 horas por dia produz 600 = 00 peças 4 6 m d h p =

22 5 8 Daí, em 0 dias, 5 máquias operado durate 8 horas por dia produzem 600 = 000 peças 4 6 m d h p = Etão, em dia, 5 máquias operado durate 8 horas produzem 600 = 00 peças x 5 8 Daí, em x dias, 5 máquias operado durate 8 horas por dia produzem 600 = 00x peças m d h p 5 x 8 x = 00x Como queremos que a produção seja de 900 peças, temos 00 x = 900 x = 9 Portato, em 9 dias, 5 máquias operado durate 8 horas por dia produzem 900 peças Observe que este método também justifica o das setas, pois x = 00x e x x = 900 = Tudo que fizemos este exemplo também pode ser feito em outros casos Ampliado o seu Cohecimeto Nas edições 0, 05, 08, 09,, 4 e 46 da Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática, você ecotra vários artigos sobre proporcioalidade Na plataforma Moodle você vai ecotrar vários exercícios sobre proporcioalidade 3 Progressões 3 Progressões aritméticas Uma sequêcia de úmeros reais ( a, a, a3, ) é chamada uma progressão aritmética se, a partir do segudo termo, a difereça etre cada termo e o aterior é sempre costate Essa costate é chamada razão da progressão aritmética e vamos deotá-la por r Em símbolos, uma progressão aritmética de razão r é uma sequêcia ( a, a, a3, ) tal que ak ak = r, k =,3, Uma progressão aritmética é dita fiita (respectivamete ifiita) se a quatidade de seus termos é fiita (respectivamete ifiita) Exemplo: A sequêcia (,5,9,3,7) é uma progressão aritmética fiita de razão r = 4, equato (,3,5,7, ) é uma progressão aritmética ifiita de razão Cosidere uma progressão aritmética ( a, a, a3, ) de razão r Etão: r > 0 se, e somete se, ( a, a, a3, ) é uma sequêcia crescete, isto é, a < a < a3 < r = 0 se, e somete se, ( a, a, a3, ) é uma sequêcia costate, isto é, a = a = a3 = 3 r < 0 se, e somete se, a, a, a, ) é uma sequêcia decrescete, isto é, a a > > ( 3 8 > a3

23 Exemplo: (,4,7,,,9) é uma progressão aritmética fiita crescete (, 4, 7,, ) é uma progressão aritmética ifiita crescete 3 ( 3,3,3,,3) é uma progressão aritmética fiita costate 4 (5,3,,, 5) é uma progressão aritmética fiita decrescete 5 ( 5,3,, ) é uma progressão aritmética ifiita decrescete 3 Fórmula do termo de ordem Cohecedo-se a razão r e o primeiro termo de uma progressão aritmética ( a, a, a3, ) podemos determiá-la completamete, pois a a = r a = a+ r a3 a = r a3 = a + r = a+ r a4 a3 = r a4 = a3+ r = a+ 3r Daí obtém-se a fórmula para o termo de ordem ( -ésimo termo) de uma progressão aritmética ( a, a, a3, ) de razão r, que é a = a + ( ) r Mais geralmete, se k, temos que a = a + ( k r k ) Exercício: Ecotre o 5 o termo de uma progressão aritmética de razão r = 5 cujo 3 o termo é Solução: Deotado por ( a, a, a3, ) a progressão aritmética, temos que r = 5 e a 3 = Etão, a = a + 5 3) r a = ( 5 = Exercício: Determie o o termo da progressão aritmética ( a, a, a3, ) sabedo que a 8 = 0 e a 0 = 46 Solução: Como a 0 = a8 + (0 8) r, temos que 46 = 0 + r r = 3 Etão a = a + 8 ) r 0 = a a = 8 8 ( Exercício: O cometa Halley pode ser visto da Terra, a olho u, a cada 76 aos, e a última vez que isso acoteceu foi em 986 Quado será a próxima vez que isso acotecerá? Neste milêio, em quatos aos diferetes isso acotecerá? 3 Neste milêio, em que ao isso acotecerá pela última vez? Solução: Como somete a cada 76 aos o cometa Halley pode ser visto da Terra, a olho u, os aos em que isso acotece formam uma progressão aritmética de razão r = 76 Etão, a partir deste século, os aos em que isso ocorrerá formam a progressão aritmética ( 06, 38,4, ) Portato: A próxima vez que isso ocorrerá será o ao de 06 Para saber em quatos aos isso ocorrerá, este milêio, devemos determiar quatos termos da progressão aritmética ( 06, 38,4, ) são meores do que 3000 Mas, como a = a + ( ) r, devemos determiar o maior valor de de modo que ( ) < 3000 Como é um úmero atural, temos que ( ) < ( ) < Logo, este milêio o cometa Halley poderá ser visto da Terra, a olho u, em 3 aos diferetes 3 Neste milêio, o cometa Halley poderá ser visto da Terra, a olho u, pela última vez, o ao de 974, pois = 974 9

24 Ampliado o seu Cohecimeto Seja f : R R uma fução afim, ou seja, existem costates reais a e b tais que f( x) = ax+ b, x R A sequêcia de úmeros reais ( f(), f(), f (3), ) é uma progressão aritmética De fato, se, temos que f ( ) f ( ) = ( a+ b) [ a( ) + b] = a Daí cocluímos que essa sequêcia é uma progressão aritmética de razão r = a Reciprocamete, se ( a, a, a3, ) é uma progressão aritmética de razão r etão existe uma fução afim f : R R tal que a = f(), a = f(), a 3 = f(3), De fato, basta tomar f ( x) = rx+ a r 3 Fórmula da soma dos primeiros termos Cosideremos uma progressão aritmética ( a, a, a3, ) e deotemos por S a soma dos primeiros termos desta progressão, ou seja, S = a + a + a3 + + a Queremos estabelecer uma fórmula para calcular S Para tato, precisamos do seguite resultado, que pode ser verificado usado a fórmula do -ésimo termo Proposição: Se a, a, a, ) é uma progressão aritmética etão a a = a + a, k, k ( 3 Daí segue que a + a = a + a = a3 + a = = a + a Voltemos à soma S Podemos escrever S = a + a + + a + k + k S = a + a + + a + a Somado membro a membro estas duas expressões obtemos S = ( a + a ) + ( a + a ) + ( a3 + a ) + + ( a + a) Pela proposição aterior, cada soma etre parêteses é igual a a + a Logo, como há destas somas, temos que S = ( a + a ) ( a + a ) Daí segue que S = Exercício: Ecotre a soma dos úmeros ímpares etre 00 e 500 Solução: Os úmeros ímpares etre 00 e 500 formam um progressão aritmética de razão, em que o primeiro termo é 0 e o último é 499 Para sabermos quatos termos tem essa progressão aritmética, podemos usar a fórmula do -ésimo termo, pois a = a + ( ) r 499 = 0+ ( ) 499 = 0+ = 00 Etão queremos ecotrar a soma dos 00 úmeros ímpares etre 00 e 500, que é 00( a + a00 ) 00(0+ 499) S 00 = S 00 = = a Exercício: Calcule a soma dos iteiros múltiplos de 6 compreedidos etre 00 e 800 Solução: Os iteiros múltiplos de 6 compreedidos etre 00 e 800 formam uma progressão aritmética de razão r = 6 Como 00 = , segue que o primeiro termo dessa progressão é a = 04 Observado que 0

25 800 = , cocluímos que o último termo dessa progressão é a = 798 Usado a fórmula a = a + ( ) r, ecotramos = 00 Etão, a soma procurada é ( a+ a00) 00 ( ) 00 S00 = = = Progressões geométricas Uma sequêcia de úmeros reais ( a, a, a3, ) é chamada uma progressão geométrica se cada termo, a partir do segudo, é igual ao aterior multiplicado por uma mesma costate Essa costate é chamada razão da progressão geométrica e vamos deotá-la por q Em símbolos, uma progressão geométrica de razão q é uma sequêcia ( a, a, a3, ) tal que a = qa, k =,3, k k Uma progressão geométrica é dita fiita (respectivamete ifiita) se a quatidade de seus termos é fiita (respectivamete ifiita) Exemplo: A sequêcia (,,4, 8,6, 3,64) é uma progressão geométrica fiita de razão q =, equato (,3,9, 7, ) é uma progressão geométrica ifiita de razão 3 Cosidere uma progressão geométrica ( a, a, a3, ) de razão q Etão: Se q > e a > 0, etão ( a, a, a3, ) é uma sequêcia crescete, isto é, a < a < a3 < Se q = etão ( a, a, a3, ) é uma sequêcia costate, isto é, a = a = a3 = 3 Se 0 < q < e a > 0, etão ( a, a, a3, ) é uma sequêcia decrescete, isto é, a > a > a3 > 4 Se q > 0 etão todos os termos da sequêcia ( a, a, a3, ) têm siais iguais 5 Se q < 0 etão ( a, a, a3, ) é uma sequêcia alterada, isto é, os termos de ordem par têm siais cotrários aos dos termos de ordem ímpar 6 Se q = 0 etão todos os termos, a partir do segudo, são ulos 3 Fórmula do termo de ordem Cohecedo-se a razão q e o primeiro termo de uma progressão geométrica ( a, a, a3, ) podemos determiá-la completamete, pois a = qa a3 = qa = q a a4 = qa3 3 = q a Daí obtém-se a fórmula para o -ésimo termo: a = q a, Mais geralmete, temos que k a = q ak, k Exercício: Determie a progressão geométrica de razão q = cujo 5 o termo é Solução: Substituido os valores dados a fórmula a 5 = q a temos = a a = Etão a 6 progressão geométrica é (,,, ) Exercício: Determie uma progressão geométrica a, a, a, ) sabedo que a 6 e a 8 ( 3 3 = 7 =

26 k Solução: Cosiderado a fórmula a = q ak, temos que a = q a3 = q q = q = ± = ± 6 6 Como ecotramos dois valores para q, existem duas progressões satisfazedo às codições dadas Usamos ovamete a fórmula a = q a para ecotrar a 3 64 a 3 = q a 6 = ± a a = As progressões satisfazedo as codições dadas são (,,6, 4, ) e (,,6, 4, ) Exercício: Um automóvel foi comprado por R$ 50000,00 Sabedo-se que este automóvel sofre uma desvalorização de 0% ao ao, qual o seu valor de mercado 0 aos após a compra? Solução: Como a desvalorização é de 0% ao ao, a cada ao, após a compra, o valor do automóvel é 90% do valor do ao aterior Etão os valores de mercado desse automóvel formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é e a razão é q = 0, 9 Em casos como este, em que o primeiro termo da progressão geométrica correspode ao ao zero, que é o ao da compra, é coveiete usar a otação ( a0, a, a,, a0) e, com essa otação, temos que a = q a0 Devemos determiar o valor de a a0 = q a0 a0 = 0, = 7433,9 Portato, o valor de mercado deste automóvel, 0 aos após a compra, é, aproximadamete, R$ 7434,00 3 Fórmula da soma dos primeiros termos Cosideremos uma progressão geométrica ( a, a, a3, ) de razão q e deotemos por S a soma dos primeiros termos dessa progressão, ou seja, S = a + a + a3 + + a + a Multiplicado ambos os membros dessa equação por q obtemos qs = qa qa qa qa = a a3 a qa Somado membro a membro as equações S = a + a + a3 + + a + a qs = a a3 a qa q obtemos S qs = a qa ( q) S = a q a S = a q Portato, q S = a q Exercício: Calcule a soma dos 0 primeiros termos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 5 e a razão é q = Solução: Substituido estes dados a fórmula, obtemos: 0 0 q S 0 = a = 5 = 03 q

27 33 Soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita Se q é um úmero real tal que 0< q < e N etão os valores de q se aproximam cada vez mais de zero à medida que os valores de aumetam, de modo que, para valores muito grades de, o valor de q é aproximadamete igual a zero Isto também pode ser dito assim: q tede a zero quado tede a ifiito ou, em símbolos, q 0 quado Cosideremos uma progressão geométrica ifiita ( a, a, a3, ) de razão q, com 0< q < Já vimos q que a soma dos primeiros termos dessa progressão é dada por S = a Como q 0 quado q a, temos que S quado Por isso, deotado por S a soma de todos os termos dessa q progressão, ou seja, S = a+ a + a3 +, dizemos que a S = q Exercício: Calcule a soma de todos os termos da progressão geométrica (,, 4, ) Solução: Temos uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a = e a razão é q = Etão a soma dos seus termos é S = , que é dada por a S = = = q Exercício: Ecotre a geratriz da dízima periódica 0, Solução: Temos que 0,333 = 0,3 + 0, , = Como ( 0, 00, 000, ) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 3 e a razão, segue que ,333 = = 0 3 Etão é a geratriz da dízima periódica 0, Matemática fiaceira 3 Porcetagem No osso dia-a-dia fazemos uso freqüete de porcetagem, seja ledo jorais, revistas, ouvido rádio, vedo televisão e até mesmo em coversas os deparamos com ídices percetuais Daí, cocluímos que é importate sabermos lidar com esses ídices e a forma como eles são apresetados Na prática, cálculos evolvedo ídices percetuais resumem-se a operações com úmeros decimais, pois, para efeito de cálculos, um r percetual r % é represetado por 00, que é a forma decimal para represetar esse percetual Exemplo: Para calcularmos 0% de 50, efetuamos as operações = 0, 50 = 30 Portato, 0% de 50 é igual a 30 Este valor também pode ser obtido por meio de uma regra de três simples x = = x 00 3

28 Podemos observar este exemplo que o uso da forma decimal do ídice percetual simplifica o cálculo da porcetagem Mais adiate, o cálculo de juros, isso se torará muito mais evidete Exemplo: Se uma determiada mercadoria está à veda por um preço x e há um descoto de 0% para pagameto à vista, etão o valor V, a ser pago à vista, correspode a 90% de x Vejamos como calcular esse valor Se o descoto é de 0% etão V deve ser igual a x meos 0% de x Expressado isso em úmeros, temos que 0 V = x 00 x= x 0,x= 0,9x Portato, para calcular 90% de x basta multiplicar x por 0,9, pois 90% de x é equivalete a x = 0,9x De um modo geral, para calcular r % de x basta multiplicar x r por 00 A seguir mostramos os cálculos de algumas porcetages usado a forma decimal do percetual Calcular Operação 30% de 80 0,3 80 = 4 5% de 30 0,05 30 = 6 0,3% de 800 0, =, 4 0,5% de 50,05 50 = 5, 5 00% de 50 50= 300 8% de 0,5 0,08 0,5 = 0,04 Exercício: O preço de certa mercadoria foi reajustado em 5% e, em seguida, teve um descoto de 0% Calcule o percetual desse último preço em relação ao iicial Solução: Vamos supor que o preço iicial é x Etão, com o reajuste de 5% o preço passou a ser x mais 5% de x, que equivale a x + 0,5x=,5x Aplicar um descoto de 0% sobre esse preço equivale a multiplicá-lo por 0,80 Etão, com o descoto, o preço passou a ser 0,80(,5 x) = 0,80,5x= 0,9x Portato, com o descoto, o preço passou a ser 9% do iicial Observação Do exercício aterior podemos cocluir que: Ao cotrário do que muitos pesam, um reajuste de 5% seguido de um descoto de 0% ão equivale a um descoto de 5% O percetual do preço fial em relação ao iicial ão depede do preço iicial x Em situações como essa, poderíamos arbitrar um valor para x, por exemplo x = 00, e efetuar as mesmas operações Exercício: O preço de certo produto em um supermercado sofreu um reajuste de 0% e, em seguida, outro de 0% Calcule o percetual de um úico reajuste que equivale a esses dois Solução: Neste caso o percetual que procuramos ão depede do preço iicial do produto Etão podemos supor que esse preço era R$ 00,00 Com o reajuste de 0% o preço passou a ser R$ 0,00 e, com o segudo, R$ 3,00, pois 0% de 0 é igual a Portato, esses dois reajustes equivalem a um úico reajuste de 3% Para eteder melhor porque isso acotece, basta observar que um reajuste de 0% seguido de outro de 0% equivale a multiplicar o preço iicial pelo fator,, =, 3 Exercício: Pedro teve um aumeto de R$ 70,00 o seu salário, que era de R$ 800,00 Calcule o percetual desse aumeto Solução: Problemas desse tipo podem ser resolvidos por meio de regra de três simples ou usado a forma decimal de percetual Vejamos as duas soluções 4

29 800 00% x = = 5 70 x% 800 Agora vejamos uma solução usado a forma decimal Sedo o aumeto de R$ 70,00 sobre um salário de R$ ,00, o percetual, a forma decimal, é dado por = 0,5 = Portato, Pedro teve 5% de aumeto o seu salário Para eteder porque o percetual é ecotrado dessa 70 maeira, basta observar que se x é o percetual, a forma decimal, etão 800x = 70 Logo, x = Exercício: O salário de Maria teve um reajuste de 5% e passou a ser de R$ 875,00 Qual era o salário dela ates do reajuste? Solução: Supodo que o salário ates do reajuste era x etão com o reajuste de 5% passou a ser,5x Assim, 875 temos que,5x = 875 e, daí, cocluímos que x =,5 = 500 Portato, o salário ates do reajuste era de R$ 500,00 Exercício: Em 950, a população de certa cidade era de 5000 habitates, e atualmete é de 350 habitates Qual foi o percetual de crescimeto da população dessa cidade esse período? Solução: Deotado o percetual de crescimeto por x, a forma decimal, temos que 5000( + x) = Etão + x = = 4,53 Daí, x = 3,53 = Portato, a população cresceu 353% Juros simples 00 Quado se faz uma aplicação fiaceira, a quatia aplicada, P, é chamada pricipal ou capital iicial e, ao fim de um período de capitalização, o capital acrescido dos juros é o motate, M Por exemplo, se uma aplicação de R$ 000,00 redeu 0% de juros etão P = R$ 000,00 e M = R$ 00,00, pois M = P+0,0P = (+0,0)P =,P = R$ 00,00 Os juros que icidem apeas sobre o pricipal são chamados de juros simples Exemplo: Supoha que uma dívida de R$ 000,00 foi cotraída o dia 0/0/007 a uma taxa mesal de juros simples de 0% Qual era o valor desta dívida em 0/07/007? Resposta: A evolução dessa dívida o período de 0/0/007 a 0/07/007 pode ser observada a seguite tabela Data Juros Dívida 0/0/ ,00 0/03/007 00,00 00,00 0/04/007 00,00 00,00 0/05/007 00,00 300,00 0/06/007 00,00 400,00 0/07/007 00,00 500,00 Portato, o valor da dívida em 0/07/007 era de R$ 500,00 Observe que (000, 00,,500) é uma progressão aritmética de razão 00 Isso ão acotece por acaso Na verdade, se uma quatia P 0 é aplicada a uma taxa de juros simples mesal i (expressa em forma decimal) e se deotamos por P k o motate após k meses, etão ( P 0, P, P, ) é uma PA de razão r = ip0 Logo, o motate após meses é P = P0 + ip0 = ( + i) P

30 33 Juros compostos Na prática, dificilmete ocorre aplicação de juros simples porque, em geral, os juros são calculados sobre o motate do período que atecede a capitalização Neste caso diz-se que os juros são compostos Exemplo: Supoha que uma quatia de R$ 000,00 foi aplicada o dia 0/0/007 a uma taxa mesal de juros compostos de 0% Sabedo que os juros são capitalizados mesalmete, qual era o motate dessa aplicação em 0/07/007? Resposta: A evolução do motate dessa aplicação pode ser observada a tabela seguite Neste exemplo os juros são calculados e somados ao capital, ou seja, capitalizados mesalmete Quado isto ocorre diz-se que os períodos de juros ou períodos de tempo, ou períodos de capitalização são mesais Mas podem ser cosiderados outros períodos de capitalização de juros, por exemplo, diários, quizeais, bimestrais, trimestrais, semestrais, etc No cálculo do motate é muito importate observar os períodos de juros Veja que o exemplo acima os motates são calculados mesalmete e seus valores estão em progressão geométrica de razão q =, Este exemplo é apeas uma situação particular do caso mais geral Se uma quatia C 0 é aplicada a uma taxa de juros compostos i (expressa em forma decimal) e C 0, C, C, etc são os valores do capital calculados, respectivamete, o primeiro período de juros, o segudo, o terceiro, etc etão ( C0, C, C, ) é uma progressão geométrica de razão q = + i Etão o fial do - ésimo período de juros o motate é C = ( i) C0 + Exercício: Maria ivestiu R$ 000,00 a juros de 3% ao mês Qual o motate desse ivestimeto seis meses depois? Solução: Neste caso temos C 0 = 000, i = 0,03 e = 6 Etão o motate é 6 6 C 6 = ( + 0,03) C0 =, = 94,05 Portato, após seis meses o capital de R$ 000,00 se trasformou em R$ 94,05 34 Valor atual e Valor futuro Data Juros Dívida 0/0/ ,00 0/03/007 00,00 00,00 0/04/007 0,00 0,00 0/05/007,00 33,00 0/06/007 33,0 464,0 0/07/007 46,4 60,5 Na fórmula acima, é o úmero de períodos de juros e i é a taxa usada em cada período Por exemplo, cosidere um capital aplicado a uma taxa de % ao ao durate dois aos Se os juros são calculados trimestralmete, devemos cosiderar a taxa trimestral que é 3%, ou seja, i = 0, 03 Como dois aos correspodem a oito trimestres, devemos tomar = 8 Também se diz que o capital iicial é o valor atual ou valor presete, que deotamos por A, e que o motate é o valor futuro, que deotamos por F Etão, com essa otação, temos F F = ( + i) A ou A = ( + i) Para ecotrar o valor futuro basta multiplicar o valor atual por valor futuro por ( + i) ( + i), e para ecotrar o valor atual basta dividir o O valor de uma quatia depede da época a qual ela é cosiderada, ou seja, depede do seu valor atual ou futuro, coforme seja o caso Por exemplo, a quatia de R$ 000,00 hoje ão é a mesma coisa que eram R$ 6

31 000,00 há um ao ou que serão daqui a um ao Daí a importâcia da fórmula que relacioa os valores atual e futuro de uma quatia Ela é útil, por exemplo, quado temos que tomar a decisão de fazer o pagameto de uma compra, à vista ou parcelado Exercício: Maria fez uma compra de R$ 800,00 em uma loja que oferece as seguites opções de pagameto: (i) à vista, com 0% de descoto; (ii) em duas parcelas mesais de R$ 400,00, sedo que a primeira deve ser paga o ato da compra Calcule a taxa mesal dos juros embutidos a veda a prazo Solução: Vamos comparar, uma mesma época, os valores pagos as duas opções de pagameto e vamos chamar de época 0 e, respectivamete, a data da compra e a do pagameto da seguda parcela Para facilitar a compreesão, vamos dispor os dados do problema a tabela a seguir Opção de pagameto Época do pagameto 0 À vista Parcelado Podemos usar qualquer uma das duas épocas para comparar os valores das quatias pagas em cada uma das opções de pagameto Para torar os cálculos mais simples, vamos usar a época 0, ou seja, a data da compra Etão devemos calcular o valor da seguda parcela a época 0 e igualar a soma dos valores atuais das parcelas (a época 0) ao valor do pagameto à vista Deotado por i a taxa mesal de juros, temos que, a época 0, o valor pago a seguda parcela vale 400 Para ecotrar o valor de i, resolvemos a equação i i = 70, e ecotramos i = 0, 5 Portato, a taxa de juros embutidos a veda a prazo é de 5% ao mês Exercício: Reata fez uma compra de R$ 00,00, que foram pagos em duas parcelas mesais de R$ 57,6, com vecimeto da primeira um mês após a compra Calcule a taxa mesal dos juros esse fiaciameto Solução: Vamos comparar, uma mesma época, os valores pagos as duas opções de pagameto e vamos chamar de época 0, e, respectivamete, a data da compra, a do pagameto da primeira parcela, e a da seguda Para facilitar a compreesão, vamos dispor os dados do problema a tabela a seguir Opção de pagameto Época do pagameto 0 À vista Parcelado -- 57,6 57,6 Podemos usar qualquer uma das três épocas para comparar os valores das quatias pagas em cada uma das opções de pagameto Vamos usar a época 0, ou seja, a data da compra Etão devemos calcular o valor atual de cada parcela (valor a época 0) e igualar a soma V desses valores ao valor do pagameto à vista Deotado por i a taxa mesal de juros, temos que, a época 0, os valores pagos a primeira parcela e a seguda valem, respectivamete, 57,6 57,6 + i e Para ecotrar o valor de i, resolvemos a equação ( +i) 57,6 + 57,6 = i 00, e ecotramos + i 0,0 ( + i) Portato, a taxa de juros foi de 0% ao mês, aproximadamete Exercício: Carlos comprou um computador por R$ 500,00, que podem ser pagos à vista ou em 6 parcelas de R$ 80,00, devedo a primeira ser paga um mês após a data da compra Qual a melhor opção de pagameto, se o diheiro de Carlos está aplicado a juros de % ao mês? Solução: Vamos comparar, uma mesma época, os valores pagos as duas opções, e vamos chamar de época 0,,, etc a data da compra, a data do pagameto da primeira parcela, a da seguda, etc Para facilitar a compreesão, vamos dispor os dados do problema a tabela a seguir 7

32 Opção de pagameto Época do pagameto À vista Parcelado Podemos usar qualquer uma das sete épocas para comparar os valores das quatias pagas em cada uma das opções de pagameto Vamos usar a época 0, ou seja, a data da compra Etão devemos calcular o valor atual de cada parcela e comparar a soma V desses valores ecotrados, com o valor do pagameto à vista Se: i) V > 500, é melhor pagar à vista ii) V = 500, é idiferete fazer o pagameto à vista ou parcelado iii) V < 500, é melhor fazer o pagameto parcelado Aqui ós devemos cosiderar a taxa de juros de %, que é a taxa da aplicação do diheiro de Carlos Para obter o k valor atual de uma parcela, a época 0, basta dividir o seu valor, que é 80, por ( + 0,0), ode k é o úmero de meses passados da data da compra até a do pagameto dessa parcela Etão V = ,0,0,0,0,0,0 Observe que as parcelas da soma do lado direito são os termos de uma progressão geométrica cujo primeiro 80 termo é e a razão é q = Etão, substituido esses valores a fórmula da soma dos termos de uma de,0, 0 uma progressão geométrica, obtemos 80,0 V = = 568,40,0,0 Daí, como V > 500, se coclui que é melhor pagar à vista 35 Taxa efetiva Se a taxa de juros relativamete a um determiado período de tempo é i, a taxa equivalete a períodos de tempo é I, ode + I = ( + i) Essa taxa I também é chamada de taxa efetiva Exemplo: Uma taxa mesal de 4% equivale a um taxa aual efetiva de, aproximadamete, 60% De fato, este caso, como o período de tempo é mesal e um ao tem meses, fazemos i = 0,04 e = e obtemos + I = ( + 0, 04) =, 04, 60 I 0, 60 I 60,% Exemplo: Para ecotrar a taxa aual equivalete a uma taxa bimestral de 0%, cosideramos i = 0, e = 6 Assim, obtemos I = ( + 0,) =,, 776 I 0, 776 I 77,6% Portato, uma taxa bimestral de 0% equivale a uma taxa aual efetiva de, aproximadamete, 77,6% Exercício: Um empréstimo de R$ 30000,00 deve ser pago em 48 parcelas mesais iguais com vecimeto da primeira um mês após a assiatura do cotrato Sabedo que a taxa mesal de juros é,5%, calcule: a) A taxa aual efetiva b) O valor de cada parcela Solução: a) + I = ( + 0, 05) =, 05,956 I 0,956 I 9,56% 6 8

33 b) Vamos calcular o valor atual de cada parcela a época da cocessão do empréstimo (assiatura do cotrato) e igualar a soma desses valores ao valor do empréstimo cocedido Deotado por p o valor que será pago em cada parcela, como o pagameto da primeira parcela ocorre um mês após a assiatura do cotrato, temos que os valores atuais dessas parcelas são p, p,, p Etão devemos ter , 05 ( + 0, 05) ( + 0, 05) p p p = + + +,05,05,05 48 A soma do lado direito é a soma dos 48 primeiros termos da progressão geométrica cujo primeiro termo é p a = e a razão é q =,05,05 Etão, p,05 (, 05 ) p , 05, = = p = 88, , 05 0, 05, 05, 05, 05 Portato, o valor de cada parcela é R$ 88,5 Dialogado e Costruido Cohecimeto Na plataforma Moodle você vai ecotrar vários exercícios sobre matemática fiaceira 4 Avaliado o que foi costruído Os assutos abordados esta uidade são apeas uma parte do coteúdo de Aritmética do Esio Fudametal e do Médio Não seria possível apresetar aqui todo esse coteúdo Não foi fácil selecioar o que deveria costar aqui em detrimeto de outros, pois deixamos de abordar tópicos tão importates quato os que aqui estão Mas acreditamos que os cohecimetos adquiridos este curso ajudarão o aluo a eteder os tópicos que omitimos e que poderiam costar aqui Aliás, a plataforma moodle ecotraremos algus exercícios sobre tópicos ão mecioados aqui, mas que podem ser resolvidos por meio dos que mecioamos Na abordagem dos tópicos apresetamos apeas o míimo ecessário para etedê-los, ou seja, as defiições, os pricipais resultados e algus exemplos ilustrativos Agimos dessa maeira porque pretedemos que este texto seja apeas um guia de estudos, uma vez que todo o seu coteúdo será detalhado por meio de exercícios ou tarefas a plataforma moodle 5 Referêcias [] SANTOS, José P de O, Itrodução à Teoria dos Números Coleção matemática Uiversitária, IMPA, 998 [] HEFEZ, Abramo, Elemetos de Aritmética Sociedade Brasileira de Matemática (Textos Uiversitários), 004 [3] LIMA, Elo L, CARVALHO, Paulo C P, WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto C, A Matemática do Esio Médio, Vol, e 3 Sociedade Brasileira de Matemática, 998 [4] MORAIS FILHO, Daiel C, Um covite à Matemática, EDUFCG/EDUEPB, 006 [5] IMENES, Luiz M P, JACUBOVIC, José, Cosiderações sobre o Esio de Regra de Três Composta, Revista do professor de Matemática,, Sociedade Brasileira de Matemática [6] ÁVILA, Geraldo, Razões, proporções e regra de três, Revista do professor de Matemática, 8, Sociedade Brasileira de Matemática 9

34 Uidade II Geometria Plaa Situado a Temática Nesta uidade itroduzimos coceitos geométricos importates tais como semelhaça de triâgulos e cálculo de áreas Essas oções são idispesáveis para o estudo de outros temas o âmbito da Matemática como, por exemplo, Trigoometria, Geometria Aalítica e também participam de outras disciplias como Física, Química e Estatística Problematizado a Temática Estima-se que o estudo da Geometria teha sido iiciado há us 4000 aos com os babilôios e egípcios, provavelmete motivados por ecessidades de atureza prática tais como medidas de terreos e costruções de moradias Foram os gregos, por volta do século VI ac, que iiciaram um estudo orgaizado em defiições e demostrações de proposições Por volta do século III ac o trabalho mais importate era Elemetos, escrito por Euclides, que pretedia coter tudo de Matemática que era cohecido a época Além do cálculo de comprimetos e áreas o dia-a-dia, a aplicação do cohecimeto geométrico permitiu que se soubesse há vários séculos como calcular também o raio da terra e distâcias astroômicas tais como a distâcia da Terra à Lua 3 Cohecedo a Temática 3 Itrodução 3 Poto, Reta e Plao A Geometria é o estudo dos objetos geométricos e de suas propriedades Os objetos são defiidos e suas propriedades, em geral, são demostradas Mas, em tudo pode ser defiido ou demostrado Os objetos que ão são defiidos são chamados coceitos primitivos e as propriedades que ão podem ser demostradas são chamadas postulados Os coceitos primitivos da Geometria são poto, reta e plao Tais objetos se situam o uiverso de ossas metes, e para aproximá-los dos ossos setidos é que os maipulamos através de represetações ou aproximações Um exemplo de um poto é aquilo que mais se aproxima de uma boliha muito pequea impressa o papel Uma liha esticada aproxima-se da idéia de uma reta e uma folha de papel esticada, sem dobras, se aproxima da idéia de plao Um poto costuma ser deotado por uma letra latia maiúscula A, B, C,, uma reta é deotada por letras latias miúsculas r, s, t, e um plao por letras gregas miúsculas α, βγ,, Os objetos geométricos, em geral, podem ser cosiderados como cojutos de potos Quado dizemos que um objeto A passa pelo objeto B isto sigifica que B pertece ao cojuto A" ou que B é um subcojuto de A Quado A e B possuem potos em comum, dizemos que os objetos A e B se iterceptam São exemplos de postulados da Geometria os seguites: Em uma reta, bem como fora dela, há ifiitos potos Em um plao há ifiitos potos Por dois potos distitos passa uma úica reta Por três potos que ão perteçam a uma mesma reta passa um úico plao Se dois potos distitos pertecem a um plao, etão a reta que passa por esses dois potos também pertece a esse plao 3 Objetos cogruetes Dois objetos são cosiderados cogruetes se é possível mover um deles de modo a haver coicidêcia com o outro, ou seja, se eles forem superpoíveis Assim, dois objetos cogruetes têm obrigatoriamete o mesmo tamaho e a mesma forma Deotamos A cogruete a B" por A B 30

35 33 Posições relativas de retas Duas retas r e s serão chamadas coicidetes quado forem o mesmo cojuto de potos, o que será deotado por r = s; serão chamadas cocorretes quado possuírem um úico poto P em comum ( r s= { P}) ; serão chamadas paralelas quado pertecerem a um mesmo plao e ão tiverem poto em comum Veja a Figura 3 34 Segmetos, Semi-retas e Âgulos Figura 3: Posição relativa de duas retas Dados dois potos A e B em uma reta r, o cojuto dos potos de r que estão etre A e B, icluido esses potos, é chamado segmeto de reta com extremidades A e B e é deotado por AB A relação estar etre dois potos é cosiderada um coceito primitivo e, portato, ão é defiida A medida ou comprimeto de um segmeto AB, deotada por mab, ( ) é um úmero real ão-egativo obtido pela comparação com um segmeto cosiderado uitário previamete escolhido A medida de um segmeto tem as seguites propriedades: Se as extremidades de um segmeto coicidem, etão dizemos que ele é um segmeto ulo e que sua medida é igual a zero Se dois segmetos são cogruetes, etão eles devem ter a mesma medida Se um poto C pertece ao segmeto AB etão devemos ter mab ( ) = mac ( ) + mcb ( ) Dados dois potos A e B, a distâcia etre eles é a medida do segmeto AB Seja r uma reta que coteha dois potos A e B A uião do segmeto AB com todos os potos X de r tais que B está etre A e X é chamado semi-reta AB, deotada por AB Neste caso, o poto A é chamado de origem da semi-reta AB A uião de duas semi-retas de mesma origem AB e AC é deomiada âgulo formado pelas semi-retas AB e AC ou simplesmete âgulo  Sua otação é BAC ou  Escolhido um âgulo cosiderado uitário, a medida de um âgulo  é um úmero real que compara a abertura de  com a do âgulo uitário Em qualquer reta, um poto A pertecete a essa reta divide a reta em duas semi-retas de mesma origem A uião dessas duas semi-retas é chamada âgulo raso Ao dividirmos um âgulo raso em 80 partes cogruetes, obtemos 80 âgulos e dizemos que cada um mede grau, deotado por Escolhedo o âgulo de grau como sedo o uitário, temos que um âgulo raso mede 80 Dados dois âgulos  e ˆB, se a soma das medidas deles for igual µa de um âgulo raso, etão diremos que  e ˆB são suplemetares e que um é o suplemeto do outro Se um âgulo for cogruete a seu suplemeto, etão diremos que esse âgulo é reto Assim, a todo âgulo reto atribuímos uma medida de 90 Dialogado e Costruido Cohecimeto Costrua uma justificativa para esta última afirmação 3

36 Duas retas são chamadas perpediculares quado o âgulo etre elas for um âgulo reto Deomiamos âgulo agudo àquele cuja medida é iferior à de um âgulo reto e âgulo obtuso quado sua medida for superior à de um âgulo reto e iferior à de um âgulo raso 35 Polígoos Dados um úmero atural 3 e uma sequêcia de potos distitos, A, A,, A de um plao em que três desses potos cosecutivos ão pertecem a uma mesma reta, chama-se polígoo à uião dos segmetos AA, AA3,, A A, AA Os potos A, A,, A são chamados vértices do polígoo e os segmetos AA, AA3,, A A são chamados lados Os âgulos A ˆ = AAA ˆ ˆ, A = AAA 3,, A = A AA são os âgulos iteros do polígoo A soma das medidas de todos os lados é chamada perímetro do polígoo Em uma situação como a descrita acima, uma diagoal de um polígoo é todo segmeto AiA j que ão seja um lado do polígoo Se um polígoo tem todos os lados e âgulos iteros com mesma medida etão ele é chamado regular Dialogado e Costruido Cohecimeto Procure descobrir que relação existe etre a quatidade de lados de um polígoo e a sua quatidade de âgulos iteros Um polígoo costuma ser deomiado de acordo com o úmero,, de lados que possui Veja algus exemplos a tabela 3 ome ome 3 trilátero ou triâgulo 9 eeágoo 4 quadrilátero 0 decágoo 5 petágoo udecágoo 6 hexágoo dodecágoo 7 heptágoo 5 petadecágoo 8 octógoo 0 icoságoo Tabela 3: Deomiações de um polígoo com lados São defiidos vários tipos de quadriláteros: Um retâgulo é um quadrilátero que tem os quatro âgulos iteros retos; Um quadrado é um retâgulo que tem os quatro lados cogruetes; Um losago é um quadrilátero que tem os quatro lados cogruetes; Um trapézio é um quadrilátero que tem dois lados paralelos (chamados bases) 36 Triâgulos Um tipo de polígoo do qual mais se cohecem propriedades é o triâgulo Quato às medidas dos lados, os triâgulos classificam-se em: equiláteros quado têm os três lados cogruetes; isósceles quado têm dois lados cogruetes; escaleos quado ão têm lados cogruetes Quato às medidas dos âgulos iteros, os triâgulos classificam-se em: retâgulos se têm um âgulo reto ; acutâgulos se têm os três âgulos agudos; obtusâgulos se têm um âgulo obtuso 3

37 Em um triâgulo retâgulo, o maior lado é chamado hipoteusa e os outros dois lados (adjacetes ao âgulo reto) são chamados catetos Um resultado muito famoso evolvedo este tipo de triâgulo é cohecido como Teorema de Pitágoras e diz que o quadrado da hipoteusa é igual à soma dos quadrados dos catetos será demostrado a seção 3 Propriedades: Em todo triâgulo, cada lado é meor do que a soma dos outros dois lados; O maior lado de um triâgulo situa-se de modo oposto ao maior âgulo; A soma dos âgulos iteros de qualquer triâgulo é igual a 80 Estas propriedades podem ser demostradas, mas ão faremos isso aqui No etato, vamos forecer um procedimeto para a verificação da soma dos âgulos iteros Basta observar a dobradura sugerida pela Figura 3 Cosiderado um triâgulo qualquer de âgulos iteros Â, ˆB e Ĉ recortado de uma folha de papel, podemos dobrar os três vértices do triâgulo até eles se tocarem Daí, podemos observar que a soma das medidas dos três âgulos iteros é igual a 80 Podemos calcular a soma dos âgulos iteros de um polígoo ão triagular fazedo uma decomposição desse polígoo em vários triâgulos Se o polígoo for regular com lados, etão ele pode ser decomposto em triâgulos e, como a soma dos âgulos iteros de todos os triâgulos é igual à soma dos âgulos iteros do polígoo, temos que a soma dos âgulos iteros do polígoo é igual a ( )80 Veja a Figura 33 ode temos um hexágoo ( = 6) decomposto em quatro, ou seja, triâgulos Figura 3: Soma dos âgulos iteros de um triâgulo Figura 33: Polígoo com = 6 lados decomposto em ( ) triâgulos 37 Círculo e circuferêcia Dados um úmero real positivo r e um poto O de um plao α, o cojuto de todos os potos de α que estão a uma distâcia costate igual a r de O é chamado circuferêcia O poto O é chamado cetro e a costate r é chamada raio da circuferêcia O cojuto de todos os potos de α cuja distâcia a O é meor do que ou igual a r é chamado círculo de cetro O e raio r Um polígoo é iscrito em uma circuferêcia se todos os seus vértices pertecem à circuferêcia Se ehum dos vértices do polígoo pertece à circuferêcia, mas cada um dos seus lados itercepta-a em apeas um úico poto, etão dizemos que o polígoo é circuscrito à circuferêcia Na Figura 34 temos um quadrado iscrito em e outro circuscrito a uma circuferêcia de raio r Observe que o caso do quadrado iscrito, o lado do quadrado é igual a r e o caso do quadrado circuscrito o lado do quadrado é igual a r Dialogado e Costruido Cohecimeto Procure descobrir por que a medida do lado de um quadrado iscrito em uma cicuferêcia de raio r é igual a r O comprimeto de uma circuferêcia pode ser calculado em fução do seu raio r Para isso, podemos pesar o comprimeto da circuferêcia como sedo uma situação limite do perímetro de um polígoo regular de lados iscrito a circuferêcia e cosiderado o maior valor possível 33

38 Figura 34: Quadrado iscrito e quadrado circuscrito a uma circuferêcia Na Figura 35 cosideramos uma circuferêcia de raio r com = BC como sedo o lado de um polígoo regular de lados e = AB como o lado do polígoo regular de lados, ambos iscritos a circuferêcia Usado o Teorema de Pitágoras os triâgulos retâgulos ABD e BDO, temos: ( ) = a + (3) r = + b + + ( r a) (3) Da equação 3, obtemos = a r r, que pode ser substituído em 3 para forecer o seguite: ( ) r r = + o que leva à seguite igualdade: = r r 4r (33) Já vimos que 4 = r Substituido isso a equação 33, obtemos 8 = r Usado repetidas vezes a equação 33, obtemos os seguites resultados: 6 = r + 3 = r = r

39 Figura 35: Lados de polígoos com e lados iscritos em uma circuferêcia Multiplicado por obtemos o perímetro, P, do polígoo regular de lados iscrito a circuferêcia de raio r Na tabela 3 observamos algus valores desses perímetros Assim, quato maior o valor de, mais próximo de r 6, o perímetro vai chegar A metade desse coeficiete de r é o úmero 3, que costuma ser deotado pela letra grega π e é a costate mais famosa de toda a Matemática Deotado por C o comprimeto da circuferêcia de raio r, é possível demostrar que C = π r 3 Semelhaça 3 Triâgulos semelhates P 4 5, r 5 6, r 8 6, r 04 6, r 6 6, r 048 6, r 3 6, r , r 64 6, r 89 6, r 8 6, r , r 56 6, r , r Tabela 3: Perímetro de polígoos iscritos em circuferêcia de raio r Dois triâgulos ABC e DEF são semelhates (deotamos por ΔABC ΔDEF ) quado existe uma correspodêcia etre seus vértices de modo que os âgulos iteros sejam cogruetes ou, equivaletemete, os lados correspodetes sejam proporcioais Veja a Figura 36 P Figura 36: Semelhaça de triâgulos ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ a b c ΔABC ΔDEF A D B E C F, = = = k d e f Neste caso ΔABC ΔDEF, pois Aˆ DB ˆ, ˆ EC ˆ, ˆ Fˆ, a = b = c = k=costate A razão k etre d e f os lados proporcioais é chamada razão de semelhaça Existem três critérios para se cocluir quado dois triâgulos são semelhates: AAA caso âgulo-âgulo-âgulo Se dois triâgulos têm seus âgulos dois a dois cogruetes, etão eles são semelhates; LAL caso lado-âgulo-lado Se dois triâgulos têm dois pares de lados proporcioais e os âgulos etre eles cogruetes, etão eles são semelhates; LLL caso lado-lado-lado Se dois triâgulos têm os três lados proporcioais, etão eles são semelhates Esses critérios podem ser todos demostrados Eles toram mais simples a verificação da semelhaça de triâgulos mostrado que ão há ecessidade de observar todos os ites da defiição Por exemplo, se um triâgulo tem lados medido 3, 4 e 5 e outro triâgulo tem lados medido 5, 0 e 5, etão, pelo caso LLL, 35

40 podemos deduzir imediatamete que eles são semelhates porque 3 = 4 = 5 ; ão há ecessidade de calcular os âgulos iteros esse caso para percebermos que eles são dois a dois cogruetes O coceito de semelhaça pode ser estedido para outros objetos geométricos Se dois triâgulos são semelhates e a razão de semelhaça é k, etão as razões etre outros elemetos desses triâgulos também será igual a k por exemplo, a razão etre as alturas também será igual a k 3 Relações métricas um triâgulo retâgulo Se um triâgulo ABC é retâgulo em C (ou seja, C = 90 ), etão sua altura com relação à hipoteusa separa-o em dois outros triâgulos retâgulos ADC e BCD Veja a Figura 37 Figura 37: Triâgulos retâgulos semelhates Temos, assim, três pares de triâgulos semelhates: ΔABC ΔACD porque eles têm os três âgulos dois a dois cogruetes (eles têm um âgulo  em comum, ambos têm um âgulo reto e, coseqüetemete, o terceiro âgulo é o suplemeto da soma de  com 90 ; ΔABC ΔBCD (também porque eles têm os três âgulos dois a dois cogruetes); ΔACD ΔBCD (também porque eles têm os três âgulos dois a dois cogruetes) Usado agora a proporcioalidade etre os lados de triâgulos semelhates, temos: b h m ΔABC ΔACD = =, c a b b h = ab = hc (34) c a b m = b = mc (35) c b h m = bh = am (36) a b a h ΔABC ΔBCD = =, c b a a h = ab = hc (37) c b 36

41 a = a = c (38) c a h = ah = b (39) b a b m h ΔACD ΔBCD = =, a h b m = bh = am (39) a h b h = b = ah (30) a m h = h = m (3) h Obtemos assim as seguites relações etre abchm,,,, e : a = c, b = mc, h = m, bh= am, ab= hc, ah= b Somado-se as duas primeiras igualdades, obtemos também que: a + b = c+ mc= ( + m) c= c c = a + b que é um importate resultado cohecido como Teorema de Pitágoras: Em um triâgulo retâgulo, o quadrado da hipoteusa é igual à soma dos quadrados dos catetos 33 Razões Trigoométricas Cosideremos o triâgulo retâgulo da Figura 38 e seja α um dos seus âgulos agudos O lado b é chamado cateto adjacete (viziho) ao âgulo α e o lado c é o cateto oposto ao âgulo α Figura 38: Razões trigoométricas de um triâgulo retâgulo Defiimos o seo de um âgulo agudo como sedo a razão etre o cateto que lhe é oposto e a hipoteusa, o cosseo desse âgulo como sedo a razão etre o cateto que lhe é adjacete e a hipoteusa e a tagete deste mesmo âgulo é defiida como a razão etre o cateto oposto e o cateto adjacete, simbolicamete, se α = c,cos α = b, tg α = c, a a b ode seα,cosα e tgα deotam respectivamete o seo, o cosseo e a tagete de α As defiições de seo, cosseo e tagete ão depedem do tamaho do triâgulo retâgulo utilizado Se dois triâgulos retâgulos têm um âgulo agudo α, etão os três âgulos iteros são cogruetes e, coseqüetemete, os triâgulos são semelhates Se os lados de um deles medirem a, b, c e os lados do outro triâgulo medirem a, b, c etão o seo de α em um deles é igual a c a e o outro é c Devido à semelhaça, a temos c c = Assim, a oção de seo de um âgulo ão depede do tamaho do triâgulo O mesmo vale para a a outras oções como cosseo e tagete O seo, o cosseo e a tagete de um âgulo possuem iúmeras propriedades A título de ilustração, vamos obter duas delas: 37

42 se α tg α = Para demostrá-la, basta usar as seguites defiições: cosα se α c/ a c tg α; cos α = b/ a = b = (se α) + (cos α) =, que é cosequêcia imediata do Teorema de Pitágoras e das defiições de seo e cosseo: c b b + c a (se α) + (cos α) = + = = = a a a a 33 Áreas 33 Áreas de polígoos A área de um polígoo é um úmero real ão-egativo que mede a região do plao ocupada pelo polígoo A este respeito, temos as seguites propriedades: polígoos cogruetes têm mesma área; se o polígoo P for decomposto em polígoos P, P,, P etão área de P= área de P+ área de P + + área de P Veja a Figura 39 para um exemplo Figura 39: Decomposição do polígoo P Defiimos a área de um quadrado cujo lado mede como sedo e polígoos equivaletes como sedo aqueles que têm a mesma área 33 Áreas de um retâgulo Cosideremos um retâgulo cujos lados medem a e b Esse retâgulo pode ser colocado lado a lado com outro retâgulo cogruete a ele, um quadrado de lado a e um quadrado de lado b para formar um quadrado maior de lado a+ b, coforme a Figura 30 Seja R a área do retâgulo dado (sombreado a figura) Como a área do quadrado maior é ( a+ b), temos que de ode podemos obter R = ab ( a+ b) = a + R+ R+ b 333 Áreas de um paralelogramo Figura 30: Área de retâgulo Um paralelogramo ABCD de base b e altura h é equivalete a um retâgulo ABEC de mesma base e mesma altura Veja a Figura 3 Portato, a área desse paralelogramo é bh 38

43 Figura 3: Área de um paralelogramo 334 Áreas de um triâgulo Um triâgulo ABC de base b e altura h, jutamete com outro triâgulo cogruete BDC, podem ser colocados lado a lado para formarem um paralelogramo ABDC (Figura 3) Logo, a área do paralelogramo é o dobro da área do triâgulo, ou seja, a área do triâgulo ABC é bh Figura 3: Área de um triâgulo 335 Área de um trapézio Um trapézio ABCD (Figura 33) pode ser decomposto em dois triâgulos: ABC e ACD Logo, a área T de um trapézio com bases a e b e altura h é dada por ah bh ( a + b) h T = + = 336 Área de um losago Figura 33: Área de um trapézio Um losago com diagoais medido D e d pode ser decomposto em 4 triâgulos retâgulos cogruetes (sombreados a Figura 34) Jutado com mais 4 triâgulos retâgulos cogruetes (ão sombreados a Figura 34) eles formam um retâgulo de base D e altura d Como a área desse retâgulo é o dobro da área do losago, Dd temos que a área do losago é igual a 39

44 Figura 34: Área de um losago 337 Área de um polígoo Um polígoo regular com lados, cada um de comprimeto a, pode ser decomposto em triâgulos de base a e altura h Daí, a área do polígoo será igual a vezes a área de cada triâgulo, isto é, a área do polígoo é ah Deotado o semiperímetro a por p, temos que a área do polígoo regular com lados é igual a ph (Figura 35) Figura 35: Área de um polígoo 338 Área de um círculo O cálculo da área de um círculo pode ser visto como uma situação limite do cálculo da área de um polígoo regular com lados, quado é um úmero muito grade Supodo o polígoo iscrito em um r 360 círculo de raio r, esse polígoo pode ser decomposto em triâgulos de área se Para verificar isso, basta usar as defiições de seo e cosseo de um âgulo α em um triâgulo retâgulo; este caso, um dos 360 âgulos iteros do triâgulo é α = Cocluímos etão que a área do polígoo regular com lados iscrito r 360 em um círculo de raio r é dada por A = se Na tabela 33, é calculada a área de um polígoo para um dado valor de Observado a sequêcia A, vemos que quato maior o valor de, mais próximo de π r é a área do polígoo Assim, sem demostração por equato, baseado-os apeas a observação dessa tabela, cocluímos que a área de um círculo de raio r é igual a π r Oportuamete, quado estudarmos as técicas de Cálculo Diferecial e Itegral, veremos que este fato pode ser demostrado rigorosamete P P r² r² r² r² r² r² r² r² r² r² Tabela 33: Área de um polígoo regular com lados 40

45 339 Área de um setor circular A área de um setor circular de raio r (Figura 36) pode ser calculada através de uma simples proporção, comparado-a com a área de um círculo Se o âgulo cetral do setor for de α graus, isso sigifica que a área do α απ r setor é correspodete à fração da área do círculo, ou seja, será igual a O Teorema de Pitágoras Figura 36: Área de um setor circular Diversas fórmulas e teoremas podem ser demostrados com o auxílio do cálculo de áreas Aqui, forecemos outra demostração do Teorema de Pitágoras Um quadrado de lado b+c pode ser decomposto em 4 triâgulos retâgulos cogruetes de catetos b e c e hipoteusa a (sombreados a Figura 37), mais um quadrado de lado a Calculado as áreas, obtemos: bc bc bc bc ( b+ c) = a Simplificado, obtemos a = b + c, que é o resultado procurado Outra demostração pode ser feita com o auxílio das figuras 37 e 38 A Figura 38 pode ser cosiderada como tedo sido obtida a partir da Figura 37 através de uma ova disposição dos 4 triâgulos cogruetes sombreados Essas figuras geométricas podem ser costruídas facilmete usado-se papel ou cartolia Como os dois casos temos um quadrado maior de lado b + c e os triâgulos sombreados têm a mesma área total as duas figuras, etão as áreas ão sombreadas devem ter o mesmo valor Na Figura 37 a área ão sombreada é a, equato que a Figura 38 ela vale b + c Cocluímos, mais uma vez, que a = b + c Figura 37: Teorema de Pitágoras Figura 38: Teorema de Pitágoras Ampliado o seu Cohecimeto Cosideremos uma badeira do Brasil com 3 m de largura e m de altura Supodo que o círculo azul teha diâmetro m e cada vértice do losago amarelo esteja a uma distâcia de 40 cm do lado do retâgulo verde, calcule a área da parte amarela da badeira 4

46 35 Fórmula de Herão A fórmula de Herão (matemático grego que provavelmete viveu a seguda metade do século I dc ) é útil para calcular a área de um triâgulo cujos lados a, b e c são cohecidos Supohamos que c seja o maior lado, ou seja, que a b c, como a Figura 39 Sedo h a altura relativa ao lado C, temos que a área do triâgulo é S = hc Usado o Teorema de Pitágoras os triâgulos ADC e BCD, temos que b = h + ( c x) = ( h + x ) + c cx Substituido essa seguda equação a primeira, obtemos b = a + c cx de ode obtemos que a + c b x = c Como h = a x, obtemos h b a c = a c b a c b a a a = + c c c ( ac + b a c )( ac b + a + c ) = 4c ( b ( a ac + c ))(( a + ac + c ) b ) = 4c ( b ( a c) )(( a+ c) b ) = 4c ( b+ a c)( b a+ c)( a+ c+ b)( a+ c b) = 4c ( a+ b+ c)( a+ b+ c c)( a+ b+ c a)( a+ b+ c b) = 4c a+ b+ c Seja p o semiperímetro desse triâgulo, ou seja, p = Etão a+ b+ c= p que substituido a equação aterior, forece: p(p c)(p a)(p b) 6 p( p c)( p a)( p b) 4 p( p c)( p a)( p b) h = = = 4c 4c c hc 4 p( p a)( p b)( p c) Logo, hc = 4 p( p a)( p b)( p c) Como S =, temos S = de ode, 4 4 fialmete, obtemos S = p( p a)( p b)( p c) Figura 39: Fórmula de Herão 4

47 36 Exemplos Exemplo 3 Calcule a altura h de um triâgulo equilátero em fução do lado A partir daí, obteha os valores de se 60, cos 60, tg 60, se 30, cos 30 e tg 30 Solução: Seja h a medida da altura relativa ao lado AB do triâgulo equilátero ABC Como os lados do triâgulo são iguais, os âgulos iteros também são iguais Como a soma dos âgulos iteros é 80, etão cada âgulo itero mede 60 A altura relativa a AB divide esse lado em duas partes iguais a / e o âgulo Ĉ em dois âgulos, ACD e BCD, cada um medido 30, Usado o Teorema de Pitágoras o triâgulo retâgulo ACD, obtemos: = + h ou seja, 3 3 h = h= Agora, esse mesmo triâgulo ACD, podemos usar as defiições de seo e cosseo para 4 obter: h 3 / se 60 3 / se 60 = = ; cos 60 = = ; tg 60 = = = 3; cos 60 / / h 3 se 30 / 3 se 30 = = ; cos 30 = = ; tg 30 = = = cos 30 3/ 3 Figura 30: Exemplo Exemplo Cosidere a Figura 39 ode temos uma circuferêcia e segmetos AP e DP chamados secates Mostre que mpa ( ) mpb ( ) = mpc ( ) mpd ( ) Solução: Na Figura 3, os triâgulos PCA e PBD são semelhates porque têm o âgulo ˆP em comum e Aˆ = Dˆ porque eles estão relacioados com o mesmo arco BC da circuferêcia Assim, pelo caso AAA, os triâgulos são semelhates Logo, os lados correspodetes são proporcioais, ou seja, mpa ( ) mac ( ) mpc ( ), = = mpd ( ) mbd ( ) mpb ( ) de ode obtemos a igualdade desejada Figura 3: Exemplo 43

48 Exemplo 33 Na Figura 3 temos um quadrado de lado e quatro arcos de circuferêcias de mesmo raio Calcule a área sombreada Figura: 3: Exemplo 3 Solução: Basta observar que os quatro arcos determiam quatro setores circulares de raios iguais a Jutos, π eles equivalem a um círculo de raio cuja área é 4 π π área sombreada é igual a = ( ) 4 4 Como a área do quadrado é igual a, temos que a Exemplo 34 Diversas fórmulas de trigoometria podem ser demostradas com a ajuda do cálculo de áreas Neste exemplo, obtemos a fórmula do seo da soma de dois âgulos Na Figura 33, cosideremos o triâgulo ABC cuja altura com relação ao lado AB mede e divide o âgulo Ĉ em dois âgulos agudos, a e b Calcule se Ĉ em fução de se α, se b, cos a e cos b Figura 33: Exemplo 34 Solução: Vamos calcular a área do triâgulo ABC de duas maeiras: usado o lado AB como base e, depois, usado AC como base Daí, obtemos: AB = AC h, ou seja, AD+ DB = AC h (33) Usado as defiições de seo, cosseo e tagete, temos: cosα = BC = (34) BC cosα cosb = AC AC = cosb (35) DB tg a= DB= tg a (36) AD tg b= AD= tg b (37) ˆ h se C = h= BC se Cˆ (38) BC Substituido 34 em 38, e, depois, em 33, obtemos: se Cˆ AD + DB = AC (39) cos a e, fialmete, substituido 5, 6 e 7 em 9, obtemos: se Cˆ tg a+ tg b=, cos acosb ou seja, 44

49 que é equivalete a ˆ se a se b se C = cos acosb + cos a cosb se ( a+ b) = seacosb+ se bcos a Exemplo 35 Um triâgulo tem lados medido 5 cm, 7 cm e 8 cm Calcule a altura relativa ao seu maior lado Solução: São dados a = 5, b = 7 e c = 8 O semiperímetro desse triâgulo é p = a + b + c a+ b+ c 0 p = = = 0 Logo, usado a fórmula de Herão temos que sua área é p( p a)( p b)( p c) = 0(0 5)(0 7)(0 8) = 300 = 0 3 Por outro lado, cosiderado a base como sedo o lado que mede 8 cm, a área desse triâgulo é igual a 8h 5 3, ode h é a altura relativa ao maior lado Temos etão que 4h = 0 3, ou seja, h = Exemplo 36 Na Figura 34 temos dois arcos de circuferêcias em um quadrado de lado a Calcule a área sombreada Figura 34: Exemplo 36 Solução: Sejam S a área da região sombreada R e S a área da região R ão sombreada, idicadas a figura Pela simetria da figura, S aparece tato acima quato abaixo de S S+ S é equivalete ao quadrado, logo, S+ S = a Por outro lado, S+ S é equivalete a um quarto do círculo de raio a, logo, S+ S = π a /4 Dessa forma, para calcular S, basta resolver o sistema liear: S+ S = a S+ S = π a /4 Multiplicado a seguda equação por ( ) e somado com a primeira equação, obtemos π S = a Exemplo 37 Na Figura 35 temos um triâgulo retâgulo de área S com hipoteusa a e catetos b e c e três semicírculos cujos diâmetros são os lados do triâgulo, formado as regiões S e S 3, chamadas lúulas de Hipócrates Mostre que a soma das áreas das lúulas é igual à área do triâgulo, ou seja, que S = S + S3 Figura 34: Exemplo 37 45

50 Solução: Sejam R e T as áreas das regiões ão sombreadas da figura Etão, S3 R ( c/) + = π e π S S3 ( T R) a 4 forece a igualdade procurada S T R ( a/) + + = π, o que implica em = Por outro lado, temos T R a S S T π b + = ( /), π S + T + S3 + R= ( b + c ),, ou seja, 4 + π = 4, que, substituido a equação aterior, 4 Avaliado o que foi costruído Itroduzimos oções básicas tais como poto, reta, plao, segmetos, âgulos, triâgulos, polígoos, circuferêcia e círculo E, através da oção de semelhaça de triâgulos, foi possível deduzir o importate coceito de razões trigoométricas tais como o seo e o cosseo de um âgulo A partir da área de um quadrado, pudemos obter a área de outros polígoos como retâgulo, paralelogramo, triâgulo, trapézio, losago Tetamos justificar o cálculo da área de um círculo e euciamos e demostramos um importate resultado cohecido como Teorema de Pitágoras 5 Referêcias [] Jurkiewicz, S, Geometria: Cogruêcia e Semelhaça, Estágio dos Aluos Bolsistas OBMEP 005, vol 5, Ed SBM, Rio de Jaeiro: 006 [] Wager, E, Teorema de Pitágoras e Áreas, Estágio dos Aluos Bolsistas OBMEP 005, vol 6, Ed SBM, Rio de Jaeiro: 006 [3] Dolce, O, Pompeo, J N, Geometria Plaa, Fudametos de Matemática Elemetar, vol 9, Atual Editora, São Paulo: 978 [4] Wager, E, Usado Áreas, Revista do Professor de Matemática N, Ed SBM, São Paulo: 99 [5] Date, L R, Matemática: Cotexto e Aplicações, Ed Ática, São Paulo: 003 [6] Neto, A A e outros, Geometria, Noções de Matemática, vol 5, Ed Modera, São Paulo:98 46

51 Uidade III Tratameto da Iformação Situado a Temática A coleta, orgaização, iterpretação e represetação de dados formam o cojuto de habilidades a serem trabalhadas pelo elemeto temático que se covecioou deomiar de Tratameto da Iformação, coteúdo com abordagem prevista para a matéria Matemática já o Esio Fudametal, fase em que se faz acompahar dos tópicos relativos a Números e Operações, Espaço e Forma e Gradezas e Medidas Dados ão são iformação Iformação é o que resulta da iterpretação de dados (Mitroff & Sagasti [4]) A afirmação acima expõe, em sítese, a importâcia de capacitar o idivíduo, desde os primeiros aos escolares, a iterpretar criticamete tudo o que lhe é comuicado através de dados, ormalmete apresetados sob a forma de elemetos de atureza quatitativa Daí, orietar o aluo a coletar, orgaizar, iterpretar e, por fim, represetar iformações ser cosiderada atividade imprescidível para sua formação, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacioais de Matemática Devemos, cotudo, perceber que a fialidade do estudo do Tratameto da Iformação ão se restrige ao desevolvimeto da capacidade de capturar, processar e trasmitir elemetos iformativos Ao abrager e cogregar oções fudametais de tabelas, gráficos, estatística, probabilidade e combiatória, a matéria costitui excelete ferrameta pedagógica para o exercício da iterdiscipliaridade, propiciado a abordagem matemática de assutos e situações reais, cohecidos e experimetados pelos aluos o dia-a-dia Esse aspecto é de tal forma relevate que dele poder-se-ia deduzir o alcace maior relacioado à miistração dos coteúdos do Tratameto da Iformação: preparar o idivíduo para uma participação efetiva a sociedade, forecedo-lhe codições de compreeder e aalisar iformações para, a partir daí, formar sua opiião e iteratuar cosciete e costrutivamete A fim de atigir tal objetivo, o Tratameto da Iformação compõe-se de coteúdos que tratam da trasmissão de iformações através de tabelas e gráficos, evoluido para a miistração de cohecimetos básicos de estatística, de probabilidade e de combiatória Em relação aos tópicos tabela, gráfico e estatística, espera-se que o desevolvimeto do estudo capacite o aluo para as ações de coleta, aálise, orgaização e comuicação de dados através de tabelas e gráficos, habilitado-o, em sua fase fial, a efetuar cálculos de medidas estatísticas, como média, mediaa e moda No que diz respeito à probabilidade, objetiva-se que a exposição do aluo a experimetações e simulações possa levá-lo a compreeder o sigificado de acotecimeto aleatório e capacitá-lo a quatificar ocorrêcias de resultados icertos para determiados evetos Por fim, o exercício do raciocíio combiatório deve capacitar o estudate a obter soluções para problemas de cotagem, pricipalmete aqueles evolvedo questões relacioadas ao cálculo de probabilidades Em última aálise, o Tratameto da Iformação compreede o estudo progressivo da aálise de dados e probabilidades, objetivado torar o aluo apto a: ler e iterpretar dados apresetados por meio de tabelas e gráficos, formular questões que evolvam a coleta, orgaização e apresetação de dados, selecioar e utilizar métodos estatísticos adequados, desevolver e avaliar iferêcias e predições baseadas em dados e compreeder e aplicar coceitos básicos de probabilidade A partir da leitura do emetário das disciplias que compõem o presete Curso de Liceciatura em Matemática, vê-se que o Tratameto da Iformação costa como tópico a ser abordado pelas Matemáticas para o Esio Básico I e III Levado-se em cosideração o caráter progressivo da apredizagem dos assutos a serem abordados, compete à Matemática para o Esio Básico I apresetar o Tratameto da Iformação como tema de estudo que objetiva desevolver o aluo a capacidade de idetificar os pricipais tipos de tabelas e gráficos, ler e iterpretar dados cotidos em tabelas e gráficos simples, 47

52 recolher e orgaizar dados e iformações, produzir textos a partir da iterpretação de gráficos e tabelas e elaborar tabelas e gráficos elemetares para apresetação de cojutos de dados Cabe à Matemática para o Esio Básico III dar cotiuidade a esse apredizado, cosolidado os cohecimetos adquiridos e itroduzido coceitos aida ão trabalhados, utilizado-se de procedimetos estatísticos e probabilísticos para ampliação da habilidade do aluo em orgaizar e aalisar dados, estabelecer relações, fazer previsões e formular argumetações bem fudametadas Problematizado a Temática Quado assistimos a oticiários pela televisão ou lemos jorais ou revistas, vemos, com freqüêcia, otícias ou matérias sitetizadas em tabelas ou gráficos Nessas situações está presete o Tratameto da Iformação Vejamos a situação o exemplo seguite: Exemplo: Paulo ecotrou um joral local uma matéria sobre o desempeho do comércio da sua cidade os aos de 005 e 006, e essa matéria apresetava o gráfico seguite 4o Trim 3o Trim o Trim Demostrativo de Vedas Mesmo sem ler o texto da matéria, ele cocluiu que o ao de 006 as vedas foram superiores às de 005 Cocluiu também que isso ocorreu os quatro trimestres do ao o Trim R$ milhões 3 Cohecedo a Temática 3 Trabalhado com tabelas e gráficos 3 Cohecedo coceitos e características Ao pesarmos em uma tabela, imagiamos um quadro, dividido em lihas e coluas, cotedo palavras e/ou úmeros Esta idéia ituitiva é suficiete para que cosigamos estabelecer um coceito Uma tabela é, a verdade, um quadro orgaizado ode dados são listados, visado costruir um cohecimeto fudametado acerca de algo A leitura de uma tabela será válida, se acompahada de aálises acerca de relações e combiações que se possam estabelecer a partir dos dados ela cotidos É a iterpretação que trasforma palavras e úmeros em istruções ou, equivaletemete, traduz os registros de uma tabela em iformações Temos, a seguir, uma tabela que lista as dez cidades com maior úmero de habitates o mudo, em um determiado tempo AS 0 CIDADES MAIS POPULOSAS DO MUNDO CIDADE PAÍS POPULAÇÃO ANO O D Q ( * ) Mumbai Ídia Ceso Shagai Chia Estimativa São Paulo Brasil Estimativa Seul Coréia do Sul Estimativa 48

53 Moscou Rússia Ceso Deli Ídia Ceso Carachi Paquistão Ceso Istambul Turquia Ceso Beijig Chia Estimativa Cidade do México México Ceso ( * ) ODQ Origem dos Dados Quatitativos - Fote: TIME Almaac Na tabela aterior, os dados populacioais dizem respeito ao quatitativo de pessoas que habitam a área estrita de cada cidade, estado excluída da cotagem a população existete as áreas urbaas adjacetes No caso dos gráficos, a simples leitura também ão é suficiete para que se atija um bom etedimeto da situação retratada É imprescidível examiar, comparar, cofrotar para que os dados eles apresetados reduzam a falta de iformação sobre determiado assuto Os gráficos permitem a observação cojuta de correspodêcias etre cada categoria ou classe pesquisada e os dados a ela relacioados, gerado a percepção qualitativa e quatitativa de muitos feômeos, trasformado-se, assim, em geradores de iformações Por essa razão, com relação à abordagem prevista para o Tratameto da Iformação a Matemática para o Esio Básico I, ão é osso objetivo estabelecer o coceito de gráfico como o de elemeto represetativo de uma fução mediate uma curva um sistema de coordeadas Para ós, gráfico é um tipo de liguagem com a qual temos cotato cotidiaamete, correspodedo a uma forma de comuicação visual descritiva de acotecimetos diversos É justamete a ecessidade de represetar figurativamete tão variado cojuto de fatos, aspectos e ocorrêcias que produz ampla variedade de espécies de gráficos Detre essas, estamos particularmete iteressados em trabalhar com: Gráficos de Coluas - caracterizados pela represetação de dados sob a forma de coluas verticais de altura variável e largura costate São úteis, pricipalmete, quado a pesquisa objetiva mostrar alterações que ocorrem os dados, em um período de tempo Quado costruímos gráficos de coluas, é comum dispormos o eixo vertical os dados obtidos e reservarmos o eixo horizotal para a ordeação das categorias pesquisadas O quadro situado ormalmete à direita do gráfico cotém as séries que o compõem Demostrativo de Vedas Gráficos de Barras - equivaletes aos de coluas o que se relacioa à utilidade, diferido daqueles pela represetação de dados que passa a ocorrer por meio de barras horizotais com largura variável e altura costate, como também pela ordeação oposta o que se refere à rotulação de eixos 4o Trim 3o Trim o Trim o Trim R$ milhões

54 Gráficos de Lihas - utilizados, pricipalmete, para exibir dados cotíuos em fução do tempo, salietado visualmete tedêcias de comportameto a partir dos registros de crescimeto e decrescimeto dos Pesquisa Eleitoral - o Semestre dados colhidos % (Gráfico de Lihas com marcadores) Pesquisa Eleitoral - o Semestre Ja Fev Mar Abr Mai Ju Cadidato A Cadidato B Cadidato C % Ja Fev Mar Abr Mai Ju Cadidato A Cadidato B Cadidato C Podem coter, ou ão, marcadores sobre as lihas e seguem a mesma ordeação de eixos adotada pelos de coluas, ou seja, categorias ocupado o eixo horizotal com dados dispostos o eixo vertical (Gráfico de Lihas sem marcadores) Gráficos de Setores - comumete deomiados de pizzas, utilizados sempre que o objetivo pricipal da represetação for o de exibir a cotribuição, ou a participação quatitativa para o total, de cada categoria pesquisada Em sua elaboração, como veremos em exemplo, importa efetuar o cálculo da proporção do círculo que deve estar associada a cada categoria evolvida para, posteriormete, ser estabelecida a divisão do círculo respeitado-se essas proporções Na terceira atividade que itegra a seção seguite, os dedicaremos à costrução de gráficos e, etão, os deteremos a aálise dos pricipais elemetos costitutivos dessa importate ferrameta visual de represetação Por equato, desevolveremos osso estudo a partir da defiição de um roteiro de atividades evolvedo os elemetos tabela e gráfico Meio de trasporte utilizado para ida ao trabalho Bicicleta Táxi Camihada Metrô Aut Part Ôibus 3 Desevolvedo atividades Estamos iteressados em ler, aalisar e costruir tabelas e gráficos Primeiramete, focalizaremos ossa ateção em leituras e aálises A idetificação e caracterização dos pricipais elemetos utilizados a composição da tabela ou do gráfico seguido do exame da forma através da qual seus dados são apresetados correspodem às etapas iiciais costitutivas do osso estudo Primeira Atividade - Leitura e Aálise de Tabelas e Gráficos Essa atividade objetiva desevolver habilidades relacioadas ao trabalho com tabelas e gráficos, especialmete aquelas que dizem respeito a a) classificação, de acordo com as características dos dados exibidos e do tema abordado, b) determiação de elemetos primários utilizados a costrução, 50

55 c) idetificação da forma pela qual os dados ecotram-se dispostos, e d) elaboração de coclusões acerca das iformações obtidas Exemplo - Vamos cosiderar a tabela apresetada a seção aterior Os elemetos, aos quais os referimos como primários, utilizados em sua costrução são: a) Título AS 0 CIDADES MAIS POPULOSAS DO MUNDO b) Assuto A tabela lista as dez cidades com maior úmero de habitates o mudo, observado que de tal quatitativo foi excluída a parte da população que habita áreas urbaas adjacetes à cidade c) Categoria Pesquisada Cidades, sem quaisquer restrições, buscado determiar o quatitativo populacioal d) Fote A tabela ecotra-se publicada a edição do ao de 006, de TIME Almaac (Publicação aual orte-americaa da TIME Ic, cotedo iformações literárias, cietíficas, estatísticas e culturais em geral) No que diz respeito à disposição dos dados, a tabela classifica as cidades pelo úmero de habitates, de forma decrescete, de cima para baixo O seu coteúdo, apesar de fudado em aspecto técico referete à medida de cotigete populacioal, estimula reflexões e debates de caráter emietemete social Fechado esta primeira atividade, observe que as questões costates do exemplo acima podem ser igualmete formuladas em relação a gráficos elaborados sob a forma de barras, coluas, lihas ou setores Visite a plataforma Moodle Vá ao espaço reservado à disciplia Matemática para o Esio Básico I a plataforma Moodle e localize as tarefas associadas a esta atividade A execução de cada uma delas é imprescidível para o apredizado do tema abordado Seguda Atividade - Motagem de Tabelas Cocluída a atividade de exame, pratiquemos agora a ação de costrução de tabelas Vamos orgaizar algus dados para efetuar a costrução de uma tabela que os apresete sitética e ordeadamete, facilitado a captura de iformações que os mesmos possam trasmitir Cosideremos, para tato, o exemplo a seguir Exemplo - Faça uma leitura ateta do texto abaixo UMA PEQUENA HISTÓRIA DAS COPAS DO MUNDO A Copa do Mudo é um campeoato de futebol idealizado por Jules Rimet, cidadão fracês que, o ao de 98, assumiu a presidêcia da Fédératio Iteratioale de Football Associatio (FIFA), e plaejou a realização do referido certame a cada quatro aos Em 930, o Uruguai sediou e gahou a primeira copa, disputada pelas seleções de futebol de 6 países covidados As duas copas seguites foram vecidas pela seleção italiaa, jogado em seu próprio país, em 934, e a Fraça, em 938 Em razão da Seguda Guerra Mudial ( ), a quarta copa só foi realizada o ao de 950, o Brasil, sedo vecida, mais uma vez, pelos uruguaios A copa volta a ser realizada a Europa quatro aos depois, sedo o país sede a Suíça, e o vecedor a Alemaha Ocidetal À época aida existia o muro de Berlim, dividido a Alemaha as partes Ocidetal, a República Federal da Alemaha, e Orietal, a República Democrática Alemã 5

56 Em 958, a Suécia, o Brasil ergue pela primeira vez a taça de campeão, que até etão recebia o ome de Taça Jules Rimet Em 96, a realização do toreio ocorre, pela terceira vez, em um país sul-americao: o Chile Na oportuidade, o Brasil iguala-se a Uruguai e Itália e passa a ser o terceiro país a gahar duas copas do mudo A Iglaterra sedia e vece a copa de 966, marcada por uma participação decepcioate da seleção brasileira, desclassificada a primeira fase do toreio No México, em 970, o Brasil tora-se o primeiro país tricampeão mudial de futebol Normas que regiam o campeoato à época previam que ao país campeão seria cocedido o privilégio de posse da Taça Jules Rimet por quatro aos, até a realização da próxima edição do toreio, ficado assegurado o direito de propriedade sobre a mesma, ao país cujo selecioado de futebol a coquistasse por três vezes Portato, a partir daquele ao, a Taça Jules Rimet os pertece, para sempre Em 974, a Alemaha Ocidetal, como já haviam feito Uruguai, Itália e Iglaterra, sedia e vece a copa do mudo A Argetia é o quarto, e até hoje o último, país sul-americao a sediar uma copa do mudo, a qual coquista em 978 A copa volta a ter sede a Europa em 98 Em campos da Espaha, a Itália sagra-se tricampeã O México, em 986, passa a ser o primeiro país a sediar a copa do mudo mais de uma vez Na oportuidade, a Argetia coquista seu bicampeoato Em 990, a Itália, a Alemaha, agora uificada após a queda do muro de Berlim ocorrida em 9 de ovembro de 989, sagra-se tricampeã e iguala-se, em úmero de títulos, ao Brasil e à Itália Os Estados Uidos da América sediam a copa de 994, que tem o Brasil como vecedor Em 998, a seleção de futebol da Fraça, jogado em seu próprio país, coquista sua primeira copa O Brasil, que por muito pouco ão veceu a copa realizada a Fraça, volta a ser o campeão em 00, ao em que o toreio foi sediado por dois países: Japão e Coréia do Sul Em 006, a copa volta a ser realizada a Alemaha, tedo sido vecedora a seleção italiaa que, assim, coquista seu tetracampeoato Como poderíamos sitetizar, através de uma tabela, dados relevates referidos o coteúdo do texto? Se cosiderarmos que esses dados devam relacioar os locais ode foram realizadas as copas do mudo, os aos em que essas disputas futebolísticas acoteceram e os respectivos países vecedores, teremos, como produto de ossa sítese, a seguite tabela: COPAS DO MUNDO ( ) País Sede Ao de Realização Vecedor Uruguai 930 Uruguai Itália 934 Itália Fraça 938 Itália Brasil 950 Uruguai Suíça 954 Alemaha Ocidetal Suécia 958 Brasil Chile 96 Brasil Iglaterra 966 Iglaterra México 970 Brasil Alemaha Ocidetal 974 Alemaha Ocidetal Argetia 978 Argetia 5

57 Espaha 98 Itália México 986 Argetia Itália 990 Alemaha Estados Uidos 994 Brasil Fraça 998 Fraça Coréia/Japão 00 Brasil Alemaha 006 Itália Se quisermos evideciar, quatitativamete, as campahas vitoriosas das seleções acioais de futebol em copas do mudo, etão poderemos motar uma tabela que liste apeas o ome do país e o úmero de vezes em que o mesmo sagrou-se campeão do toreio Portato, depededo do objetivo que desejamos alcaçar, devemos orgaizar e relacioar os dados que trasmitam mais eficietemete ossa mesagem Terceira Atividade - Costrução de Gráficos Na primeira parte do osso estudo, mativemos cotato com as pricipais formas de gráficos e as características fudametais de cada uma delas Agora, fializado o tópico referete ao Tratameto da Iformação a Matemática para o Esio Básico I, vamos os dedicar à tarefa de costrução de gráficos a partir de iformações apresetadas por tabelas De um modo geral, se objetivamos elaborar uma represetação gráfica estruturada, compreesível e que revele com fidelidade determiado feômeo ou situação, devemos refletir, cuidadosamete, sobre: a) a atureza descritiva dos dados (comparam gradezas em uma úica classe de variável, assialam tedêcias de comportameto em fução do tempo, ou exibem a cotribuição ou a participação quatitativa de cada categoria pesquisada?) que itegram a tabela, para optar pelo tipo de gráfico a ser costruído, b) as escalas que relacioem, adequada e proporcioalmete, categorias e dados represetativos do fato observado, e c) as legedas a serem utilizadas a desigação dos elemetos costitutivos do gráfico que mereçam destaque textual Os gráficos costates do próximo exemplo são cocebidos levado-se em cota as observações apresetadas sobre o assuto Exemplo - 3 Supohamos que a partir da tabela aterior, desejemos costruir um gráfico de coluas, fazedo correspoder um cotiete o qual já teha sido realizada pelo meos uma Copa do Mudo ao úmero de vezes em que esse fato acoteceu Desevolvedo o trabalho de forma seqüecial, podemos começar criado, com base a origial, a tabela abaixo que expõe, exclusivamete, a relação desejada Cotiete No de vezes que sediou a Copa do Mudo Ásia 0 Europa 0 53

58 América do Norte 03 América do Sul 04 (Você sabia que em 00, a colua Cotiete gahará um ovo elemeto?) Como cosequêcia, podemos costruir o gráfico: Vejamos agora como costruir um gráfico de setores, objetivado evideciar a participação percetual de cada um dos cotietes acima cosiderados como sede de uma Copa do Mudo Iicialmete, calculado a participação percetual idividual, chegamos à tabela: Quatitativo de sedes da Copa do Mudo por Cotiete Ásia Europa América do Norte América do Sul Cotiete % de vezes que sediou a Copa do Mudo Ásia 5,6 Europa 55,5 América do Norte 6,7 América do Sul, Adotado o grau como medida de âgulos e utilizado os valores percetuais costates da tabela acima, estabelecemos uma proporção que os forece o valor do âgulo que defie cada setor associado a um cotiete, ou seja, 00 % ( percetual total ) percetual idividual = 360 ( âgulo que defie a circuferêcia ) α ( âgulo que defie o setor ) i, i =,, 3, 4 Dessa forma, α (âgulo que defie o setor associado à Ásia) α (âgulo que defie o setor associado à Europa) 0, 00, α 3 (âgulo que defie o setor associado à América do Norte) 60, e α 4 (âgulo que defie o setor associado à América do Sul) 80 Aqui, em cada caso, o símbolo sigifica que o resultado obtido correspode a uma aproximação (Note que α + α + α + α 360 ) 3 4 = Fialmete, com o auxílio de um trasferidor, marcamos em um círculo, a partir do seu cetro, em qualquer posição, um âgulo correspodete a 0, como feito, por exemplo, a Figura - 54

59 Na sequêcia, marcamos, por exemplo, um âgulo de aterior, como mostra a Figura - 80, adjacete ao Seguimos procededo dessa maeira, até que todos os âgulos calculados estejam defiido os setores correspodetes O produto fial do osso trabalho apreseta-se sob a forma do gráfico abaixo No Moodle Chegou a hora de você se dedicar à realização das tarefas relacioadas à costrução de gráficos, dispoíveis a plataforma Moodle Bos estudos 4 Referêcias [] CAMPOS, Marcilia A, LIMA, Paulo F, Itrodução ao Tratameto da Iformação os Esios Fudametal e Médio, em Notas em Matemática Aplicada, Vol 6, SBMAC, 005 [] LOPES, Maria Laura M L, OLIVEIRA, Jaquelie B P, PEREIRA, Pedro Carlos, PEREIRA, Suely de Oliveira, Tratameto da Iformação: Atividades para o Esio Básico, Projeto Fudão, Istituto de Matemática, Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro, 00 [3] LOPES, Maria Laura M L, OLIVEIRA, Jaquelie B P, PEREIRA, Pedro Carlos, PEREIRA, Suely de Oliveira, Tratameto da Iformação: Explorado dados estatísticos e oções de probabilidade a partir das séries iiciais, Projeto Fudão, Istituto de Matemática, Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro, 00 [4] MITTROF, I I, & SAGASTI, F (973) Epistemology as geeral system theory: A approach to the desig of complex decisio-makig experimets Philosophy of Social Scieces, 3, 7-34 [5] TIME Almaac 006, Copyright TIME Ic Home Etertaimet & Pearso Educatio [6] Portal Exame Editora Abril SA, dispoível em [7] Brasil em sítese Sítio do Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE, dispoível em [8] Estatísticas das Eleições Sítio do Tribual Superior Eleitoral, dispoível em 55