Velocidade das pedras de granizo Hailstone speed

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1 Vlocidad das pdras d granizo Hailson spd Submido ao adrno Brasiliro d Ensino d ísica rnando Lang da Silira Insiuo d ísica -URGS lang@if.ufrgs.br RESUMO. A propósio d uma sra chua d granizo m 1/10/015 no RS rcbmos o qusionamno d um rpórr sobr o alor da locidad com a qual as pdras chgaram ao solo. Nossa rsposa a s qusionamno basou-s no modlo qu aqui aprsnamos. PALAVRAS-HAVE: força d arraso quda no ar locidad rminal granizo. ABSTRAT. Afr a sr hailsorm I was inquird by a nwspapr rporr waning o know h spd wih which h hailsons arrid a h ground. To answr his qusion i was firs ncssary o dlop h modl dscribd in his papr. KEYWORDS: drag forc falling in h air rminal lociy hail. 1. INTRODUÇÃO No dia 1 d ouubro d 015 hou uma sra chua d granizo no inrior do Rio Grand do Sul spcialmn na Rgião nral no Val do Rio Pardo 1. Em alguns locais caíram pdras com amanho d um oo d galinha ou aé maiors. Auomóis aingidos iram os parabrisas azados imporans amassamnos na laaria. Inúmras lhas d cimno-amiano ou d fibrocimno foram prfuradas. No dia sguin um rpórr do Diário d Sana Maria fz conao conosco qurndo sabr com qu locidad as pdras d granizo chgaram ao solo. O objio ds rabalho é fazr uma simaia do alor da locidad da nrgia cinéica com a qual objos cadns como as pdras d granizo chgam ao solo bm como do dslocamno rical mínimo para qu locidad rminal sja aingida.. AÇÕES DO LUIDO QUE RESISTE AO MOVIMENTO DO ORPO ADENTE Quando um corpo s moimna m rlação a um fluido l sofr uma força d arraso iscoso (iscous drag forc) uma força d arraso inrcial (inrial drag forc). O númro d Rynolds (R ) é um númro adimnsional calculado pla razão da força d arraso inrcial (proporcional ao quadrado da locidad do corpo m rlação ao 1 - hp://g1.globo.com/rs/rio-grand-do-sul/noicia/015/10/chua-for--granizo-proocam-sragosm-cidads-do-inrior-do-rs.hml (acssado m 13/11/015). - Vlocidad das pdras d granizo ao chgarm ao solo! hp:// ara=qusions&id=135 (acssado m 13/11/015).

2 fluido) pla força d arraso iscoso (proporcional à locidad m rlação ao fluido) [1] como sgu: ρ..l R = (1) μ ond é o módulo da locidad do corpo m rlação ao fluido L é a dimnsão caracrísica do corpo (comprimno qu m ordm d grandza spcifiqu o amanho do corpo) ρ é a dnsidad do fluido μ é o coficin d iscosidad do fluido. A uma mpraura d 0 o a uma prssão d 10 am a dnsidad o coficin d iscosidad do ar são rspciamn iguais a 1 kg/m 3 0x10-5 kg/ m.s. S considrarmos corpos com a dimnsão caracrísica da ordm d 10 cm iso é 10x10 - m com uma locidad da ordm d 10 m/s o númro d Rynolds rsula m 10 3 indicando qu a força d arraso inrcial é árias ordns d grandza maior do qu a força d arraso iscoso. Ou sja para objos como as pdras d granizo com locidads baixas m rlação ao ar a rsisência ofrcida plo fluido é prpondranmn inrcial. ab dsacar qu quano maior for o amanho do objo qu s mo araés do ar ano mnor srá o alor da sua locidad para qu o númro d Rynolds rsul grand assim para qu os fios qu a força d arraso iscoso produz sobr l sjam muio mnors qu aquls produzidos pla força d arraso inrcial. Ou sja a rsisência proporcional à locidad ão popular nos liros d ísica Básica não m nnhuma imporância (...) para qualqur objo razoalmn grand mondo-s no ar [] como é o caso d corpos como as pdras d granizo qu caíram m ouubro d 015 no RS. 3. VELOIDADE TERMINAL DE UM ORPO ADENTE ATRAVÉS DO AR onsidrmos o caso paricular d um corpo com dimnsão da ordm d cnímro ou mais caindo no ar. A innsidad da força qu rsis à quda a força d arraso (inrcial) é dada por = Arraso ρ A () ond ρ é a dnsidad do fluido (qu no caso m paua é o ar) é um coficin adimnsional qu dpnd da forma do corpo 3 A é a ára da sção do corpo prpndicular à dirção do moimno m rlação ao fluido. Um corpo caindo araés do ar aing sua locidad rminal T quando a rsulan das forças sobr o corpo s ornar nula. Dsprzando-s o mpuxo sáico xrcido plo ar no corpo a condição para qu a locidad rminal ocorra é qu a força da graidad nha a msma innsidad da força d arraso do ar porano M g = ρ A T (3) ond M é a massa do corpo g é o alor da aclração d quda lir. 3 - A rigor o coficin ambém dpnd do númro d Rynolds. S o númro d Rynolds s siua nr o coficin é aproximadamn consan [].

3 Rprsnando por ρ a dnsidad do marial do corpo por V o su olum m-s qu assim a quação (3) pod sr rscria como ρ V g = ρ AT. (4) D (4) obém-s qu o alor da locidad rminal é ρ V T = g. (5) ρ A onsidrando qu o corpo cadn é granizo com forma aproximadamn sférica mos d acordo com [3] qu o coficin d arraso é dado por = 1 +. (6) R Admiindo-s qu a locidad rminal sja na ordm d 10 1 m/s o númro d Rynolds rsula m aproximadamn 10 4 lando a 070. (7) omo para uma sfra a razão V sobr A é quaro rços do su raio R a locidad rminal dada na quação (5) pod ns caso sr rscria como: ρ 4 T R g (8) 0 7 ρ 3 ou ainda ρ 3 R g. (9) ρ T 8 onsidrando qu a dnsidad do granizo ρ é aproximadamn 91x10 kg/m 3 qu a dnsidad do ar ρ m condiçõs normais d prssão mpraura al crca d 1 kg/m 3 a xprssão para o alor da locidad rminal para R m m rsula m T R m/s. (10) Algumas pdras d granizo mosradas m foografias nas rporagns qu documnaram a chua do dia 1/10/015 no RS chgaam a r diâmro com crca d 60 cm como s pod r na figura1.

4 igura 1 oo d um xmplar do granizo irada m 1/10/015 no RS. Assim pla quação (10) obmos ns caso uma locidad rminal com alor aproximado d 9 m/s ou crca d 110 km/h. O alor da locidad das pdras m rlação ao solo dsconsidra a ocorrência d nos fors no momno da quda pois a quação (10) sima a locidad m rlação ao ar não m rlação ao solo. 4. ENERGIA INÉTIA MÁXIMA DO ORPO ADENTE Quando o corpo qu cai aing a locidad rminal T sua nrgia cinéica K m rlação ao fluido alcança su alor máximo: M. T K máx =. (11) Lmbrando qu M = ρ.v = ρ.4πr 3 /3 subsiuindo a locidad rminal calculada m (10) obém-s para a nrgia cinéica máxima da pdra d granizo 7 4 K máx R jouls (1) ond R é raio da pdra m mros. Dsa forma a nrgia cinéica máxima d uma pdra d granizo com raio d 30 cm rsula m crca d 45 J. Os danos causados por uma pdra d granizo ao colidir com algum objo dpndm não xclusiamn da nrgia cinéica máxima qu a pdra m no momno da colisão sa d acordo com (1) crsc com a quara poência do raio da pdra. Daí nnd-s qu uma pdra pquna com amanho d uma rilha (03 cm d raio) nha um podr d danificar muio mnor (sua nrgia cinéica é dz mil zs

5 mnor) do qu as pdras rgisradas m 1/10/015. A maior pdra já mdida aingiu crca d 0 cm d diâmro 4 porano adquirindo uma locidad rminal d 190 km/h uma nrgia cinéica crca d cm zs a nrgia cinéica das pdras caídas no RS. 5. VELOIDADE E DESLOAMENTO DO ORPO ADENTE O modlo d quda com força d arraso proporcional ao quadrado da locidad coficin d arraso consan prmi obr para a locidad m função do mpo a xprssão = T (13) + ond = T / g é inralo d mpo para qu um corpo qu caíss m quda lir aingiss uma locidad com o msmo alor da locidad rminal T. O dslocamno rical y prcorrido dsd o rpouso plo corpo cadn é obido como + y = Y ln (14) ond Y = T /g é o dslocamno qu um corpo caso qu caíss m quda lir a parir do rpouso prcorrria para aingir uma locidad como o msmo alor da locidad rminal T. No Apêndic as dduçõs das xprssõs (13) (14) são aprsnadas. A figura aprsna os gráficos da locidad do dslocamno y dados plas xprssõs (13) (14). A unidad d mdida do mpo ns gráfico é a unidad d mdida da locidad é T a unidad d mdida do dslocamno é Y. As duas curas são as rprsnaçõs gráficas das xprssõs (10.A) (19.A) nconradas no Apêndic. 4 - hps://n.wikipdia.org/wiki/hail (acssado m 13/11/015).

6 igura Gráficos da locidad do dslocamno do corpo cadn. Os gráficos da figura ambém indicam qu m = 0 o corpo cadn já s moimna com uma locidad qu difr muio pouco do alor da locidad rminal (aing 96% do alor da locidad rminal). E ns insan o su dslocamno rical y(0) é crca d 5Y. Em fac dsss rsulados é lício concluir qu a pdra d granizo com 30 cm d raio qu m uma locidad rminal d aproximadamn 9 m/s praicamn aing sa locidad dpois d cair crca d 0 = 59 s. A quda nss 59 s rsula sr d apnas 5Y=5x9 /(x98)= 107 m. Para a maior pdra d granizo já rgisrada o dslocamno rical ncssário para qu ainja a locidad rminal é d aproximadamn 370 m. A formação do granizo 5 aconc m aliuds nr 3 km 6 km o crscimno das pdras s dá plo fao d qu las são susnadas ou arrmidas para cima por fors corrns ascndns d ar cujas locidads podm aingir o alor d 180 km/h. Quando as corrns ascndns não são mais suficins para susnar as pdras las s prcipiam. onform os cálculos aprsnados nos parágrafos anriors cramn uma quda com xnsão d quilômro ou maior é mais do qu suficin para qu a locidad rminal sja aingida. 5 - hps://n.wikipdia.org/wiki/hail#acors_faoring_hail (acssado m 13/11/015).

7 6. ONLUSÃO Nas disciplinas d ísica Gral d nsino médio msmo d nsino suprior a orização sobr o moimno d quda praicamn s rduz à quda lir. Pouco ou nada s discu sobr qudas com rsisência do ar nos cursos mais aançados d Mcânica raa-s usualmn apnas o moimno d quda com força d arraso proporcional à locidad modlo s qu é complamn irral para corpos cadns como os qu mos no nosso coidiano. Para rspondr ao qusionamno do rpórr sobr o granizo qu s abau no RS imos qu ulrapassar m muio a orização canônica sobr o moimno d quda. onsidramos o problma inrssan os rsulados aingidos nas dirsas sçõs do arigo podm facilmn sr rpassados para ouras siuaçõs inclusi algumas usuais nas disciplinas d laboraório do primiro smsr d um curso suprior. Lá por xmplo nconramos sfras d aço com diâmro da ordm d cnímro m suposo moimno d quda lir. Msmo dian d uma quda d um ou dois mros alunos mais críicos frqunmn nos prgunam s ralmn podmos dsprzar o arraso do ar (rcorrnmn chamado d forma imprópria ario com o ar ). A forma d ncaminhar uma rsposa a ss alunos comça por s simar a locidad rminal daqula sfra. É fácil pla xprssão (9) simar qu o alor da locidad rminal para uma sfra d aço (ρ = 78x10 3 kg/m 3 ) com 10 cm d raio é crca d 50 m/s. Uma quda d aproximadamn 0 m d alura la a sfra aingir uma locidad d crca d 60 m/s porano crca d um oiao do alor da locidad rminal. omo a força d arraso crsc com o quadrado da locidad no final dsa quda d 0 m o alor da força d arraso é sna zs mnor do qu o pso da sfra. Porano s pudrmos olrar uma aproximação infrior a uma par m sna no nosso xprimno d quda lir d fao podmos considrá-lo como quda lir. Uma prguna rcorrn diz rspio aos alors d locidads qu paraqudisas m quda lir iso é com o paraqudas fchado aingm. A xprssão (5) considrando qu a arodinâmica do paraqudisa la a 1 nos prmi simar locidads rminais para orinaçõs dirsas do corpo m rlação ao moimno do ar nr 50 m/s 100 m/s nas proximidads do solo (ond a dnsidad do ar é 1 kg/ m 3 ). Em ar rarfio d grand aliud a locidad pod sr muio maior inclusi suprsônica [4]. Agradcimnos. Agradço às profssoras Elian Vi (I-URGS) Maria risina Varrial (IM-URGS) ao profssor Rolando Ax (I-URGS) a liura críica as muias sugsõs qu prmiiram o aprimoramno ds arigo. REERÊNIAS [1] Bachlor G. K. An inroducion o fluid dynamics. ambridg: ambridg Unirsiy Prss (00). [] Aguiar.E. Rubini G. A arodinâmica da bola d fubol. Risa Brasilira d Ensino d ísica 6 97 (004). (hp:// - acssado m 13/11/015)

8 [3] Böhm H. P. A gnral quaion for h rminal fall spd of solid hydromors. Amrican Mrological Sociy. 46 n. 15: (1989). (hp://journals.amsoc.org/doi/pdf/ / %81989%9046<419%3aagett>.0.o%3b - acssado m 7/11/015 ) [4] Silira.L. A física no salo d lix Baumgarnr. Risa Brasilira d Ensino d ísica. 37 n. 306 (015). (hp:// rbf pdf - acssado m 13/11/015) Apêndic O objio ds apêndic é aprsnar as dduçõs das xprssõs (13) (14) usadas no xo principal. A Sgunda Li d Nwon aplicada ao corpo cadn no ar sofrndo força d arraso proporcional ao quadrado da locidad la a d M = M g ρ A (1.A) d dond obmos qu T saisfaz a condição: M g = ρ A T. (.A) Sndo = T /g o inralo d mpo para qu m quda lir um corpo qu par do rpouso ainja uma locidad com o msmo alor da locidad rminal T não a quação (1.A) pod sr rscria como d T =. (3.A) d T A dfinição d noas ariáis: T nos prmi rscrr (3.A) como dond d d porano ou ainda (4.A) = 1 (5.A) d = 1 1 ln + 1 = 1 d + (6.A) 1 (7.A)

9 + 1 1 = ond é uma consan.. (8.A) omo (0) = 0 não = -1 porano para um objo inicialmn m rpouso m-s: iso é: 1 = (9.A) 1+ + = (10.A) = T (11.A) + qu é a quação (13) da par principal do arigo. Esa pod ainda sr rscria sob a forma anh T ( ) =. (1.A) Para drminar o dslocamno rical y() do corpo cadn rscr-s (1.A) como d d y = T anh ( ) (13.A) Rprsnando por Y o dslocamno qu um corpo prcorrria m quda lir a parir do rpouso no início da quda aé aingir uma locidad com alor igual ao da locidad rminal T iso é duran o mpo m-s qu g Y = T = (14.A) dfinindo uma noa ariál rscr-s (13.A) como d y anh d (15.A) = (16.A) dy = anh d (17.A) ( cosh ) y = ln +. (18.A)

10 iso é omo y (0) = 0 não ( cosh ) y = ln (19.A) y = Y ln cosh (0.A) + y = Y ln (1.A) qu é a quação (14) da par principal do arigo.