EMÍLIO RODOLFO AREND ESTUDO DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS USANDO A FORMULAÇÃO ELETROCINÉTICA ASSOCIADA AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Transcrição

1 EMÍLIO RODOLFO AREND ESTUDO DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS USANDO A FORMULAÇÃO ELETROCINÉTICA ASSOCIADA AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS FLORIANÓPOLIS 009

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ESTUDO DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS USANDO A FORMULAÇÃO ELETROCINÉTICA ASSOCIADA AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Dissetação submetida à Univesidade Fedeal de Santa Cataina Como pate dos equisitos paa a Obtenção do gau de Meste em Engenhaia Elética EMÍLIO RODOLFO AREND Floianópolis, Abil de 009. ii

3 ESTUDO DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS USANDO A FORMULAÇÃO ELETROCINÉTICA ASSOCIADA AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EMÍLIO RODOLFO AREND Esta Dissetação foi julgada adequada paa obtenção do Título de Meste em Engenhaia Elética, Áea de Concentação Eletomagnetismo e Dispositivos Eletomagnéticos, e apovada em sua foma final pelo Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaia Elética da Univesidade Fedeal de Santa Cataina. Pof. Mauicio Valencia Feeia da Luz, D. Oientado Pof. ª. Kátia Campos de Almeida, Ph. D. Coodenadoa do Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaia Elética Banca Examinadoa: Pof. Mauicio Valencia Feeia da Luz, D. Pesidente Pof. Luiz Antônio Righi, D. Co-Oientado Pof. Nelson Jhoe Batistela, D. Pof. Patick Kuo-Peng, D. Jean Vianei Leite, D. iii

4 Queo ende homenagens a uma pessoa muito especial, minha queida mãe, que hoje não está mais comigo. Você mãe, apenas pelo fato de se mãe, meece todas as homenagens que eu, seu filho, com muito ogulho, podeia lhe pesta, e hoje mãe aquele que sempe ecebeu amo e cainho sem te muito paa da em toca, que lhe agadece po tudo. Obigado Mãe. iv

5 Agadecimento Gostaia de deixa meus agadecimentos a todas as pessoas que contibuíam paa a conclusão desta dissetação. Ao meu co-oientado, Pofesso Luiz Antônio Righi, que foi meu oientado na conclusão do cuso de gaduação e que me indicou ao GRUCAD. Ao meu oientado, Pofesso Mauicio Valencia Feeia da Luz, pela hona deste tabalho conjunto, a sua dedicação e apoio nesses dois anos e sua geneosidade paa com este mestando. Um agadecimento ao coodenado do GRUCAD, Pofesso Patick Kuo-Peng, pela acolhida e a bolsa de mestado junto a CAPES. Aos Pofessoes membos da banca examinadoa, Pofesso Nelson Jhoe Batistela e o Engenheio Eleticista Jean Vianei Leite, contibuindo assim paa conclusão da dissetação, deixando aqui também um agadecimento e satisfação a todos os Pofessoes do GRUCAD pela opotunidade de esta inseido neste gupo de pesquisa. Queo também agadece a todos os colegas doutoandos, mestandos e bolsistas que de alguma maneia me auxiliaam dieta ou indietamente, manifestando assim, um agadecimento especial a um ex-mestando, Ricado Spedemann. Um agadecimento a Celly Dulcema Melo secetáia executiva do GRUCAD, e ao Wilson Silva Costa secetáio da Pós-Gaduação, a ambos o agadecimento pela dedicação. E um agadecimento especial ao meu pai, que sempe me apoiou e incentivou de todas as fomas possíveis este meu sonho. A minha esposa que se dedica inteiamente a mim, me acompanhando e deixando seu tabalho paa vive o meu sonho, a ela só me esta agadece. Obigado. v

6 Resumo da Dissetação apesentada à UFSC como pate dos equisitos necessáios paa a obtenção do gau de Meste em Engenhaia Elética. ESTUDO DE ATERRAMENTO EM BAIXAS FREQUÊNCIAS USANDO A FORMULAÇÃO ELETROCINÉTICA ASSOCIADA AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Emílio Rodolfo Aend Abil/009 Oientado: Mauicio Valencia Feeia da Luz, D. Co-Oientado: Luiz Antônio Righi, D. Áea de Concentação: Concepção e Análise de Dispositivos Eletomagnéticos. Palavas-chave: Resistência de ateamento, baixas feqüências, método de elementos finitos, fomulação eletocinética. Númeo de Páginas: 80. RESUMO: Este tabalho aboda o desenvolvimento e a implementação de uma modelagem em baixas fequências de sistemas de ateamento composto po uma única haste vetical. A modelagem do sistema de ateamento é ealizada usando uma fomulação eletocinética em potencial escala associada ao método de elementos finitos. A geometia da haste pemite efetua uma análise axi-simética do poblema. O solo onde se enconta a haste foi estatificado em camadas hoizontais de esistividades distintas. A implementação da modelagem foi ealizada usando os softwaes Labview, Gmsh e Matlab. A validação das feamentas numéicas desenvolvidas neste tabalho foi obtida utilizando-se equações analíticas paa o cálculo da esistência de ateamento. Os valoes da esistência de ateamento obtidos com o método de elementos finitos foam compaados com os esultados analíticos. As compaações justificam o uso do método de elementos finitos paa modela sistemas de ateamento em baixas fequências. vi

7 Abstact of Dissetation pesented to UFSC as a patial fulfillment of the equiements fo the degee of Maste in Electical Engineeing STUDY OF GROUNDING ON LOW FREQUENCIES USING THE ELECTROKINETIC FORMULATION ASSOCIATED WITH THE FINITE ELEMENT METHOD Emílio Rodolfo Aend Apil/009 Adviso: Mauicio Valencia Feeia da Luz, D. Co-Adviso: Luiz Antônio Righi, D. Aea of Concentation: Electomagnetism and Electomagnetic Devices. Keywods: Gounding systems, low fequencies, finite element method, electokinetic fomulation. Numbe of Pages: 80. ABSTRACT: This wok deals with the development and implementation of a gounding modeling fo low fequencies. The gounding system is composed by a single vetical od. The gounding system modeling is pefomed using a scala potential electokinetic fomulation associated with the finite element method. The od geomety allows to pefom the axi-symmetic analysis of the poblem. The modeling consides the soil with hoizontal multilaye. Each laye has a distinct esistivity. The modeling implementation is pefomed using Labview, Gmsh and Matlab softwaes. The validation of the simulation tools developed in this wok is pefomed using analytical equations fo the gounding esistance calculation. The gounding esistance obtained by finite element method is compaed with the analytical one. This compaison justifies the use of finite element method to model gounding systems in low fequencies. vii

8 SUMÁRIO pg Agadecimento...v RESUMO...vi ABSTRACT....vii Lista de Símbolos...x Lista de Figuas e Tabelas...xii CAPÍTULO - Intodução Geal.... Posicionamento do Poblema... CAPÍTULO - Fundamentos Básicos do Ateamento Elético...8. Ateamento Elético em Baixas Feqüências...8. Conceitos Básicos Sobe Sistemas de Ateamento Conceitos de Seguança: Tensão de Toque e Tensão de Passo Sistemas de Ateamento - Resistividade do Solo....4 Resistência de um Sistema de Ateamento Cálculo Analítico da Resistência de Ateamento Métodos de Medição da Resistência de Ateamento e da Resistividade do Solo Medição da Resistividade - Método de Wenne Medição da Resistência - Método da Queda de Potencial....6 Consideações Finais...3 CAPÍTULO 3 - Equações de Maxwell e o Método de Elementos Finitos Intodução Equações de Maxwell na Foma Quase-Estática Leis do Compotamento dos Mateiais Condições do Contono - Condições Homogêneas Condições do Contono - Tansmissão dos Campos Gandezas Globais do Tipo Fluxo e do Tipo Ciculação Modelo Eletocinético Fomulação Eletocinética em Potencial Escala Elético Notações, Fómulas de Geen e Espaços Funcionais Foma Faca da Fomulação Eletocinética Método de Elementos Finitos - Método de Galekin Fomulação do Sistema Axi-Simético Consideações Finais...37 CAPÍTULO 4 - Abodagem dos Aspectos Computacionais Intodução Pé-pocessado - Gmsh Pocessado - Matlab Pós-pocessado - Gmsh Pogamação - Gmsh - Labview - Matlab - Labview - Gmsh Abodagem Sequencial de Pogamação Pogamação do Módulo do Pocessado - Matlab...45 viii

9 4.8 Inteface de Pogamação - Matlab - Labview Inteface Labview - Gmsh Consideações Finais...48 CAPÍTULO 5 - Resultados Obtidos Intodução Haste Vetical Resistência de Ateamento - Solo Homogêneo Resistência de Ateamento - Resistividades Distintas Consideações Finais...58 CAPÍTULO 6 - Conclusão...59 ANEXO A - PROGRAMAÇÃO NO LABVIEW...6 A. Labview - Instumentação Vitual...6 A.. Aquivo de Inteface Gmsh - Labview: wok.vi...6 A.. Aquivo de Pogamação no Labview - wok.vi...66 A. Aquivo de Pogamação no Matlab - Potencial Elético...67 A.3 Aquivo de Pogamação no Labview - wok4.vi...7 A.3. Aquivo de Pogamação no Labview - wok6.vi...74 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...77 ix

10 Lista de Símbolos ρ e Resistividade elética [Ω.m] Campo elético [V/m] j Densidade de coente [A/m ] j s Densidade de coente sobe a supefície Σ ρ V ρ s I V p Densidade volumética de caga Densidade de caga sobe a supefície Σ Coente elética na supefície da haste [A] Potencial elético em um ponto qualque [V] RT L (Ω) L (Ω) H(div,Ω) H(gad,Ω) H(ot,Ω) R Σ h b Resistência de ateamento [Ω] Espaço das funções escalaes de quadado integável sobe Ω Espaço das funções vetoiais de quadado integável sobe Ω Espaço do opeado div Espaço do opeado gad Espaço do opeado ot Resíduo Supefície ente meios condutoes Campo magnético [A/m] Indução magnética [T] d Indução elética [C/m ] Ψ Φ t μ ε σ v Ω Γ Fluxo magnético [Wb] Foça magnetomotiz [Ae] Deivada no tempo Pemeabilidade elética [H/m] Pemissividade elética [F/m] Condutividade elética [S/m] Potencial escala elético [V] Domínio de estudo Fonteia do domínio Ω Γ Fonteia associada à fonteia de efeência B x

11 Γ Fonteia de efeência A n Ф t ch h n Campo de vetoes unitáios nomal à supefície Função de intepolação Raio de tea [m] Compimento da haste de ateamento [m] Raio da haste de ateamento [m] s L Áea lateal do cilindo [m ] s B Áea da base do cilindo [m ] gad ot div Gadiente Rotacional Divegente. Poduto escala Poduto vetoial xi

12 Lista de Figuas e Tabelas páginas Figua. - Mapa dos Climas do Basil... 9 Figua. - Tensão de Toque... 0 Figua.3 - Tensão de Passo... Tabela. - Faixa de Valoes Usuais de Resistividade de Cetos Tipos de Solo... 3 Tabela. - Fatoes que Afetam a Resistividade do Solo... 3 Figua.4 - Efeito da Umidade na Resistividade do solo Figua.5 - Compotamento da Resistividade da Água em Função de Tempeatua... 4 Figua.6 - Haste vetical em solo unifome Figua.7 - Solo com Duas Camadas de Resistividade Distintas... 9 Figua.8 - Expessões paa Configuações Típicas de Eletodos de Ateamento Figua.9 - Configuação das Quato Hastes Cavadas no Solo.... Figua.0 - Método de Medição da Resistência de Ateamento Figua. - Resistência de Ateamento - Método da Queda de Potencial... 3 Figua 3. - Domínio estudado: (a) gandezas eléticas e (b) gandezas magnéticas... 7 Figua 3. - Supefície Σ ente dois meios contínuos Ω e Ω... 8 Figua 3.3a - Domínio de estudo Figua 3.3b - Domínio discetizado Figua Repesentação das funções de intepolação Figua Elemento tiangula de pimeia odem Figua 4. - Aquivo de Saída do Pé-pocessado Gmsh Figua 4. - Aquivo que Define a Geometia do Sistema Figua Sepaação das Coodenadas de Inteesse: Paa Diichlet (Coodenadas Vemelhas) e Numeação Global (Coodenadas Azuis)... 4 Figua Domínio de Cálculo da Haste de Ateamento Figua Sequência de Pogamação Figua Painel fontal wok Figua Distibuição da Densidade de Coente na Haste de Ateamento Figua Aquivo Potencial.msh Figua 5. - Malha do Sistema de Ateamento do Domínio Axi-Simético xii

13 Figua 5. - Sistema de Coodenada paa um Sistema Axi-simético... 5 Figua Distibuição do Potencial - Solo Homogêneo Figua 5.4a - Distibuição de Potencial na Supefície do Solo: = 0,4 [m] Figua 5.4b - Distibuição de Potencial na Supefície do Solo: = 0,8 [m] Figua Distibuição do Campo Elético nas Poximidades da Haste Tabela 5. - Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Raio da Haste Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Raio da Haste Tabela 5. - Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Compimento da Haste Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Compimento da Haste Tabela Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade do Solo Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade do Solo - Solo Composto po uma Única Camada Figua Distibuição do Potencial Elético paa duas Camadas de Solos com Resistividades Distintas Tabela Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade da Segunda Camada de Solo Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Vaiação da Resistividade da Segunda Camada de Solo Figua A. - wok.vi Figua A. - Pogamação no Diagama de Blocos do Labview: wok.vi Figua A.3 - Coodenadas dos Nós Figua A.4 - Numeação Global Figua A.5 - Condições de Contono de Diichlet Figua A.6 - Pogamação no Diagama de Blocos do Labview: wok.vi Figua A.7 - Condutividade das Supefícies (Solo e Haste) Figua A.8 - (a) Potencial Elético, (b) Campo Elético na Dieção x e (c) Campo Elético na Dieção y... 7 Figua A.9 - Pogamação no Diagama do Labview: wok4.vi xiii

14 Figua A.0 - Densidade de Coente Figua A. - Aquivo de Entada do wok6.vi Figua A. - Sepaa as Densidades de Coente na Áea (Lateal e da Base) da Haste Figua A.3 - Somatóio das Densidades de Coente dos Elementos Tiangulaes na Boda Lateal da Haste Figua A.4 - Somatóio das Densidades de Coente dos Elementos Tiangulaes na Base da Haste xiv

15 CAPÍTULO Intodução Geal. Posicionamento do Poblema A teoia de Maxwell pemite desceve o conjunto dos fenômenos eletomagnéticos. A pati das equações de Maxwell, consideadas como postulados podem-se deduzi todas as leis clássicas e outos fenômenos podem se pevistos. Do mesmo modo como não se pode entende com pofundidade os fenômenos mecânicos sem conhece as leis de Newton do movimento, não se pode avança suficientemente no estudo da teoia dos fenômenos eléticos e magnéticos sem entende bem as equações de Maxwell. A aplicação deste conjunto de equações de maneia analítica é estita a casos paticulaes, e até mesmo inexplicáveis em outos. Este fato foi um dos que contibuíam paa que alguns poblemas em eletomagnetismo fossem modelados e estudados po cicuitos eléticos equivalentes como, po exemplo, o estudo de máquinas eléticas. A geometia e a distibuição das gandezas eletomagnéticas nos casos eais, a inteface ente meios com caacteísticas difeentes e os fenômenos não lineaes ocasionam a complexidade. Em conseqüência, tona-se necessáio ecoe aos métodos numéicos, apelando às técnicas de discetização. Estes métodos tansfomam as equações de deivadas paciais em sistemas de equações algébicas cuja solução fonece uma apoximação dos campos eletomagnéticos. Com o advento dos computadoes digitais, métodos numéicos pudeam se usados paa esolve poblemas de eletomagnetismo. Ente eles, o método de elementos finitos (MEF) é um dos mais utilizados, pois se adapta facilmente às geometias complexas. Ele é baseado em uma dupla discetização: a do domínio geomético estudado e aquela dos campos escalaes e vetoiais incógnitos. A pecisão da solução obtida fonece uma apoximação das gandezas locais que são os campos magnéticos e eléticos. Estas gandezas são exploadas paa detemina as gandezas globais, tais como fluxo, coente, tensões, etc. Um exemplo de aplicação das equações de Maxwell é o sistema de ateamento elético. Um ateamento elético consiste em uma ligação elética poposital de um

16 sistema físico (elético, eletônico ou copos metálicos) ao solo. Este se constitui basicamente de tês componentes []: a) As conexões eléticas que ligam um ponto do sistema aos eletodos; b) Eletodos de ateamento (qualque copo metálico colocado no solo); c) Tea que envolve os eletodos. A foma, assim como a disposição geomética dos eletodos no solo são as mais vaiadas, de acodo com a aplicação. Destacam-se as hastes veticais, usadas pincipalmente quando as camadas mais pofundas do solo têm meno esistividade, e que são muito páticas, po seem de fácil cavação. Os eletodos hoizontais, enteados usualmente a uma pofundidade da odem de 0,5 metos [m], são usados pincipalmente quando a maio peocupação é o contole do gadiente de potencial na supefície do solo []. Paa avalia a natueza do ateamento deve se consideado que, em geal, uma conexão a tea apesenta esistência, capacitância e indutância, cada qual influindo na capacidade de condução de coente paa a tea. A pespectiva na qual o sistema enxega o ateamento pode se expessa atavés de sua impedância []. Tal impedância de ateamento pode se conceituada como oposição ofeecida pelo solo à injeção de uma coente elética no mesmo, atavés dos eletodos, e se expessa quantitativamente po meio da elação ente a tensão aplicada ao ateamento e a coente esultante. Além da deteminação da impedância de ateamento, outo aspecto impotante na análise de sistemas de ateamento é o conhecimento da distibuição do potencial elético no solo. Caso haja um defeito a tea, no sistema de potência, a coente de defeito fluiá dos condutoes que fomam o sistema de ateamento da subestação paa solo, povocando uma distibuição de potencial não unifome no mesmo. Devido a esta não unifomidade da distibuição de potencial no solo, pessoas que estejam na subestação, ou em suas poximidades, podem fica sujeitas a difeenças de potencial elevadas. Ao dimensiona o sistema de ateamento de uma subestação, o pojetista deve fazê-lo de foma que a posição dos condutoes seja tal que o potencial poduzido no solo venha a se o mais unifome possível e não exceda aos potenciais toleáveis pelo Homem. Também deve cuida paa que a seção dos condutoes do efeido sistema seja adequada, paa pode dissipa no solo a coente de defeito sem que os mesmos sofam danos. A distibuição do potencial elético é tão impotante que a noma IEEE-80 [] define tês conceitos de potencial:

17 3 i. Potencial de passo: é a difeença de potencial a que uma pessoa fica submetida quando caminha no inteio, ou nas poximidades de uma subestação, no instante em que ocoe um defeito a tea no sistema de potência; ii. Potencial de toque ou de contato: é o potencial ao qual uma pessoa fica sujeita quando toca uma estutua ateada no instante em que ocoe um defeito a tea no sistema de potência; iii. Potencial tansfeido: é um caso paticula do potencial de toque. Este potencial suge quando uma pessoa, que esta dento da áea abangida pela subestação, toca uma estutua ateada em um ponto emoto, ou quando uma pessoa que está em um ponto emoto em elação à subestação toca um conduto ou estutua conectada ao sistema de ateamento. O ateamento pode assumi configuações muito divesificadas, confome a natueza da função que o mesmo pode desempenha no sistema. Em geal, as aplicações estão associadas a dois fatoes fundamentais: a) Desempenho do sistema ao qual o ateamento está conectado como, po exemplo, o uso do solo como conduto efetivo de etono; b) Questões de seguança (de sees vivos) e poteção (de equipamentos). Neste caso, o ateamento pemite o escoamento paa a tea de cagas ou de coentes de descagas e pomove a distibuição segua de potenciais eléticos na supefície do solo, quando é injetada coente em seus eletodos. Além destes fatoes, identificam-se outas aplicações específicas como, po exemplo, a poteção galvânica de pates metálicas enteadas no solo e geologia []. Paa baixas fequências os efeitos eativos são muito eduzidos e a impedância de ateamento passa a se consideada como a esistência de ateamento. A esistência de ateamento é dietamente popocional à esistividade do solo em que os eletodos estão colocados. Os fatoes que influenciam a esistividade do solo e, consequentemente a esistência de ateamento são []: tipos de solo, umidade do solo, concentação e sais dissolvidos na água, capacidade do solo, ganulometia do solo, tempeatua do solo e a estutua geológica-anisotopia-estatificação do solo. É impotante essalta que a composição do solo é gealmente estatificada em váias camadas com fomação difeente. Além disso, o solo apesenta caacteísticas

18 4 anisotópicas como, po exemplo, quando camadas mais pofundas afloam em locais deteminados, ocasionando descontinuidades na supefície. Assim, a esistividade pode vaia dependendo da dieção consideada e, paa tata do solo de deteminado local, passa-se a atibui o valo médio das esistividades das divesas pates que o compõem, denominada esistividade efetiva deste solo []. Atualmente, a modenização do sistema de ateamento elético de potência é decoente dos sutos atmosféicos, um malha eficaz de ateamento tona-se necessáia paa contona tais poblemas de intefeência eletomagnética, danos e iscos em equipamentos e pessoas físicas. O sistema de ateamento (haste vetical) foma um caminho conduto paa a coente de suto. Potanto, o sistema de ateamento tende a obte a mais baixa esistência de solo paa as coentes de falta, mantendo os níveis de coentes em uma faixa segua e popocionando o desenvolvimento de equipamentos adequados e sensíveis a estas faltas de coentes. Sendo assim, pesquisas e tabalhos elacionados a sistemas de ateamento são encontados na liteatua (livos e atigos). Em [3] foi feito um estudo de como medi com pecisão a esistência de ateamento das subestações, onde o fato fundamental foi gaanti a seguança da opeação de sistemas de potência. Em [4] popõe um modelo de estudo paa veificação da ionização do solo em tono de um eletodo. A esistência de ateamento é obtida atavés de um balanço enegético da ionização do solo. Um modelo analítico é expesso paa estima a esistividade do solo na egião de ionização e seus esultados são compaados com esultados expeimentais. Em [5] o atigo apesenta um novo método de cálculo da esistência de ateamento paa malhas de ateamento hoizontais, em duas camadas de solo. Seguindo na mesma linha de pesquisa do atigo [5], em [6] é apesentado uma nova foma paa o cálculo da esistência de ateamento utilizando o método dos elementos finitos. Os esultados são compaados com dados expeimentais ou deteminados po outos atigos. A vantagem do método poposto é que pemite a análise de sistemas siméticos e não siméticos de foma unifome em duas e múltiplas camadas de solo. Também são encontadas pesquisas voltadas paa o tatamento químico do solo, ou seja, atavés da mistua de algum eagente químico com os componentes que constituem o solo (água e sal), foçando a diminuição da esistividade do solo e consequentemente da esistência de ateamento. Em [7] é estudado um agente (um

19 5 subpoduto do aço), que mistuado em popoções adequadas com a água, cimento e sal, foça a edução da esistividade do mateial, o qual esta sendo submetido a esta mistua. O GRUCAD (Gupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletomagnéticos) da Univesidade Fedeal de Santa Cataina tem tabalhado na modelagem de ateamento, e publicou alguns atigos na áea: em [8][9] os atigos tatam da modelagem de um sistema de ateamento em baixa fequência paa haste vetical, em solos estatificados em uma, duas e tês camadas. O cálculo das gandezas globais tais como tensão e coente elética é obtido atavés da fomulação eletocinética usando o potencial escala elético associado ao método de elementos finitos. Seguem nesta linha de pesquisa [0][], que também utilizam o conceito de potencial flutuante paa o cálculo das gandezas globais, associado ao método de elementos finitos. Em [] é utilizada uma metodologia computacional paa analisa a esistividade do solo de múltiplas camadas, pelo método de Wenne enfatizando o cálculo da esistência de ateamento com pecisão. Em [3][4][5] destaca-se a impotância de um dimensionamento adequado do sistema de ateamento como fato de qualidade e seguança indispensáveis em qualque empeendimento. Em [5] a modelagem do sistema de ateamento é ealizada atavés da alimentação no ponto de defeito po fonte de coente, difeenciando-se de [8][9][0][], onde a fonte de alimentação é imposta atavés de tensão. Este tabalho usa a metodologia da fonte de tensão, sendo que paa o cálculo da esistência de ateamento é aplicado à integação de supefície no eletodo de ateamento. Os tabalhos [8][9][0][] usam o conceito de potencial flutuante, onde a esistência de ateamento é obtida atavés de uma integal de volume. Em [6] cita-se as limitações das metodologias empegadas que estingem as análises nos ateamentos atuais que são cecados de incetezas. E po fim em [7] são mencionadas as dificuldades e as fontes de eo, pois não se tem um paâmeto específico paa um deteminado solo e sim estimativas de faixas de valoes da esistividade. Neste tabalho são aplicadas as equações de Maxwell em egime estático paa um sistema de ateamento composto po uma única haste vetical. Devido à geometia da haste, o poblema é esolvido paa um sistema axi-simético usando uma fomulação eletocinética em potencial escala elético associado ao método de elementos finitos.

20 6 Paa defini a geometia da malha do sistema de ateamento foi utilizado um softwae Gmsh [8]. O Gmsh é um geado de malha de elementos finitos tidimensional com pé-pocessado e pós-pocessado. Neste tabalho, o Gmsh é usado paa desenha a geometia, obte a malha e exploa os esultados do solve. Após estes pocessos é desenvolvida uma inteface ente o Gmsh e o ambiente Labview. No início do tabalho o objetivo ea desenvolve todo o cálculo no ambiente Labview. Todavia, duante a execução do tabalho, obsevou-se que o sistema Labview necessita de memóia computacional significativa paa solução de sistemas lineaes de gande pote. Sendo assim, o pocesso de aplicação do método de elementos finitos paa obtenção do potencial e campo elético foi desenvolvido no ambiente Matlab (atavés da aplicação de matizes espasas). A solução do sistema linea foi ealizada com a aplicação do método iteativo ICCG (Incomplete Cholesky Conjugate Gadient). Seguindo a linha do desenvolvimento poposto, inicialmente no ambiente Labview, ocoe novamente uma inteface, desta vez ente o Matlab e o Labview. Nesta inteface são analisados os dados do potencial e campo elético calculados no Matlab, que posteiomente são utilizados no cálculo da esistência de ateamento. Finalizando os pocessos de cálculo no ambientes acima citados, é desenvolvido no ambiente Labview um aquivo (pós-pocessado). Este aquivo pemite a visualização do potencial e do campo elético no Gmsh (pós-pocessado). Os esultados obtidos atavés do método numéico são compaados com os esultados obtidos analiticamente. Este tabalho se divide em cinco capítulos. No atual capítulo é apesentada uma intodução geal. No capítulo são apesentados os fundamentos básicos do ateamento elético. Nesse capítulo são apesentas as equações analíticas da esistência de ateamento paa uma haste vetical consideando o solo homogêneo e o solo composto po duas camadas com esistividades distintas. No capítulo 3 apesentam-se à fomulação eletocinética (foma fote e faca) e a implementação do método dos elementos finitos em duas dimensões paa sistemas axisiméticos com elementos tiangulaes de pimeia odem. No capítulo 4 é detalhada toda a pate de pogamação: a inteface Gmsh - Labview; Labview - Matlab - Gmsh. No capítulo 5 são apesentados os esultados compaativos ente a metodologia utilizada no Gmsh, Labview e Matlab com os esultados analíticos.

21 7 No capítulo 6 é ealizada uma análise dos esultados obtidos com o tabalho e são fonecidas algumas sugestões paa tabalhos futuos. Po fim, no Anexo A são apesentados os pogamas desenvolvidos no decoe deste tabalho.

22 8 CAPÍTULO Fundamentos Básicos do Ateamento Elético. Ateamento Elético em Baixas Fequências Nas seções subsequentes são apesentados os conceitos fundamentais sobe ateamentos eléticos em baixas feqüências: tensão de passo e tensão de toque, esistividade do solo, fatoes que afetam a esistividade do solo, cálculo da esistência de ateamento (equacionamento analítico), métodos de medição da esistência de ateamento e esistividade do solo. Estes conceitos são aplicados e analisados paa o estudo de um ateamento caacteizado po uma haste vetical (eletodo de ateamento).. Conceitos Básicos Sobe Sistemas de Ateamento A análise dos sistemas de ateamento é de impotância tanto paa as companhias de enegia elética (fonece um sistema confiável e de qualidade) como paa a população em âmbito geal (seguança). Atualmente, a modenização dos sistemas de ateamento é decoente dos sutos tansitóios eletomagnéticos (impulsivo e oscilatóio) e os cutoscicuitos. Entende-se po cutos-cicuitos quando da ocoência de um defeito a tea em um sistema de potência opeando em fequência industial (baixa fequência). As fequências ocasionadas pelos tansitóios impulsivos e oscilatóios têm como oigem, espectivamente, as descagas atmosféicas e as manobas de chaveamento. O ateamento é obigatóio e a baixa qualidade ou sua falta pode povoca queima de equipamentos e iscos à população. Assim, uma malha eficaz de ateamento tona-se necessáia paa contona tais poblemas de intefeência eletomagnética, danos a equipamentos e iscos à população. O ateamento é a ate de se faze uma conexão com a tea. Esta conexão é na ealidade a inteface ente o sistema de ateamento e toda a tea, e é po esta inteface que é feito o contato elético ente a tea e o sistema de ateamento. Atavés desta conexão, fluião sutos tansitóios eletomagnéticos e os cutos-cicuitos. Suas caacteísticas e

23 9 eficácia devem satisfaze algumas pescições de seguança. Os objetivos pincipais do ateamento são [9]: Obte uma esistência de ateamento mais baixa possível, paa coentes de falta a tea; Popociona um caminho de escoamento paa tea de descagas atmosféicas; Mante os potenciais poduzidos pelas coentes de falta, dento de limites de seguança de modo a não causa fibilação do coação; Faze com que equipamentos de poteção sejam mais sensibilizados e isole apidamente as falhas a tea. Confome oientação da ABNT, o valo da esistência de ateamento deve atende as condições de poteção e de funcionamento da instalação (0 Ohms - valo máximo). Este valo da esistência também vai depende do tipo de solo em que se enconta o ateamento, ou seja, fatoes como: umidade, tempeatua e composição geológica do solo, influenciam dietamente em sua esistividade. Potanto, um pojeto de ateamento na egião sul e sudeste do Basil, onde o clima é consideado tempeado/supe úmido, difee de um pojeto de ateamento na egião nodeste, onde o clima é semi-áido/seco. A Figua. mosta o mapa dos climas do Basil. Figua. - Mapa dos Climas do Basil [0].

24 0.. Conceitos de Seguança: Tensão de Toque e Tensão de Passo A conexão de um sistema de ateamento conectado a tea, deve pemiti a passagem da coente de falta (caso haja este defeito) atavés do eletodo de ateamento. Esta coente fluiá pelo conduto de ateamento paa o solo, povocando uma distibuição de potencial não unifome. Caso ocoa uma falha na isolação do sistema de ateamento, a coente de falta pode pecoe o copo de uma pessoa que eventualmente esteja em contato a esta estutua de ateamento ou em suas poximidades. Do ponto de vista de seguança podem-se cita dois conceitos paa o contole de tensão (distibuição de potencial no solo), visando à seguança de pessoas que cicundam póximas de um sistema de ateamento. a) Tensão de toque: máxima difeença de potencial ente a mão e o pé que uma pessoa física é submetida quando toca em uma estutua ateada no instante em que ocoe o fluxo de coente de falta []. A Figua. mosta este conceito. Figua. - Tensão de Toque [].

25 b) Tensão de passo: máxima difeença de potencial ente os pés (distância de meto ente os mesmos), quando uma pessoa está póxima à egião de ateamento no instante que ocoe o fluxo de coente de falta []. A Figua.3 mosta este conceito. Figua.3 - Tensão de Passo []. Figua.3; Nas Figuas. e.3, tem-se: I = coente poduzida pelo tansitóio elético na estutua metálica em questão; R 0, R e R = são valoes de esistência do solo na egião indicada; R = esistência de contato do pé da pessoa com o solo; f R k = esistência das penas do indivíduo Figua. e dos membos e tonco na V V toque = potencial de toque; = potencial de passo. passo Nestes dois casos (tensão de toque e de passo), se houve uma falha na isolação do sistema de ateamento, ciculaá uma coente pelo copo humano [3]. De acodo com [3] a coente máxima admissível pelo copo humano é a maio coente que pecoe o copo humano passando pelo coação sem causa fibilação venticula. Nestes dois casos,

26 a tensão de toque é a que eque mais cuidados, pois a coente enta pelo baço, passa pelo tonco e sai pelos pés, podendo causa a fibilação venticula (paada cadíaca). Homem. Em [][3] popõe-se expessões paa avalia a coente máxima admissível pelo 0, 6 I adm =, (.) t 0, 57 I adm =, (.) t onde, t é tempo de duação do choque em segundos. As equações. e. fonecem os valoes da coente admissível que cicula pelo copo humano. O que vai detemina se a coente povoca ou não uma paada cadíaca é o tempo de contato do copo humano com a estutua metálica. Em [][3] é definido que no intevalo de 30 milisegundos à 3 segundos, pessoas com massa copoal de 50 kilogamas efeente a constante empíica (0,6) na equação. e paa massa copoal de 70 kilogamas efeente a constante empíica (0,57) na equação., não ocoe a fibilação venticula em 99,5% dos casos..3 Sistemas de Ateamento - Resistividade do Solo O que detemina a esistividade são os tipos específicos de solo. A esistividade é uma popiedade física de cada substância, sendo medida e tabelada paa divesos mateiais. O sistema de ateamento tem uma elação dieta com os paâmetos que influenciam a esistividade do solo: tipos de solos, composição geológica, umidade, salinidade, tempeatua, ente outos. A esistividade do solo vaia amplamente de um tipo de solo paa outo. A Tabela. mosta esta vaiação da esistividade paa difeentes tipos de solos. Esta vaiação da esistividade de um local paa outo é devido à fomação geológica dos solos. A vaiação em um mesmo local é devido à pofundidade das camadas estatificadas do solo, pois confome aumenta à pofundidade do solo a esistividade tende ao infinito, ou seja, o solo adquie caacteísticas de um mateial isolante.

27 3 Tabela. - Faixa de Valoes Usuais de Resistividade de Cetos Tipos de Solo []. Tipos de Solos Resistividade (Ω. m) Lama 5 a 00 Húmus 0 a 50 Limo 0 a 00 Agilas 80 a 330 Tea de jadim 40 a 480 Calcáio fissuado 500 a 000 Calcáio compacto 000 a 5000 Ganito 500 a 0000 Aeia comum 3000 a 8000 Basalto 0000 a Outos fatoes que influenciam na esistividade do solo, são mostados na Tabela Tabela. - Fatoes que Afetam a Resistividade do Solo []. Fato Faixa de Resistividade (Ω. m) Composição geológica 5 a 0000 Umidade 4 a 0000 Salinidade a 07 Tempeatua 7 a 3300 A composição geológica do solo (não homogêneo) é epesentada aqui neste tabalho em divesas camadas com difeentes pofundidades e esistividades. O compotamento do sistema de ateamento quando submetido a uma elevada coente elética é essencialmente eletolítico, ou seja, po aquecimento nas egiões póximas do eletodo de ateamento ocoe uma ionização do solo. Assim, a esistividade é afetada pela quantidade de água e sais existente no solo. Em [][9][], encontam-se gáficos epesentando o efeito da diminuição da esistividade em decoência do aumento da pocentagem da umidade no solo. A Figua.4 ilusta a esistividade elética do solo em função da umidade.

28 4 Figua.4 - Efeito da Umidade na Resistividade do solo [4]. A água pua é po natueza um isolante efetivo, mas devido à pesença de sais mineais, o pocesso da ionização do solo (aquecimento) tona a água um meio conduto de coente elética. Nas efeências [][9][] são apesentadas tabelas de valoes da esistividade elética em função da concentação de sais mineais do solo. Em elação à influência da tempeatua, destacam-se dois aspectos impotantes: a diminuição da umidade do solo (Figua.4), esultando o aumento da esistividade devido à evapoação ocasionada po elevadas tempeatuas e a influência do compotamento da esistividade da água em função da tempeatua, na qual a esistividade cesce confome a tempeatua tende a diminui [9]. A Figua.5 mosta essa vaiação. Figua.5 - Compotamento da Resistividade da Água em Função de Tempeatua [9].

29 5.4 Resistência de um Sistema de Ateamento A esistência de ateamento paa um sistema de poteção tem a função de dissipa no solo a coente de falta. Este valo de esistência deve se o mais baixo possível, ou seja, quanto meno fo à esistência de ateamento melho seá o sistema de poteção. A noma NBR 540 fixa um valo máximo paa esistência de ateamento em 0 Ohms, em alguns casos onde a esistividade do solo é elevada, é impossível obte uma esistência de 0 Ohms. Potanto, é necessáio faze uma medição da esistividade do solo, paa pode avalia o valo da esistência de ateamento possível paa o solo específico. Alguns equisitos da noma NBR 540 paa medição de campo [5]: Os eletodos e outas pates metálicas não devem se deteioa po efeito de coosão eletolítica; Os componentes do sistema de ateamento devem supota os esfoços témicos, temomecânicos e eletomecânicos pevistos, além de possui esistência mecânica compatível com as influências extenas; O valo da esistência de ateamento não deve se modifica substancialmente ao longo do tempo, mesmo consideando as vaiações sazonais de tempeatua e umidade do solo; A esistência de ateamento pode se calculada ou medida..4. Cálculo Analítico da Resistência de Ateamento A deteminação da expessão matemática da esistência de ateamento vaia com a configuação do eletodo. Esta esistência é definida pela elevação do potencial aplicado ao sistema de ateamento e a coente esultante. Duas aplicações se destacam na disposição geomética dos eletodos no solo: ) a disposição de hastes veticais usadas pincipalmente quando as camadas mais pofundas têm esistividades menoes e devido ao fato de sua implementação se de fácil cavação; ) as hastes hoizontais que são empegadas devido à peocupação do contole do gadiente de potencial na supefície.

30 6 Paa se avalia a natueza do ateamento, deve se consideado que, em geal, uma conexão a tea apesenta esistência, capacitância e indutância, cada qual influindo na capacidade de condução de coente paa a tea. A pespectiva na qual o sistema enxega o ateamento pode se expessa atavés de sua impedância. Tal impedância de ateamento pode se conceituada como a oposição ofeecida pelo solo à injeção de uma coente elética no mesmo, atavés dos eletodos, e se expessa quantitativamente po meio da elação ente a tensão aplicada ao ateamento e a coente esultante. Paa baixas fequências os efeitos eativos são muito eduzidos e a impedância de ateamento passa a se consideada como uma esistência pua de ateamento. A esistência de ateamento é dietamente popocional à esistividade do solo em que os eletodos estão colocados. O potencial em um ponto (p) imeso em um solo homogêneo, localizado a uma distância () de uma fonte pontual de coente, da qual emana uma coente elética (I), pode se obtido patindo-se do campo elético (e ) neste ponto [9]. p O campo elético em um ponto (p) é dado pela lei de Ohm na foma local po: e p = ρ j p, (.3) onde j é a densidade de coente em um ponto (p). p A densidade de coente é a mesma sobe a supefície da esfea de aio (), com cento na fonte pontual de coente, que passa pelo ponto (p): I =, (.4) 4π j p substituindo, a equação.4 na equação.3, e calculando o potencial do ponto (p), em elação a um ponto no infinito: V p = e p d, (.5) Sabe-se que a esistência é a elação ente a tensão e a coente. A Figua.6 mosta um segmento de haste de compimento l, situada nas coodenadas x o, y o e com pofundidade média z m injetando uma coente I em solo unifome. Consideando um incemento di da haste, o potencial em um ponto p(x, y, z) seá:

31 7 di dv p 4π ρ =, (.6) Figua.6 - Haste vetical em solo unifome [6]. Consideando o segmento discetizado, tal que a densidade da coente seja constante ( dz L I di = ), o potencial geado pela haste é dado po [6]: = = / / / / )) ( ( ) ( ) ( 4 4 l l m o o l l p z z y y x x d l I dz l I V λ λ π ρ π ρ, (.7) fazendo e ) ( ) ( o o y y x x a + = ) ( λ + = m z z u, tem-se: u u u u u u p a u acsenh l I u a u d l I dz l I V π ρ = + π ρ = π ρ =, (.8) + π ρ = a l z z acsenh a l z z acsenh l I V m m p ) / ( ) / ( 4. (.9) Esta é a fómula básica do cálculo de uma haste no ponto p [6]. Paa se obte o valo da esistência da haste basta calcula o potencial médio na supefície da haste e dividi-lo pelo valo da coente. Como a distância ente a supefície da haste e sua linha cental é o aio da haste, faz-se a = em (.9) e intega-se z de 0 até l, onde se obtém a seguinte equação paa o potencial: = l p m dz p V V 0 ) (. (.0)

32 8 Após a integação, consideando x = y = 0 e z m = 0, e simplificando a equação (.0), tem-se: + + π ρ = l l l acsenh l I V m. (.) Lembando que ) ln ( ) ( + + = x x x acsenh, então: π ρ = l l l l l I V m ln, (.) ou ainda, π ρ = l l l l l I V m ln. (.3) Consideando que o valo de é muito meno que o de l, os temos /l da equação (.3) podem se despezados. Assim, dividindo a expessão esultante pela coente I, obtém-se a esistência da haste de ateamento vetical: π ρ = 4 ln l l RT, (.4) onde é o aio da haste e l é o seu compimento. Como mencionado no item. e.4, o pincipal objetivo de um sistema de ateamento é obte a mais baixa esistência possível. Sendo assim, neste tabalho a equação.4 é usada paa compaa os esultados analíticos com os esultados obtidos com a modelagem desenvolvida. Esta compaação seá efetuada no capítulo 5. Obsevando a equação.4, veifica-se que há duas possibilidades paa a edução da esistência, atavés da vaiação dos paâmetos do aio e do compimento da haste. A esistividade também pode vaia e altea a esistência de ateamento, mas este paâmeto é uma popiedade com caacteísticas intínsecas do solo, ou seja, depende da egião onde se enconta o ateamento e as influências dos fatoes mencionados no item.3. Outa altenativa paa diminuição da esistência de ateamento é a inteligação de

33 9 hastes em paalelo, esta fomação diminui sensivelmente o valo da esistência de ateamento. Paa o caso de um solo composto po dois tipos de mateiais com esistividades distintas, a esistência de ateamento é dada pela seguinte equação [7]: n h + = ρ + π n 4 l K RT ln ln n = n l, (.5) l h l onde h é a altua (pofundeza) da camada supeio de esistividade ρ e K é o coeficiente de eflexão dado po [7]: ρ ρ K =, (.6) ρ + ρ onde ρ é a esistividade da camada pofunda, confome Figua.7. Figua.7 - Solo com Duas Camadas de Resistividade Distintas. Na Figua.8 são apesentadas expessões paa o cálculo da esistência de ateamento paa algumas configuações.

34 0 Figua.8 - Expessões paa Configuações Típicas de Eletodos de Ateamento []..5 Métodos de Medição da Resistência de Ateamento e da Resistividade do Solo

35 Os métodos de medição são esultados da análise de caacteísticas páticas das equações de Maxwell do eletomagnetismo aplicadas ao solo [9]. Estes valoes da esistividade do solo obtidos atavés de medições são fundamentais paa a elaboação de um pojeto de ateamento..5. Medição da Resistividade - Método de Wenne Existem basicamente duas fomas de se medi a esistividade do solo: medição po amostagem e medição local. A medição po amostagem ocoe em laboatóio atavés de amostas de divesos tipos de solos etiados em campo. Neste tipo de medição ocoem cetas incetezas devido ao tipo de ambiente em que se encontam as amostas de solo. Em campo estas amostas estão sujeitas aos paâmetos citados na Tabela., que influenciam dietamente o solo, o que não ocoe no laboatóio. A medição local utiliza o método de Wenne que é muito difundido pela engenhaia na estatificação do solo. O método de Wenne consiste na cavação de quato hastes onde se petende medi a esistividade do solo. O método de Wenne é um método em linha, ou seja, os eletodos devem esta colocados em linha e igualmente espaçados. O espaçamento ente os eletodos gealmente é igual ao seu compimento []. A vantagem da medição local é devido à impossibilidade de caacteiza a composição do solo na egião de medição. A Figua.9 mosta a configuação paa medição da esistividade pelo método de Wenne. Figua.9 - Configuação das Quato Hastes Cavadas no Solo [9]. Na Figua.9 tem-se que a é o espaçamento ente as hastes, p a altua de cavação das hastes e ρ a esistividade em solo homogêneo.

36 A coente de teste é injetada no ponto e coletada no ponto 4. Esta coente, passando pelo solo, poduz uma difeença de potencial ente os eletodos e 3. Sendo assim, dividindo a difeença de potencial pela coente de teste (I), obtem-se o valo da esistência elética (R) do solo, em [9] enconta-se toda a dedução matemática paa a obtenção da esistência elética do solo. Po simplificação, apesenta-se-á aqui somente a equação da esistividade elética do solo, obtida atavés do método de Wenne: 4 π R a ρ = (.7) a a + a + ( p) (a) + ( p) Sabendo que, o solo apesenta caacteísticas anisotópicas, potanto, as medições deveão se levantadas em váias dieções, pois a esistividade pode vaia dependendo da dieção consideada. Sendo assim, atibuiu-se um valo médio as esistividades paa divesas pates que compõem o solo estatificado (Tabela.)..5. Medição da Resistência - Método da Queda de Potencial A medição dieta da esistência de ateamento é a técnica mais adequada e utilizada, e é efeencia em [7]. O método da queda de potencial (MQP) Figua.0, consiste na aplicação de uma coente no sistema de ateamento no eletodo de teste (T). Assim, faz-se cicula uma coente atavés do eletodo (C). Devido à passagem desta coente, suge uma queda de tensão (potenciais na supefície do solo). Estes potenciais são medidos atavés dos eletodos (P). O apaelho que faz esta medição é conhecido como medido de esistência de tea (Teômeto). Com a vaiação da distância (x) ente os eletodos P e T, tem-se a medição da esistência em cada ponto escolhido, confome as Figua..

37 3 Figua.0 - Método de Medição da Resistência de Ateamento []. Figua. - Resistência de Ateamento - Método da Queda de Potencial []. Na egião A o potencial é cescente, pois 90% da esistência de ateamento que envolve um eletodo nele enteado se enconta gealmente dento de um aio de,8 a 3,5 [m] [5]. Ente A e B é consideada a egião patama de potencial, ou seja, a áea de condução é muito ampla e a densidade de coente tende a se mínima, havendo assim, uma queda de tensão despezível. Potanto, caso a cuva de potencial não tenha a poção hoizontal, significa que o ateamento auxilia (P) está muito póximo do ateamento de medição. Em elação à egião B, confome o eletodo auxilia (P) começa a se apoxima do eletodo (C), ocoe uma diminuição de áea de condução foçando a passagem de uma coente. Consequentemente se a áea tende a diminui, a esistência aumenta com esta poximidade, ocoendo assim, uma cuva também cescente na egião B..6 Consideações Finais Neste capítulo, apesentaam-se sucintamente os fundamentos básicos de um sistema de ateamento. Foam conceituados dois aspectos de contole de tensão (tensão de toque e de passo), enfatizando os citéios de seguança. Paa a viabilidade de um pojeto

38 4 de ateamento, é indispensável o conhecimento da esistividade do solo. Sendo assim, foam citados os fatoes que influenciam a esistividade do solo. Paa uma análise de campo, foam citados os dois métodos mais usados na medição da esistividade e da esistência de ateamento. Po fim, paa uma compaação de esultados ente equacionamento analítico e o método numéico, foi detalhado o cálculo analítico da esistência de ateamento de uma haste vetical. Esta compaação é apesentada no capítulo 5.

39 5 CAPÍTULO 3 Equações de Maxwell e o Método de Elementos Finitos 3. Intodução Neste capítulo são estabelecidas as equações de Maxwell que descevem o eletomagnetismo paa solução do poblema analisado. A esolução deste sistema de equações da-se-á atavés da fomulação eletocinética em potencial escala (coentes estacionáias). Posteiomente aplica-se o método de elementos finitos utilizando o método de Galekin. Po fim, apesenta-se a fomulação eletocinética paa uma geometia axisimética. 3. Equações de Maxwell na Foma Quase-Estática James Clek Maxwell (83-879), físico bitânico que explicou as popiedades do eletomagnetismo, publicou um conjunto de quato equações difeenciais nas quais desceve a natueza dos campos eletomagnéticos em temos de espaço e tempo. Estas equações são leis que estão elacionadas à vaiação dos campos eléticos e magnéticos povenientes de cagas e coentes eléticas. As equações de Maxwell são as leis físicas que egem os campos eletomagnéticos e constituem um sistema de equações de deivadas paciais. Nos meios contínuos, estas equações são as seguintes [8]: ot h = j + t d, (3.) div b = 0, (3.) ot e = t b, (3.3) div d = ρ V, (3.4) onde h é o campo magnético (A/m), j é a densidade de coente de condução (A/m ), d a densidade de fluxo elético ou indução elética (C/m ), indução magnética ou densidade de fluxo magnético (T) e caga elética (C/m 3 ). e o campo elético (V/m), b a ρ V a densidade volumética de

40 6 Neste tabalho, assume-se que os vetoes de campo são finitos em seu domínio e que, em todos os pontos odináios, eles sejam funções contínuas com deivadas contínuas. Po ponto odináio entende-se um ponto em cuja vizinhança as popiedades constitutivas do meio (pemeabilidade, pemissividade e condutividade) sejam contínuas [8]. Descontinuidades nos vetoes de campo ou em suas deivadas podem ocoe, entetanto, em supefícies onde exista uma mudança abupta das popiedades constitutivas do meio. A equação (3.) é uma genealização da lei de Ampèe e a equação (3.3) é chamada lei de Faaday. Elas constituem as equações ditas de acoplamento eletomagnético, enquanto que as equações (3.) e (3.4) constituem as equações ditas de consevação. Todas as equações são geais e nunca foam invalidadas desde sua conclusão po Maxwell no século XIX. Em eletotécnica, nas baixas feqüências, a densidade da coente j é consideada muito maio que a densidade de coente de deslocamento equações de Maxwell na foma quase-estática [8]: d e se utiliza, então, as t ot h = j, (3.5) div b = 0, (3.6) ot e = t b, (3.7) div d = ρ V, (3.8) Aplicando-se o opeado div em ambos os lados da equação (3.5), obtém-se a equação da continuidade de coente: div j = 0, (3.9) 3.3 Leis do Compotamento dos Mateiais Um segundo conjunto de elações é necessáio paa completa a infomação contida no sistema das equações de Maxwell: as elações constitutivas. Essas elações, chamadas também de leis de compotamento, expimem as popiedades dos mateiais. Se μ (H/m) epesenta a pemeabilidade magnética, ε (F/m) a pemissividade elética e σ (s/m) a condutividade elética, as leis de compotamento, paa mateiais isotópicos, se enunciam como segue [8]:

41 7 b = μ h +, (3.0) b d = ε e, (3.) j = σ e, (3.) onde b é a indução magnética emanente, a qual é acescentada paa tata ímãs pemanentes poventua existentes no domínio. 3.4 Condições do Contono - Condições Homogêneas Condições de contono adequadas devem se aplicadas sobe a fonteia do domínio de estudo Ω paa assegua a unicidade da solução. Elas podem se, confome o poblema consideado, elativas aos componentes tangencias de e e h, e aos componentes nomais de d, j e b. Na fonteia Γ do domínio global Ω (ve Figua 3.), considea-se algumas condições de contono ditas condições homogêneas. Figua 3. - Domínio estudado: (a) gandezas eléticas e (b) gandezas magnéticas. Paa as gandezas eléticas, sobe as pates complementaes das supefícies Γ e e Γd (ou Γ ) de Γ, eventualmente não conexas, definem-se as seguintes condições: j n e Γe = 0, n. d = 0 ou n. j = 0. ( ) Γ d Γ j Paa as gandezas magnéticas, sobe as pates complementaes das supefícies Γ h e Γ de Γ, eventualmente não conexas, definem-se as condições: b n h Γh = 0, n. b = 0. (3.6-7) Γ b Essas condições de contono homogêneas sobe os campos ocoem po azões:

42 8 físicas condições no infinito ou associadas aos mateiais idealizados. Po exemplo, as equações (3.3) e (3.6), espectivamente, paa os mateiais condutoes pefeitos e magnéticos pefeitos, ou seja, de condutividade e pemeabilidade infinitas; simetia quando se fixa a dieção dos campos. 3.5 Condições do Contono - Tansmissão dos Campos Na inteface ente mateiais com difeentes popiedades constitutivas, os campos eletomagnéticos sofem descontinuidades. Considee uma supefície Σ ente os dois meios contínuos, epesentados pelos subdomínios e Ω Ω (ve Figua 3.). Figua 3. - Supefície Σ ente dois meios contínuos Ω e Ω. As equações (3.5), (3.6), (3.7) e (3.8) podem se integadas sobe os volumes ou as supefícies incluindo as pates da supefície Σ. A aplicação do teoema da divegência ou do teoema de Stokes conduz as seguintes condições de tansmissão [8]: onde n ( h ) h = j Σ s, (3.8) n ( e e) 0, (3.9) = Σ n ( b b ) 0, (3.0). = Σ n. ( d d ) = ρ, (3.) js e Σ s ρ s epesentam, espectivamente, as densidades de coente e de caga concentadas sobe a supefície Σ, e onde n é a nomal à Σ, oientada de paa Ω. Ω As elações (3.9) e (3.0) acaetam que a componente tangencial de e e a componente nomal de b são contínuas atavés de Σ. Se js e ρ s são difeentes de zeo, as elações (3.8) e (3.) acaetam a descontinuidade da componente tangencial de componente nomal de d [8]. Em geal, considea-se j e s h e da ρ s nulos e então, a

43 9 componente tangencial de h e a componente nomal de d passam a se contínuas na inteface. A pati da equação (3.9), pode-se expimi a continuidade da componente nomal da densidade de coente: n ( j j ) 0. (3.). = Σ 3.6 Gandezas Globais do Tipo Fluxo e do Tipo Ciculação Além das condições de contono locais, as condições globais sobe os campos podem se impostas atavés dos funcionais dos tipos fluxo e ciculação. As condições globais do tipo fluxo estão elacionadas com a caga elética total Q, a intensidade de coente I e o fluxo magnético Ψ. Já, as do tipo ciculação, elacionam-se com a foça eletomotiz V e a foça magnetomotiz atavés das supefícies Γ i Φ. Esses fluxos, situadas sobe a fonteia do domínio de estudo, e as ciculações, ao longo das cuvas γ i petencendo ao domínio, são definidas po: Γ i γ i n. d ds = Q i, Γ n. j ds = I i, n. b ds = Ψi ( ) V i γ i i Γ i e. dl =, h. dl = Φ, (3.6-7) i onde de Ω. n epesenta o campo de vetoes unitáios nomal à Γ i e oientados paa o exteio 3.7 Modelo Eletocinético A eletocinética consiste no estudo da distibuição espacial da densidade de coente j nos mateiais condutoes. O modelo eletocinético aplicado ao domínio de estudo Ω, de fonteia Γ, é caacteizado pelas leis de compotamento e condições de contono, dado pelas seguintes equações difeenciais: ot e = 0, div j = 0, em Ω, (3.8-9) j = σ e, (3.30) n e Γ e = 0, n. j = 0, com Γ = Γe Γj (3.3-3) Γj

44 30 As estições globais definidas são elativas à coente elética I i (3.33) e a difeença de potencial V i (3.34), cuja elação define o inveso de uma esistência elética R (3.35). Γ i γ i n. j ds =, (3.33) V i I i e. dl =, (3.34) R = Ii V i. (3.35) 3.7. Fomulação Eletocinética em Potencial Escala Elético que A pati da equação (3.8), pode-se intoduzi um potencial escala elético v tal e = gad v. (3.36) Note que o campo elético assim definido epesenta, pela equação (3.8), um campo admissível. Na elação (3.36), o potencial v não é único. Consideando dois potenciais v e v, definidos tal que v = v + k, onde k é uma constante, infinitas combinações conduzem ao mesmo valo do campo elético e. Assim, paa have a unicidade da solução é necessáio impo uma estição ou uma condição de calibe sobe v. Na pática, a unicidade da solução é obtida com a ajuda das condições de contono. Reagupando as equações (3.9) e (3.30), obtém-se a equação: div ( σ gad v) = 0, (3.37) que deve se esolvida em todo o domínio levando em conta as condições de contono. A condição (3.3), paa o campo elético, se esceve paa a fomulação em potencial escala: v = = constante. (3.38) e Γ vo essa condição é conhecida como condição de contono de Diichlet. Esta condição pode se dietamente elacionada à elação (3.34), a qual impõe a ciculação do campo elético sobe um contono. Supondo que esse contono elige duas fonteias denotadas Γ A e Γ B, e como se deve impo uma difeença de potencial, é possível escolhe abitaiamente v = 0 sobe a fonteia Γ A e v = V i sobe Γ B.

45 3 Paa a densidade de coente elética, como j = σ gad v, a elação (3.3) possui a foma: n. σ gad v = 0. (3.39) Γ j Examinando (3.39), conclui-se que o campo elético é tangente na fonteia Γ j e, então, as linhas equipotenciais são pependiculaes em Γ j. Esta condição é conhecida como condição de contono de Neumann Notações, Fómulas de Geen e Espaços Funcionais Com o intuito de simplifica as expessões deste texto, definem-se as seguintes notações, elativas às integais sobe um volume Ω e a uma supefície Γ [8]: ( u, v) Ω = Ω u v dω, ( u, v) Ω = Ω u. v dω, < u v > Γ = Γ u v dγ,, < u, v > Γ = Γ u. v dγ, com u, v, u e v definidos sobe Ω e Γ tais que essas integais tenham um sentido. Em geal, elas podem se definidas nos espaços de Sobolev de campos escalaes e vetoiais, isto é [8], H ( Ω) = H ( Ω) = { u L ( Ω); u, u, u L ( Ω) } x y z, { u L ( Ω); u u u L ( Ω) },. x y, z O estabelecimento das fomulações facas associadas aos poblemas de deivadas paciais consideadas, e sobe os quais se baseia o método de elementos finitos, conduz às duas fómulas de Geen dadas po [8]: ( u, gad v) v, u H ( ), v H ( ). (3.40) + ( div u, v) =<, n. u > Γ > Γ Ω Ω ( u, ot v) ( ot u, v) =< u n, v, u, v H ( ). (3.4) Estas equações são estabelecidas a pati das seguintes elações da análise vetoial u. gad v + v. div u = div ( v u) e u. ot v ot u. v = div ( v u), integadas sobe o domínio Ω, com a aplicação do teoema da divegência paa a obtenção dos temos em integal de supefície. Ω

46 3 A estutua de base, fomada de quato espaços funcionais e tês opeadoes, é epesentada abaixo. Ela é constituída de duas cópias de L ( ), de duas cópias de L ( Ω), Ω e dos opeadoes difeenciais gadiente, otacional e divegente: L ( Ω) gadu L ( Ω) L ( Ω) L ( Ω). otu divu Os tês opeadoes difeenciais são os opeadoes cujo domínio são definidos de maneia estitiva [8]: 0 E u = { v L ( Ω); gad v L ( Ω), v = 0} ; Γ u E u = { v L ( Ω); ot v L ( Ω), n v = 0} ; Γ u E u = { v L ( Ω); div v L ( Ω), n. v = 0}. Γ u Foma Faca da Fomulação Eletocinética Como visto anteiomente, uma maneia de esolve o conjunto de equações de Maxwell da eletocinética é usando a definição de um potencial escala elético v. Assim, a equação esultante é dada po: div ( σ gad v) = 0. (3.4) Esta foma inicial do poblema é o que tem sido consideado até agoa e constitui sua fomulação fote [8]. A foma faca da equação (3.4) é obtida da seguinte maneia: suponha que a função v seja uma função apoximada, de maneia que a equação (3.4) se tone: R = div ( σ gad v), (3.43) onde R é um esíduo, visto que a função v não é exata. O objetivo é faze com que o esíduo tenda a zeo ou ainda que na média (pondeada) o esíduo seja zeo. Matematicamente isso se esceve da seguinte foma [8], Ω R w dω = 0 ou ( R, w) = 0, (3.44) Ω onde w é a função peso ou função de pondeação. Esse método de esolve a equação (3.4) é conhecido como Método dos Resíduos Pondeados.

47 33 Substituindo a equação (3.43) em (3.44), tem-se: ( div ( σ gad v), w) = 0. (3.45) Ω Fazendo w = v e aplicando a fómula de Geen do tipo gad-div (3.40), apesentada no item 3.7., tem-se: 0 ( σ gad v, gad v ) + <. σ gad v, v > Γ = 0, v Eu 0 Ω n. (3.46) Onde E u = { v L ( Ω); gad v L ( Ω), v = 0}. O segundo temo a esqueda de (3.46) pode se dividido como sendo: < n. σ gad v, v > n. gad v, v n. gad v, v. (3.47) Γ =< σ > Γ + < σ > e Γj Γ u O pimeio temo de (3.47) do lado dieito se anula, pois 0 v E u e o segundo temo também se anula devido à condição de contono (3.3). Desse modo, a equação (3.46) se tona, 0 ( gad v, gad v ) = 0, v Eu σ Ω. (3.48) σ Ω Outa foma de esceve a equação (3.48) é dada po: v 0. v dω = 0, v Eu. (3.49) As equações (3.48) e (3.49) epesentam a fomulação eletocinética faca em potencial escala elético v. Obseve que a equação (3.4), a qual se efee à foma fote, é uma equação difeencial pacial de segunda odem (equação de Laplace). Todavia, a equação (3.49) é uma equação que apesenta somente deivadas de pimeia odem (gadiente). Devido ao fato de have edução na odem das deivadas da equação, chama-se a equação (3.49) de foma faca do poblema. 3.8 Método de Elementos Finitos - Método de Galekin No método de elementos finitos (MEF), o sistema é dividido em subsistemas de geometia simples (po exemplo, tiângulos e/ou etângulos paa análise bi-dimensional), os quais são chamados elementos finitos. Dento de cada elemento, os valoes dos campos são calculados po meio de funções de intepolação. A foma da intepolação nos

48 34 elementos é definida pelos valoes dos campos, e algumas vezes po suas deivadas, nos pontos nodais. As deivadas dos campos são obtidas deivando as funções de intepolação, e as equações de campo são apoximadas pela minimização das equações integais obtidas pelos pincípios vaiacionais ou aplicando o método dos esíduos pondeados nas equações difeenciais e condições de contono. O MEF é baseado no fato do domínio de estudo seja discetizado, ou seja, dividido em pequenas pacelas chamadas elementos finitos. Na Figua 3.3a tem-se, po exemplo, um domínio composto po dois difeentes mateiais [9]. Figua 3.3a - Domínio de estudo. Figua 3.3b - Domínio discetizado. O poblema a se esolvido seá aqui, po azões didáticas, elativo à distibuição de campos eléticos em meios condutoes, sendo assim, considea-se a condutividade dos meios σ. A divisão ou discetização da egião deve espeita a fonteia ente mateiais confome a Figua 3.3b e, adicionalmente, um nó deve se o vétice de um ou mais tiângulos, não podendo se um ponto situado no meio de uma aesta [9]. Aplicando o método dos esíduos pondeados e fazendo seguinte equação esultante: n=, N Ω v = φ n, obtem-se a σ gad V. gad φ dω = 0, (3.50) n onde n epesenta um elemento genéico e N é o númeo de elementos no domínio de cálculo.

49 35 A função V é dada po: V ( x, y) = 3 ( x, y) e as funções φ = ( x, y) são φ i= i V i n φ i conhecidas como funções de intepolação e possuem as seguintes popiedades:, se i = j 3 φi ( x j, y j ) = e φi ( x, y) =. (3.5) 0, se i j i= Assim, as funções φ i ( x, y) valem no nó i e decescem lineamente até zeo nos outos nós do elemento. Foa do elemento consideado, as funções φ i ( x, y) são identicamente nulas. A epesentação destas funções está mostada na Figua 3.4 [9]. Figua Repesentação das funções de intepolação. O elemento finito aqui utilizado é o tiângulo chamado tiângulo de pimeia odem, definido pelos seus tês vétices, também chamados nós. Assuma que a vaiável incógnita a se deteminada seja o potencial V no domínio. Uma vez que esta vaiável é conhecida, o campo pode se facilmente deteminado. Da malha da Figua 3.3b, ou seja, do conjunto de elementos finitos que fomam o domínio de estudo, considee o tiângulo que está mostado na Figua 3.5 [9]. Figua Elemento tiangula de pimeia odem. Este elemento é de pimeia odem, pois o potencial no seu inteio vaia lineamente [9][30].

50 36 Consideando um elemento tiangula confome mostado na Figua 3.5, a equação (3.50) paa um elemento de efeência é dada po: = σ V V V q q q q q q q q q q q q q q q q q q D, (3.5) onde D é o dobo da áea do tiângulo da Figua 3.5 e: 3 3 y x y x y x D =, y y q y y q y y q = = = e x x x x x x = = =. (3.53) Após a montagem da matiz paa cada elemento finito, deve-se efetua a montagem da matiz global, aplica as condições de contono e esolve a matiz obtendo os valoes dos potenciais eléticos em cada nó da malha do domínio de estudo. O sistema final a se esolvido é expesso po: Q V SS =. (3.54) onde: SS matiz igidez contendo as contibuições de cada elemento; V matiz dos potenciais eléticos (incógnitas); Q matiz contendo as fontes, que no caso da fomulação eletocinética é uma matiz nula. 3.9 Fomulação do Sistema Axi-Simético Em poblemas de engenhaia, algumas estutuas possuem simetia de evolução como, po exemplo, os solenóides e até mesmo as hastes de ateamento que são modeladas neste tabalho. Estes poblemas são, de fato, tidimensionais. No entanto, existe uma simetia axial ou de otação nesta estutua. Dessa foma, os poblemas podem se abodados de foma bidimensional e apenas aplicando um fato de coeção na fomulação numéica, pode-se obte a solução do poblema tidimensional. Paa faze a coeção, devem-se multiplica os temos do sistema po um fato o π. Assim, a matiz (3.5) paa cada elemento finito se tona:

51 37 = σ π V V V q q q q q q q q q q q q q q q q q q D o, (3.55) onde é a distância do baicento do tiângulo (elemento) ao eixo de otação. Tem-se então o 3 ( 3) / x x x o + + =, onde são as distâncias dos tês nós do elemento em elação ao eixo de otação [9]. 3,, x x x 3.0 Consideações Finais Neste capítulo, foam apesentadas as equações de Maxwell, as elações constitutivas e as condições de contono que descevem o modelo eletocinético. O poblema eletocinético foi modelado usando uma fomulação em potencial escala elético tanto a foma fote quanto na foma faca. Este capítulo apesentou o conceito do método de elementos finitos e a maneia de se obte a matiz local paa um elemento de efeência. Paa os poblemas que apesentam uma simetia axial ou de otação na estutua foi mostado que eles podem se abodados de foma bidimensional e apenas aplicando um fato de coeção na fomulação numéica, pode-se obte a solução do poblema tidimensional.

52 38 CAPÍTULO 4 Abodagem dos Aspectos Computacionais 4. Intodução Este capítulo apesenta de foma sucinta alguns aspectos elevantes da aplicação das feamentas computacionais implementadas na modelagem de um sistema de ateamento composto po uma haste vetical. A geometia da haste pemite usa uma modelagem axi-simética. O poblema é analisado com uma fomulação eletocinética em potencial escala elético. A modelagem axi-simética exige uma malha mais efinada (densa) póxima ao eixo de simetia (eixo de otação). Isso acaeta um sistema de equações lineaes de gande pote, exigindo mais memóia computacional. Paa a esolução do sistema de equação linea foi utilizado o método dos gadientes conjugados com pé-condicionamento po decomposição incompleta de Cholesky (ICCG Incomplet Cholesky Conjugated Gadientes). 4. Pé-pocessado - Gmsh O Gmsh é um geado de malhas de elementos finitos (unidimensional, bidimensional e tidimensional) constituído po um pé-pocessado e um pós-pocessado. Seu objetivo é fonece uma feamenta simples e aticulada paa paâmetos de entada e visualização avançada de gáficos [8]. Po definição, o módulo do pé-pocessado é onde ocoe à intodução da geometia do poblema, descição dos mateiais, especificação das condições de contono e efetua-se a malha do sistema [9]. Neste tabalho, o pé-pocessado do Gmsh foi utilizado paa desenha a geometia do poblema e paa efetua a malha bidimensional. Do Gmsh é possível extai um aquivo *.msh contendo as coodenadas dos nós dos elementos tiangulaes e a numeação global destes elementos. Vale aqui essalta a infomação efeente à numeação global: a Figua 3.5 destaca um elemento tiangula, onde, e 3 são os nós do tiângulo, coespondendo a uma numeação global no aquivo de saída do Gmsh. Após gea a malha, optou-se em salva o aquivo de saída na vesão.0, pois essa vesão gea

53 39 um aquivo de saída com menos caactees, facilitando a inteface paa leitua no Labview. A Figua 4. mosta o fomato de saída de um aquivo *.msh do Gmsh, salvo na vesão.0. Figua 4. - Aquivo de Saída do Pé-pocessado Gmsh. A malha deste exemplo é gosseia. A pate inicial do aquivo contém as coodenadas dos nós do elemento. Neste exemplo há 9 nós (NOD) e, em seguida, são fonecidas as coodenadas x, y e z de cada nó. Na segunda pate do aquivo encontam-se os dados efeentes aos 4 elementos (ELM). Note que o pimeio dado indica o númeo total de elementos, mas só os índices (a), (b) e (c) seão lidos e amazenados. O índice (b) indica os valoes da numeação global do elemento, situado nas últimas tês colunas do índice (Figua 4.3). O índice (a) está elacionado com o índice (c). O pogama lê o índice (a) e amazena todas as linhas e as colunas elacionadas a este índice, que indica os valoes das condições de contono (Diichlet). Paa entende melho este passo, considee a Figua 4. contendo o aquivo *.geo, que é o aquivo que define a geometia do sistema.

54 40 Figua 4. - Aquivo que Define a Geometia do Sistema. Paa a estutua de ateamento: t é o aio de tea [m], h é o aio da haste [m], ch é o compimento da haste [m], e e e são os paâmetos utilizados paa defini a densidade da malha. Obseva-se que paa este caso demonstativo (malha gosseia), temse e = e = 3. Em uma simulação nomal estes paâmetos ficam em tono de e = 0,0 e e = 0,00. As condições de Diichlet são estabelecidas a pati dos índices (a) e (c) da Figua 4.. Potanto, ao amazena os dados efeentes a estes dois índices, o pogama veifica em sequência o aquivo *.geo mostado na Figua 4.. Neste aquivo é localizado o índice do comando Cicle, que neste caso é (7). Sendo Assim, identificando este índice (7), amazenam-se os valoes das duas últimas colunas do índice (c), confome Figua 4.3. Note que na Figua 4.3 as coodenadas ao qual às condições de Diichlet são submetidas encontam-se epetidas ( ). Na pogamação efetuada nesse tabalho esta epetição é eliminada. Sendo assim, em uma malha mais densa (efinada) todos os nós que se encontam ente os nós ( e 6), ecebem as condições de Diichlet.

55 4 Figua Sepaação das Coodenadas de Inteesse: Paa Diichlet (Coodenadas Vemelhas) e Numeação Global (Coodenadas Azuis). Figua Domínio de Cálculo da Haste de Ateamento.

56 4 No item 4.9, efeente à pogamação da inteface ente o Gmsh e o Labview, são demonstados todos os pogamas efeentes a esta sepaação de coodenadas de inteesse. O domínio de cálculo da haste de ateamento é mostado na Figua 4.4. A geometia da haste foi extapolada paa melho visualização. Todos os pontos ente os nós 3 e 4 ecebeam as condições de Diichlet com um potencial de valo constante difeente de zeo. Nas linhas ente os nós 4 e 6, e e 3 têm-se as condições de Neumann e nas linhas ente os nós e 6 têm-se as condições de Diichlet com potencial nulo. 4.3 Pocessado - Matlab No módulo do pocessado é efetuado o cálculo utilizando o método de elementos finitos. Antes de enta no módulo do pocessado é necessáio eoganiza os dados paa executa o cálculo. Neste tabalho desenvolveu-se uma inteface paa a leitua dos dados de saída do pé-pocessado. Esta leitua de dados ocoe atavés do ambiente computacional Labview. A pincípio, todo o desenvolvimento do cálculo de campos eléticos paa um sistema de ateamento de haste vetical seia efetuado no Labview. Todavia, isso não foi possível, pois paa sistemas de gande pote o Labview se tona lento e ocoe eo po falta de memóia suficiente paa temina a execução do pogama. Esta falta de memóia não é devido à estutua computacional e sim a pópia caacteística intínseca do aplicativo. Sendo assim, o método de elementos finitos foi executado no ambiente Matlab. Cabe aqui essalta que o Matlab não é um softwae muito utilizado paa sistemas de gande pote devido sua lentidão de execução. Paa contona este poblema foi desenvolvido um aquivo executável no Matlab. Este executável minimiza a lentidão do softwae, mas não o suficiente paa consideá-lo com um bom desempenho. Neste tabalho o sistema de equações lineaes foi esolvido usando o método dos gadientes conjugados com pé-condicionamento po decomposição incompleta de Cholesky (ICCG). Maioes detalhes sobe este método pode se encontado em [9][3][3][33][34][35]. O método foi escolhido pela sua ampla aplicação e aceitação na esolução de sistemas maticiais geados pelo método de elementos finitos [9]. Em [3] é ealizado uma compaação ente divesos métodos iteativos e se concluí que o método ICCG é o melho.

57 Pós-pocessado - Gmsh Este módulo possibilita a exploação dos esultados obtidos no pocessado, os quais são apesentados na foma gáfica ou numéica. Novamente, após a aplicação do aquivo executável do Matlab, desenvolve-se uma inteface paa que os valoes dos potenciais eléticos, dos campos eléticos e das densidades eléticas sejam utilizados no cálculo da esistência de ateamento no ambiente Labview. 4.5 Pogamação - Gmsh - Labview - Matlab - Labview - Gmsh Neste item apesenta-se a pogamação utilizada paa o cálculo da esistência de ateamento. Em pincípio, a pogamação no Labview utilizava apenas um aquivo *.vi (extensão do aquivo no Labview instumentação vitual), ou seja, um único aquivo paa faze a conexão ente o pé-pocessado e o pós-pocessado. Esta ea a ideia sugeida no começo da dissetação, onde o Labview funcionaia como pocessado, ecebendo dados do pé-pocessado (Gmsh), fazendo o pocessamento (solve) e tendo como saída um aquivo *.pos paa veificação gáfica no pós-pocessado do Gmsh. Entetanto, a falta de memóia computacional do Labview paa esolução do sistema linea de gande pote fez com que a ideia de executa todo o tabalho no Labview fosse eavaliada. Assim, fez-se a distibuição da pogamação desde o pé-pocessado até o pós-pocessado em nove aquivos *.vi e dois aquivos executáveis no ambiente Matlab esponsáveis pela módulo do pocessado (solve). 4.6 Abodagem Sequencial de Pogamação A Figua 4.5 mosta a sequência de pogamação adotada neste tabalho. i. Pé-pocessado do Gmsh: nesta etapa foi feito a paametização e a malha do sistema de ateamento estudado. O aquivo de paametização foi destacado na Figua 4.. Cabe salienta que a malha da Figua 4.4 é simplesmente demonstativa, pois esta malha gea um aquivo de saída (Figua 4.3) simples, possível de visualização de todas as coodenadas do sistema malhado.

58 44 ii. Inteface de Pogamação Gmsh - Labview: esta inteface é dividida em tês aquivos *.vi: wok.vi, wok.vi e wok3.vi. Figua Sequência de Pogamação. O aquivo wok ecebe os dados de saída do Gmsh mostados na Figua 4.3 e os dados de paametização apesentados na Figua 4.. Este aquivo tem como função sepaa as coodenadas dos nós x e y, já que na definição da geometia a coodenada z também é especificada, e identifica em sequência tês índices da Figua 4.3 (, e 7). Os índices e estão sempe posicionados na segunda coluna efeente às coodenadas dos elementos (Figua 4.3). O índice indica a pesença de dois nós em uma linha, e o índice indica a pesença de um elemento com tês nós, ou seja, o elemento tiangula de pimeia odem [8]. A pogamação paa leitua dos dados destes dois índices é idêntica. O que iá difeencia na pocua destes índices é a inclusão do índice 7, que é definido neste caso como índice do comando Cicle (Figua 4.). O pogama pimeiamente identifica na segunda coluna dos elementos o índice (Figua 4.3). Ao faze esta identificação, o pogama sepaa todas as coodenadas das linhas e colunas, efeente a este índice. Em sequência salva somente as coodenadas efeentes às tês últimas colunas do índice, confome Figua 4.3 (numeação global do elemento tiangula). A otina de pogamação paa o índice é a mesma, sendo que, nesta otina, só seá salvo as coodenadas efeentes ao índice 7, que esta inseida nas linhas e colunas das coodenadas do índice (Figua 4.3). Sendo assim, salva-se somente as coodenadas efeentes às duas últimas colunas do índice 7, confome Figua

59 e atavés destas coodenadas o pogama atibui as condições de Diichlet. A pogamação efeente ao aquivo wok está no Anexo A... O póximo aquivo é o wok. Neste aquivo os dados de saída do aquivo wok são lidos. O wok tem a função de pepaa os dados que seão lidos e pocessados no ambiente Matlab paa a implementação do método de elementos finitos e paa a esolução do sistema de equações lineaes (A x = B). Neste aquivo é definida a condutividade do solo e da haste, o potencial a se imposto e os valoes dos aios de tea e do solo no painel fontal do Labview, confome mostado na Figua 4.6. A pogamação efeente ao aquivo wok está no Anexo A... Figua Painel fontal wok. 4.7 Pogamação do Módulo do Pocessado - Matlab O módulo do pocessado é dividido em duas pates: na pimeia pate é implementado o método de elementos finitos paa obtenção dos valoes dos potenciais na estutua de ateamento. Na segunda pate é efetuado o cálculo do campo elético paa esta estutua. O algoitmo paa o cálculo do potencial e campo elético no Matlab é apesentado no Anexo A.. Paa o cálculo da matiz global, usa-se um pocedimento paa tona a matiz mais espasa. Este pocedimento pode se encontado em [30]. Em seguida é esolvido o sistema de equações lineaes (A x = B) atavés do método dos gadientes conjugados com fatoação incompleta de Cholesky, (Anexo A.). 4.8 Inteface de Pogamação - Matlab - Labview Nesta inteface é calculada a densidade de coente atavés dos valoes do campo elético obtidos na pogamação pecedente. A pogamação paa o cálculo da densidade

60 46 de coente no Labview é ealizada com a implementação da equação (4.), lembando que a condutividade σ é o inveso da esistividade ρ. Neste tabalho, optou-se em utiliza até agoa as condutividades paa o solo e a haste, em vez dos valoes das esistividades. j = e. (4.) ρ O aquivo wok4 aplica a esolução da equação (4.). No Anexo A.3 enconta-se a pogamação em ambiente Labview paa o cálculo da densidade de coente. O aquivo wok5 é simplesmente um aquivo de pepaação de dados paa o cálculo da esistência de ateamento no aquivo wok6. Sendo assim, a função do wok5 é cia uma matiz contendo somente os valoes das densidades de coente elativas à supefície da haste. A Figua 4.7 mosta a distibuição da densidade de coente na áea lateal e na áea da base da haste de ateamento. Figua Distibuição da Densidade de Coente na Haste de Ateamento. No capítulo foi apesentada a metodologia seguida neste tabalho, na qual a esistência de ateamento é calculada atavés da integal de supefície na geometia da haste (cilíndica). Consideando a equação da distibuição de coente na supefície da haste, tem-se: I j ds = jl. dsl + = jb. dsb., (4.)

61 47 onde, o índice L se efee à lateal da haste e o índice B se efee à base da haste. Paa a áea lateal do cilindo tem-se s L = π R l, onde l coesponde ao compimento da haste e R é o aio da base do cilindo. Paa a áea da base do cilindo temse s B = π R². Potanto, a coente total que cicula pela supefície da haste é a soma das componentes da coente lateal e da coente da base, ou seja: I = π R l j + π R j = I + I. (4.3) L B L B A equação (4.3) é aplicada a todo elemento situado na supefície da haste. A pogamação no Labview do aquivo wok6 enconta-se no Anexo A Inteface Labview - Gmsh Nesta última inteface é citado o aquivo de extensão *.pos. Este aquivo é geado no ambiente Labview e é salvo na extensão mencionada paa a visualização dos esultados que seão apesentados no capítulo 5. O aquivo potencial.vi que tem como função passa os valoes de saída do pocessado no Matlab (pot.txt) paa uma aquivo potencial.msh. A Figua 4.8 exemplifica este pocesso: Figua Aquivo Potencial.msh. Paa a visualização no ambiente Gmsh cia-se uma matiz com a seguinte especificação: View v { ST (x,y,z,x,y,z,x3,y3,z3){v,v,v3}; }; E po fim, o aquivo de pepaação paa a visualização do campo elético no ambiente Gmsh.

62 48 View e { VT (x,y,z,x,y,z,x3,y3,z3){ex,ey,ez,ex,ey,ez,ex,ey,ez}; }; Onde x e y são as coodenadas do elemento tiangula e as siglas ST e VT são especificações do pós-pocessado do Gmsh e significam: tiângulo escala e vetoial espectivamente [8]. 4.0 Consideações Finais Neste capítulo foam apesentados os aspectos pincipais paa a pogamação do método de elementos finitos paa um poblema em meios condutoes. Na abodagem computacional foi citado o método dos gadientes conjugados paa a esolução da equação do sistema linea assim como a utilização de um pecondicionado que acelea a esolução do sistema linea. A aplicação do método de elementos finitos só foi possível devido à implementação do método dos gadientes conjugados com fatoação incompleta de Cholesky (ICCG). Po se tata de um sistema de gande pote (malha densa), o pocessado foi desenvolvido no ambiente Matlab com o auxílio de dois aquivos executáveis paa o cálculo do potencial e do campo elético. Estes esultados posteiomente foam utilizados no cálculo da esistência de ateamento. Este cálculo seá validado pela compaação no capítulo 5 com o cálculo analítico da esistência. Toda a pate efeente à pogamação se enconta no Anexo A.

63 49 CAPÍTULO 5 Resultados Obtidos 5. Intodução Neste capítulo são apesentados os esultados efeentes à aplicação do método de elementos finitos na fomulação eletocinética paa um sistema de ateamento de haste vetical. Os valoes das esistências de ateamento obtidas consideando o solo estatificado em uma e duas camadas são compaadas com os valoes obtidos analiticamente. As simulações foam ealizadas em um computado Mobile AMD Sempon.8GHz, GB de memóia RAM. O método iteativo paa esolução do sistema linea de equação foi o ICCG e paa a pate gáfica dos esultados foi usado o ambiente Gmsh. 5. Haste Vetical A haste vetical usada paa análise é a mesma apesentada no capítulo. Os valoes utilizados na simulação paa a efeida haste são: Compimento da haste: l = [m]; Raio da haste: = 0,05 [m]; Resistividade do solo: ρ = 00 [Ω.m]; Raio de tea: 7 [m]. Paa compaa os esultados da simulação com os valoes do cálculo analítico, fez-se o aio da haste vaia de 0,05 a 0, [m]. O aio de tea foi escolhido em tono de 7 [m] paa facilita a execução do pogama, pois um aio de tea maio acaetaia em uma malha de ateamento contento um maio númeo de elementos, ocasionando assim uma exigência maio de memóia na simulação dos esultados. Paa o aio de tea igual a 7 [m] e o aio da haste em 0,05 [m], tem-se um aquivo de saída com nós e.000 elementos (malha densa). No caso de mante o aio da haste constante e aumenta o aio de tea paa 0 [m], tem-se um aquivo de saída com nós e elementos.

64 50 Como mencionado no capítulo 4, são apoveitados somente os elementos efeentes ao índice da segunda coluna dos elementos (Figua 4.3). Paa os casos acima citados ficaiam em tono de.000 e elementos, espectivamente. Desse modo, escolheu-se o aio de tea de no máximo 7 [m] com índice de malha e=0,4 e e=0,0 confome Figua Resistência de Ateamento - Solo Homogêneo O método de elementos finitos axi-simético foi aplicado paa um sistema de ateamento de uma haste vetical em baixa fequência. A Figua 5. mosta o domínio de estudo Ω e a malha D. Figua 5. - Malha do Sistema de Ateamento do Domínio Axi-Simético. O domínio de cálculo é axi-simético e assim a estutua possui um sistema de evolução onde o eixo y é o eixo de otação. A Figua 5. mosta o sistema de coodenadas paa o poblema axi-simético [36]. Supondo que os elementos possuem supefícies pequenas quando compaadas à supefície do domínio inteio, como mosta a Figua 5., e que dω = d dθ dz; é possível considea que dω = π o d dz, onde o é a distância do baicento do elemento tiangula ao eixo de evolução. Potanto, quanto meno fo o elemento tiangula (malha densa: e) mais póximo fica esta apoximação ( constante).

65 5 Figua 5. - Sistema de Coodenada paa um Sistema Axi-simético [36]. A Figua 5.3 mosta a distibuição do potencial elético no domínio de estudo consideando o solo homogêneo, compimento da haste l = [m], aio da haste = 0,05 [m] e esistividade do solo ρ = 00 [Ω.m]. Figua Distibuição do Potencial - Solo Homogêneo. Veifica-se que as equipotenciais popagam-se adialmente, deslocando-se da supefície da haste paa a peifeia. Este valo de potencial tende a diminui confome aumenta a distância ao cento da haste, pois a coente de defeito escoa paa o inteio do solo onde a áea da seção do solo vai aumentado, diminuindo a esistência e consequentemente ocoendo menoes quedas de tensão. Quando a distância em elação ao

66 5 cento do eletodo fo muito gande a queda de potencial é despezível, ocasionando assim a egião patama do potencial (ente A e B da Figua.). As Figuas 5.4a-b mostam esta distibuição de potencial na supefície do solo, confome se aumenta a distância ao cento do eletodo. Paa esta simulação, aumentou-se a distância em elação ao cento, elativa aos valoes dos aios simulados neste capítulo, confome Tabela 5.. Figua 5.4a - Distibuição de Potencial na Supefície do Solo: = 0,4 [m]. Figua 5.4b - Distibuição de Potencial na Supefície do Solo: = 0,8 [m].

67 53 A Figua 5.5 mosta a distibuição do campo elético na egião póxima da supefície da haste. Figua Distibuição do Campo Elético nas Poximidades da Haste. Consideado o solo homogêneo com esistividade ρ = 00 [Ω.m] e a haste com compimento l = [m], vaiou-se o aio da haste de 0,05 até 0, [m] paa veifica o efeito dessa vaiação sobe o compotamento da esistência de ateamento. A Tabela 5. apesenta estes esultados. O valo analítico da esistência de ateamento foi obtido usando a equação (.4). Tabela 5. - Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Raio da Haste. Raio [m] Resistência Resistência Eo [%] (simulação) [ohms] (analítico) [ohms] 0,05 4,06 43,46 5,5 0,050 35,53 37,94 6,35 0,0375 3, 34,7 7,3 0,0500 9,87 3,43 7,89 0,065 8,07 30,65 8,4 0,0750 6,57 9,0 9,0 0,0875 5,36 7,98 9,36 0,000 4,5 6,9 9,88

68 54 A Figua 5.6 apesenta os esultados da Tabela 5. na foma gáfica. simulação analítico Resistência de Ateamento [Ohms] ,05 0,05 0,0375 0,05 0,065 0,075 0,0875 0, Raio da Haste [m] Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Raio da Haste. O eo foi calculado com a seguinte equação: Eo RTanalítico RTsimulação [%] =. 00 (5.) RT analítico Na Tabela 5. e na Figua 5.6 nota-se que o eo aumenta com o aumento do aio. Quanto maio o aio, mais densa deve se a malha na egião póxima a haste (póxima ao eixo de otação). Po limitações do pogama não foi possível aumenta a densidade da malha na mesma popoção do aumento do aio, visto que uma malha muito densa causou falta de memóia paa simulação. Cabe essalta que mesmo com esta difeença de valoes da Tabela 5. a esistência tende a diminui com o aumento do aio da haste, ou seja, possibilita uma maio capacidade de dissipação de coente (aumenta a áea da seção do eletodo). Outo fato analisado que influencia na esistência de ateamento é a vaiação do compimento da haste. Paa este caso consideou-se o solo homogêneo com esistividade ρ = 00 [Ω.m], o aio da haste = 0,0375 [m] e vaiou-se o compimento da haste de,0 até 5,0 [m]. A Tabela 5. apesenta estes esultados. O valo analítico da esistência de ateamento foi obtido usando a equação (.4).

69 55 Tabela 5. - Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Compimento da Haste. Compimento [m] Resistência Resistência Eo [%] (simulação) [ohms] (analítico) [ohms],0 33,7 34,7 4,46,5 7,83 9,9 4,65 3,0 4,5 5,9 4, 3,5,0,38 5,7 4,0 8,86 0, 6,6 4,5 7,00 8,9 7,05 5,0 5,5 6,80 7,67 Nesta simulação não ocoeu à mesma dispaidade ente os valoes analíticos e simulados que ocoeu com os esultados da Tabela 5., pois a estutua do elemento de malha não sofeu alteação consideável, devido o aio da haste se mante constante. A Figua 5.7 apesenta os esultados da Tabela 5.. simulação analítico Resistência de Ateamento [Ohms] ,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Compimento da Haste [m] Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação ao Compimento da Haste. 5.4 Resistência de Ateamento - Resistividades Distintas No capítulo, mais especificamente na Tabela., foam indicados os pincipais fatoes que influenciam a esistividade do solo como, po exemplo, a composição geológica dos solos, ou seja, solos que são compostos po camadas com esistividades distintas. Neste item, estuda-se o compotamento da esistência de ateamento consideando um solo composto po uma única camada com esistividade ρ vaiando de 0

70 56 até 600 [Ω.m]. Paa esta análise, consideou-se a haste com compimento l = [m] e aio = 0,0375 [m]. A Tabela 5.3 apesenta estes esultados. Nesta pimeia análise, manteve-se a mesma camada de solo alteando-se somente a esistividade. A Figua 5.8 apesenta os esultados da Tabela 5.3. O valo analítico da esistência de ateamento foi obtido usando a equação (.4). Tabela Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade do Solo. Resistividade Resistência Resistência Eo [%] [ohms.m] (simulação) [ohms] (analítico) [ohms] 0 3,33 3,47 4, ,57 7,36 4, ,5 7,77 4, ,7 34,7 4, ,9 69,44 4, ,45 04,6 3, ,60 38,87 4, ,76 73,59 4, ,03 08,3 6,37 simulação analítico Resistência de Ateamento [Ohms] Resistividade [Ohms.m] Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade do Solo - Solo Composto po uma Única Camada. Paa a segunda análise efetuada neste item, consideou-se o solo estatificado em duas camadas. Na pimeia camada com pofundidade de 5 [m] consideou-se a esistividade ρ = 00 [Ω.m]. Na segunda camada com pofundidade também de 5 [m], vaiou-se a esistividade ρ de 0 até 600 [Ω.m]. Paa está análise usou-se uma haste com aio = 0,04 [m] e com compimento l = [m]. A Tabela 5.4 apesenta estes esultados.

71 57 Tabela Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Resistividade da Segunda Camada de Solo. Resistividade da Resistência Resistência Eo [%] Segunda Camada ρ [ohms.m] (simulação) [ohms] (analítico) [ohms] 0 30,7 3,6 5, ,9 33,3 6, ,40 33,85 7,4 00 3,7 34,0 7, ,3 35,56 5, ,90 36,5 4, ,50 37,4, ,09 37,84 0, ,69 38,34 3,5 A Figua 5.9 mosta a distibuição do potencial elético paa duas camadas com esistividades distintas. Figua Distibuição do Potencial Elético paa duas Camadas de Solos com Resistividades Distintas. O valo analítico da esistência de ateamento foi obtido usando a equação (.5). A difeença ente os esultados analíticos e de simulação se deve, pincipalmente,

72 58 poque o equacionamento analítico considea duas camadas hoizontais com esistividade distintas. Já na simulação as camadas não são hoizontais, visto que se optou po ealiza uma modelagem axi-simética do poblema. A Figua 5.0 apesenta os esultados da Tabela 5.4 na foma gáfica. Obsevando a Tabela 5.4 e a Figua 5.0, obseva-se que a esistência de ateamento decesce quando a esistividade da pimeia camada é maio que a esistividade da segunda camada. Po outo lado, a esistência sofe um acéscimo quando a esistividade da segunda camada é supeio à esistividade da pimeia camada. Isto ocoe, devido à dispesão da coente no solo, que vai depende da altua ente as camadas e da concentação de água e sais no solo. simulação analítico Resistência de Ateamento [Ohms] Resistividade da Segunda Camada de Solo [Ohms.m] Figua Resistência de Ateamento de uma Haste Vetical em Relação à Vaiação da Resistividade da Segunda Camada de Solo. 5.5 Consideações Finais Neste capítulo foam apesentados os esultados obtidos paa um sistema de ateamento com uma e duas camadas de estatificação de solo. Atavés dos esultados da simulação, obteve-se uma compaação com o equacionamento analítico de um sistema de ateamento paa uma haste vetical. Todas as simulações se mostaam coeentes quando compaadas com o caso analítico, mesmo no caso com o solo composto po duas camadas de esistividades distintas, onde a equação analítica é obtida consideando duas camadas hoizontais e a simulação foi ealizada consideando camadas cilíndicas.

73 59 CAPÍTULO 6 Conclusão Ao témino deste tabalho, podem-se taça paâmetos em elação aos aspectos efeentes aos objetivos pé-estabelecidos. A escolha do aplicativo Labview como módulo do pocessado (solve) do cálculo das equações lineaes não se mostou satisfatóio, visto que o sistema de esolução se tona lento. Todavia, o Labview é satisfatóio como módulo de intefaces, ou seja, na pepaação de dados. Neste tabalho, os módulos no Labview foam divididos em pequenos aquivos, o que melhoou muito o seu desempenho em elação à memóia computacional solicitada. A escolha do Matlab como módulo do pocessado foi bem sucedida, até mesmo paa a esolução de sistemas de equações lineaes de gande pote. Foi desenvolvido um aquivo executável no ambiente Matlab, o que de ceta foma minimizou o tempo de cálculo do sistema linea em elação à memóia computacional. O ambiente Matlab foi esponsável pela pate de aplicação do método de elementos finitos, mas especificamente em dois aquivos: o cálculo do potencial e do campo elético. A utilização do método iteativo ICCG auxilia na aceleação dos cálculos. A sua escolha foi devido a sua ampla aplicação e aceitação em tabalhos pecedentes. A aplicação do método de elementos finitos paa os domínios contendo meios não homogêneos facilitou sua implementação. Duante a execução deste tabalho não foam ealizadas medições da esistência de ateamento em campo. Po isso, a validação da metodologia utilizada foi ealizada po meio de compaações com esultados analíticos e os esultados da esistência de ateamento simulados sempe que compaados com os esultados analíticos mostaam-se satisfatóios. Pode-se conclui que o desenvolvimento do aplicativo paa simulações de campos eléticos paa um sistema de ateamento fomado po uma haste vetical foi alcançado. Tabalhos sobe sistemas de ateamento estão se tonando indispensáveis, devido à suma impotância tanto do ponto de vista de seguança como econômico. Diante disto, seguem algumas sugestões paa tabalhos futuos na áea de sistemas de ateamento:

74 60 A) Modelagem do sistema de ateamento em altas feqüências: nas aplicações de altas feqüências (como, po exemplo, em telecomunicações) é necessáio considea o efeito capacitivo, pincipalmente nos solos de alta esistividade e, também, a influência da eatância indutiva ao longo dos condutoes e eletodos. Tais efeitos estão também pesentes paa as ondas impulsivas de coente e tensão, como aquelas associadas às descagas atmosféicas, pois as feqüências epesentativas desse tipo de onda são bastante elevadas. As caacteísticas do sistema de ateamento submetido a um impulso de coente elevado é completamente difeente daquelas em baixa feqüência. Quando o campo elético excede o gadiente de ionização ocoeá uma mudança na caacteística do solo. Isto basicamente tansfoma a pate afetada do solo de um isolado paa um bom conduto com esistividade despezível. Esta mudança de caacteística é basicamente equivalente a um aumento na dimensão do eletodo. O compotamento indutivo também se tona mais impotante em elação ao compotamento esistivo e, além disso, essas coentes elevadas podem gea ionizações do solo, cicundante aos condutoes de ateamento, as quais tonam as caacteísticas do tansiente tipicamente não-linea. Muitos atigos têm mostado que densidades de coentes elevadas tais como coentes povenientes das descagas atmosféicas causam ionização do solo, a qual acaeta a diminuição da esistência de ateamento e da tensão tansiente no eletodo. B) Medições da impedância e/ou da esistência de ateamento: efetua medições em campo da impedância e/ou da esistência de ateamento paa veifica o compotamento dessas gandezas em váios tipos de solo. É impotante lemba que a composição do solo é gealmente estatificada em váias camadas de fomação difeente. Além disso, o solo apesenta caacteísticas anisotópicas quando, po exemplo, camadas mais pofundas afloam em locais deteminados, ocasionando descontinuidades na supefície. Assim, a esistividade pode vaia dependendo da dieção consideada e, paa tata do solo de ceto local, passa-se a atibui o valo médio das esistividades das divesas pates que o compõem, denominada esistividade efetiva deste solo. A deteminação desse valo efetivo é extemamente impotante paa o cálculo da esistência/impedância de ateamento. C) Modelagem do sistema de ateamento aplicado em toes de tansmissão de enegia elética: este tipo de poblema apesenta um conduto de ateamento de compimento

75 6 elevado e que fica hoizontalmente enteado no solo em uma pofundidade definida po pojeto. Este assunto é inteessante po exigi, como na maioia dos casos de modelagem de ateamento, uma modelagem tidimensional (3D) do poblema. Uma outa maneia de esolve este poblema é usando o método da petubação associado à técnica de elementos finitos. Paa isso, é efetuada uma modelagem bidimensional (D) do conduto e do solo (longe das extemidades do conduto) e em seguida uma modelagem 3D das extemidades do conduto e do solo que envolve as extemidades. Logo após, veifica-se a petubação do cálculo 3D sobe o cálculo D. Esse pocedimento pemite esolve o poblema sem efetua a modelagem 3D em todo o domínio de cálculo [37].

76 6 ANEXO A - PROGRAMAÇÃO NO LABVIEW Nesta pimeia etapa de pogamação são desenvolvidos no Labview tês aquivos: wok, wok e wok3. O aquivo wok é um aquivo de leitua dos dados de saída e de paametização do pé-pocessado do Gmsh. Já os aquivos wok e wok3 são aquivos de pepaação de dados paa o cálculo de elementos finitos no ambiente Matlab. No Matlab é desenvolvido o pocessado atavés de dois aquivos executáveis: potencial.exe e campo.exe. Natualmente haveia possibilidade de continua executando os cálculos no ambiente Matlab, mas pefeiu-se mante o máximo possível de cálculo no ambiente Labview, devido à sugestão inicial. Sendo assim, uma nova inteface de pogamação é desenvolvida, agoa ente o Matlab e o Labview. Nesta inteface são ciados mais tês aquivos: wok4, wok5 e wok6. Estes aquivos têm a função de pepaa os dados já desenvolvidos em wok, wok e wok3, assim como os valoes do potencial.exe e campo.exe calculados no Matlab, paa o desenvolvimento do cálculo da esistência de ateamento. Estes aquivos são apesentados neste Anexo. A. Labview - Instumentação Vitual Os pogamas no Labview são denominados (VIs): instumentos vituais, e cada VI é composto po: i. Painel fontal: é a inteface com o utilizado, onde pemite a intodução de valoes num sistema e depois veifica seus efeitos e saídas no diagama. ii. Diagama de blocos: é constituído po uma linguagem gáfica (pogamação G). O diagama de bloco pode se entendido como um código fonte. Em [38] enconta-se uma excelente intodução sobe o Labview paa iniciantes. A.. Aquivo de Inteface Gmsh - Labview: wok.vi Neste aquivo os dados de saída e de paametização do Gmsh são lidos e pepaados paa os aquivos posteioes. A Figua A. mosta o painel fontal deste aquivo, lendo os aquivos de saída *.msh e de paametização *.geo do Gmsh.

77 63 Figua A. - wok.vi. A Figua A. mosta a pogamação em ambiente Labview no diagama de blocos do aquivo wok. Paa pode detalha o pocesso de pogamação, seá comentado passoa-passo os índices i, ii, iii, iv, v, vi, vii e viii. i. Lê o aquivo de saída do Gmsh, atavés da função de leitua. Tenta-se de todo o modo minimiza o efeito de solicitação de memóia computacional. Sendo assim, o aquivo é lido em fomato de sting ; ii. Neste índice, o pogama além de toca a notação paa sepaação da unidade das casas décimas de ponto paa vígula, tansfoma a sting paa aay - matiz ; iii. Aqui é feito a sepaação dos dados das coodenadas dos nós e dos dados das coodenadas dos elementos; iv. Consequentemente salva todas as coodenadas dos nós; v. Já neste, salva todas as coodenadas dos elementos; vi. Este índice tem como saída o veto da segunda coluna efeente aos dados dos elementos, confome da Figua 4.. vii. Neste índice, o pogama executa dois laços de pogamação: laço fo e laço while. Na entada do laço fo, tem-se o veto do índice (vi). A otina do laço fo vai identifica neste veto a numeação (), que é definido pelo Gmsh, como índice efeente ao elemento tiangula. Toda vez que a otina não enconta a numeação (), vai acescenta o valo

78 64 viii. zeo. Sendo assim, na saída do laço fo o pogama veifica só a numeação (), e faz a identificação da indexação da pimeia linha em que apaece a numeação (). O laço while, simplesmente faz a identificação da indexação da última linha em que apaece a numeação (); Neste índice o pogama vai sepaa todas as linhas e colunas contendo à numeação (), indexadas pelo índice (vii). Figua A. - Pogamação no Diagama de Blocos do Labview: wok.vi. Na Figua A., enconta-se um ponto de conexão (C). Esta conexão é à entada de outa otina no aquivo wok, que vai identifica os nós que ecebeão as condições de Diichlet com potencial nulo, confome Figua 4.3. Cabe salienta, que seão demonstadas as pincipais otinas de pogamação de cada (VI): a Figua A. mosta o pogama pincipal do aquivo wok. Não seá demonstada toda a pogamação gáfica, pois deixaia este texto poluído com muitas figuas. Po fim, o pogama wok tem como saída os seguintes aquivos:

79 65 Aquivo com as coodenadas dos nós em duas dimensões coodenadas.msh, confome Figua A.3: Figua A.3 - Coodenadas dos Nós. Aquivo com a numeação global do elemento tiangula de pimeia odem: Elemento+Coluna+Supefície.msh, confome Figua A.4: Figua A.4 - Numeação Global. Neste aquivo de saída, a pimeia coluna indica o índice (indexação) efeente à supefície: 9 é efeente ao solo e se efee à supefície da haste. Aquivo com as condições de Diichlet, imposta nos nós Diichlet.msh, confome Figua A.5:

80 66 Figua A.5 - Condições de Contono de Diichlet. A.. Aquivo de Pogamação no Labview - wok.vi A Figua A.6 mosta a pogamação em ambiente Labview no diagama de blocos do aquivo wok. Paa pode detalha o pocesso de pogamação seá comentado passoa-passo os índices i, ii, iii e iv: Figua A.6 - Pogamação no Diagama de Blocos do Labview: wok.vi. i. Lê o aquivo efeente à Figua A.4, só as tês últimas colunas que se efeem à numeação global; ii. Lê a pimeia coluna do aquivo efeente à Figua A.4, neste aquivo está indicada à numeação das supefícies do solo (9) e da haste (); iii. A pogamação deste índice é a mesma do caso do anexo A.., índice vii. Potanto, o pogama pocua consecutivamente pelos índices (9) e (), e

81 67 iv. os pepaa paa ecebe o valo da condutividade imposta no painel fontal, confome Figua 4.6; Este pocesso esulta em um aquivo indexado com as condutividades de cada supefície. Po fim, o pogama wok tem como saída: Aquivo com as condutividades de cada supefície condutividade.msh, confome Figua A.7: Figua A.7 - Condutividade das Supefícies (Solo e Haste). Em sequência, tem a pogamação do aquivo wok3 que é simplesmente toca a notação de vígula paa ponto dos valoes da condutividade da Figua A.7. Esta toca é necessáia, pois, o póximo passo de pogamação ocoe no ambiente Matlab, onde a notação é atavés de ponto. A. Aquivo de Pogamação no Matlab - Potencial Elético Entada de dados: clea clc tic; fomat long g; x = load('x.msh'); y = load('y.msh'); cc = load('cc.msh'); % coodenada x % coodenada y % condições de contono

82 68 val = cc(:,); % º coluna das condições de contono ndp = cc(:,); % º coluna das condições de contono cond = load('cond.msh'); % condutividade dos mateiais ng = load('nl.msh'); % coodenadas globais 0 = load('0.msh'); % valoes do cálculo do baicento do elemento tiangula xx = size(x); nd = xx(:,); % númeo de nós yy = size(ng); ne = yy(:,); % númeo de elementos zz = size(cc); np = zz(:,); % númeo de potenciais conhecidos MG = spalloc(nd,nd,0*nd); % inicialização da matiz global zeada com alocação de memóia b = zeos(nd,); % inicialização do veto b paa (i= a ne) faça x = x(ng(i,)) y = y(ng(i,)) x = x(ng(i,)) y = y(ng(i,)) x3 = x(ng(i,3)) y3 = y(ng(i,3)) p()= x*y3 - x3*y p()= x3*y - x*y3 p(3)= x*y - x*y q()= y-y3 q()= y3-y q(3)= y-y ()= x3-x ()= x-x3 (3)= x-x es=(cond(i,:)) b=0(i,:)

83 69 D=abs((p()+p()+p(3))) f=(pi*b*es)./(d) % Cálculo da matiz elementa paa (j= a 3) faça paa (k= a 3) faça CE(j,k)=(q(j)*q(k) + (j)*(k)).*(f) fim paa fim paa fim paa % pepaação paa implementação do método do gadiente conjugado A=spase(MG); % A ecebe a matiz global MG espasa LL=chol(A); % este comando veifica se a matiz é ou não singula n=length(b); % este comando etona o tamanho do veto b x0=zeos(n,); % inicialização do veto solução = 0 L=cholinc(spase(A),'inf')'; % fatoação incompleta de Cholesky O comando cholinc é uma função intena do Matlab. Pode-se utiliza a seguinte sub-otina computacional paa detemina a decomposição incompleta de Cholesky: paa (k= a n) faça se A(k,k)>0 então t(k,k)=sqt(a(k,k)) paa (j=k+ a n) faça se A(k,j)=0 então t(k,j)=0 senão t(k,j)=a(k,j)/t(k,k) fim se fim paa paa (i=k+ a n) faça paa (j=i a n) faça se A(i,j)~=0 e A(k,j)~=0 e A(k,i)~=0 então A(i,j)=A(i,j)-A(k,i)*A(k,j) fim se

84 70 fim paa fim paa senão disp('falha na fatoação') fim senão fim paa Simulações demonstaam que paa sistemas lineaes de gande pote o comando cholinc convege mais ápido, visto se um comando inteno do Matlab. Cálculo do pecondicionado: M=L*L'; % M é o pecondicionado O pecondicionado é uma técnica usada paa acelea o método iteativo, ou seja, eduzi o númeo de iteações paa que a matiz do sistema linea convija o mais ápido possível. tol=e-6; x=x0; Kmax=00; 0 = b - A * x 0 z 0 = M\ 0 k = 0 d 0 = z 0 % epesenta a toleância % uma apoximação inicial x0 da solução do sistema % estabelece um máximo de iteações possível paa o método convegi enquanto / b > tol e k kmax, epeti k alpha = T T z / d Ad x k k k k k = x k + alpha k d + = k + alpha k Ad + z k + = M \ k + beta = T T z / z k = k+ fim enquanto k + k k + save pot.txt x -ascii -double k k k k k k

85 7 Concluindo este pimeio pocesso, o pogama seguinte lê o aquivo de saída do pogama anteio pot.txt e o implementa paa a esolução do cálculo do campo elético. Entada de dados paa o cálculo do campo elético: x=load('x.msh'); % coodenada x y=load('y.msh'); % coodenada y nl=load('nl.msh'); % coodenadas globais xx=size(x); nd=xx(:,); % númeo de nós yy=size(nl); ne=yy(:,); % númeo de elementos Ex=zeos(ne,); Ey=zeos(ne,); xxx=load('pot.txt'); % lê os valoes dos potenciais paa (i= a ne) faça k=nl(i,:3) xl=x(k) yl=y(k) Vl=xxx(k) v=vl p=zeos(3,) q=zeos(3,) p()=yl()-yl(3) p()=yl(3)-yl() p(3)=yl()-yl() q()=xl(3)-xl() q()=xl()-xl(3) q(3)=xl()-xl() aea=abs(p()*q(3)-q()*p(3)) Ex(i)=sum((-(/aea)*(v.*p))) Ey(i)=sum((-(/aea)*(v.*q))) fim paa Field_x=Ex Field_y=Ey

86 7 save Cx.txt Field_x -ascii -double save Cy.txt Field_y -ascii double A Figua A.8 mosta os aquivos de saída do pocessado: Figua A.8 - (a) Potencial Elético, (b) Campo Elético na Dieção x e (c) Campo Elético na Dieção y. Em [39] é exemplificado passo-a-passo o desenvolvimento de aquivos executáveis em ambiente Matlab e Labview. A.3 Aquivo de Pogamação no Labview - wok4.vi A Figua A.9 mosta a pogamação em ambiente Labview no diagama de blocos do aquivo wok4. Paa pode detalha o pocesso de pogamação, seá comentado passoa-passo os índices i, ii, iii, iv e v: i. Lê a componente x do campo elético em coodenada (Cx.txt), calculado na pogamação pecedente; ii. Lê a componente y do campo elético em coodenada (Cy.txt), calculada na pogamação pecedente; iii. Cia uma matiz com as coodenadas x e y do campo elético (Cx e Cy).

87 73 iv. Lê o veto com as condutividades de cada supefície: condutividade.msh, confome Figua A.7; v. Aplica a equação 4., paa tabalha com a esistividade das supefícies, esultando no aquivo de saída: Densidade de Coente.txt. Figua A.9 - Pogamação no Diagama do Labview: wok4.vi. coente: A Figua A.0 mosta o aquivo de saída com os valoes da densidade de Figua A.0 - Densidade de Coente.

88 74 A.3. Aquivo de Pogamação no Labview - wok6.vi Como mencionado no capítulo 4, o aquivo wok5 é simplesmente um aquivo de pepaação de dados. Este aquivo salva em uma matiz as densidades de coentes elativas à supefície da haste. Cabe salienta, que os itens no anexo A, são dados efeentes a uma malha gosseia, pois só assim é possível a visualização dos aquivos de saída em escala meno, paa possíveis comentáios (Figua 4.). Na Figua 4.4 é mostada a malha do sistema de ateamento. Veifica-se que existe neste caso somente dois elementos tiangulaes na supefície da haste. O aquivo wok5 sepaa as densidades de coente destes dois elementos e a Figua A. mosta este aquivo com as densidades de coente. Figua A. - Aquivo de Entada do wok6.vi. i. Contém as coodenadas dos elementos tiangulaes; ii. Contém as densidades de coente dos elementos tiangulaes. A Figua A. mosta a pogamação em ambiente Labview no diagama de blocos do aquivo wok6. Ao enta os dados da Figua A. têm-se os seguintes índices: i. Neste índice são sepaadas as coodenadas x, x e x3 do elemento tiangula; ii. Após a sepaação das coodenadas do índice anteio, é feito aqui uma análise de compaação, efeente ao aio que esta sendo simulado, da Figua 4. tem-se o aio de 0,05 [m]. Potanto, a análise booleana veifica se as coodenas x são iguais a coodenada do aio, se fo vedadeio, significa que o elemento tiangula esta na boda da supefície. Com a equação 4. é calculada a coente na supefície lateal da haste. A Figua A.3 mosta os elementos tiangulaes sepaados em uma suposta malha mais densa, paa o cálculo da coente na áea lateal da haste;