MODELOS DE REGRESSÃO APLICADOS EM EPIDEMIOLOGIA I, II e III. (HEP- 5743, HEP-5763 e HEP-5764)

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1 FACULDADE DE AÚDE PÚBLICA - UP DEPARTAMENTO DE EPIDEMIOLOGIA MODELO DE REGREÃO APLICADO EM EPIDEMIOLOGIA I, II e III (HEP- 5743, HEP-5763 e HEP-5764) Profa. Dra. MARIA DO ROARIO DIA DE OLIVEIRA LATORRE Professora Ttular do Departameto de Epdemologa Motora: Etee Dum 5

2 . Itrodução à aálse de regressão; PROGRAMA. Nocões de covarâca e correlação; 3. Modelo de regressão lear smples e múltpla: estmação dos parâmetros; tabela de aálse de varâca (ANOVA); dstrbuções de probabldades: Normal, t-tudet, F-edecor e ²; terpretação dos coefcetes; aálse dos resíduos; teste F-parcal; correlação parcal e múltpla; varáves dcadora; cofusão e teração; escolha do melhor modelo; 4. Modelo de regressão polomal; 5. Aálse de tedêca em séres hstórcas usado modelos de regressão; 6. Modelo de regressão logístca smples e múltpla: o modelo logístco; estmação dos parâmetros; terpretação dos coefcetes; meddas de ajuste do modelo; cofusão e teração; escolha do melhor modelo; aálse de resíduos; 7. Noções do modelo de rscos proporcoas de Cox (regressão de Cox), modelo de regressão de Posso e modelo dade-período-coorte. 8. Modelagem herárquca MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

3 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA. Barros AJD. Modelagem Estatístca em Estudos Epdemológcos. O Modelo Logístco. Campas, 99.[Dssertação de Mestrado - Isttuto de Matemátca, Estatístca e Cêcas da Computação da Uversdade Estadual de Campas]. Berquó E, ouza JMP; Gotleb LD. Boestatístca. EPU, ª edção revsta, ão Paulo, Breslow NE; Day NE. tatstcal Methods Cacer Research: vol. - The Aalyss of Case- Cotrols tudes. IARC, Lyo, DAWON-ANDER B; TRAPP RG. Boestatístca Básca e Clíca. 3a. edção, Lage - Appleto & Lage/Mc Graw-Hll,. 5. DIGGLE PJ.Tme seres: a Bostatstcal troducto. Oxford Uversty Press; Draper NR; mth H. Appled Regresso Aalyss. Joh Wley ad os, 3 rd edto. New York, Hosmer DW; Lemeshow. Appled logstc regresso. Joh Wley ad os, d edto. New York,. 8. Hulley, B; Cummgs R; Brower W; Grady D; Hearst N; Newma TB. Desgg Clcal Research. Lppcott Wllams & Wlks, Phladelpha,. 9. Klebaum DG; Kupper LL; Muller KE; Nzam A. Appled regresso aalyss ad other multvarable methods. 3 rd edto. Brooks/Cole Pub Co, Bosto, Curs AT; Mzam A. tudet solutos maual for Klembaum, Kupper, Muller ad Nzam s Appled regresso aalyss ad other multvarable methods. Brooks/Cole Pub Co, Bosto, Klebaum DG; Kle M. Logstc regresso. A self-learg text. d edto. prger-verlag, New York,.. Lee ET. tatstcal methods for survval data aalyss. d edto. New York, Joh Wley & os INC, Magalhães MN; Lma ACP. Noções de Probabldade e Estatístca. EDUP. ão Paulo,. 4. Morett PA; Tolo CMC. Prevsão de éres Temporas. Atual Edtora Ltda. ª edção. ão Paulo, Massad E; Meezes R; lvera PP; Ortega NR. Métodos Quattatvos em Medca. Maole Edtora Ltda. ão Paulo Perera MG. Epdemologa Teora e Prátca. Ro de Jaero: Edtora Guaabara Kooga, Revsta Braslera de Epdemologa. ; 4(3): zklo M; Javer-eto F. Epdemology Beyod the Bascs. Aspe Publcato. Baltmore,. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

4 3 CRONOGRAMA AGOTO 4- Itrodução à aálse de regressão. modelo de regressão lear smples. 8 - modelo de regressão lear smples e regressão lear múltpla. 5- modelo de regressão lear múltpla ETEMBRO - modelo de regressão polomal. semáro 8 - aálse de tedêca em séres hstórcas usado modelos de regressão. 5- etrega do exercíco modelo de regressão logístca uvarada modelo de regressão logístca uvarada e múltpla 9 - semáro modelo de regressão logístca uvarada e múltpla OUTUBRO 6- modelo de regressão logístca uvarada e múltpla 3 outros modelos de regressão semáro 3 - modelo de regressão logístca múltpla - modelagem herárquca 7 - modelo de regressão logístca múltpla - semáro 4 NOVEMBRO 3 - modelo de regressão de Cox e de Posso. - semáro 5:The rsk of determg rsk wth multvarable models etrega do exercíco 7-4????????? PROVA???????? MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

5 4 Carga horára: horas ( crédtos) Horáro da aula teórca/prátca: 3ª feras, das 8 às horas Horáro para exercícos com motor: 5ª feras, das 9 às horas Locas : aula teórca: ala Ferado Gumarães aula prátca: ala de Iformátca do HEP (º. adar) motora: ala de Iformátca do HEP (º. adar) MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

6 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5 5

7 6 INTRODUÇÃO À ANÁLIE DE REGREÃO Na prátca há dversas stuações em que a aálse de regressão é aproprada:. Quado se deseja caracterzar a relação etre uma varável depedete (Y) e uma ou mas varáves depedetes ( ), é, avalar a extesão, dreção e força da relação (assocação).. Procurar uma fução matemátca ou equação para descrever a varável depedete (Y) como fução da varáves depedetes ( ), é, predzer Y em fução dos ; determado o melhor modelo estatístco que descreva essa relação. 3. Descrever quattatva e/ou qualtatvamete a relação etre os e Y, cotrolado o efeto de outras varáves (C ). 4. Verfcar o efeto teratvo de ou mas varáves depedetes às quas se relacoam com a varável depedete. 5. Determar quas das mutas varáves depedetes são mportates para descrever ou predzer a varável depedete. Ordear as varáves depedetes em sua ordem de mportâca em relação à varável depedete. 6. Comparar múltplos relacoametos dervados da aálse de regressão. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

8 7 É mportate ser cauteloso sobre os resultados obtdos em uma aálse de regressão, ou, de uma maera mas geral, em qualquer aálse utlzado téccas estatístcas que procurem quatfcar uma assocação etre ou mas varáves. A aálse estatístca pode estar correta, porém os dados podem estar vcados e/ou completos. (vícos o deleameto, a amostragem, as meddas, a escolha das varáves e outros) O achado de uma assocação estatístca sgfcatva em um partcular estudo ão estabelece uma relação causal. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

9 8 QUETÕE BÁICA Qual a fução matemátca mas aproprada a ser utlzada? (Em outras palavras: os dados se ajustam melhor a uma reta? A uma parábola? A uma fução logístca?) Como determar o melhor modelo que se ajuste aos dados? Qual a valdade e a precsão da(s) estmatva(s) do(s) coefcete(s) de regressão? A preseça, o modelo, de determada varável depedete melhora a precsão do mesmo? Dado um modelo específco, o que ele sgfca? ETRATÉGIA (stepwse): MODELO MAI COMPLEO (BACKWARD ELECTION) MAI IMPLE MODELO MAI IMPLE MAI COMPLEO (FORWARD ELECTION) MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

10 9 UPOIÇÕE. Dstrbução Normal Para um valor fxo da varável aleatóra (v.a.) (que, dealmete,deve ser cotíua), Y é uma v.a. com dstrbução ormal, com méda e varâca ftas. Y N Y ; Y /. Os valores de Y são depedetes us dos outros. (às vezes esta suposção é volada quado se faz dferetes observações o mesmo dvíduo, em tempos dferetes) 3. Leardade O valor médo de Y ( reta sobre os. Y ) é uma fução de lha 4. Homocedastcdade A varâca de Y é a mesma, qualquer que seja., e k; e, Y / Y / Y / K para todo. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

11 MÉTODO DE ETIMATIVA DE PARÂMETRO. MÉTODO DO MÍNIMO QUADRADO É o método que determa a lha reta mas aproprada, mmzado a soma dos quadrados das dfereças etre os valores estmados de Y por meo da reta de regressão (Y ) e os valores observados de Y.. MÉTODO DA MÁIMA VEROIMILHANÇA Cosste em determar uma fução, deomada fução de verossmlhaça, que é a fução L y, de probabldade de ocorrêca daquele específco cosjuto de dados e estmar os parâmetros que maxmzam a mesma. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

12 O MODELO DE REGREÃO LINEAR IMPLE A fução que determa uma reta é: Y = +. Porém, como se deseja fazer uma estmatva, a reta de regressão estmada pode ser escrta da segute maera: Y = +, e Y = + +ε, ode = erro =Y - Y e são estmados pelo Método dos Mímos Quadrados da segute maera: Em uma amostra de tamaho tem-se pares de observações das v.a. e Y: (, Y),... (,Y ) e equações do tpo. omado-se todas as equações, tem-se: Y A soma () dos quadrados dos desvos () é: Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

13 Para se ecotrar os valores de e que mmzam a equação acma deve-se dervá-la em relação a, gualado as equações a zero. (Não e se preocupem que ão re demostrar sso esse curso!!). são: Dessa maera os valores estmados para e Y Y = Y Y Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

14 3 Aalsado melhor a equação... Y =β +β + (lembrado que =resíduo= Y Y ) Qual o valor esperado para? ( ) Na verdade, ~ N,. ubsttudo-se o valor de ecotra-se que: a equação Y Y +. Isso sgfca que quado Y Y. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

15 4 PRECIÃO DA RETA ETIMADA Cosdera-se a segute detdade: Y Y Y Y Y Y. Elevado-se ao quadrado os lados da gualdade acma e fazedo-se a soma de todas as equações (=,,...,), obtem-se: Y Y Y Y + Y Y QT QR QM + QT: soma de quadrados total, é, soma dos quadrados dos desvos do valor de Y da -ésma observação em relação à méda dos Y. QR: soma dos quadrados devdo aos resíduos, é,a soma dos quadrados dos desvos etre o valor de Y da -ésma observação e seu valor estmado. QM: soma dos quadrados devdo à regressão, é, a soma dos quadrados dos desvos do valor estmado de Y para a -ésma observação e a méda dos Y. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

16 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE Y Y Y Y + Y Y

17 6 A equação é chamada a EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA REGREÃO e pode ser reescrta como: soma dos quadrados sobre a méda (QT) = soma de quadrados sobre a regressão (QR) + soma de quadrados devda à regressão (QM). Isso sgfca que a varação total dos Y's sobre sua méda pode ser explcada uma parte pela lha de regressão e outra pelos resíduos. e todos os Y's caíssem sempre a lha de regressão a QR sera zero!! Portato, quato mas a QM for próxma da QT melhor. Daí derva-se uma medda quattatva de precsão da reta estmada deomada r (coefcete de determação). r quato QM QT mas r r, melhor MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

18 7 ANOVA FONTE Q GL MÉDIA F DEVIDO A REGREÃO Y Y QUADRÁTICA (MQ) QM/GL F c, DEVIDO REÍDUO AO por subtração - QR GL MQM MQR TOTAL Y Y - QT = QR + QM Y Y Y Y Y Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

19 8 REGREÃO LINEAR IMPLE. O MODELO Y = Y = = Y - lembrar que Y Y Y Y/ Y ~ N ;..Estmatvas para s Y/ a) Y/ QR Y, se b) Y/ QM, se MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

20 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE INTERVALO DE CONFIANÇA PARA Y Y Y Y/ IC = Y -..TETE DE HIPÓTEE PARA Y = Y H : Y = Y H : Y Y Y Y - ode -,- Y/ ' ' a ' o ' Y/ t t t t c ~.3 INTERVALO DE PREDIÇÃO PARA Y, ode Y é observação e ão parâmetro. IP = Y - Y/, t

21 3. A INCLINAÇÃO:. a) o estmador: Y Y Y Y b) o Itervalo de Cofaca (IC) : IC = t, Y/ - c) o teste de hpotese : H H o a : : c..) teste F: F MQM MQR, ode F o c ~ F, c..) teste t: t o Y/ -, ode t c ~ t d) Y/ - MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

22 4. O INTERCEPTO: a) o estmador: Y b) o tervalo de cofaca (IC) : IC = t, Y/ - c) o teste de hpotese : H : H a : t o ; ode t c ~ t Y/ - d) Y/ - MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

23 H:B= ão é rejetada MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

24 3 5. O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ( ) E A ANÁLIE DE REGREÃO DEFINIÇÃO : Y = Y Y Y Y Y Y Y Y Y PROPRIEDADE : a) - + b) ão possu dmesão, é, ão depede das udades de e Y Na aálse de regressão lear, um estmador para o coefcete de correlação é: r Y propredade : r tem o mesmo sal de se r se r se r MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

25 4 TETE DE HIPÓTEE PARA : H H a : : = t o r - - r ; ode t c ~ t obs : é equvalete aoteste H : =, pos Y = r Y INTERVALO IC + r l - r DE CONFIANÇA = + r l - r (IC) : z OB: como H : = pode ser escrto teramete em termos de r e de, pode-se realzar o teste de hpótese mesmo sem o ajuste de uma lha reta. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

26 5 Lembram-se do r? Na verdade, r = (r). R r QM QT como - r + R quado R e QR = o ajuste é perfeto!!! por outro lado, quado R e que QT = QR ão há melhora a predção de Y, quado se utlza. O que r ão mede:. a magtude da clação de uma reta de regressão;. ão é uma medda aproprada para avalar a leardade do modelo. quado r é baxo MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

27 6 6. ANÁLIE DO REÍDUO ( =e ): e Y Y, =,,... uposções: a) os e são depedetes, é, COV(e,e k ) =, para k. b) e ~ N, e, ode = costate e 6.. Aálse Global: se e ode IC ~ N e 95% ; e - p e.96;.96 e e e e e ~ N(;) e - p ; p = o. de varáves dep. teste estatístco: aderêca dos e à curva Normal. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

28 7 6.. Gráfco e Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

29 8 a varâca ão é costate (coforme suposto): deve-se fazer uma trasformação a varável depedete Y, ates da aálse de regressão ou fazer a estmação por mímos quadrados poderados. erro a aálse de regressão: o modelo está vcado. o modelo é adequado. ão ecessáros termos adcoas (ex:quadrátco ou produtos cruzados) ou é ecessáro que se faça uma trasformação a varável depedete Y ates da aálse Gráfco e : dem ao 6.. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

30 eqüêca o tempo (obs: é ecessáro que se coheça a seqüêca, o tempo, em que os resíduos ocorrem) a varâca ão é costate o tempo: deve-se utlzar mímos quadrados poderados. o tempo deve ser uma varável depedete a ser troduzda o modelo (termo lear). dem ao, mas acrescetar, também, o termo de o. grau 6.5. testes estatístcos: dos sas e outros. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

31 3 7. VALORE ABERRANTE (OUTLIER) Um valor aberrate é um poto pecular do cojuto de dados e, por sso, deve ser examado cudadosamete para que se descubra a razão de sua partculardade. Não é prudete descartá-lo sem ates se proceder à uma vestgação. Ele pode ser descartado quado seu valor for devdo à um erro de mesuração e/ou regstro ou devdo à outro fator extero ao estudo. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

32 3 ANÁLIE DE REGREÃO LINEAR MÚLTIPLA (MULTIVARIADA????) Y... k k ; k : umero de varaves Y f,,..., k, utlzado amostra de tamaho Y... k k Y : v.a. depedete j : v.a. depedetes (regressores) j : coefcetes de regressão (a serem estmados) (cada j represeta a mudaça em Y k para uma udade de cada j, quado todas as outras varáves /,..., depedetes permaecem costates) ex: E Y /... k E Y /,... k E Y /,... 3 k E Y /, k MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

33 3 ETIMATIVA POR MÍNIMO QUADRADO: Y Y achar os j que mmzam esta expressão : erro = resíduo (desvo do verdadero valor de Y em relação ao valor estmado pelo modelo, é, Y Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

34 33 UPOIÇÕE BÁICA ão as mesmas do modelo smples, porém com extesão para múltplas varáves.. Dstrbução Normal Para um cojuto de valores fxos das v.a. j (que, dealmete, devem ser cotíuas), Y é uma v.a. com dstrbução ormal, com méda e varâca ftas (aqu se trabalha em um espaço k-dmesoal). Y ~ N ( Y Y /,,..., k ;). Os valores de Y são depedetes us dos outros. 3. Leardade O valor médo de Y (Y Y k lear sobre os j. /,,..., ) é uma fução de 4. Homocedastcdade A varâca de Y é a costate, qualquer que seja o cojuto dos j. 5.Não exste correlação etre os erros, é, para quasquer amostras tem-se que :. COV,, l l MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

35 34 6.Cada varável depedete ão está correlacoada com o termo de erro, é, para cada, COV,, j j j 7.Não há coleardade perfeta etre as varáves depedetes, é, ehuma varável depedete está relacoada learmete, de maera perfeta, com uma ou mas varáves depedetes. EQUAÇÃO GERAL DA REGREÃO Y Y Y Y + Y Y QT QR QM + QTotal=Q devda ao resíduo + Q devda à regressão MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

36 35 ANOVA (modelo geral) FONTE Q GL MQ F TOTAL regressão k QM k resíduo Y Y Y Y -k- QR F o k, k MQM k MQR TOTAL Y Y - r QM QT ; F c ~ F k, k MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

37 36 MATRIZ DE CORRELAÇÃO É uma matrz (k+) x (k+), sedo k o úmero de varáves depedetes que serão testadas o modelo múltplo. Nesta matrz aparecem os coefcetes de correlação (r) etre todas as varáves de estudo, sedo que a prmera lha deverão estar os coefcetes de correlação etre a varável depedete e as varáves depedetes. Esta é uma matrz com a dagoal utára Y 3... k Y r Y, r Y, r Y,3 r Y,k ordem de etrada das varáves depedetes r, r,3 r,k r,3 r,k coleardade k MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

38 37 ANOVA (adção de varáves) FONTE Q GL MQ F parcal regressão * QM F o MQM, MQR / * QM MQM F, o MQR... k /,,... k- * QM k F o..., MQM k k MQR resíduo Y Y -k- QR k TOTAL Y Y - * fórmulas as págas segutes. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

39 38 TETE DE HIPÓTEE. Teste de sgfcâca do modelo geral H :... k H : exste pelo meos um dos a j F MQM o MQR, ode F c ~ F k, k F R k R k. teste do tercepto H H F a : : QR modelo sem QRmodelo com QR modelo com c, k - k -, F ~ F F Y Y Y, F ~ F c, MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

40 39 3. Teste do F parcal * H :,o * H a : * H a : melhora dado que, modelo Y =,..., já estao o modelo... sgfcat vamete a predcao de Y, p p p * * * * QM /,,..., QM,,...,, QM,,..., p p p * F /,,..., p o p * QM /,,..., MQR,,...,, p p * * F /,,..., ~ F p p, p c MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

41 4 4. Teste múltplo do F parcal * * * H :... k o modelo * * * * * * Y =... p p... k k bloco de varáves * Ha : pelo meos um j * Ha :o bloco tero dos j melhora sgfcat vamete a predcão de Y, dado que,,...,p já estão o modelo * * *,,..., k /,,..., p * * *,,..., p,,,..., k,,..., p QM QM QM * * * F,,..., /,,..., mpo k p * * * QM,,..., /,,..., k MQR,,...,,,,..., * * * p k p k * * * Fmp,,..., /,,..., ~ F, c k p k p k OB:. como recohecer varável de cofusão?. como testar teração etre varáves depedetes? MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

42 4 CORRELAÇÃO MÚLTIPLA Y =... k k DEF. r Y Y Y Y,,... r, Y/ k Y Y Y Y Y Y r Y, Y YY Y Y Y. Y Y DEF: coefcete de determação múltpla (r ) r Y/,,... k R Y, Yˆ Y Y Y Yˆ QM QT Y Y MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

43 4 Coef. de determação múltpla ajustado (r aj.) r aj r k k. r r k k r aj leva em cota a chace de cotrbução de cada varável cluída, subtrado-se o valor que sera esperado se ehuma varável depedete fosse assocada à varável depedete. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

44 43 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO PARCIAL r Y,/j é uma estmatva de Y,/j Vamos supor a stuação em que teho apeas duas varáves depedetes e. Y, / Y / Y /, Y / Nesta stuação partcular, tem-se que o coefcete de correlação parcal ao quadrado é: Y, / r QR do modelo so com QR QR do modelo completo, e, com e mod elo so com Y, / r extra Q devdo a adcao de, dado que ja estava o modelo QR modelo so com r Y, / r r. r Y, Y,, ry,. r, A estatístca F parcal ( p /,,... k ) é a utlzada para testar se r Y, p /,,..., k. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

45 44 Represetação alteratva do modelo de regressão. Todos os coefcetes de regressão podem ser escrtos em fução das correlações parcas. Por exemplo, para k=3 (é, 3 varáves depedetes), tem-se: Y 3 3 ry, /. 3 3 r r Y, / 3 Y, / 3 Y /. 3 /. 3 Y /. 3 /. 3 Y /. /. 3 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

46 45 COLINEARIDADE Y o pode - se demostrar que : c j j - r e que, e são dretamet e proporcoas a - r, FIV : fator flacoáro da varâca FIV quado - R j FIV R FIV há coleardade j.9 r j.95 Para se evtar a coleardade pode-se "cetralzar" a varável. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

47 46 VARIÁVEI CATEGÓRICA EM REGREÃO LINEAR Há dos métodos para se aalsar varáves categórcas em regressão lear: MÉTODO Estmar uma equação de regressão para cada categora da varável. MÉTODO Defr uma(algumas) varável(es) dummy e corporá-la(s) o modelo. Este método é meos poderoso. VARIÁVEI INDICADORA Varáves dcadoras (ou dummy ) são quasquer varáves que têm um úmero fto de valores que represetam dferetes categoras de uma varável qualtatva. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

48 47 Exemplo: Y= PA = dade ; Z = sexo Z = sexo = masculo Z = sexo = femo Y = Z + Z 3 qdo Z = Y = M qdo Z = Y = + F 3 Y = ( ) ( + ) 3 F 3 O modelo () corpora as equações de regressão separadas [() e (3)] em um úco modelo. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

49 48 COMPARAÇÃO DE RETA DE REGREÃO Questão:será que a assocação etre PA e dade é a mesma para homes e mulheres? Pergutas:. As clações das retas são guas?(é, exste paralelsmo?). Os terceptos das retas são guas?(somete o caso das retas ão serem paralelas) 3. As retas têm terceptos e clações guas?(é, são cocdetes?) MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

50 49 CONTINUAÇÃO DO MÉTODO. teste de paralelsmo de retas M M M F F M F M F F H H a : : M F M F t o M F M F t ~ t c F M 4 M F P, Y / M M F F P, Y / M Y / M F Y / F M F 4 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

51 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE teste do tercepto M F a H H t t t M F M F M F M F o M F c P Y M F M M F F M F F M M F M F : : ~, / 4 3. teste de cocdêca de retas e ambas as hpóteses ulas forem acetas: a de paralelsmo e mesmo tercepto.

52 5 "PAO" PARA E FAZER MODELAGEM EM REGREÃO.elecoar as varáves depedetes, ão se esquecedo das possíves varáves de cofusão;.codfcar prevamete as varáves; 3.Fazer gráfcos de dspersão (scatter plot) com todas as varáves, a ; 4.Fazer a aálse uvarada das varáves depedetes, ão se esquecedo de fazer a aálse de resíduos. 5. Fazer a matrz de correlação para avalar a coleardade das varáves depedetes e defr a ordem de etrada das mesmas o modelo múltplo. 6.Fazer a aálse múltpla, avalado a sgfcâca do modelo geral, de cada uma das varáves e do cremeto de cada uma delas, através do teste F e Fparcal. Não se esquecer de avalar os possíves efetos de cofusão e a coleardade etre as varáves; 7.Decdr pelo melhor modelo, é, o mas "ajustado". Fazer a estmação por poto e por tervalo de cada um dos j ; 8.Avalar as terações apeas para as varáves de cofusão; 9. Fazer aálse dos resíduos. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

53 5 ANÁLIE DE REGREÃO POLINOMIAL Y... k k ANOVA (regressão polomal) FONTE Q GL MQ Fparcal regressão * / * QM QM F, o MQM MQM F, o MQR MQR... k /,,... k- * QM k... F o, k MQM k MQR resíduo Y Y -k- QR k TOTAL Y - Y * fórmulas guas às já ctadas. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

54 53 MODELO DE REGREÃO LINEAR Y MODELO DE REGREÃO DE a ORDEM Y MODELO DE REGREÃO DE 3a ORDEM Y 3 3 MODELO DE REGREÃO EPONENCIAL Y * e ou l( Y ) l( ) MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

55 54 ANÁLIE DE ÉRIE (HITÓRICA) TEMPORAI Uma sére hstórca, também deomada sére temporal, é uma seqüêca de observações obtdas em tervalos regulares de tempo, durate um período específco. Este cojuto pode ser obtdo através de amostras peródcas do eveto de teresse, ou cumulatvamete. Deoma-se trajetóra de um processo, a curva obtda o gráfco da sére hstórca. O cojuto de todas possíves trajetóras é deomado um processo estocástco, sedo a sére temporal uma amostra deste processo. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

56 55 DEFINIÇÕE sére temporal (Z) É um cojuto de observações ordeadas o tempo. Essas observações podem ser dscretas ou cotíuas. dscreta: Zt t =,,... valores semaas do úmero de casos de Ads em ão Paulo coefcetes de mortaldade (mesas, auas) cotíua: Z(t) t,t o regstro de um eletrocardograma de uma pessoa. o movmeto da costa terrestre, obtdo através de um ssmógrafo. Essas observações podem ser obtdas através de amostras peródcas ou cumulatvamete. trajetóra do processo tempo. É a curva obtda o gráfco das observações o MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

57 56 processo estocástco É um cojuto de todas as possíves trajetóras que poder-se-a observar. Cada trajetóra é chamada de uma sére temporal. processo estocástco população sére temporal amostra cclo: É o tempo que um determado feômeo leva para ter um comportameto peródco. Dz-se, esse caso, que o feômeo é cíclco. Esse cclo pode ou ão ser cohecdo a pror. Um feômeo cíclco evolve um comportameto sazoal. Porém o verso ão é verdadero. estacoaredade: Uma sére é cosderada estacoára quado as suas observações ocorrem, aleatoramete, ao redor de uma méda costate. Essa é a suposção de grade parte dos modelos. Quado sso ão ocorre é ecessáro que se façam trasformações os dados e/ou se utlzem modelos adequados. A ão aleatoredade é um feômeo freqüete. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

58 57 Dz-se que uma sére é estacoára quado, para qualquer state de tempo t e para qualquer m, tem-se: Z Z f f, m,,... t t m E Zt E Zt +m, t e VarZt VarZt +m, t MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

59 58 COMPONENTE DE UMA ÉRIE TEMPORAL Uma sére hstórca pode ser decomposta em 3 compoetes ão observáves: tedêca (Tt), sazoaldade (t) e a varação aleatóra deomada de ruído braco (at). T t tedêca Esse é um compoete ão aleatóro que, mutas vezes, só cosegue ser meddo e/ou detectado em logas séres de tempo. t compoete sazoal Ocorre quado duas observações o tempo são correlacoadas, ou seja, ão são depedetes. Para se avalá-lo é ecessáro aalsar as fuções de autocovarâca e de auto-correlação da sére. a t ruído braco também cohecdo como resíduo. upõe-se que esse seja um compoete aleatóro, com méda zero e varâca costate ( em toda a sére). MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

60 59 Modelo adtvo: Zt=Tt+t+at (pode haver, também, o modelo multplcatvo, que ao se realzar a trasformação log, ele se trasforma o modelo log-lear). Ao ser feta a aálse de uma sére hstórca, deve-se estudar cada um destes compoetes separadamete, retrado-se o efeto dos outros. TENDÊNCIA Para aalsar a tedêca os métodos mas utlzados são: a) ajustar uma fução polomal do tempo ou b) aalsar o comportameto da sére ao redor de um poto, estmado a tedêca aquele poto. Após a estmatva da tedêca, uma sére lvre de tedêca sera a sére (Zt-Tt). MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

61 6 AZONALIDADE Esta parte da sére hstórca é dfícl de ser estmada, compatblzado a questão cocetual do feômeo em estudo, com a questão estatístca. e houver uma sazoaldade dta determístca pode-se utlzar modelos de regressão que corporem fuções do tpo seo ou cosseo à varável tempo. Para se retrar o efeto da sazoaldade de uma sére, pode-se fazer a méda móvel cetrada o úmero de períodos que compõem uma repetção (por exemplo, para sazoaldade aual, sera utlzada a méda móvel de meses), ou, etão, podera-se trabalhar com a dfereça etre a sére orgal (Zt) e o polômo estmado para a sazoaldade. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

62 6 REGREÃO LOGÍTICA Varável depedete é qualtatva dcotômca (preseça/ausêca) Objetvo prcpal do estudo é estudar os fatores assocados à preseça do eveto de teresse. EEMPLO Y= doeça coroaraa(dc) Y = DC = sm Y = DC = ao IDADE DC IM NÃO TOTAL p=% de sm Total Fote: Klembaum,Kle,. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

63 6,9,8,7,6,5,4,3,, Pr ob e Y p f x Quado a f(x) é uma fução lear, tem -se que Pr ob(y ) p e e Prob(Y ) = Prob(Y = ) = - p = - e = e e MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

64 63 doete ão doete TOTAL EPOTO a b a+b NÃO EPOTO c d c+d TOTAL a+c b+d N=a+b+c+d Meddas de rsco: RP: razão de prevalêcas RP = a a + b c c + d RR: rsco relatvo RR = a a + b c c + d OR: odds rato OR = a b c d a.d b.c desdade de cdêca, cdêca acumulada. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

65 64 Y = varável depedete; varável categórca (,) Y = Y = Y ~ P(Y = ) = Beroull P(Y = ) = - E Y y P Y y P Y P Y - O objetvo é escrever Y em fução de, porém, a regressão logístca, se escreve a probabldade de Y como fução de e ão Y. x x E Y / f e e x f x x Quado a f (x) e uma fução lear, tem - se que x e e e - x l - x Fazedo - se a trasformação para o logto de x, MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

66 65 UPOIÇÕE. Y é uma varável dcotômca (,). A extesão para outras varáves categórcas ão será vsta este curso.. Os valores de Y são depedetes. 3.. E Y x EY x erro = resíduo ~ Bomal, pos = com prob. = com prob.- x, se EY x, x, se EY x x x varâca ão é costate, 4. A covarâca etre dos erros quasquer é zero. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

67 66 ETIMATIVA DO PARÂMETRO Na regressão logístca é utlzado o Método da Máxma Verossmlhaça para se estmar os parâmetros. De uma maera geérca, pode-se dzer que o método da máxma verossmlhaça forece os valores para os parâmetros a serem estmados, os quas maxmzam a probabldade de se obter o cojuto de dados exstete. Para se aplcar este método, em prmero lugar precsa-se defr a fução de verossmlhaça. Na stuação em que a varável depedete é dcotômca, tem-se: MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

68 67 eja Y = e - - e - e para um arbtráro valor de x PY = / x PY = /, f Y Y - A fução de probabldades de Y é -Y Assm, para aqueles pares a fução de verossmlhaça é cotrbução é -, x Y =, ode =,,.... x x,, a cotrbução para e aqueles ode Y, a A fução de verossmlhaça termos dados acma, é, é defda pelo produto dos L f Y No etato, e mas fácl maxmzar o l L. ll y l - y l- MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

69 68 Para ecotrar os valores dos que maxmzam a fução acma deve-se dervar l L ~ em relação a cada um dos e gualar a zero. Como estas equações ão são leares, são ecessáros métodos teratvos e sua solução ão é fácl! Porém os softwares fazem sso por ós!!!! As equações são: y x e x y x Estas são as chamadas equações de verossmlhaça. Normalmete as saídas de computador forecem ão só os valores dos, mas, também, os respectvos erros padrão (E ). Os valores dos E serão utlzados para os testes de sgfcâca dos coefcetes e para o cálculos dos respectvos tervalos de cofaça. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

70 69 No caso do por modelo (modelo só com ), o logartmo da fução de verossmlhaça pode ser calculado por: o.l l l l L ode: : úmero de casos de Y= : úmero de casos de Y= =+= total da amostra MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

71 7 TETE DE HIPÓTEE Na regressão logístca a comparação etre o valor observado e o valor predto pela regressão ão é feta através da ANOVA, mas é baseada o logarítmo da fução de verossmlhaça já defda l L ~.. Teste da razão de verossmlhaça É feta a comparação etre a fução de verossmlhaça dos valores observados a amostra e a fução de verossmlhaça do modelo saturado. O modelo saturado é aquele que cotém tatos parâmetros quato o úmero de potos da amostra (ex: ajustar uma lha reta com potos). D devace modelo reduzdo l modelo saturado D l L L D Lmodelo reduzdo l Lmodelo saturado razão de v erossmlhaç a MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

72 7 Para verfcar a sgfcâca de uma varável depedete, compara-se o valor de D com e sem a varável depedete a equação. A mudaça de D devdo à clusão da varável depedete é: G G D para o modelo sem a varavel Dpara o modelo com a varavel L mod.sem varavel l L mod elo saturado L mod. com varavel l L mod elo saturado G L modelo l L mod elo sem varável com varável G ~ para o teste de sgfcâ ca de varável com categoras o caso do modelo uvarado, H :. Teste Wald (baxo poder) H : H : OR W, ode W ~ N (, ) E c MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

73 7 3. Itervalo de Cofaça IC % ˆ z x E ˆ 4. Cálculo do RR Vamos supor o caso mas smples em que a varável depedete é dcotômca. Etão, RR Prob Y Prob Y / / exp exp x x exp exp logo, H : H : OR H : RR MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

74 73 5. Caso múltplo Utlzar o teste da razão de verossmlhaça para verfcar a adequação do modelo como um todo, é: H H o a :... :o modelo é adequado, k e exste pelo um G ~ k,ode k : úmero de 's do modelo Para testar a sgfcâca de cada coefcete, utlzar o teste Wald: H H a : : H H : OR : OR H : RR H : RR W E, ode W c ~ N, MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

75 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE Estmatva da odds rato (OR) a partr do modelo de regressão logístca múltpla chace: p p Y ob Y ob ) ( Pr ) ( Pr e e e e p p p p OR k k k k k k k k

76 75 6.Aálse de cofusão e teração a regressão logístca p l p p l p 3. Outra maera de testar teração: crar uma 3a. varável (Z), que é a combação de e. Z Z Z Z 3 3 MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

77 76 MODELO DE REGREÃO LOGÍTICA Não codcoal: estudos trasversas, coorte e caso-cotrole ão pareado Codcoal: estudos caso-cotrole e outros ode haja pareameto. Nestes casos, o baco de dados deverá exstr a varável par. MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5

78 77 ANÁLIE DO REÍDUO. Estatístca do de Pearso. Teste de Hosmer-Lemeshow Hosmer ad Lemeshow Goodess-of-Ft Test LOW = LOW = Group Observed Expected Observed Expected Total Ch-quare df gfcace Goodess-of-ft test MODELO DE REGREÃO APLICADO A EPIDEMIOLOGIA - MARIA DO ROARIO D.O. LATORRE - 5