ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR COM MODELO DIFUSO

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1 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR COM MODELO DIFUSO Slva, Glso Mederos e; Bastos, Rogéro Cd; Marts, Aleadro * ; Pacheco *, Roberto C. S.; Programa de Pós-Graduação em Egehara de Produção PPGEP Uversdade Federal de Sata Catara, Cetro Tecológco. C.P CEP Floraópols, Brasl glso@eps.ufsc.br; rogero@se.ufsc.br; marts@eps.ufsc.br, pacheco@eps.ufsc.br ABSTRACT Ths work presets the use of a methodology proposed by Taaka, Uema & Asa (982). That approach gves to the decso maker a output preseted as a rage, the he ca pck some value from ths rage. Ths s the ma advatage of ths methodology. The correspodet results show that whe a fuzzfcato of the observed values s troduced, ad the parameter value H s equal to 0,5, the metoed methodology defte mproves ts performace. KEYWORDS Fuzzy Lear Programmg, Regresso, Lear Statstcal Models. RESUMO O presete estudo é a utlzação do método proposto por Taaka, Uema & Asa (982). A prcpal vatagem da metodologa apresetada é de que a saída estmada é um tervalo, ode o tomador de decsão pode optar por um úmero pertecete a esse tervalo. Os resultados alcaçados mostram que os dados são dfusos e o parâmetro H é gual a 0.5, a metodologa apresetada melhora a performace de maera sgfcatva.

2 . INTRODUÇÃO Modelos de Regressão Lear são amplamete usados hoe em egócos, admstração, ecooma, egehara (Loacga ad Church, 990), bem como em mutas outros campos tradcoalmete ão quattatvo tal como cêcas socas, saúde e bológca (Klebaum ad Kupper, 978; Neter et al., 985). O processo de detfcar e austar um modelo é de crucal mportâca para utlzação do mesmo com sucesso. Em termos geral, austar um modelo cosste em determar os valores dos seus parâmetros que satsfatoramete reproduz os coutos de observações dspoíves com cofaça. Problemas relacoado com a detfcação e o austameto de modelos leares podem ser classfcado em duas categoras:. É frequetemete dfícl ustfcar a suposção de leardade para o modelo partcular, e 2. Não exstem mutas vezes observações bastate para valdar a relação estatístca etre a varável depedete e depedete. Taaka, Uema & Asa (982) troduzram um modelo de regressão baseado em programação lear usado um modelo lear dfuso com os parâmetros tragular dfuso smétrco. Heshmaty & Kadel (985) utlzou essa abordagem para prevsão em ambetes de certeza. Nas téccas de regressão covecoal, a dfereça etre os valores observado e os valores estmados do modelo é assumdo ser devdo aos erros de observações e a dfereça é cosderada uma varável aleatóra. Mas em regressão dfusa, a dfereça etre os valores observado e estmado é assumdo ser devdo a ambgüdade eretemete presete o sstema. A saída para uma etrada especfcada é assumda estar um tervalo de valores possíves,.é., a saída pode escolher qualquer um desses valores possíves. Nesse trabalho será formulado dos tpos de problemas com programação lear para obtermos os modelos de regressão lear dfuso:. Descrevemos uma formulação de programação lear de aálse de regressão com um modelo de tervalo lear para dados com valor real ( x, y ), =, 2,..., m, ode x = ( x, x 2,..., x ) é o -ésmo vetor de etrada e y é o valor da saída correspodete. Um modelo de tervalo lear é represetado usado parâmetros de tervalo A como

3 Y (x ) = A 0 + A x A x () ode Y (x ) é o tervalo predto correspodete ao vetor de etrada x. Na formulação de programação lear troduzdo esse trabalho, um modelo de tervalo lear é obtdo como a soma míma das larguras dos tervalos predtos que clu o dado. Mas especfcamete, um problema de programação lear é formulado para obter o tervalo dos parâmetros A tal que a soma das larguras de Y (x ) é mmzada sueto a y Y (x ) para =, 2,..., m. 2. Extedemos a formulação de programação lear para o caso de dado com valor em tervalo ( x, y ), =, 2,..., m, ode o valor de saída Y é dado como tervalo. O parâmetro dfuso do modelo lear obtdo sgfca uma dstrbução de possbldade que correspode a fuzzfcação do sstema. Os parâmetros dfuso estudado esse trabalho correspode a restrta classe de fuções de pertêca tragular. Esse modelo de regressão dfuso pode ser muto útl para ecotrar uma estrutura dfusa em sstema de avalação. Utlzamos o software de Programação Lear - LINDO e o software STATISTIC para os demas cálculos. 2. FUNÇÃO DE REGRESSÃO DIFUSA COM PARÂMETROS DIFUSOS Aálse de regressão é usado para modelar a relação etre varáves depedetes e depedetes. Em aálse de regressão, a varável depedete, y, é uma fução das varáves depedetes; e o grau de cotrbução de cada varável para a saída é represetado pelos coefcetes das varáves. Um modelo de regressão lear crsp é mostrado a Eq. (2), Y = f (x, a) = a 0 + a x + a 2 x a x (2) A equação (3) mostra um modelo de regressão lear dfuso típco, Y = f ( x, A) = A 0 + A x + A 2 x A x (3) ode A é o -ésmo coefcete dfuso. Regressão dfusa estma um tervalo de valores possíves que são represetado por uma dstrbução de possbldade, cohecda como a fução de pertêca. Fuções de pertêca

4 são formadas por atrbur um valor de pertêca especfco (grau de pertêca) para cada um dos valores estmados (Fg. ). Tas fuções de pertêca são também defdas para os coefcetes das varáves depedetes. Fuções de pertêca tragular para os coefcetes dfusos, como aqueles mostrados a Fg., permt a solução ser crada va uma formulação de programação lear; outras fuções de pertêca para os coefcetes requer abordages alteratvas. A fução de pertêca µ A para cada um dos coefcetes é expressada como µ A = p a c 0 p c x caso cotráro p + c (4) A fução dfusa A é uma fução de dos parâmetros, p e c, cohecdo como o valor médo e a expasão (desvo padrão), respectvamete. A expasão deota a fuzzfcação da fução. A fgura mostra a fução de pertêca para um úmero dfuso "aproxmadamete p." Os parâmetros dfusos A = { A,...., A } pode ser deotado a forma de vetor como = {p, c}, ode p = (p,..., p ) e c = (c,..., c ). Portato, a saída é uma versão revsada da Eq. (3), Y = (p, c ) x + (p 2, c 2 ) x (p, c ) x A fução de pertêca para o parâmetro dfuso de saída, Y, é dado por A µ max(m[ µ y) = 0 A Y ( ( a )]) Substtudo a Eq. (4) a Eq. (5), obteremos { a y = f ( x, a)} Φ caso cotráro (5) µ Y y ( y) = = = p x c x x o x = o, y = 0 (6) As equações aterores são aplcadas para m coutos de dados que pode ser obtda por amostragem. Os dados de etrada e saída pode ser dfuso ou ão dfuso. A tabela mostra um

5 exemplos de coutos de dados ão dfuso. Na tabela, y é a saída da -ésma amostra e x é a -ésma varável de etrada para a -ésma amostra. TABELA : Um exemplo dos coutos de dados para dados ão dfuso Número da Amostra Saída y etradas x y x, x 2,...., x Μ Μ Μ m Y m x m, x 2m,...., x m 2.. O CASO DE DADOS NÃO DIFUSO Taaka et al. [982] tha determado a solução para o modelo de regressão por coverte-lo em um problema de programação lear. Para dados ão dfuso o obetvo do modelo de regressão é determar os parâmetros ótmo A * tal que o couto de saída dfuso, que cotém, estar assocado com um valor de pertêca maor do que h,.é., y µ ( ) h, =,...., m (7) Y y O grau h é especfcado pelo usuáro. A fgura 2 mostra a fução de pertêca para a saída dfusa. A equação (7) declara que a saída dfusa estará etre A e B da Fg. 2. Na fgura o valor do poto médo ( = p x cosderar a Eq. (6), ode h é especfcado pelo usuáro. ) e a expasão (dspersão) ( = c x ) são obtdo por Em regressão buscamos achar os coefcetes dfuso que mmze a expasão (dspersão) da saída dfuso para todos os coutos de dados. A equação (8) mostra a fução obetva que tem de ser mmzada.

6 O m m c x (8) = = = A fução obetva dada a Eq. (8) é mmzada, sueto as duas restrções. As restrções são obtdas por substtur a eq. (6) a Eq. (7); elas toram-se e y px h) = = y p x + h) ( c x (9) = = ( c x (0) Desde que cada couto de dados produz duas restrções, exste um total de 2m restrções para cada couto de dados O CASO DE DADOS DIFUSO

7 Quado o uízo (ulgameto) humao ou meddas mprecsas estão evolvdas em determar a saída, a saída é raramete um úmero crsp. A saída em tas stuações é melhor represetada por um úmero dfuso como Y = (y, e ), ode y é o valor do poto médo e e represeta a ambgüdade a saída, como vemos a Fg. 3. A fução de pertêca para a saída dfusa observada é dada como y y µ Y ( y) = () e Uma estmatva dessa saída dfusa pode ser obtdo da Eq. (6) como y = p x = µ * ( y) = Y para =, m (2) c x O grau de auste do modelo lear dfuso estmada Y * = * A + 0 Ax + * * Ax * A x para os dados h Y Y * h ode Y = (Y, e ) é determado por h, que maxmza h sueto a h Y = {y µ ( y) h } Y h Y * = {y µ ( y) h } (3) * Y

8 A fgura 4 lustra esses cocetos. O obetvo do modelo de regressão lear dfusa é determar os parâmetros dfusos A * que mmza a expasão (dspersão) sueto a restrção que h H para todo, ode H é escolhdo pelo usuáro como o grau de auste do modelo lear dfuso. O -ésmo parâmetro de auste, h, é computado da Fg. 4 como y p = x h = (4) c x e = Em resumo a fução obetva para ser mmzada é O m m c x (5) = = = Sueto as restrções y px H ) ( c x + ( H ) e (6) = = e y p x + H ) ( c x ( H ) e (7) = = para cada couto de dado ode =,..., m. Nas eqs. (6) e (7) otamos que e = y - y.

9 3. APLICAÇÃO Esse modelo de regressão lear dfuso é aplcado a um couto de dados ão dfuso sobre o tamaho de uma lctação em mlhão de dolares (X) e o custo para a frma preparar a lctação em ml dolares (Neter J. e Wasserma W., 974, pg. 33). Os dados de etrada e saída são mostrados a tabela 2. Tabela 2: Custo para Frma de Preparar Lctações CUSTO DA FIRMA ( Y ) TAMANHO LICITAÇÃO ( X )

10 O modelo aplcado a esses dados fo Y = A 0 + A X, ode A 0 = (p 0, c 0 ) e A = (p, c ). Das eqs. (8) - (0), o problema de programação lear para os dados acma é formulado como segue: Sueto a M 2c c p p -0.5c c 5.5 p 0 +.2p -0.5c c. p p -0.5c 0-2.8c 20 p 0 +8p -0.5c 0-4c 47.5 p p +0.5c c 5.5 p 0 +.2p +0.5c c. p p +0.5c c 20 p 0 +8p +0.5c 0 +4c 47.5 c 0, c 0 obtemos a segute estmatva da reta dfusa ^ Y = (5.4, 0.57) + (4.28,.90) X Se substturmos os valores de X a estmatva da reta dfusa vemos que 6 dos valores de Y dado ão estão cotdo a saída dfusa. Para cotorar esse problema de que 6 valores ão estão cotdo a saída da reta dfusa estmada, propomos os segutes tervalos para os valores Y dados, torado as saídas dfuso.

11 Tabela 3: Custo para Frma de Preparar Lctações CUSTO DA FIRMA ( Y ) TAMANHO LICITAÇÃO ( X ) SAÍDA DIFUSA Y = ( Y, e ) (5.5, 4.0)..2 (., 3.0) (62.6, 32.0) (35.4, 8.0) (24.9, 2.0) (28., 2.0) (5.0,.0) ( ) (42.0, 2.0) (0.,.0) (20.0,.0) (47.5, 30.0) Das eqs. (5) - (7), o problema de programação lear para os dados acma é formulado como segue: M 2c c Sueto a p p -0.5c c 3.5 p 0 +.2p -0.5c c 9.6 p p -0.5c 0-2.8c 9.5 p 0 +8p -0.5c 0-4c 32.5 p p +0.5c c 7.5 p 0 +.2p +0.5c c 2.6 p p +0.5c c 20.5 p 0 +8p +0.5c 0 +4c 62.5 c 0, c 0 A reta dfusa estmada agora é:

12 Y * = (6.4, 2.8) + (5., 3.6) X Substtudo todos os tervalos da saída dfusa essa reta dfusa estmada, vemos que a relação h Y Y * h * cotdo em Y = (4.6, 27.7). 6 é satsfeta para todos eles com H = 0.5, ou sea Y 6 = (28., 2.0) estar 4. DISCUSSÃO Aalsado o modelo proposto de regressão lear dfusa utlzado a programação lear para dados ão dfuso como também para a saída, podemos levatar as segute cosderações:. Se optasse pelo modelo de regressão clássca teríamos a segute reta estmada: ^ Y = X com R 2 = O modelo proposto (eq. 3) para aalsar os dados ão dfuso desse trabalho, ão se comportou bem, pos 50% dos valores observados quado substtuído a reta dfusa estmada ão estava cotdo o tervalo dfuso. 3. Em frete a esse problema, o autor optou pela fuzzfcação da saída em fução do erro de estmação dado pela reta estmada clássca ( ε = y y ). 4. Plotamos o gráfco dos valores estmados versos valores observados com a reta estmada e vmos que todos os potos que estava acma dessa reta a fuzzfcação sera bem maor do que aqueles potos que estavam abaxo da reta estmada (gráfco ). 5. Levado em cota todas a essas cosderações, propomos a segute fuzzfcação das saídas (tabela 3). ^

13 75 Gráfco : Valores Estmados versos Valores Observados Valores Observados Valores Estmados Regressão 95% de cofaça. 5. CONCLUSÕES Com base os resultados obtdos esse trabalho podemos colocar algumas sugestões do método proposto por Taaka et al. [982]:. É um método alteratvo em relação ao método de regressão lear clássca, com uma vatagem de que a saída estmada é um tervalo ode o tomador de decsão pode optar por um úmero pertecete a esse tervalo. 2. Como fo vsto o decorrer do trabalho quado os dados X e Y são valores reas quado se austa um modelo ode os parâmetros desse modelo é dfuso, para os dados do trabalho o modelo ão fucoou bem, dexado 50% dos valores observados fora dos tervalos dfuso. 3. Mas quado a saída é fuzzfcada o modelo se comportou bem. 4. A fuzzfcação dos valores de saída ão é um processo fácl, exgdo das pessoas que estão evolvda com o problema cohecmeto bastate profudo sobre o mesmo para propor uma boa fuzzfcação.

14 6. BIBLIOGRAFIA KACPRZYK J. AND FEDRIZZI M. (Edtores). Studes Fuzzess: Fuzzy Regresso Aalyss. Volume. Omtech Press Warsaw ad Physca-Verlag Hedelberg, 992. TANAKA, H., UEJIMA, S. AND ASAI, K. Lear Regresso Aalyss wth Fuzzy Model, IEEE Trasactos Systems Ma, ad Cyberetcs, vol. SMC - 2, , º 6, 982. HESHMATY, B. AND KANDEL, A. Fuzzy Lear Regresso ad ts Applcatos to Forecastg Ucerta Evromet, Fuzzy Sets ad Systems 5, 59-9, 985. NETER J. AND WASSERMAN W. Appled Lear Statstcal Models: Regresso, Aalyss of Varace, ad Expermetal Desgs. Rchard D. Irw, Ic., 974. * e também UNIVALI - Uversdade do Vale do Itaaí, Rodova SC 407 Km 4 - São José, SC CEP