CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO

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1 CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO NOVOS MODELOS DE CRESCIMENTO RESULTANTES DA COMBINAÇÃO E VARIAÇÕES DOS MODELOS DE CHAPMAN- RICHARDS E SILVA-BAILEY, APLICADOS EM LEUCENA [Leucaena leucocephala (Lam) de Wt] E TUBARÃO- JUNTEIRO (Carcharhnus porosus). RECIFE Pernambuco - Brasl Outubro

2 CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO NOVOS MODELOS DE CRESCIMENTO RESULTANTES DA COMBINAÇÃO E VARIAÇÕES DOS MODELOS DE CHAPMAN- RICHARDS E SILVA-BAILEY, APLICADOS EM LEUCENA [Leucaena leucocephala (Lam) de Wt] E TUBARÃO- JUNTEIRO (Carcharhnus porosus). Dssertação apresentada à Unversdade Federal Rural de Pernambuco, para obtenção do título de Mestre em Bometra, Área de Concentração: Modelagem e planejamento de expermento Orentador: Prof. PhD. JOSÉ ANTÔNIO ALEIXO DA SILVA Co-orentador: Prof. Dr. RINALDO LUIZ CARACIOLO FERREIRA Co-orentador: Prof. Dr. EUFRÁZIO DE SOUZA SANTOS RECIFE Pernambuco - Brasl Outubro 2005

3 Fcha catalográfca Setor de Processos Técncos da Bbloteca Central UFRPE B862n Brto, Cícero Carlos Ramos de Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e das varações dos modelos de Chapman Rchards e Slva - Balley aplcados em leucena [Leucaena leucocephala (Lam) de Wt] e tubarãojuntero (Carcharthnus porosus) / Cícero Carlos Ramos de Brto f. : l. Orentador: José Antôno Alexo da Slva. Dssertação (Mestrado em Bometra) Unversdade Federal Rural de Pernambuco. Departamento de Informátca e Estatístca. Inclu bblografa, apêndce e anexo. CDD Recurso florestal 2. Recurso pesquero 3. Modelos de crescmento 4. Chapman Rchards 5. Slva Balley 6. Leucena 7. Tubarão-juntero 8. Bometra I. Slva, José Antôno Alexo da II. Título

4 CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO NOVOS MODELOS DE CRESCIMENTO RESULTANTES DA COMBINAÇÃO E VARIAÇÕES DOS MODELOS DE CHAPMAN- RICHARDS E SILVA-BAILEY, APLICADOS EM LEUCENA [Leucaena leucocephala (Lam) de Wt] E TUBARÃO- JUNTEIRO (Carcharhnus porosus). APROVADA em /0/2005. Banca Examnadora: Prof. Dr. Fernando Roberto de Andrade Lma CRCN/CNEN Prof. Dr. Rnaldo Luz Caracolo Ferrera - DCFL - UFRPE Prof. Dr. Teodoro Vaske Júnor - DEPAq / UFRPE Orentador: Prof. PhD. José Antôno Alexo da Slva - DCFL - UFRPE RECIFE 2005

5 As duas mulheres da mnha vda, mnha mãe D. Severna Ramos de Brto n memoran e, mnha esposa Bárbara Crstna Slva de Brto. Dedco.

6 AGRADECIMENTOS Ao meu bom Deus, por estar sempre presente nos momentos de alegras e dfculdades. À mnha famíla, pos, sem ela não tera consegudo vencer mas esta batalha. À Unversdade Federal Rural de Pernambuco, em especal aos Departamentos de Cênca Florestal e Estatístca e Informátca, por terem dado todas as condções necessáras para a realzação do presente trabalho. Ao Professor PhD. José Antôno Alexo da Slva, pela dedcação, ensnamentos, confança, amzade e pacênca sempre concedda. Aos Professores Dr. Rnaldo Luz Caracolo Ferrera e Dr. Eufráso de Souza Santos, por toda ajuda possível, pela grande amzade concedda durante todo o curso. À Coordenação do Programa de Pós Graduação em Bometra, por ter dado todas as condções necessáras para o desenvolvmento do curso. A todos os Professores do Programa de Pós Graduação em Bometra que, dretamente ou ndretamente, contrbuíram para o meu sucesso. À Dra. Rosangela Lessa do Departamento de Pesca da UFRPE por gentlmente ceder os dados sobre tubarões. À Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), Estação Expermental de Caruaru na pessoa do Engenhero Agrônomo Msc Ivan Ferraz pela condução do expermento da leucena. Aos amgos Emanuell Florênco Passos Martns e João Slva Rocha, pelo grande apoo e ncentvo a este trabalho.

7 BRITO, CÍCERO CARLOS RAMOS DE, Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e varações dos modelos de Chapman-Rchars e Slva-Baley, aplcados em Leucena [Leucena leucocephala (Lam.) de Wt] e Tubarão-juntero (Carcharhnus porosus), Orentador: Prof. PhD. José Antôno Alexo da Slva. Co-Orentadores: Prof. Dr. Rnaldo Luz Caracolo Ferrera e Prof. Dr. Eufrázo de Souza Santos. RESUMO O objetvo deste trabalho fo desenvolver novos modelos de crescmento aplcados em Leucena [Leucaena leucocephala (Lam.) de Wt], e Tubarão-juntero (Carcharhnus porosus), tendo como base as hpóteses bológcas propostas por Chapman-Rchards e Slva-Baley. O expermento de leucena fo conduzdo na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára IPA, no muncípo de Caruaru PE. Foram utlzadas 544 árvores de leucena em um expermento com meddas repetdas em que foram realzadas 20 mensurações no período de 990 a Foram comparados novos modelos matemátcos de crescmento, com os de Chapman-Rchards e Slva-Baley, bem como outros utlzados em estudos florestas e pesqueros. As mensurações para os tubarões capturados na costa marnha do estado do Maranhão foram realzadas no período de 984 até 989. Para a seleção das equações resultantes, utlzaram-se o Índce de Ajuste (IA) e a dstrbução gráfca dos resíduos. Os resultados ndcam que, qualquer um dos modelos propostos pode ser aplcado para estmar o crescmento da leucena e do tubarãojuntero.

8 BRITO, CÍCERO CARLOS RAMOS DE, New growth models, resultng of the combnaton and varatons of Chapman-Rchards and Slva-Baley s models appled to Leucena [leucaena leucoephala (Lam.) de Wt] and Tubarão-juntero (Carcharhnus porosus) Advser: Prof. PhD. José Antôno Alexo da Slva. Co-Advsers: Prof. Dr. Rnaldo Luz Caracolo Ferrera and Prof. Dr. Eufrázo de Souza Santos. ABSTRACT The objectve of ths work was to develop new growth models for the leucena [Leucaena leucocephala (Lam.) of Wt], and small shark tal (Carcharhnus porosus) based on the bologcal hypotheses proposed by Chapman-Rchards and Slva-Baley. The experment of the leucena was carred out n the Expermental Staton of the Agrcultural and Lverstock Research Company of Pernambuco - IPA, n the muncpal dstrct of Caruaru - PE. It was used 544 trees of Leucaena leucocephala (Lam.) of Wt, wth 20 measures n the perod of 990 up to The measures for the small sharks tal captured n the sea coast of the state of Maranhão were taken n the perod of 984 up to 989. It was compared new growth models resultng from the combnaton and varaton of the Chapman- Rchards and Slva-Baley models, as well other models used n forest and fsheres resources. For the selecton of the fnal equatons, the ft of ndex and the graphc dstrbuton of the resdues were used. The results of the new models were as good as the above mentoned, beng therefore, any one of them appled to estmate the growth of the leucena and small shark tal.

9 LISTA DE FIGURAS Fgura Págna Fluxograma das etapas da elaboração e seleção de modelos Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Chapman- Rchards para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Slva-Baley para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Bertalanffy para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Brody para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Mtscherlch para o tratamento leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Webull para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE... 69

10 8 Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Clutter e Jones para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 2 para o tratamento para a leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE... 7 Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 3 para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 4 para o tratamento de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Chapman- Rchadrs para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Slva-Baley para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Bertalanffy para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE... 73

11 6 Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Brody para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Mtscherlch para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Webull para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Clutter e Jones para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 2 no tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 3 para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE Curvas de crescmento real e estmada pelo Modelo Proposto 4 para o tratamento 2 de leucena, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE... 77

12 24 Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Chapman-Rchards para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Slva-Baley para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Bertalanffy para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Brody para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Mtscherlch para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Webull para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Clutter e Jones para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto para a méda do tratamento... 8

13 32 Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 2 para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 3 para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 4 para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Chapman-Rchards para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Slva-Baley para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Bertalanffy para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Brody para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Mtscherlch para a méda do tratamento

14 40 Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Webull para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o modelo de Clutter e Jones para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 2 para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 3 para a méda do tratamento Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação à altura, para a estmatva do crescmento de leucena, obtdas com o Modelo Proposto 4 para a méda do tratamento Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Chapman- Rchars para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Slva-Baley para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até

15 48 Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Bertalanffy para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Brody para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Mtscherlch para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Webull para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo de Clutter Jones para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo proposto para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo proposto 2 para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo proposto 3 para tubarão-juntero capturados na costa marnha dos estado do Maranhão, no período de 984 até

16 56 Curvas de crescmento real e estmada pelo modelo proposto 4 para tubarão-juntero capturados na costa marnha do estado do Maranhão, no período de 984 até Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Chapman-Rchards Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Slva-Baley Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Bertalanffy Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Brody Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Mtscherlch Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Webull Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo de Clutter e Jones... 97

17 64 Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo proposto Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo proposto Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo proposto Dstrbução gráfca dos resíduos percentuas, em relação ao comprmento, para a estmatva do crescmento de tubarão-juntero, obtdas com o modelo proposto Foto 0 leucenas no vvero aos 2 meses Foto 02 Planto defntvo de leucena aos 4 meses Foto 03 Planto defntvo de leucena aos 4 meses Foto 04 Fustes de leucenas emplhados Foto 05 Tubarão-juntero Foto 06 Tubarão-juntero... 27

18 LISTA DE TABELAS Tabela Págna Dscrmnação dos fatores e níves testados na avalação do crescmento em altura de Leucaena leucocephala Datas das Medções Equações dferencas com sua respectva soluções Modelos testados e os seus respectvos parâmetros estmados, através da modelagem de crescmento de leucena, no tratamento, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE e seus Índces de Ajuste... 5 Modelos testados e os seus respectvos parâmetros estmados, através da modelagem de crescmento de leucena, no tratamento 2, na Estação Expermental da Empresa Pernambucana de Pesqusa Agropecuára (IPA), em Caruaru PE e seus Índces de Ajuste... 6 Modelos testados e os seus respectvos parâmetros estmados, através da modelagem de crescmento de tubarão-juntero capturados na costa marnha do estado do Maranhão, no período de 984 até 989 e seus Índces de Ajuste Estmatvas das alturas de leucena, calculadas pelos modelos no tratamento Estmatvas das alturas de leucena, calculadas pelos modelos no tratamento Cálculo dos resíduos das estmatvas das alturas de leucena calculados pelos modelos no tratamento Cálculo dos resíduos das estmatvas das alturas de leucena calculados pelos modelos no tratamento

19 Estmatvas dos comprmentos dos tubarões calculados pelos modelos Cálculo dos resíduos das estmatvas dos comprmentos dos tubarões calculados pelos modelos... 24

20 LISTA DE APÊNDICE Págna Apêndce... 0 Apêndce A (Dedução dos modelos matemátcos propostos)... Apêndce B (Tabelas 7, 8, 9, 0, e 2)... 9

21 LISTA DE ANEXOS Anexo Págna 2 Anexo A (fotos de leucena e tubarão) Anexo B (Método Smplex) Anexo C (Dedução dos modelos de crescmento)... 33

22 SUMÁRIO Págna INTRODUÇÃO REVISÃO DE LITERATURA Leucena [Leucaena leucocephala (Lam.) de Wt.] A mportânca da leucena para o sem-árdo Tubarão-juntero (Carcharnus porosus) Modelagem: concetos báscos Modelos de crescmento Modelo de Mtscherlch Modelo de Shumacher Modelo de Bertalanffy Modelo de Chapman-Rchards Modelo de Slva-Baley Modelo de Brody Coefcente de determnação e Índce de Ajuste Gráfco da dstrbução resdual Gráfco da curva de crescmento MATERIAL E MÉTODOS Leucena Tubarão-juntero Metodologa para determnação da dade e do crescmento do tubarão-juntero Modelos utlzados Dedução dos modelos matemátcos propostos º modelo proposto º modelo proposto º modelo proposto º modelo proposto... 59

23 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Estmatvas dos parâmetros das equações não lneares Análse das curvas de crescmento e da dstrbução gráfca resdual dos modelos testados Análse das estmatvas e resíduos das estmatvas para alturas e comprmentos nos modelos testados CONCLUSÕES... 0 REFERÊNCIAS APÊNDICE... 0 Apêndce A... Apêndce B... 9 ANEXOS Anexo A Anexo B Anexo C... 33

24 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e INTRODUÇÃO Nos planejamentos de manejo de recursos florestas e pesqueros uma varável é de extrema mportânca: o crescmento. Sua modelagem é fundamental na prognose da produtvdade, qualdade do local e dnâmca de populações. Com o avanço dos procedmentos computaconas, técncas matemátcas mas sofstcadas são utlzadas no desenvolvmento de novos modelos matemátcos aplcados a estudos de crescmento, uma vez que, geralmente, as hpóteses báscas utlzadas geram modelos que alterando os valores de alguns coefcentes, estmatva do parâmetro, de postvo para negatvo, as equações resultantes podem ser empregadas em estudos acréscmos ou decréscmos: produção, crescmento e sobrevvênca/mortaldade. Segundo Scolforo (994), o conhecmento do crescmento e da produção presente e futura de árvores em povoamentos florestas é elemento fundamental no manejo florestal sustentável, sendo necessáro possur como uma das fontes de nformações mas mportante a exstênca de relações quanttatvas e modelos matemátcos que sejam consstentes e, numercamente, compatíves para a predção do desenvolvmento do povoamento em qualquer dade. As técncas para prognostcar a dnâmca de um povoamento florestal são conhecdas como modelos de crescmento e produção (AVERY e BURKHART, 994). A predção da produção futura e da mortaldade é de fundamental mportânca para o planejamento das atvdades florestas, consttundo um dos prncpas elementos do manejo florestal (DAVIS e JOHNSON, 987). Tas modelos são sínteses de observações e/ou fenômenos bológcos, aplcados nas condções sob as quas foram coletados os dados. Na Engenhara Florestal, os modelos são mprescndíves na prognose dos futuros recursos florestas, na escolha de metodologas slvculturas e apoo à tomada de decsões no manejo e na polítca florestal (SPATHELF e NUTTO, 2000). De gual modo, sente-se a necessdade de estender essas predções para recursos pesqueros. O tubarão-juntero (Carcharhnus porosus) que é uma espéce ameaçada em extnção no Brasl, nos estados de Alagoas, Amapá, Baha, Ceará, Espírto Santo, Maranhão, Paraíba, Pernambuco, Pauí, Paraná, Ro de Janero, Ro Grande do Norte, Ro Grande do Sul, Sergpe, Santa Catarna e São Paulo (MMA,

25 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Instrução Normatva nº 5, de 2/05/04), destaca-se como mportante atvdade secundára de pesca por ser uma espéce nofensva. Segundo Lessa e Santana (998) o tubarão-juntero representa 43% de todos os elasmobrânquos capturados no estado do Maranhão, correspondendo a aproxmadamente, 400 ton. ano. Portanto, modelar o crescmento dessa espéce de tubarão se consttu em uma mportante etapa no setor econômco, bem como na dnâmca populaconal do tubarão-juntero. Tem crescdo em todo o mundo e também no Brasl a captura de elasmobrânquos, sendo o Brasl responsável por 4% da captura mundal; seus subprodutos têm tdo crescente valorzação onde eles são consumdos tanto no mercado nterno quanto no exteror. No ambente natural, as ameaças aos elasmobrânquos são a atvdade pesquera, destrução de seus habtats, característcas própras do cclo de vda, crescmento lento, maturação sexual tarda, entre outros fatores que têm sdo lmtantes para a reação das espéces à mortaldades excedentes. É um problema em escala mundal e também no Brasl, que o manejo dos estoques de elasmobrânquos é complcado pela escassez de nformações báscas sobre a dnâmca de suas populações. Por terem baxo valor econômco as raas e tubarões têm tdo baxa prordade no que dz respeto à pesqusa e conservação; entretanto, a demanda por subprodutos, como barbatanas, é alta, o que tem estmulado o aumento da exploração (SBEEL 2005). Vale salentar que segundo Kotas et al., (995) e Vooren, (997) ctados pela SBEEL, 2005 De um modo geral, a pesqusa no Brasl não vem acompanhando o aumento de ntensdade de pescaras, devdo às característcas bológcas e à nexstênca de polítca de conservação para os elasmobrânquos, que têm alcançado o ponto de colapso sem que meddas de manejo tenham sdo tomadas. Város exemplos desse fato têm sdo regstrados no país. Segundo a SBEEL (2005) se faz necessáro um urgente estabelecmento de bases de manejo para pescaras, em decorrênca da sobrexploração de pexes ósseos, cujas bomassas vêm declnando ao longo da costa braslera nos últmos anos, antes que sejam totalmente dreconadas para a exploração dos elasmobrânquos, pos, o esgotamento de recursos tradconas, faz com que o manejo dos estoques de elasmobrânquos se torne prortáro.

26 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Percebe-se que a prátca de pesca, como exemplo, o emprego de redes de arrasto com portas, em profunddades baxas tem sdo tolerado ou tem escapado do sstema de fscalzação exstente, o que causa a captura de espéces jovens que têm essas áreas como berçáros e zona de parto, o que contrbu para o colapso da espéce. É também perceptível que a postura adotada pelos órgãos governamentas resguarda os nteresses da exploração, evtando questonamentos sobre conservação. Essa postura contrasta com as observadas nos demas países onde esse tpo de pescara é objeto de pesqusa, o que pode ser comprovado pelo crescente número de trabalhos centífcos publcados (e.g. Buencuerpo. et al., 998; Goodyear, 999 ctados por SBEEL, 2005) e por váras meddas de manejo já adotadas para essas pescaras, naqueles países. Dada a dnâmca com que os modelos matemátcos vêm sendo aplcados nas pesqusas bológcas, gerando novos modelos para stuações geras e específcas, novos estudos nas áreas de cêncas florestas e pesqueros são, altamente, justfcáves. O objetvo deste trabalho consste em gerar novos modelos de crescmento através da combnação ou adaptações dos modelos de Chapman-Rchards e Slva- Baley, testando-os e comparando-os entre s e com os modelos comumente usados na pesqusa florestal e pesquera.

27 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e REVISÃO DE LITERATURA 2. Leucena [Leucaena leucocephala (Lam.) de Wt.] A Leucena, Leucaena leucocephala (Lam.) de Wt. tem despertado grande nteresse centífco devdo a sua grande versatldade dentre as legumnosas de clma tropcal. Essa espéce é a mas comum dentre as espéces do gênero Leucaena, sendo conhecda também como pl-pl e pl-pl ggante nas Flpnas, koa haole no Hawa, auxn, yaje e guaje em parte da Amérca Latna, lsna delen no Hat e aroma branco ou esponjera em Cuba. (VIEIRA, 992). Salermo e Seffert (986) apresentaram o gênero Leucaena como pertencente à famíla Legumnosae, subfamíla Mmosodae e trbo Eumnosae. Brewbaker (985) afrma que o gênero Leucaena possu cerca de 5 espéces, das quas somente 3 são as mas estudadas. Todas as espéces têm potencal forragero, sendo Leucaena leucocephala (Lam.) de Wt. a mas explorada. A leucena se desenvolve bem em regões tropcas em dferentes tpos de ambentes com alttudes nferores a 500 m, com temperaturas elevadas e pluvosdade anual entre 500 e 700 mm (MENDES, 986). Quanto às condções edafoclmátcas para o seu cultvo, pode-se comentar que os solos mas aproprados são aqueles bem drenados, profundos, de méda a alta fertldade; mas tolera grandes varações, desde solos pedregosos até bastante arglosos. Pode sobrevver em locas com pluvosdade mínma de até 230 mm. Desenvolve-se melhor em ambentes com temperaturas varando de 22 a 30 C (CARVALHO et al., 200). Nas condções edafoclmátcas do Nordeste, ela apresenta boa produção de folhagem e frutos durante todo o ano e produz abundante massa verde em solos rcos e neutros, embora seja capaz de vegetar relatvamente bem em solos pobres e salnos (MENDES, 986). 2.. A mportânca da leucena para o sem-árdo

28 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e A leucena é consderada por mutos produtores da regão sem-árda como sendo a ranha das legumnosas. Essa consderação se deve ao fato da leucena, além de apresentar boa produtvdade, que pode varar, dependendo do ano, de dos até oto toneladas de matéra seca comestível e de até 750 Kg de sementes/ha/ano, possu também excelente qualdade nutrconal, apresentando uma boa composção químca e alta acetabldade pelos anmas (CARVALHO et al., 200). 2.2 Tubarão-juntero (Carcharhnus porosus) O tubarão em estudo é da famíla Carcharhndae, ordem Carcharhnformes, sub-classe Elasmobranch do gênero Carcharhnus e espéce Carcharhnus porosus, sendo conhecdo também como tubarão-juntero, sendo encontrado no Atlântco ocdental do Golfo do Méxco ao sul do Brasl (exclundo as lhas carbenhas). No Pacífco orental essa espéce se dstrbu do Golfo da Calfórna ao Peru. (FISHBASE, 2005) Esse tubarão é encontrado nas encostas contnentas, preferencalmente, em cma de fundos barrentos, e especalmente em estuáros. Almenta-se de pequenos pexes nclundo agulhas, jovens tubarões martelos e camarões (LESSA e SANTANA, 2000). É vvíparo, com 2 a 7 embrões. O tamanho de nascmento vara entre 3 e 40 cm e o tamanho máxmo não excede os 50cm (Compagno ctado por LESSA e SANTANA, 998). É a únca espéce do gênero com a segunda nadadera dorsal atrás da nadadera anal e com focnho relatvamente longo e aflado, orgem da prmera nadadera dorsal sobre a margem nterna da nadadera petoral, coloração cnza no dorso e branca no ventre e pontas das nadaderas um pouco mas escurecdas do que o restante do corpo (LESSA e SANTANA, 2000). De acordo com Lessa et al (999), ctado em SBEEL 2005, essa espéce apresenta taxa de crescmento de comprmentos médos de 7.0 cm ano para os quatro anos e 4,0 cm ano após a maturdade.

29 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Modelagem: concetos báscos Um modelo é uma formulação que smula um fenômeno do mundo real, de forma a ser possível fazer prevsões, e pode ser utlzado nos mas dversos campos. Em suma, não se pretende que um modelo, ndependentemente da área em estudo, seja uma cópa exata do mundo real, mas sm uma smplfcação que revele os processos chave do fenômeno em causa, de forma a ser possível perceber e prever novas stuações dentro do unverso em estudo. Sendo assm, um bom modelo é um espelho efcente da realdade. Também pode ser defndo como uma formulação matemátca baseada em hpóteses que tentam representar fenômenos físcos ou sstemas bológcos, com a fnaldade de gerar uma equação que possa representar tal(s) fenômeno(s) a um determnado nível de confabldade α. O modelo é a forma analítca provenente de equações dferencas, composta de varáves (dependentes e ndependentes), parâmetros e um erro assocado. Este erro exste quando se trata de modelos probablístcos, por exemplo: Y=β +β X +...+β X +ε 0 n n Em que: Y = varável resposta; X j = varáves ndependentes; β 0,β,..., β n= parâmetros do modelo e ε = erro aleatóro Exstem também os modelos determnístcos que são aqueles em que o erro aleatóro não exste, pos caso o fenômeno se repta n vezes o resultado será sempre o mesmo. Exemplo: f ( ) t V=V + Em que: V f = valor fnal V = valor ncal = taxa de juros t = tempo de aplcação de V

30 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e A equação já é a representação numérca do modelo, sto é, o resultado fnal do ajuste do modelo ao conjunto de dados. É, portanto a estmatva do modelo e é composta de coefcentes. Ŷ =b +b X +...+b X 0 n n Em que: Ŷ = estmatva da varável reposta; b 0,b,...,b n= coefcentes (estmadores dos parâmetros) Uma equação deve ser aplcada para o conjunto de valores dos respectvos domínos em que ela fo gerada. A dferença prncpal entre um modelo empírco e modelo de crescmento bológco é que o termo anteror recorre a uma expressão matemátca de uma relação entre varáves que podem ser esperadas logcamente, enquanto um modelo bológco é uma expressão de uma hpótese lógca relatva à bologa do processo de crescmento (PIENAAR, 965). Um modelo matemátco somente representa um conjunto de suposções físcas ou bológcas. Essas suposções são sempre smplfcações da realdade (FRANCE e THORNLEY, 984). Nas cêncas, os modelos matemátcos são muto mportantes, e usam uma ferramenta especal: as equações. Um modelo de crescmento ou mortaldade pode abranger um sstema de equações, sendo capaz de prognostcar a produção sob váras condções (SPATHELF e NUTTO, 2000).

31 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Por outro lado, os modelos podem ser classfcados em (SILVA e SILVA, 995): LINEARES SIMPLES MÚLTIPLOS MODELOS LINEARES LINEARES NÃO LINEARES SIMPLES MÚLTIPLOS INTRINSECAMENTE LINEARES INTRINSECAMENTE NÃO INTRINSECAMENTE LINEARES INTRINSECAMENTE NÃO São exemplos de tas modelos: a) Lnear smples Y=β 0+βX +ε b) Lnear múltplo Y=β +β X +...+β X +ε 0 n n c) Não lnear smples, ntrnsecamente lnear β Y=β 0 X ε Logartmzando ambos os dados tem-se: Ln Y =Lnβ +β LnX +Ln ε 0

32 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Y = β + β X + ε 0 Em que: Y = LnY β 0 = Ln β 0 X = LnX ε = Ln ε d) Não lnear smples, ntrnsecamente não lnear β Y = β0 + X + ε e) Não lnear múltplo, ntrnsecamente lnear β βn Y = β0 X... X n ε Ln Y = Ln β + β Ln X +...+β LnX + Ln ε' 0 n n Y = β + β X + β X β X + Lnε n n Em que: X = LnX j j f) Não lnear múltplo, ntrnsecamente não lnear β βn Y = β0 + X X n + ε Observa-se que os modelos ntrnsecamente não lneares não podem se transformar em lneares pelo uso de logartmos ou outra transformação de varáves, sendo necessáro o uso de procedmento de análse numérca para se obter as estmatvas dos parâmetros que compõem o(s) modelo(s). Nos modelos lneares e não lneares ntrnsecamente lneares, as estmatvas dos parâmetros, geralmente, são obtdas pelo emprego do método dos mínmos quadrados. Entretanto exstem outros procedmentos tas como: método da máxma verossmlhança, ajuste gráfco e análse numérca (SILVA e SILVA, 982). Vale ressaltar que por concetuação, modelos do tpo: 2 3 Y = β + β X + β X + β X + ε 0 2 3

33 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e... 3 são lneares, pos a lneardade de um modelo é caracterzada pela estrutura de seus parâmetros e não de sua(s) varável(s) ndependente(s). Entretanto, dependendo da área de atuação, um mesmo tpo de modelo pode ter dferentes denomnações. Segundo Ferrera (2004), modelo é uma representação nformal baseada em descrções formas de objetos, e que permte, por meo de varações, smular os efetos de mudanças do fenômeno que representa. O mesmo autor afrma que a modelagem concetual é a etapa da análse de um sstema, na qual são defndos os recursos, tens de dados e suas nter-relações. Segundo Bertalanffy (969), um sstema pode ser defndo como um conjunto de elementos que se nter-relaconam. Inter-relação sgnfca que alguns elementos (p) mantém relações com R, de forma tal que o comportamento de um elemento p é dferente de seu comportamento em outra relação R. Valentn e Gumarães (2004) defnem que modelos são formas smplfcadas de representar a realdade. Exstem város tpos de modelos, tas como: Modelo físco: conjunto de hpóteses sobre a estrutura ou comportamento de um sstema físco pelo qual se procuram explcar ou prever, dentro de uma teora centífca as propredades de um sstema (FERREIRA, 2004). Modelo dnâmco: é aquele que utlza equações dferencas que podem ser resolvdas de forma analítca ou numérca, sendo que as estmatvas e/ou smulações são realzadas em função do tempo (VALENTIN e GUIMARÃES, 2004). Modelo estátco: não ncorporam a varável tempo, pos são representatvos de uma stuação em um determnado momento (HANNON e RUTH, 997). Os modelos empírcos ou para prognose não consderam hpóteses assocadas à casualdade. No pressuposto dessa abordagem, é que se encontram padrões comuns no crescmento de ndvíduos. Neste tpo de modelo a floresta é vsta como um sstema para a produção (SPATHELF e NUTTO, 2000). Tas modelos tentam representar, ndretamente, o efeto do ambente e das prátcas slvculturas no desenvolvmento das árvores de um povoamento florestal, utlzando fontes de varação como o síto, a área basal e a dade. Modelos com propredades bológcas e, amparados numa amostragem adequada, com nformações precsas e remedções, propcam prognoses do crescmento com elevado grau de confabldade. A partr deles se pode prescrever regmes de manejo

34 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e adequados para cada espéce, em cada síto, que vsem à qualdade do produto fnal como desbaste, rotação econômca ótma e planejamento da colheta (ABREU et al, 2002), bem como de recursos pesqueros. Segundo France e Thornley (984) um modelo empírco tende, prncpalmente, a descrever um fenômeno, enquanto que um modelo mecancístco trata de dar uma descrção com compreensão de um determnado fenômeno. Os modelos mecancístcos têm uma hpótese assocada ao fenômeno descrto e servem para o entendmento de processos. Nesse tpo de modelo a floresta é vsta como um sstema com lgações complexas entre os seus elementos, ntroduzndo mas funconaldade na representação do crescmento e competção entre as populações, embora seu uso esclareça mas sobre a competção entre as espéces (SPATHELF e NUTTO, 2000). Modelos baseados em processos consttuem uma cênca em desenvolvmento crescente vnculada à fsologa vegetal. Esse ramo de conhecmento tem evoluído, consderavelmente, nos estudos de nteração planta x solo x atmosfera, conferndo uma vsão mas generalsta e, fsologcamente, embasada para estmatva de crescmento (ABREU et al, 2002). Um passo de extrema mportânca em modelagem é a sstemátca de elaboração e seleção de modelos. Draper e Smth (98) sugerem os seguntes passos (fgura ).

35 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Planejamento Desenvolvmento Verfcação e manutenção Defnr problema Seleconar resposta Sugerr varáves Coleta de dados Checar qualdade dos dados amostras. Ajustar modelos Os parâmetros são estáves no espaço da amostra? O modelo tem sdo valdado? São varáves báscas e dsponíves? Consultar especalsta Grupo crítco Não Sm Não Sm Exste falta de ajuste sstemátco? Parar Matrz correlação Prmeras regressões Ajuste de novas varáves Construr vetores que nterpretam resíduos Sm Não Estabelecer metas Erro padrão, R 2 Preparar orçamento Calcular os melhores vetores e transformações São equações razoáves? A equação é plausível? São as metas e os orçamentos acetáves? Sm Os objetvos foram atngdos? Sm A equação é utlzável? Não Sm Não Não Parar Mantém a equação Fgura Fluxograma das etapas da elaboração e seleção de modelos.

36 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e Segundo Clutter (963) uma equação de crescmento, mesmo que apresente bons resultados em termos de ajuste a um determnado conjunto de dados, deve apresentar duas mportantes característcas: a) convergênca b) nvarânca Por convergênca se entende que quando o tempo fnal t f tender para o tempo ncal t, ou vce-versa, o valor obtdo para o crescmento fnal (Wf) deve ser gual ao obtdo no tempo ncal (W ). Invarânca por sua vez é a propredade que uma equação possu de predzer um valor futuro no tempo basta uma medda anteror. t f t sem depender de valores ntermedáros do tempo, Consdere a hpótese de mortaldade proposta por Clutter e Jones (980) que assume que a varação do número de árvores (N) sobrevventes no tempo (t) é proporconal a um número ncal de árvores elevada a uma potênca θ vezes o tempo elevado a uma potênca γ. dn dt N f Assm sendo: = α N θ t γ = α t θ N N N f dn N t t f γ dt tf -θ γ N dn = α t dt t θ+ N θ + N N f γ+ t = α γ + t t f N θ + N θ + θ + = α γ + γ + γ ( t t ) f + f α Consdere: θ + = β; = β 2 ; γ + = β 3 γ + N β f N β β = β 2 β β ( 3 3 t t ) f

37 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e β f β N N = β β2 β3 β3 ( t t ) consdere β β 2 = β 4 f β f β3 β3 ( t t ) N β f β β ( β t t ) N = β 4 + β f β N = N 4 f β3 ( ) β β3 Nf = N + β4 t t f β Para ser compatível é necessáro que quando t =t f, N =N f. β β ( ) Nf = N + β4 t t β 3 3 f f β β β Nf = N + 0 = N N f = N Provando a propredade da convergênca. Para provar a nvarânca basta dervar a função de N f em relação a t f, e o resultado não deve conter t. β f β β3 β3 ( t t ) N = N + β 4 d N d t f β dstntos. f = φ + β 4 f β 3 t β 3 f Que não depende de t, sendo, portanto nvarante. Outra manera de provar esta propredade é consderar N em dos tempos (t) β β ( ) β β ( ) β β 3 3 N N β t t = + 4 β β () N = N + β t t (2) Substtundo () em (2), tem-se:

38 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e β3 β3 β3 β3 ( t t ) + β ( t t ) β β = N + β N 4 4 β β β 3 β 3 β 3 = N + β t β t β t N β 4 4 β β β 3 β 3 = N + β t β t N 4 β3 β3 ( t t ) N β β = N + β Que não depende de t, sendo, portanto convergente e nvarante. Se uma equação não possu estas duas propredades ela pode gerar resultados nconsstentes e até absurdos. Sendo a propredade de convergênca e da nvarânca condções para nvaldar um modelo, podemos perceber que, segundo VANCLAY e SKOVSGAARD (998), a avalação de modelo é uma parte mportante da sua construção, e algumas análses do modelo deveram ser fetas em todas as fases de desenvolvmento do mesmo, ajustando e mplementando o que convr. Uma avalação completa de um modelo envolve város passos, nclundo dos que são os chamados freqüentemente de verfcação e valdação. Em modelagem de crescmento de floresta, verfcações e valdação denotam normalmente testes quanttatvos e quanttatvos do modelo, respectvamente. Alguns passos envolvem exame de estrutura e propredades de um modelo, com ou sem dados adconas, para confrmar que não tem nenhuma nconsstênca nterna e realdade bológca, outros requerem comparações com dados adconas para quantfcação de desempenho do modelo, e fo conhecdo em alguma lteratura de slvcultura como referencal (cf. a marca de referênca de agrmensor). Idealmente, os testes de referenca deveram envolver dados que estão em algum senso dstnto dos dados que ajustavam o modelo, mas também podem ser obtdas perspcácas útes com os dados de calbração (VANCLAY e SKOVSGAARD, 998). Sendo salentado anda pelos autores ctados acma: estes testes não podem provar que um modelo é 'correto', mas pode ser usado em tentatvas para nvaldar conclusões fetas do modelo. Só pode ser avalada a qualdade de um modelo em condções relatvas, e sua habldade de predção sempre permanece em aberto. Porém, o fracasso de váras tentatvas para nvaldar um modelo devera aumentar sua credbldade e confança de usuáro de construção. Este é o papel de avalação do modelo. Assm, avalação de modelo devera ser um modo de procedmento que t β 3

39 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e começa durante o desenvolvmento do modelo e contnua ao longo de sua construção até o seu uso. 2.4 Modelos de crescmento Bertalanffy (934) defnu crescmento como um aumento mensurável de um sstema orgânco como função da assmlação de materal provenente de seu ambente. Segundo Prodan (968) nas váras cêncas tas como: Florestas, Bológcas, Socológcas, Econômcas, etc. um grande número de tentatvas tem sdo feto para exprmr o crescmento como fórmulas matemátcas. As tentatvas em florestas estão, provavelmente, entre as prmeras no campo bológco, através de Spath em 797, Hossfeld em 822 e Smalan em 857. Segundo Spurr (952), os estudos de prognose em florestas ncaram na Europa, no fnal do século XVIII. Dessa época até os das atuas, mutos trabalhos foram desenvolvdos. Nas cêncas bológcas, as funções de crescmento têm sdo usadas por mutos anos, prncpalmente, para prover dados do crescmento de um organsmo ou parte de um organsmo em um determnado tempo. O termo função de crescmento é, geralmente, usado para denotar uma função analítca que pode ser descrta em uma equação smples. Na lteratura da bologa matemátca, crescmento total é snônmo de crescmento cumulatvo ou a soma de ncrementos contínuos. Uma equação de crescmento cumulatva deve ser expressa como uma função de tempo, ou dade, e tem que conter um parâmetro que especfca as condções ncas (MOSER e HALL, 969). O desenvolvmento de novos modelos de crescmento e sobrevvênca/mortaldade tem tdo avanços consderáves nas cêncas florestas e pesqueras, como o que ocorreu na generalzação de Chapman-Rchards para o modelo de Bertalanffy (957) e trabalhos de Prodan (968) dando um tratamento

40 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e compreensvo de váras funções de crescmento e les de crescmento que têm já sdo estudados com referênca ao crescmento florestal Modelo de Mtscherlch Em 930, Mtscherlch utlzou um prncípo usado na economa (a produção se aproxma de um lmte e o ncremento na produção tende a zero), traduzndo-o em termos de crescmento bológco como Le dos efetos dos fatores de crescmento (SILVA, 986). Essa le dz que a taxa de crescmento é proporconal a dferença entre o tamanho máxmo (últmo nível de crescmento ou termo assntótco) e o própro parâmetro de crescmento. dw dt = c ( U W) Resultando em: W = U Em que: [ exp( c t) ] n W = parâmetro de crescmento U = termo assntótco c = c = t = tempo = c 2 =... c n dw/dt O parâmetro U que é termo assntótco, sgnfca o últmo nível do crescmento. Em algumas áreas o termo W é representado por L e U por L Modelo de Schumacher Schumacher (939) desenvolveu um modelo para ncalmente, estmar índce de síto, mas que por sua ampltude de aplcação também é usado nas estmatvas de crescmento e sobrevvênca/mortaldade.

41 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e A hpótese consderada fo que: o crescmento relatvo em volume vara nversamente com a dade, sendo que, matematcamente, é expressa por: dw = κ d W A Em que: W=volume A=dade κ =parâmetro pecular ao índce de síto, densdade e estoque consderado. Já com relação ao crescmento em altura a hpótese é a segunte: O crescmento em altura é nversamente proporconal ao quadrado da dade: dw di β W = 2 I Resultando em: W f β If I = W e Em que: W f =altura no fnal do período consderado W =altura no níco do período consderado I f =dade no fnal do período consderado I =dade no níco do período consderado β =parâmetro do modelo Quando propredade de convergênca. I f = I, então W f = W, conseqüentemente o modelo admte a Consdere o período que va de I a I 3. W W W W β 2 W e I 2 I = β I3 I2 3 = W2 e β β I2 I I3 I2 3 = W e e β 3 W e I + I I3 2 I2 =

42 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e W β 3 W e I 3 I = É possível calcular a partr de sem depender de W, conferndo ao modelo a propredade de nvarânca. W3 W Modelo de Bertalanffy Bertalanffy (934, 957) dervou seu modelo de estudos das então chamadas relações alométrcas dos organsmos. A relação alométrca será compreendda por exstr entre elementos dmensonas de um organsmo, denomnado P e Q, e fo expresso por: P = α Q Em que θ P = o comprmento do fêmur Q = largura do crâno de certas espéces anmas ou a área fotossntétca e área do cambo do tronco de espéces vegetas α e θ = parâmetros da relação Isso sugere a suposção de que em ndvíduos normas, o padrão de crescmento especfco de P produzrá uma relação proporconal constante para o padrão de crescmento especfco de Q, que é: dp dt = α Q dq dt Estudos extensvos de mutos organsmos aquátcos e terrestres levaram Bertalanffy à conclusão de que para uma classe prncpal de organsmos a relação alométrca entre a área da superfíce (também total, ou área absortva total) e volume total pode ser adequadamente expresso como: S = α V 2 3

43 BRITO, C.C. R. Novos modelos de crescmento resultantes da combnação e... 4 Em que S é área da superfíce, V é o volume do organsmo, α é o parâmetro a ser calculado e 2/3 é constante alométrca. Após prossegumento dos estudos, o autor chegou à conclusão de que o crescmento segue um processo de síntese (anabolsmo) e degradação (catabolsmo). A fórmula orgnal fo expressa da segunte forma: dw 2 3 dt = ηw kw A vantagem da equação está na sua fundamentação teórca. A razão anabólca é proporconal à área da superfíce do organsmo, enquanto que a razão catabólca é proporconal ao volume da bomassa. Chen et al. (992) comparou o modelo de Bertalanffy com 5 equações polnomas no ajuste de dados de crescmento de 6 populações de pexes de água doce. Eles concluíram que o modelo de Bertalanffy fo mas flexível para todas populações que os modelos polnomas usados. Em recursos pesqueros o modelo de Bertalanffy tem sdo freqüentemente usado como: L t =L {-exp[-κ (t-t 0 )]} (3) Em que: L t = comprmento na dade t; L = tamanho assntótco; κ = parâmetro de crescmento; t 0 = dade quando o crescmento é teorcamente zero. Gallucc e Qunn II (979) sugerram um novo parâmetro para o modelo de Bertalanffy comparando o crescmento de molusco Pelecypoda europeu em dferentes regões. Eles também sugerram que outros modelos não lneares podem apresentar melhores resultados que o de Bertalanffy. Sprngborn et al. (994) trabalhando em expermentos em aqücultura mostraram que em pexes o parâmetro de crescmento e o tamanho assntótco são