u = PP', com origem na posição inicial P da partícula e extremidade na

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1 APÍULO II ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES.. RESUMO DA EORIA... Desoeto e Deforção Lier Sej,, s oordeds de u poto geério P, ofigurção iii do orpo. Depois d trsforção, os potos do orpo pss oupr u outr região R. Sej o poto P, de oordeds,,, ov posição oupd pe es prtíu de teri. O vetor r u PP, o orige posição iii P d prtíu e etreidde posição fi P, é o vetor desoeto, ou sipesete desoeto do poto P,,. O P,, R P,, r u u, v, w R O R R P ds Q P u r ds P Q u r Q O Fig.. Deforção ier Defie-se etesão ou deforção ier do segeto PQ, oo sedo vrição retiv do respetivo oprieto, isto é: ds ds PQ. ds Fedo ds oté-se deforção ier ou etesão ier o r poto P, segudo direção PQ defiid peo versor,, :

2 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições ds ds P, r i. ds ds E prtiur, às direções dos três eios oordedos O, O e O orrespode s três opoetes rtesis ieres d deforção o poto P, isto é: r P, i r P, j. r P, k... Distorção ou Deforção de orte Fisiete, deforção de orte ou distorção trdu o esorregeto retivo de pos preos us sore os outros. osiderdo o so de u eeeto idiesio, Fig.., deforção de orte é resposáve pe distorção do retâguo iii PAB, que se trsfor o preogro P A B. E E H H B D B A F F B G B G P P A P P A A Fig.. Distorção du retâguo Fig..4 Distorção du preepípedo A deforção de orte é edid peo desoeto tgei por uidde de oprieto, isto é: Deforção de orte DB tg DP N situção represetd Fig.., e que s dus direções iiiete perpediures etre si são pres os eios oordedos O e O, distorção orrespodete é represetd por ou, isto é:

3 pítuo II - Aáise ds Deforções No so du eeeto tridiesio, Fig..4, deforção de orte é trduid pes três opoetes orrespodetes às distorções dos três diedros oorretes o vértie P. Otê-se ssi s três opoetes rtesis d distorção ou deforção de orte o poto P: ; ;.4... Mtri e Vetor ds Deforções osidere-se u eeeto retgur PAB orietdo preete os eios oordedos O e O, que se trsfor o qudriátero P A B, Fig..5. u u B v v B v P P u O A A v v u u Fig..5 opoetes rtesis d deforção o po As deforções ieres e segudo s direções e e distorção do eeeto são s opoetes rtesis o po d deforção o poto P e pode epriir-se e teros do vetor desoeto desse poto: u v u v u u u v v v u v

4 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Pr o ojuto ds três direções rtesis O, otê-se ssi s seis opoetes rtesis d deforção o poto osiderdo: u v w v u w w u v.5 As seis opoetes rtesis d deforção pode grupr-se so for d tri ds deforções ou do vetor deforção o poto P: [] ou {} Deforção Segudo Direções Aritráris r A deforção ier segudo u direção ritrári,,, Fig..6. pode epriir-se e teros ds opoetes rtesis d deforção o poto osiderdo: r P,.7 Iguete deforção de orte ou distorção etre ess direção r e respetiv direção perpediur t r, pode té epriir-se e fução ds opoetes rtesis d deforção e P: O r t,, P π/ r,, Fig..6 Distorção t, t.7

5 pítuo II - Aáise ds Deforções Leis de rsforção ds Deforções Por pição ds equções.7, pode ur-se s opoetes rtesis d deforção referids u referei prtiur O, Fig..7, e fução ds opoetes rtesis d tesão o referei go O e dos o-seos diretores retivos dos dois refereiis: [L] Assi, oté-se:.8 ou sej, so for trii:.9 Fig..7 Refereiis O e O OO

6 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições ou id, sioiete: Iversete, pode esrever-se: [ ] [L] [] [L]. [] [L] [ ] [L]. oprdo s equções. e. o s equções hoóogs. e.4 do pítuo terior, referetes às eis de trsforção espi ds tesões, verifi-se que eiste u seehç otáve etre quees dois grupos de equções. o efeito, se se defiir u orrespodêi do tipo seguite: σ τ σ e τ σ τ s equções de trsforção e d u ds situções são idêtis dus dus, peo que pode etrpor-se diretete os oeitos de deforções priipis, de direções priipis de deforção e de ivrites ds deforções e d poto do orpo. No so de se utiir otção vetori, s equções de trsforção ds deforções o referei go O pr o referei prtiur O pode id esrever-se so for seguite: Isto é: {} [] {}.

7 pítuo II - Aáise ds Deforções 7 ode [] é tri de trsforção ds tesões defiid o prágrfo.5. do pítuo terior. E iversete, equção de trsforção do vetor deforção o referei prtiur O pr o referei go O é: {} [R] {}.4 Idepedeteete do referei que se utiie, são sepre osttes s seguites grdes: º Ivrite ds Deforções J.5 º Ivrite ds Deforções J º Ivrite ds Deforções J O prieiro ivrite ds deforções e prtiur, J, te u sigifido físio iportte: é ueriete igu à vrição retiv de voue o poto osiderdo, isto é: V J θ.8 V..6. Deforções Priipis E d poto eiste peo eos três direções utuete r r r ortogois,,, pr s quis são us s deforções de orte,

8 8 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições sedo estioários áios ou íios os vores ds respetivs deforções ieres. Esss direções são s direções priipis de deforção, defiids por u siste de três equções do tipo:.9 ode é u ds deforções priipis o poto osiderdo. Ests, por su ve, são deterids pe seguite equção rterísti do tereiro gru: [ ]. oo o so ds tesões, é hitu order s três deforções priipis u poto de t odo que. Retivete o r r r triedro ortoor ds três direções priipis de deforção,,, s equções que eprie etesão ier segudo u direção ritrári,, e deforção de orte segudo dus direções ortogois r,, e t r,, são dds pes epressões seguites, ofore deorre diretete ds equções.7: Deforções Sore u Po No poto P, Fig..8, defie-se deforção ou etesão ier sore u po π, à deforção ier π segudo direção d respetiv or,, r, isto é: π. Defie-se deforção gur, deforção de orte ou distorção sore r o po π, segudo direção d,, e π, à deforção gur π etre or r e direção d r, isto é:

9 pítuo II - Aáise ds Deforções 9 π d.4 odo u po preo π, u distâi ifiitesi h do po π, o esorregeto retivo e de π sore π, segudo direção de d r, está reiodo o deforção de orte π trvés d equção seguite, Fig..8: r π e h.5 e " π B e e B e" B P π F F π E e" e d r r π A B e B F F d r " π r Iguete, pr u outr direção d " ", ", ", té sore o po π e perpediur d r, te-se: " h Fig..8 Deforções sore u po π π " " " " ".6 " " " " e o esorregeto e " de π sore π segudo direção d r ": " " h π e.7 O esorregeto retivo tot e etre os dois pos π e π oté-se pe oposição vetori, Fig..8: e e".8 e A este esorregeto tot orrespode deforção de orte ou distorção resutte π sore o po π, isto é: h P π E d r

10 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições e π.9 h Est é deforção gur resposáve pe trsforção do retâguo PAB o preogro PA B, Fig..8. oido s equções.5-.9 pode etão esrever-se: π π π ". Sustituido gor s epressões pr π e " π dds pes equções.4 e.6, tedo e ot epressão. pr etesão ier π, e tededo id às odições de ortogoidde etre s direções r, d r e d r ", isto é: ; " " " ; " " ". oté-se seguite epressão fi pr deforção de orte ou distorção resutte sore o po π: ode: π D D π D. D D D. É de otr que equção. é forete idêti à equção., pr s tesões. o efeito, pr se pssr de u dques equções pr outr, st osiderr u orrespodêi do tipo: σ π τ π D.4 D D

11 pítuo II - Aáise ds Deforções A deforção de orte π / é pois grde equivete à tesão de orte τ, áise ds tesões. E direção segudo qu tu deforção de orte π, isto é, direção segudo qu se proess o esorregeto dos pos preos π us sore os outros, é deterid por epressões seehtes às ds tesões, equções.4. Assi, oté-se: π π π D π π D π D π π π π π π.5 ode,, são os o-seos diretores d direção sore o po de orte, segudo qu se efetu o esorregeto. odo pr referêi o triedro priip e P, s opoetes or e tgei d deforção sore u po ququer π defiido pe respetiv or,, r são dds, respetivete, pes epressões seguites: π.6.7 π π ofore deorre diretete ds equções. e Vores Estioários ds Deforções Sore u Po oo otee pr s tesões, os vores estioários d deforção or oiide o s deforções priipis o poto osiderdo. E se se tor, o vor áio souto d deforção ier é igu à ior ds deforções priipis o poto osiderdo. Quto os vores estioários áios e íios d deforção de orte, quees oorre sore os pos priipis de deforção, pr os

12 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições quis é π, e sore os pos ujs oris isset pres de dus quisquer ds direções priipis de deforção. O vor áio souto d distorção será, turete, π e oorre oorre sore o po uj or r te, retivete o triedro priip, os seguites o-seos diretores: r /,, /..9.Equções de optiiidde As seis opoetes d deforção ão pode ser fids ritrriete, devedo ter de stisfer deterids odições que grt eistêi ds três fuções otíus u,,, v,, e w,,, pes de defiire u deforção oerete de todo o orpo. Esss odições são trduids por seis equções, deoids Equções de optiiidde ds deforções:.8... ostrução de Mohr pr s Deforções Eiste u ostrução de Mohr pr s deforções π, π, e tudo seehte à ostrução hoóog pr s tesões, Fig..:

13 pítuo II - Aáise ds Deforções / S / Ο Q r Q r t Q t R r R S β β α P P P / t / / Fig.. - ostrução de Mohr pr s deforções A úi difereç retivete à ostrução hoóog pr s tesões é que s tesões oris σ são sustituíds por π e s tesões de orte τ por etde ds deforções π /:... Estdo Po de Deforção U po po de deforções é rterido por sere us s opoetes, e, isto é: e pes opoetes ão us d deforção e dos desoetos sere fuções pes ds oordeds e, isto é: e,,, u u, v v,

14 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições w Nu estdo po de deforção, epressão. pr etesão ier segudo u direção pre o po O e iid de u âguo θ retivete o eio dos, redu-se à for seguite: θ osθ se.9 e deforção de orte, sore o po perpediur ess es direção, é dd por: θ seθ os.4 A deforção de orte u-se pr u âguo θ p, defiido por: tg θ p.4 Eiste dus direções utuete perpediures que stisfe odição.4, isto é θ e θ θ π/. São s direções priipis de deforção r e r, que orrespode às etesões priipis e :.4... Deforções Priipis Seudáris N situção is ger du estdo de deforção tridiesio, s equções.9-.4 otiu váids pr s deforções o po,, eor poss ser diferetes de ero s opoetes, e. Neste so s deforções dds pes equções.4 die-se s deforções priipis seudáris o po, e represet-se peos síoos e, respetivete:

15 pítuo II - Aáise ds Deforções 5 σ σ σ σ.4 As direções defiids pe equção.4 são s direções priipis seudáris r e r d deforção e P, o po,.... íruo de Mohr pr o Estdo Po de Deforção À seehç do que foi feito pr o estdo po de tesão, té qui etesão ier e distorção pode ser diretete reiods o s oordeds do poto D sore o íruo de Mohr pr s deforções, Fig.., ostruído de for seehte à do íruo de Mohr pr s tesões, tedo e ot s equivêis teriorete referids. Assi, s deforções ou etesões ieres são referids o eio ds isss, positivete o setido d esquerd pr direit. / O P / D θ E E P θ D - - τ - - Fig..-ostrução de Mohr pr o estdo po de deforção Fig..-oveção de siis pr τ e

16 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Qudo deforção gur é positiv, >, o poto D represettivo d direção O é rdo u distâi ½ pr io do eio horiot, e o poto D represettivo d direção O, u distâi ½ pr i; e vie-vers, qudo é egtiv. De otr que est oveção pr o si d deforção de orte oiide o que foi doptd ostrução do íruo de Mohr pr s tesões. Este poreor, retivo à oveção de siis e os os sos, é posto e evidêi o esque presetdo Fig Aáise de Rosets Eperietete, é is fái edir diretete s etesões ieres do que s distorções. Por isso, é frequete pôr-se o proe de deterir s etesões priipis u poto, prtir d edição ds etesões ieres,,, segudo três direções distits sore o po de deforção, Fig... Supodo que ques três direções fe âguos θ, θ e θ, respetivete, o direção do eio dos. De ordo o equção.9, pode esrever-se: os os os θ θ θ se θ se θ se θ se θ os θ se θ os θ se θ os θ.44

17 pítuo II - Aáise ds Deforções 7 θ θ θ O Fig..-Roset de três eeetos ritrriete orietdos e reção os eios oordedos e. Resovedo o siste de equções.44 retivete, e, pode oter-se depois s deforções priipis, utiido s equções.4 e.4. O proe pode ser is ou eos opeo, ofore os vores dos âguos θ, θ e θ ds três direções osiderds. Eiste dois sos prtiures de iteresse prátio, orrespodetes A roset retgur de três eeetos e B roset det de três eeetos. A- Roset Retgur de três eeetos orrespode à situção e que s três direções estão espçds de 45º. Ns pições prátis est situção é teriido trvés ds rosets retgures de três etesóetros, que tê u speto ofore represetdo Fig...

18 8 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições 45º 45º θ r θ º θ 45º θ 9º º º θ r θ º θ º θ 4º Fig..-Roset retgur de três eeetos. Fig..4-Roset det de três eeetos. Neste so prtiur, s deforções priipis e s respetivs direções são dds pes equções seguites ver proe..7: e tg.45 θ,.46 ode o vor do âguo θ ddo pe equção.46 é idetifido de ordo o s seguites regrs: i < θ < π/, qudo > / ii π/ < θ <, qudo < / iii θ, qudo > e iv θ ±π/, qudo < e B- Roset Det de três eetos orrespode à situção e que s três direções estão espçds de 45º. Ns pições prátis est situção é teriido trvés ds rosets retgures de três etesóetros, que tê u speto ofore represetdo Fig..4.

19 pítuo II - Aáise ds Deforções 9 Neste so prtiur, s deforções priipis e s respetivs direções são dds pes equções seguites ver proe..7: e tg.47 θ,.48 ode o vor do âguo θ ddo pe equção.48 é idetifido de ordo o s seguites regrs: i < θ < π/, qudo > ii π/ < θ <, qudo < iii θ, qudo e > iv θ ±π/, qudo e < E tertiv à soução íti, pode sepre utiir-se ostrução gráfi iustrd Fig..5: i-desehr u ret horiot h e sore e fir u orige ritrári O ; ii-mrr sore ess ret os potos E, E e E, às distâis,,, respetivete, edids prtir d orige O ; iii-peos potos E, E e E evtr s rets e, e e e perpediures o eio horiot h; iv-sore ret e, esoher u poto B ququer e desehr s rets e e e, iids de âguos ß e, pr u e outro do de e. Sej A e os potos de iterseção o s vertiis e e e, respetivete;

20 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições v-desehr iruferêi que pss peos potos A, B e. Este é o íruo de Mohr pr s deforções o poto osiderdo. O etro do íruo de Mohr é o poto de iterseção ds editries dos segetos AB e A; vi-opetr o digr, desehdo o eio ds isss e o eio ds ordeds. / β θ r O P e e B B e β β e θ A e P O E E E h Fig..5-ostrução do íruo de Mohr prtir de três deforções ieres N Fig..5, os potos A, B e são os potos represettivos dos pos perpediures às direções, e, respetivete. As deforções priipis e são s isss dos potos de iterseção do íruo de Mohr o o eio dos. O âguo θ que defie orietção d direção priip de deforção r retivete à direção é igu etde do âguo o etro P A.

21 pítuo II - Aáise ds Deforções.. PROBLEMAS RESOLVIDOS PROBLEMA... O po dos desoetos u eio teri é defiido pes seguites opoetes: u 4 v w - Deterie o po ds deforções que he está ssoido; - Deterie deforção ier, o poto P de oordeds,,, segudo direção r iguete iid retivete os três eios oordedos, isto é, r,,. RESOLUÇÃO: -po ds Deforções O po ds deforções pode oter-se por derivção diret do po dos desoetos, isto é, tedo e ot s epressões dds pr s opoetes do vetor desoeto e d poto: -Deforção ier u 4 v w v w u w u v 4 No poto P,,, s opoetes rtesis d deforção são s seguites:

22 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Dode, tri ds deforções o poto osiderdo: [ ] Utiido gor epressão ger pr deforção segudo u direção ritrári: 5 Oté-se, por sustituição dos vores ds opoetes rtesis d deforção e dos o-seos diretores d direção r,, :, P r PROBLEMA.. rsfore s opoetes rtesis de deforção retivete u siste de eios go O: pr u siste de eios rtesios prtiur O, uj orietção e reção o siste go é defiid peos seguites âguos: âguo d - π/4 π/ π/ - π/4 π/ π/ - π/ π/

23 pítuo II - Aáise ds Deforções RESOLUÇÃO: Bst pir diretete s equções de trsforção ds defor-ções, ofore presetds o prágrfo.5: osiderdo-se suessivete os diferetes sos propostos, te-se: -Os eios e são oiidetes, peo que teos situção represetd geoetriete figur seguite: Os o-seos diretores dos eios, e o referei origi O são, respetivete: / / 4 / / 4 / π π π os os os / / 4 / / 4 / π π π os os os π/4 π/4 π/4

24 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições / / os os os π π Dode tri de trsforção de oordeds: [ ] / / / / L Sustituido s equções de trsforção de deforções i, oté-se: 4 A tri ds deforções o referei prtiur O é, portto, seguite: [ ]

25 pítuo II - Aáise ds Deforções 5 ou, utiido otção vetori: { } 4 -Neste so teos té, u situção ofore represetd geoetriete figur seguite: A tri de trsforção de oordeds é, gor: [ ] L Sustituido s equções de trsforção, oté-se: Dode tri ds deforções o referei prtiur O : [ ] π/ π/

26 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições ou o vetor ds deforções: { } -Agor os eios e são oiidetes, sedo situção ofore represetd geoetriete figur seguite: [ ] Sustituido s equções de trsforção, oté-se, pr este so: Dode tri ds deforções o ovo referei O : [ ] ou o vetor deforção: π/ π/

27 pítuo II - Aáise ds Deforções 7 { } d-neste so os eios e são oiidetes, sedo situção ofore represetd geoetriete figur seguite: [ ] L Sustituido s equções de trsforção, oté-se, este so: Dode tri ds deforções o referei prtiur O : [ ] ou o vetor deforção: π/ π/

28 8 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições { } PROBLEMA.. O po ds deforções u eio teri é defiido pes seguites opoetes rtesis: Deterie o po dos desoetos que he está ssoido, ditido que o desoeto orige ds oordeds é uo; - ue s deforções priipis e s respetivs direções priipis orige ds oordeds RESOLUÇÃO: - po dos Desoetos rt-se de deterir s três fuções, uu,, vv,, ww,,, que rteri o po dos desoetos, prtir do oheieto do po ds deforções, defiido pes respetivs opoetes rtesis dds o euido do proe. osidere-se s reções etre os desoetos e s deforções:

29 pítuo II - Aáise ds Deforções 9 u v w v u d w v e w u f odo equção, por eepo, pode esrever-se: u Dode, por itegrção, se oté:, f u g Ode f, é u fução ritrári ds vriáveis e. Iguete, prtido d equção, pode esrever-se: v Itegrdo, oté-se:, g v h Ode g, é u fução ritrári ds vriáveis e. é, prtido d equção, pode esrever-se: w

30 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Dode, por itegrção, se oté: w h, i odo gor e osiderção equção d, e utiido s epressões g e h pr u e v, respetivete, pode esrever-se: Ou sej, f g 6 4 f, g, j Est equção só pode ser stisfeit e todo o doíio ds vriáveis idepedetes,, se e só se d u dos teros do prieiro ero depeder pes d vriáve, isto é: f, g, F k Agor, por itegrção de d u ds equções 5, oté-se: f, F P g, F Q Ode P e Q são dus fuções ritráris d vriáve. odo gor equção e e sustituido v e w pes epressões h e i, respetivete, oté-se: g, h, Est equção só pode ser stisfeit e todo o doíio ds vriáveis idepedetes,, se e só se d u dos teros do prieiro ero depeder pes d vriáve, isto é: g, h, G o Dode, por itegrção, se oté: g, G R p h, G S q odo, fiete, equção f e sustituido u e w pes epressões g e i, respetivete, oté-se:

31 pítuo II - Aáise ds Deforções,, h f r Est equção só pode ser stisfeit e todo o doíio ds vriáveis idepedetes,, se e só se d u dos teros do prieiro ero depeder pes d vriáve, isto é:,, H h f s Dode, por itegrção, se oté:, H f t, U H h u oprdo gor s equções e t, oté-se: H P F Est reção deve ser váid pr todos os vores de e, peo que deverá ser: H F P v Por outro do, oprdo s equções q e u, oté-se: U H S G Est reção deve ser váid pr todos os vores de e, peo que deverá ser: H G U S 4 4 w Fiete, oprdo s equções e p, oté-se: R G Q F Ou sej: [ ] R G Q F Est reção deve ser váid pr todos os vores de e, peo que deverá ser: G F Q R 6 6 5

32 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições E resuo, te-se s seguites epressões pr s diferetes fuções: H G F Dode: 6 4. Por outro do, 5 5 U S R Q P Sustituido gor s epressões pr s fuções f,, g, e h, e depois s epressões g, h e i pr s opoetes dos desoetos, oté-se: u v w Atededo que opoete vetori do desoeto, 5, represet u trsção rígid, que pode ser retird, otê-se s seguites epressões fiis pr o po dos desoetos: u v w - Deforções Priipis e Direções Orige ds oordeds N orige ds oordeds te-se:,,, 6, 5 dode tri ds deforções orige:

33 pítuo II - Aáise ds Deforções [ ] 5 5 D áise d tri ds deforções pode ouir-se ieditete que, por sere us s s opoetes de orte e, direção do eio dos é u direção priip de deforção, sedo respetiv deforção priip igu isto é. De ququer for, s deforções priipis o poto osiderdo otê-se resovedo equção rterísti: ou sej, desevovedo o deterite segudo úti ih: ou id: [ 5 5 5] 5 ujs souções são s três deforções priipis orige ds oordeds:.5 ; ;. 5 Já se se que direção priip orrespodete é o eio dos, peo que se pode esrever, desde já: r,, uto às resttes dus direções priipis, ests otê-se resovedo o siste hitu: Neste so te-se, orige ds oordeds:

34 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Pr ur r, sustitui-se ou sej: : Dode, epiitdo soução e teros de : M. ; U vetor o direção r oté-se, por eepo, fedo : V r,., Dode, o vetor uitário r : r r V,., r V,487.67,.74, Iguete pr direção priip r, sustitui-se, isto é: Ou sej: Dode, epiitdo soução e teros de :.9 ; U vetor o direção r oté-se, por eepo, fedo : V r, -.9,

35 pítuo II - Aáise ds Deforções 5 Dode, o vetor uitário r : r r V,.9, r.74,.67, V.45 PROBLEMA..4 O estdo de deforção u poto P du orpo teri é defiido pes seguites opoetes rtesis, Deostre que é u dos pos priipis de deforção o poto P e questão; - ue s deforções priipis e s respetivs direções priipis o poto osiderdo. RESOLUÇÃO: O po é po priip de deforção o efeito, d áise d tri ds deforções o poto osiderdo: 8 6 [ ] 6 ostt-se que são us s s opoetes de orte e,. Isso sigifi que direção do eio dos, isto é, r,, é u direção priip de deforção e, portto, o po que he é perpediur po é u po priip de deforção o poto osiderdo. A deforção 6 priip orrespodete é 6 áuo ds Deforções Priipis e respetivs Direções As deforções priipis e respetivs direções priipis de deforção poderi ur-se seguido etodoogi ger que foi utiid pr resover íe do proe terior.

36 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições U eir tertiv de resover o proe é seguite: Ddo que u ds direções priipis está já idetifid oo sedo o eio dos, s outrs dus direções estrão o po priip que he está ssoido, isto é, o po. Pode ser, portto, deterids utiido s fórus pr o áuo ds deforções priipis seudáris o po, isto é: tg θ p Ode θ p p, são os âguos ds dus direções priipis seudáris retivete o eio dos. Sustituido os vores orrespodetes pr, e, oté-se: Dode: 8 8 tg 6 6 θ p, 4 5 θ,9º e θ 79,º As deforções priipis o poto osiderdo são, etão: E s três direções priipis de deforção são, respetivete: r r r 6 6 [ os,9º,, se,9º ],98,, -,9 r j,, [ os79,º,, se79,º ],9,,,98

37 pítuo II - Aáise ds Deforções 7 PROBLEMA..5 O estdo de deforção u poto P du orpo teri é defiido pes seguites opoetes rtesis, Deterie s deforções priipis e s respetivs direções priipis o poto osiderdo; -Deterie s opoetes or e de orte d deforção sore u po π uj or está iguete iid sore os três eios oordedos / ; -Idetifique os pos otédrios o poto osiderdo e, sore ees, deterie s respetivs deforções or e de orte. RESOLUÇÃO: Deforções priipis o poto P Peo fto de sere us s opoetes de orte o po, isto é, isso sigifi que esse é u po priip de deforção, sedo respetiv or o eio dos u direção priip de deforção o poto osiderdo. Assi sedo, fi desde já idetifid u ds deforções priipis o poto P, isto é: 6, o r,, De ququer for, s deforções priipis otê-se resovedo equção rterísti e : Ou sej, sustituido os vores pr s opoetes rtesis d deforção este so:

38 8 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Desevovedo o deterite segudo úti ih, oté-se: Ou sej: Portto, s deforções priipis: 6 6 ; 6 ; Quto às direções priipis de deforção, podeos desde já esrever que: r,, E s outrs dus direções priipis, isto é r e r, otê-se sustituido por e, suessivete, s equções seguites: Assi, pr r te-se: Ou sej: e pr r te-se, iguete: Ou sej: r,, r,,

39 pítuo II - Aáise ds Deforções 9 Deforção or e deforção de orte sore o po π r O po π fi defiido pe respetiv or,,, e que, o presete so, os osseos diretores stisfe odição: A deforção or sore o po π oté-se trvés d epressão ger: π Ou sej, sustituido: π π ,7 Quto à deforção de orte sore o po π, te-se: π Ode: D D D π π D D D Ou sej: Isto é: π 9 π 88,6 6 Pos Otédrios Os pos otédrios fi idetifidos pes respetivs oris, s quis estão iguete iids retivete às três direções priipis r, r e r o poto osiderdo. Assi sedo, pode esrever-se: r ot ± r ± r ± r

40 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Ou sej: r ot ± Dode s 4 direções otédris possíveis:,, ±,, ±,, r ot,,,,,,,, r ot,,,,,,,, r ot,,,,,,,, r ot,,,,,,,, 6 Quto os vores ds deforções otédris, estes otê-se prtir ds epressões geris: ot ot 6 Ou sej, sustituido os vores pr, e : ot ot , 6 PROBLEMA..6 Reosidere o PROBLEMA..5, gor pr o so e que o estdo de deforção o poto P é defiido pes seguites opoetes rtesis, Deterie, reorredo diretete à ostrução dos íruos de Mohr, s deforções priipis e s respetivs direções priipis o poto osiderdo. RESOLUÇÃO: Sedo, à prtid, que o po é u dos pos priipis de deforção, podeos desevover ostrução dos íruos de Mohr d seguite eir:

41 pítuo II - Aáise ds Deforções 4 -No digr de Mohr, rque-se s posições dos potos X e Y represettivos dos pres, e,, respetivete, isto é, o so e questão, X, e Y, - ; -O segeto DD é u diâetro do íruo de Mohr o po priip e su iterseção o o eio ds isss defie posição do etro desse íruo de Mohr; -o etro e deseh-se o íruo de Mohr pssr peos potos X e Y; π θ X π θ O P P P 6 Y A iruferêi de Mohr iterset o eio e dois potos ujs isss 6 6 defie preisete os vores e 4 ds deforções priipis o po. respetivete. oo estes vores são 6 os iferiores à ª deforção priip já oheid 6, podeos etão esrever: ; 4 6 ; e idetifir ssi os potos P, P e P que defie os diâetros dos três íruos de Mohr e os respetivos etros, e ver figur; 5-As orietções ds direções priipis e o po o versores r e r, respetivete fi defiids peos âguos θ e θ, retivete o eio dos, edido o digr os âguos θ e θ, prtir do rio D pr os potos P e P, respetivete. Por edição diret sore o digr, tir-se: θ -π/ o setido do ovieto dos poteiros do reógio e θ π/ o setido otrário o do ovieto dos poteiros do

42 4 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições e-se, portto: π θ 4 π θ 4 r,, r,, r,, PROBLEMA..7 Prtido do oheieto ds deforções ieres segudo três direções distits,, u poto d superfíie du orpo teri, dedu s epressões ds deforções priipis e respetivs direções o poto osiderdo, pr os seguites sos prtiures: - As direções, e estão gurete espçds de 45º roset retgur. - As direções, e estão gurete espçds de º roset det. RESOLUÇÃO - Roset retgur rt-se d situção represetd figur seguir. Apido diretete s equções.44 referids o prágrfo. d itrodução teóri, e todo β 45º, otê-se s deforções, e : 45º 45º θ r θ º θ 45º θ 9º As deforções priipis pode oter-se prtir ds equções.4:

43 pítuo II - Aáise ds Deforções 4 Dode, sustituido: Por outro do, sustituido os vores pr, e equção.4, oté-se: tg θ p A soução d equção terior pr deterição do âguo θ p é ostituíd por dois vores, o itervo [π/, π/]. Sej θ o âguo d direção ssoid à ior deforção priip retivete o eio dos ou etesóetro e θ θ ± π/ o âguo d direção ssoid à eor deforção priip, té e reção o eso eio dos. D áise do digr do íruo de Mohr represetdo figur seguir, resut que oição do âguo θ, o itervo [π/, π/], é feit o se s seguites regrs: i < θ < π/, qudo > / ii π/ < θ <, qudo < / iii θ, qudo > e iv θ ±π/, qudo < e A B 9º θ O P 9º A P

44 44 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições - Roset equigur de três eeetos Os três etesóetros estão orietdos segudo os dos du triâguo equiátero, ofore idido figur seguir. A orietção dos eios dos etesóetros é qui is equiird do que o so d roset retgur, s s fórus resuttes pr o áuo ds tesões priipis e respetivs orietções são is opes. odo o eio de referêi O oiidete o direção do etesóetro, ds equções.44 resut fedo β º: [ ] As deforções priipis pode oter-se prtir ds equções.4: Dode, sustituido: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 As epressões teriores pode id sipifir-se: º º θ r 4º º º θ θ θ

45 pítuo II - Aáise ds Deforções 45 Por outro do, sustituido os vores pr, e equção.4, oté-se: tg θ p / A soução d equção terior pr deterição do âguo θ p é ostituíd por dois vores, o itervo [π/, π/]. Sej θ o âguo d direção ssoid à ior deforção priip retivete o eio dos ou etesóetro e θ θ ± π/ o âguo d direção ssoid à eor deforção priip, té e reção o eso eio dos. D áise do digr do íruo de Mohr represetdo figur seguir, resut que oição do âguo θ, o itervo [π/, π/], é feit o se s seguites regrs: i < θ < π/, qudo > / ii π/ < θ <, qudo < / iii θ, qudo > e iv θ ±π/, qudo < e / / A O P 6º θ A P / 6º B

46 46 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições PROBLEMA..8 Nu poto P d superfíie ivre du orpo teri, edir-se s deforções ieres segudo três direções,, espçds de 45º: -6-6 ; 4 ; -Deterie s deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs orietções; -Deterie o vor d deforção de orte ái e orietção do po segudo o qu e se proess -Resov s íes teriores reorredo eusivete à ostrução dos íruos de Mohr. RESOLUÇÃO: Deforções priipis o poto P No poto osiderdo são oheids s seguites deforções ieres segudo três direções gurete espçds de 45º são s seguites: 4 Neste so β 45º, s deforções priipis são dds pes epressões seguites ver proe terior: Dode, sustituido peos vores orrespodetes: Quto à orietção ds direções priipis, te-se: tg θ

47 pítuo II - Aáise ds Deforções 47 ou sej: 4 tg θ,5 8 Dode: θ 6,56º θ,8º ou θ 76,7º Atededo que < 6, de ordo o regr defiid o prágrfo..4, o âguo θ é egtivo. Dode: θ,8º e θ θ 9º 76,7º e-se, ssi, represetção gráfi seguite: r π / 4 π / 4 θ 76,7º θ,8º r E, portto: r.97,., r.,.97, Deforção de orte ái A deforção de orte ái o poto osiderdo é dd pe epressão seguite: e oorre sore o po uj or isset s direções r e r, isto é: r r r r r.85,.55,

48 48 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições ostrução do íruo de Mohr -No digr, /, deseh-se s três rets vertiis e, e e e, às distâis, e d orige O ; -Sore ret e to-se u poto B e, prtir deste poto, deseh-se s rets e e e, iids de âguos β 45º e 45º, respetivete; ½ 47 e e Q e 5 e ½ A O P e θ 6,56º P O 45 º 45º B h 4 -Idetifir os potos A e ode s rets e e e iterset s vertiis e e e, respetivete; 4-Idetifir o etro do íruo de Mohr, pe iterseção ds editries dos segetos AB e B o so prtiur du roset retgur, o etro pode ser idetifido pe poto édio do diâetro A. 5-Desehr o íruo de Mohr etro e e pssr peos potos A, B e ; 6-Desehr o eio ds isss do digr de Mohr diâetro horiot d iruferêi que se refere o poto terior; 7-Idetifir os potos P e P de iterseção do eio ds isss o iruferêi de Mohr; 8-Medido s distâis OP e OP otê-se os vores ds dus deforções priipis o poto osiderdo, isto é: e 5

49 pítuo II - Aáise ds Deforções 49 9-A orietção ds direções priipis oté-se edido o âguo θ A P : ou sej: θ 6,56º θ,8º ofore sugerido pe figur, o âguo φ,8º é edido prtir d direção, o setido do ovieto dos poteiros do reógio. Assi, te-se: r,97,,, r,,,97, O vor áio d deforção de orte oté-se edido orded do poto Q sore o diâetro verti do íruo de Mohr ver figur: ou sej: 6 447, PROBLEMA..9 Utiido rosets retgures de três etesóetros, edir-se s deforções e io potos A, B,, D e E superfíie du orpo teri. Deterie s deforções priipis e d u desses potos e s respetivs direções Poto A: º 6, 45º 4, 9º Poto B: º, 45º 6, 9º Poto : º 4, 45º, 9º d-poto D: º 6, 45º 4, 9º e-poto E: º 6, 45º, 9º RESOLUÇÃO: Poto A rtdo-se de rosets de etesóetros 45º, pode pir-se diretete s epressões presetds o prágrfo..4 pr s rosets retgures:

50 5 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Dode, sustituido peos vores orrespodetes: Quto à orietção ds direções priipis, te-se: ou sej: Dode: tg θ 4 tg θ,5 8 47, 6 647, θ 6,56º θ,8º ou θ 76,7º Atededo que <, de ordo o regr proprid, o âguo θ é egtivo, peo que: Grfiete, te-se: θ 76,7º e θ θ 9º,8º 6 π / 4 π / 4 θ,8 r º r,97,,, r,,,97, φ 76,7º r E tertiv, poder-se-i ter utiido ostrução de Mohr:

51 pítuo II - Aáise ds Deforções 5 e e e e e 45º 45º A B θ 5º O h P O P ofore sugerido pe figur, o âguo θ 76,7º é edido prtir d direção, o setido do ovieto dos poteiros do reógio. Assi, te-se: r,,,97, r,97,,, Poto B Neste so, te-se: , 6 48, 6 Quto à orietção ds direções priipis, te-se: Dode: tg θ,67 6

52 5 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições θ 59,4º θ 9,5º ou θ 6,48º Atededo que >, de ordo o regr defiid o prágrfo..4, o âguo θ é positivo. Dode: r θ 6,48º π / 4 θ 6,48º θ θ 9º 9,5º π / 4 θ 9,5º r,49, r,87,,87,,49, r E tertiv, poder-se-i ter utiido ostrução de Mohr represetd figur seguir. ofore é sugerido pe figur, o âguo θ 6,5º deve ser edido prtir d direção, o setido direto. Assi, te-se: r,49,,87, r,87,,49, e e e e 45 º 45º e O B h P O P θ º A

53 pítuo II - Aáise ds Deforções 5 Poto Neste so, te-se: , 6 7, 6 Quto à orietção ds direções priipis: Dode: 4 tg θ 7, θ 8,87º θ 4,9º ou θ 49,7º Atededo que 6 6 < 5, de ordo o regr proprid defiid o prágrfo..4, o âguo θ é egtivo. Dode os âguos θ e θ : θ 49,7º θ θ 9º 4,9º e, portto, s direções priipis fi defiids peos seguites versores: r π / 4 π / 4 θ 4,9º r,66,,76, r,76,,66, θ 49,7º r E tertiv, soução poderi ser otid prtir du ostrução de Mohr, seehte à utiid s íes teriores:

54 54 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições e e e A 45 º 45º θ 98º B P P h ofore é sugerido pe figur, o âguo θ 49º deve ser edido prtir d direção, o setido dos poteiros do reógio. Pode. ssi, esrever-se: d Poto D Neste poto, te-se: r,66,,76, r,76,,66, , 6 47, 6 Quto à orietção ds direções priipis: 4 tg θ,5 8

55 pítuo II - Aáise ds Deforções 55 Dode: θ 6,56º θ,8º ou θ 76,7º Atededo que >, de ordo o regr defiid o prágrfo..4 pr direção priip, o âguo θ é positivo. Dode os âguos θ e θ que defie s direções priipis: θ,8º θ θ 9º 76,7º π / 4 π / 4 r θ,8º e, portto, os orrespodetes versores: θ 76,7º r,97,,, r,,,97, r é qui, soução poderi ser otid prtir du ostrução de Mohr, seehte à utiid s íes teriores: e e e e P O θ 6,56º P e 45 º 45º A B h

56 56 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições O âguo θ,8º deve ser edido prtir d direção, o setido direto. Assi, pode esrever-se: e Poto E No poto E, te-se: r,97,,, r,,,97, , ,69 6 Quto à orietção ds direções priipis: Dode: 8 tg θ, 8 θ 45º θ,5º ou θ 67,5º Atededo que 6 6 <, o âguo θ é egtivo. Dode os âguos θ e θ que defie s direções priipis: r θ,5º π / 4 θ 67,5º θ θ 9º 67,5º π / 4 θ,5º r r,9,,8, r,8,,9, A ostrução de Mohr orrespodete é seguite:

57 pítuo II - Aáise ds Deforções 57 e e e e A e P 45º 45º θ 45º P B h Neste so prtiur, e que, os potos B e são oiidetes, o íruo de Mohr é tgete à ret e e e o etro é o poto édio do segeto AB. O âguo θ,5º deve ser edido prtir d direção, o setido retrógrdo. Sedo ssi, pode esrever-se: r,9,,8, r,8,,9, PROBLEMA.. Utiido rosets det de três etesóetros, edir-se s deforções e io potos A, B,, D e E superfíie du orpo teri. Deterie s deforções priipis e d u desses potos e s respetivs direções. 6 -Poto A: º 6, 6 º 4, 6 4º 6 -Poto B: º, 6 º 4, 6 4º -Poto : 6 º 7, 6 º, 6 4º

58 58 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições 6 d-poto D: º, 6 º 6, 6 4º 7 6 e-poto E: º, 6 º, 6 4º 8 RESOLUÇÃO: Poto A Utiido s epressões.47 pr s rosets det de três eeetos: [ ] [ ] oté-se: ou sej: ,88 6, Quto às direções priipis, d equção.48 pode esrever-se: ir-se: Dode: tgθ 4 tg θ,58 θ º θ 5º ou θ 75º 6 6 Atededo que <, o âguo θ deverá estr o itervo π/ < α <. Portto:

59 pítuo II - Aáise ds Deforções 59 r º θ 75º θ 5º θ θ 9º 75º º θ 5º r r,97,,6, r,6,,97, A soução podi, té, ser otid trvés d ostrução de Mohr seguir presetd. ofore sugerido pe figur, o âguo φ 5º deve ser edido prtir d direção, o setido retrógrdo. Assi, pode esrever-se: r,97,,6, r,6,,97, e e e º º B h A e P θ º P e B

60 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Poto B Usdo s ess epressões utiids íe terior, oté-se: 6 4 Quto às direções priipis, te-se: ,4 6 46,4 6 Dode: º tg θ,58 9 º θ º α 5º ou α 75º r θ 5º Atededo que 6 < 6 4, o âguo θ deverá estr o itervo π/ < α <. Isto é: θ 75º θ 75º e θ θ 9º 5º r.6,.97, e r.97,.6, r e e e A soução pode, té, ser otid trvés d ostrução de Mohr presetd figur o do. A θ 5º B O âguo φ 75º deve ser edido prtir d direção, o setido dos poteiros do reógio. Assi, pode esrever-se: r.6,.97, r.97,.6, e P B P h e

61 pítuo II - Aáise ds Deforções 6 Poto Neste so, sustituido os vores de, e s epressões geris: [ ] [ ] oté-se: , 6 787,5 6 Quto às direções priipis, te-se: Dode: 5 tg α,67 θ,67º θ 6,84º ou θ 7,6º 6 6 Atededo que >, o âguo θ deverá estr o itervo < α < π/. Isto é: θ 7,6º θ θ 9º 6,84º r º θ 7,6º Os versores ds direções priipis são, portto: º θ 6,84º r r,96,,9, r,9,,96,

62 6 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições A soução pode, té, ser otid trvés d ostrução de Mohr represetd figur seguir. ofore sugerido pe figur, o âguo θ 7º deve ser edido prtir d direção, o setido direto. Assi, pode esrever-se: r,96,,9, r,9,,96, e e e B P P θ 46º A º º e B e h d Poto D Sustituido os vores de, e s epressões.47 pr s deforções priipis e, oté-se: ,9 757,9 6 6

63 pítuo II - Aáise ds Deforções 6 Quto às direções priipis o poto D, sustituido equção.48, oté-se: Dode: tg θ 7,5 θ 8,4º θ 4,º ou θ 48,79º 6 6 Atededo que 7 > 6, o âguo α deverá estr o itervo < α < π/. Isto é: r º º θ 48,79º θ 4,º r θ 48,79º θ θ 9º 4,º r,75,,66, r,66,,75, A soução pode, té, ser otid trvés d ostrução de Mohr: e e e B P θ 97,58º P e B 46 A e h

64 64 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições ofore resst d áise d figur, o âguo θ 48,79º deve ser edido prtir d direção, o setido direto. Assi, pode esrever-se: r,6,,97, r,97,,6, e Poto E Neste so, sustituido os vores de, e s epressões geris: oté-se: [ ] [ ] 9 9 Quto às direções priipis, te-se: ,5 6 77,5 6 Dode: tgθ θ ±9º θ 45º ou θ 45º 6 6 Atededo que 8 >, o âguo α deverá estr o itervo < α < π/. Isto é: r θ 45º º θ 45º θ φ 9º 45º θ º θ 45º r r, r,,,

65 pítuo II - Aáise ds Deforções 65 A soução podi, té, ser otid trvés d ostrução de Mohr represetd figur seguir: e e e B P P θ 9º e h A e ofore sugerido pe figur, o âguo θ 45º deve ser edido prtir d direção, o setido direto. Assi, pode esrever-se: r, r,,,

66 66 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições.. PROBLEMAS PROPOSOS... O po dos desoetos u eio teri é defiido pes seguites opoetes: u v 4 w Deterie o po ds deforções que he está ssoido. Soução: ; 4 ; ; τ 4 ; τ ; τ.... Retivete o po de desoetos que se refere o proe terior, deterie deforção ier, o poto P de oordeds,,, segudo u direção r iguete iid retivete os três eios oordedos, r,,. Soução:, 5/ P r.... Aid retivete o po de desoetos que se refere o proe..., deterie distorção etre s dus direções ortogois r,, e r,,, o poto O,,. Soução: r 6 / 6 r,...4. Nu referei go O, s opoetes rtesis d deforção u poto P são s seguites: ; ; 6 τ ; τ ; τ 6. Deterie s opoetes d deforção u referei prtiur O, ode s orietções dos eios,, são defiids peos seguites âguos:, ;, π/4;, π/4. Soução: -; 4; 6 ; -; 5 ; Pr o estdo de deforção que se refere o proe..4, deterie s opoetes d deforção u referei prtiur O, ode s orietções dos eios,, são defiids peos seguites âguos:, ;, π/;, π/. Soução: -; ; 6 ; -; ; Pr o estdo de deforção que se refere o proe..4, deterie s opoetes d deforção u referei prtiur O, ode s orietções dos eios,, são defiids peos seguites âguos:, π/ ;, ;, π/. Soução: ; ; - 6 ; -; -; Pr o estdo de deforção que se refere o proe..4, deterie s opoetes d deforção u referei prtiur O, ode s orietções dos eios,, são defiids peos seguites âguos:, π/ ;, π/;,. Soução: ; -; 6 ; -; ; U po po de deforções é defiido pes seguites opoetes rtesis 6 : 6 4 Deterie o po dos desoetos que he está ssoido, ditido que o desoeto orige ds oordeds é uo.

67 pítuo II - Aáise ds Deforções 67 Soução: v 4. u ;..9. Retivete o po de deforções que se refere o proe terior, deterie vrição d áre de u qudrdo o de do, etrdo orige ds oordeds e dos preos os eios oordedos e. Soução: A Aid retivete o po de deforções que se refere o proe..8., deterie s deforções priipis orige ds oordeds e s respetivs direções priipis. Soução:, 6 ; r.9,.8, ; r,,, 6 ; r.8,.9,.... O po ds deforções u eio teri é defiido pes seguites opoetes rtesis 6 : 5 6 Deterie o po dos desoetos que he está ssoido, ditido que o desoeto orige ds oordeds é uo. Soução: 6 u 5 6 v w Retivete o po de deforções que se refere o proe terior, deterie vrição de voue de u esfer o etro orige ds oordeds e,5 de rio. Soução: V.... Aid retivete o po de deforções que se refere o proe..., deterie s deforções priipis e s respetivs direções priipis orige ds oordeds. Soução: 4 6 ; r.,.95, 6 ; r,, 6 6 r.95,.,...4. O po ds deforções u eio teri é defiido pes seguites opoetes rtesis 6 : ; Deterie o po dos desoetos que he está ssoido, ditido que o desoeto orige ds oordeds é uo. Soução: 6 u v w Retivete o po de deforções que se refere o proe terior, deterie vrição de voue de u uo o de do, etrdo orige ds oordeds e fes pres os pos oordedos. Soução: V, Aid retivete o po de deforções que se refere o proe..4., deterie s deforções priipis e s respetivs direções priipis orige ds oordeds. Soução:,5 6 ; r,.67,.74.

68 68 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições 6 ; r,,,5 6 r,.74, O estdo de deforção u poto P du orpo teri é defiido pe seguite tri ds deforções: 6 [ ] Deostre que o po é u dos pos priipis de deforção e P. - ue s deforções priipis e s direções priipis o poto P. Soução: Porque são us s dus tesões de orte o po τ τ. 8 6 ; r.9,.98, 6 6 ; r,, 8 6 r.98,.9,...8. Retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie s opoetes or e de orte d deforção sore u po π uj or está sore o po e iguete iid retivete os eios oordedos e. Soução: 6 5, 6 5. π π..9. Retivete o estdo de deforção que se refere o proe.4.4, deterie: - A orietção dos pos otédrios o poto P. - As deforções otédris e P. Soução: r ot ±,456, ±.676, ±.577 ot 56,67 6 ; ot 44, O estdo de deforção u poto P du orpo teri é defiido pes seguites opoetes rtesis, Deterie s deforções priipis e s direções priipis o poto P. Soução: 6 ; r,, 8 6 ; r, /, / 4 6 r, /, /.... Retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie s opoetes or e de orte d deforção sore u po π uj or está iguete iid sore os três eios oordedos. Soução: 6 66,7, 6 75,4 π... O estdo de deforção u poto P du orpo teri é defiido pes seguites opoetes rtesis: π 4 6 Deterie, por vi íti, s deforções priipis e s respetivs direções priipis o poto osiderdo. Soução: 6 ;,, 8 6 ; r /,, / 4 6 r /,, /.... Resov o proe terior, gor reorredo diretete à ostrução dos íruos de Mohr. Soução: 6 ; r,, 8 6 ; r /,, / 4 6 r /,, /...4. U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes rtesis: 8; ; 9 Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. 6

69 pítuo II - Aáise ds Deforções 69 Soução: 8-6, 7-6 θ 79,7º ; θ,8º...5. Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. Soução: 56-6, -6 θ 4,7º e θ 55,8º. /s Resov o proe.., gor reorredo diretete à ostrução dos íruos de Mohr. Soução: 8-6, 7-6 θ 79,7º ; θ,8º...7. Resov o proe.., gor reorredo diretete à ostrução dos íruos de Mohr. Soução: 56-6, -6 θ 4,7º e θ 55,8º /s U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes: ; 6; Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. Soução: 4-6, 7-6 θ º ; θ 59º...9. Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. 6 Soução: 4-6, 4-6 θ 4,4º e θ 75,96º /s Resov o proe..5, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 4-6, 7-6 θ º ; θ 59º.... Resov o proe..6, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 4-6, 4-6 θ 4,4º e θ 75,96º /s U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes rtesis: 4; ; Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. Soução: 45-6, 5-6 θ 8,4º ; θ 7,57º.... Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. Soução: 5-6, -6 ; θ 6,57º e θ 6,4º /s Resov o proe..9, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 45-6, 5-6 θ 8,4º ; θ 7,57º...5. Resov o proe.., gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. 6

70 7 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições Soução: 5-6, -6 ; θ 6,57º e θ 6,4º /s U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes rtesis: 5; 5; 4 Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. Soução: 86-6, 4-6 θ 7,º ; θ 6,77º...7. Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. Soução: 7-6, -6 ; θ 7,77º e θ 7,º /s Resov o proe.., gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 86-6, 4-6 θ 7,º ; θ 6,77º...9. Resov o proe..4, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 7-6, -6 ; θ 7,77º e θ 7,º /s U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes: ; 8; Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. Soução: 75-6, 45-6 θ 7,98º ; θ 5,º Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. Soução: -6, 4-6 ; θ 7,º e θ 8,98º /s Resov o proe..7, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 75-6, 45-6 θ 7,98º ; θ 5,º...4. Resov o proe..8, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: -6, 4-6 ; θ 7,º e θ 8,98º /s U estdo po de deforção é defiido pes seguites opoetes: 6; 8; Deterie, itiete, s deforções priipis e s respetivs direções. Soução: 4-6, 44-6 θ 74,67º ; θ 5,º Aid retivete o estdo de deforção que se refere o proe terior, deterie: - A deforção de orte ái o po, deforção or orrespodete e s direções segudo s quis tu. - A deforção de orte ái sout. Soução: 68-6, 9-6 ; θ 9,67º e θ 6,º /s

71 pítuo II - Aáise ds Deforções Resov o proe..4, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 4-6, 44-6 θ 74,67º ; θ 5,º Resov o proe..4, gor reorredo diretete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 68-6, 9-6 ; θ 9,67º e θ 6,º /s Nu poto P d superfíie ivre du orpo teri, edir-se s deforções ieres segudo três direções,, espçds de 45º 6 : 5 ; ; Deterie, por vi íti: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs orietções. - O vor d deforção de orte ái e orietção do po segudo o qu e tu. Soução: 5,6 6 ; θ,8º ; θ 76,7º 447, 6 θ 58,8º e θ,7º Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 5,6 6 ; θ,8º ; θ 76,7º 447, 6 θ 58,8º e θ,7º...5. Utiido u roset retgur de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de 45º: 6 º 5, 6 45º 5 6 9º Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 8,5 6 ; θ 65,59º 68,5 6 ; φ 4,4º 6 6 θ 69,4º e θ,59º...5. Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 8,5 6 ; θ 65,59º 68,5 6 ; φ 4,4º 6 6 θ 69,4º e θ,59º...5. Utiido u roset retgur de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de 45º: 6 º 6, 6 45º 6 9º Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 88,9 6 ; θ 5,4º 448,9 6 ; φ 64,96º 78 6 θ 74,4º e θ 9,96º...5. Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 88,9 6 ; θ 5,4º 448,9 6 ; φ 64,96º

72 7 Meâi dos Mteriis e Estruturs Lieres. eori e Apições 78 6 θ 74,4º e θ 9,96º Utiido u roset retgur de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de 45º: 6 º 4, 6 45º 6 9º Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 54,5 6 ; θ,55º 4,5 6 ; φ 68,45º θ 66,55º e θ,45º Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 54,5 6 ; θ,55º 4,5 6 ; φ 68,45º θ 66,55º e θ,45º Utiido u roset retgur de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de 45º: 6 º, 6 45º 6 9º 5 Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução:,6 6 ; θ,5º 5,6 6 ; φ 67,5º 77, 6 θ,5º e θ 67,5º Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução:,6 6 ; θ,5º 5,6 6 ; φ 67,5º 77, 6 θ,5º e θ 67,5º Utiido u roset det de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de º: 6 º, 6 º 6 4º 8 Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 77,4 6 ; θ 45,º 877,4 6 ; φ 45,º θ º e θ ±9º Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 77,4 6 ; θ 45,º 877,4 6 ; φ 45,º Utiido u roset det de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri,

73 pítuo II - Aáise ds Deforções 7 edir-se s deforções segudo três direções espçds de º: 6 º, 6 º 6 6 4º Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 67, 6 ; θ 5,5º 6, 6 ; θ 6,95º. 48,7 6 θ 8,5º e θ 8,95º...6. Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 67, 6 ; θ 5,5º 6, 6 ; θ 6,95º. 48,7 6 θ 8,5º e θ 8,95º...6. Utiido u roset det de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de º: 6 º 4, 6 º 4 6 4º Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 547,4 6 ; θ,5º 44, 6 ; θ 66,95º 96,5 6 θ,95º e θ 68,5º...6. Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr. Soução: 547,4 6 ; θ,5º 44, 6 ; θ 66,95º 96,5 6 θ,95º e θ 68,5º Utiido u roset det de três etesóetros otd u poto P d superfíie du orpo teri, edir-se s deforções segudo três direções espçds de º: 6 º, 6 º 6 4º. Deterie, itiete: - As deforções priipis o poto osiderdo e s respetivs direções. - O vor d deforção de orte ái e orietção dos pos segudo os quis e tu. Soução: 5 6 ; θ º 6 ; θ 6º 8 6 θ 5º e θ 75º Resov o proe terior, gor reorredo eusivete à ostrução do íruo de Mohr.. Soução: 5 6 ; θ º 6 ; θ 6º. 8 6 θ 5º e θ 75º.